formación complementaria en ingeniería mecánica ...³n complementaria en ingeniería mecánica....

Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales

1/129

Formación Complementaria en Ingeniería Mecánica

Resistencia de Materiales

Índice

1. - Introducción a la Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras............................. 3

1.1.- Objetivos de la Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras........................... 3 1.1.1.- Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras. .......................................... 5

1.2.- Concepto de sólido elástico.......................................................................................... 6 1.2.1.- Modelos de sólidos............................................................................................... 6 1.2.2.- Propiedades del sólido deformable. ..................................................................... 6 1.2.3.- Tipos de cargas. ................................................................................................... 8 1.2.4.- Tipos de vínculos................................................................................................ 10 1.2.5.- Tipos de equilibrios............................................................................................. 12 1.2.6.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos. ................................................................ 16

2. - Elasticidad....................................................................................................................... 18

2.1.- Tensiones en el entorno de un punto. Definición de tensión. ..................................... 18 2.1.1.- Componentes cartesianas de tensión. ............................................................... 19 2.1.2.- Equilibrio de tensiones. ...................................................................................... 20 2.1.3.- Tensor de tensiones ........................................................................................... 23 2.1.4.- Tensiones principales y direcciones principales de tensión. .............................. 24 2.1.5.- Elipsoide de tensiones de Lamé......................................................................... 28 2.1.6.- Círculos de Morh. ............................................................................................... 29 2.1.7.- Componentes de tensión octaédrica y desviadora. ............................................ 32

2.2.- Deformaciones en el entorno de un punto.................................................................. 35 2.2.1.- Definición de deformaciones. ............................................................................. 35 2.2.2.- Condiciones de compatibilidad. .......................................................................... 37 2.2.3.- Deformaciones principales y direcciones principales de deformación................ 38

2.3.- Relaciones entre tensiones y deformaciones. ............................................................ 39

2.4.- Planteamiento general del problema elástico............................................................. 44

2.5.- Energía potencial interna............................................................................................ 46 2.5.1.- Relaciones entre la fuerza exterior y el movimiento de un sólido elástico.......... 47 2.5.2.- Expresiones de la energía potencial interna....................................................... 50 2.5.3.- Teoremas de Castigliano.................................................................................... 52 2.5.4.- Teorema de Menabrea. ...................................................................................... 54 2.5.5.- Teorema de Maxwell-Betti.................................................................................. 57

2.6.- Criterios de plastificación............................................................................................ 60


2/129

2.6.1.- Criterio de Tresca. .............................................................................................. 61 2.6.2.- Criterio de Von Mises. ........................................................................................ 63

3. - Resistencia de Materiales. .............................................................................................. 67

3.1.- Introducción................................................................................................................ 67 3.1.1.- Ejes de estudio del elemento barra. ................................................................... 69 3.1.2.- Esfuerzos sobre la sección................................................................................. 70 3.1.3.- Relación entre esfuerzos y tensiones................................................................. 71 3.1.4.- Criterio de la rebanada. ...................................................................................... 72

3.2.- Tracción o compresión. .............................................................................................. 73 3.2.1.- Introducción........................................................................................................ 73 3.2.2.- Sistema isostático............................................................................................... 74 3.2.3.- Tensiones........................................................................................................... 76 3.2.4.- Deformaciones. .................................................................................................. 77 3.2.5.- Energía de deformación. .................................................................................... 79 3.2.6.- Sistemas hiperestáticos...................................................................................... 80

3.3.- Torsión. ...................................................................................................................... 89 3.3.1.- Introducción........................................................................................................ 89 3.3.2.- Análisis de deformaciones.................................................................................. 90 3.3.3.- Deformación angular y tensión tangencial.......................................................... 91 3.3.4.- Relación tensión tangencial-momento torsor. .................................................... 92 3.3.5.- Ángulo de torsión................................................................................................ 93 3.3.6.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos. ................................................................ 94

3.4.- Flexión........................................................................................................................ 95 3.4.1.- Introducción........................................................................................................ 95 3.4.2.- Flexión pura........................................................................................................ 96 3.4.3.- Criterio de signos................................................................................................ 97 3.4.4.- Análisis de tensiones.......................................................................................... 97 3.4.5.- Relaciones entre esfuerzos y tensiones. ............................................................ 99 3.4.6.- Momento resistente. ......................................................................................... 100 3.4.7.- Flexión simple. ................................................................................................. 101 3.4.8.- Criterio de signos de flexión simple. ................................................................. 102 3.4.9.- Relaciones entre esfuerzo cortante, momento flector y carga repartida........... 103 3.4.10.- Expresiones para distintas cargas.................................................................... 105 3.4.11.- Estimación de tensiones tangenciales.............................................................. 108 3.4.12.- Combinación de tensiones. .............................................................................. 110 3.4.13.- Energía de deformación. .................................................................................. 112 3.4.14.- Deformaciones. ................................................................................................ 113 3.4.15.- Sistemas hiperestáticos.................................................................................... 120 3.4.16.- Flexión desviada. ............................................................................................. 123 3.4.17.- Flexión compuesta. .......................................................................................... 127


3/129

1. - Introducción a la Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras.

La Mecánica Racional es la parte del conocimiento que se ocupa del estudio del

comportamiento del punto material y del sólido rígido, sin embargo en la naturaleza los

sólidos bajo la acción de las cargas aplicadas se deforman e incluso llegan a la rotura,

efectos que no pueden ser analizados con las hipótesis de sólido rígido, por lo que para

su consideración se requiere de distintas herramientas de análisis. La aplicación de esas

herramientas da lugar a los estudios de elasticidad, resistencia de materiales y

estructuras.

La elasticidad se ocupa del estudio de los sólidos deformables en el entorno del punto

bajo hipótesis estrictas de comportamiento, la resistencia de materiales del estudio de

los sólidos deformables que presentan ciertas particularidades geométricas (como tener

forma de barras o láminas), que permiten aplicar hipótesis simplificativas, y las

estructuras tratan de la aplicación práctica de elementos resistentes interconectados

entre sí, con las simplificaciones de la resistencia de materiales.

La frontera entre la elasticidad, la resistencia de materiales y las estructuras es por tanto

imprecisa, y el estudio de ciertos problemas en uno u otro contexto es en muchos casos

una cuestión de tradición histórica.

1.1.- Objetivos de la Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras.

El objetivo final de las materias elasticidad, resistencia de materiales y estructuras es

establecer los criterios base a conocimientos teóricos y experimentales que permitan

seleccionar el material, la forma y las dimensiones más adecuadas de los elementos de

un sistema estructural, teniendo en cuenta las condiciones de contorno (tanto fuerzas

exteriores como impedimentos al movimiento) para que cumpa con los criterios de

resistencia (de forma que se asegure su funcionalidad) y rigidez (sin que aparezcan

deformaciones excesivas) de la forma más económica posible, lo que da lugar a

sistemas resistentes complejos (Fig.1.1).


4/129

Fig.1.1 - Aplicación práctica de elasticidad, resistencia y estructuras.

Los parámetros fundamentales que se utilizan para el estudio de estas materias son:

1- Tensiones que aparecen en cada uno de los puntos del material.

2- Deformaciones que se originan.

3- Fuerzas que aparecen en el interior del material (denominados esfuerzos).

4- Movimientos que se generan sobre el sistema.

5- Energía de deformación.

Con el análisis que se va a realizar de estos parámetros se puede comprobar que las

magnitudes máximas previstas, tanto de las tensiones como de los movimientos, son

inferiores a ciertos valores fijados de antemano por las normas.

Las propiedades del material estudiadas en estas materias son las siguientes:

Resistencia. Oposición a producirse la rotura al ser sometido a una fuerza

exterior.

Rigidez. Oposición a la aparición de deformaciones al ser sometido a una fuerza

exterior.

Estabilidad. Oposición a la aparición de grandes desplazamientos como

consecuencia de pequeñas variaciones de la carga exterior. Permite conocer la

capacidad del sistema para conservar la configuración inicial de equilibrio.

En general, los problemas que se van a resolver son de dos tipos:

Dimensionamiento. A partir de conocer el sistema de cargas que ha de actuar,

determinar para los elementos resistentes su material y geometría (tanto


5/129

estructural, como dimensiones de barras –longitudes, secciones-), de forma que

las tensiones (o esfuerzos) y los movimientos que adquiera no sobrepasen los

valores límites prefijados de antemano.

Comprobación. A partir de conocer las fuerzas exteriores que actúan, el material

y las dimensiones y geometría de los elementos resistentes, comprobar que las

tensiones (o esfuerzos) y los movimientos no sobrepasan los valores prefijados.

1.1.1.- Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras.

Las definiciones de cada uno de estos campos del conocimiento son:

Elasticidad. Es el estudio de las tensiones y deformaciones que aparecen en el

entorno de los puntos de un sólido deformable utilizando la formulación sin

simplificaciones. Debido a su complejidad y a que el número de puntos de un

sólido es infinito, su aplicación se desarrolla únicamente en casos sencillos.

Resistencia de Materiales. Es el estudio de esfuerzos y movimientos en el

entorno de las secciones, y tensiones y deformaciones que aparecen en el

entrono de los puntos de un sólido deformable mediante la introducción de

hipótesis simplificativas respecto de las existentes en la elasticidad.

Teoría de Estructuras. Es el estudio de esfuerzos, tensiones, movimientos y

deformaciones que aparecen un conjunto de sólidos deformables interconectados

entre sí, introduciendo hipótesis simplificativas y teniendo en cuenta su

interrelación dentro del sistema estructural.


6/129

1.2.- Concepto de sólido elástico.

Existen distintas clasificaciones de los sólidos mecánicos en función de la característica

específica que se estudia, dando lugar a distintos modelos mecánico-matemáticos de

comportamiento.

1.2.1.- Modelos de sólidos.

En función de las características que se tienen en cuenta en el sólido en estudio, se le

asigna un modelo que facilita el análisis de su comportamiento. Los modelos más

característicos son:

Sólido rígido. Es aquél que, independientemente de las cargas que lo solicitan, la

distancia entre dos puntos arbitrarios no varía (no se considera su deformabilidad)

y nunca llega a la rotura. Se aplica en estudios mecánicos.

Sólido deformable. Aquél que, debido a las cargas que lo solicitan, la distancia

entre dos puntos arbitrarios varía en función de la magnitud de dicha carga. Se

utiliza en estudios de elasticidad, resistencia de materiales y estructuras.

Sólido verdadero. Es aquel que es deformable frente a estados de carga, pero

que no cumple con las simplificaciones básicas del sólido deformable.

1.2.2.- Propiedades del sólido deformable.

Asociado al modelo de sólido deformable se tiene en cuenta una serie de características

que simplifican el modelo mecánico-matemático a utilizar como son:

Continuidad. No se consideran la existencia de huecos sin materia entre las

partículas del sólido.

Homogeneidad. Todas las partículas poseen las mismas características

mecánicas.

Isotropía. Las propiedades físicas de las partículas son las mismas en cualquier

dirección en la que se realice el análisis (no se tienen en cuenta cambios de


7/129

propiedades del material debidos a tratamientos como laminados).

Proceso de carga. Las cargas son aplicadas de forma lenta y progresiva con

ausencia de efectos dinámicos (en contraposición a procesos de carga rápidos o

de impacto). Esto produce movimientos lentos y permite despreciar los efectos

inerciales sin gran error. Como consecuencia, el equilibrio estático se debe

satisfacer en cualquier instante del proceso de carga.

Comportamiento elástico. El sólido recupera su geometría inicial cuando cesa la

aplicación de las cargas.

Material dúctil. Es aquel que superado el límite elástico adquiere

deformaciones plásticas (Fig. 1.2).

Material frágil. Es aquel que superado el límite elástico se rompe sin

deformación plástica (Fig. 1.2).

σ

ε

σe

εe

σ

ε

σe

εe εp

σR

Fig. 1.2 – Comportamiento de material dúctil y frágil.

Comportamiento lineal. Existe proporcionalidad lineal entre las fuerzas que

actúan en el sólido y las deformaciones que éstas producen.

Rigidez relativa. Aunque el sistema resistente adquiere desplazamientos, estos

son tan pequeños respecto de las dimensiones del sistema que para el estudio del

equilibrio estático se desprecian, de forma que dicho estudio se realiza

directamente sobre la configuración indeformada del sistema resistente.

Superposición de efectos. Si el comportamiento del material es lineal, el orden

en el que se apliquen las cargas es indiferente.

Principio de Saint-Venant. A partir de una pequeña distancia del punto de

actuación de una fuerza, las tensiones y deformaciones son prácticamente

iguales para todos los sistemas de fuerzas estáticamente equivalentes a ella.


8/129

1.2.3.- Tipos de cargas.

Las fuerzas y momentos que actúan en los sólidos mecánicos se pueden clasificar según

distintos criterios.

a) En función a su capacidad para generar u oponerse al movimiento pueden ser:

1- Activas. Las que tienden a generar movimiento.

1.1- Fuerzas. Son las que generan traslaciones sobre el sólido.

1.1.1- Fuerzas de volumen. Actúan en los puntos del dominio

sólido y son debidas a campos de fuerza como el gravitatorio.

1.1.2- Fuerzas de superficie. Actúan en el contorno exterior del

sólido.

En función del punto en el que actúan se clasifican en:

1.1.2.1- Concentradas. Las que actúan en un punto (Fig.

1.3).

Fig. 1.3 - Fuerza concentrada.

1.1.2.2- Repartidas. Las que actúan sobre un dominio que

puede ser una longitud o superficie (Fig. 1.4).

Fig. 1.4 - Fuerza repartida sobre una longitud.

1.2- Momentos. Son las que generan giros sobre el sólido. Igual que las

fuerzas pueden hallarse concentradas en un punto o repartidas sobre una

longitud (Fig. 1.5).


9/129

Fig. 1.5 - Momento concentrado.

2- Reactivas. Son las que se oponen al movimiento. Las fuerzas reactivas se

consideran de forma puntual.

3- Interiores. Son las que aparecen en los puntos de las secciones imaginarias

realizadas al material.

b) En función del tiempo de actuación en el sistema:

1- Cargas permanentes. Son las que existen de forma invariable manteniendo su

magnitud y posición en el tiempo.

2- Cargas accidentales o sobrecargas. Son las que, independientemente de la

probabilidad con la que puedan afectar a la estructura, hay que tener en cuenta en

el cálculo. Su aplicación aparece indicada en la normativa.

c) En función de que exista o no movimiento:

1- Cargas estáticas. Aquellas en las que el punto de aplicación, la magnitud y

posición varían tan lentamente que se puede despreciar el efecto de las fuerzas

de inercia.

2- Cargas dinámicas. Aquellas en las que sus características varían de forma

sensible con el tiempo.

Dentro de las cargas dinámicas se pueden dividir en:

2.1- Cargas cíclicas. Cuando el módulo de la carga varía con el tiempo de

forma periódica.

2.2- Cargas de choque o impacto. Cuando actúan en un intervalo de

tiempo muy breve.

Se denomina campo de carga cada uno de los dominios en los que se puede definir el

estado de carga mediante una única expresión matemática.


10/129

1.2.4.- Tipos de vínculos.

Los vínculos son condiciones de contorno que impiden el movimiento y generan fuerzas

reactivas incógnitas. El efecto de estas fuerzas depende de las cargas exteriores y del

tipo de vínculo. Para su clasificación se va a definir una serie de conceptos, como son:

Grados de libertad de un sistema. Es el número de posibles movimientos

(desplazamientos y giros) que puede tener un sistema vinculado. Depende del número

de dimensiones del dominio de estudio (3D-2D-1D), del modelo de estudio (punto, sólido

rígido) y de la vinculación del sistema.

Teniendo en cuenta el número de grados de libertad, los sólidos se pueden clasificar en:

1- Sólido libre. Es aquel que no está vinculado. El número de grados de libertad

depende del modelo y dimensión de estudio. Los casos más característicos son:

1.1- Punto en el espacio. (3D). Tiene tres grados de libertad (ux, vy, wz)

asociados a tres componentes de desplazamiento cartesianas (xyz).

1.2- Punto en un plano (2D). Tiene dos grados de libertad (ux, vy)

asociados a dos componentes de desplazamiento cartesianas (xy).

1.3- Punto en una línea (1D). Tiene un grado de libertad (ux) asociado a

una componente de desplazamiento cartesiana (x).

1.4- Sólido en el espacio (3D). Tiene seis grados de libertad (ux, vy, wz, θx,

θy, θz) asociados a tres desplazamientos y tres de giro cartesianas (xyz).

1.5- Sólido en un plano (2D). Tiene tres grados de libertad (ux, vy, θx)

asociado a dos desplazamientos y un giro cartesianas (xy).

1.6- Sólido en una línea (1D). Tiene dos grados de libertad (ux, θx)

asociado a un desplazamiento y un giro cartesiano (x).

2- Sólido vinculado. Es aquel que no tiene movimiento. A cada grado de libertad

impedido por el efecto de un vínculo corresponde una componente de reacción,

de forma que si se impide un desplazamiento aparece una fuerza vincular y si se

impide un giro aparece un momento vincular.

Tipos de vínculos.


11/129

Según el dominio en que se estudie el sólido, el número de componentes de los vínculos

varía. Los casos más característicos son:

1- Sólido en el espacio (3D).

1.1- Apoyo empotrado. Impide tres componentes de desplazamiento y

tres de giro, produciendo seis incógnitas vinculares (Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz)

en coordenadas cartesianas (xyz) (Fig. 1.6).

Fig. 1.6 - Empotramiento tridimensional.

1.2- Apoyo articulado. Impide tres componentes de desplazamiento,

produciendo tres incógnitas vinculares (Rx, Ry, Rz) en coordenadas

cartesianas (xyz) (Fig. 1.7).

Fig. 1.7 - Articulación tridimensional.

2- Sólido en el plano (2D).

2.1- Apoyo empotrado. Impide dos componentes de desplazamiento y un

giro, produciendo tres incógnitas vinculares (Rx, Ry, Mx) en coordenadas

cartesianas (xy) (Fig. 1.8).


12/129

Fig. 1.8 - Empotramiento bidimensional.

2.2- Apoyo articulado.

2.2.1- Fijo. Impide dos componentes de desplazamiento,

produciendo dos incógnitas vinculares (Rx, Ry) en coordenadas

cartesianas (xy) (Fig. 1.9).

Fig. 1.9 - Apoyo articula fijo bidimensional.

2.2.2- Móvil. Impide una componente de desplazamiento, produce

una incógnita vincular (Ry) en coordenadas cartesianas (xy) (Fig.

1.10).

Fig. 1.10 - Apoyo articula móvil bidimensional.

1.2.5.- Tipos de equilibrios.

Se van a considerar los distintos tipos de equilibrios de fuerzas que aparecen en el

estudio estático respecto de un sistema de referencia cartesiano de ejes xyz.

1- Equilibrio estático. Para que un sólido se encuentre en equilibrio estático son


13/129

condiciones necesarias y suficientes las siguientes:

Sumatorio de fuerzas exteriores igual a cero. La suma de todas las fuerzas que

actúan en el sólido ha de ser nula. Con esto se asegura que el elemento no tiene

movimientos de traslación como sólido rígido.

0F0F0F zyx === ∑∑∑

Sumatorio de momentos igual a cero. La suma de los momentos de todas las

fuerzas que actúan en el sólido respecto de un punto arbitrario ha de ser nula. Con

esto se asegura que el elemento no tiene movimientos de rotación como sólido

rígido (fig. 1.11).

0M0M0M AzAyAx === ∑∑∑

1Fr

2Fr

3Fr

4Fri

Fig. 1.11 - Sólido en equilibrio estático.

2- Equilibrio elástico. Como se verá a continuación, a los sólidos se les puede

seccionar de forma ideal. El equilibrio elástico parece cuando en el sólido se ha

seccionado mediante un plano imaginario en dos elementos. Para que uno de los

elementos esté en equilibrio elástico vuelven a ser condiciones necesarias y

suficientes las de equilibrio estático, pero en este caso las fuerzas que se tienen

en cuenta no son solo las que actúan en el elemento seccionado, sino que a éstas

se añaden las de los puntos de la sección de corte.

3- Equilibrio dinámico. Para que un sólido se encuentre en equilibrio dinámico

son condiciones necesarias y suficientes las siguientes:

GzzGyyGxx maFmaFmaF === ∑∑∑

GzGzGyGyGxGx HMHMHM &&& === ∑∑∑


14/129

A los modelos mecánico-matemáticos de sólido rígido y deformable se les puede aplicar

un procedimiento denominado método de las secciones:

Método de las secciones. Todo sólido sometido a un sistema de fuerzas

exteriores en equilibrio se puede seccionar de forma imaginaria mediante un

plano, de forma que queda dividido en dos elementos. Al aislar cada uno de los

elementos se generan dos superficies de corte, una en cada elemento, tal como

muestra la Fig. 1.12.

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

3Fr

4Fr

1Fr

2Fr

Elemento 1 Elemento 2

1,i'Fr

2,i'Fr

i i i

Fig. 1.12 – Sólido antes y después de seccionar y aislar cada elemento.

Al considerar la sección imaginaria, en cada punto de la superficie del elemento 1

aparece una fuerza interior 1,i'Fr

. Esta fuerza es la misma magnitud y sentido

contrario que la que aparece en el mismo punto (i) pero de la superficie

correspondiente al otro elemento 2,i'Fr

(Fig. 1.12), con lo que la resultante de

fuerzas de dicho punto es

2,i1,i 'F'Frr

−=

de forma que, si el sólido no se secciona, dichas fuerzas se equilibran entre sí y no

se consideran en el equilibrio estático del sólido sin seccionar.

0F0'F'F

0'F'FFi

2,i1,i

2,i1,ii rrrrr

rrrr

=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=++∑

∑∑

∑∑∑

Para el elemento aislado 1 el sistema formado por las fuerzas interiores en los

puntos de la sección ( ∑ 1,i'Fr

) y las fuerzas exteriores que existen sobre ese

elemento ( ∑ iFr

) lo mantienen en equilibrio, luego las fuerzas interiores que

aparecen en la sección son equilibrantes de las fuerzas exteriores del elemento


15/129

aislado. Por ejemplo para el elemento 1 de la Fig. 1.12 sería

0'FFF 1,i21

rrrr=++ ∑ 0MMM 1,i21 'F

AFA

FA

rrrr rrr

=++ ∑

mientras que para elemento 2

0'FFF 2,i43

rrrr=++ ∑ 0MMM 2,i43 'F

AFA

FA

rrrr rrr

=++ ∑

Al mismo tiempo, para que se mantenga el equilibrio que existía en el sólido antes

de seccionarlo y aislarlo, el sistema de fuerzas interiores en los puntos de cada

sección ha de ser equivalente a las fuerzas exteriores que actúan en el otro

elemento del sólido. Por ejemplo para la sección 1

∑∑∑∑∑

∑=+⇒=−=+⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

=++2,i212,i1,i21

2,i1,i

1,i21 'FFF'F'FFF'F'F

0'FFF rrrrrrrrr

rrrr

∑∑∑∑∑

∑=+⇒=−=+⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

=++212,i1,i21

2,i1,i

1,i21FA

FA

FA

'FA

'FA

FA

FA'F

A'F

A

'FA

FA

FA MMMMMMM

MM

0MMM rrrrrrr

rr

rrr

rrrrrrr

rr

rrrr

mientras que para la sección 2

∑∑∑∑∑

∑=+⇒=−=+⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

=++1,i431,i2,i43

2,i1,i

2,i43 'FFF'F'FFF'F'F

0'FFF rrrrrrrrr

rrrr

∑∑∑∑∑

∑=+⇒=−=+⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

=++1,i431,i2,i43

2,i1,i

2,i43'F

AFA

FA

'FA

'FA

FA

FA'F

A'F

A

'FA

FA

FA MMMMMMM

MM

0MMM rrrrrrr

rr

rrr

rrrrrrr

rr

rrrr

La descomposición de la resultante de fuerzas interiores ( Rr

) sobre unos ejes

cartesianos que pasan por el centro de gravedad de la sección da lugar al

esfuerzo axil ( xN ) y a los esfuerzos cortantes ( zy T,T ), mientras que la

descomposición de el momento resultante de las fuerzas interiores respecto del

centro de gravedad ( GMr

) en los mismos ejes da lugar al momento torsor ( xM ) y a

los momentos flectores ( zy M,M ) (Fig. 1.13).


16/129

x

y z

F1

F2

F3

G

My

Mz

MT

MR

x

yz

F1

F2

F3

G

Ty

Tz

Nx

R

Fig. 1.13 – Esfuerzos y momentos sobre la sección.

Como ya se ha indicado, los sólidos deformables tiene la propiedad de que la distancia

entre dos puntos varía debido al estado de cargas. Teniendo en cuenta el tipo de

deformación, los sólidos se pueden clasificar en:

1- Elásticos. Cuando al desaparecer las fuerzas que lo solicitan recuperan la

forma inicial sin ninguna deformación residual.

2- No elásticos. Cuando al desaparecer las fuerzas que lo solicitan no recuperan

su forma inicial, sino que mantienen una deformación residual permanente.

En función de la relación que existe entre las fuerzas aplicadas y los movimientos que

adquiere el sólido (o las tensiones y deformaciones en el entorno del punto) su

comportamiento se clasifica en:

1- Lineal. Cuando la relación se puede expresar mediante funciones matemáticas

de primer grado.

2- No lineal. Cuando la relación se puede expresar con funciones de grado

superior al primero.

1.2.6.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos.

Antes de poder utilizar el método de las secciones en un sistema y obtener los esfuerzos

que aparecen en dicha sección, en general es necesario determinar las magnitudes de

sus vínculos, incógnitas desconocidas a priori.

Para su determinación se han de utilizar las ecuaciones de equilibrio estático, que en el

caso general de sólido rígido tridimensional permiten plantear un máximo de seis

ecuaciones linealmente independientes (tres de fuerzas y tres de momentos), con las


17/129

que se pueden obtener seis incógnitas. Por ello, el número máximo de vínculos de un

sistema que se pueden obtener utilizando únicamente las ecuaciones de la estática no

puede ser superior a seis.

En casos bidimensionales el número máximo de ecuaciones estáticas es tres, y por ello

ese es el número de vínculos que se pueden obtener utilizando dichas ecuaciones. En

función de que los vínculos puedan ser resueltos por las ecuaciones de equilibrio los

sistemas se dividen en:

Sistemas isostáticos. Son aquellos cuyos vínculos se pueden obtener únicamente con

las ecuaciones de la estática (Fig. 1.14).

Fig. 1.14 - Sistemas isostáticos.

Sistemas hiperestáticos. Son aquellos cuyos vínculos son sobreabundantes y no se

pueden obtener únicamente con las ecuaciones de la estática. Para su determinación

hay que hacer intervenir también las ecuaciones de energía o compatibilidad y

comportamiento.

Se denomina grado de hiperestaticidad al exceso de incógnitas respecto del número de

ecuaciones de equilibrio. Ejemplos de sistemas hiperestáticos (Fig. 1.15)

Fig. 1.15 - Viga con extremos articulado fijo-articulado fijo y empotrado-articulado móvil.


18/129

2. - Elasticidad.

2.1.- Tensiones en el entorno de un punto. Definición de tensión.

Si se considera un prisma mecánico sometido a una solicitación exterior en equilibrio

estático y se secciona de forma imaginaria en dos elementos mediante un plano, al aislar

uno de ellos también se encuentra en equilibrio. Para ello se ha de tener en cuenta la

distribución continua de fuerzas interiores que actúa en cada uno de los puntos de la

sección imaginaria realizada (Fig. 2.1 a).

P P

Δs

a) b)

Fr

ΔTr

Fig. 2.1 – a) Esfuerzos en la sección y b) Tensiones en el entrono de un punto.

Si se aísla uno de los puntos de la sección (P, Fig. 2.1 b), a la resultante de la fuerza que

actúa sobre él ( Fr

Δ ) por unidad de área de su entorno infinitesimal ( sΔ ) contenido en el

plano de corte se le denomina tensión (Tr

), vector que viene definido por la expresión:

dsFd

sFlimT

0s

rrr

==→ Δ

ΔΔ

Si el plano de corte varía de orientación pasando por el mismo punto, el vector tensión

varía de magnitud y dirección. A partir de este concepto se puede obtener una conclusión

importante, la tensión de un punto depende de la orientación del plano que pasa por él,

por lo que existen tantas tensiones como planos pasan por un punto. Como por un punto

pueden pasar infinitos planos, existen infinitos vectores tensión actuando en un punto.

Las tensiones se miden en unidades de fuerza partido por unidad de superficie.

En el sistema internacional de medidas se denomina Pascal a la unidad de fuerza en

Newtons dividido entre el área en metros cuadrados


19/129

2mNPa =

Son de uso muy común sus múltiplos kilopascal ( KPa ), megapascal ( MPa ) y gigapascal

(GPa )

Pa10KPa 3= Pa10MPa 6= Pa10GPa 9=

Otras unidades utilizadas son las del sistema terrestre en las que la fuerza se define en

kilogramosfuerza ( kgf ) o kilopondios ( kp ), siendo las tensiones definidas en

kilogramosfuerza o kilopondios partido por centímetro cuadrado

22 cmkp

cmkgf

=

La relación que existe entre la tensión en sistema internacional y en sistema terrestres es

( )

MPa1mN10

mN108,9

mN108,910

cm100m1kgf8,9N1

cmkgf10

cmkgf10 2

62

52

4

2

222 =≈=⋅==

2.1.1.- Componentes cartesianas de tensión.

A la componente de la tensión en la dirección normal al plano de estudio se la denomina

tensión normal (σ), mientas que a la proyección de la tensión sobre el plano se la

denomina tensión tangencial (τ), siendo ambas denominadas componentes intrínsecas

de la tensión.

Si se considera el entorno infinitesimal cúbico de un punto (P) cuyas aristas son paralelas

a los ejes de un sistema cartesiano de referencia, para cada uno de los planos de las

caras del cubo existe un vector tensión. Este vector se puede descomponer en

componentes intrínsecas normales y tangenciales tal como se indica en la Fig. 2.2.


20/129

σy

σz

σx

τxy

τxz

τyx

τ'yz

τzy

τzx

Τ1

Τ2

Τ3

x

y

z

Τ1

Τ2

Τ3

Fig. 2.2 – Tensiones en las caras de un entorno cúbico y descomposición en

componentes intrínsecas según un sistema cartesiano

La notación que se va a utilizar para la denominación de las tensiones se denomina

ingenieril, y se basa en denominar las componentes intrínsecas de las tensiones (normal

y tangencial) mediante las letras griegas sigma y tau (σ,τ), respectivamente, utilizando un

subíndice en las tensiones normales (σ), correspondiente al eje al que es paralelo, y dos

subíndices en las tensiones tangenciales (τ), correspondientes a los ejes a los que es

perpendicular y paralelo, respectivamente.

Existe otro tipo de notación, denominada científica, basada en denominar tanto las

componentes normal y tangencial con la letra sigma (σ) poniendo el mismo subíndice

repetido en las tensiones normales y dos subíndices en las tensiones tangenciales,

correspondientes a los ejes a los que es perpendicular y paralelo, respectivamente.

El criterio de signos que se va a utilizar considera las tensiones positivas en las caras

vistas del cubo cuando tienen el sentido de los ejes cartesianos, y en las caras ocultas en

sentidos contrarios a los cartesianos (Fig. 2.2).

2.1.2.- Equilibrio de tensiones.

En este análisis se distinguirán con una tilde las tensiones de las caras vistas, de

coordenadas cartesianas x+dx, y+dy y z+dz, siendo las coordenadas x, y, z las de las

caras ocultas (Fig. 2.3). Las relaciones que existen entre las magnitudes de las tensiones

correspondientes a caras paralelas son:


21/129

σx

σ'y σy

σ'z

σz

σ'x

τ'xy

τ'xz

τxy

τxz

τ'yx

τ'yzτyx

τyz

τ'zy

τ'zx

τzy

τzx

dx

dy

dz

x

y

z

Fig. 2.3 – Componentes cartesianas de tensión.

dzz

'dzz

'dxz

'

dyy

'dyy

'dyy

'

dxx

'dxx

'dxx

'

zyzyzy

zxzxzx

zzz

yzyzyz

yxyxyx

yyy

xzxzxz

xyxyxy

xxx

∂

∂+=

∂∂

+=∂

∂+=

∂

∂+=

∂

∂+=

∂

∂+=

∂∂

+=∂

∂+=

∂∂

+=

τττ

τττσσσ

τττ

τττ

σσσ

τττ

τττ

σσσ

El momento respecto del centro de masas del cubo en componente x debido a las

tensiones de su entrono es

0dydx2dzdydx

2dz'dzdx

2dydzdx

2dy'M zyzyyzyzGx =⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=∑ ττττ

0dydx2dzdydx

2dzdz

zdzdx

2dydzdx

2dydy

yM zy

zyzyyz

yzyzGx =⋅⋅⋅−⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−⋅⋅⋅+⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+=∑ τ

τττ

ττ

expresión en la que eliminando infinitésimos de orden superior al tercero se obtiene

0dzdydxdzdydxM zyyzGx =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=∑ ττ

con lo que se deduce el principio de reciprocidad de tensiones tangenciales aplicado a la

componente x del momento

zyyz ττ =

A partir de las demás componentes del momento, se generaliza el principio de

reciprocidad de tensiones tangenciales


22/129

yxxy ττ = zxxz ττ = zyyz ττ =

con lo que las magnitudes de las componentes tangenciales con subíndices permutados

son iguales.

Si sobre el paralelepípedo actúan en su centro de gravedad la fuerza de masa por unidad

de volumen de componentes bX, by, bz, de la ecuación de equilibrio estático respecto del

eje x se obtiene

0dzdydxbdydxdydx'

dzdxdzdx'dzdydzdy'F

xxzxz

yxxyxxx

=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅+

+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=∑ττ

ττσσ

0dzdydxbdydxdydxdzz

dzdxdzdxdyy

dzdydzdydxx

F

xxzxz

xz

yxxy

xyxx

xx

=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++

+⋅⋅−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++⋅⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=∑

τττ

ττ

τσσ

σ

expresión en la que simplificando

0dzdydxbdydxdzz

dzdydxy

dzdydxx

F xzxxyx

x =⋅⋅⋅+⋅⋅∂

∂+⋅⋅

∂

∂+⋅⋅

∂∂

=∑ττσ

o bien

0bzyx

F xzxxyx

x =+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=∑ττσ

correspondiente a la ecuación de equilibrio interno o de Cauchy en componente x. A

partir de las demás componentes de fuerza se obtienen las otras ecuaciones, que en su

conjunto son

0bzyx

F

0bzyx

F

0bzyx

F

zzyzxz

z

zyzyxy

y

xzxxyx

x

=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=

∑

∑

∑

σττ

τστ

ττσ


23/129

2.1.3.- Tensor de tensiones

El conocimiento de las seis componentes independientes de tensión del entorno cúbico

de un punto (σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz) permite determinar el vector tensión (Tr

) asociado a un

plano de orientación arbitraria (Fig. 2.4), definida por el vector unitario nr

de

componentes (l, m, n), que viene expresado mediante la relación matricial

σx

σy

Tr

σz

τxy

τxz

τyx

τyz

τzy

τzx

nr

σ

τ

Fig. 2.4 – Tensión en un plano.

nmlT

nmlT

nmlT

zyzxzz

yzyxyy

xzxyxx

σττ

τστ

ττσ

++=

++=

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

nml

TTT

zyzxz

yzyxy

xzxyx

z

y

x

στττστττσ

{ } [ ]{ }nT τ=

donde la matriz [ ]τ se denomina tensor de tensiones o de Cauchy.

La componente normal de la tensión asociada al plano de estudio se puede obtener

fácilmente proyectando el vector tensión sobre la normal al plano, mientras que la

componente tangencial se obtiene a partir del cateto del triángulo rectángulo generado

nTmTlTnml

TTT

nT zyx

z

y

x

++=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⋅=

rrσ 22222 TT σττσ −=⇒+=

En estudios bidimensionales en el plano xy el tensor de tensiones se reduce a

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

yxy

xyx

σττσ

τ

y la tensión de un punto se obtiene mediante

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ml

TT

yxy

xyx

y

x

σττσ


24/129

2.1.4.- Tensiones principales y direcciones principales de tensión.

Conocido el tensor de tensiones de un punto [ ]τ se puede desarrollar el problema de

autovalores y autovectores con el que se determinan las tensiones y direcciones

principales de tensión asociadas a planos en los que las componentes tangenciales son

nulas.

La determinación de las tensiones principales se realiza a partir de resolver un sistema

de ecuaciones homogéneo, obtenido de que la tensión en un plano ( Tr

) tenga la

dirección del vector normal al plano ( nr

) de forma que las componentes tangenciales

sean nulas (Fig. 2.5)

Y

Z

X

e1

e2

e3

1σ

σ 2

σ 3

Fig. 2.5 – Tensiones principales.

{ } [ ]{ } { }nnT λτ == ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

nml

nml

TTT

zyzxz

yzyxy

xzxyx

z

y

x

λστττστττσ

o bien,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

000

nml

zyzxz

yzyxy

xzxyx

λστττλστττλσ

siendo λ un escalar. Para que exista solución diferente a la trivial (l=m=n=0) se tiene que

cumplir que el determinante de los coeficientes sea nulo

0

zyzxz

yzyxy

xzxyx

=−

−−



25/129

expresión que da lugar a la ecuación característica del tipo

0III 322

13 =−++− λλλ

donde I1, I2, I3, son los invariantes lineal, cuadrático y cúbico respectivamente, de valores

zyx1I σσσ ++= zyz

yzy

zxz

xzx

yxy

xyx2I

σττσ

σττσ

σττσ

++= τστττστττσ

==

zyzxz

yzyxy

xzxyx

3I

A partir de la ecuación característica se pueden obtener tres raíces reales ( 321 ,, λλλ )

correspondientes a las tensiones principales (o autovalores) buscadas. Como criterio,

estas raíces se ordenan de menor a mayor

321

33

22

11

322

13 con0III σσσ

σλσλσλ

λλλ ≤≤⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒=−++−

luego el tensor de tensiones principales [ ]pτ tendría de componentes

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

p00

0000

σσ

στ

La determinación de las direcciones principales de tensión se realiza a partir de

solucionar el problema de autovectores, obteniendo las incógnitas li,mi,ni para cada uno

de los autovalores ( iλ ), o lo que es lo mismo, resolviendo el sistema de ecuaciones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

i

i

i

i

i

i

i

zyzxz

yzyxy

xzxyx

z

y

x

nml

nml

TTT

λστττστττσ

⇒ ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

000

nml

i

i

i

izyzxz

yziyxy

xzxyix


en el que se sustituye el parámetro iλ por cada un de los autovalores obtenidos

anteriormente. El sistema de ecuaciones obtenido es linealmente dependiente, por lo

que para tener una solución se elimina una de las ecuaciones dependientes y se

sustituye por la ecuación fundamental de los vectores unitarios


26/129

1nml 2i

2i

2i =++

luego el sistema de ecuaciones a resolver para cada autovalor i es

3,2,1icon

1nml

00

nml

2i

2i

2i

i

i

i

yziyxy

xzxyix

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−τλστττλσ

Los autovectores obtenidos son del tipo

{ } { } { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

nml

enml

enml

e

son ortogonales entre sí y normalizados. Como última condición se debe de imponer que

el triedro que generen se directo, por lo que han de cumplir que

( ) 1eee 321 =×⋅rrr

En sistemas bidimensionales en el plano xy el procedimiento es equivalente. En este

caso se parte de un tensor de tensiones bidimensional

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2xy

xyx

σττσ

τ

Para que exista solución diferente a la trivial (l=m =0) se tiene que cumplir que el

determinante de los coeficientes sea nulo

0yxy

xyx =−

−λστ

τλσ

expresión que da lugar a la ecuación característica del tipo

0II 212 =−+− λλ

donde I1, I2 son los denominados invariantes lineal y cuadrático, respectivamente de

valores,

yx1I σσ += yxy

xyx2I

σττσ

=


27/129

A partir de la ecuación característica se pueden obtener dos raíces ( 21 ,λλ ) reales que se

ordenan de menor a mayor, correspondientes a las tensiones principales buscadas,

2122

1121

2 con0II σσσλσλ

λλ ≤⎩⎨⎧

==

⇒=−+−

luego el tensor de tensiones principales sería

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1p 0

0σ

στ

A diferencia del caso tridimensional, en este caso las raíces de la ecuación característica

son fáciles de obtener mediante ecuaciones predeterminadas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

−−+±+=⇒=−++−

2

40

2xyyx

2yxyx

2,12xyyxyx

2 τσσσσσσλτσσλσσλ

por lo que finalmente

( ) 2xy

2yxyx

2,1 22τ

σσσσλ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

La determinación de las direcciones principales de tensión se realiza a partir de

solucionar el problema de autovectores, o lo que es lo mismo, resolver el sistema de

ecuaciones

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

00

ml

i

i

iyxy

xyix

λσττλσ

en el que se sustituye el parámetro iλ por cada un de los autovalores anteriores. El

sistema de ecuaciones es linealmente dependiente por lo que para poder obtener una

solución se elimina una de las ecuaciones y se sustituye por la ecuación fundamental de

los vectores unitarios

1ml 2i

2i =+

luego el sistema de ecuaciones a resolver para cada autovalor i es


28/129

[ ]2,1icon

1ml

00

ml

2i

2i

i

ixyix

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− τλσ

y los vectores obtenidos son del tipo

{ } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

22

1

11 m

le

ml

e

Aunque no se demuestre es importante indicar que las tensiones y direcciones

principales de tensión son invariantes para cada punto, al mismo tiempo que la tensiones

principales son siempre valores reales.

2.1.5.- Elipsoide de tensiones de Lamé.

Como ya se ha indicado, en un punto aparecen infinitas tensiones. El lugar geométrico

de los extremos de los vectores tensión asociado a todos los planos que pasan por un

punto forma un elipsoide denominado de tensiones o Lamé.

Para su determinación se considera la tensión (Tr

) para una dirección arbitraria de

componentes l, m, n en base principal de tensiones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

nml

nml

000000

TTT

3

2

1

3

2

1

3

2

1

σσσ

σσ

σ

en la que despejando las componentes de la direcciones

3

3

2

2

1

1 TnTmTlσσσ

===

y sustituyendo en la ecuación fundamental de los vectores unitarios

1nml 222 =++

se obtiene el elipsoide de tensiones o elipsoide de Lamé, cuyos semiejes corresponden

a las tensiones principales (Fig. 2.6)

1TTT23

23

22

22

21

21 =++

σσσ


29/129

Fig. 2.6 – Elipsoide de tensiones.

En el caso bidimensional en el plano principal de componentes 12, el elipsoide se

transforma en una elipse de ecuación

1TT22

22

21

21 =+

σσ

2.1.6.- Círculos de Morh.

La tensión en un punto asociada a un plano puede ser representada en una gráfica de

ejes normal y tangencial (σ, τ). Para ello se dibujan tres circunferencias (1, 2, 3) cuyos

centros se encuentran sobre el eje de tensiones normales y cuyos puntos extremos

corresponden a las tensiones principales, por lo que sus diámetros (d3, d2, d1) son las

diferencias de valores de dichas tensiones (d3=σ1- σ2, d2=σ1- σ3 y d1=σ2- σ3) tal como se

muestra en la Fig. 2.7.

σ1σ3 σ2

C1

O1

C2

O2

C3

O3

τ

σ

Τ τ

σ

Fig. 2.7 – Círculos de Mohr.


30/129

Los puntos de la circunferencia 1 representan las tensiones en planos que son paralelos

al eje principal 1er

. Análogamente, los puntos de la circunferencias 2 y 3 representan las

tensiones que aparecen en planos paralelos a los ejes 2er

3er

, respectivamente (Fig. 2.8).

1er

2er

3er

Fig. 2.8 – Planos paralelos a los ejes principales de tensión.

Los puntos interiores a la circunferencia exterior y exteriores a las circunferencias

interiores representan las tensiones en planos que no son paralelos a ningún eje

principal.

Por ello, el vértice del vector tensión de un punto arbitrario es siempre interior a la región

definida por la circunferencia exterior y exterior a las regiones definidas por las

circunferencias interiores. Las circunferencias que delimitan la región de tensiones (C1,

C2, C3) se denominan de Mohr.

Las características geométricas de las circunferencias de Mohr son:

Centros: 2

OO 321

σσ +=−

2OO 31

2σσ +

=− 2

OO 213

σσ +=−

Radios: 2

R 321

σσ −=

2R 31

2σσ −

= 2

R 213

σσ −=

A partir de las circunferencias de Mohr es fácil comprobar que la tensión tangencial

máxima que puede aparecer en el punto de estudio corresponde al radio de la

circunferencia exterior, de valor (posteriormente se utilizará como criterio de

plastificación)

2R 31

2.maxσστ −

==

En estudios bidimensionales en el plano xy las tres circunferencias se reducen a una de


31/129

diámetro d3=σ1- σ2, de forma que el vector tensión del punto de estudio tiene su extremo

sobre dicha circunferencia (Fig. 2.9).

σ1σ2

O2

C3

O3

τ

σ

Τ τ

σ

Fig. 2.9 – Circunferencia de Mohr bidimensional.

Las características geométricas de esta circunferencia son:

Centro: 2

OC 21 σσ +=− Radio:

2R 21 σσ −

=

Por convenio, en problemas bidimensionales utilizando el círculo de Mohr, se define la

tensión tangencial τ positiva de forma que, sobre la figura en la que aparece el sólido

seccionado, considerando el sentido que marca dicha tensión tangencial, el sólido en

estudio queda a su derecha (Fig. 2.10).

σ1

σ2

σ2

α

Τ

Τ σ1

Fig. 2.10 – Criterio de signos de la tensión tangencial.

Se indica sin demostrar que en los estudios bidimensionales, para un plano cuya normal

forma un ángulo α respecto del eje x, correspondiente a un plano que forma dicho

ángulo respecto del eje y, en la representación de Mohr el extremo del vector tensión (Tr

)

se encuentra en la intersección de la circunferencia de Mohr con el segmento que pasa

por el centro de dicha circunferencia formando un ángulo α2 respecto del eje σ (punto


32/129

que coincide con la intersección de la circunferencia de Mohr con un segmento que pasa

por el punto de componentes ( )0,2σ formando un ángulo α respecto del eje σ ).

Esto hace que las tensiones que aparecen en planos perpendiculares del entorno de un

punto sean diametralmente opuestas en la circunferencia de Mohr, lo que facilita la

definición de esta circunferencia sin necesidad de calcular las tensiones principales (Fig.

2.11).

222 πα +

2nr

1nr

α

α

α α σ1

τ1

T1

σ2

τ2 T2

σ

τ σ1

τ1

σ2

τ2

α2

Fig. 2.11 – Representación mediante Mohr de tensiones sobre planos perpendiculares.

Cuando se realiza un análisis bidimensional, es aconsejable considerarlo como si fuera

tridimensional en el la tensión de uno de los ejes principales es conocida. Es importante

no olvidar la tercera tensión principal, que no aparece en el estudio bidimensional, para

estimar correctamente en todos los casos valores como la tensión tangencial máxima.

2.1.7.- Componentes de tensión octaédrica y desviadora.

Para definir el comportamiento límite de los sólidos, del que se hablará posteriormente,

es útil realizar una representación gráfica del las tensiones del punto en una base

asociada a las tensiones principales, denominada de Haigh-Westergaard, en la que la

tensión de cada punto se representa mediante las tensiones principales

correspondientes (σ1, σ2, σ3) (Fig. 2.12).

En esta base un vector con origen en el origen del sistema de estudio y extremo en un

punto arbitrario (OP) se puede descomponer en dos componentes, la primera, OS

paralela a la línea trisectriz (que forma el mismo ángulo respecto de los tres ejes de

referencia) y por lo tanto normal al plano π, y la segunda OT sobre dicho plano.


33/129

Las componentes de unitario normal al plano ( nr

) respecto de la base de de

Haigh-Westergaard son

321 31

31

31n σσσ

rrrr++=

Se denomina tensión hidrostática a la proyección del vector tensión sobre la línea

trisectriz en la base de Haigh-Westergaard (correspondiente al segmento OS), cuyas

componentes son iguales, denominadas esférica o normal octaédrica media ( 0σ ), de

magnitud la media aritmética de las tensiones principales. Para la obtención de la tensión

hidrostática se considera la proyección del vector de tensiones principales sobre la línea

trisectriz

{ } ( )3212

1

31111

31

3σσσ

σσσ

++=⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

y sus componentes octaédricas en la base de Haigh-Westergaard, cada una de las

cuales corresponde a la tercera parte del invariante lineal de tensiones ( 1I ), son

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧++

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧++=

111

111

3I

111

3111

31

31

01321

3210 σσσσσσσσ

31

P(σ1, σ2, σ3)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3I,

3I,

3IS 111

Plano π

T

σ1

σ2

σ3 O

α {n}

31

31

Fig. 2. 12 - Espacio de Haigh-Westergaard.

Al mismo tiempo se denomina tensión desviadora o tangencial octaédrica media ( 0τ ) a la


34/129

proyección del vector tensión sobre el plano π cuya normal es la trisectriz en la base de

Haigh-Westergaard (correspondiente al segmento OT). La obtención de sus

componentes en la base de Haigh-Westergaard es sencilla a partir de la suma vectorial

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−=⇒+=

→→→→→→

03

02

01

0

0

0

3

2

1

OSOPOTOTOSOPσσσσσσ

σσσ

σσσ

La componente hidrostática (asociada al segmento OS) genera cambio de volumen

mintiendo la forma, mientras que la componente desviadora (asociada al segmento OT)

genera cambio de forma manteniendo el volumen.

La energía producida por la componente desviadora (denominada energía de distorsión)

fue utilizada por Von Mises para plantear un criterio de comiendo de comportamiento

plástico.


35/129

2.2.- Deformaciones en el entorno de un punto.

2.2.1.- Definición de deformaciones.

Dados dos puntos P y Q situados muy próximos entre sí ( rdr

) en un sólido elástico

descargado, si se carga los puntos pasan a nuevas posiciones P' Q' debido al

movimiento y deformación del sólido. La variación de posición de los puntos se

determina mediante el vector denominado desplazamiento o corrimiento QP c,crr

(Fig.

2.13).

rdr

'rdr

Qcr

P

Q

P’

Q’

Pcr

Fig. 2.13 – Variación de posición de dos puntos en un sólido deformable.

Si las componentes del vector desplazamiento de cada uno de los puntos se definen en

componentes mediante

( ) ( ) ( ) ( ) kz,y,xwjz,y,xviz,y,xuz,y,xcP

rrrr++=

( ) ( ) ( ) ( ) kz,y,x'wjz,y,x'viz,y,x'uz,y,xcQ

rrrr++=

y cada una de ellas depende de la posición del punto ( )z,y,x , se pueden poner las

componentes de Qcr

en función de las de Pcr

y sus derivadas mediante

dzzwdy

ywdx

xww'w

dzzvdy

yvdx

xvv'v

dzzudy

yudx

xuu'u

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

que se expresan matricialmente


36/129

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

dzdydx

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

wvu

'w'v'u

o bien de forma reducida

{ } { } [ ]{ }drMcc PQ +=

donde la matriz [ ]M tiene de componentes

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

M

Esta matriz se puede poner como suma de dos matrices, una simétrica [ ]D (asociada a

la deformación elástica del sólido) más otra hemisimétrica [ ]H (asociada al giro del

sólido como si fuera rígido) de la forma

[ ] [ ] [ ]HDM +=

de componentes

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

=

zw

zv

yw

21

zu

xw

21

yw

zv

21

yv

yu

xv

21

xw

zu

21

xv

yu

21

xu

D

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=

0zv

yw

21

zu

xw

21

yw

zv

210

yu

xv

21

xw

zu

21

xv

yu

210

H


37/129

La matriz [ ]D se denomina tensor de deformaciones y se suele representar de forma

simplificada mediante

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

21

21

21

21

21

21

zw

zv

yw

21

zu

xw

21

yw

zv

21

yv

yu

xv

21

xw

zu

21

xv

yu

21

xu

D

εγγ

γεγ

γγε

en la que las componentes sobre la diagonal (εx, εy, εz) corresponden a los alargamientos

por unidad de longitud en las direcciones de los ejes coordenados, mientras que las

demás componentes γxy, γxz, γyz representan las variaciones angulares inicialmente

rectas de rectas paralelas a los coordenados xy, xz,yz, respectivamente.

2.2.2.- Condiciones de compatibilidad.

Si se conoce el campo de desplazamiento ( ( )z,y,xcr

) de todos los puntos de un sólido

elástico, se pueden determinar de forma inmediata las componentes del tensor de

deformaciones [ ]D sin más que derivar las componentes cr

de de acuerdo con las

expresiones anteriormente indicadas. Sin embargo a partir del tensor de deformaciones

[ ]D es complicado deducir las componentes del vector desplazamiento ( cr

) ya que éstas

han de cumplir una serie de condiciones, denominadas de compatibilidad.

Las condiciones de compatibilidad que son necesarias para que puedan representar un

estado de deformaciones físicamente posible (sin huecos ni solapamientos en el

material) son


38/129

2z

2

2y

2yz

2

2z

2

2x

2xz

2

2y

2

2x

2xy

2

xyxzyzz2

xyxzyzy2

xyxzyzx2

yzzy

xzzx

xyyx

zyxzyx2

zyxyzx2

zyxxzy2

∂∂

+∂

∂=

∂∂

∂

∂∂

+∂

∂=

∂∂∂

∂

∂+

∂∂

=∂∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

−∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂

εεγ

εεγ

εεγ

γγγε

γγγε

γγγε

2.2.3.- Deformaciones principales y direcciones principales de deformación.

El método para la obtención de las deformaciones principales y las direcciones

principales de deformación es análogo al utilizado para las tensiones principales y las

direcciones principales de tensión, anteriormente indicado.

Resolviendo el problema de autovalores a partir del tensor de deformaciones [ ]D se

obtienen las deformaciones principales, y resolviendo el problema de autovectores se

obtienen las direcciones principales de deformación, que coinciden con las obtenidas en

el estudio de tensiones.


39/129

2.3.- Relaciones entre tensiones y deformaciones.

Las relaciones entre tensiones y deformaciones dependen de la composición

microestructural de la materia y se han de obtener de forma experimental. Si se realiza

un ensayo de tracción y se representa la deformación unitaria longitudinal (ε) frente a la

tensión normal (σ), para el caso de un acero dúctil, se obtiene una gráfica semejante a la

de la figura 2.14.

A B

C

σnom

ε

D

E

G

H J O

Deformación plastica

Deformación elástica

F

εr

Fig. 2.14 - Comportamiento de un acero dúctil.

En ésta se distinguen claramente los siguientes tramos:

OA) Recta que determina la relación lineal tensión-deformación. El punto A define el

límite de proporcionalidad. Hasta este valor el comportamiento es lineal.

AB) Zona de no linealidad. El punto B define el límite elástico superior o punto final

del comportamiento elástico, denominado también punto de fluencia. En muchas

materiales los puntos A y B son coincidentes. Si un punto del sólido se mueve en

el dominio OB y se descarga, vuelve a su estado inicial (O) sin adquirir

deformaciones permanentes.

BCD) Zona de saltos inestables entre los límites superior B e inferior C, causados por

el comportamiento plástico asociado a la propagación de las líneas de Lüders

sobre el material.

DE) Zona de endurecimiento o rigidización. Con pequeños aumentos de carga, se

producen grandes incrementos de deformación. En el punto E aparece la tensión

nominal máxima produciéndose el efecto de estricción o reducción de la sección.


40/129

Si en este dominio el punto se descarga, lo hará según la recta GH, paralela a la

OA, y generando una deformación plástica de magnitud OH.

EF) El punto E corresponde al estado de carga última, a partir del cual el material se

deforma sin aumento de carga, hasta que en el punto F se produce la rotura.

La norma vigente en España se denomina Código Técnico de la Edificación (CTE)

contempla cuatro tipos de aceros estructurales. Su denominación es

S235 S275 S355 S450

La S es la inicial de steel (acero en inglés) mientras que el número que acompaña a la

denominación es el valor del límite elástico en megapascales.

Como ya se ha indicado, en el dominio OA la relación que existe entre tensión y

deformación seguirá una proporcionalidad lineal, cuya expresión se denomina ley de

Hooke, que para el caso de tracción monoaxil en la dirección del eje x, correspondiente al

ensayo de tracción, viene expresada por

xxxx E1E σεεσ =⇒=

donde E es una constante experimental característica del material denominada módulo

de elasticidad longitudinal o módulo de Young, función de la pendiente de la recta OA

(Fig. 2.15).

Módulo de Young aproximado de varios sólidos

Material Módulo de Young (MPa)

Cutícula blanda de la langosta preñada1 0,2

Goma 7

Membrana de huevo 8

Cartílago humano 24

Tendón humano 600

Plásticos sin armar, polietileno, nailon 1.400

Madera laminada 7.000

Madera (en el sentido de la fibra) 14.000

Hueso fresco 21.000

Metal de magnesio 42.000

Vidrio ordinario 70.000

Aleaciones de aluminio 70.000

Bronces 120.000

Hierro y acero 210.000

Óxido de aluminio (zafiro) 420.000 1'Cortesía del Dr. Julian Vincent, Departamento de Zoología, Universidad de Reading. Fuente: J. E. Gordon. “Estructuras o por qué las cosas se caen”

AceroAluminio

HuesoMadera

F, σ

δ, ε

Fig. 2.15 – Valores del Módulo de Young para distintos sólidos.


41/129

Simultáneamente al alargamiento longitudinal, la tensión que aparece en la dirección del

eje x produce un acortamiento de las fibras transversales (y,z) que se determinan

mediante las expresiones

xy Eσμε −= xz E

σμε −=

donde μ es otra constante experimental característica del material denominada

coeficiente de Poisson.

Como se puede observar las tensiones en una dirección (x) provocan no solo las

deformaciones en esa dirección sino en las direcciones perpendiculares. Esto hace que

para estados de tensión más complejos, las relaciones entre tensiones y deformaciones

principales vengan dadas por

( )[ ]3211 E1 σσμσε +−= ( )[ ]3122 E

1 σσμσε +−= ( )[ ]2133 E1 σσμσε +−=

denominadas leyes de Hooke.

En el caso de que el análisis se realice en una base arbitraria (x,y,z) las relaciones entre

las deformaciones longitudinales, las tensiones normales, las deformaciones angulares y

las tensiones tangenciales son

( )[ ]zyxx E1 σσμσε +−= ( )[ ]yzyy E

1 σσμσε +−= ( )[ ]yxzz E1 σσμσε +−=

Gxy

xyτ

γ = Gxz

xzτγ =

Gyz

yzτ

γ =

denominadas leyes de Hooke generalizadas, siendo G una constante experimental

característica del material denominada módulo de elasticidad transversal, que se

relaciona con el módulo de Young y el coeficiente de Poisont mediante la expresión

( )μ+=

11EG

De la misma forma que las deformaciones se pueden poner en función de las tensiones,

las tensiones se pueden obtener en función de las deformaciones. Para ello se parte de

los invariantes lineales de los tensores de tensión ( 1I ) y deformación (e), denominado

éste último dilatación cúbica unitaria (no desarrollado)

3211I σσσ ++= 321e εεε ++=

sumando miembro a miembro las ecuaciones de Hooke generalizadas para


42/129

deformaciones longitudinales



se tiene

( )[ ]zyxzyxzyx 222E1 σσσμσσσεεε ++−++=++

o bien

( )[ ] e21

EIIE21eI2I

E1e 1111 μ

μμ−

=⇒−

=⇒−=

a partir de esta expresión y de la ecuación de Hooke generalizada en el eje x, sumando y

restando xμσ se obtiene

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]1xzyxxxzyxx I1E1

E1

E1 μμσσσσμμσσσσμσε −+=++−+=+−=

de la misma manera se puede realizar con el resto, con lo que queda

( ) ( )[ ]1xx I1E1 μμσε −+= ( ) ( )[ ]1yy I1

E1 μμσε −+= ( ) ( )[ ]1zz I1

E1 μμσε −+=

en la primera expresión, despejando la tensión normal ( xσ ) y el invariante lineal de

tensiones ( 1I ) en función de la dilatación cúbica unitaria (e) se tiene

xx1x 1Ee

21E

11EI

1ε

μμμμε

μμμσ

++

−+=

++

+=

en la que denominado

μμμλ

21E

1 −+=

y teniendo en cuenta la expresión del módulo de elasticidad transversal (G)

( )μ+=

12EG

se tiene

xx G2e ελσ +=


43/129

realizando el mismo proceso con el resto de componentes se obtienen las expresiones

xx G2e ελσ += yy G2e ελσ += zz G2e ελσ +=

xyxy Gγτ = xzxz Gγτ = yzyz Gγτ =

denominadas ecuaciones de Lamé.


44/129

2.4.- Planteamiento general del problema elástico.

Aunque no se va a profundizar en el tema, es importante tener algunas ideas respecto

del problema elástico. Según sean los datos de partida se pueden presentar tres tipos de

problemas:

1- Se conocen las fuerzas exteriores aplicadas al sólido así como las fuerzas de masa.

En este caso se pueden determinar los tensores de tensión y deformación así

como el campo de desplazamientos de todos los puntos del sólido elástico.

2- Se conocen las fuerzas de masa y los desplazamientos de todos los puntos de la superficie exterior del sólido.

En este caso se pueden determinar los tensores de tensión y deformación así

como el campo de desplazamientos de los puntos interiores del sólido elástico.

3- Se conocen las fuerzas exteriores y movimientos existentes en la superficie del sólido así como las fuerzas de masa.

Es el caso más común. En él se tienen que determinar los tensores de tensión y

deformación así como el campo de desplazamientos de los puntos interiores del

sólido y las fuerzas exteriores en los puntos donde los movimientos estén

preescritos.

En cualquiera de los tres casos, los parámetros desconocidos habrán de cumplir

simultáneamente las siguientes condiciones:

Ecuaciones de equilibrio interno

0bzyx

F

0bzyx

F

0bzyx

F

zzyzxz

z

zyzyxy

y

xzxxyx

x

=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=

∑

∑

∑

σττ

τστ

ττσ

Ecuaciones de equilibrio en el contorno


45/129

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

i

i

i

zyzxz

yzyxy

xzxyx

z

y

x

nml

TTT

στττστττσ

Relaciones entre componentes del tensor de deformaciones y del vector desplazamiento

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zw

zv

yw

21

zu

xw

21

yw

zv

21

yv

yu

xv

21

xw

zu

21

xv

yu

21

xu

21

21

21

21

21

21

zyzxz

yzyxy

xzxyx

εγγ

γεγ

γγε

Condiciones de compatibilidad

2z

2

2y

2yz

2

2z

2

2x

2xz

2

2y

2

2x

2xy

2

xyxzyzz2

xyxzyzy2

xyxzyzx2

yzzyxzzxxyyx

zyxzyx2

zyxyzx2

zyxxzy2

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂∂∂

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+∂

∂

∂∂

=∂∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

−∂

∂

∂∂

=∂∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂

εεγεεγεεγ

γγγεγγγεγγγε

La resolución conjunta de todas estas condiciones (Fig. 2.16) lleva al planteamiento del

sistema de ecuaciones denominado de Navier, a cuya solución está asociada el vector

de Galerkin, en el que no se va a entrar. Simplificaciones bidimensionales en las que se

utiliza la función de Airy tampoco serán desarrolladas.

EQUILIBRIO

TENSIONES

COMPATIBILIDAD

DEFORMACIONES

COMPORTAMIENTO

FUERZAS DESPLAZAMIENTOSFUERZAS DESPLAZAMIENTOS

Fig. 2.16 – Condiciones de equilibrio elástico.


46/129

2.5.- Energía potencial interna.

Se van a considerar conceptos energéticos como son los coeficientes de influencia, las

expresiones de la energía potencial en función de distintos parámetros o los teoremas

energéticos, que facilitan la resolución de problemas del sólido elástico tanto para el

estudio de movimientos como de vínculos hiperestáticos.

Si se tiene un sólido elástico al que se le aplica una carga, éste se deforma y el sistema

de fuerzas exteriores realiza un trabajo que se representará mediante eW . Si la carga se

realiza de forma lenta y progresiva, se puede aceptar sin excesivo error que la energía

cinética del no varía. Si además el sistema es conservativo y no existen pérdidas

energéticas (por lo que no se consideran efectos de calentamiento o rozamiento), el

trabajo realizado por las fuerzas exteriores eW se transforma en energía potencial de

deformación ( iU ) debido a la acción de las fuerzas interiores.

A partir del teorema de las fuerzas vivas, la variación de la energía cinética de un sistema

entre los instantes final (2) e inicial (1) ( 12cE −Δ ) es igual al trabajo de las fuerzas

( 2e1e WW − ) entre dichos instantes

2e1e1c2c12c WWEEE −=−=−Δ

Si además el sistema es conservativo, la energía mecánica ( E ) se mantiene constante

2e1e2i1i2e1e1c2c

2i1i1c2c2c2i1c1i21 WWUUWWEEUUEEEUEUEE

−=−⇒⎭⎬⎫

−=−−=−⇒+=+⇒=

luego el trabajo de las fuerzas exteriores ( 2e1e WW − ) queda almacenado como variación

de la energía potencial elástica ( 2i1i UU − ) producido por las fuerzas interiores durante la

deformación del sistema entre los instantes inicial y final. A esta energía potencial ( iU )

se la denomina elástica, interna o de deformación.

Al ser un sistema conservativo, el trabajo de las fuerzas interiores depende solo de los

estados inicial y final y no del camino recorrido por las fuerzas, y debido a la

característica de ser elástico, al desaparecer las cargas que lo generan el sistema

recupera la forma inicial.


47/129

2.5.1.- Relaciones entre la fuerza exterior y el movimiento de un sólido elástico.

Aun estando en el campo de la elasticidad, en el que se utiliza preferentemente el

entrono del punto, para el estudio energético se utilizará el dominio del sólido deformable

ya que su aplicación se realizará en él. En su desarrollo se aceptan las siguientes

hipótesis:

1- En ningún punto del sistema cargado se supera el límite elástico.

2- Las fuerzas se aplican de forma lenta, progresiva y el sistema se comporta

siempre de forma conservativa.

3- El comportamiento del material es elástico lineal.

4- Se cumple el principio de superposición, por el que el efecto de un sistema de

fuerzas es independiente del orden de su aplicación.

5- Los desplazamientos finales son pequeños, por lo que aunque el sistema

adquiere movimiento, se considera que las fuerzas no modifican sustancialmente

sus líneas de actuación.

ijΔr

i

jjΔr

j

jFr

Fig. 2.17 - Movimiento de un punto debido a una fuerza.

Si i y j son dos puntos de un sólido deformable (Fig. 2.17), a partir del comportamiento

lineal (hipótesis 3) el módulo ( ijΔ ) del vector ( ijΔr

) correspondiente al movimiento del

punto i al aplicar la fuerza exterior jFr

en el punto j es proporcional a dicha fuerza

jij Fk=Δ


48/129

siendo la constante de proporcionalidad k la deformación del punto i por unidad de fuerza

en el punto j.

Si los puntos i y j coinciden, el módulo del vector movimiento es jjΔr

(Fig. 2.17).

Por otra parte, si un sólido deformable está sometido a un sistema de fuerzas exteriores

n21 F,...,F,Frrr

aplicadas en los puntos 1, 2,…, n respectivamente (Fig. 2.18), a partir del

principio de superposición (hipótesis 4) el vector de movimiento que se produce en un

punto i es suma de los vectores movimiento producidos en dicho punto por el efecto de

cada una de las cargas

∑=

=+++=n

1jijin2i1ii ... ΔΔΔΔΔrrrrr

iΔr

i 2

2Fr

1

1Fr

n

nFr

1iΔr

2iΔr

inΔr

…

Fig. 2.18 – Movimiento de un punto debido a varias fuerzas.

Como el concepto a utilizar es el trabajo, definido por el producto de la fuerza por el

movimiento del punto de actuación de dicha fuerza en su dirección, correspondiente a la

proyección del movimiento en la dirección de la fuerza, se utilizará el símbolo δ para

dicha proyección.

Si un sólido deformable está sometido solo a dos fuerzas exteriores ji F,Frr

aplicadas en

los puntos i, j, respectivamente (Fig. 2.19), se utilizará el coeficiente ijδ para simbolizar

la proyección del movimiento del punto i sobre la fuerza que actúa en él ( iFr

) cuando se

aplica en el punto j una fuerza de módulo unidad ( 1Fj = ).


49/129

ijΔr

i j

1Fj =r

iFr

ijδ

Fig. 2.19 - Coeficientes de influencia.

Siendo ijδ la proyección de la deformación en i sobre la fuerza en i por unidad de fuerza

en j.

Si jF tiene un valor distinto a la unidad, la proyección del movimiento del punto i sobre la

fuerza que actúa en él iFr

cuando se aplica en el punto j una fuerza de módulo jF es

jij Fδ .

Finalmente, si sobre el sólido existen una serie de fuerzas exteriores n21 F,...,F,Frrr

que

actúan en los puntos 1, 2,…, n respectivamente, aplicando el principio de superposición,

la proyección del movimiento del punto i ( iδ ) sobre la fuerza que actúa en él ( iFr

) es suma

de las proyecciones de los movimientos jij Fδ sobre la fuerza iFr

producidos por cada

una de las fuerzas jFr

∑=

=+++++=n

1jjjinniiii22i11ii FF...F...FF δδδδδδ

luego la proyección del movimiento de un punto sobre la fuerza que actúa en dicho punto

es proporcional a los módulos de las fuerzas aplicadas en el sólido.

A los parámetros ijδ se les denomina coeficientes de influencia.

Esta expresión que se ha desarrollado para fuerzas activas concentradas (puntuales)

también es válida para momentos activos puntuales sin más que sustituir los

movimientos por giros y las fuerzas por momentos


50/129

∑=

=+++++=n

1jjjinniiii22i11ii MM...M...MM θθθθθθ

2.5.2.- Expresiones de la energía potencial interna.

Como ya se ha indicado, la energía potencial interna es el trabajo desarrollado por las

fuerzas interiores que aparecen en los puntos internos del sólido ( i'Fr

) cuando éste se

carga, y es equivalente al trabajo producido por las fuerzas exteriores en el movimiento

del sistema.

21e21i WU −− =Δ

Si se considera un sólido elástico con comportamiento lineal inicialmente descargado al

que se le aplica una carga puntual de forma lenta y progresiva, y se denominan a las

magnitudes de la fuerza que actúa al final de la carga y la proyección del desplazamiento

correspondiente del punto de actuación en la dirección de la fuerza mediante iF y iδ

respectivamente, dicho proceso de carga viene reflejado en gráfica fuerza-movimiento

( δ,F ) de la Fig. 2.20

iF

δ δ

F

F

iδ δδ d+

Fig. 2.20 - Proceso de carga.

en la que δ,F son los valores de fuerza y deformación en un instante intermedio del

proceso de carga. La proporcionalidad lineal entre carga y deformación viene definida

por la relación

δδδδ i

i

i

i FFFF=⇒=


51/129

y el área bajo la curva, correspondiente al trabajo de las fuerzas exteriores para ir del

estado inicial al final ( 21eW − ) es

ii0

2

i

i

0 i

i

021e F

21

2FdFdFW

iiiδδ

δδδ

δδ

δδδ==== ∫∫−

Expresión distinta a la usualmente utilizada en mecánica ( δFW 21 =− ), ya que la fuerza

elástica no actúa con su valor final ( iδ ) durante todo el movimiento de su punto de

actuación.

Si hay n fuerzas actuando simultáneamente sobre el sistema, por el principio de

superposición la expresión del trabajo de las fuerzas exteriores entre los instantes inicial

y final, desarrollada por Clapeyron, es

∑=

− =n

1iii21e F

21W δ

Como los trabajos de las fuerzas exteriores son iguales a los de las fuerzas interiores, y

queda almacenado como energía potencial elástica, se puede poner

∑=

−− ==n

1iii21e21i F

21WU δ

En lo que sigue y mientras no se indique lo contrario, las fuerzas en el estado inicial se

considerarán nulas, por lo que la variación del trabajo o la energía corresponde

únicamente al estado final.

2.5.2.1 Potencial interno en función únicamente de las fuerzas exteriores.

Teniendo en cuenta que la proyección del movimiento sobre la fuerza del punto de

estudio es proporcional a los módulos de las fuerzas exteriores aplicadas en el sólido

∑=

=+++++=n

1jjjinniiii22i11ii FF...F...FF δδδδδδ

el potencial interno se puede poner en función de las fuerzas exteriores

( )∑ ∑∑= == ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

n

1i

n

1jjjii

n

1iiii FF

21F

21U δδ


52/129

2.5.2.2 Potencial interno en función únicamente de los movimientos.

Si se conocen los coeficientes de influencia ( ijδ ) y las proyecciones de los movimientos

sobre las direcciones de las fuerzas exteriores ( iδ ) a través de las expresiones

∑=

=+++=n

1jjjinni22i11ii FF...FF δδδδδ con i=1,2,..,n

se puede plantear un sistema de n ecuaciones, a partir de las cuales obtener los módulos

de las fuerzas exteriores ( jF ) en función de las proyecciones de los movimientos sobre

ellas ( n11 ,...,, δδδ ), de la forma

∑=

=+++=n

1kkjknjn22j11jj bb...bbF δδδδ con j=1,2,..,n

Sustituyendo este valor en la expresión del potencial interno se obtiene en función de los

movimientos

( )∑ ∑∑= ==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

n

1ii

n

1kkjk

n

1iiii b

21F

21U δδδ con j=1,2,..,n

2.5.2.3 Potencial interno en función de las componentes del tensor de tensiones y de deformaciones.

En este caso, el potencial interno o energía de deformación por unidad de volumen se

obtiene multiplicando la tensión en una dirección por la deformación correspondiente a

dicha dirección, con lo que queda

( )yzyzxzxzxyxyzzyyxxi 21U γτγτγτεσεσεσ +++++=

expresión que integrada respecto del volumen determina la energía potencial interna

total del sólido

( )∫ +++++=V

yzyzxzxzxyxyzzyyxxi dv21U γτγτγτεσεσεσ

2.5.3.- Teoremas de Castigliano.

Los conceptos de partida de estos importantes teoremas son la determinación de la


53/129

energía potencial infinitesimal ( idU ) en función de la variación tanto de la fuerza ( dF )

como de la proyección del desplazamiento ( δd ).

Como la fuerza y la proyección del desplazamiento al final del proceso de carga ( ii ,F δ )

se puede poner en función de la fuerza y la proyección del desplazamiento en un instante

arbitrario ( δ,F ), se puede obtener estos parámetros y diferenciarlos

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇒=

=⇒=

⇒=dF

FdF

F

dFdFFFFF

i

i

i

i

i

i

i

i

i

iδδδδ

δδ

δδ

δδ

Si se sustituyen en las expresiones infinitesimales del trabajo debido a la variación de la

proyección del desplazamiento o de la fuerza se tiene

dFF

FdFdUi

ii

δδ == δδ

δδ dFdFdUi

ii ==

2.5.3.1 Primer teorema de Castigliano.

Si se deriva la primera expresión respecto de la fuerza y se aplica a la fuerza exterior final

iF se tiene

ii

ii

FFi

i

FFi

i

FF

iF

FF

FdFF

FFF

U

iii

δδδδ===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

=== luego i

FF

i

iFU

δ=∂∂

=

correspondiente al primer teorema de Castigliano, que indica que si se deriva la energía

de deformación respecto de una fuerza que actúa en el sistema y se sustituye para el

valor final de la fuerza correspondiente, se obtiene la proyección del movimiento del

punto de actuación de esta fuerza sobre su dirección.

2.5.3.2 Segundo teorema de Castigliano.

Si ahora la segunda expresión de la energía infinitesimal en función de la variación de la

proyección del movimiento en la dirección de la fuerza se deriva respecto de la variación

de la proyección de dicho movimiento, y se aplica a la proyección final del movimiento iδ

se tiene


54/129

ii

ii

i

i

i

ii FFFdFU

iii

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

=== δδ

δδδ

δδ

δδ δδδδδδ luego i

i FU

i

=∂∂

=δδδ

correspondiente al segundo teorema de Castigliano, que indica que si se deriva la

energía respecto de la proyección del movimiento del punto de actuación de una fuerza y

se sustituye para la proyección correspondiente, se obtiene la fuerza que lo genera.

Estos teoremas se han aplicado a los casos de fuerzas puntuales y proyecciones de los

movimientos en la dirección de las fuerzas, pero también son aplicables al caso de

momentos puntuales y giros

iMM

i

iMU θ=

∂∂

= i

i MU

i

=∂∂

=θθθ

2.5.3.3 Método de la carga ficticia.

Como se ha visto, el primer teorema de Castigliano permite determinar la proyección del

movimiento de un punto en la dirección de la fuerza que actúa en dicho punto. Para

determinar el movimiento en una dirección de un punto del sólido en el que no actúa

ninguna fuerza, se utiliza el método de la carga ficticia.

Para ello se determina la energía del sistema sometido a las fuerzas exteriores, a la que

se añade una fuerza auxiliar ficticia P aplicada en el punto en el que se quiere determinar

el movimiento y en la dirección de dicho movimiento.

A partir de ahí se calcula la derivada de dicha energía respecto de la fuerza ficticia P y

posteriormente se anula dicha fuerza.

P0P

iPU δ=∂∂

=

2.5.4.- Teorema de Menabrea.

El teorema de Menabrea es una aplicación del teorema de Castigliano a sistemas

hiperestáticos.

Si el sólido elástico está vinculado de forma hiperestática, el número de incógnitas

vinculares supera al de ecuaciones de equilibrio estático, por lo que la obtención de

dichos vínculos no se puede realizar utilizando únicamente estas ecuaciones.


55/129

Sin embargo en el punto de actuación de un vínculo se conoce la magnitud del

movimiento correspondiente preescrito (normalmente nulo), por lo que si la energía de

deformación se pone en función de las magnitudes vinculares correspondientes, se

deriva respecto de cada una de ellas y se iguala a los movimiento preescritos, se obtiene

un sistema de tantas ecuaciones como vínculos tiene el sólido, lo que permite su

resolución.

Por ejemplo, en el caso de un sistema hiperestático de grado dos (Fig. 2.21), se

seleccionarán y eliminarán dos de las incógnitas hiperestáticas, sustituyéndolas por las

fuerzas desconocidas correspondientes ( 21 X,X ), quedando el nuevo sistema vinculado

de forma isostática. Las fuerzas vinculares 21 X,X se considerarán como fuerzas

exteriores cuyo movimiento preescrito del punto de actuación es conocido (normalmente

nulo).

2 m

10 KN/m

0 1 2

4 m

2 m

10 KN/m

0 1 2

4 m 0

X

1X

1

=δX

2X

2

=δ

Fig. 2.21 - Sistema hiperestático externo.

Para la determinación de las fuerzas vinculares, el trabajo de las fuerzas exteriores ( eW )

se pondrá en función de estas incógnitas vinculares

( )21ee X,XWW =

y se derivará respecto de cada una de ellas igualándose al movimiento preescrito

correspondiente al vínculo (21 XX ,δδ )

111

XXX1

eXW δ=

∂∂

=

2

22

XXX2

eXW δ=

∂∂

=

En el caso común en que los movimientos preescritos sean nulos, estas expresiones serían


56/129

0XW

11 XX1

e =∂∂

=

0XW

22 XX2

e =∂∂

=

que indican que para los valores correspondientes a las incógnitas hiperestáticas la

función potencial es mínima.

El teorema de Menabrea también se puede aplicar a sistemas hiperestáticos internos

producido por un número excesivo de barras en un sistema. Si el sistema es

hiperestático interno se convierte en isostático seccionando e introduciendo las

incógnitas hiperestáticas correspondientes (Fig. 2.22). 10 KN

1 2

4 m

10 KN

1 2

4 m

N0 N0

M0

M0

T0

T0

Fig. 2.22 - Sistema hiperestático interno.

Por ejemplo, en un cuadro de nudos rígidos sometido a flexión el grado de

hiperestaticidad es tres, por lo que se secciona por un punto y se introducen los tres

esfuerzos de la barra seccionada como incógnitas hiperestáticas (esfuerzo axil N0,

esfuerzo cortante T0 y momento flector M0), siendo iguales y opuestas en ambos

extremos de la sección.

Para la determinación de estos esfuerzos, el trabajo de las fuerzas exteriores ( iU ) se

pondrá en función de estas incógnitas

( )000ii M,T,NUU =

y se derivará respecto de cada una de ellas igualándose al movimiento preescrito

0

00

NNN0

iNU δ=

∂∂

=

0

00

TTT0

iTU δ=

∂∂

=

0

00

MMM0

iMU δ=

∂∂

=

Expresiones que indican que para los valores correspondientes a los esfuerzos

hiperestáticos la función potencial es mínima.


57/129

2.5.5.- Teorema de Maxwell-Betti.

A este teorema se le denomina también de reciprocidad y en su desarrollo es importante

el orden de actuación de las fuerzas.

Se va a considerar el caso de un sólido elástico sometido a dos sistemas de fuerzas

2i1i F,Frr

, actuando sobre los puntos 2i1i A,A respectivamente, en los que 2i1i ,δδ son las

proyecciones de los movimientos de dichos puntos respecto de las fuerzas

correspondientes.

Además 1i'δ son las proyecciones de los movimientos de los puntos 1iA en los que

actúan las fuerzas 1iF respecto de sus líneas de acción cuando se aplican las fuerzas

2iFr

, y 2i'δ son las proyecciones de los movimientos de los puntos 2iA en los que actúan

las fuerzas 2iF respecto de sus líneas de acción cuando se aplican las fuerzas 1iFr

.

Si se aplica primero el sistema de fuerzas 1iFr

el trabajo correspondiente según la

expresión de Clapeyron es

( ) ∑=

=n

1i1i1i1ie F

21FW δ

Si posteriormente sobre el sistema cargado con las fuerzas 1iFr

se le aplican las fuerzas

2iFr

se producirán dos tipos de trabajo. Primero el debido a las fuerzas 2iFr

con las

proyecciones de los desplazamientos de sus puntos de actuación 2iδ , y además el

trabajo debido a las fuerzas ya existentes 1iFr

con las proyecciones de los

desplazamientos de sus puntos de actuación 1i'δ producidos por la fuerzas 2iFr

∑∑==

+n

1i1i1i

n

1i2i2i 'FF

21 δδ

En este último caso el trabajo vale ∑=

n

1i1i1i 'F δ (sin el 1/2), ya que es el producido por las

fuerzas anteriores 1iFr

con su magnitud final. Por lo tanto el trabajo exterior ( )2i1ie F,FT al

aplicar al aplicar sucesivamente los sistemas de fuerzas 2i1i F,Frr

con ese orden es


58/129

( ) ∑∑∑===

++=n

1i1i1i

n

1i2i2i

n

1i1i1i2i1ie 'FF

21F

21F,FW δδδ

Si se aplican ahora nuevamente de forma sucesiva los dos sistemas de fuerzas pero en

orden contrario ( 1i2i F,Frr

) el trabajo exterior correspondiente ( )1i2ie F,FW es

( ) ∑∑∑===

++=n

1i2i2i

n

1i1i1i

n

1i2i2i1i2ie 'FF

21F

21F,FW δδδ

Como por el principio de superposición el trabajo final ha de ser el mismo

independientemente del orden de aplicación de las fuerzas

( ) ( )1i2ie2i1ie F,FWF,FW =

se llega a la conclusión de que

∑∑==

=n

1i2i2i

n

1i1i1i 'F'F δδ

denominado teorema de Maxwell-Betti.

Una conclusión importante de este teorema es la igualdad de los coeficientes de

influencia recíprocos. Para su determinación se considerará que el sistema está

sometido únicamente a dos fuerzas ji F,Frr

, actuando sobre los puntos ji A,A , con las

proyecciones de los movimientos de los puntos de actuación de las fuerzas respecto de

sus líneas de acción ji ',' δδ , respectivamente. En este caso la aplicación del teorema de

Maxwell-Betti es

jjii 'F'F δδ =

A partir de la determinación de la proyección del movimiento de un punto ( iδ ) como

suma de los productos de los coeficientes de influencia multiplicados por las magnitudes

de las fuerzas

∑=

=n

1jjjii Fδδ

aplicado a cada uno de los estados de carga se tiene

jjii F' δδ = ijij F' δδ =


59/129

por lo que sustituyendo en la expresión anterior

ijijjijijjii FFFF'F'F δδδδ =⇒= luego jiij δδ =

y se concluye que los coeficientes de influencia recíprocos son iguales.


60/129

2.6.- Criterios de plastificación.

En un estado tridimensional de tensiones se observa que llegada una combinación de

valores se produce la fluencia del material con un aumento de deformación a tensión

constante, instante en el que se considera finalizado el comportamiento elástico. Las

condiciones que deben aparecer para que se alcance este estado son complejas y

difíciles de deducir orlo que se desea obtener criterios de determinación a partir del

ensayo de tracción monoaxil.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇔

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

00000000x

zyzxz

yzyxy

xzxyx σ

στττστττσ

Para determinar estas condiciones se realizaron estudios teórico-experimentales con el

objetivo de determinar los criterios de plastificación que implican el final del

comportamiento elástico del material.

Estudios de investigadores como Lode indicaron que la plastificación está relacionada

con el tamaño de la circunferencia de Mohr más grande.

Posteriormente Bridgman analizó el comportamiento de materiales sometidos a grandes

compresiones, obteniendo como conclusión que la compresión hidrostática produce

siempre deformación elástica.

La compresión hidrostática recibe su nombre del hecho de que éste es el único estado de

tensión que puede soportar un fluido en reposo, ya que solamente puede aparecer

tensiones tangenciales por efecto de la viscosidad, lo que requiere movimiento entre sus

capas.

Un estado de compresión hidrostática, debido a que los valores de las tres tensiones

principales son coincidentes, queda representado mediante un punto en la gráfica de las

circunferencias de Mohr (Fig. 2.23)


61/129

σ1=σ2=σ3

τ

σ

Fig. 2.23 – Representación de Mohr de un estado de compresión hidrostática.

Una consecuencia inmediata de las observaciones de Bridgman es que si se

superponen un estado de compresión hidrostática a otro en el que no se alcance la

plastificación, por muy grande que sea el valor de la tensión hidrostática no se llega a la

plastificación.

En la Fig. 2.24, se comprueba que las circunferencias de Mohr del estado de tensiones

no plastificado solo experimenta una traslación hacia la izquierda tras la superposición,

no produciéndose cambios de tamaño, lo que avala los resultados de Lode.

= + σ1=σ2=σ3

τ

σ σ3

Τ τ

σ2 σ1 σ

τ

σ

τ

σ σ3

Τ τ

σ2 σ σ1

Fig. 2.24 – Superposición de tensión hidrostática más otro estado.

2.6.1.- Criterio de Tresca.

El Criterio de Tresca, o de la tensión tangencial máxima predice el comienzo de la

plastificación de materiales dúctiles, indicando que éste se inicia cuando la tensión

tangencial máxima que actúa sobre un punto del material alcanza la tensión tangencial

máxima en el ensayo de tracción, por lo que el comportamiento elástico viene expresado

por


62/129

22,

2,

2.max e323121 σσσσσσσ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

siendo eσ la tensión límite elástica.

La condición límite de plastificación estaría expresada por tres ecuaciones de igualdad,

de las que quitando los valores absolutos resultan las seis ecuaciones siguientes

e32e31e21 σσσσσσσσσ ±=−±=−±=−

Estas seis ecuaciones representan seis planos en un espacio tridimensional en el

espacio de Haigh-Westergaar paralelos a la trisectriz de los ejes, formando un prisma

hexagonal regular (Fig. 2.25) conocido como superficie de plastificación, que se extiende

infinitamente en el espacio de las tensiones principales.

31

S

σ1

σ2

σ3 O

{n}

31

31

σ1

σ2 σ3

O

σe

σe

σe

Fig. 2. 25 – Prisma correspondiente al criterio de Tresca y representación isométrica.

La muestra este prisma proyectado en un plano perpendicular a la trisectriz (en

perspectiva isométrica). Observado esta figura, si el punto asociado a las tensiones

principales está dentro del hexágono, no habrá plastificación y si se encuentra en su

superficie, el punto ha plastificado.

Se denomina tensión equivalente .equivσ al doble de la tensión tangencial máxima del

estado de carga que actúa sobre el punto

31.equiv σσσ −=

de forma que el comportamiento elástico del material se produce cuando


63/129

e31.equiv σσσσ <−=

comenzando el comportamiento plástico cuando

e31.equiv σσσσ =−=

Este criterio es aceptable para materiales dúctiles, si bien en estudios experimentales de

torsión pura se comete un error del 15% del lado de la seguridad.

2.6.2.- Criterio de Von Mises.

El Criterio de Von Mises, o de la energía de distorsión predice el comienzo de la

plastificación de materiales dúctiles, indicando que éste se inicia cuando la energía de

distorsión por unidad de volumen ( dU ) que actúa sobre un punto del material alcanza la

correspondiente al ensayo de tracción.

La energía de deformación por unidad de volumen ( iU ) se puede descomponer en la

energía debida al cambio de volumen ( vU ) y la producida en la distorsión o cambio de

forma a volumen constante ( dU ).

dvi UUU +=

La energía de deformación por unidad de volumen ( iU ) se puede expresar en base

principal de tensiones mediante

( )332211i 21U εσεσεσ ++=

en la que sustituyendo las deformaciones en función de las tensiones

( )[ ]3211 E1 σσμσε +−= ( )[ ]3122 E

1 σσμσε +−= ( )[ ]2133 E1 σσμσε +−=

se tiene

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++−++−= 213331223211i E

1E1

E1

21U σσμσσσσμσσσσμσσ

o desarrollando


64/129

( ) ( )32312123

22

2i EE2

1U1

σσσσσσμσσσ ++−++=

la energía debida al cambio de volumen ( vU ) está asociada a la tensión normal

octaédrica media ( 0σ ) de cada una de sus componentes y vale

( ) ( )00000000v 23

21U εσεσεσεσ =++=

en la que sustituyendo las deformación octaédrica en función de la tensión

( )[ ] [ ]μσσσμσε 21EE

1 00000 −=+−=

se tiene

[ ] ( )μσμσσ 21E2

321E2

3U200

0v −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

sustituyendo la tensión normal octaédrica media ( 0σ ) por su valor en función de las

componentes principales de tensión

3321

0σσσσ ++

=

se tiene

( ) ( )μσσσ 21E6

U2

321v −

++=

y la energía por unidad de volumen asociada al cambio de forma se puede obtener de

viddvi UUUUUU −=⇒+=

( ) ( ) ( ) ( )μσσσ

σσσσσσμσσσ 21E6EE2

1UUU2

321323121

23

22

2vid 1

−++

−++−++=−=

Expresión que desarrollando es

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221d E6

1U σσσσσσμ−+−+−

+=

la energía por unidad e volumen asociada al cambio de forma para un estado de tracción

es


65/129

( ) ( ) ( )[ ] 2e

2e

22e

ed E3

10000E6

1U σμσσμ +=−+−+−

+=

por lo que el límite de comportamiento elástico viene expresado por

( ) ( ) ( )[ ] 2e

213

232

221 E3

1E6

1 σμσσσσσσμ +=−+−+−

+

o simplificado

( ) ( ) ( )[ ] 2e

213

232

221 2σσσσσσσ =−+−+−

En sistemas bidimensionales el criterio se reduce a la expresión

( )[ ] 2e

21

22

221 2σσσσσ =++−

En este caso se denomina tensión equivalente .equivσ a la expresión asociada al estado

de carga que actúa sobre el punto

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221.equiv 2

1 σσσσσσσ −+−+−=

de forma que el comportamiento elástico del material se produce cuando

( ) ( ) ( )[ ] e2

132

322

21.equiv 21 σσσσσσσσ <−+−+−=

comenzando el comportamiento plástico cuando

( ) ( ) ( )[ ] e2

132

322

21.equiv 21 σσσσσσσσ =−+−+−=

La energía de distorsión está asociada al cilindro de Von Mises, elemento que está

circunscrito al prisma del criterio de Tresca (Fig. 2. 26)


66/129

31

S

σ1

σ2

σ3 O

{n}

31

31

σ1

σ2 σ3

O

σe

σe

σe

Fig. 2. 26 – Cilindro correspondiente al criterio de Von Mises y representación isométrica.


67/129

3. - Resistencia de Materiales.

3.1.- Introducción.

Como ya se ha indicado, la resistencia de materiales aplica las hipótesis de elasticidad

de forma simplificada sólidos deformables como barras, placas o láminas. Para el

estudio de barras utiliza el modelo geométrico de prisma mecánico.

Un prisma mecánico es sólido teórico generado por una sección plana, denominada

indicatriz, cuyo centro de gravedad (G) describe una curva (c) llamada directriz, siendo el

plano que contiene a la sección normal a la curva (Fig. 3.1).

Fig. 3.1 – Prisma mecánico.

Los prismas mecánicos se pueden clasificar dependiendo de distintos parámetros.

En función del tipo de línea media.

1- Planos. Cuando la línea media está contenida en un plano.

2- Rectos. Cuando la línea media es recta.

3- Alabeados. Cuando la línea media no está contenida en un plano (Fig. 3.2).

Fig. 3.2 – Prisma alabeado.

En función de la forma de la sección.

1- De sección constante. Cuando la sección del prisma es la misma en toda su



68/129

Fig. 3.3 – Prisma recto de sección constante.

2- De sección variable. Cuando la sección del prisma no es la misma en toda su


Fig. 3.4 – Prisma de sección variable.

3- A retallos. Cuando la sección del prisma no es la misma en toda su longitud,

pero es constante dentro de distintos dominios (Fig. 3.5).

Fig. 3.5 – Prisma de sección constante a retallos.

En función de las dimensiones.

1- Vigas. Cuando las dimensiones de la sección transversal son pequeñas

respecto de la longitud de la línea media. Se utilizan en elementos que salvan

grandes distancias (Fig. 3.6).


69/129

Fig. 3.6 – Vigas.

2- Placas. Elementos limitados por dos planos cuya distancia (espesor) es

pequeño en comparación con las otras dimensiones. Aparecen en losas y

forjados (Fig. 3.7).

Fig. 3.7 – Placas.

3- Láminas o cáscaras. Cuerpos limitados por dos superficies curvas cuya

distancia (espesor) es pequeño en comparación con otras dimensiones.

Aparecen en superficies de depósitos, silos, tuberías (Fig. 3.8).

Fig. 3.8 -Lámina

De entre los modelos indicados se analizará el modelo barra.

3.1.1.- Ejes de estudio del elemento barra.

Se considerará un sistema de referencia directo de ejes xyz y unitarios k,j,irrr, con origen en

el centro de gravedad de la sección (G), con eje longitudinal x tangente a la línea media en

ese punto, y ejes y, z preferentemente principales de inercia de la sección (Fig. 3.9).


70/129

Si los ejes y, z no son los principales de inercia o el sistema de referencia no se sitúa en

el centro de gravedad de la sección, las fórmulas a utilizar tendrán expresiones

complejas.

Fig. 3.9 – Sistema de referencia.

En general, la posición de la sección de estudio para un prisma alabeado viene definida

por la abcisa curvilínea (s), correspondiente a la longitud del arco de curva de la línea

media (c) que sitúa la sección respecto del origen del sistema de referencia.

3.1.2.- Esfuerzos sobre la sección.

Se considera un prisma mecánico en equilibrio estático bajo la acción de un sistema de

fuerzas. Si se secciona por un plano perpendicular a su línea media y se elimina uno de

los elementos, el equilibrio de las fuerzas exteriores que actúan en él desaparecerá, a no

ser que se considere la acción de una fuerza y un par que se sitúa en el centro de

gravedad G de la sección de corte (torsor) equivalentes a las fuerzas interiores que

aparecen en los puntos de la sección.

Si se descompone la resultante de fuerzas de la sección de corte ( Rr

) respecto de los

ejes del sistema de referencia Gxyz de unitarios k,j,irrr

, se tiene (Fig. 3.10)

kTjTiNR zyx

rrrr++=

x

yz

F1

F2

F3

G

Ty

Tz

Nx

R

Fig. 3.10 – Resultante de las fuerzas interiores.


71/129

en la que

Nx - Esfuerzo normal al plano de estudio o axil, que tiende a alargar la barra

originando tensiones normales de tracción o compresión ( xσ ),

Ty, Tz - Esfuerzos cortantes situados en el mismo plano de la sección, que tienden

a originar deformaciones angulares y generan tensiones tangenciales ( xzxy ,ττ ,

respectivamente).

Si se descompone el momento resultante de fuerzas de la sección de corte respecto del

centro de gravedad de la sección ( GMr

), respecto de los ejes del sistema de referencia

Gxyz, se tiene (fig. 3.11)

kMjMiMM zyTG

rrrr++=

x

yz

F1

F2

F3

G

My

Mz

MT

MR

Fig. 3.11 – Momento resultante de las fuerzas interiores respecto del cetro de gravedad.

en la que

MT - Momento que actúa en dirección normal al plano de estudio o momento

torsor, que tiende a hacer girar la barra respecto de su eje longitudinal y genera

tensiones tangenciales,

My, Mz - Momentos flectores que tienden a hacer girar el cuerpo curvándolo en los

planos (xz e xy respectivamente) generando momentos flectores.

3.1.3.- Relación entre esfuerzos y tensiones.

Los esfuerzos axil y cortantes, y momentos torsor y flector son estáticamente

equivalentes a la distribución de tensiones que aparecen en los puntos de la sección, por

lo que la relación que existe entre los esfuerzos de la sección y las tensiones de los


72/129

puntos que la componen son (Fig. 3.12).

z

y

σx

τxz

τxy

x

z

y

O

A

dA

x

z

y

O Tz

Ty

Nx Mx

My

Mz

Fig. 3.12 – Relación entre tensiones en el entorno del punto y esfuerzos en la sección.

∫=A

xx dAN σ ∫=A

xyy dAT τ ∫=A

xzy dAT τ

∫∫ −=A

yzA

xzx dAxdAyM ττ ∫=A

xy dAzM σ ∫=A

xz dAyM σ

3.1.4.- Criterio de la rebanada.

Se denomina así el método para definir el criterio de signo de los esfuerzos que aparecen

en una sección bajo la acción de un sistema de fuerzas. El análisis se basa en seccionar

de forma ideal por un plano una viga, generando dos caras, la dorsal y la frontal de forma

que los esfuerzos positivos en cada uno de los planos son los que aparecen en la Fig.

3.13.

Fig. 3.13 – Esfuerzos positivos. Criterio de la rebanada.


73/129

3.2.- Tracción o compresión.

3.2.1.- Introducción.

Es la solicitación que aparece en una barra cuando la resultante fuerzas interiores sobre

el centro de gravedad queda reducida al esfuerzo axil (3.14).

x

yz

F1

F2

F3

GNx

Fig. 3.14 – Barra sometida a tracción.

Se considera esfuerzo normal positivo xN cuando el esfuerzo genere tracciones sobre

la sección y negativo cuando genere compresiones. Los esfuerzos positivos aparecen en

la Fig. 3.15.

xNx Nx

+

y

Fig. 3.15 – Esfuerzos positivos de tracción.

Las hipótesis que se consideran para su estudio desde el punto de vista de la resistencia

de materiales son las siguientes:

Barras de eje recto y fuerzas aplicadas axialmente en el centro de gravedad de las

secciones.

Barras robustas (no aparece el efecto de pandeo).

Las secciones durante su deformación se mantienen planas y perpendiculares al eje.


74/129

3.2.2.- Sistema isostático.

En principio se calculan las reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio estático.

Por ejemplo, para la viga de la Fig. 3.16

a

O B C

P1

A

P2 P3

b

l

x

x

R0

O B C

P1

A

P2 P3

x

Fig. 3.16 – Barra isostática sometida a tracción.

32103210x PPPR0PPPR0F ++=⇒=+++−⇒=∑

Conocidas las reacciones, el proceso se basa en seccionar cada uno de los campos de

carga mediante un plano y eliminar una de las partes, por ejemplo la que se encuentra a

la derecha. Para que el elemento no eliminado siga cumpliendo la condición de equilibrio,

la resultante de fuerzas interiores que aparece en la sección, correspondiente al

esfuerzo axil, ha de ser equilibrante de las fuerzas que actúan en el elemento, o bien

equivalente a las fuerzas que aparecían en la parte eliminada.

( )xNN xx =

Como a priori puede ser complicado conocer el sentido correcto del esfuerzo de todos los

campos de carga, una técnica para su determinación correcta es considerar siempre los

esfuerzos desconocidos como positivos (a tracción), y posteriormente, a partir de

plantear el equilibrio del elemento, obtener el signo del esfuerzo.

La magnitud del esfuerzo axil se define respecto de un origen de cotas que se toma

normalmente el extremo izquierdo de la barra (Fig. 3.17), y utilizando una función

matemática discontinua para cada campo de carga, por ejemplo, para la Fig. 3.17


75/129

32103x

102x

01x

PPPRNlxbPRNbxa

RNax0

=−−=≤≤−=≤≤

=≤≤

a

O

P1

A x

x

Nx

a

O B C

P1

A

P2 P3

b

l

x

x

R0

Fig. 3.17 – Esfuerzo axil en el segundo campo de cargas.

A la representación de esta función se la denomina diagrama o gráfico de esfuerzos

axiles. En él se visualizan los esfuerzos en todas las secciones de la barra (Fig. 3.18)

x

a

O B C

P1

A

P2 P3

b

l

x

Nx

+N3

N2

N1

Nx

P3

P2

P1

R0

Fig. 3.18 – Gráfica de esfuerzos axiles.


76/129

3.2.3.- Tensiones.

El esfuerzo axil de cada sección ( xiN ) se considera uniformemente distribuido en el área

de la sección recta perpendicular a la línea media ( iA ), independientemente de su

geometría, por lo que las tensiones en todos sus puntos son iguales y de magnitud

i

xixi A

N=σ

Debido a efectos como taladros o variación de sección, pueden aparecer concentración

de tensiones que nos se van a estudiar (Fig. 3.19).

Fig. 3.19 – Reparto de tensiones a tracción.

A partir de la expresión de las tensiones se pueden resolver diversos problemas.

Dimensionamiento.

Conocido el esfuerzo axil en cada sección y la tensión admisible del material, determinar

el área mínima de la sección necesaria

min,iadm

xiadm

min,i

xi ANAN

≤⇒≤σ

σ

en la que

admσ - Tensión admisible del material.

min,iA - Área mínima de la sección.

Comprobación.

Conocido el esfuerzo axil en y el área en cada sección, comprobar que no se supera la

tensión admisible del material.


77/129

admi

xiA

N σ≤

Limitación de cargas.

Conocido la tensión admisible del material y el área en cada sección, comprobar que el

esfuerzo axil en cada sección no supera el valor máximo.

iadmmax,xixi ANN ⋅=≤ σ

3.2.4.- Deformaciones.

Como solo hay tensiones en la dirección longitudinal de barra (eje x), aplicando las leyes

de Hooke generalizadas



Gxy

xyτ

γ = Gxz

xzτγ =

Gyz

yzτ

γ =

se obtienen las deformaciones

Ex

xσε =

Ex

zyσμεε −== 0yzxzxy === γγγ

Relacionando las deformaciones con los movimientos

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

21

21

21

21

21

21

zw

zv

yw

21

zu

xw

21

yw

zv

21

yv

yu

xv

21

xw

zu

21

xv

yu

21

xu

D

εγγ

γεγ

γγε

se obtiene

Exu x

xσε =

∂∂

= Ey

vy xσμε −=∂∂

= Ez

w xz

σμε −=∂∂

= 0yzxzxy === γγγ

de estos, el más importante es el existente en la dirección del eje x, del que se puede

obtener


78/129

dxEANdx

Edxdu xx

x ===σε

Para un campo de carga de longitud iL , esfuerzo axil xiN , área iA y material iE , el

alargamiento iLΔ viene expresado mediante

∫=iL

0 ii

xii dx

AENLΔ

por lo que el alargamiento de una barra con distintos campos de carga se obtiene

sumando las integrales que aparecen en cada campo de carga.

∑ ∫∑== ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

n

1i

L

0 ii

xin

1iii

idx

AENLL Δ

las expresiones de la deformación en cada campo de carga y la gráfica de movimientos

correspondiente a la viga a tracción analizada (Fig. 3.20) serían

( )

( )33

3x3

22

2x2

11

1x1

AEbxNLlxb

AEaxNLbxa

AExNLax0

−=≤≤

−=≤≤

=≤≤

Δ

Δ

Δ

( )

( )( )lxLLLLbxLLL

axLL

3213

212

11

=++==+=

==

ΔΔ

Δ

x

a

O B C

P1

A

P2 P3

b

l

x

Δl

Δl

Δ11 +

Δ12 Δ13

Fig. 3.20 – Movimientos de la viga a tracción.


79/129

3.2.5.- Energía de deformación.

La energía de deformación por unidad de volumen viene expresada mediante


luego en el caso de tracción queda reducida a

( )xxi 21U εσ=

y la energía de un volumen infinitesimal sometido a tracción es

( )dV21dU xxi εσ=

Si se consideran dos secciones constantes muy próximas entre sí, la expresión queda

( )Adx21dU xxi εσ=

en la que sustituyendo la tensión y la deformación unitaria por

ANx

x =σ E

xx

σε =

se obtiene

dxEAN

21dU

2x

i =

correspondiente a la energía para un elemento de longitud infinitesimal. Si se integra

respecto de la longitud de un campo de carga, se tiene

∫=iL

0 ii

2xi

i dxAE

N21U

y para una barra con distintos campos de carga, la energía total vale

∑ ∫∑==

==n

1i

L

0 ii

2xi

n

1ii

idx

AEN

21UU

Si el sistema está formado por varias barras, la energía total es suma de la energía de

cada una de las barras.


80/129

3.2.6.- Sistemas hiperestáticos.

Cuando una barra o un sistema de barras tiene más incógnitas que ecuaciones de

equilibrio estático el sistema es hiperestático. En este caso hay que obtener primero los

valores de los vínculos para posteriormente determinar la magnitud de los esfuerzos,

tensiones y deformaciones de las barras.

Para la obtención de los vínculos se utilizan, además de las ecuaciones de equilibrio, las

de comportamiento o deformación y las de compatibilidad de los movimientos con los

vínculos del sistema.

Despejadas las incógnitas hiperestáticas del sistema, el calculo de de tensiones,

deformaciones y movimientos se realiza del mismo modo que en sistemas isostáticos.

Existen dos procedimientos característicos para la obtención de las incógnitas

vinculares: los métodos geométrico y energético.

3.2.6.1 Hiperestática interna. Método geométrico.

La obtención de las incógnitas hiperestáticas se basa en el siguiente procedimiento:

1- Seccionar las barras y plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema, dejando

como incógnitas los esfuerzos de las barras redundantes.

2- Plantear las ecuaciones de equilibrio estático.

3- Considerar los movimientos hipotéticos que tendría el sistema de barras en

función de las deformaciones de las barras, de forma que sean compatibles con

los nudos.

4- Determinar las deformaciones de las barras en función de los esfuerzos

(desconocidos) que aparecen en ellas.

5- Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.

Como ejemplo se va a analizar el sistema de la Fig. 3.21. Para simplificar, las áreas y

materiales de las barras se consideran iguales.


81/129

α α

A

O

L1

LL1

B C

Fig. 3.21 – Sistema hiperestático interno.

El sistema es hiperestático ya que al ser barras concurrentes en un punto solo se pueden

plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerza en sus dos componentes de forma

linealmente independiente. Aislando el nudo O estas ecuaciones son (fig. 3.22)

α α

A

O

L1 L

L1

B C

N1 N3

N2

x

y

Fig. 3.22 – Esfuerzos en las barras.

0FcosNcosNN0F0senNsenN0F

312y

13x

=−++⇒==−⇒=

∑∑

αααα

Al ser el sistema hiperestático hay dos ecuaciones con tres incógnitas, lo que es

algebraicamente insuficiente para calcular los esfuerzos.

Teniendo en cuenta las de formaciones de las barras (la barra OA una magnitud LΔ y las

barras OB y OC una magnitud 1LΔ ) a partir de la compatibilidad de deformaciones (las

barras OB y OC giran sobre su perpendicular hasta alcanzar el punto O’) el sistema

adopta una configuración tal como la mostrada en la Fig. 3.23


82/129

α α

A CB

O

O’

ΔL

L1 L

L1

ΔL1

α

Fig. 3.23 – Compatibilidad deformaciones.

Teniendo en cuenta el criterio de pequeñas deformaciones, los ángulos y las longitudes

de las barras no varían sustancialmente después de la deformación. Por ello la ecuación

de compatibilidad de deformaciones es

αΔΔ cosLL1 =

A partir de las ecuaciones de comportamiento

EAlNL 2=Δ

EAlNL 11

1 =Δ

se pueden obtener la ecuación de compatibilidad en función de los esfuerzos, teniendo

en cuenta que αcosll 1= , se tiene

αααΔΔ 221

212111 cosNNcos

EAlN

EAlNcosLL =⇒=⇒=

Luego a partir del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se obtienen los

esfuerzos

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+==

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=−++=−

α

αα

α

αααα

32

3

2

31

221

312

13

cos21FN

cos21cosFNN

cosNN

0FcosNcosNN0senNsenN


83/129

3.2.6.2 Hiperestática interna. Método energético.


1- Eliminar las barras redundantes del sistema y sustituirlas por fuerzas incógnitas

hasta obtener un sistema isostático.

2- Plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema isostático, considerando las

fuerzas incógnita y los esfuerzos (de forma simbólica) del sistema isostático.

3- Obtener los esfuerzos de las barras del sistema isostático en función de las

fuerzas incógnita.

4- Obtener el potencial interno del sistema.

5- Aplicar el primer teorema de Castigliano, obteniendo el movimiento preescrito de

la barras incógnita.

6- Resolver el sistema de ecuaciones.

Como ejemplo se va a analizar el mismo sistema de la Fig. 3.20.

El sistema es hiperestático de grado uno por lo que se va a eliminar una de las barras y

se va a sustituir por la fuerza incógnita X (Fig. 3.24).

α α

A

O

L1 L1

B C

N1 N3X

x

y

X

Fig. 3.24 – Sustitución de una barra por una fuerza incógnita y esfuerzos en las barras

del sistema isostático.

Estas ecuaciones de equilibrio estático son

0FcosNcosNX0F0senNsenN0F

31y

13x

=−++⇒==−⇒=

∑∑

αααα


84/129

Al ser el sistema hiperestático hay dos ecuaciones con tres incógnitas, lo que es


Utilizando el procedimiento se obtienen los esfuerzos de las barras del sistema isostático

en función de la fuerza incógnita

αcos2XFNN 31

−==

y se determina el potencial interno del sistema en función de los esfuerzos de las barras

no eliminadas

( )ααα 3

221

231

21

n

1i ii

i2xi

n

1i

L

0 ii

2xi

n

1ii cosEA4

lXFcosEAl

cos2XF

EAlN

21

EAlN

21

AElN

21dx

AEN

21UU

i −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+==== ∑∑ ∫∑

===

Aplicando el teorema de Menabrea

( ) ( )αα

δ 3XX

3XX

ii cosEA2

lXFcosEA2

lXFXU −

−=−

−=∂∂

===

en el que el movimiento preescrito de la barra eliminada se obtiene aplicando la fuerza X

únicamente sobre esa barra (Fig. 3.25)

α α

A

O

L1 L1

B C

Xx

y

Fig. 3.25 – Movimiento preescrito de la barra incógnita.

Y su valor es

EAXl

0 −=δ

luego se obtiene


85/129

( )EAXl

cosEA2lXF

3 −=−

−α

de donde

α3cos21FX

+=

que coincide con el esfuerzo obtenido por el método geométrico. Los demás esfuerzos

se obtiene sustituyendo en la expresión

αα

α 3

2

3131cos21

cosFNNcos2

XFNN+

==⇒−

==

3.2.6.3 Hiperestática externa. Método geométrico.


1- Eliminar vínculos y sustituirlos por los fuerzas y momentos vinculares incógnitas.

2- Plantear las ecuaciones de equilibrio estático.

3- Considerar los movimientos hipotéticos que tendría el sistema de barras en

función de sus deformaciones, de forma que sean compatibles con los vínculos.

4- Determinar las deformaciones de las barras en función de los esfuerzos

(desconocidos) que aparecen en ellas.


Como ejemplo se va a analizar el sistema de la Fig. 3.26.

a

B C

P

A x

b

Fig. 3.26 – Sistema hiperestático externo.

El sistema es hiperestático ya que tiene dos vínculos y solo se pueden plantear una

ecuación de fuerza de forma linealmente independiente. Esta ecuación es (fig. 3.27)


86/129

a

B C

P

A x

b

RA RB

Fig. 3.27 – Esfuerzos en las barras.

0RPR0F BAx =++⇒=∑

Al ser el sistema hiperestático hay una ecuación con dos incógnitas, lo que es


Los esfuerzos en cada uno de los campos de carga de la barra serán

PRNbaxaRNax0

A2x

A1x

−−=⇒+≤≤−=⇒≤≤

La deformación total de la barra es 2L de magnitud

( )EA

axNLbaxa

EAxNLax0

2x2

1x1

−=+≤≤

=≤≤

Δ

Δ

( )( )baxLLLaxLL

212

11

+=+===

ΔΔ

Teniendo en cuenta la compatibilidad de deformaciones de la barra se tiene

( ) 0baxLLL 212 =+=+= Δ

en la que sustituyendo por los esfuerzos

EAaR

EAaNL A1

1 −== ( ) ( ) ( )EA

bPREA

axNbaxL A2x2

−−=

−=+=Δ

por lo que se tiene

( ) ( ) 0PbbaR0EA

bPREA

aRA

AA =−+−⇒=−−

+−

Luego a partir del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se obtiene


87/129

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+−=

⇒⎭⎬⎫

=−+−=++

baPaR

baPbR

0PbbaR0RPR

B

A

A

BA

3.2.6.4 Hiperestática externa. Método energético.

Se basa en el siguiente procedimiento:

1- Eliminar los vínculos redundantes del sistema y sustituirlos por fuerzas incógnitas

hasta obtener un sistema isostático.

2- Plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema isostático, considerando las

fuerzas incógnita y los esfuerzos del sistema isostático.

3- Obtener los esfuerzos de las barras del sistema isostático en función de las

fuerzas incógnita.

4- Obtener el potencial interno del sistema.

5- Aplicar el primer teorema de Menabrea, igualando al movimiento preescrito del

vínculo incógnita.


Como ejemplo se va a analizar el mismo sistema de la Fig. 3.25.

El sistema es hiperestático de grado uno, y se elimina uno de los vínculos sustituyéndolo

por la fuerza incógnita correspondiente (Fig. 3.28).

a

B C

P

A x

b

X

Fig. 3.28 – Eliminación de un vínculo e introducción del efecto vincular.

La ecuación de equilibrio estático es

0XPR0F Ax =++⇒=∑

Al ser el sistema hiperestático hay una ecuación con dos incógnitas, lo que es


88/129


Utilizando el procedimiento se obtienen los esfuerzos de los campos de carga del

sistema isostático en función de la fuerza incógnita

XNbaxaXPNax0

2x

1x

=⇒+≤≤+=⇒≤≤

y determinar el potencial interno del sistema en función de los esfuerzos de la barra

eliminada

( )EA

bX21

EAaXP

21

EAlN

21

EAlN

21

AElN

21dx

AEN

21UU

221

22x1

21x

n

1i ii

i2xi

n

1i

L

0 ii

2xi

n

1ii

i+

+=+==== ∑∑ ∫∑

===

Aplicando el teorema de Menabrea

( ) ( )EAXb

EAaXP

EAXb

EAaXP

XU0

XXXX

i ++

=++

=∂∂

===

de donde

baPaX+

−=

que coincide con el esfuerzo obtenido por el método geométrico. El otro vínculo se

obtiene sustituyendo en la expresión

baPbR0XPR AA +

−=⇒=++


89/129

3.3.- Torsión.


Es la solicitación que aparece en una barra cuando la resultante de momentos interiores

queda reducida a un momento en la dirección longitudinal de barra (Fig. 3.29).

x

yz

F1

F2

F3

GMT

Fig. 3.29 – Barra sometida a tracción.

Se considera momento torsor positivo TM cuando su sentido es hacia el exterior de la

sección de corte y negativo en sentido contrario. Los momentos torsores positivos

aparecen en la Fig. 3.30.

xNx Nx

+

y

Fig. 3.30 – Momentos positivos de torsión.

Se va a desarrollar únicamente la torsión uniforme que es aquella que aparece sobre una

barra cilíndrica de sección constante (circular o anular).

Las hipótesis que se consideran para su estudio desde el punto de vista de la resistencia

de materiales son las siguientes:

Las secciones planas antes de la deformación, permanecen planas después de la

deformación.


90/129

Para dos secciones rectas infinitamente próximas, distantes entre sí dx, la

deformación se reduce a la rotación relativa de un ángulo dφ respecto del eje

perpendicular a las mismas (x).

Con estas hipótesis se consiguen resultados exactos en barras de sección recta

constante circular o anular, sometidas a momentos torsores en los extremos.

3.3.2.- Análisis de deformaciones.

Se considera una viga recta de sección circular constante, sometido a momentos

exteriores de igual módulo y dirección pero sentidos opuestos (MT, -MT) en los centros de

gravedad (G1, G2) de sus secciones extremas (Fig. 3.31). Para el análisis se tomará una

rebanada generada mediante dos secciones muy próximas (Σ y Σ’) distantes entre sí dx.

Si BC es la configuración inicial (antes de su deformación) de una fibra longitudinal, y

BC1 la misma fibra en su configuración deformada, el segmento AA’ paralelo a la fibra en

configuración indeformada en la rebanada pasará a AA’1 después de la deformación,

considerándose que las longitudes de los segmentos sobre la sección Σ’ G’A’ y G’A’1 son

iguales.

Fig. 3.31 – Prisma circular sometido a torsión

Al ángulo infinitesimal A’G’A’1 se le denomina ángulo de torsión dφ, y corresponde al giro

relativo de una fibra longitudinal entre las dos secciones en los extremos de la rebanada,

siendo φ el giro relativo total entre las secciones de los extremos de la barra.

Se define como ángulo de torsión por unidad de longitud θ


91/129

dxdφθ =

Si el prisma considerado (Fig. 3.31) es de sección circular constante y actúan momentos

puntuales en los extremos (torsión uniforme), el giro relativo entre secciones

infinitamente próximas es constante respecto de la longitud de la rebanada (dx), por lo

que tanto el ángulo de torsión φ, como el ángulo de torsión por unidad de longitud θ

también lo son.

En este caso la deformada de cualquier fibra del prisma es un arco de hélice cilíndrica.

3.3.3.- Deformación angular y tensión tangencial.

Como se ha indicado, la deformación producida por la torsión en prismas de sección

circular o anular con momentos puntuales en los extremos consiste en un giro relativo

entre las secciones del prisma (sin deformación en la dirección longitudinal de la barra).

Si se considera (Fig. 3.31) una rebanada entre dos secciones (Σ y Σ’), el punto A’ antes

de la deformación pasa al A’1 después de la deformación, con lo que la fibra AA’ sufre

una deformación angular γ pasando a A A’1 tal como muestra la figura.

Si la distancia entre G’A’ es ρ, se tiene que la deformación angular val

dxd

'AA'A'A 1 φργ ==

ya tensión tangencial será

θρτθφ

φρτφργ

γτG

dxd

dxdG

dxd

G=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

Para el caso de una viga cilíndrica sometida a momentos puntuales en los extremos, el

ángulo de torsión por unidad de longitud (θ) es constante para todas las secciones de la

barra, y la tensión tangencial (τ) de dirección perpendicular al radio vector que une el

punto de estudio con el centro geométrico de la sección, varía linealmente con la

distancia (ρ)

El reparto de tensiones tangenciales es el que aparece en la figura 3.32.


92/129

Fig. 3.32 – Deformación angular y tensión tangencial de un prisma de sección angular

Siendo la tensión tangencial máxima la que aparece en los puntos del contorno de la

sección, cuyo valor es

dxdGR.maxφτ =

Para el caso de una viga cilíndrica sometida a cargas más complejas, el ángulo de

torsión por unidad de longitud (θ) deja de ser constante en todas las secciones y pasa a

depender de la sección de estudio, determinada mediante su posición x (θ =θ (x)), por lo

que la tensión tangencial (τ) es función lineal de la distancia (ρ) al centro de gravedad de

la sección y de la cota de estudio (x)

( ) ( )xGx, θρρτ =

3.3.4.- Relación tensión tangencial-momento torsor.

El reparto de tensiones tangenciales que actúa en los puntos de la sección genera un

sistema equivalente en su centro geométrico de resultante nula y momento el torsor. Su

relación se puede obtener a partir de considerar un anillo situado a una cierta distancia ρ

del centro de la sección (Fig. 3.33)

Fig. 3.33 – Tensiones tangenciales en un anillo de una sección

ρ


93/129

oA

2

A

2

AT I

dxdGdA

dxdGdA

dxdGdAM φρφρφρτ ==== ∫∫∫

siendo Io el momento de inercia polar respecto del centro geométrico de la sección

circular o anular y G Io la rigidez a torsión.

A partir de las expresiones de tensión tangencial y momento torsor, se obtiene la

expresión de tensiones tangenciales en función del momento torsor

ρτφ

φρτ

o

T

oTI

M

IdxdGM

dxdG

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

a partir de la cual, la tensión tangencial máxima de una sección viene dada por,

T

T

o

T

o

T.max W

M

RI

MR

IM

===τ

en la que se define como módulo resistente la relación geométrica entre el momento de

inercia polar respecto del centro de simetría de una sección circular (Io) y el radio de la

sección (R).

RI

W oT =

Luego, para que la sección sea resistente se ha de cumplir que la tensión admisible del

material ( .admτ ) sea superior a la producida por el estado de cargas,

.adm

TT

oT

.adm

TT

T

T.adm MW

RIW

MWWM

ττ

τ=≥⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

≥⇒≥

3.3.5.- Ángulo de torsión.

Para determinar el ángulo de torsión entre dos secciones se utiliza la expresión ya

deducida del momento torsor


94/129

∫=⇒=x o

ToT GI

dxMI

dxdGM φφ

Si el prisma circular es de sección constante y longitud l, y está sometida a torsión

uniforme, dado que el momento torsor, el material y la sección son constantes, expresión

se reduce a

o

Tl

0 o

TGI

lMdxGIM

== ∫φ

3.3.6.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos.

La aplicación de la torsión a sistemas isostáticos e hiperestáticos sigue los mismos

criterios que los indicados en tracción sustituyendo los esfuerzos axiles por momentos

torsores y la deformación longitudinal por la deformación angular, tanto para sistemas

isostáticos como hiperestáticos.

El caso de torsión aplicado a perfiles no circulare son se va a considerar.


95/129

3.4.- Flexión.


Es la solicitación que aparece en una viga cuando la resultante de fuerzas y momentos

interiores quedan reducidos a una fuerza y momento sobre su sección transversal.

Existen distintos tipos de flexión (Fig.3.34).

Flexión pura.

Cuando la reducción de fuerzas interiores en el centro de gravedad de una sección,

perpendicular a la línea directriz, es un único momento contenido en el plano,

anulándose el esfuerzo axíl (Nx), los esfuerzos cortantes (Ty, Tz) y el momento torsor

(MT).

Flexión pura asimétrica y simétrica.

La flexión es pura asimétrica cuando el vector momento flector tiene

componentes según los ejes y y z, principales de inercia de la sección.

La flexión es pura simétrica cuando el vector momento flector tiene una

única componente según uno de los ejes principales de inercia de la

sección.

Flexión simple.

Cuando la reducción de fuerzas interiores en el centro de gravedad de una sección,

perpendicular a la línea directriz, está formado por un momento flector y un esfuerzo

cortante.

Flexión desviada.

Cuando los vectores momento flector y esfuerzo cortante se descomponen

respecto de los ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de

la sección.

Flexión compuesta.

Cuando además de aparecer esfuerzo cortante y momento flector, existe esfuerzo

axíl.


96/129

y

x

z

G

MF

My

Mz

Flexión pura asimétrica

y

x

z

G

Mz

Flexión pura simétrica

y

x

z

G

Ty

Mz

Flexión simple

y

x

z

G

MF

My

Mz

Flexión esviada

Ty

Tz

y

x

z

G

MF

My

Mz

Flexión compuesta

Ty

Tz

Nx

Fig. 3.34 – Tipos de flexión.

3.4.2.- Flexión pura.

Además de las hipótesis generales ya indicadas en la introducción a la Resistencia de

Materiales, se tendrán en cuenta las siguientes:

1- Todos los puntos del sólido se mantienen dentro de los límites del

comportamiento elástico lineal.

2- Las secciones planas antes de la deformación siguen siendo planas después

de la deformación (hipótesis de Bernoulli)

Por ello, al someter una rebanada de un prisma a flexión pura simétrica todas sus fibras

adquieren curvatura, dividiéndose la sección en dos dominios en función de su

deformación.

En uno de los dominios las longitudes de las fibras se acortan, mientras que en el otro se

alargan. Las primeras estarán por tanto sometidas a una tensión axil de compresión,

mientras que las segundas a tracción, existiendo un conjunto de puntos sin tensión


97/129

denominados línea neutra.

Experimentalmente se comprueba que se cumple la hipótesis de Bernoulli (las secciones

permanecen planas después de la deformación), por lo que se considera que no existen

tensiones tangenciales, ya que éstas generarían deformaciones angulares en las

secciones.

3.4.3.- Criterio de signos.

Se considerará momento flector positivo aquel que genere tensiones normales de

tracción en el primer cuadrante, por lo que el criterio se asocia al sistema de referencia

elegido (fig. 3.35).

+

Mz

y

x

z

G

Mz y

x G

Fig. 3.35 – Criterio de signos.

3.4.4.- Análisis de tensiones.

Se parte de una viga sometida a flexión pura simétrica debido a la solicitación de

momentos exteriores activos en sus extremos.

En la viga se considera una rebanada, definida mediante el corte por dos planos

inicialmente verticales situados a una distancia infinitesimal (DE y CF). Una vez cargada

la viga, y producidas las deformaciones de las fibras, existe una cuya longitud no varía. A

esta fibra se la denomina línea neutra (AB) y al radio de curvatura en su configuración

deformada ρ (Fig. 3.36).


98/129

Mz Mz

O

ρ

E

A

D

dx

H F

B

N M

C J dθ

dθ

ρ'

ds

Fig. 3.36 – Deformaciones a flexión.

Se va a analizar la deformación unitaria (ε) de una fibra situada a una distancia y

respecto de la fibra neutra, para lo se parte de la igualdad entre el giro de las fibras de la

rebanada (dθ) y el giro de la sección extrema de la sección (HJ paralela a la DE) después

de la deformación (CF)

BNMN

'dsdxd ===ρρ

θ

como MN es la deformación de la fibra estudiada ( dxMN xε= ) y BM es la distancia de

esta fibra respecto de la línea neutra ( yBN = ), se tiene,

ρεε

ρy

ydxdx

xx =⇒=

A partir de esta expresión, aplicando la ley de Hooke, se obtiene la denominada ley de

Navier que determina el reparto de tensiones normales de las fibras de una sección

sometida flexión pura,

ρσ

εσρ

ε yEE

y

x

xx

x =⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

Si se considera una sección constituida de un único material, tanto el módulo de Young (E)

como el radio de curvatura de la línea neutra (ρ) son constantes, por lo que la magnitud de la

tensión es linealmente proporcional a su distancia respecto de la línea neutra (y). Esto hace

que las tensiones máximas aparezcan en las fibras más alejadas de la neutra (Fig. 3.38).


99/129

y

z G

b

h

σx

y

Fig. 3.38 – Tensiones normales de flexión.

3.4.5.- Relaciones entre esfuerzos y tensiones.

Planteando ahora el equilibrio elástico de la sección considerando flexión pura por

momento flector zM , se obtiene (Fig. 3.37)

Fig. 3.37 – Tensiones y esfuerzos en la sección.

(1) 0mdy0dyEd0F zxx ==⇒==⇒= ∫∫∫∑ΩΩΩ

ΩΩρ

Ωσ

(2) 00d0F xyxyy =⇒=⇒= ∫∑ τΩτΩ

(3) 00d0F xzxzz =⇒=⇒= ∫∑ τΩτΩ

(4) ( ) 0dzy0M xyxzx =−⇒= ∫∑Ω

Ωττ

(5) 0Idyz0dyzEdz0M yzxy ==⇒==⇒= ∫∫∫∑ΩΩΩ

ΩΩρ

Ωσ

(6) zzz

2xz

zz

IEMIEdyEdyM

MM

ρρ

Ωρ

ΩσΩΩ

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=

∫∫

∑

τxz

τxy


100/129

De la ecuación (1) se deduce que el momento estático respecto del eje z ha de ser

nulo, luego el eje z ha de contener al centro de gravedad de la sección.

De las ecuaciones (2, 3 y 4), se obtienen que las tensiones tangenciales en el

entorno del punto (τxy, τxz) son nulas.

De la ecuación (5) se obtiene que el momento de inercia centrífugo (Iyz) es nulo,

luego la base de estudio ha de ser principal de inercia.

De la ecuación (6) junto con la ley de Navier se obtiene la expresión de la tensión

normal (σx) en función del momento flector (Mz). El momento de inercia (Iz) se

calcula respecto de la línea neutra de la sección.

yI

MyE

IMEIEM

z

zx

x

z

zzz

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=⇒=σ

ρσ

ρρ

Para el caso en que el momento flector se encuentre sobre el eje principal de inercia y de

la sección, la expresión se anterior transforma en,

zI

M

y

yx =σ

3.4.6.- Momento resistente.

La tensión normal máxima en una viga solicitada a flexión pura aparece en la sección de

mayor momento flector y en las fibras más alejadas respecto de la línea neutra, luego

.maxz

.maxz.maxx y

IM

=σ

expresión a partir de la cual se obtiene el momento resistente geométrico, relación

geométrica entre el momento de inercia respecto de la línea neutra y la distancia de la

fibra más alejada

.max

zz

z

.maxz

.max

z

.maxz.max

z

.maxz.maxx y

IWW

M

yI

My

IM

=⇒===σ


101/129

Conocida la tensión normal admisible (σx adm.) y el momento flector máximo de la viga (Mz

max.) se puede obtener el momento resistente necesario de la sección (Wz nec.),

.admx

.maxz.necz

.necz

.maxz.admx

MW

WM

σσ ≥⇒≥

Los valores absolutos se introducen ya que la expresión es válida tanto para estudios de

tracción como de compresión. El valor de momento resistente necesario obtenido se

puede comparar con el momento resistente (Wz) que aparece tabulado para distintas

secciones. En el caso de la sección rectangular (Fig 3.39) el momento resistente

geométrico es

y

z G

b

h

ymax.

Fig. 3.39 – Sección rectangular.

6bh

2h

bh121

yIW

23

.max

zz ===

3.4.7.- Flexión simple.

En el caso de una sección sometida a flexión simple aparecen un esfuerzo cortante (T) y

un momento flector (M) sobre los ejes principales de inercia de la sección. La existencia

del esfuerzo cortante (T) produce un alabeo (deformación angular) en las secciones

planas antes de la deformación, por lo que dejan de ser planas después de la

deformación.

Principio generalizado de Navier-Bernoulli.

Una rebanada sometida a flexión simple en la que no varía el esfuerzo cortante,

experimentan un movimiento de alabeo que es el mismo en los dos extremos de la


102/129

sección (Fig. 3.40)

dx

Ao

dx

A’Bo A

B’

B

Fig. 3.40 – Alabeo por esfuerzo cortante.

Por lo tanto existe un efecto de alabeo en las secciones extremas de la rebanada y no se

cumple la hipótesis de Bernoulli, pero se considera que el movimiento de cada fibra

generado en ambos extremos es el mismo, por lo que la deformación total de las fibras

de la rebanada no está influida por la aparición de dicho alabeo (A’B’=AB), y coincide con

la existente en el caso de flexión pura.

Esto justifica que la formulación de tensiones normales de flexión pura, también sea

válida en el estudio de flexión simple, aun cuando en este último caso las tensiones

normales vayan acompañadas de tensiones tangenciales.

La conclusión es que el efecto del alabeo se considera despreciable aun en el caso de

que el esfuerzo cortante varíe.

3.4.8.- Criterio de signos de flexión simple.

Los criterios de signos positivos correspondientes al momento flector y el esfuerzo

cortante en el caso de flexión simple son los indicados en la Fig. 3.41

+

Ty

Ty

Mz

y

x

Mz

Fig. 3.41 – Esfuerzos positivos de flexión simple.


103/129

3.4.9.- Relaciones entre esfuerzo cortante, momento flector y carga repartida.

La carga repartida y los esfuerzos cortante y flector (Ty y Mz) existentes en una sección

sometida a flexión simple no son independientes entre sí. Para determinar su

dependencia se va a considerar una rebanada con carga repartida (q) tal como muestra

la Fig. 3.42, en la que la carga repartida tiene sentido gravitacional, y los esfuerzos

cortante y momentos flectores reintroducen según el criterio positivo de la rebanada

Mz+dMz Mz Ty

Ty+dTy dx

Gx

q

y

Fig. 3.42 – Carga repartida y esfuerzos positivos de flexión simple.

Planteando el equilibrio de fuerzas y momentos respecto del centro de gravedad de la

sección derecha (G) se obtiene

( )dx

dMT0dMdxT0dMM2dxdxqdxTM0M

dxdT

q0dTdxq0dTTdxqT0F

yyzz

0

yzGz

yyyyyy

=⇒=−⇒=+−−+⇒=

−=⇒=+⇒=+++−⇒=

∑

∑

43421

En las expresiones anteriores se ha despreciado el infinitésimo de segundo orden

( 0dxdx ≈ ), y se determina que la pendiente de cortantes es el estado de carga repartida

cambiada de signo, y que la pendiente de momentos es el cortante.

Estas dos expresiones se pueden relacionar entre si mediante


104/129

2

2

dxMd

dxdTq

dxdMT

dxdTq

==−⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

−=

Según esto, si la carga repartida (q) varía según una función algébrica en función del

parámetro longitudinal (q(x)), las funciones esfuerzo cortante (Ty(x)) y momento flector

(Mz(x)) son también funciones algébricas de orden uno y dos grados superiores,

respectivamente (Fig. 3.43)

8 KN/m

2 m

4 KN m

0 1

5 KN

2

1 2

3 m

Gráfico de esfuerzos cortantes

Gráfico de momentos flectores

Fig. 3.43 – Gráficas carga, esfuerzo cortante, momento flector.


105/129

3.4.10.- Expresiones para distintas cargas.

Para la determinación de los momentos flectores y esfuerzos cortantes correspondientes a

los distintos estados de carga se utilizan las funciones de discontinuidad o funciones de

Macaulay que se expresan entre corchetes <> y cuyo significado es (Fig. 3.43)

( )⎩⎨⎧

<≥−

>=−<1

111 axpara0

axparaaxax

x

q a1

Fig. 3.43 – Función de Macaulay.

Se van a analizar las expresiones correspondientes a distintos estados de carga

comunes.

Momento puntual

x

M

a1

Mz

Ty

y

( )

( ) ( ) 0dx

xdMxT

MaxMxM

zy

01z

==

=>−<=

Carga puntual

x

P

a1

Mz

Ty

y

( )

( ) ( ) PaxPdx

xdMxT

axPxM

01

zy

1z

=>−<==

>−<=

Carga uniforme

x

q

a1 a2

Mz

Ty

y

( )

( ) ( ) [ ]>−<−>−<==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<=

21z

y

22

21

z

axaxqdx

xdMxT

!2ax

!2axqxM


106/129

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−=>>

−=<<<<

=<<

⇒>−<−>−<==

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−=>>

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=<<<<

=<<

⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<=

212y2

121y21

1y1

21z

y

22

21

2z2

21

21z21

1z12

22

1z

axaxqaxTaxpara

axqaxaTaxapara

0axTaxpara

axaxqdx

xdMxT

!2ax

!2axqaxMaxpara

!2axqaxaMaxapara

0axMaxpara

!2ax

!2axqxM

Carga triangular creciente

x

q

a1 a2

Mz

Ty

y

( )

( ) ( )>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

==

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

2

22

21

12

zy

22

32

31

12z

ax!2ax

!2ax

aaq

dzxdMxT

!2axq

!3ax

!3ax

aaqxM

A partir del análisis de estas cargas simples se pueden determinar el momento flector y el

esfuerzo cortante para cargas más complejas utilizando su superposición.

Carga triangular decreciente:

x

q

a1 a2

Mz

Ty

y

( )

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

−>−<==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

−>−<

=

!2ax

!2ax

aaqaxq

dxxdMxT

!3ax

!3ax

aaq

!2axqxM

22

21

121

zy

32

31

12

21

z

Carga trapecial creciente:

x

q1

a1 a2

Mz

Ty

q2

y

( )

( ) ( )>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<==

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

22

22

21

12

1211

zy

22

2

32

31

12

122

11z

axq!2ax

!2ax

aaqq

axqdx

xdMxT

!2ax

q!3ax

!3ax

aaqq

!2ax

qxM

El estado de carga trapecial creciente es general, permitiendo obtener cualquier otro

estado de carga repartida sin más que modificar sus parámetros


107/129

Carga uniforme: q1 = q2 = q

( )

( ) ( )

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−<−>−<=

>−<−

>−<=

⇒

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

>−<−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<==

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

21y

22

21

z

22

22

21

12

1211

zy

22

2

32

31

12

122

11z

axqaxqxT2axq

2axqxM

axq!2ax

!2ax

aaqqaxq

dxxdMxT

!2axq

!3ax

!3ax

aaqq

!2axqxM

Carga triangular creciente: q1 = 0, q2 = q

( )

( ) ( )

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>−<−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

⇒

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

>−<−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<==

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

2

22

21

12y

22

32

31

12z

22

22

21

12

1211

zy

22

2

32

31

12

122

11z

axq!2ax

!2ax

aaqxT

!2axq

!3ax

!3ax

aaqxM

axq!2ax

!2ax

aaqqaxq

dxxdMxT

!2axq

!3ax

!3ax

aaqq

!2axqxM

Carga triangular decreciente: q1 = q, q2 = 0

( )

( ) ( )

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

−>−<=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

−>−<

=

⇒

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

>−<−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<==

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

!2ax

!2ax

aaqaxqxT

!3ax

!3ax

aaq

!2axqxM

axq!2ax

!2ax

aaqqaxq

dxxdMxT

!2axq

!3ax

!3ax

aaqq

!2axqxM

22

21

12

11y

32

31

12

21

z

22

22

21

12

1211

zy

22

2

32

31

12

122

11z


108/129

3.4.11.- Estimación de tensiones tangenciales.

Al igual que las tensiones normales están relacionadas con los momentos flectores, las

tensiones tangenciales lo están con los esfuerzos cortantes. Como el procedimiento para

su determinación lleva a fórmulas complicadas se utilizará un método aproximado para

su determinación.

Para el estudio de tensiones tangenciales se consideran dos tipos de sección:

Secciones macizas.

Aquellas en las que su masa está agrupada sin complicaciones geométricas

como agujeros o partes esbeltas. Como ejemplos se encuentran el círculo, el

cuadrado o el rectángulo.

Secciones de pared delgada.

Aquellas cuya geometría está formada por rectángulos esbeltos, estando alguno

con su dimensión mayor orientada paralelamente a las cargas.

3.4.11.1 Secciones macizas.

Se va a considerar una el caso de sección rectangular.

y

y

z G

b

h

τxy

Fig. 3.44 – Reparto de tensiones tangenciales en sección maciza.

La Fig. 3.44 muestra el reparto correcto de tensiones tangenciales en una sección

rectangular en la que se aprecia que en las fibras superior e inferior no hay tensión

tangencial, siendo su distribución parabólica en las fibras de la sección.

La figura Fig. 3.45 muestra las tensiones tangenciales máximas para los casos de

secciones rectangular y circular.


109/129

Vy Vy

bhT

5,1 y.max =τ 2

y.max R

T33,1

πτ =

Fig. 3.45 – Tensiones tangenciales máximas en secciones rectangular y circular.

3.4.11.2 Secciones de pared delgada.

En muchas secciones aparece un ramal vertical denominado alma, que tiene su

dimensión mayor orientada en la de las cargas. En este caso se puede suponer que las

tensiones asociadas al esfuerzo cortante se reparten de forma uniforme respecto del

área de ese alma (Fig. 3.46).

Fig. 3.46 – Tensiones tangenciales en el alma.

En el caso en el que la sección tenga un alma, se dividirá el esfuerzo cortante entre la

sección del alma (Fig. 3.46 a), como en secciones de tipo doble T, mientras que si la

sección tiene doble alma, la tensión tangencial en los puntos de cada una de las almas

obtiene de dividir el esfuerzo cortante entre el área del conjunto de las dos almas (Fig.

3.46 b), como ocurre en secciones rectangulares cerradas de pequeño espesor.

En el estudio del perfil de pared delgada se utiliza el concepto de flujo de tensiones de

ramal, definido como el producto de la tensión tangencial por el espesor del ramal

eq ⋅= τ


110/129

Los flujos de tensiones son nulos en los extremos libres de los ramales, conociéndose su

sentido ya que en las almas paralelas a la dirección de carga, tienen la dirección del

esfuerzo cortante. En secciones con un eje de simetría flujos de tensiones también son

simétricos respecto de dicho eje.

Aplicando el principio de conservación del flujo, en el caso en el que exista un punto de

intersección de ramales, el flujo entrante a la intersección tiene que ser igual al flujo

saliente, que en el caso de la Fig. 3.47 es

Vy

τ

τ

τ

Fig. 3.47 – Flujos de tensiones.

2211211 ee2qqq ⋅=⋅⇒=+ ττ

Expresión a partir de la cual, si se conocen los espesores de los ramales de la sección

( 21 e,e ) y la tensión tangencial en el alma ( 2τ ), se puede determinar la tensión tangencial

en el punto de intersección de las alas ( 1τ ). En la Fig. 3.48 se muestra el flujo de tensiones

tangenciales para distintas secciones.

Fig. 3.48 – Flujos de tensiones tangenciales sobre distintas secciones.

3.4.12.- Combinación de tensiones.

Como se ha indicado, las tensiones normales están asociadas a los momentos flectores,

mientras que las tensiones tangenciales lo están a los esfuerzos cortantes. En general

en una viga sometida a flexión simple los esfuerzos cortantes y momentos flectores


111/129

varían de una sección a otra, tal como se muestra en la Fig. 3.49.

Fig. 3.49 – Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores.

Para cada punto de cada sección se puede obtener un valor de tensión normal y

tangencial respecto del plano normal a la línea media, cuyos valores máximos en la

sección central son

23z

maxz.maxx bh2

Pl32h

bh121

4Pl

yI

M2hy ===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =σ ( )

bhP

43

bh2P

23

bhT

5,10y y.max ====τ

Luego la relación entre las tensiones normal y tangencial máximas es,

hl2

bh4P3

bh2Pl3

bh4P3

bh2Pl3

2

.maxxy

.maxx

.maxxy

2.maxx==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

τσ

τ

σ

Como la altura de la sección rectangular (h) suele ser mucho menor que la longitud de la

barra (l), la influencia de la tensión normal máxima es muy superior a la de la tensión

tangencial máxima.

Aún así existen puntos de la sección en la que actúan simultáneamente tensiones

normales y tangenciales. Será en estos puntos donde, para comprobar que no se supera

la tensión límite del material, habrá que utilizar las hipótesis de Tresca (o de la tensión

tangencial) o Von Mises (o de la energía de distorsión).


112/129

3.4.13.- Energía de deformación.

A partir de la expresión de la energía de deformación por unidad de volumen en función

de las tensiones y deformaciones


teniendo en cuenta que en el caso de flexión simple solo aparecen las componentes

xzxxzx ,,, γετσ , la expresión anterior queda reducida a

( )xzxzxxi 21U γτεσ +=

en la que considerando

GExz

xzx

xτγσε ==

se tiene

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

GE21U

2xz

2x

iτσ

Si se desprecia el efecto de las tensiones tangenciales y se determina la energía

infinitesimal por unidad de longitud para el caso de viga de sección constante, se tiene

( )∫=A

2xi dA

E21dU σ

Expresión en la que sustituyendo la tensión normal en función de la ley de Navier

yI

M

z

zx =σ

se tiene

∫=A

22z

2z

i dAyI

ME21dU

en la que tanto el momento flector como el momento de inercia son constantes para cada

sección por lo que salen fuera de la integral de área, de forma que la expresión a integrar


113/129

corresponde al momento de inercia por lo que

z

2z

z2z

2z

A

22z

2z

i EIM

21I

IM

E21dAy

IM

E21dU ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

expresión que habrá que integrar respecto a la longitud para obtener la energía total de la

barra debida a flexión pura o simple, despreciando el efecto de los esfuerzos cortantes

dxEIM

21U

l z

2z

i ∫=

3.4.14.- Deformaciones.

Igual que en otros casos, existen distintos métodos para su determinación.

3.4.14.1 Método de la doble integración. Ecuación de la deformada.

Los conceptos fundamentales que se van a utilizar son:

1- Se considerará viga recta de sección constante, y el estudio se realizará

respecto de ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de la

sección, estando las cargas situadas sobre algún eje principal de inercia.

2- Se define como superficie neutra la generada por los ejes neutros de todas las

secciones de la viga. Esta superficie se deforma debido al efecto de las fuerzas

transversales, pero no varía de longitud, ya que no está sometida a fuerzas

longitudinales.

3- La intersección de la superficie neutra con el plano de carga determina la

deformada de la línea media del prisma, denominada línea elástica.

4- Para estudiar la deformada de la viga se considerará la ecuación de la línea

elástica referida al sistema cartesiano ortonormal principal de inercia, cuyo eje x

coincide con la configuración indeformada.

5- Para cargas verticales se supondrá despreciable el posible desplazamiento en

la dirección longitudinal (ux) de las barras frente al transversal (vy).

Lo anterior indica que la deformación de la línea neutra de una sección estará definida

por los siguientes parámetros (Fig. 3.50).


114/129

yc - desplazamiento perpendicular al eje longitudinal. Positivo en el sentido

positivo del eje, y negativo en el contrario.

θc - ángulo girado por la sección, coincidente con el ángulo de la tangente de la

elástica con el eje x. Positivo en sentido antihorario.

y

y

θ

Fig. 3.50 – Geometría y criterio de signos de la deformación a flexión.

Ecuación de la deformada.

Para determinar la ecuación de la deformada o línea elástica se considera una rebanada

de longitud ds, donde el ángulo que forman las secciones después de la deformación es

dθ y el radio de curvatura de la línea media ρ (Fig. 3.50).

La expresión de la curvatura de flexión para una trayectoria plana es

( ) 232y1

y1

′+

′′=

ρ

donde las derivadas primera y segunda de la componente y vienen dadas por

dxd

dxydy

dxdyy 2

2 θθ ==′′==′

Recordando la expresión de la curvatura de flexión, obtenida a partir de tomar momentos

en una rebanada


115/129

z

z

z2

xF

Fz

IEM1

IEdyEdyM

MM=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=

∫∫

∑

ρρ

Ωρ

ΩσΩΩ

se obtiene la expresión

( )( ) 2

2

232z

z

z

z

232

dxydy

y1

yIE

M

IEM1

y1

y1

=′′≈′+

′′=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

′+

′′=

ρ

ρ

en la que para pequeñas deformaciones se desprecia el valor de 2y′ frente a la unidad

del denominador, luego la ecuación diferencial de la deformada, asociada a la curvatura

de flexión (κ ) es

z

z2

2

IEM

dxyd

==κ

con el criterio de signos indicado en las Fig. 3.51, siendo el producto EIz la rigidez a

flexión

Fig. 3.51 - Criterio de curvatura a flexión.

A partir de la ecuación diferencial y mediante un proceso de doble integración se obtiene

la expresión de la deformada de la línea neutra y=y(x).

En cada proceso de integración aparecerá una constante (correspondiente al giro y la

flecha en el origen del parámetro de estudio) que se deberá determinar a partir de las

condiciones de contorno en el origen.


116/129

( )

( ) o221z

z1

z

z

o11z

z

z

z

y0xyCconCdxCdxIE

MyCdx

IEM

dxdyy

0xCconCdxIE

MyIE

Mdxd

dxydy

ydxdy

dxdy

dxdy

===+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⇒+==′

===+==′⇒==′

=′′⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=′=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′′

∫ ∫∫

∫ θθθθ

θ

La máxima deformación de una viga (denominada flecha) puede aparecer en alguno de

sus extremos volados o en un punto dentro del dominio de la viga.

Para la obtención del máximo valor de la deformada en el dominio de la viga se ha de

determinar la cota x en la que se anula el giro ( )0x =θ y sustituir su valor en la ecuación

de la deformada

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0xyy0x0dx

xdyxyxy .max.max ==⇒=⇒==′=⇒ θθθ

Expresiones de giros y deformadas para distintas cargas.

Si se considera el caso de una viga que tenga n campos de carga, y el estudio de realiza

con un origen de parámetro x distinto para cada campo, serán necesarios dos

constantes de integración en cada uno de los campos.

Para disminuir esta dificultad se busca una ecuación universal en la que,

independientemente del número de campos de carga que existan en la viga, sea preciso

determinar sólo dos constantes de integración. Esto se logra con las funciones de

discontinuidad o de Macaulay.

Las expresiones de giro y flecha correspondiente a cada una de las distintas cargas son:

Momento puntual

x

M

a1

Mz

Ty

y

( )

21z

1z

01z

ax2MyEI

axMEIMaxMxM

>−<=

>−<==>−<=

θ


117/129

Carga puntual

x

P

a1

Mz

Ty

y

( )

31z

21z

1z

ax!3

PyEI

ax!2

PEI

axPxM

>−<=

>−<=

>−<=

θ

Carga uniforme

x

q

a1 a2

Mz

Ty

y

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<=

!4ax

!4axqyEI

!3ax

!3axqEI

2ax

2axqxM

42

41

z

32

31

z

22

21

z

θ

Carga triangular creciente

x

q

a1 a2

Mz

Ty

y

( )

!4axq

!5ax

!5ax

aaqyEI

!3axq

!4ax

!4ax

aaqEI

2axq

!3ax

!3ax

aaqxM

42

52

51

12z

32

42

41

12z

22

32

31

12z

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

θ

A partir del análisis de estas cargas simples se pueden mediante superposición

determinar el giro y la deformada para cargas más complejas.

Carga trapecial creciente

x

q1

a1 a2

Mz

Ty

q2

y

( )

!4axq

!5ax

!5ax

aaqq

!4axqyEI

!3axq

!4ax

!4ax

aaqq

!3axqEI

2axq

!3ax

!3ax

aaqq

2axqxM

42

2

52

51

12

124

11z

32

2

42

41

12

123

11z

22

2

32

31

12

122

11z

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

θ

El estado de carga trapecial creciente permite obtener cualquier otro estado de carga


118/129

repartida sin más que modificar sus parámetros:

Carga uniforme: q1 = q2 = q

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−<−

>−<=

>−<−

>−<=

>−<−

>−<=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

!4ax

q!4ax

qyEI

!3ax

q!3ax

qEI

2ax

q2ax

qxM

!4ax

q!5ax

!5ax

aaqq

!4ax

qyEI

!3ax

q!4ax

!4ax

aaqq

!3ax

qEI

2ax

q6ax

6ax

aaqq

2ax

qxM

42

41

z

32

31

z

22

21

z

42

2

52

51

12

124

11z

32

2

32

41

12

123

11z

22

2

32

31

12

122

11z

θθ

Carga triangular creciente: q1 = 0, q2 = q

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−

=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

>−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<−−

+>−<

=

!4ax

q!5ax

!5ax

aaq

yEI

!3ax

q!4ax

!4ax

aaq

EI

2ax

q6ax

6ax

aaqxM

!4ax

q!5ax

!5ax

aaqq

!4ax

qyEI

!3ax

q!4ax

!4ax

aaqq

!3ax

qEI

2ax

q6ax

6ax

aaqq

2ax

qxM

42

52

51

12

2z

32

32

41

12

2z

22

32

31

12z

42

2

52

51

12

124

11z

32

2

32

41

12

123

11z

22

2

32

31

12

122

11z

θθ

Con estas expresiones, tomando el parámetro x a partir del origen izquierdo de la viga,

las constantes de integración corresponden al giro (θ0) y deformada (y0) en el origen, por

ello, las expresiones genéricas de los giros y deformada de una viga se puede expresar

mediante,

[ ]

∑

∑∑

=

==

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ >−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<

−

−+

>−<+

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ >−<+>−<+=

repartidas

1i

32

2

32

41

12

123

11

puntuales

1i

21

imomentos

1i1iozz

!3ax

q!4ax

!4ax

aaqq

!3ax

q

ax!2

PaxMIEIE

ii

ii

ii

iiii

ii

θθ

∑

∑∑

=

==

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ >−<−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ >−<−

>−<

−

−+

>−<+

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ >−<+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ >−<++=

repartidas

1i

42

2

52

51

12

124

11

puntuales

1i

31

imomentos

1i

21

iozozz

!4ax

q!5ax

!5ax

aaqq

!4ax

q

ax!3

Pax2

MxIEyIEyIE

ii

ii

ii

iiii

ii

θ


119/129

3.4.14.2 Método de Mohr para el cálculo de deformaciones.

Otro método distinto para el cálculo de deformaciones a flexión basado en

consideraciones energéticas es el denominado método de Mohr.

Se supone una viga cargada a flexión simple en la que se desea determinar la

deformación producida en una sección C, tal como muestra la Fig. 3.52.

Fig. 3.52 – Base del método de Mohr.

El método tiene los siguientes pasos

1- Se introduce una carga puntual ficticia (Φ) en el punto (C) donde se quiere

calcular la deformación, y en la dirección del desplazamiento.

2- Se determina el potencial interno de la viga sometida a las acciones de las

cargas reales más la carga ficticia. Se desprecia el efecto del esfuerzo

cortante.

3- El desplazamiento de la sección se calcula aplicando el teorema de

Castigliano, particularizando el resultado para el caso de carga ficticia nula

0C d

dW

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ΦΦδ

4- Aplicando el principio de superposición, el momento flector en cada una de las

secciones es la suma de los momentos flectores debido a la carga real más la

carga ficticia.

5- Por el principio de linealidad, el momento flector de la carga ficticia es igual al

momento flector de una carga unidad (Mz1) aplicada en el mismo punto de la

carga ficticia (C) con su misma dirección y sentido, multiplicados por la

magnitud de la carga ficticia (Φ). Por ello la ley de momentos flectores es

1zzoz MMM Φ+=


120/129

donde

Mzo – momento flector de la viga sometida a la carga real.

Mz1 – momento flector de la viga sometida a la carga unitaria.

6- Sustituyendo la expresión del momento flector en el potencial interno de la

viga, se tiene

( )∫

∫+

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=+=

=l

0 z

21zzo

i

1yyoy

1zzoz

l

0 z

2z

i

dxEI2

MMdUTTT

MMM

dxEI2

MdU

Φ

ΦΦ

Por lo que, para obtener el desplazamiento vertical aplicando el teorema de

Castigliano

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∫

∫

=

=l

0 z

1zzo

0

iC

l

0 z

1z1zzoi

0C

dxEI

MMddU

dxEI2

MMM2dUd

ddW

Φ

Φ

Φδ

ΦΦ

Φδ

El movimiento final obtenido dependerá de la orientación de la carga ficticia que se

considere, de forma que para cargas transversales se obtendrán desplazamientos

transversales (deformaciones a flexión), para cargas longitudinales se obtendrán

desplazamientos longitudinales (alargamientos a tracción), y para momentos puntuales,

giros. El movimiento será positivo si tiene el sentido de la carga ficticia y negativo en

sentido contrario.

3.4.15.- Sistemas hiperestáticos.

Se plantean ahora los casos de vigas sometidas a flexión en las que no se pueden

obtener los vínculos del sistema utilizando únicamente las ecuaciones de la estática. El

estudio se va a desarrollar para sistemas planos, por lo que el número máximo de

ecuaciones linealmente independientes de la estática son tres (dos de fuerzas y una de

momentos). Ejemplos de vigas hiperestáticas aparecen en la Fig. 3.53.


121/129

Fig. 3.53 – Vigas hiperestáticas a flexión.

Para resolver la hiperestaticidad de un sistema son necesarias las ecuaciones de

equilibrio, pero no suficientes, por lo que se tendrán que aplicar las condiciones de

compatibilidad con el contorno a las ecuaciones de comportamiento del sistema.

El estudio se va a desarrollar comenzando por el análisis de distintos procedimientos de

resolución de hiperestaticidad para vigas de un solo tramo. En cada uno de los casos se

indicará el proceso necesario para la obtención de las incógnitas.

Los métodos para el cálculo de vigas hiperestáticas de un solo tramo que se van a

analizar los siguientes:

1. Ecuación diferencial de la línea elástica.

2. Eliminación de vínculos.

3. Energético.

3.4.15.1 Método de la ecuación diferencial de la línea elástica.

La base de este método es la misma que se utilizó en el cálculo de la deformada de una

viga a flexión mediante el proceso de doble integración. Para ello se siguen los

siguientes pasos:

1- Se plantea la ecuación diferencial de la elástica considerando los vínculos

incógnitas con notación simbólica. Se realiza la doble integración y se introducen

las constantes iniciales incógnita (con notación simbólica) de giro y deformada.

2- El número de incógnitas del sistema coincide con el número de incógnitas de los

vínculos más el giro y la flecha del origen del parámetro longitudinal.


122/129

3- El número de ecuaciones a plantear son tres del equilibrio estático (sumatorio de

fuerzas verticales y horizontales, en su caso, y sumatorio de momentos nulos)

más una por cada condición de compatibilidad (giro o deformada preescrita)

debida a los vínculos.

4- Si la incógnita es una fuerza reactiva, la compatibilidad indica que el

desplazamiento de la viga en el punto de actuación es su desplazamiento

preescrito, y si la incógnita es un momento vincular debido a un empotramiento, la

compatibilidad indica en que el giro de la viga en el punto de actuación es su giro

preescrito.

5- Se resuelve el sistema planteado y se obtienen las incógnitas.

3.4.15.2 Método de eliminación de vínculos.

En este caso se utiliza un procedimiento basado en la eliminación de vínculos

hiperestáticos para la obtención de sus magnitudes. El estudio se desarrolla sobre una

viga isostática, a la que se aplicarán las condiciones de contorno de la viga hiperestática

inicial en los puntos de actuación de los vínculos. Los pasos a seguir son:

1- Se eligen los vínculos que al ser eliminados hacen que el sistema se vuelva

isostático. A continuación se eliminan estos vínculos y se introducen cargas

desconocidas con su misma dirección y sentido (con magnitudes expresadas

mediante notación simbólica), de forma que el sistema hiperestático se

transforma en isostático, pero en el que actúan cargas incógnitas.

2- Se divide el estado de cargas en dos, el correspondiente a las cargas iniciales

conocidas, y el de las cargas incógnitas asociadas a los vínculos eliminados,

aplicándose cada una de ellas por separado al sistema isostático.

3- Se determinan la deformación en el punto de actuación de los vínculos para cada

estado de carga.

4- Se aplica el principio de superposición y de movimientos, y se iguala el

movimiento total al prescrito del vínculo eliminado correspondiente.

5- De esta manera se plantearán tantas ecuaciones como incógnitas vincules se han

eliminado.


123/129

6- La determinación de las ecuaciones de comportamiento del sistema isostático se

puede realizar por cualquiera de los procedimientos indicados (elástica, método

de Mohr, prontuario…).

3.4.15.3 Método energético.

En este caso se utiliza un procedimiento basado en la energía de deformación. Los

pasos a seguir son:

1- Igual que en el caso anterior, se eligen los vínculos que al ser eliminados hacen

que el sistema se vuelva isostático. A continuación estos vínculos desconocidos

se eliminan y transforman, manteniendo la misma dirección y sentido, en cargas

desconocidas (con magnitudes expresadas mediante notación simbólica), de

forma que el sistema hiperestático se transforma en isostático, pero en el que

actúan cargas incógnitas.

2- Se determina la energía de deformación debido a las cargas reales más las

ficticias.

3- Se aplica el teorema de Menabrea y se obtienen tantas ecuaciones como

incógnitas vincules se han eliminado.

4- Se resuelve el sistema de ecuaciones.

3.4.16.- Flexión desviada.

En todo lo anterior se ha considerado que el momento flector tenía la dirección de uno de

los ejes principales de inercia de la sección. Ahora se analiza la flexión cuando la

dirección del momento flector está sobre el plano de corte, pero no coincide con dichos

ejes.

En el caso en que el esfuerzo normal sea nulo se hablará de flexión desviada (Fig. 3.54),

mientas que si existe, flexión compuesta.


124/129

Fig. 3.54 – Flexión desviada.

En esta flexión se utiliza el mismo criterio de signos que el usado en vigas sometidas a

flexión simple, luego se considerará positivo al momento flector cuando genera tracción

en el primer cuadrante (Fig. 3.55).

+

Ty

Ty

Mz

y

x

Mz

+

Tz

Tz

My

z

x

My

Fig. 3.55 – Criterio de signos en flexión desviada.

3.4.16.1 Flexión desviada. Tensiones normales.

Se parte de una viga como la representada en la figura, cargada en un plano que no

contiene ninguno de los dos ejes principales de inercia de la sección. Si Mf es el

momento flector en una sección, y My y Mz sus componentes respecto de los ejes

principales de inercia, el valor de la tensión normal en un punto de la sección se puede

obtener, aplicando el principio de superposición, sumando los valores correspondientes

a la tensión provocada por cada una de las componentes del momento flector de forma

independiente, calculados según la ley de Navier (Fig. 3.56)

x

z

y

Mz

My


125/129

Fig. 3.56 – Momento flector sobre eje no principal de inercia de la sección.

zI

My

IM

zI

M''

yI

M'

y

y

z

z

y

y

z

z

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

σσ

σ

Fig. 3.57 – Posición del eje neutro en flexión desviada.

A partir de esta expresión, la posición del eje neutro se obtiene con la condición de que la

tensión normal sea nula, luego

zIMIM

y0zI

My

IM

yz

zy

y

y

z

z =⇒=+=σ

que corresponde a una recta que pasa por el centro de gravedad de la sección. El

estudio de tensiones tangenciales son se va a bordar.

z

y

σ’

σ’’

My

Mz

z

y

My

Mz


126/129

3.4.16.2 Flexión desviada. Energía de deformación.

La expresión del potencial interno del entorno de un punto de un prisma sometido a

flexión desviada viene dada por (Fig. 3.58)

Fig. 3.58 – Componentes de tensión en flexión desviada.

( ) dzdydxG21dzdydx

E21dU 2

xz2xy

2i ττσ ++=

Despreciando el efecto de las tensiones tangenciales, la energía potencial para una

rebanada es

∫=A

2i dzdy

E2dxdU σ

Sustituyendo la tensión normal por la ley de Navier se obtiene

∫∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

+=

A

2

y

y

z

zi

A

2i

y

y

z

z

dzdyzI

My

IM

E2dxdU

dzdyE2

dxdU

zI

My

IM

σ

σ

expresión en la que sacando los momentos flectores y de inercia al ser constantes en la

sección queda

∫∫ +=A

22y

2y

A

22z

2z

i dAzEI2

dxMdAy

EI2dxMdU

cuyas integrales corresponden a los momentos de inercia respecto de los ejes z e y,

respectivamente, por lo que la expresión del potencial se puede poner

dxEI2

Mdx

EI2MdU

y

2y

z

2z

i +=


127/129

que corresponden a la superposición de las energías de deformación de la flexión en los

planos xy y xz, respectivamente.

3.4.16.3 Flexión desviada. Deformación.

Para calcular las deformaciones se vuelve a aplicar el principio de superposición,

considerando la flexión desviada descompuesta en dos flexiones simples y

determinando el desplazamiento total como composición vectorial del desplazamiento

producido por cada una de las flexiones de forma independiente, analizándose cada un

de ellas con los criterios ya indicados.

Fig. 3.59 – Deformación en flexión desviada.

2c

2cc zy

δδδ +=

3.4.17.- Flexión compuesta.

Una viga está sometido a flexión compuesta cuando la reducción del sistema de fuerzas

interiores, existente en los puntos de la sección de corte, en el centro de gravedad de la

sección respecto del sistema principal de inercia de dicha sección, viene expresada por

una o varias componentes tanto del momento flector como del esfuerzo cortante y un

esfuerzo axil.

Si My y Mz son las componentes del momento flector en la base principal de inercia, y Nx

el esfuerzo axil, la expresión de la tensión normal de un punto en función del principio de

superposición es (Fig. 3.60)


128/129

3.59 – Esfuerzos en flexión compuesta.

zI

My

IM

AN

AN'''

zI

M''

yI

M'

y

y

z

zx

x

y

y

z

z

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

σ

σ

σ

σ

La expresión del eje neutro se obtiene nuevamente a partir de su condición de lugar

geométrico en el que la tensión normal es nula, luego

z

zx

y

z

z

y

z

zx

y

y

y

y

z

zxMI

ANz

II

MM

MI

ANz

IM

y0zI

My

IM

AN

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⇒=++=σ

que corresponde a una recta que, debido al esfuerzo axil no pasa por el centro de

gravedad de la sección.

3.4.17.1 Flexión compuesta. Energía de deformación.

Para hallar la deformación se determina el potencial interno del entorno de un punto de

una sección de un prisma sometido a flexión compuesta, que viene dado por,

( ) dzdydxG21dzdydx

E21dU 2

xz2xy

2i ττσ ++=

Despreciando el efecto de las tensiones tangenciales, la energía potencial para una

rebanada es

∫=A

2i dzdy

E2dxdU σ

Sustituyendo la tensión normal por la ley de Navier se obtiene

y

x


129/129

∫∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

++=

A

2

y

y

z

zxi

A

2i

y

y

z

zx

dzdyzI

My

IM

AN

E2dxdU

dzdyE2

dxdU

zI

My

IM

AN

σ

σ

Expresión que desarrollada es

∫∫∫ ++=A

22y

2y

A

22z

2z

A2

2x

i dAzEI2

dxMdAy

EI2dxMdA

EA2dxNdU

donde la primera integral corresponde al área de la sección y las dos siguientes son los

momentos de inercia respecto de los ejes z e y, respectivamente, de forma que la

expresión del potencial interno para la rebanada queda,

y

2y

z

2z

2x

i EI2

dxM

EI2dxM

EA2dxNdU ++=

3.4.17.2 Flexión compuesta. Deformación.

La deformación se obtiene mediante superposición de flexión desviada transversal y

deformación longitudinal axil, ambos casos ya estudiados.

formación complementaria en ingeniería mecánica ...³n complementaria en ingeniería mecánica....

Documents