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CAPÍTULO 1
TENSIÓN
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Hoy trataremos algún aspecto del diseño
de una vasija o depósito de pared delgada(t/r
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F 0=∑
M 0=∑
F3
F1 ∆S
∆f
n
S
dS
f d
S
f
s
rrr
=
→ ∆
∆
∆ 0
limσ
CONCEPTO DE VECTOR TENSIÓN
Unidades: N/m2=Pa
Como en la práctica 1 Pa es de pequeñamagnitud, utilizaremos, en general, MPa
F3
F2F1
π
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Area= A/cosθ
θ
A
P
Area= A/cosθ
θ
A
P
Tensiones en una barra sometida a una carga de tracción
P P P P
G
Demos un corte a la barra por una sección que forma un ángulo
θ con el plano vertical
La resultante de la distribución de tensiones debe ser horizontaly pasar por el c.d.g. de la sección transversal de la barra
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Area= A/cosθ
θ
A
P
Area= A/cosθ
θ
A
P
x
y
x
y
θ
P N
V
( )
0sincos
090coscos0
=++−
=−++−=∑
θ θ
θ θ
V N P
or
V N P
F x
( )
0cossin
090sinsin
0
=−
=−−
=∑
θ θ
θ θ
V N
or
V N
F y
En realidad, las fuerzas N y V serán las resultantes de una distribución detensiones, las cuales las supondremos uniformes sobre la sección de corte
Planteando el equilibrio:
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θ
P N
V
θ
P N
V θ
θ
sin
cos
P V
P N
=
=
Área de la sección de corte:θ cos
A Area =
Como, por definición, latensión es fuerza divididapor área:
( )θ θ σ 2cos12
cos2 +== A
P
A
P
θ θ θ τ 2sin2cossin A
P
A
P
==
θ
P θ
P σ
τ
Por tanto:
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σ es máxima cuando θ es 0° ó 180°τ es máxima cuando θ es 45° ó 135° maxmax 2
1 σ τ =
A
P =maxσ
A
P
2max =τ
-1
-0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Angle
S t r e s s / ( P / A )
σ
τ
T e n
s i ó n
( / σ 0
)
Ángulo θ
A
P =maxσ
0
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El signo de la tensión tangencial τ cambia cuando el ánguloθ es mayor de 90°
Nótese que: τ (θ )= -τ (90 ° +θ )
θ
P
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VASIJAS ESFÉRICAS A PRESIÓN
σ π rt 2
t
pr
2=σ
pr
2
π
Fuerza ejercida porla presión interna:
Fuerza ejercida porla tensión actuante:
De la igualdad entreambas, resulta:
r
r
t
σ
σ
p
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σ
σ
σ
Estado tensional en un punto de la vasija
Puntoelástico
t
pr
2=σ
¡ σ es mucho mayor que p !
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VASIJAS CILINDRICAS A PRESIÓN
D i r e c c
i ó n l o n
g i t u d i n a l
Dirección circunferencial
r
t
σh
σhσa
σa
Punto elástico
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Cálculo de la tensión longitudinal:
art σ π 2
Fuerza ejercida porla presión interna:
pr 2
π Fuerza ejercida porla tensión actuante:
De la igualdad entreambas, resulta:
t
pr a
2
=σ
r t
Punto elástico
p
σa
σa
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Cálculo de la tensión circunferencial:
rlp2
Fuerza ejercida porla presión interna:
Fuerza ejercida por
la tensión actuante:
hlt σ 2De la igualdad entre
ambas, resulta:
t
pr h =σ
r
t
l l
p
σh
σh
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Estado tensional en los puntos de la vasija cilíndrica:
¡ σh es mayor que σa, y ambas son mucho mayores que p !
t
pr h =σ
t pr a 2=σ
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a
a
σh=2σa
Forma de rotura másprobable
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Ejemplo: Determinar el espesor t de la vasija de la figura, realizadacon acero inoxidable austenítico, sabiendo que su radio es r y que
contiene un gas a una presión p. Considérese un coeficiente de seguridad γ.
Tensión máxima:
t
pr máx=σ
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Los elementos estructurales, olos componentes de máquinasdeben ser diseñados demanera tal que las tensiones
que se producen en su senosean menores que laresistencia del material.
El factor de seguridad tiene encuenta, principalmente:•Las incertidumbres de los valoresde las propiedades del material
•La incertidunbre del valor de lascargas actuantes•La incertidumbre del análisis•El comportamiento a largo plazo delelemento estructural•La importancia del elementoconsiderado en la integridad de laestructura de la que forma parte
Lógicamente el factor de seguridaddebe ser una cantidad mayor que launidad
COEFICIENTE DE SEGURIDAD
admisibletensión
resistenciaCoeficiente de seguridad
adm
R ===
σ
σ γγ
En vasijas a presión, γ suele oscilar entre 4 y 8
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PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOS
CON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD,TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL
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TENSOR DE TENSIONES
x
y
z
P
x
y
z
P
x
y
z
P
σz
τzy
τzx
x
y
z
P
σz
τzy
τzx
σ
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
σ’σ’’
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P
z
y
x
0 τzx
τzy
τxz
τxyτyx
τyzτzx
τzy
σz
σy
σx
dx
dz
dy
σzdy
PUNTO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL
σ
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xeje caraslasenopuestasyiguales tensiones0 x ⊥⇒=∑ σ x F yeje caraslasenopuestasyiguales tensiones0 y ⊥⇒=∑ σ y F zeje caraslasenopuestasyiguales tensiones0 ⊥⇒=∑ z z F σ
zy zy yz x dz dxdydydxdz M τ τ τ τ =⇒=⋅−⋅=∑ yz 0 0 xz xz zx y dxdydz dz dxdy M τ τ τ τ =⇒=⋅−⋅=∑ zx 00
yx yx xy z dydxdz dxdydz M τ τ τ τ =⇒=⋅−⋅=∑ xy 00
P
z
y
x
0 τzx
τzy
τxz
τxyτyx
τ
yzτ
zx
τzy
σz
σy
σx
dx
dz
dy
σzdy
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La igualdad entre las tensiones tangenciales,actuando sobre planos ortogonales entre sí,puede demostrarse, por ejemplo, estableciendoel equilibrio de un pequeño paralelepípedo deespesor dz. Apliquemos la fuerza Vx:
V x=τ yxdxdz
x
y
dx
dy
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El equilibrio requiere que,
sobre la cara inferior, actúe
una fuerza igual y de signo
contrario, lo que producirá
un par:
Este par debe estar equilibrado por
otro (antihorario) consecuencia de
dos fuerzas verticales Vy actuando
sobre las caras verticales:
V x=τ yxdxdz
x
y
V y=τ xydydz
V x=τ yxdxdz
x
y
V x=τ yxdxdz
M z
=V x
dy=τ yx
dxdydz
dy
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( ) ( ) xy yx
xy yx dxdydz dydxdz τ τ
τ τ =
=
Utilizando: ∑ = 0 z M
obtenemos:
Conclusión:Si sobre un plano en las proximidades de un punto, existe
una tensión tangencial, sobre un plano ortogonal al anteriordebe existir una tensión tangencial del mismo valor.
V x=τ yxdxdz
x
y
V y
=τ xy
dydz
dy
dx
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Teniendo en cuenta que, sobre cada una de las caras
del paralelepípedo infinitesimal considerado (punto elástico),actúan tres componentes del vector tensión correspondiente,se obtendrían, en total, 18 valores de los que sólo hay6 valores diferentes entre sí, a saber:
x y z yz zx xy , , , , ,σ σ σ τ τ τ
En un sólido, estas componentes, serán funciones continuas
de las coordenadas cartesianas del punto x,y,z.
( ) ( ).......,,,,, z y x z y x xy xy x x
τ τ σ σ ==
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ΩΩΩ=Ω∗ d+d+: zxxy nmd l d x Eje x x τ τ σ σ
ΩΩΩ=Ω∗ d+d+: yzy nmd l d y Eje xy y τ σ τ σ
ΩΩΩ=Ω
∗
d+d+: zyz nmd l d z Eje zx z σ τ τ σ
TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERAz
y
x
τzx
τzy
τxz
τxyτyx
τyz
σ∗z
σy
σx
σz
σ∗y
σ∗x
C
B
A
P
π
u = l i + m j + n k
k ji * z * y
* x
*rrrr
σ σ σ σ ++=
-
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TENSOR DE TENSIONES(o Tensor de Cauchy)
Augustin-Louis CAUCHY
(1789-1857)
σx∗
σy∗
σz∗
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
′σ[ ]{
=
σx τxy τzx
τxy σy τyzτxz τyz σz
⎛
⎝
⎜
⎜⎜ ⎠
⎟
⎟⎟
T[ ]1 244 344
l
mn
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
rn[ ]{
[ ] [ ] nT rr
=∗
σ
u
u
*
-
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( ) k ) z , y , x( Z j ) z , y , x( Y i ) z , y , x( X z , y , x f vrrrr
++=
FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN
y
x
z
dV f F d V ⋅= rrintdV
Fuerza interna, porunidad de volumen
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Ejemplo 2: sólido en movimiento (fuerzas de inercia)
k z j yi xadV adm f v
r&&
r&&
r&&rr
r
++−=×−=×−= ρ ρ /
z z y x Z y z y xY x z y x X &&&&&& ρ ρ ρ −=−=−= ),,(,),,(,),,(
Ejemplo 1: sólido sometido a la acción de la gravedad segúnel eje y
X(x,y,z) y Z(x,y,z) serían nulas y la función Y(x,y,z)= - ρ g
( ) j g z y x f vrr
ρ−=,,y
x
z
-
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ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO
x x x dx
x
∂σ′σ = σ +
∂
xy xy xy
zxzx zx
dx x
dx x
∂τ′τ = τ + ∂
∂τ′τ = τ +
∂dx
´
-
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τyx
σy
τyz
σy
τyx
τyz
´
´
´
σz
τzxτzy
σz
τzx
τzý´
X +∂σx∂x
+∂τxy∂y
+∂τzx∂z
= 0
Y + ∂τxy∂x
+ ∂σy∂y
+ ∂τyz∂z
= 0
Z +∂τzx
∂x+∂τyz
∂y+∂σz
∂z= 0
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ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO
Sobre la superficie exterior del sólido (contorno) pueden, o no,actuar tensiones que, directamente, se apliquen al sólido
Ω Ω d f F d contorno ⋅=rr
z
y
x
dΩ
Fuerza, por unidad
de superficie, en elcontorno
FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUE ACTÚA SOBRE EL CONTORNO
( ) ( ) ( ) k z , y , x Z j z , y , xY i z , y , x X f
rrrr
++=Ω
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σ
σ
P
Q
x
y
P
σ
j f
rr
σ Ω =
Q 0 f
rr
=Ω
EJEMPLO:
-
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Y, sin embargo, en los puntos muy próximos a la superficie del sólidopueden existir tensiones internas.
En un punto P próximo al contorno del sólido, deberá existir equilibrio entrelas tensiones y las fuerzas, por unidad de superficie, aplicadas.
x
y
zk n jmil urrrr
++=
Ωf
r
τyxσ
y
τyz
σz
τzx
τzy
σxτ
xy
τzx
nml X zx xy x τ τ σ ++=
nml Y yz y xy τ σ τ ++=nml Z z yz zx σ τ τ ++=
Ecuaciones de equilibrio
en el contorno:
Contorno delsólido
P
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CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA
[ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
T tensor de tensiones en P referido al sistema x, y,z
T tensor de tensiones en P referido al sistema x , y ,z
R matriz del cambio de ejes
u = componentes de un vector unitario respecto al sistema x, y,z
u c
=
′ ′ ′ ′=
=
′ =
r
romponentes de un vertor unitario respecto al sistema x , y ,z′ ′ ′
RTRT
RTRTT
T
=
′
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x
y
x
y
x’
y’
θ
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
θ θ
θ θ R
cossen
sencos
CASO BIDIMENSIONAL:
σ ’y
-
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σ x’ σ y’ τ x’y’
σ x
σ y
τ xy
x
y
x’y’
θ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′
′
′
xy
y
x
22
22
22
y x
y
x
sencoscos sencos sen
cos sen2cos sen
cos sen2 sencos
τ
σ
σ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
τ
σ
σ
-
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TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
Sea un sólido sometido a un sistema de cargas, P unpunto cualquiera del sólido (punto genérico) y [T] elcorrespondiente tensor de tensiones afecto a dicho punto.¿existirá algún plano, que pase por las proximidades
(a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vectortensión correspondiente, sea ortogonal a dicho plano(es decir, que el vector tensión no tenga componente según
el plano o, lo que es lo mismo, que sobre dicho plano noactúa ninguna tensión tangencial)?
n
df
σu
df σ
τ=0
, ,
-
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[ ] [ ] [ ] T u′σ = rr
[ ] [ ]u′σ = σ rr
[ ] [ ] [ ]0 I- =uT r
σ
Vector tensión en una dirección cualquiera:
Vector tensión en la dirección que buscamos:
k n jmil u
rrrr
++=
( )
( )( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
−−
=++−
0=n+m+l0=n+m+l
0
zyz
yzy
σ σ τ τ
τ σ σ τ
τ τ σ σ
zx
xy
zx xy x nml
( ) ⎫
-
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0=σ σ τ τ
τ σ σ τ
τ τ σ σ
−−
−
z yz zx
yz y xy
zx xy x
( )
( )( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
−−
=++−
0=n+m+l0=n+m+l
0
zyz
yzy
σ σ τ τ
τ σ σ τ
τ τ σ σ
zx
xy
zx xy x nml
Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial:
σ3 − I1 σ2 + I2 σ − I3 = 0
1 x y z
2 2 2
2 x y y z z x yz zx xy
3
I
I
I T
= σ + σ + σ
= σ σ + σ σ + σ σ − τ − τ − τ
=
Ecuación característica: Invariantes:
-
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Tensiones principales
max int minσ σ σ ≥ ≥
321 σ≥≥
σmax
σmax
σ
min
σ
min
σ
int
σ int
Direcciones y tensiones principales:
-
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Direcciones y tensiones principales:
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Tensor de tensiones:
I1 = σ1 + σ2 + σ3I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1I3 = σ1σ2σ3
Invariantes:
1
2 2 22
2 2 23 2
x y z
x y x z y z xy xz yz
y z xy xz yz x yz y xz z xy
I
I
I
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ τ τ τ
σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ
= + +
= + + − − −
= + − − −
Las tensiones tangencialessobre los planos principalesson nulas
σ1
z
y
x
σ2
σ3
-
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TENSIÓN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS
3331321
cahidrostati I
p z y x =
++=
++==
σ σ σ σ σ σ σ
4 4 4 34 4 4 21434214 4 34 4 21desviadoracomp.
zyzzx
yzyxy
zxxyx
cahidrostaticomp.tensionesdetensor
'
''
+
00
0000
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
p
p
p
z yz zx
yz y xy
zx xy x
p p p z z y y x x −=−=−= σ σ σ σ σ σ ' ; ' ; '
( )27 2792
3
0
321
3
13
21
22
1
I I I I J
I I J
J
+−=
−=
=Invariantes del tensor desviador:
-
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yy
-
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P
n σ∗ σ∗∗+
x
y
P
n σ∗ σ∗∗+
P
nn σ∗ σ∗∗+σ∗σ∗ σ∗∗σ∗∗+
x
y
¿Cuál es el lugar geométrico delextremo del vector tensión total,correspondiente a dicho punto,cuando variemos el ángulo θ ?
θ σ
θ σ
cos
sen
1
2
⋅
⋅
y
x
11
2
2
2=
σ σ y x
Coordenadas del extremo del vector tensión:
CASO TRIDIMENSIONAL:
-
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xy
z
⎛
⎝
⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟ =
σ1 0 00 σ2 0
0 0 σ3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
lm
n
⎛
⎝
⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟ →
x = σ1 ly = σ2 m
z = σ3 n
⎫⎬⎪
⎭⎪
x2
σ12 +
y2
σ22 +
z2
σ32 = 1
CASO TRIDIMENSIONAL:
I1=Suma de las longitudes
de los tres semiejes del elipsoide
I2 =proporcional a la suma de lasáreas de las tres elipses queintercepta el elipsoide con losplanos principales
I3 =proporcional al volumen del
elipsoide
σ
σ
2
σ
3
EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES
-
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Otto MOHR (1835-1918)
BIDIMENSIONALES
-Tensiones normales: positivas si son de tracción-(negativas si fueran de compresión)- Tensiones tangenciales:
+ -
-
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σyτxy
σxτθ
θ
u
y
x
σn
Signos a considerar para la construccióndel círculo de Mohr:- La tensión normal será positivasi es de tracción
- La tensión tangencial es positiva si,desde el centro del punto elástico,produjera un giro en sentido horario
τ > 0
τ
σn >0 TRACCION
u
-
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x x xy
y xy y
cos
sen
∗
∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ τ θ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ τ σ θ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θ
2 2
n x xy y
y x
xy
cos sen2 sen
sen2 sen2 cos22 2
σ = σ θ + τ θ + σ θ
σστ = θ − θ − τ θ
σy
τxy
σxτ
θθ
u
y
x
σn
⎡ ⎤
-
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x y x y
n xy
x y
xy
cos2 sen22 2
sen2 cos22
⎡ ⎤σ + σ σ − σ
σ − = θ + τ θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
σ − στ = θ − τ θ
que corresponden a la ecuación de una circunferencia
(en un plano cuyos ejes fueran σ y τ (Plano de Mohr)de centro:
(σ x +σ y )/2
y radio:
14
(σ x−σ y )2 +τ xy
2
Existe una correspondencia biunívoca entre cada direcciónid l t lá ti t di
-
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que consideremos en el punto elástico en estudio y un
punto del círculo de Mohr correspondiente a ese puntoelástico: a cada dirección que pasa por las proximidadesdel punto P le corresponde un punto del círculo de Mohr cuya abcisa es la componente normal del vector tensión
que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenadaes la componente tangencial de dicho vector tensión
Una vez dibujado elcírculo de Mohr, puedenobtenerse, por ejemplo,los valores de las tensionesprincipales así como lasdirecciones sobre lasque actúan.
σ
τ
C⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +0
2,
y x σ
xy x τ−,
xy y τ,
( )τ σ −,2θ
( )max
( )max
σ
σ
PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR
-
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A
B
A
B
C
A
B
C
AB
OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
-
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Dirección
principal 1
Direcciónprincipal 2
Planoprincipal 1
Planoprincipal 2 x
y
σ1
σ2
σxσx
σy
σy
τxy
y
x
σ
τ
σ1σ2
σx
σy
2
y x σ+
ε
τxy
τxy
τmax
PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:
-
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Obtención del Polo del Círculo de Mohr:
-
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x
y
(σx,-τxy)
(σy,τxy)
σ
τ
POLO
Otros aspectos del círculo de Mohr.
-
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Otros aspectos del círculo de Mohr.
A (σ,τ)
B
C
σ
A
σ τθ
σ
τθ
Direcciones en las que elángulo del vector tensióncon la normal al plano sobreel que actúa es máximo
σ
τ
¿A qué dirección representa el POLO del círculo de Mohr?
-
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(σx,-τxy)
(σy,τxy)
σ
τ
POLO
SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED
-
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http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html
http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/
http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls
TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS(Problemas bidimensionales)
-
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( )
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
x
y
z
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
x
y
z
σΙ
σΙΙ
σΙ
σΙΙ
σΙ
σΙΙ
σ
τ
σΙσΙΙτmax
σ
τ
σΙσΙΙτmax 2
max II I σ σ
τ −
=
σΙ
Dirección de σIII
σΙ
Dirección de σIII
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0
τmax
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0 σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0
τmax
2max
I σ
τ =
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0σΙΙ
τmax
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0σΙΙ
τmax
2max
II σ τ =
I II I IImax Máximo de , ,
2 2 2
⎛ σ −σ σ σ ⎞τ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
σΙΙ
Dirección de σIII
TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS
-
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⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−=
2,
2,
2deMáximo 323121max
σ σ σ σ σ σ τ
TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS
(Problemas tridimensionales)
Más, en la web, sobre círculo de Mohr:
-
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http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html
, ,
-
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66/398
CAPÍTULO 2
DEFORMACIÓN
Al aplicar cargas a un sólido, éste se deforma.
-
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Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentro
del sólido son “pequeñas”de manera tal que, la geometría del sólido
antes y después de deformarse es, a efectos prácticos, la misma.
Sólido deformadoSólido sin deformar
-
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∆xx = posición geométrica
u = desplazamiento experimentado
-
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( ) PQ
PQQ P lim P x
x
−=
∗∗
→∆ 0ε
( )[ ] ( )[ ]PuxQuxxOPOQQP +−+∆+=−= ∗∗∗∗
( ) ( ) uPuQuPQQP ∆=−=−∗∗
( ) P
0 x x
dxdu
xulim P ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ == → ∆
∆ε ∆
Configuración
sin deformar
Configuración
deformada
-
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s
s s
A B ∆∆−∆
=→
*lim
nalong
( )
1
1
−
∆
∆≈
∆+≈∆
s
s
s s
*
*
a lo largo de n
Sólido
no deformado
Sólido
deformado
A
B
n
∆s
A*
B*
∆s*
-
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-
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∗∗∗
→→ −= R P QánguloQPRánguloγ
P R
P Q P lim
∗∗∗
→
→ −= R P Qánguloπ γ
P R
P Q P 2
lim
Configuración
sin deformar
Configuración
deformada
Las tensiones tangenciales actuando en un punto elástico
-
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son la causa de aparición de las deformaciones angulares.Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientoso acortamientos del punto elástico sino que, simplemente,distorsionan su geometría.
τ yx
x
y
τ xy
τ yx
x
y
τ xy
2
γ
2
γ
γ
π
−2
γ
π
+2
Considerando un punto elástico (dimensiones infinitesimales), podemosdeterminar sus dimensiones finales así como los ángulos girados por sus lados
-
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xy
π
−2
yz
π
−2
zx
π
−2
(1+εx)dx (1+εy)dy (1+εz)dz
Punto elásticoantes de deformarse:
Punto elástico
deformadoy
x
z
dxdy
dz
εydy
εzdz
2 / yz
CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w)
-
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DENTRO DE UN SÓLIDO
z
y
x
j
i
k P
Q
P*
Q*δQ
δP
d r d r *
0
P P*
Q Q*
Vector desplazamiento en P = PP* = δP
Vector desplazamiento en Q = QQ* = δQ
k w jviuPrrrr
++=δ
k w jviuQ
rrrr
''' ++=δ
u=u(x,y,z)
v=v(x,y,z)
w=w(x,y,z)
Funciones
continuas de
x,y,z
-
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Descomposición de la matriz [M]rr
-
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[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
z
w
y
w
x
w z
v
y
v
x
v z
u
y
u
x
u
M
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
[ ] [ ]4 4 4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 4 4 214 4 4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 4 4 21
simétrica Dicahemisimétr W
z
w
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
=
P
Q
P*
Q*δQ
δP
d r d r *
[ ] r d MPQr
rr
+δ=δ
[ ] [ ]( ) r d DWPQr
rr
++δ=δ
d
r
r∗ = dr
r +r
δQ −r
δP[ ] [ ] r d Dr d Wr d r d rrrr ++=∗
[ ] [ ]( ) [ ] r d Dr d WIr d rrr
++=∗
Descomposición de movimientos
-
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a) Traslación de definida por
b) Giro definido por la matriz hemisimétrica
c) Deformación definida por la matriz
→∗
→
→ 1QPPQ
→∗
→∗ → 21 QPQP
→∗∗
→∗ → QPQP 2
-
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Los pasos a) y b) son comunes (traslación + giro) paratodos los puntos del entorno del punto P, por lo que noproducen variación relativa alguna (deformación) de las
distancias entre el punto P y dichos puntos. Sólo el pasoc) es el que produce deformaciones en el entorno delpunto P y el tensor correspondiente, que admite unarepresentación a través de la matriz [D] respecto alsistema de coordenadas que estamos empleando,se denomina Tensor de Deformaciones
INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL
-
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TENSOR DE DEFORMACIONES
εx = ∂u
∂x
, εy = ∂v
∂y
, εz = ∂w
∂z
,
γ xy = ∂u∂y
+ ∂v∂x
, γ xz = ∂u∂z
+ ∂w∂x
, γ yz = ∂v∂z
+ ∂w∂y
D[ ]=
εxγ xy2
γ xz2
γ xy2
εy γyz
2γ xz2
γyz2
εz
⎡
⎣
⎢
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥
⎥⎥⎥
dyy
u
∂∂
-
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tgα = α = ∂v∂x
tgβ = β = ∂u∂y
⎫⎬⎪
⎭⎪
⇒ γ xy = α +β = ∂u∂y
+ ∂v∂x
x
y
P A
B
P*A*
B*
vudy
dx
dxxv∂∂
xd x
uu
∂∂
+
dyy
vv
∂∂
+
α
β
DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERAr
-
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Vector deformación unitaria: ε
[ ] [ ] [ ] [ ] u Ddr r d D
r r lim D
r r Dlim 0r 0r
v
rrr
r
==== →→∆∆
∆∆ε ∆∆
π
Componentes intrínsecas de :ε r
-
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Deformación longitudinal unitaria, εn, definida como:
[ ]( )
lnmnlmnml
uuD=u=usobre. proy
xzyzxy
2
z
2
y
2
xn
n
γ+γ+γ+ε+ε+ε=ε
⋅⋅⋅εε=ε rrrrrr
Deformación angular unitaria:
n /2γ2n
2n
2
4
1γ ε ε +=
Relación:
[ ] u D vr
=ε
DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTES¿Para qué direcciones el vector deformación es perpendicular al plano correspondiente?
y yDirección 2
-
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⇓
=−
TICACARACTERISECUACION 0 I D ε
0322
13 =−+− I I I ε ε ε
u
yx xy yx xy γ γ ε ε 2
1
2
1===
0
r
r
rr
u I D
uu D
ε
ε
γ xy/ /2
γ xy/ /2
γ xy/ /2γ xy/ /2
x
x
Dirección 1
0322
13 =−+− I I I ε ε ε
-
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21
2
1
21
2
1
21
2
1
I
zyz
xzx
zyz
yzy
yxy
xyx
2 εγ
γε+
εγ
γε+
εγ
γε=
I zyx1 ε+ε+ε=
DI3 =
(Invariante lineal)
(Invariante cuadrático)
(Invariante cúbico)
TENSOR DE DEFORMACIONES EXPRESADO
-
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⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
00
0000
ε
ε ε
EN EJES PRINCIPALES
3213
3132212
3211
ε ε ε
ε ε ε ε ε ε ε ε ε
=
++=++=
I
I I
Invariantes:
RELACIÓN ENTRE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSIÓNY DEFORMACIÓN:
-
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Para un sólido con comportamiento isótropo elástico lineal:
Si τ es cero, γ es también nula: Las direcciones principales de tensiónCoinciden con las de deformación.
G
τ γ =
σmax, εmax
σmin, εmin
σint, εint
DEFORMACIONES VOLUMETRICA Y DESVIADORA
-
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inicial Vol.
inicial Vol.- final Vol.eV =
Volumen inicial= dx.dy.dzVolumen final= dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ 1 + εx( )1 + εy( )1+ ε z( )=
dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ 1 + εx + εy + εz + εx εy +.......
[ ]( z y xV εεεe ++= = I 1
=
-
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4 4 4 4 34 4 4 4 21
4 4 34 4 21
4 4 4 4 34 4 4 4 21
desviadoraComp
z yz xz
yz y xy
xz xy x
avolumetricComp
V
V
V
ndeformaciodeTensor
z yz xz
yz y xy
xz xy x
εγγ
γεγ
γγε
e
e
e
εγγ
γεγ
γγε
.
.'
2
1
2
12
1
' 2
12
1
2
1'
00
00
00
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
V z z V y yV x x
z y xV
eeee
−=−=−= ++= ε ε ε ε ε ε ε ε ε
' ;' ;'
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
( ) k)(j)(i)(
rrrr
δ
-
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( ) k ) z , y , x( w j ) z , y , x( vi ) z , y , x( u z . y. x ++=δ Las tres funciones u,v,w (campo de desplazamientos) no pueden expresarsearbitrariamente en función de x, y, z, sino que tendrán que verificar unasdeterminadas relaciones para que los campos de desplazamientos y de
deformaciones que experimenta el sólido sean físicamente posibles.
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∂
∂−∂
∂+∂
∂⋅∂∂=
∂⋅∂∂⋅
∂⋅∂∂=
∂∂+
∂∂
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂⋅
∂∂
=∂⋅∂
∂⋅
∂⋅∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−⋅
∂
∂=
∂⋅∂
∂⋅
∂⋅∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
z y x z y x z x x z
z y x y x z z y y z
z y x x z y y x x y
xy xz yz z xz z x
xy xz yz y yz z y
xy xz yz x xy y x
γ
γ
γ
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;
CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA (2D)Conocidas las componentes del tensor de deformaciones( ε x ,ε y ,γ xy /2 ) en un punto referidas a un sistema cartesiano
d f i x y l l t d
-
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de referencia x,y, veamos cuales son las componentes dedicho tensor respecto de otro sistema cartesiano x’,y’tal que, el su eje x’, forma un ángulo θ. Llamemos ( ε x’ ,ε y’ ,γ x’y’ /2 ) a las componentes respecto del nuevo sistema de referencia.
x
σ x’ σ y’ τ x’y’
σ x
σ y τ xy
y
x’y’
θ
/ 2y’x’ / 2x’
yy’
-
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( ) θ γ θ ε ε γ
θ γ θ ε ε ε ε ε
θ γ
θ ε ε ε ε
ε
2cos2sen
2sen2
2cos22
2sen2
2cos22
''
'
'
xy y x y x
xy y x y x
y
xy y x y x
x
+−−=
−−−+=
+−
++
=
γ x’y’ / 2
γ x’y’ / 2
γ y’x’ / 2
γ y’x’ / 2
x
CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONESγ/2γ/2
2
4
2''
2
2' R
y x y x
x ⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ + γ ε ε
ε
-
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εε
42 R x =+⎟⎟ ⎠⎜⎜⎝ −ε
42
R
2 xy
2
y x γ ε ε +⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡ −=
τ yx
x
y
τ xy
2
γ
2
γ
τ xy
τ xy
CRITERIO DE SIGNOS:
y
-
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εx
εy
γxy
x
y
ε
γ/2
Dirección y
Dirección x
ε1ε2
-
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CAPÍTULO 3
COMPORTAMIENTO
MECÁNICO DE MATERIALES
“ut Tensio sic Vis”
ENSAYO DE TRACCIÓN
-
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Probeta plana
Probeta cilíndrica
0 A FS
A = área de la sección transversal del fuste de la probeta
Tensión ingenieril
-
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0l l e ∆
A0 área de la sección transversal del fuste de la probeta
Deformación ingenieril
A F
σ
A = área real de la sección transversal del fuste en unmomento dado
Tensión verdadera
l dl d ε
Deformación infinitesimal verdadera
0ln l l ε
e yeS 1ln1 ε σ
¿Qué forma tienen las curvas tensión ingenieril-deformación?
-
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Deformación
T e n s i ó n
Hormigón Acero
Deformación
T e n s i ó n
u
y
u
ε ε
σ σ
εy
La curva tensión-deformaciónTensiones importantes que aparecen en la curva.
• Límite elástico (σy) – a partir de este punto el material deja det lá ti t i d d i t
-
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(σy) p p jcomportarse elásticamente, apareciendo, caso de incrementarla tensión, deformaciones remanentes en el material
• Tensión última o resistencia a tracción (σu) – a partir de estepunto, se produce inestabilidad (estricción)
• Tensión de rotura (σR )
σ
ε
σuσR σy
Estricción
Curva tensión-deformación (ingenieril)
3Resistenciaa tracción =E
estricción
-
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Deformación (∆L/Lo)
41
2
5
T e n s i ó n
( F / A )
Dominio
Elástico
DominioPlástico
Endurecimientopor deformación
Rotura
a tracción
p e
n d i e
n t e =
Dominio elástico
pendiente=módulo de Younglímite elástico
Dominio plástico
tensión última (estricción)
endurecimiento por deformaciónrotura
Límiteelástico
uσ
yσ
εEσ =
( )
E2y ε ε
σ
=
= y
Curva tensión-deformación (cont)
• Dominio elástico (Puntos 1 –2)
-
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Dominio elástico ( )- Una vez retirada la tensión, el material recupera
su forma geométrica original
- Existe proporcionalidad entre tensiones ydeformaciones
: Tensión (MPa)
E : Módulo de elasticidad (Módulo de Young) (MPa): Deformación (adimensional)
σ
ε
- Punto 2 : Límite de fluencia: a partir de este punto,si cesa de actuar la tensión, la probeta sufre deformaciones
permanentes. (Si se sobrepasara este punto, la probeta
no recuperaría sus dimensiones originales)
εEσ =ε
σE =ó
Dominio plástico (Puntos 2 –3)Si la tensión s pera el límite elástico el material no rec perará
Curva tensión-deformación (cont)
-
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p ( )- Si la tensión supera el límite elástico, el material no recuperará
su forma original al descargar.
- Aparecen deformaciones permanentes.
- Si la probeta fuese descargada en el punto 3, la curva seguiríala línea que une los puntos 3 y 4 que tendría una pendiente
idéntica a la de la que une los puntos 1 y 2.
- La distancia entre los puntos 1 y 4 proporciona la deformación
permanente.
Endurecimiento por deformaciónSi la probeta fuese de nuevo cargada desde el punto 4 la
Curva tensión-deformación (cont)
-
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p- Si la probeta fuese de nuevo cargada desde el punto 4, la
curva sería la que une los puntos 4 y 3, y que tendría una
Pendiente idéntica al módulo de elasticidad.
- El material poseería, en el punto 3, un límite elástico mayor.- Este incremento del límite elástico aparente del material,
como consecuencia de un proceso de deformación previo, se
denomina Endurecimiento por deformación.
• Resistencia a tracción (Punto 3)
Curva tensión-deformación (cont)
-
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Resistencia a tracción (Punto 3)- En este punto comienza el fenómeno de estricción
en el fuste de la probeta.• Rotura (Punto 5)- Si el material sigue siendo cargado, la tensión ingenieril
parece decrecer (la tensión verdadera crecería), y no existeen la probeta un estado de deformación uniforme.
- La rotura física de la probeta se produce en el Punto 5.
-
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-
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ε E σ =Ley de Hooke
E=módulo de Young o de elasticidad
Existen materiales en los que la parte lineal de la curva
tensión-deformación no aparece.
-
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Material E (GPa)
-
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Material E (GPa)
Acero 210
Hormigón 25
Aluminio 70
Material Límite elástico
(MPa)
Tensión de rotura
(MPa)
-
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(MPa) (MPa)
Acero AISI 1020 205-350 380-600
Aluminio 2024-T6 345 427
Aluminio 7076-T61 470 510
Titanio 11 (Ti-6Al-
2Sn-1.5Zr-1Mo-
0,35Bi-0,1Si)
930 1030
COMPORTAMIENTO DÚCTIL Y FRÁGIL
-
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Dúctil
Frágil
T
e n s i ó n
Deformación
EFECTO POISSON
∆l∆R Simeon Poisson
(1781-1840)
-
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R
R
l l
T
L
∆=
∆=
=cargaladeaplicacióndelaaortogonaldirecciónlasegúnndeformació
=cargaladeaplicacióndedirecciónlasegúnndeformació0
ε
ε
LT νε−=ε
Para la mayoría de los metales este coeficiente varía entre 0,28 y 0,32
γ
L1 L2
δ
EL ENSAYO DE CORTADURA
-
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Q
h
δ
21 L L
Qmedia =τ
G L L
hQ
G L L
Qhh
G L L
Q
G
media
2121
21
tantan ≈==
==
γ δ
τ γ
γ τ G=
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎥⎥⎥
⎤
⎢⎢⎢
⎡
y
x y
x
S S S S S S S S S S S S
σ
σ ε
ε
262524232221
161514131211
ECUACION CONSTITUTIVA DE UN MATERIAL
-
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⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
zy
zx
yx
z
y
zy
zx
yx
z
S S S S S S
S S S S S S S S S S S S
S S S S S S
τ
τ τ
σ
γ
γ
γ
ε
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
2
2
2
Material con comportamiento isótropoLas tensiones tangenciales no causan deformaciones longitudinales y
las tensiones normales no causan deformaciones angulares:
S14 = S15 = S16 = S24 = S25 = S26 = S34 = S35 = S36 = 0
S41 = S42 = S43 = S51 = S52 = S53 = S61 = S62 = S63 = 0
Las deformaciones angulares sólo son causadas por las tensiones tangenciales
que actúan en el mismo plano que la deformación:
S45 = S46 = S56 = S54 = S65 = S64 = 0
-
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la relación entre σx y εx , σy y εy , σz y εz , - es la misma:
S11 = S22 = S33
la relación entre τyx yγ yx
2 , τzx yγ zx
2 , τzy yγ zy
2 ,es la misma:
S44 = S55 = S66
si la que la influencia de σy sobre εx es la misma que la de , etc...σz
S12 = S13 = S21 = S23 = S31 = S32
⎤⎡⎤⎡⎥⎤
⎢⎡ x
SSS σε
000
-
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⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣ zy
zx
yx
z
y
x
zy
zx
yx
z
y
S S
S
S S S
S S S
S S S
τ τ
τ
σ
σ
σ
γ
γ
γ ε
ε
44
44
44
111212
121112
121211
0000000000
00000
000
000
000
2
2
2
LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS
-
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E
E
E=
E
E
E=
E
E
E
z
y
y
z
X
Xz
z
x
y
x
X
Xy
z
z
y
y
X
X
σν−=εσν−=εσν−εν−=ε
σν−=ε
σν−=ε
σν−εν−=ε
σ=εσ=εσ=ε
=
DEFORMACIONES ANGULARES
σ σ σ σ 0 zyx ≡==
-
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( )
( )σ
ν ε
σ ν
ε
σσσσ
E
+1=
E
+1-=
0z
y
x
y x
γγπ
ε+
ε+==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ γ+π
∗
∗
1
1
1
OA
OB
24tg
x
yy
γ/2
B*
B
-
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( ) ( ) τν+=σν+=γ
⇓
ε+
ε+=
γ−
γ+
=γπ
−
γ+
π
E
12
E
12
1
1
21
21
2tg
4tg1
2tg
4tg
Despejando
x
y
4 4 34 4 21
xo45º
A* A
G γ = τ
G =E
2 1 + ν( )
( )EE ZYX
X σ+σ
ν
−
σ
=ε
LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS
-
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( )
( )
G
G
G
EE
EE
zyzy
zxzx
yxyx
yx
z
z
Zx
y
y
τ=γ
τ=γ
τ=γ
σ+σν
−σ
=ε
σ+σν
−σ
=ε
xvx
G2 G2e
λε+λ=σ
ECUACIONES DE LAMÉGabriel Lamé
(1795-1870)
-
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zyzy
zxzx
yxyx
zvz
yvy
G
G
G
G2e
G2e
γ=τ
γ=τ
γ=τε+λ=σ
ε+λ=σ
zyxve ε+ε+ε= ( )( ) ( )νν−νν
λ+12
E=G
21+1
E=
DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA
p 0 inicial VolumenV =
-
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Módulo de deformación volumétrica, K :
V V
p K
/∆=
V
p
V 00
0
V V V
final VolumenV
−=∆
=
Para materiales metálicos:
E K E G ≈≈≈
8
3
3
1ν
-
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CAPÍTULO 4
PLANTEAMIENTO GENERALDEL PROBLEMA ELÁSTICO
INCÓGNITAS Y ECUACIONES DEL PROBLEMA ELÁSTICO
Incógnitas: Desplazamientos (u,v,w), Tensor de tensiones (σx,σy,σz,τxy,τxz,τyz)y Tensor de Deformaciones (εx,εy,εz,γxy,γxz,γyz) ¡15 incógnitas!Ecuaciones:
-
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∂τ∂σ ∂τ+ + + =
∂ ∂ ∂
∂τ ∂σ ∂τ+ + + =
∂ ∂ ∂∂τ∂τ ∂σ
+ + + =∂ ∂ ∂
xy x xzX 0 x y z
xy y yzY 0
x y z
yz xz zZ 0 x y z
∂γ ∂γ⎧ ⎫∂ ε ∂γ∂ ⎪ ⎪= − + +⎨ ⎬
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
∂ ε ∂γ ∂γ⎧ ⎫∂γ∂ ⎪ ⎪= − +
⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
∂γ ∂γ⎧ ⎫∂ ε ∂γ∂ ⎪ ⎪= + −⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
2 yz xy x xz2 y z x x y z
2 y yz xy xz2
z x y x y z
2 yz xy z xz2
x y z x y z
∂ γ ∂ ε∂ ε= +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ γ ∂ ε ∂ ε= +
∂ ∂ ∂ ∂∂ γ ∂ ε ∂ ε
= +∂ ∂ ∂ ∂
2 22 yz y z
2 2 y z y z
2 2 2zx x z
2 2z x z x2 2 2
xy y x2 2 x y x y
σ νε = − σ + σ
σ νε = − σ + σ
σ νε = − σ + σ
x ( ) x y zE E
y ( )
y x zE E
z ( )
z x y E E
γ = τ
γ = τ
γ = τ
/G xy xy
/Gzx zx
/G yz yz
σ = λ + ε
σ = λ + ε
σ = λ + ε
e 2G x v x
e 2G y v y
e 2Gz v z
τ = γ
τ = γ
τ = γ
G xy xy
Gzx zx
Gzy zy
Ecuaciones:
Equilibrio interno: Compatibilidad:
Constitutivas:
ó ¡15 ecuaciones!
FORMULACION EN DESPLAZAMIENTOS:ECUACIONES DE NAVIER:
Claude Louis
Marie Henri
NAVIER (1785-1836)Incógnitas: Los desplazamientos u,v,w en
cualquier punto del sólido
-
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cualquier punto del sólido
∂+ λ + δ + ∆ =∂
∂+ λ + δ + ∆ =
∂
∂+ λ + δ + ∆ =∂
r
r
r
X ( G) (div ) G u 0 x
Y ( G) (div ) G v 0 y
Z ( G) (div ) G w 0z
+ λ + δ + ∆δ =
r r rr r
f ( G) gra d (div ) G 0v
Ecuación fundamentalde la Elasticidad:
k w jviu
rrrr
++=δ donde:
FORMULACION EN TENSIONES:ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI
John Henry MICHELL
(1863-1940)
Incógnitas: Las tensiones σ x,σ y,σ z,τ xy,τ xz,τ yzen cualquier punto del sólido
-
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σ∂ ν ∂∆σ + = − −
+ ν − ν ∂∂σ∂ ν ∂
∆σ + = − −+ ν − ν ∂∂
σ∂ ν ∂∆σ + = − −+ ν − ν ∂∂
r
r
r
2I1 X1 div f 2 x v21 1 x x
2I1 Y1 div f 2 y v21 1 y y
2I1 Z1 div f 2z v21 1 zz
σ∂ ∂ ∂∆τ + = − +
+ ν ∂ ∂ ∂ ∂
σ∂ ∂ ∂∆τ + = − +
+ ν ∂ ∂ ∂ ∂σ∂ ∂ ∂
∆τ + = − ++ ν ∂ ∂ ∂ ∂
2I1 Y Z1 ( ) yz 1 y z z y
2I1 Z X1 ( )zx 1 z x x z
2I1 X Y1 ( ) xy 1 x y y x
Ecuaciones de Michell:
en cualquier punto del sólido
Ecuaciones de Beltrami: Eugenio BELTRAMI
(1835-1900)
Vf = constante
-
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V f = constante
σ∂+ ν ∆σ + =
∂σ∂
+ ν ∆σ + =∂
σ∂+ ν ∆σ + =
∂
2I1(1 ) 0
x 2 x2I
1(1 ) 0 y 2 y
2I1(1 ) 0
z 2z
σ∂+ ν ∆τ + =
∂ ∂σ∂
+ ν ∆τ + =∂ ∂
σ∂+ ν ∆τ + =∂ ∂
2I1(1 ) 0
yz y z2I
1(1 ) 0zx z x
2
I1(1 ) 0 xy x y
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
x
-
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F
Consideremos un muelle sometido a una fuerza F.F es proporcional al desplazamiento x: F=k.x
Determinemos el trabajo realizado por la fuerza cuando F= Fo:
oo x F W 2
1=
Esta energía (trabajo) es almacenada por el muelle y liberadacuando la fuerza cesa de actuar.
Si repitiéramos la misma experiencia con una barra:
-
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= +∆
== = ⋅ = ∆∫l l l
o oo ol lo
1U F dl F l2
Trabajo realizado por la fuerza externa (U) =Energía potencial almacenada en el sólido
Elongación
C a
r g a
F0
∆l0
Trabajoexterno
F
∆l0
l
Area = AVolumen = Al0
o oF A= σ
l l∆00
2
1 Al U ε σ =
= +∆
== = ⋅ = ∆∫l l l
o oo ol lo
1U F dl F l
2
-
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F
l0
Deformación
T
e n s i ó n
F0/A
∆l0 /l0
Densidad
de energía dedeformación,
ωE
o ol l∆ = ε 00
2
densidad de energía ω =energía elástica almacenadapor unidad de volumen:
1
2ω = σε
Como Eσ = ε2
21 E2 2E
σω = ε =
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR CORTANTEENERGÍA DE DEFORMACIÓN
ya
Consideremos un cubo de material
sometido a una tensión cortante τ que
-
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xaa
sometido a una tensión cortante τxy quecausa una deformación angular γxy
y
x
( ) ( ) 322
1
2
1aaaU xy xy xy xy γ τ γ τ =⋅⋅=
δ = γxya
τxy
xy xy xy xy aa γ τ γ τ ω 2
1/
2
1 33 ==
γxy
DENSIDAD DE ENERGÍA (CASO GENERAL)
( )γτγτγτεσεσεσω +++++1
-
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( ) xz xz yz yz xy xy z z y y x x γ τ γ τ γ τ ε σ ε σ ε σ ω +++++=
2
( ) ( ) ( )2222222
1
2
1 xz yz xy x z z y y x z y x
G E E τ τ τ σ σ σ σ σ σ
ν σ σ σ ω +++++−++=
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2V x y z xy yz xz1 1
e G G2 2
ω = λ + ε + ε + ε + γ + γ + γ
V x y ze = ε + ε + ε
0ω ≥
Expresando las deformaciones en función de las tensiones (Leyes de Hooke):
Expresando las tensiones en función de las deformaciones (Ecuaciones de Lamé):
Solución 1 Solución 2σ τ' ' σ τ'' ''
UNICIDAD DE LA SOLUCION DE UN PROBLEMA ELASTICOConsideremos un sólido sobre el que actúan fuerzas internas (X,Y,Z) por unidad
de volumen y fuerzas sobre su contorno (X,Y,Z). Supongamos que existen dos
soluciones diferentes:
-
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σ τ,......., ,......... x xy σ τ,......., ,......... x xy
Ecs. Equil ibrio interno Ecs. Equil ibrio interno(Solución 1) (Solución 2)
0=+++ z xz '
y
xy'
x x' X
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂σ 0=+++
z xz ' '
y
xy' '
x x' ' X
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂σ
.....................
.....................
.....................
.....................Ecs. Equilibrio contorno Ecs. Equilibrio contorno
(Solución 1) (Solución 2)
n xz ' m xy' l x' X τ τ σ ++= n xz ' ' m xy' ' l x' ' X τ τ σ ++=
.....................
...............................................................
+ Ecs. Compatibilidad + Ecs. Compatibilidad(Solución 1) (Solución 2)
0=−+−
+−
z
) xz ' ' xz ' (
y
) xy' ' xy' (
x
) x' ' x' (
∂
τ τ ∂
∂
τ τ ∂
∂
σ σ ∂
0)'''()'''()'''( =−+−+− n xz xz m xy xyl x x τ τ τ τ σ σ
.....................
.....................
.....................
Restando las ecuaciones anteriores:
-
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+ 6 Ecs. Compatibilidad que contienen ε x'
− ε x''
,.........,γ xy
'
− γ xy''
,..........
.....................
El resultado que hemos obtenido es equivalente a decir que se ha encontrado unanueva distribución tensional (diferencia entre los estados tensionales de lassoluciones 1 y 2), que verifica todas las ecuaciones del problema elástico, para elcaso de que el sólido se encuentre libre de cargas actuantes sobre él (fuerzasinternas y de contorno nulas). Esto implica que el trabajo realizado por tales fuerzases nulo, ya que las fuerzas actuantes resultan ser nulas y, por tanto, la energíaelástica almacenada, o su correspondiente densidad de energía, debiera sertambién nula, por lo que:
0)2,,,2,,,2,,,(21)2,,,2,,,2,,,(2,,,
21 =++++++= xz yz xyG z y xGve γ γ γ ε ε ε λ ω
.,.........'''''',,.........'''''' xy xy xy x x x γ γ γ ε ε ε −=−=Donde:
.,.........'''0''',,.........'''0''' xy xy xy x x x γ γ γ ε ε ε =⇒==⇒=
''',.......,''' xy xy x x τ τ σ σ ==
-
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¡no pueden existir dos soluciones distintas para un mismo problema elástico!
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
z
-
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y
x ESTADO 1 ESTADO 2
σ' x ...............τ' xy ..................
ε' x ................γ ' xy ...................
σ' 'x ...............τ' ' xy ..................
ε' ' x ................γ' ' xy ...................
ESTADO 1+2
σx = σ' x +σ' ' x ............... τxy = τ' xy +τ' ' xy ...............
εx = ε'x +ε' ' x ................γ xy = γ ' xy +γ' ' xy ...............
EJEMPLO:
-
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q q
SAINT VENANT
(1797-1886)
PRINCIPIO DE SAINT-VENANT
F1 F2
F3
F4
F5
Supongamos un mismo sólido sometido, en las mismasregiones, a dos sistemas de cargas mecánicamente
equivalentes:
-
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Principio de Saint-Venant: los estados tenso-deformacionales producidos por ambossistemas de cargas en cualquier punto del sólido suficientemente alejado de la zona en
la que se aplican ambos sistemas (a distancias muy grandes en relación con las propiasdimensiones de la zona de la superficie sobre la que actúan el sistema de cargas 1 óel 2), son, a efectos prácticos, idénticos.
Md
F
ESTADOS TENSO - DEFORMACIONALES IDENTICOSSI M = F.d
-
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CAPITULO 5
ELASTICIDAD PLANA
Supongamos el sólido de la figura, que posee forma cilíndrica con sus generatricesparalelas al eje z, y que se encuentra sometido a la acción de las cargas indicadas.El valor de dichas cargas es independiente de la coordenada z, así como sus
componentes en dicha dirección (fuerzas distribuidas y de superficie paralelas alplano x-y).
y
-
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Las ecuaciones de la Elasticidad, y la correspondiente solución del problema,
se pueden plantear utilizando, solamente, las coordenadas (x,y).
z
x
σy
τ
xy
y
-
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σxσx
σy
τxy
τxy
τxy
dx
dy
x
Tensiones en el plano x-y
v
x
u
εx
∂∂
∂
=
-
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x
v
y
uγ
y
vε
xy
y
∂∂+∂
∂=
∂
∂
=
Deformaciones en el plano x-y
¿Y qué tensiones y deformaciones aparecen en un planoperpendicular al eje z?
Muchos problemas de elasticidad bidimensional se resuelvenhaciendo una de estas dos hipótesis:
-
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0
0
0
z
zx
yz
=
=
=
DEFORMACIÓN PLANA0
0
0
z
zx
yz
=
=
=
TENSIÓN PLANA
TENSIÓN PLANA: Sólo son distintas de cero las componentes, en elPlano, del tensor de tensiones.
Componentes tensionales no nulas: xy y x τ σ σ ,,dAh
y
xy
-
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Hipótesis:- h
-
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Hipótesis:- w=0-Las dos caras del sólido no sufrendesplazamientos según z- Las fuerzas interiores por unidad de volumeny las aplicadas en el contorno perimetral delsólido no dependen de la coordenada z- u,v son funciones de sólo x e y
dA
x
y
z
x
xy
y
x
xy
xy
z
dA
1) Un estado tensional en el que la tensión normal y las tensionestangenciales actuantes sobre las caras de la pieza son nulas.
2) Si x-y es el plano del sólido bidimensional, las únicas componentes del
TENSIÓN PLANA
-
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tensor de tensiones no nulas son: σx,σy ,τxy
3)Las componentes: σz ,τxz ,τyz serían nulas
u = u(x,y)
v = v(x,y)
w ≠ 0
D[ ]=
εxγ xy
2 0
γ xy2 εy 0
0 0 εz
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
T[ ]=σx τxy 0
τxy σy 0
0 0 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones
DEFORMACIÓN PLANA1) Un estado deformacional en el que la deformación longitudinal y lasdeformaciones angulares correspondientes a un plano paralelo a la sección
transversal de la pieza son nulas.
2) Si x-y es el plano de la sección transversal de la pieza las únicascomponentes del tensor de deformaciones no nulas son: εx , ε y , γxy
-
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p x y γxy
3) Las componentes : εz , γxz , γyz serían nulas.
u= u (x,y)
v= v (x,y)
w=0
T[ ]=σx τxy 0
τxy σy 0
0 0 σz
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones
D[ ]=
εx
γxy
2 0
γxy
2 εy 0
0 0 0
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
DEFORMACIÓN PLANA:
Ecuaciones de equilibrio interno:
Ecuaciones de equilibrio en el contorno:
0=++ y x
X xy x
∂
∂τ
∂
∂σ
0=++ y x
Y y xy∂ ∂σ
∂ ∂τ
X = l σx +m τxy ⎫
-
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Ecuaciones de compatibilidad:
Ecuaciones constitutivas:
x xy
Y = l τxy + m σy
⎫⎬⎭
∂ 2εx∂y2+∂2εy∂x2=∂2γ xy∂x∂y
y x z z
z x y y
z y x x
E E
E E
E E
σ σ ν
σ ε
σ σ ν
σ ε
σ σ ν
σ ε
10
1
1
y x z σ σ ν σ
εx =1
E1− ν2( )σx − ν 1+ ν( )σy[
εy =1
E 1− ν2
( )σy − ν 1+ ν( )σx[
γ xy =τxy
G
∆ σx + σy( )= −1
1 − ν∂X∂x+∂Y∂y
⎝⎜ ⎞
⎠
TENSIÓN PLANA:
Las Ecuaciones de equilibrio interno y de equilibrio en el contorno son las mismasque en el caso de deformación plana. Las Ecuaciones de compatibilidad son:
∂ 2εx∂y2+ ∂
2εy∂x2= ∂
2γ xy∂x∂y
∂ 2εz∂ 2= 0⎧
⎪
-
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Ecuaciones constitutivas:
∂y20
∂ 2εz∂x2= 0
∂ 2εz∂x∂y = 0
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
εx =σx − νσy
E
εy = σy − νσxE
γ xy =τxy
G
Estas tres ecuacionesno se han utilizado.La ecuación deducidaes sólo aproximada.
∆ σx + σy( )= − 1 + ν( ) ∂X∂x+∂Y∂y
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
∆ σx + σy( )= −1
1 − ν∂X∂x+∂Y∂y
⎛⎝⎜ ⎞
⎠
∂X ∂Y⎛⎜ ⎞⎟
TENSIÓN PLANA:
DEFORMACIÓN PLANA:
-
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∆ σx + σy( )= − 1 + ν( ) ∂X
∂x +
∂Y
∂y
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
Aspectos de interés:- Sólo una propiedad del material interviene en estas ecuaciones (el coeficiente
de Poisson, ν)- Si la fuerza por unidad de volumen que actúa sobre el sólido fuese constante(por ejemplo, la de la gravedad), las dos ecuaciones anteriores se convertiríanen la siguiente:
∆ σx + σy( )= 0
Sir George Biddell Airy(1801-1892)
FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY
La función de tensión de Airy permite una fácil resolución de los problemaselásticos bidimensionales. Una vez conocida esta función, que la representaremos
por φ(x,y) por ser función de estas dos coordenadas, pueden obtenerse lastensiones mediante un proceso de derivación de la misma.
-
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FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY
∂τ∂σ+ + =∂ ∂
xy xX 0
x y ∂τ ∂σ+ + =∂ ∂
xy y Y 0
x y
Ecuaciones de equilibrio interno (X e Y son valores constantes):
224
2
2
2
2
2
y x y x y x
xy y x
∂∂∂=
∂⋅∂∂−=
∂∂=
∂∂ φ τ σ σ
Derivando respecto de x
Derivando respecto de y
-
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σx =∂2φ∂y 2
σy =∂2φ∂x2
τxy = -∂2φ∂x∂y
- Xy - Yx
Si definimos una función φ (función de tensión o de Airy) de la que se pudiese obtener las tensiones actuantes en el sólido, de tal manera que:
∆ σx + σy( )= 0 ⇒ ∂2
∂x2+∂2
∂y 2
⎝⎜
⎠⎟∂2φ∂y2+∂2φ∂x2
⎝⎜
⎠⎟ = 0
∂4
φ∂x4+ 2 ∂
4
φ∂x2∂y 2
+ ∂4
φ∂y 4= 0 ó ∆2φ = 0
para que estas tensiones fuesen la solución de un problema plano, se tendría que cumplir:
¡La función φ debe ser biarmónica!
Baise Pascal(1623-1662)
FORMAS POLINÓMICAS DE LA FUNCIÓN DE AIRY
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
-
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1 No interesan: x y no dan lugar a tensiones
x 2 xy y2 Funciones
x
3
x
2
y xy
2
y
3
biarmónicasx4 x 3y x2 y2 xy 3 y 4 Funciones
x5 x4y x3y 2 x2 y3 xy4 y5 biarmónicas con solucionescondiciones
1 No interesan: x y no dan lugar a tensiones
x 2 xy y2 Funciones
x
3
x
2
y xy
2
y
3
biarmónicasx4 x 3y x2 y2 xy 3 y 4 Funciones
x5 x4y x3y 2 x2 y3 xy4 y5 biarmónicas con solucionescondiciones biarmónicas con condiciones
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1
φ = ax2 + bxy + cy2
y y
a ≠ 0 b=c=0 b ≠ 0 a=c=0
POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
b
a2
c2
x
y
x
−=
=
=
τ
σ
σ
-
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σ
y
y
x
2c 2c
c ≠ 0 a=b=0
x
2a
2a
x
b
b
c2 x =σ
POLINOMIO DE TERCER GRADO
φ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3
σx=6dy+2cx
σy = 6ax + 2by
τxy = −2bx − 2cy
⎫
⎬⎪
⎭⎪
-
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x
y
x
y
x
y
+ x
y
00 ===≠ cbad 00 ===≠ d cba
00 ===≠ d cab
x
y
x
y
x
y
+ x
y
00 ===≠ cbad 00 ===≠ d cba
00 ===≠ d cab
xy y⎭
POLINOMIO DE CUARTO GRADO
φ = ax4 + bx3y + cx2y 2 + dxy3 + ey4
∆2φ =
∂ 4φ∂x4+ 2
∂ 4φ∂x2∂y 2
+∂4φ∂y4= 24a + 8c + 24e = 0
-
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3a + c + 3e = 0 ⇒ c = -3(a + e)POLINOMIO DE QUINTO GRADO
φ = ax5 + bx 4y + cx3y2 + dx 2y3 + exy 4 + fy 5
∆2φ = 120a+ 24e + 24c( )x + 120f + 24b + 24d( )y = 0
5a + e + c = 0
5f + b + d = 0⎫⎬⎭
CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA
ISOSTÁTICAS Curvas envolventes de las tensiones principales
σx
σx
σy
τxy
τxyθ
Ι
2θ
τ
σΙ
(σx , τxy)
El ángulo θ que forma la direcciónprincipal mayor con el eje x será:
tg 2θ =2τxyσ σ
=2 tg θ1 tg
2θ
-
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σy
xy
(σx , −τxy)
σx − σy 1-tg θ
tg θ =∂y∂x
∂y∂x⎛⎝ ⎞ ⎠
2
+σx − σy
2τxy
∂y∂x⎛⎝ ⎞ ⎠−1= 0
∂y∂x= −σx − σy
2τxy±
σx − σy2τxy
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+1
↓
Las dos familias de isostáticas
Puntos singulares:
-Punto singular, circular o isotrópo
σx = σy τxy = 0- Punto neutro
σx = σy = τxy = 0
-
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x y xy
En las proximidades de estos punto singulares, las isostáticas puedentomar estas formas:
TIPO INTERSECTIVO
TIPO ASINTOTICO
120 MPa
60 MPa
x
y
60º
A
B
C
D
5 0
c m
120 MPa
60 MPa
x
y
60º
A
B
C
D
5 0
c m
60 MPa
x
y
60º
A
B
C
D
5 0
c m
EJEMPLO:
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50 cm50 cm50 cm
x
y
A
B C
D
9,5º
Isostáticas tipo II
Isostáticas tipo I
x
y
A
B C
D
9,5º
Isostáticas tipo II
Isostáticas tipo I
ISOCLINAS: Lugar geométrico de los puntos en los que lastensiones principales son paralelas a una dirección prefijada,y que se denomina parámetro de la isoclina.
tg 2θ =2τxyσ σ
= cteθ
-
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σx− σ
y
ISOSTATICAISOCLINA DE
PARAMETRO θ
Las propiedades de las isoclinas son las siguientes:- Todas las isoclinas pasan por un punto isotrópo.- Sólo puede pasar una isoclina por un punto que no sea isotrópo.- Una isoclina de parámetro θ es idéntica a otra de parámetro- Si un sólido tiene un eje de simetría, y está simétricamente cargado respecto
a dicho eje, el eje de simetría es una isoclina.- En un borde sobre el que no actúan tensiones tangenciales, el parámetro de
una isoclina que lo corta, coincide con el del ángulo de inclinación de latangente al borde en el punto de corte.
θ ±π2
CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA: envolventes de lasdirecciones en las que la tensión tangencial es máxima en cada uno desus puntos.
σxσx
σy
τxy
τ
σ
(σx , τxy)
-
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σy
τxy 2θ
σ
(σx , −τxy)
tg 2θ = −σx − σy
2τxy=
2tg θ1- tg2θ
,, tg θ =∂y∂x
∂y∂x⎛⎝ ⎞ ⎠
2
−
4τxyσx − σy
∂y∂x⎛⎝ ⎞ ⎠ −1= 0
∂y∂x=
2τxyσx − σy
±2τxyσx − σy
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ 1
↓ dos familias
ISOCROMÁTICAS: aquellas curvas en las que la diferencia entrelos valores de las tensiones principales toma un determinadovalor: σ1 - σ2 = cte
τmax =σ1 - σ2
2
-
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ISOBARAS: lugar geométrico de los puntos en los que: σ1 = cte ó σ2 = cte
σx − σy2
±σx − σy
2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠
2
+ τxy2
= cte
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN C