CAPITULO 5

ELASTICIDAD PLANA

Supongamos el sólido de la figura, que posee forma cilíndrica con sus generatrices paralelas al eje z, y que se encuentra sometido a la acción de las cargas indicadas.El valor de dichas cargas es independiente de la coordenada z, así como sus componentes en dicha dirección (fuerzas distribuidas y de superficie paralelas al plano x-y).

Las ecuaciones de la Elasticidad, y la correspondiente solución del problema, se pueden plantear utilizando, solamente, las coordenadas (x,y).

z

x

y

σx

σy

σx

σy

τxy

τxy

τxy

τxy

dx

dyx

y

Tensiones en el plano x-y

xv

yuγ

yvε

xuε

xy

y

x

∂∂

+∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

Deformaciones en el plano x-y

¿Y qué tensiones y deformaciones aparecen en un plano perpendicular al eje z?Muchos problemas de elasticidad bidimensional se resuelvenhaciendo una de estas dos hipótesis:

00

0

z

zx

yz

=ε

=γ

=γ

DEFORMACIÓN PLANA

00

0

z

zx

yz

=σ=τ

=τ

TENSIÓN PLANA

TENSIÓN PLANA: Sólo son distintas de cero las componentes, en elPlano, del tensor de tensiones.

Componentes tensionales no nulas: xyyx τσσ ,,

Hipótesis:- h<<L- Las dos caras del sólido se encuentran libres de fuerzas- Las fuerzas interiores por unidad de volumen y las aplicadas en el contorno perimetral del sólido no dependen de la coordenada z

dAh

Ly

xz

yσ

xσ

xyτxyτ

yσ

xσxyτ

xyτdA

DEFORMACIÓN PLANA: Sólo son distintas de ceros las componentesen el plano, del tensor de deformaciones.

Hipótesis:- w=0-Las dos caras del sólido no sufren desplazamientos según z- Las fuerzas interiores por unidad de volumen y las aplicadas en el contorno perimetral del sólido no dependen de la coordenada z- u,v son funciones de sólo x e y

Componentes deformacionales no nulas: xyyx γεε ,,

dA

x

y

z

yσ

xσ

xyτxyτ

yσ

xσxyτ

xyτ

zσ

zσ

dA

1) Un estado tensional en el que la tensión normal y las tensionestangenciales actuantes sobre las caras de la pieza son nulas.

2) Si x-y es el plano del sólido bidimensional, las únicas componentes deltensor de tensiones no nulas son: σx,σy ,τxy

3)Las componentes: σz ,τxz ,τyz serían nulas

TENSIÓN PLANA

u = u(x,y)v = v(x,y)w ≠ 0

D[ ]=

εxγ xy

2 0γ xy

2 εy 00 0 εz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

T[ ]=σx τxy 0τxy σy 00 0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones

DEFORMACIÓN PLANA1) Un estado deformacional en el que la deformación longitudinal y las deformaciones angulares correspondientes a un plano paralelo a la sección transversal de la pieza son nulas.

2) Si x-y es el plano de la sección transversal de la pieza las únicas componentes del tensor de deformaciones no nulas son: εx , ε y , γxy

3) Las componentes : εz , γxz , γyz serían nulas.

u= u (x,y)v= v (x,y)w=0

T[ ]=σx τxy 0τxy σy 00 0 σz

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones

D[ ]=

εxγ xy 2 0

γ xy2 εy 0

0 0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

DEFORMACIÓN PLANA:

Ecuaciones de equilibrio interno:

Ecuaciones de equilibrio en el contorno:

Ecuaciones de compatibilidad:

Ecuaciones constitutivas:

0=++yx

X xyx∂

∂τ

∂∂σ

0=++yx

Y yxy

∂

∂σ

∂

∂τ

X = l σx + m τxy

Y = l τxy + m σy

⎫ ⎬ ⎭

∂ 2εx

∂y2 +∂2εy

∂x2 =∂2γ xy

∂x∂y

( )

( )

( )yxzz

zxyy

zyxx

EE

EE

EE

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+−==

+−=

+−=

10

1

1

( )yxz σσνσ +=

εx = 1E

1 − ν2( )σx − ν 1+ ν( )σy[ ]εy =

1E

1 − ν2( )σy − ν 1+ ν( )σx[ ]γ xy =

τxyG

∆ σx + σy( )= −1

1 − ν∂X∂x

+∂Y∂y

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

TENSIÓN PLANA:

Las Ecuaciones de equilibrio interno y de equilibrio en el contorno son las mismasque en el caso de deformación plana. Las Ecuaciones de compatibilidad son:

Ecuaciones constitutivas:

∂ 2εx

∂y2 +∂2εy

∂x2 =∂2γ xy

∂x∂y∂ 2εz

∂y2 = 0

∂ 2εz∂x2 = 0

∂ 2εz∂x∂y = 0

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

εx =σx − νσy

E

εy =σy − νσx

E

γ xy =τxy

G

Estas tres ecuacionesno se han utilizado.La ecuación deducidaes sólo aproximada.

∆ σx + σy( )= − 1 + ν( ) ∂X∂x

+∂Y∂y

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

∆ σx + σy( )= −1

1 − ν∂X∂x

+∂Y∂y

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

∆ σx + σy( )= − 1 + ν( ) ∂X∂x

+∂Y∂y

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

TENSIÓN PLANA:

DEFORMACIÓN PLANA:

Aspectos de interés:- Sólo una propiedad del material interviene en estas ecuaciones (el coeficientede Poisson, ν)- Si la fuerza por unidad de volumen que actúa sobre el sólido fuese constante(por ejemplo, la de la gravedad), las dos ecuaciones anteriores se convertiríanen la siguiente:

∆ σx + σy( )= 0

Sir George Biddell Airy(1801-1892)

FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY

La función de tensión de Airy permite una fácil resolución de los problemaselásticos bidimensionales. Una vez conocida esta función, que la representaremospor φ(x,y) por ser función de estas dos coordenadas, pueden obtenerse las tensiones mediante un proceso de derivación de la misma.

FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY

∂τ∂σ+ + =

∂ ∂xyxX 0

x y∂τ ∂σ

+ + =∂ ∂xy yY 0x y

Ecuaciones de equilibrio interno (X e Y son valores constantes):

22

42

2

2

2

2

yxyxyxxyyx

∂∂

∂=

∂⋅∂

∂−=

∂

∂=

∂

∂ φτσσDerivando respecto de x

Derivando respecto de y

σx =

∂ 2φ∂y 2 σy =

∂ 2φ∂x2 τxy = - ∂2φ

∂x∂y - Xy - Yx

Si definimos una función φ (función de tensión o de Airy) de la que se pudiese obtenerlas tensiones actuantes en el sólido, de tal manera que:

∆ σx + σy( )= 0 ⇒ ∂ 2

∂x2 +∂2

∂y 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

∂2φ∂y2 +

∂2φ∂x2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0

∂4φ∂x4 + 2 ∂4φ

∂x2∂y 2 +∂4φ∂y 4 = 0 ó ∆2φ = 0

para que estas tensiones fuesen la solución de un problema plano, se tendría que cumplir:

¡La función φ debe ser biarmónica!

Baise Pascal(1623-1662)

FORMAS POLINÓMICAS DE LA FUNCIÓN DE AIRY

1 No interesan: x y no dan lugar a tensiones

x2 xy y2 Funciones

x3 x2y xy2 y3 biarmónicas

x4 x3y x2 y2 xy3 y4 Funciones

x5 x4y x3y2 x2 y3 xy4 y5 biarmónicas con soluciones condiciones

1 No interesan: x y no dan lugar a tensiones

x2 xy y2 Funciones

x3 x2y xy2 y3 biarmónicas

x4 x3y x2 y2 xy3 y4 Funciones

x5 x4y x3y2 x2 y3 xy4 y5 biarmónicas con soluciones condicionesbiarmónicas con condiciones

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

φ = ax2 + bxy + cy2

σy

y

x

2c 2c

c ≠ 0 a=b=0

y

x

2a

2a

y

x

b

b

a ≠ 0 b=c=0 b ≠ 0 a=c=0

POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO

c2x =σ

b

a2c2

x

y

x

−=

==

τ

σσ

POLINOMIO DE TERCER GRADO

x

y

x

y

x

y

+ x

y

00 ===≠ cbad 00 ===≠ dcba

00 ===≠ dcab

x

y

x

y

x

y

+ x

y

00 ===≠ cbad 00 ===≠ dcba

00 ===≠ dcab

φ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3

σx = 6dy + 2cx σy = 6ax + 2by τxy = −2bx − 2cy

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪

POLINOMIO DE CUARTO GRADO

φ = ax4 + bx3y + cx2y 2 + dxy3 + ey4

∆2φ =

∂ 4φ∂x4 + 2 ∂ 4φ

∂x2∂y 2 +∂4φ∂y4 = 24a + 8c + 24e = 0

3a + c + 3e = 0 ⇒ c = -3(a + e)POLINOMIO DE QUINTO GRADO

φ = ax5 + bx4y + cx3y2 + dx 2y3 + exy 4 + fy 5

∆2φ = 120a + 24e + 24c( )x + 120f + 24b + 24d( )y = 0

5a + e + c = 05f + b + d = 0

⎫ ⎬ ⎭

CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA

ISOSTÁTICAS Curvas envolventes de las tensiones principales

σx

σx

σy

σy

τxy

τxyθ

Ι

2θ

τ

σΙ

(σx , τxy)

(σx , −τxy)

El ángulo θ que forma la dirección principal mayor con el eje x será:

tg 2θ =2τxy

σx − σy

=2 tg θ1- tg2θ

tg θ =∂y∂x

∂y∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

+σx − σy

2τxy

∂y∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ −1 = 0

∂y∂x

= −σx − σy

2τxy

±σx − σy

2τxy

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+1

↓ Las dos familias de isostáticas

Puntos singulares:

-Punto singular, circular o isotrópo

σx = σy τxy = 0- Punto neutro

σx = σy = τxy = 0En las proximidades de estos punto singulares, las isostáticas puedentomar estas formas:

TIPO INTERSECTIVO

TIPO ASINTOTICO

120 MPa

60 MPa

x

y

60º

A

B

C

D

50 cm

50 cm

120 MPa

60 MPa

x

y

60º

A

B

C

D

50 cm

50 cm

60 MPa

x

y

60º

A

B

C

D

50 cm

50 cm

EJEMPLO:

x

y

A

B C

D

9,5º

Isostáticas tipo II

Isostáticas tipo I

x

y

A

B C

D

9,5º

Isostáticas tipo II

Isostáticas tipo I

ISOCLINAS: Lugar geométrico de los puntos en los que las tensiones principales son paralelas a una dirección prefijada,y que se denomina parámetro de la isoclina.

tg 2θ =2τxy

σx − σy

= cte

ISOSTATICAISOCLINA DE

PARAMETRO θ

θ

Las propiedades de las isoclinas son las siguientes:- Todas las isoclinas pasan por un punto isotrópo.- Sólo puede pasar una isoclina por un punto que no sea isotrópo.- Una isoclina de parámetro θ es idéntica a otra de parámetro - Si un sólido tiene un eje de simetría, y está simétricamente cargado respecto

a dicho eje, el eje de simetría es una isoclina.- En un borde sobre el que no actúan tensiones tangenciales, el parámetro de

una isoclina que lo corta, coincide con el del ángulo de inclinación de la tangente al borde en el punto de corte.

θ ±π2

CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA: envolventes de las direcciones en las que la tensión tangencial es máxima en cada uno de sus puntos.

σx σx

σy

σy

τxy

τxy

2θ

τ

σ

(σx , τxy)

(σx , −τxy)

tg 2θ = −σx − σy

2τxy

=2tg θ

1- tg2θ , , tg θ =

∂y∂x

∂y∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

−4τxy

σx − σy

∂y∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

−1 = 0

∂y∂x

=2τxy

σx − σy

±2τxy

σx − σy

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+ 1

↓ dos familias

ISOCROMÁTICAS: aquellas curvas en las que la diferencia entre los valores de las tensiones principales toma un determinado valor: σ1 - σ2 = cte

τmax =σ1 - σ2

2

ISOBARAS: lugar geométrico de los puntos en los que: σ1 = cte ó σ2 = cte

σx − σy

2±

σx − σy

2⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

2

+ τxy2 = cte

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADASPOLARES

θ

r

y

x

El punto elástico en coordenadas polares:

σx

τxy

σy

σx

σy

τxy

σxσx

τxyτxy

σyσy

σxσx

σyσy

τxyτxy

σr

σr

σθ

σθ

τrθ

τrθ

σr

σr

σθ

σθ

τrθ

τrθ

Coordenadascartesianas

Coordenadaspolares

σr: tensión radialσθ: tensión circunferencialτrθ: tensión tangencial o cortante

θ

r

y

xo

v , fθ u , fr

DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS POR UNIDAD DE VOLUMEN:

u = u (r,θ)v = v (r,θ)

fr = fr (r,θ)fq = fq (r,θ)

Campo de desplazamientos:

Fuerzas internas por unidad de volumen:

TENSIONES EN UN PUNTO ELASTICO

x

TENSOR DE TENSIONES

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

r

rr

0000

σσττσ

θθ

θ

Tensión plana: σz=0Deformación plana σz=0

Se sigue verificandoel teorema de reciprocidadde las tensionestangenciales:

rr θθ ττ =

rθτ θτ r

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO:

( ) 02

2 =+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++− drrdfddrdrddrddrrdr

rrd r

rrr

rrr θθσθ

θτ

ττθσ

σθσ θθ

θθ

( ) 02

2 =+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++− drrdfdrdddrrdr

rrddrddr r

rrr θθτθ

ττθτθ

θσ

σσ θθθ

θθθ

θθ

Según r:

Según θ:

θθ

ττ θ

θ drr ∂

∂+

θτ r

drrr

r ∂

∂+ θ

θτ

τ

θτ r

∂σ r

∂r+ 1

r∂τrθ

∂θ+ σ r − σθ

r+ f r = 0

1r

∂σθ

∂θ+

∂τ rθ

∂r+ 2

τ rθ

r+ f θ = 0

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO (Cont.):

DEFORMACIONES:

ε r = ∂u∂r

εθ =1r

∂v∂θ

+ur

γ rθ =∂v∂r

+1r

∂u∂θ

−vr

ε r =P∗A∗ − PA

PA=

dr + u +∂u∂r

dr − u⎛ ⎝

⎞ ⎠ − dr

dr=

∂u∂r

εθ =P∗B∗ − PB

PB=

v + ∂v∂θ

dθ + rdθ − v⎛ ⎝

⎞ ⎠

− rdθ

rdθ+

ur

=1r

∂v∂θ

+ur

γ rθ = Φ1 + Φ2 =

∂v∂r

dr −vr

dr

dr+

∂u∂θ

dθ

rdθ

ECUACIONES CONSTITUTIVAS:

( )

( )

G

E

E

rr

z

zr

r

θθ

θθ

θ

τγ

σσνσε

σσνσε

=

+⋅=

+⋅=

rE-

E-

( )0z

rz

=

+⋅=

εσσνσ θ

( )θσσνε

σ

+−=

=

rz

z

E

0Tensión plana:

Deformación plana:

τ rz = τθz = 0γ rz = γθz = 0

⎫ ⎬ ⎭

I1r = σ r + σθ + σz = cte

D.P. → σZ = ν σ r + σθ( )T.P. → σZ = 0

⎫ ⎬ ⎭

σ r + σθ = cte

PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA ELÁSTICO:

σx + σy = σ r + σθ

( ) ( )θσ+σ∆=σ+σ∆ ryx

DEFORMACIÓN PLANA:( )

rff

rrf

fdiv

rrrr

fdiv

rrv

vr

+∂∂

+∂∂

=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂=∆

−−=+∆

θ

θ

νσσ

θ

θ

1

111

1

2

2

22

2

r

r

∆ σ r + σθ( )= 0

fr = 0fθ = cte.

TENSIÓN PLANA:

∆ σ r + σθ( )= −(1 + ν) div fv→

∆ σ r + σθ( )= 0

FUNCIÓN DE TENSIÓN O DE AIRY

φ = φ(r,θ) =

σ r = 1r

∂φ∂r

+ 1r2

∂2φ∂θ2

σθ =∂ 2φ∂r2

τ rθ =1r2

∂φ∂θ

−1r

∂2φ∂r∂θ

= −∂∂r

1r

∂φ∂θ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

∆2φ =∂2

∂r2 +1r

∂∂r

+1r2

∂2

∂θ2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

∂2φ∂r2 +

1r

∂φ∂r

+1r2

∂ 2φ∂θ2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ = 0

∑

∑∞

=−

+

∞

=−

+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++++++=

22

2

22

211

31

1

113

11

02

02

02

00

sen11

cos11senln1cos2

cosln1sen2

lnln

nnnnn

nn

nn

nnnnn

nn

nn

nr

hr

grfre

nr

dr

crbrarrgr

frerc

rrdr

crbraerdrrcrbra

θ

θθθθ

θθθθθφ

EXPRESIÓN GENERAL DE LA FUNCIÓN DE TENSIÓNO DE AIRY:

ω

DISCO GIRATORIO

rf r2ρω=

∂σr

∂r+

σr − σθ

r+ fr = 0

Ecuación de equilibrio interno:

( ) 0rrdrd 22

r =⋅ω⋅ρ+σ−σ⋅ θ

rσ r = F

σθ = dFdr

+ ρω2r2

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

⇒

σ r = C + C11r2 −

3 + ν8

ρω 2r2

σθ = C − C11r2 − 1 + 3ν

8 ρω 2r2

DISCO MACIZO SIN TENSIONES SOBRE SU CONTORNO

σ r = 3 + ν8

ρω2 (R2 − r2 )

σθ =3 + ν

8 ρω2R2 −

1 + 3ν8

ρω2 r2

r = 0, (σ r )max = (σθ )max =3 + ν

8 ρω 2R2

(σ r ) r=a = 0 (σ r )r =R = 0

DISCO CON UN AGUJERO DE RADIO “a”

σ r =3 + ν

8 ρω2 R2 + a2 −

a2 R2

r2 − r2⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

σθ =3 + ν

8 ρω2 R2 + a2 −

a2 R2

r2 −1+ 3ν3 + ν

r2⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

(σ r )max → r = aR (σ r )max =3 + ν

8 ρω2 R − a( )2

(σθ )max → r = a (σθ )max = 3 + ν4

ρω 2 b2 + 1 − ν3 + ν

a2⎛ ⎝

⎞ ⎠

(σθ )max > (σ r )max

Si a → 0 (σθ )max → 2(σθ )maxdisco macizo

ω

a

TUBO CIRCULAR SOMETIDO A PRESION

rr1

r2

p2

p1

φ = φ r( )= A ln r + B r2 ln r + C r2 + D

σ r = 1r2

2 − r12 r1

2p1 − r22p2 + r1

2 r22

r2 p2 − p1( )⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

σθ =1

r22 − r1

2 r12p1 − r2

2p2 −r1

2r22

r2 p2 − p1( )⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

τ rθ = 0

r2 = ∞ p2 = 0

σ r = −σθ = −r1

2

r2 p1

r1 = 0 p1 = 0σr = −σθ = −p2 (estado equitensional)

( ) ( )

( )

0

2

21

12122

12

2

222

21

==

⋅−=

=+⋅−=−

≅≅

θ

θ

τσ

σ

rr

erpp

errrrrrrrrr

AGUJERO EN MACIZO INDEFINIDO RODILLO

TUDO DE PARED DELGADA

CUÑA CON CARGA EN LA PUNTA

φ = φN + φP + φM

φN = A r θ senθφP = B r θ cosθ

φM = C 12

sen2θ − θ cos2α⎛ ⎝

⎞ ⎠

FUNCIÓN DE AIRY:

σ r = 1r

∂φ∂r

+ 1r2

∂2φ∂θ2 = 2A cosθ

r− 2B senθ

r− 2C sen2θ

r2

σθ =∂ 2φ∂r2 = 0

τ rθ = −∂

∂r1r

∂φ∂θ

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

cr2 cos 2θ − cos2α( )

θ = ±α τ rθ = 0 σθ = 0CAMPO TENSIONAL:

CONDICIONES DE CONTORNO:

N = (σ r cosθ −−α

α

∫ τ rθ senθ) r dθ

P = (σ rsenθ −−α

α

∫ τrθ cosθ) r dθ

M = τ rθ r2 dθ− α

α

∫

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

⇒

A =N

2α + sen2α

B =-P

2α − sen2α

C = Msen2α - 2α cos2α

CILINDRO SOMETIDO A DOS CARGAS A LO LARGO DE GENERATRICES OPUESTAS(PROBLEMA DE HERTZ)

σx = −2Pπ

cosθ1 sen2θ1

r1

+cosθ2 sen2θ2

r2

−1D

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

σy = −2Pπ

cos3 θ1 r1

+cos3 θ2

r2

−1D

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

τxy = − 2Pπ

cos2 θ2 senθ2

r2

+ cos2 θ1 senθ1

r1

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

Heinrich RudolfHERTZ

(1857-1894)

PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO CIRCULAR

En puntos muy alejados del agujero(Principio de Saint-Venant):

00 === xyytx τσσσ

σx

σyτxy

σrσθ τrθ σ r = σt

2+ σ t

2 cos2θ

σθ =σ t

2−

σ t

2 cos2θ

τ rθ = −σ t

2+ sen2θ

⎫

⎬

⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪

σ

τ

σr

σθτrθ

τrθ

2θσt

Del Estado I (tubo sometido a presiones) conocemos su solución:

σ rI = σt

21− R2

r2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

σθI =

σ t

21+

R2

r2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

τ rθI = 0

σ r = σt

2+ σ t

2 cos2θ

σθ =σ t

2−

σ t

2 cos2θ

τ rθ = −σ t

2+ sen2θ

⎫

⎬

⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪

La solución Estado II es algo más complicada. La función de Airy de este problema se conoce y de ella pueden obtenerse las tensiones:

φ = Ar2 + Br4 +Cr2 + D⎛

⎝ ⎞ ⎠ cos 2θ

σ rII =

1r

∂φ∂r

+1r2

∂2φ∂θ2 = − 2A +

6Cr4 +

4Dr2

⎛ ⎝

⎞ ⎠ cos2θ

σθII = ∂2φ

∂r2 = 2A + 12Br2 + 6Cr4

⎛ ⎝

⎞ ⎠ cos 2θ

τ rθII = −

∂∂r

1r

∂φ∂θ

⎛ ⎝

⎞ ⎠ = 2A + 6Br2 −

6Cr4 −

2Dρ2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ sen2θ

σ r = σ rI + σ r

II

σθ = σθI + σθ

II

τrθ = τ rθI + τ rθ

II

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪

Las constantes A, B, C y D se determinan imponiendo las siguientes condiciones de contorno:

φ = Ar2 + Br4 +Cr2 + D⎛

⎝ ⎞ ⎠ cos 2θ

σ rII =

1r

∂φ∂r

+1r2

∂2φ∂θ2 = − 2A +

6Cr4 +

4Dr2

⎛ ⎝

⎞ ⎠ cos2θ

σθII = ∂2φ

∂r2 = 2A + 12Br2 + 6Cr4

⎛ ⎝

⎞ ⎠ cos 2θ

τ rθII = −

∂∂r

1r

∂φ∂θ

⎛ ⎝

⎞ ⎠ = 2A + 6Br2 −

6Cr4 −

2Dρ2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ sen2θ

σ rI = σt

21− R2

r2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

σθI =

σ t

21+

R2

r2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

τ rθI = 0

r = R σ r = 0 τ rθ = 0

r = ∞ σ r = σ t τ rθ = 0

( )

( )

( )θ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−⋅

σ−=τ

θ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅

σ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

σ=σ

θ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅+⋅

σ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

σ=σ

θ

θ

2senrR2

rR31

2

2cosrR31

2rR1

2

2cosrR4

rR31

2rR1

2

2

2

4

4t

r

4

4t

2

2t

2

2

4

4t

2

2t

r

σ r = 0σθ = σ t − 2σ t cos2θ τ rθ = 0

Para r=R: σθ( )max = 3σ t cuando θ =π2

Para :θ =π2 σ r = 3σ t

2R2

r2 − R4

r4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

σθ =σ t

22 +

R2

r2 + 3R4

r4

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

τ rθ = 0

⎫

⎬

⎪ ⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪ ⎪

θσ

τ

θσσ

σ

θσσ

σ

θ

θ

2sen2312

2cos312

12

2cos4312

12

2

2

4

4

4

4

2

2

2

2

4

4

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

rR

rR

rR

rR

rR

rR

rR

tr

tt

ttr

( )

( )

( )θ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−⋅

σ−=τ

θ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅

σ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

σ=σ

θ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅+⋅

σ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

σ=σ

θ

θ

2senrR2

rR31

2

2cosrR31

2rR1

2

2cosrR4

rR31

2rR1

2

2

2

4

4t

r

4

4t

2

2t

2

2

4

4t

2

2t

r

σ r = σ t 1 +3R4

r4 − 4R2

r2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ cos2θ

σθ = -σ t 1+ 3R4

r4

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ cos2θ

τ rθ = −σ t 1- 3R4

r4 + 2R2

r2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ sen2θ

σc=τ

σc=τ

σc=τ

σc=τ

PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO SOMETIDAA TENSIONES CORTANTE EN SU CONTORNO:

PLACA PLANA INDEFINIDA CON UN TALADRO ELÍPTICO

2bA

B

2a

σt

σt

2bA

B

2a

σt

σt

A

B

2a

σt

σt

( )

( ) tB

tA ba

σσ

σσ

θ

θ

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 21

A

2a

σt

σt

A

2a

σt

σt

Si b 0 (el taladro elíptico se convierte en una fisura):

( ) ∞→Aθσ