elasticidad y resistencia de materiales i
TRANSCRIPT
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
1/398
CAPTULO 1
TENSIN
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
2/398
Hoy trataremos algn aspecto del diseo
de una vasija o depsito de pared delgada(t/r
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
3/398
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
4/398
F 0=
M 0=
F3
F1 S
f
n
S
dS
fd
S
f
s
rrr =
0
lim
CONCEPTO DE VECTOR TENSIN
Unidades: N/m2=Pa
Como en la prctica 1 Pa es de pequeamagnitud, utilizaremos, en general, MPa
F 3
F2F1
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
5/398
s
lim=normaltensin
0s
nsobrefproyn
rr
=
s
lim=ltangenciatensin0s
sobrefproyr
=
n
df
COMPONENTES INTRNSECAS DEL VECTOR TENSIN
222 =n
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
6/398
Area=A/cos
A
P
Area=A/cos
A
P
Tensiones en una barra sometida a una carga de traccin
P PP P
G
Demos un corte a la barra por una seccin que forma un ngulo
con el plano vertical
La resultante de la distribucin de tensiones debe ser horizontaly pasar por el c.d.g. de la seccin transversal de la barra
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
7/398
Area=A/cos
A
P
Area=A/cos
A
P
x
y
x
y
P N
V
( )
0sincos
090coscos0
=++
=++=
VNP
or
VNP
Fx
( )
0cossin
090sinsin
0
=
=
=
VN
or
VN
Fy
En realidad, las fuerzas N y V sern las resultantes de una distribucin detensiones, las cuales las supondremos uniformes sobre la seccin de corte
Planteando el equilibrio:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
8/398
P N
V
P N
V
sin
cos
PV
PN
=
=
rea de la seccin de corte:cos
AArea =
Como, por definicin, latensin es fuerza divididapor rea:
( ) 2cos12
cos2 +==A
P
A
P
2sin2cossin A
P
A
P
==
P
P
Por tanto:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
9/398
es mxima cuando es 0 180 es mxima cuando es 45 135 maxmax 2
1 =
A
P=max
A
P
2max =
-1
-0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Angle
Stress/(P/A)
Ten
sin
(/0
)
ngulo
A
P=max
0
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
10/398
El signo de la tensin tangencial cambia cuando el ngulo es mayor de 90
Ntese que: ()= -(90+)
P
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
11/398
VASIJAS ESFRICAS A PRESIN
rt2
t
pr
2=
pr
2
Fuerza ejercida porla presin interna:
Fuerza ejercida porla tensin actuante:
De la igualdad entreambas, resulta:
r
r
t
p
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
12/398
Estado tensional en un punto de la vasija
Puntoelstico
t
pr
2=
es mucho mayor que p !
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
13/398
VASIJAS CILINDRICAS A PRESIN
Direcc
inlon
gitudinal
Direccin circunferencial
r
t
h
ha
a
Punto elstico
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
14/398
Clculo de la tensin longitudinal:
art2
Fuerza ejercida porla presin interna:
pr2
Fuerza ejercida porla tensin actuante:
De la igualdad entreambas, resulta:
t
pra
2
=
rt
Punto elstico
p
a
a
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
15/398
Clculo de la tensin circunferencial:
rlp2
Fuerza ejercida porla presin interna:
Fuerza ejercida por
la tensin actuante:
hlt2De la igualdad entre
ambas, resulta:
t
prh =
r
t
l l
p
h
h
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
16/398
Estado tensional en los puntos de la vasija cilndrica:
h es mayor que a, y ambas son mucho mayores que p !
t
prh =
tpra 2=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
17/398
a
a
h=2a
Forma de rotura msprobable
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
18/398
Ejemplo: Determinar el espesor tde la vasija de la figura, realizadacon acero inoxidable austentico, sabiendo que su radio es r y que
contiene un gas a una presin p. Considrese un coeficiente de seguridad .
Tensin mxima:
t
prmx=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
19/398
Y la resistencia a traccin del material?
Volveremos a ello en el captulo 3
Deformacin
Tensin
Hormign Acero
Deformacin
Tensin
u
yu
y
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
20/398
Los elementos estructurales, olos componentes de mquinasdeben ser diseados demanera tal que las tensiones
que se producen en su senosean menores que laresistencia del material.
El factor de seguridad tiene encuenta, principalmente:Las incertidumbres de los valoresde las propiedades del material
La incertidunbre del valor de lascargas actuantesLa incertidumbre del anlisisEl comportamiento a largo plazo delelemento estructuralLa importancia del elementoconsiderado en la integridad de laestructura de la que forma parte
Lgicamente el factor de seguridaddebe ser una cantidad mayor que launidad
COEFICIENTE DE SEGURIDAD
admisibletensinresistenciaCoeficiente de seguridad
adm
R ===
En vasijas a presin, suele oscilar entre 4 y 8
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
21/398
R
admmxt
pr==
R
prt
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
22/398
PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOS
CON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD,TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
23/398
TENSOR DE TENSIONES
x
y
z
P
x
y
z
P
x
y
z
P
z
zy
zx
x
y
z
P
z
zy
zx
y
x
y
z
P
yz
yx
x
y
z
P
x
xz
xy
y
x
y
z
P
yz
yx
y
x
y
z
P
yz
yx
x
y
z
P
x
xz
xy
x
y
z
P
x
xz
xy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
24/398
P
z
y
x
0 zx
zy
xz
xyyx
yzzx
zy
z
y
x
dx
dz
dy
zdy
PUNTO ELSTICO TRIDIMENSIONAL
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
25/398
xejecaraslasenopuestasyigualestensiones0 x = xFyejecaraslasenopuestasyigualestensiones0 y = yFzejecaraslasenopuestasyigualestensiones0 = zzF
zyzyyzx dzdxdydydxdzM === yz00xzxzzxy dxdydzdzdxdyM === zx00
yxyxxyz dydxdzdxdydzM === xy00
P
z
y
x
0zx
zy
xz
xyyx
yz
zx
zy
z
y
x
dx
dz
dy
zdy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
26/398
La igualdad entre las tensiones tangenciales,actuando sobre planos ortogonales entre s,puede demostrarse, por ejemplo, estableciendoel equilibrio de un pequeo paraleleppedo deespesor dz. Apliquemos la fuerza Vx:
Vx=yxdxdz
x
y
dx
dy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
27/398
El equilibrio requiere que,
sobre la cara inferior, acte
una fuerza igual y de signo
contrario, lo que producir
un par:
Este par debe estar equilibrado por
otro (antihorario) consecuencia de
dos fuerzas verticales Vy actuando
sobre las caras verticales:
Vx=yxdxdz
x
y
Vy=xydydz
Vx=yxdxdz
x
y
Vx=yxdxdz
Mz
=Vx
dy=yx
dxdydz
dy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
28/398
( ) ( )xyyx
xyyx dxdydzdydxdz
=
=
Utilizando: = 0zM
obtenemos:
Conclusin:Si sobre un plano en las proximidades de un punto, existe
una tensin tangencial, sobre un plano ortogonal al anteriordebe existir una tensin tangencial del mismo valor.
Vx=yxdxdz
x
y
Vy
=xy
dydz
dy
dx
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
29/398
Teniendo en cuenta que, sobre cada una de las caras
del paraleleppedo infinitesimal considerado (punto elstico),actan tres componentes del vector tensin correspondiente,se obtendran, en total, 18 valores de los que slo hay6 valores diferentes entre s, a saber:
x y z yz zx xy, , , , ,
En un slido, estas componentes, sern funciones continuas
de las coordenadas cartesianas del punto x,y,z.
( ) ( ).......,,,,, zyxzyxxyxyxx
==
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
30/398
= d+d+: zxxy nmdldxEje xx
= d+d+: yzy nmdldyEje xyy
=
d+d+: zyz nmdldzEje zxz
TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERAz
y
x
zx
zy
xz
xyyx
yz
z
y
x
z
y
x
C
B
A
P
u = l i + m j + n k
kji *z*y
*x
*rrrr
++=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
31/398
TENSOR DE TENSIONES(o Tensor de Cauchy)
Augustin-Louis CAUCHY
(1789-1857)
x
y
z
[ ]{
=
x xy zx
xy y yzxz yz z
T[ ]1 244 344
l
mn
rn[ ]{
[ ] [ ]nTrr
=
u
u
*
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
32/398
( ) k)z,y,x(Zj)z,y,x(Yi)z,y,x(Xz,y,xfvrrrr
++=
FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN
y
x
z
dVfFd V = rrintdV
Fuerza interna, porunidad de volumen
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
33/398
Ejemplo 2: slido en movimiento (fuerzas de inercia)
kzjyixadVadmfv
r&&
r&&
r&&rr
r
++=== /
zzyxZyzyxYxzyxX &&&&&& === ),,(,),,(,),,(
Ejemplo 1: slido sometido a la accin de la gravedad segnel eje y
X(x,y,z)yZ(x,y,z)seran nulas y la funcin Y(x,y,z)= -g
( ) jgzyxfvrr =,,y
x
z
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
34/398
ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO
xx x dx
x
= +
xyxy xy
zxzx zx
dxx
dxx
= +
= +
dx
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
35/398
yx
y
yz
y
yx
yz
z
zxzy
z
zx
zy
X +xx
+xyy
+zxz
= 0
Y + xyx
+ yy
+ yzz
= 0
Z +zx
x+yz
y+z
z= 0
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
36/398
ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO
Sobre la superficie exterior del slido (contorno) pueden, o no,actuar tensiones que, directamente, se apliquen al slido
dfFd contorno =rr
z
y
x
d
Fuerza, por unidad
de superficie, en elcontorno
FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUEACTA SOBRE EL CONTORNO
( ) ( ) ( ) kz,y,xZjz,y,xYiz,y,xXf
rrrr
++=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
37/398
PQ
x
y
P
jf
rr
=
Q 0f
rr
=
EJ EMPLO:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
38/398
Y, sin embargo, en los puntos muy prximos a la superficie del slidopueden existir tensiones internas.
En un punto P prximo al contorno del slido, deber existir equilibrio entrelas tensiones y las fuerzas, por unidad de superficie, aplicadas.
x
y
zknjmilurrrr
++=
f
r
yx
y
yz
z
zx
zy
x
xy
zx
nmlX zxxyx ++=
nmlY yzyxy ++=nmlZ zyzzx ++=
Ecuaciones de equilibrio
en el contorno:
Contorno delslido
P
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
39/398
CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA
[ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
T tensor de tensiones en P referido al sistema x, y,z
T tensor de tensiones en P referido al sistema x , y ,z
R matriz del cambio de ejes
u = componentes de un vector unitario respecto al sistema x, y,z
u c
=
=
=
=
r
romponentes de un vertor unitario respecto al sistema x , y ,z
[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]RTRT
RTRTT
T
=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
40/398
x
y
x
y
x
y
[ ]
=
R
cossen
sencos
CASO BIDIMENSIONAL:
y
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
41/398
xyxy
x
y
xy
x
y
xy
=
xy
y
x
22
22
22
yx
y
x
sencoscossencossen
cossen2cossen
cossen2sencos
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
42/398
TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
Sea un slido sometido a un sistema de cargas, P unpunto cualquiera del slido (punto genrico) y [T] elcorrespondiente tensor de tensiones afecto a dicho punto.existir algn plano, que pase por las proximidades
(a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vectortensin correspondiente, sea ortogonal a dicho plano(es decir, que el vector tensin no tenga componente segn
el plano o, lo que es lo mismo, que sobre dicho plano noacta ninguna tensin tangencial)?
n
df
u
df
=0
, ,
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
43/398
[ ] [ ] [ ]T u = rr
[ ] [ ]u = rr
[ ] [ ] [ ]0I- =uTr
Vector tensin en una direccin cualquiera:
Vector tensin en la direccin que buscamos:
knjmilu
rrrr
++=
( )
( )( )
=++
0=n+m+l0=n+m+l
0
zyz
yzy
zx
xy
zxxyx nml
( )
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
44/398
0=
zyzzx
yzyxy
zxxyx
( )
( )( )
=++
0=n+m+l0=n+m+l
0
zyz
yzy
zx
xy
zxxyx nml
Para que este sistema tenga solucin distinta de la trivial:
3 I12 + I 2 I 3 = 0
1 x y z
2 2 2
2 x y y z z x yz zx xy
3
I
I
I T
= + +
= + +
=
Ecuacin caracterstica: Invariantes:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
45/398
Tensiones principales
max int min
321
max
max
min
min
int
int
Direcciones y tensiones principales:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
46/398
Direcciones y tensiones principales:
1 0 0
0 2 0
0 0 3
Tensor de tensiones:
I1 = 1 + 2 + 3I 2 = 12 + 23 + 31I 3 = 123
Invariantes:
1
2 2 22
2 2 23 2
x y z
x y x z y z xy xz yz
y z xy xz yz x yz y xz z xy
I
I
I
= + +
= + +
= +
Las tensiones tangencialessobre los planos principalesson nulas
1
z
y
x
2
3
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
47/398
TENSIN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS
3331321
cahidrostatiI
pzyx =
++=
++==
444 3444 214342144 344 21desviadoracomp.
zyzzx
yzyxy
zxxyx
cahidrostaticomp.tensionesdetensor
'
''
+
00
0000
=
p
p
p
zyzzx
yzyxy
zxxyx
ppp zzyyxx === ';';'
( )27 2792
3
0
321
3
13
21
22
1
IIIIJ
IIJ
J
+=
=
=Invariantes del tensor desviador:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
48/398
yy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
49/398
P
n +
x
y
P
n +
P
nn + +
x
yCul es el lugar geomtrico delextremo del vector tensin total,correspondiente a dicho punto,cuando variemos el ngulo ?
cos
sen
1
2
y
x
11
2
2
2 =yx
Coordenadas del extremo del vector tensin:
CASO TRIDIMENSIONAL:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
50/398
xy
z
=
1 0 00 2 0
0 0 3
lm
n
x= 1 ly= 2 m
z= 3 n
x2
12 +
y2
22 +
z2
32 = 1
CASO TRIDIMENSIONAL:
I1=Suma de las longitudes
de los tres semiejes del elipsoide
I2=proporcional a la suma de lasreas de las tres elipses queintercepta el elipsoide con losplanos principales
I3=proporcional al volumen del
elipsoide
12
3
EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
51/398
Otto MOHR(1835-1918)
BIDIMENSIONALES
-Tensiones normales: positivas si son de traccin-(negativas si fueran de compresin)- Tensiones tangenciales:
+ -
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
52/398
yxy
x
u
y
x
n
Signos a considerar para la construccindel crculo de Mohr:- La tensin normal ser positivasi es de traccin
- La tensin tangencial es positiva si,desde el centro del punto elstico,produjera un giro en sentido horario
>0
n>0 TRACCION
u
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
53/398
x x xy
y xy y
cos
sen
=
2 2
n x xy y
yx
xy
cos sen2 sen
sen2 sen2 cos22 2
= + +
=
y
xy
x
u
y
x
n
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
54/398
x y x y
n xy
x y
xy
cos2 sen22 2
sen2 cos22
+
= +
=
que corresponden a la ecuacin de una circunferencia
(en un plano cuyos ejes fueran y (Plano de Mohr)de centro:
(x+y )/2
y radio:
14(xy )
2+xy2
Existe una correspondencia biunvoca entre cada direccinid l t l ti t di
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
55/398
que consideremos en el punto elstico en estudio y un
punto del crculo de Mohr correspondiente a ese puntoelstico: a cada direccin que pasa por las proximidadesdel punto P le corresponde un punto del crculo de Mohrcuya abcisa es la componente normal del vector tensin
que acta sobre la direccin considerada y cuya ordenadaes la componente tangencial de dicho vector tensin
Una vez dibujado elcrculo de Mohr, puedenobtenerse, por ejemplo,los valores de las tensionesprincipales as como lasdirecciones sobre lasque actan.
C
+0
2,yx
xyx ,
xyy ,
( ) ,2
( )max
( )max
12
PASOS PARA EL DIBUJO DEL CRCULO DE MOHR
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
56/398
A
B
A
B
C
A
B
C
AB
OBTENCIN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
57/398
Direccin
principal 1
Direccinprincipal 2
Planoprincipal 1
Planoprincipal 2 x
y
1
2
xx
y
y
xy
y
x
12
x
y
2
yx +
xy
xy
max
PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
58/398
Obtencin del Polo del Crculo de Mohr:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
59/398
x
y
(x,-xy)
(y,xy)
POLO
Otros aspectos del crculo de Mohr.
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
60/398
Otros aspectos del crculo de Mohr.
A (,)
B
C
A
Direcciones en las que elngulo del vector tensincon la normal al plano sobreel que acta es mximo
A qu direccin representa el POLO del crculo de Mohr?
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
61/398
(x,-xy)
(y,xy)
POLO
SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
62/398
http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html
http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/
http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls
TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS(Problemas bidimensionales)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
63/398
( )
=0
x
y
z
=0
=0
x
y
z
max
max 2
maxIII
=
Direccin deIII
Direccin deIII
=0
max
=0
=0
max
2max
I
=
=0
max
=0
max
2max
II =
I II I IImax Mximo de , ,
2 2 2
=
Direccin deIII
TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
64/398
=
2,
2,
2deMximo 323121max
TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS
(Problemas tridimensionales)
Ms, en la web, sobre crculo de Mohr:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
65/398
http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html
, ,
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
66/398
CAPTULO 2
DEFORMACIN
Al aplicar cargas a un slido, ste se deforma.
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
67/398
Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentrodel slido son pequeasde manera tal que, la geometra del slido
antes y despus de deformarse es, a efectos prcticos, la misma.
Slido deformadoSlido sin deformar
DEFORMACION LONGITUDINAL
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
68/398
DEFORMACION LONGITUDINAL
0
Lll=
xx = posicin geomtricau = desplazamiento experimentado
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
69/398
( )PQ
PQQPlimPx
x
=
0
( )[ ] ( )[ ]PuxQuxxOPOQQP +++==
( ) ( ) uPuQuPQQP ==
( )P
0xx
dxdu
xulimP ==
Configuracinsin deformar
Configuracindeformada
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
70/398
s
ss
AB
=
*lim
nalong
( )
1
1
+
s
s
ss
*
*
a lo largo de n
Slido
no deformado
Slido
deformado
A
B
n
s
A*
B*
s*
DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL,DE CORTE O DE CIZALLADURA
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
71/398
DE CORTE O DE CIZALLADURA
htg yzyz =
yz
yx
z
yz
h
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
72/398
= RPQnguloQPRngulo
PR
PQPlim
= RPQngulo
PR
PQP 2
lim
Configuracinsin deformar
Configuracindeformada
Las tensiones tangenciales actuando en un punto elstico
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
73/398
son la causa de aparicin de las deformaciones angulares.Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientoso acortamientos del punto elstico sino que, simplemente,distorsionan su geometra.
yx
x
y
xy
yx
x
y
xy
2
2
2
+2
Considerando un punto elstico (dimensiones infinitesimales), podemosdeterminar sus dimensiones finales as como los ngulos girados por sus lados
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
74/398
xy
2yz
2zx
2
(1+x)dx (1+y)dy (1+z)dz
Punto elsticoantes de deformarse:
Punto elstico
deformadoy
x
z
dxdy
dz
ydy
zdz
2/yz
CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
75/398
DENTRO DE UN SLIDO
z
y
x
j
i
k P
Q
P*
Q*Q
P
d r d r*
0
P P*
Q Q*
Vector desplazamiento en P = PP* =P
Vector desplazamiento en Q = QQ* =Q
kwjviuPrrrr
++=
kwjviuQ
rrrr
''' ++=
u=u(x,y,z)v=v(x,y,z)w=w(x,y,z)
Funcionescontinuas dex,y,z
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
76/398
Relacin entre (u,y,z) y (u,v,w):
u' = u+
u
x dx+
u
ydy+
u
zdz
v' = v + vxdx + vydy + vzdz
w' = w+ wx
dx + wy
dy+ wz
dz
[ ] rdMPQr
rr
+=
[ ]
=
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
M
Descomposicin de la matriz [M]rr
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
77/398
[ ]
=
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
v z
u
y
u
x
u
M
[ ] [ ]44444444 344444444 2144444444 344444444 21
simtricaDicahemisimtrW
z
w
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
+
+
+
+
+
+
+
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
=
P
Q
P*
Q*Q
P
d r d r*
[ ] rdMPQr
rr
+=
[ ] [ ]( ) rdDWPQr
rr
++=
d
r
r = dr
r +r
Q r
P[ ] [ ] rdDrdWrdrd rrrr ++=
[ ] [ ]( ) [ ] rdDrdWIrdrrr
++=
Descomposicin de movimientos
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
78/398
a) Traslacin de definida por
b) Giro definido por la matriz hemisimtrica
c) Deformacin definida por la matriz
1QPPQ
21 QPQP
QPQP 2
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
79/398
Los pasos a) y b) son comunes (traslacin + giro) paratodos los puntos del entorno del punto P, por lo que noproducen variacin relativa alguna (deformacin) de las
distancias entre el punto P y dichos puntos. Slo el pasoc) es el que produce deformaciones en el entorno delpunto P y el tensor correspondiente, que admite unarepresentacin a travs de la matriz [D] respecto alsistema de coordenadas que estamos empleando,se denomina Tensor de Deformaciones
INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
80/398
TENSOR DE DEFORMACIONES
x =u
x
, y =v
y
, z =w
z
,
xy =uy
+vx
, xz =uz
+wx
, yz =vz
+wy
D[ ]=
x xy2
xz2
xy2
y yz
2 xz2
yz2
z
dyy
u
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
81/398
tg = = vx
tg = =uy
xy = + =uy
+vx
x
y
P A
B
P*A*
B*
vudy
dx
dxxv
xdx
uu
+
dyy
vv
+
DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERAr
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
82/398
Vector deformacin unitaria:
[ ] [ ] [ ] [ ] uDdrrdD
rrlimD
rrDlim 0r0r
v
rrr
r
====
Componentes intrnsecas de :r
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
83/398
Deformacin longitudinal unitaria, n, definida como:
[ ]( )
lnmnlmnml
uuD=u=usobre.proy
xzyzxy
2
z
2
y
2
xn
n
+++++=
=rrrrrr
Deformacin angular unitaria:
n /22n
2n
2
4
1 +=
Relacin:
[ ] uDvr
=
DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTESPara qu direcciones el vector deformacin es perpendicular al plano correspondiente?
yyDireccin 2
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
84/398
=
TICACARACTERISECUACION0ID
0322
13 =+ III
u
yxxyyxxy 2
1
2
1===
[ ][ ] 0
r
r
rr
==uID
uuD
xy//2xy//2
xy//2xy//2 x
x
Direccin 1
0322
13 =+ III
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
85/398
21
2
1
21
2
1
21
2
1
I
zyz
xzx
zyz
yzy
yxy
xyx
2
+
+
=
I zyx1 ++=
DI 3 =
(Invariante lineal)
(Invariante cuadrtico)
(Invariante cbico)
TENSOR DE DEFORMACIONES EXPRESADO
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
86/398
3
2
1
00
0000
EN EJES PRINCIPALES
3213
3132212
3211
=
++=++=
I
II
Invariantes:
RELACIN ENTRE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSINY DEFORMACIN:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
87/398
Para un slido con comportamiento istropo elstico lineal:
Si es cero, es tambin nula: Las direcciones principales de tensinCoinciden con las de deformacin.
G
=
max, max
min, min
int, int
DEFORMACIONES VOLUMETRICA Y DESVIADORA
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
88/398
inicialVol.
inicialVol.-finalVol.eV =
Volumen inicial= dx.dy.dzVolumen final= dx dydz 1+ x( )1+ y( )1+ z( )=
dx dy dz 1+ x + y + z + xy+.......
[ ](zyxV e ++= = I1
=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
89/398
4444 34444 21
44 344 21
4444 34444 21
desviadoraComp
zyzxz
yzyxy
xzxyx
avolumetricComp
V
V
V
ndeformaciodeTensor
zyzxz
yzyxy
xzxyx
e
e
e
.
.'
2
1
2
12
1
'2
12
1
2
1'
00
00
00
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
+
=
VzzVyyVxx
zyxV
eeee
=== ++=
';';'
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
( ) k)(j)(i)(
rrrr
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
90/398
( ) k)z,y,x(wj)z,y,x(vi)z,y,x(uz.y.x ++=Las tres funciones u,v,w (campo de desplazamientos) no pueden expresarsearbitrariamente en funcin de x, y, z, sino que tendrn que verificar unasdeterminadas relaciones para que los campos de desplazamientos y de
deformaciones que experimenta el slido sean fsicamente posibles.
+
=
=
+
+
=
=
+
+
+
=
=
+
zyxzyxzxxz
zyxyxzzyyz
zyxxzyyxxy
xyxzyzzxzzx
xyxzyzyyzzy
xyxzyzxxyyx
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;
CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA (2D)Conocidas las componentes del tensor de deformaciones(x,y,xy/2)en un punto referidas a un sistema cartesiano
d f i x y l l t d
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
91/398
de referencia x,y, veamos cuales son las componentes dedicho tensor respecto de otro sistema cartesiano x,ytal que, el su eje x, forma un ngulo . Llamemos (x,y,xy/2)a las componentes respecto del nuevo sistema de referencia.
x
xyxy
x
yxy
y
xy
/2yx /2x
yy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
92/398
( )
2cos2sen
2sen2
2cos22
2sen2
2cos22
''
'
'
xyyxyx
xyyxyx
y
xyyxyx
x
+=
+=
+
++
=
xy /2
xy /2
yx /2
yx /2
x
CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONES/2/2
24
2''
2
2' Ryxyx
x
+
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
93/398
42 Rx =+
42
R
2xy
2
yx +
=
yx
x
y
xy
2
2
xy
xy
CRITERIO DE SIGNOS:
y
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
94/398
x
y
xy
x
y
/2
Direccin y
Direccin x
12
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
95/398
CAPTULO 3
COMPORTAMIENTO
MECNICO DE MATERIALES
ut Tensio sic Vis
ENSAYO DE TRACCIN
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
96/398
Probeta plana
Probeta cilndrica
0AFS =
A = rea de la seccin transversal del fuste de la probeta
Tensin ingenieril
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
97/398
0lle
A0 rea de la seccin transversal del fuste de la probeta
Deformacin ingenieril
AF
A = rea real de la seccin transversal del fuste en unmomento dado
Tensin verdadera
ldld =Deformacin infinitesimal verdadera
0ln ll
( ) ( )eyeS +1ln1
Qu forma tienen las curvas tensin ingenieril-deformacin?
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
98/398
Deformacin
Tensin
Hormign Acero
Deformacin
Tensin
u
y
u
y
La curva tensin-deformacinTensiones importantes que aparecen en la curva.
Lmite elstico (y) a partir de este punto el material deja det l ti t i d d i t
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
99/398
e e s co (y) a pa de es e pu o e a e a deja decomportarse elsticamente, apareciendo, caso de incrementarla tensin, deformaciones remanentes en el material
Tensin ltima o resistencia a traccin (u) a partir de estepunto, se produce inestabilidad (estriccin)
Tensin de rotura (R)
uRy
Estriccin
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
100/398
Curva tensin-deformacin (cont)
Dominio elstico (Puntos 1 2)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
101/398
Dominio elstico (Puntos 1 2)- Una vez retirada la tensin, el material recupera
su forma geomtrica original
- Existe proporcionalidad entre tensiones ydeformaciones
: Tensin (MPa)E : Mdulo de elasticidad(Mdulo deYoung) (MPa)
: Deformacin (adimensional)
- Punto 2 : L mite de fluencia: a partir de este punto,si cesa de actuar la tensin, la probeta sufre deformacionespermanentes. (Si se sobrepasara este punto, la probetano recuperara sus dimensiones originales)
E =
E =
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
102/398
Endurecimiento por deformacinSi la probeta fuesedenuevocargadadesdeel punto 4 la
Curva tensin-deformacin (cont)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
103/398
p- Si la probeta fuese de nuevo cargada desde el punto 4, la
curva sera la que une los puntos 4 y 3, y que tendra unaPendiente idntica al mdulo de elasticidad.
- El material poseera, en el punto 3, un lmite elstico mayor.- Este incremento del lmite elstico aparente del material,
como consecuencia de un proceso de deformacin previo, sedenominaEndurecimiento por deformacin.
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
104/398
Qu diferencias observaramos si dibujramos la curva tensin-
deformacin utilizando tensiones y deformaciones ingenieriles
o verdaderas?
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
105/398
Tensin
Deformacin
Tensinverdadera
Tensiningenieril
Aqu, s esimportantela distincin
En la zona enla que vamos a trabajarno hay diferencias
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
106/398
E =Ley de Hooke
E=mdulo de Young o de elasticidad
Existen materiales en los que la parte lineal de la curvatensin-deformacin no aparece.
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
107/398
Material E (GPa)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
108/398
Material E (GPa)
Acero 210
Hormign 25
Aluminio 70
Material Lmite elstico(MPa)
Tensin de rotura(MPa)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
109/398
(MPa) (MPa)
Acero AISI 1020 205-350 380-600
Aluminio 2024-T6 345 427
Aluminio 7076-T61 470 510
Titanio 11 (Ti-6Al-2Sn-1.5Zr-1Mo-
0,35Bi-0,1Si)
930 1030
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
110/398
EFECTO POISSON
lR Simeon Poisson
(1781-1840)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
111/398
R
R
ll
T
L
=
=
=cargaladeaplicacindelaaortogonaldireccinlasegnndeformaci
=cargaladeaplicacindedireccinlasegnndeformaci0
LT =
Para la mayora de los metales este coeficiente vara entre 0,28 y 0,32
L1 L2
EL ENSAYO DE CORTADURA
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
112/398
Q
h
21LL
Qmedia =
GLL
hQ
GLL
Qhh
GLL
Q
G
media
2121
21
tantan ==
==
G=
y
xy
x
SSSSSSSSSSSS
262524232221
161514131211
ECUACION CONSTITUTIVA DE UN MATERIAL
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
113/398
=
zy
zx
yx
z
y
zy
zx
yx
z
SSSSSS
SSSSSSSSSSSS
SSSSSS
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
2
2
2
Material con comportamiento istropoLas tensiones tangenciales no causan deformaciones longitudinales y
las tensiones normales no causan deformaciones angulares:
S14 = S15 = S16 = S24 = S25 = S26 = S34 = S35 = S36 = 0
S41 = S42 = S43 = S51 = S52 = S53 = S61 = S62 = S63 = 0
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
114/398
x
SSS
000
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
115/398
=
zy
zx
yx
z
y
x
zy
zx
yx
z
y
SS
S
SSS
SSS
SSS
44
44
44
111212
121112
121211
0000000000
00000
000
000
000
2
2
2
LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
116/398
E
E
E=
E
E
E=
E
E
E
z
y
y
z
X
Xz
z
x
y
x
X
Xy
z
z
y
y
X
X
===
=
=
=
===
=
DEFORMACIONES ANGULARES
0 zyx ==
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
117/398
( )
( )
E
+1=
E
+1-=
0z
y
x
yx
+
+==
+
1
1
1
OA
OB
24tg
x
yy
/2
B*
B
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
118/398
( ) ( ) +=+=
+
+=
+
=
+
E
12
E
12
1
1
21
21
2tg
4tg1
2tg
4tg
Despejando
x
y
44 344 21
xo45
A* A
G =
G =E
2 1 + ( )
( )EE ZYX
X +
=
LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
119/398
( )
( )
G
G
G
EE
EE
zyzy
zxzx
yxyx
yx
z
z
Zx
y
y
=
=
=
+
=
+
=
xvx
G2G2e
+=
ECUACIONES DE LAMGabriel Lam
(1795-1870)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
120/398
zyzy
zxzx
yxyx
zvz
yvy
G
G
G
G2e
G2e
=
=
=+=
+=
zyxve ++= ( )( ) ( )
+12
E=G
21+1
E=
DEFORMACIN VOLUMTRICA
p 0 inicialVolumenV =
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
121/398
Mdulo de deformacin volumtrica, K :
VV
pK
/=
V
p
V00
0
VVV
finalVolumenV
=
=
Para materiales metlicos:
EKEG
8
3
3
1
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
122/398
CAPTULO 4
PLANTEAMIENTO GENERALDEL PROBLEMA ELSTICO
INCGNITAS Y ECUACIONES DEL PROBLEMA ELSTICO
Incgnitas: Desplazamientos (u,v,w), Tensor de tensiones (x,y,z,xy,xz,yz)y Tensor de Deformaciones (x,y,z,xy,xz,yz) 15 incgnitas!Ecuaciones:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
123/398
+ + + =
+ + + =
+ + + =
xyx xzX 0x y z
xy y yzY 0
x y z
yzxz zZ 0x y z
= + +
= +
= +
2 yz xyx xz2y z x x y z
2y yz xyxz2
z x y x y z
2yz xyz xz2
x y z x y z
= +
= +
= +
2 22yz yz
2 2y z y z
2 2 2zx x z
2 2z x z x2 2 2
xy y x2 2x y x y
= +
= +
= +
x ( )x y zE E
y( )
y x zE E
z ( )
z x yE E
=
=
=
/Gxy xy
/Gzx zx
/Gyz yz
= +
= +
= +
e 2Gx v x
e 2Gy v y
e 2Gz v z
=
=
=
Gxy xy
Gzx zx
Gzy zy
Ecuaciones:
Equilibrio interno: Compatibilidad:
Constitutivas:
15 ecuaciones!
FORMULACION EN DESPLAZAMIENTOS:ECUACIONES DE NAVIER:
ClaudeLouisMarie Henri
NAVIER(1785-1836)Incgnitas: Los desplazamientos u,v,w encualquier punto del slido
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
124/398
cualquier punto del slido
+ + + =
+ + + =
+ + + =
r
r
r
X ( G) (div ) G u 0x
Y ( G) (div ) G v 0y
Z ( G) (div ) G w 0z
+ + + =
r r rr r
f ( G) gra d (div ) G 0v
Ecuacin fundamentalde la Elasticidad:
kwjviu
rrrr
++=donde:
FORMULACION EN TENSIONES:ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI
JohnHenry MICHELL(1863-1940)
Incgnitas: Las tensiones x,y,z,xy,xz,yzen cualquier punto del slido
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
125/398
+ =
+
+ = +
+ = +
r
r
r
2I1 X1 div f 2x v21 1 xx
2I1 Y1 div f 2y v21 1 yy
2I1 Z1 div f 2z v21 1 zz
+ = +
+
+ = +
+
+ = ++
2I1 Y Z1 ( )yz 1 y z z y
2I1 Z X1 ( )zx 1 z x x z
2I1 X Y1 ( )xy 1 x y y x
Ecuaciones de Michell:
en cualquier punto del slido
Ecuaciones de Beltrami: Eugenio BELTRAMI
(1835-1900)
Vf =constante
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
126/398
Vf = constante
+ + =
+ + =
+ + =
2I1(1 ) 0
x 2x2I
1(1 ) 0y 2y
2I1(1 ) 0
z 2z
+ + =
+ + =
+ + =
2I1(1 ) 0
yz y z2I
1(1 ) 0zx z x
2
I1(1 ) 0xy x y
ENERGA DE DEFORMACIN
x
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
127/398
F
Consideremos un muelle sometido a una fuerza F.F es proporcional al desplazamiento x: F=k.x
Determinemos el trabajo realizado por la fuerza cuando F= Fo:
ooxFW2
1=
Esta energa (trabajo) es almacenada por el muelle y liberadacuando la fuerza cesa de actuar.
Si repitiramos la misma experiencia con una barra:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
128/398
= +
== = = l l l
o oo ol lo
1U F dl F l2
Trabajo realizado por la fuerza externa (U) =Energa potencial almacenada en el slido
Elongacin
Ca
rga
F0
l0
Trabajoexterno
F
l0
l
Area = AVolumen = Al0
o oF A=
l l00
2
1AlU =
= +
== = = l l l
o oo ol lo
1U F dl F l
2
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
129/398
F
l0
Deformacin
T
ensin
F0/A
l0 /l0
Densidad
de energa dedeformacin,
E
o ol l = 00
2
densidad de energa =energa elstica almacenadapor unidad de volumen:
1
2 =
Como E = 2
21 E2 2E
= =
ENERGA DE DEFORMACIN POR CORTANTEENERGA DE DEFORMACIN
ya Consideremos un cubo de material
sometidoaunatensincortante que
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
130/398
xaa
sometido a una tensin cortantexyquecausa una deformacin angular xy
y
x
( ) ( ) 322
1
2
1aaaU xyxyxyxy ==
= xya
xy
xyxyxyxy aa 2
1/
2
1 33 ==
xy
DENSIDAD DE ENERGA (CASO GENERAL)
( ) +++++1
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
131/398
( )xzxzyzyzxyxyzzyyxx +++++=
2
( ) ( ) ( )2222222
1
2
1xzyzxyxzzyyxzyx
GEE
+++++++=
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2V x y z xy yz xz1 1
e G G2 2
= + + + + + +
V x y ze = + +
0
Expresando las deformaciones en funcin de las tensiones (Leyes de Hooke):
Expresando las tensiones en funcin de las deformaciones (Ecuaciones de Lam):
Solucin 1 Solucin 2 ' ' '' ''
UNICIDAD DE LA SOLUCION DE UN PROBLEMA ELASTICOConsideremos un slido sobre el que actan fuerzas internas (X,Y,Z) por unidad
de volumen y fuerzas sobre su contorno (X,Y,Z). Supongamos que existen dos
soluciones diferentes:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
132/398
,......., ,.........x xy ,......., ,.........x xy
Ecs. Equil ibrio interno Ecs. Equil ibrio interno(Solucin 1) (Solucin 2)
0=+++zxz'
y
xy'
xx'X
0=+++
zxz''
y
xy''
xx''X
.....................
.....................
.....................
.....................Ecs. Equilibrio contorno Ecs. Equilibrio contorno(Solucin 1) (Solucin 2)
nxz'mxy'lx'X ++= nxz''mxy''lx''X ++=
.....................
...............................................................
+ Ecs. Compatibilidad + Ecs. Compatibilidad(Solucin 1) (Solucin 2)
0=+
+
z
)xz''xz'(
y
)xy''xy'(
x
)x''x'(
0)'''()'''()'''( =++ nxzxzmxyxylxx
.....................
.....................
.....................
Restando las ecuaciones anteriores:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
133/398
+ 6 Ecs. Compatibilidad que contienen x'
x''
,.........,xy
'
xy''
,..........
.....................
El resultado que hemos obtenido es equivalente a decir que se ha encontrado unanueva distribucin tensional (diferencia entre los estados tensionales de lassoluciones 1 y 2), que verifica todas las ecuaciones del problema elstico, para elcaso de que el slido se encuentre libre de cargas actuantes sobre l (fuerzasinternas y de contorno nulas). Esto implica que el trabajo realizado por tales fuerzases nulo, ya que las fuerzas actuantes resultan ser nulas y, por tanto, la energaelstica almacenada, o su correspondiente densidad de energa, debiera sertambin nula, por lo que:
0)2,,,2,,,2,,,(21)2,,,2,,,2,,,(2,,,
21 =++++++= xzyzxyGzyxGve
.,.........'''''',,.........'''''' xyxyxyxxx ==Donde:
.,.........'''0''',,.........'''0''' xyxyxyxxx ====
''',.......,''' xyxyxx ==
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
134/398
no pueden existir dos soluciones distintas para un mismo problema elstico!
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
z
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
135/398
y
x ESTADO 1 ESTADO 2
'x...............'xy..................
'x................ 'xy ...................
''x ...............''xy..................
''x................''xy...................
ESTADO 1+2
x = 'x +''x...............xy = 'xy +''xy ...............
x = 'x +''x ................ xy = 'xy +''xy ...............
EJEMPLO:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
136/398
q q
SAINT VENANT(1797-1886)
PRINCIPIO DE SAINT-VENANT
F1 F2
F3
F4
F5
Supongamos un mismo slido sometido, en las mismasregiones, a dos sistemas de cargas mecnicamente
equivalentes:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
137/398
Principio de Saint-Venant: los estados tenso-deformacionales producidos por ambossistemas de cargas en cualquier punto del slido suficientemente alejado de la zona en
la que se aplican ambos sistemas (a distancias muy grandes en relacin con las propiasdimensiones de la zona de la superficie sobre la que actan el sistema de cargas 1 el 2), son, a efectos prcticos, idnticos.
Md
F
ESTADOS TENSO - DEFORMACIONALES IDENTICOSSI M =F.d
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
138/398
CAPITULO 5
ELASTICIDAD PLANA
Supongamos el slido de la figura, que posee forma cilndrica con sus generatricesparalelas al eje z, y que se encuentra sometido a la accin de las cargas indicadas.El valor de dichas cargas es independiente de la coordenada z, as como sus
componentes en dicha direccin (fuerzas distribuidas y de superficie paralelas alplano x-y).
y
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
139/398
Las ecuaciones de la Elasticidad, y la correspondiente solucin del problema,
se pueden plantear utilizando, solamente, las coordenadas (x,y).
z
x
yxy
y
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
140/398
xx
y
xy
xy
xy
dx
dyx
Tensionesen el planox-y
v
x
u
x
=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
141/398
x
v
y
u
y
v
xy
y
+
=
=
Deformaciones en el plano x-y
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
142/398
TENSIN PLANA: Slo son distintas de cero las componentes, en elPlano, del tensor de tensiones.
Componentes tensionales no nulas: xyyx ,,dAh
y
xy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
143/398
Hiptesis:- h
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
144/398
Hiptesis:- w=0-Las dos caras del slido no sufrendesplazamientos segn z- Las fuerzas interiores por unidad de volumeny las aplicadas en el contorno perimetral delslido no dependen de la coordenada z- u,v son funciones de slo x e y
dA
x
y
z
x
xy
y
x
xy
xy
z
dA
1) Un estado tensional en el que la tensin normal y las tensionestangenciales actuantes sobre las caras de la pieza son nulas.
2) Si x-y es el plano del slido bidimensional, las nicas componentes del
TENSIN PLANA
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
145/398
tensor de tensiones no nulas son: x,y ,xy
3)Las componentes: z ,xz ,yz seran nulas
u = u(x,y)
v = v(x,y)
w 0
D[ ]=
x xy
2 0
xy2 y 0
0 0 z
T[ ]=x xy 0
xy y 0
0 0 0
Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones
DEFORMACIN PLANA1) Un estado deformacional en el que la deformacin longitudinal y lasdeformaciones angulares correspondientes a un plano paralelo a la seccin
transversal de la pieza son nulas.
2) Si x-y es el plano de la seccin transversal de la pieza las nicascomponentes del tensor de deformaciones no nulas son: x , y , xy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
146/398
p x y xy
3) Las componentes : z , xz , yz seran nulas.
u= u (x,y)
v= v (x,y)
w=0
T[ ]=x xy 0
xy y 0
0 0 z
Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones
D[ ]=
x
xy
2 0
xy
2 y 0
0 0 0
DEFORMACIN PLANA:
Ecuaciones de equilibrio interno:
Ecuaciones de equilibrio en el contorno:
0=++yx
Xxyx
0=++yx
Y yxy
X = l x +m xy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
147/398
Ecuaciones de compatibilidad:
Ecuaciones constitutivas:
x xy
Y = l xy + m y
2xy2+2yx2=2 xyxy
( )( )
( )yxzzzxyy
zyxx
EE
EE
EE
+++
10
1
1
( )yxz +
x =1
E1 2( )x 1+ ( )y[
y =1
E 1 2
( )y 1+ ( )x[
xy =xy
G
x + y( )= 1
1 Xx+Yy
TENSIN PLANA:
Las Ecuaciones de equilibrio interno y de equilibrio en el contorno son las mismasque en el caso de deformacin plana. Las Ecuaciones de compatibilidad son:
2xy2+
2yx2=
2 xyxy
2z 2= 0
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
148/398
Ecuaciones constitutivas:
y20
2zx2= 0
2zxy = 0
x =x y
E
y = y xE
xy =xy
G
Estas tres ecuacionesno se han utilizado.La ecuacin deducidaes slo aproximada.
x + y( )= 1 + ( )Xx+Yy
x + y( )= 1
1 Xx+Yy
X Y
TENSIN PLANA:
DEFORMACIN PLANA:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
149/398
x + y( )= 1 + ( )X
x +
Y
y
Aspectos de inters:- Slo una propiedad del material interviene en estas ecuaciones (el coeficiente
de Poisson, )- Si la fuerza por unidad de volumen que acta sobre el slido fuese constante(por ejemplo, la de la gravedad), las dos ecuaciones anteriores se convertiranen la siguiente:
x + y( )= 0
Sir George Biddell Airy(1801-1892)
FUNCION DE TENSIN O DE AIRY
La funcin de tensin de Airy permite una fcil resolucin de los problemaselsticos bidimensionales. Una vez conocida esta funcin, que la representaremos
por(x,y) por ser funcin de estas dos coordenadas, pueden obtenerse lastensiones mediante un proceso de derivacin de la misma.
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
150/398
FUNCION DE TENSIN O DE AIRY
+ + =
xyxX 0
x y + + =
xy yY 0
x y
Ecuaciones de equilibrio interno (X e Y son valores constantes):
224
2
2
2
2
2
yxyxyx
xyyx
=
=
=
Derivando respecto de x
Derivando respecto de y
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
151/398
x =2y 2
y =2x2
xy = -2xy
- Xy - Yx
Si definimos una funcin (funcin de tensin o de Airy) de la que se pudiese obtenerlas tensiones actuantes en el slido, de tal manera que:
x + y( )= 0 2
x2+2
y 2
2y2+2x2
= 0
4
x4+ 2
4
x2y 2
+ 4
y 4= 0 2 = 0
para que estas tensiones fuesen la solucin de un problema plano, se tendra que cumplir:
La funcin debe ser biarmnica!
Baise Pascal(1623-1662)
FORMAS POLINMICAS DE LA FUNCIN DE AIRY
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
152/398
1 No interesan:x y no dan lugar a tensiones
x 2 xy y2 Funciones
x
3
x
2
y xy
2
y
3
biarmnicasx4 x 3y x2 y2 xy 3 y 4 Funciones
x5 x4y x3y 2 x2 y3 xy4 y5 biarmnicas con solucionescondiciones
1 No interesan:x y no dan lugar a tensiones
x 2 xy y2 Funciones
x
3
x
2
y xy
2
y
3
biarmnicasx4 x 3y x2 y2 xy 3 y 4 Funciones
x5 x4y x3y 2 x2 y3 xy4 y5 biarmnicas con solucionescondicionesbiarmnicas con condiciones
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1
= ax2 + bxy + cy2
y y
a 0 b=c=0 b 0 a=c=0
POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
b
a2
c2
x
y
x
=
=
=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
153/398
y
y
x
2c 2c
c 0 a=b=0
x
2a
2a
x
b
b
c2x =
POLINOMIO DE TERCER GRADO
= ax3 + bx2y + cxy2 + dy3
x=6dy+2cx
y = 6ax + 2by
xy = 2bx 2cy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
154/398
x
y
x
y
x
y
+ x
y
00 === cbad 00 === dcba
00 === dcab
x
y
x
y
x
y
+ x
y
00 === cbad 00 === dcba
00 === dcab
xy y
POLINOMIO DE CUARTO GRADO
= ax4 + bx3y + cx2y 2 + dxy3 + ey4
2 =
4x4+ 2
4x2y 2
+4y4= 24a + 8c + 24e = 0
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
155/398
3a + c + 3e = 0 c = -3(a + e)POLINOMIO DE QUINTO GRADO
= ax5 + bx 4y + cx3y2 + dx 2y3 + exy 4 + fy 5
2 = 120a+ 24e + 24c( )x + 120f + 24b + 24d( )y = 0
5a + e + c = 0
5f+b + d = 0
CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA
ISOSTTICAS Curvas envolventes de las tensiones principales
x
x
y
xy
xy
2
(x , xy)
El ngulo que forma la direccinprincipal mayor con el eje x ser:
tg 2 =2xy
=2 tg 1 tg
2
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
156/398
y
xy
(x , xy)
x y 1-tg
tg =yx
yx
2
+x y
2xy
yx1= 0
yx= x y
2xy
x y2xy
2
+1
Las dos familias de isostticas
Puntos singulares:
-Punto singular, circular o isotrpo
x = y xy = 0- Punto neutro
x = y = xy = 0
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
157/398
x y xy
En las proximidades de estos punto singulares, las isostticas puedentomar estas formas:
TIPO INTERSECTIVO
TIPO ASINTOTICO
120 MPa
60 MPa
x
y
60
A
B
C
D
50
cm
120 MPa
60 MPa
x
y
60
A
B
C
D
50
cm
60 MPa
x
y
60
A
B
C
D
50
cm
EJEMPLO:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
158/398
50 cm50 cm50 cm
x
y
A
B C
D
9,5
Isostticas tipo II
Isostticas tipo I
x
y
A
B C
D
9,5
Isostticas tipo II
Isostticas tipo I
ISOCLINAS: Lugar geomtrico de los puntos en los que lastensiones principales son paralelas a una direccin prefijada,y que se denomina parmetro de la isoclina.
tg 2 =2xy
= cte
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
159/398
x
y
ISOSTATICAISOCLINA DE
PARAMETRO
Las propiedades de las isoclinas son las siguientes:- Todas las isoclinas pasan por un punto isotrpo.- Slo puede pasar una isoclina por un punto que no sea isotrpo.- Una isoclina de parmetro es idntica a otra de parmetro- Si un slido tiene un eje de simetra, y est simtricamente cargado respecto
a dicho eje, el eje de simetra es una isoclina.- En un borde sobre el que no actan tensiones tangenciales, el parmetro de
una isoclina que lo corta, coincide con el del ngulo de inclinacin de latangente al borde en el punto de corte.
2
CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA: envolventes de lasdirecciones en las que la tensin tangencial es mxima en cada uno desus puntos.
xx
y
xy
(x , xy)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
160/398
y
xy 2
(x , xy)
tg 2 = x y
2xy=
2tg 1- tg2
,, tg =yx
yx
2
4xyx y
yx 1= 0
yx=
2xyx y
2xyx y
2
+ 1
dos familias
ISOCROMTICAS: aquellas curvas en las que la diferencia entrelos valores de las tensiones principales toma un determinadovalor: 1 - 2 = cte
max =1 - 2
2
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
161/398
ISOBARAS: lugar geomtrico de los puntos en los que: 1 = cte 2 = cte
x y2
x y
2
2
+ xy2
= cte
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADASPOLARES
El punto elstico en coordenadas polares:
xy
y
x
xyxy
yy
xxCoordenadas
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
162/398
r
y
x
x
y
xyxx
yy
xyxy
r
r
r
r
r
r
r
r
cartesianas
Coordenadaspolares
r: tensin radial: tensin circunferencialr: tensin tangencial o cortante
r
y
v , f u , fr
DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS POR UNIDAD DE VOLUMEN:
u = u (r,)v = v (r,)
Campo de desplazamientos:
Fuerzas internas por unidad de volumen:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
163/398
xo
fr = fr (r,)fq= fq (r,)
TENSIONES EN UN PUNTO ELASTICO
x
TENSOR DE TENSIONES
z
r
rr
00
0
0
Tensin plana: z=0Deformacin plana z=0
Se sigue verificandoel teorema de reciprocidad
de las tensionestangenciales:
rr =
r r
ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO:
dr
r
+
drrr
r +
r
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
164/398
( ) 02
2 =+
++
++ drrdf
ddrdrddrddrrdr
rrd r
rrr
rrr
( ) 02
2 =+++
++
++ drrdfdr
dddrrdr
rrddrddr r
rrr
Segn r:
Segn :
r
rr +1rr +
r r+ fr = 0
1 r r
ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO (Cont.):
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
165/398
r + r + 2 r + f = 0
DEFORMACIONES:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
166/398
r =ur
= 1rv +
ur
r =vr+
1
r
u
v
r
r =PA PA
PA=
dr+ u +ur
dr u
dr
dr=ur
=PB PB
PB=
v +vd + rd v
rd
rd+
u
r=
1
r
v+
u
r
r = 1 +2 =
vr
drv
rdr
dr+
u
d
rd
ECUACIONES CONSTITUTIVAS:
( )E
zr
r
++
-
E-
( )
+=
=
rz
z
E
0Tensin plana:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
167/398
( )G
E
rr
z
=
rE
0z
rz
=
+=
Deformacin plana:
rz = z = 0
rz = z = 0
I1r = r + + z = cte
D.P. Z = r+ ( )T.P. Z = 0 r+ = cte
PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA ELSTICO:
x + y = r+
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
168/398
y
( )+=+ ryxDEFORMACIN PLANA:
( )
r
ff
rr
ffdiv
rrrr
fdiv
rrv
vr
++
=
+
+
=
=+
1
11
1
1
2
2
22
2
r
r
r + ( )= 0
fr = 0f= cte.
TENSIN PLANA:
r + ( )= (1 + ) divfv
r + ( )= 0
FUNCIN DE TENSIN O DE AIRY
= (r,)=
r =1
+12
22
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
169/398
rr r =
2r2
r =1
r2 1
r2r
= r
1
r
2 = 2
r2+ 1
rr+ 1
r2
2
2
2
r2+ 1
rr+ 1
r2
2
2
= 0
++++++++= 11
3
11
0
2
0
2
0
2
00 cosln1
senlnln rrdcrbra
erdrrcrbra
EXPRESIN GENERAL DE LA FUNCIN DE TENSINO DE AIRY:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
170/398
=
+
=
+
++++
+
++++
+++
2 2
2
22
2
11
3
11
sen11
cos11
senln1
cos2
2
n nnnn
n
n
n
n
nnnnn
n
n
n
n
nr
hr
grfre
nr
dr
crbrarrgr
frerc
r
DISCO GIRATORIO
rfr2=
r r f 0
Ecuacin de equilibrio interno:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
171/398
r+ r + fr= 0
( ) 0rrdr
d 22r =+
r r = F
=dF
dr+ 2r2
r = C +C11
r2
3 + 8
2r2
= C C11
r2
1 + 38
2r2
DISCO MACIZO SIN TENSIONES SOBRE SU CONTORNO
r =3 +
8
2 (R2 r2 )
=3 +
82R2
1 + 38
2 r2r= 0, ( r)max = ( )max =
3 + 8
2
R
2
DISCO CON UN AGUJERO DE RADIO a
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
172/398
( r) r=a = 0 ( r)r=R = 0
r =3 +
82 R2 + a2
a2 R2
r2 r2
=3 +
82 R2 + a2
a2 R2
r2
1+ 33+
r2
( r)max r= aR ( r)max =3+
82 R a( )2
( )max r= a ( )max =
3+ 4
2
b2
+
1 3+ a
2
( )max > ( r)max
Si a 0 ( )max 2( )maxdisco macizo
a
TUBO CIRCULAR SOMETIDO A PRESION
p2
p1
= r( )= A ln r+ B r2 ln r+ C r2 +D
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
173/398
rr1
r2 r =1
r22 r1
2r1
2p1 r22p2 +
r12 r2
2
r2p2 p1( )
=1
r22 r1
2 r12p1 r2
2p2
r12r22
r2 p2 p1( )
r
= 0
0 0 0
AGUJ ERO EN MACIZO INDEFINIDO RODILLO
TUDO DE PARED DELGADA
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
174/398
r2 = p2 = 0
r = = r1
2
r2p1
r1 = 0 p1 = 0
r = = p2 (estado equitensional)
( ) ( )
( )
0
2
21
12122
12
2
22
2
2
1
==
=
=+=
rr
e
rpp
errrrrrr
rrr
CUA CON CARGA EN LA PUNTA
= N + P + M
N = A r sen
P = B r cos
1
FUNCIN DE AIRY:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
175/398
M = C1
2sen2 cos2
r =1
r
r+
1
r222= 2A
cosr 2B
senr 2C
sen2r2
=2r2 = 0
r = r
1
r
=
c
r2 cos2 cos2( )
= r = 0 = 0
CAMPO TENSIONAL:
CONDICIONES DE CONTORNO:
N = (rcos
r sen) r d
P = (rsen
r cos) r d
M = r r2
d
A =N
2 + sen2
B =-P
2 sen2
C = Msen2 - 2 cos2
CILINDRO SOMETIDO A DOS CARGASA LO LARGO DE GENERATRICES OPUESTAS(PROBLEMA DE HERTZ)
HeinrichRudolfHERTZ
(1857-1894)
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
176/398
x = 2P
cos1 sen
21r1
+cos2 sen
22r2
1
D
y = 2P
cos31
r1+
cos3 2
r2
1
D
xy = 2P
cos
22 sen2r2
+cos
21 sen1r1
PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO CIRCULAR
En puntos muy alejados del agujero
(Principio de Saint-Venant):
x
yxy
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
177/398
00 === xyytx
x
r
r r =
t2+ t2
cos2
=
t2
t2 cos2
r = t2+ sen2
r
r
r
2t
r = t
2+ t
2cos2
= t2 t2
cos2
r
= t2+ sen2
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
178/398
Del Estado I (tubo sometido a presiones) conocemos su solucin:
rI =t2
1R2
r2
I = t2
1+R2
r2
rI = 0
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
179/398
La solucin Estado II es algo ms complicada. La funcin de Airy de esteproblema se conoce y de ella pueden obtenerse las tensiones:
= Ar2
+Br4
+
C
r2 + D cos2
rII =
1
r
r+
1
r222= 2A +
6C
r4+
4D
r2
cos2
II =
2
r2= 2A + 12Br2 + 6C
r4
cos2
rII =
r
1
r
= 2A + 6Br2
6C
r4
2D
2
sen2
= I + II
= Ar2 +Br4 +C
r2+ D
cos2
rII = 1r r +1r2
2
2 = 2A + 6Cr4 +
4Dr2
cos2
rI = t21 R
2
2
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
180/398
r = r+ r
= I +
II
r = rI + r
II
Las constantes A, B, C y D se determinan imponiendo las siguientescondiciones de contorno:
rr r2 2 r4 r2
II =2r2= 2A + 12Br2 +
6C
r4
cos2
rII =
r
1
r
= 2A + 6Br2
6C
r4
2D
2
sen2
2 r2
I = t2
1+R2
r2
rI = 0
r= R r= 0 r = 0r= r = t r = 0
( )
( )
( )
+
=
+
+
=
+
+
=
2senr
R2
r
R31
2
2cos
r
R31
2r
R1
2
2cosr
R4
r
R31
2r
R1
2
2
2
4
4t
r
4
4t
2
2t
2
2
4
4t
2
2t
r
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
181/398
r = 0
= t 2 t cos2
r = 0
Para r=R: ( )max = 3 t cuando =2
Para : = 2 r =
3 t2
R2
r2
R4
r4
= t2
2 +R2
r2 + 3
R4
r4
r = 0
2cos4312
12 2
2
4
4
2
2
++
=
r
R
r
R
r
R tt
r
( )
( )
+
+=
+
+
=
2cosrR31
2rR1
2
2cosr
R4
r
R31
2r
R1
2
4
4
t2
2
t
2
2
4
4t
2
2t
r
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
182/398
2sen2312
2cos312
12
2
2
4
4
4
4
2
2
+=
+
+=
r
R
r
R
r
R
r
R
t
r
tt
( )
( )
+
=
2senr
R2
r
R31
2
r2r2
2
2
4
4t
r
r = t 1 +3R4
r4 4
R2
r2
cos2
= - t 1+ 3 R4
r4
cos2
r = t 1- 3R4
r4+ 2
R2
r2
sen2
c=
c=
PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO SOMETIDAA TENSIONES CORTANTE EN SU CONTORNO:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
183/398
c=c=
PLACA PLANA INDEFINIDA CON UN TALADRO ELPTICO
2bA
B
t
t
2b
A
B
t
t
A
B
t
t
( )( ) tB
tA b
a
=
+= 21
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
184/398
2a
t
2a
t
2a
t
A
2a
t
t
A
2a
t
tSi b 0 (el taladro elptico se convierte en una fisura):
( ) A
CAPTULO 6
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
185/398
TEOREMAS ENERGTICOS
LA ENERGA ELSTICA EXPRESADA EN FUNCIN DELAS CARGAS APLICADAS
Hasta ahora, habamos utilizado la siguiente expresin de la densidadde energa elstica:
( )xzxzyzyzxyxyzzyyxx +++++=
2
1
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
186/398
Que, integrada a lo largo de todo el slido, nos proporcionaba la energaelstica almacenada por ste.
Podramos expresar dicha energa en funcin de las cargasaplicadas al slido o en funcin de los desplazamientos queen l se producen?
( )2
Supongamos que las cargas aplicadas al slido crecen,progresivamente, desde cero hasta su valor final de una
manera continua. En ese caso, el trabajo W realizadopor todas las cargas que actan sobre el slido quedaraalmacenado como energa elstica de deformacin U enel slido y, por tanto:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
187/398
WU=
El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un slido es lamitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientosde sus puntos de aplicacin (en las direccin de las mismas, por supuesto).
=
=n
1i
ii dF
2
1W
Fi
i
ir
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
188/398
Si entre las cargas aplicadas existiera algn momento,bastara con tener en cuenta que:
- donde se dijera fuerza se debera decir momento- donde se dijera desplazamiento se debera decir giro- donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas)se debera escribir W=M.
di
Geometra sin deformar
Geometra deformada
2
F1
F2 1
21
F1
F2 1
d12
d2
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
189/398
2
d
P
W=1/2 P.d
EJEMPLOS:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
190/398
M
W=1/2 M.
ENERGA ELSTICA ALMACENADA POR UNA BARRA A TRACCIN
F
x
ooxFW21=
F
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
191/398
AE
LFFdUW
AE
FLL
ELd
A
F
22
1 2===
===
=
F
d
A
L
COEFICIENTES DE INFLUENCIA
Fi
Fi
Fi
iFr
jFr
Consideremos dos puntos i yj del slidosobre los que actan, respectivamente, lascargas:
r
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
192/398
i
ii
ji
j
Fj
i
ii
ii
ji
ji
j
Fj
iir
ji
r
Representemos por los vectoresdesplazamientos, de manera tal que:
= vector desplazamiento del punto icuando slo acta la carga:
= vector desplazamiento del puntoj
cuando slo acta la carga:
iFr
iFr
Si sobre el slido acta un sistema de cargas:
en los puntos: 1,2,n, el vector desplazamiento total en el punto i ser:
nFFFrrr
,......, 21
ir
iniii rrrr
+++= ........21F
i
i
Fi
i ijd = coeficiente de influencia: proyeccin deldesplazamiento que experimenta el punto
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
193/398
jd ij
1
jd ij
1
desplazamiento que experimenta el puntoi , sobre la recta de accin de cuando seaplica una carga unidad en el puntoj con lamisma direccin y sentido que
iFr
jFr
id = proyeccin del vector desplazamiento del punto i, segn la direccin dela fuerza cuando actan todas las cargas
iFr
niniii FdFdFdd +++= ........2211
FRMULAS DE CLAPEYRON EmileCLAPEYRON(1799-1864)
== =
n
iii dFWU
12
1
niniii FdFdFdd +++= ........2211Como:
n n
1
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
194/398
ji
i
ij
j
FFdWU = =
==
1 12
1
Cabe otra expresin alternativa a la anterior si consideramos que, del sistemade n ecuaciones: despejramos las fuerzas:
niniii FdFdFdd +++= ........2211
njnjjj dkdkdkF +++= ........2211
==== = =
n
j
n
j
n
mmjjmjj ddkdFWU
1 1 12
1
2
1
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALESJ ean Baptiste Le Rond
DALEMBERT(1717-1783)
Se denomina desplazamiento virtual de un punto a undesplazamiento arbitrario, concebido matemticamente
y que no tiene lugar en la realidad, pero que es geomtricay fsicamente posible.El sistema al que se aplica este Principio debe encontrarseen equilibrio
Caso de una partcula puntual
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
195/398
x
y
zP
F1
F2
F3
PF1
F2F3
x
y
zP
F1
F2
F3
PF1
F2F3
r
= desplazamiento virtual
kji
kRjRiRFFFR
zyx
zyxr
rrr
rrrrrrr
++=
++=++= 321
1 2 3T F F F R 0
como R 0, T 0
= + + = =
= =
r r r r r r r r
rr r
Caso de un slido rgido
F1
F i1 Fi2 Fi3
Fini
..
F1
F i1 Fi2 Fi3
Fin
i
..
iFr
= fuerza exterior aplicada al slido en el punto i
ijFr
= fuerza interior que ejerce el puntoj sobre el i
kRjRiRR zyxr
rrr
++=
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
196/398
kMjMiMM zyxOr
rrr
++=
kzjyixrr
rrr
++=kji zyx
rrrr
++=
r
r
rr
r
r
,0 rMMMzRyRxRMrRT zzyyxxzyxOext =+++++=+=
00,0 ====== xzyx Rzyx
0
0
===
===
zyx
zyx
MMM
RRR
.
W
A
B
x
x
yBG
F?
NB
.
W
A
B
x
x
yBG
F?
NB
EJ EMPLO
.
A
B
G.yG
yB
.
A
B
G.yG
yB
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
197/398
y
xA
NA y
xA
NAxAxA
( ) ( ) 22222 Lyyxxyx BBAABA =++=+
AB
ABGA
B
AB x
y
xyyx
y
xy
2
1
2===
B
AA
B
AAGAext
y
xWFx
y
xWxFyWxFT
22
10 ====
Caso de un slido deformable
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
198/398
Caso de un slido deformable
QFr
r
22 u,Fr
r
33 u,Fr
r
u5
[ ]T
iFrConsideremos un slido en equilibrio bajo la accin de un sistema de
cargas , como se muestra en la figura. En cualquier punto genrico(Q) del slido, el tensor de tensiones verificar las ecuaciones deequilibrio interno. Sean los desplazamientos de los puntos del slido.
iur
iFr
iur
Sistema de fuerzas reales:
Sistema de desplazamientos reales:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
199/398
Slido elstico en equilibrio bajo la accin de unsistema de fuerzas y unas ligaduras
Q11 u,Fr
44 u,Fr
r
u6u7
[ ]
QFr
iFr
Sometamos al slido anterior a un segundo sistema de fuerzas virtualescomo se muestra en la figura. Sean los desplazamientos virtuales de lospuntos del slido, los cuales no violan las condiciones de contorno del slido.
iur
2ur
33 u,Fr
r
F5
ijij
ij
ijSistema de tensiones virtuales:
Sistema de deformaciones virtuales:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
200/398
Q11 u,Fr
4ur
F6 F7
Slido elstico en equilibrio bajo la accin de unsistema de fuerzas virtuales
= iiExt uFTr
r
Trabajo realizado por las fuerzas exteriores reales:
= ijij dVU
Energa interna virtual almacenada en el slido:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
201/398
v
UTExt
=
Se puede demostrar que, estos dos trabajos virtualesson iguales:
Lgicamente, si el cuerpo considerado fuese un slido rgido:
0== UTExt
x
y
z f
fV
[T], [D]
d
x
y
z f
fV
[T], [D]
u
kji zyxr
rrr
++=
Campo de desplazamientos virtuales(fsicamente posibles) impuestos al slido:
De una manera ms formalista.
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
202/398
( )dVolU
dfdVolfT
Vyzyzxzxzxyxyzzyyxx
VVExt
+++++=
+=
rrrr
se llega a:
UTExt =
dfdVolfV V =+
rrrr
Trabajo virtual realizado por las fuerzas reales (por unidad de volumeny en el contorno) aplicadas al slido cuando se le imponen losdesplazamientos virtuales
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
203/398
( )dVol
V yzyzxzxzxyxyzzyyxx
+++++=
Trabajo virtual de las tensiones internas caso de que el slido sufriera
el campo de desplazamientos virtuales supuesto (las componentes detensin son las que, realmente, existen dentro del slido, mientrasque las componentes de deformacin que aparecen se deducendel campo de desplazamientos virtuales)
,
TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI J ames ClerkMAXWELL(1831-1879)
SISTEMA I SISTEMA II
Fi
Pi
Gj
Qj
SISTEMA I SISTEMA II
Fi
Pi
Gj
Qj
En un slido elstico, el trabajo realizado por un sistema de cargas para losdesplazamientos resultantes de aplicar otro sistema de cargas distinto esid ti l t b j li d l i t d l d l i t
{ }Fr
Gr
Gr
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
204/398
idntico al trabajo realizado por el sistema de cargas para los desplazamientosresultantes de aplicar el sistema de cargas .{ }F
r
G
qMdF =F
Q1P1
qj=q
di=d Q1
P1
qj=q
di=dM
FQ1
P1
qj=q
di=d
FQ1
P1
qj=q
di=d Q1
P1
qj=q
di=dM
Q1
P1
qj=q
di=dM
Sistema I Sistema IIjiij dd =
Una barra de longitud L se encuentra empotrada en su extremo B y sometida, deforma independiente, a dos sistemas de cargas diferentes (Sistema 1 y Sistema 2), talcomo se representa en la figura. Cuando acta el sistema de cargas 1, las flechas(desplazamientos verticales, y) que experimentan los puntos de la barra vienen dados
por la ecuacin (referida al sistema de ejes de la figura): ( ) ( )xLxLCFy += 22 , donde C
es una constante conocida. Determinar la flecha del punto A cuando acta sobre la barrael sistema de cargas 2.
F Sistema 1F
Sistema 2
BF Sistema 1
F
Sistema 2
B
EJEMPLO DE APLICACIN DEL TEOREMA DE RECIPROCIDAD
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
205/398
x
y L
F
L/2
AB A
B
L/2
x
y L
F
L/2
AB A
B
L/2
Sistema 1: flecha en el punto medio:C
FLf
I
8
5 3=
Teorema de reciprocidad:C
FLf
C
FLFfFfF IIA
III
A8
5
8
5 33===
TEOREMAS DE CASTIGLIANO
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:Carlo Alberto
CASTIGLIANO(1847-1884)
nmmnjiij ddkFFdU 21
21 ==
==
ijij dFdF
U
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
206/398
La derivada de la energa elstica respecto de una de lascargas aplicadas al slido es igual a la proyeccin deldesplazamiento del punto de aplicacin de la cargaconsiderada segn la direccin de la misma
ijij
iF
==
mnmn
m
Fdkd
U
SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:
-
7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I
207/398
La derivada de la energa elstica de un slido respecto del
desplazamiento en uno de los puntos en los que acta unafuerza, proporciona la componente de dicha fuerza segn ladireccin del desplazamiento considerado
Sabiendo que la energa elstica almacenada en la viga de la figura toma el valor:
determinar el valor de la carga aplicada en la seccin 1.
[ ]221221 0047605110302
ddddEI
U ,,, +=
F1=P F2=2P
EJEMPLO DE APLICACIN DEL SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
-
7/28/2019 Elasticidad y