el número asintótico de cuadrados mágicos de primos · cuadrados m agicos ecuaciones y formas...

Cuadrados magicos Ecuaciones y formas Primos β∞ Resultados

El numero asintotico decuadrados magicos de primos

Carlos Vinuesa del RıoInstituto de Ciencias Matematicas

Congreso de Jovenes Investigadores, RSME

Sevilla, 19 de septiembre de 2013


Progresiones y cuadrados magicos de primos

¿Que es un cuadrado magico?

Un cuadrado magico es una matriz cuadrada en la que la sumade los elementos de cada fila, columna o diagonal principal es lamisma.



¿Hay cuadrados magicos?

Un cuadrado magico normal es un cuadrado magico n × n cuyasentradas son los numeros {1, 2, . . . , n2}. Para todo n se conocenconstrucciones de cuadrados magicos normales n × n.



¿Hay cuadrados magicos?



¿Hay infinitos cuadrados magicos?

En realidad, estamos sumando el cuadrado magico cuyas entradasson todas unos. En general, la suma de dos cuadrados magicos esotro cuadrado magico y el producto de un cuadrado magico por unnumero tambien es un cuadrado magico.



¿Hay cuadrados magicos de primos?

Teorema (Green-Tao, 2008)

Los primos contienen progresiones aritmeticas arbitrariamentelargas.

Por ejemplo, pk = 23143 + 30030k para k = 1, 2, . . . , 9 son primosen progresion aritmetica.

Ası, una progresion aritmetica de 10 primos me da 2 cuadradosmagicos distintos y una progresion aritmetica de 1008 primos meda mas de 1000 cuadrados magicos. Luego hay infinitos cuadrados.



¿Que queremos hacer?

Javier Cilleruelo me propuso el siguiente problema:

Queremos saber cuantos cuadrados magicos de primos hay, esdecir, queremos saber el numero asintotico (cuando N →∞) decuadrados magicos de enteros cuyas entradas son numeros primosen [0,N].



¿Cuanto queremos que salga?

Pensemos en el caso 3× 3.

x1 x2 x3

x4 x5 x6

x7 x8 x9

(x1 + x5 + x9) + (x2 + x5 + x8) + (x3 + x5 + x7) = 3S

Y como x1 + x2 + x3 = x7 + x8 + x9 = S , entonces S = 3x5.

x1 x2 x3 a + b a− b − c a + cx4 x5 x6 = a− b + c a a + b − cx7 x8 x9 a− c a + b + c a− b

Luego el numero de cuadrados magicos 3× 3 con entradas en[0,N] deberıa ser algo ası como CN3.



¿Cuanto queremos que salga?

El teorema del numero primo nos dice que la probabilidad de queun entero elegido al azar cerca de N sea primo es ∼ 1/ log N.

Luego la probabilidad de que nuestros 9 numeros sean primos seratipo 1

(log N)9 .

Eso quiere decir que el numero de cuadrados magicos 3× 3 deprimos menores o iguales que N deberıa ser C N3

(log N)9 .

En general, para cuadrados n × n, esperamos que haya C ND(n)

(log N)n2

cuadrados, donde D(n) es el numero de parametros de quedepende un cuadrado magico n × n.


Primeros ejemplos

Ecuaciones y formas lineales

¿Como caracterizar una progresion aritmetica de tres enteros?

x y z

Ecuaciones: y − x = z − y ⇔ x + z = 2y

Formas lineales: (a, a + b, a + 2b)


Primeros ejemplos

Ecuaciones y formas lineales

¿Y una progresion aritmetica de cuatro enteros?

x y z t

Ecuaciones:

y − x = z − yz − y = t − z

}⇔ x + z = 2y

y + t = 2z

}

Formas lineales: (a, a + b, a + 2b, a + 3b)


Primeros ejemplos

Ecuaciones y formas afines

Un par de ejemplos afines muy sencillos.

¿Como caracterizar dos enteros que disten 2?

x y

Ecuaciones: y − x = 2Formas lineales-afines: (a, a + 2)

¿Y dos enteros que sumen 2N?

Ecuaciones: x + y = 2NFormas lineales-afines: (a, 2N − a)


Cuadrados magicos

Cuadrados magicos 3× 3

Como sabemos, un cuadrado magico de enteros es una matrizcuadrada de enteros en la que la suma de los elementos de cadafila, columna o diagonal principal es la misma.

x1 x2 x3

x4 x5 x6

x7 x8 x9

Ecuaciones:

x1 + x2 + x3 = x4 + x5 + x6

x4 + x5 + x6 = x7 + x8 + x9

x1 + x4 + x7 = x2 + x5 + x8

x2 + x5 + x8 = x3 + x6 + x9

x1 + x5 + x9 = x3 + x5 + x7

x1 + x5 + x9 = x1 + x4 + x7


Cuadrados magicos


¿Definen estas ecuaciones los cuadrados magicos? ¿Podemosquitar alguna de ellas (i. e. ¿son l. i.?)?

x1 + x2 + x3 = x4 + x5 + x6

x4 + x5 + x6 = x7 + x8 + x9

x1 + x4 + x7 = x2 + x5 + x8

x2 + x5 + x8 = x3 + x6 + x9

x1 + x5 + x9 = x3 + x5 + x7

x1 + x5 + x9 = x1 + x4 + x7

Forma elegante de ver que lo son:

1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 11 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 00 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1


Cuadrados magicos


¿Y las formas lineales? Como acabamos de ver:

x1 x2 x3

x4 x5 x6

x7 x8 x9

(x1 + x5 + x9) + (x2 + x5 + x8) + (x3 + x5 + x7) = 3S

Y como x1 + x2 + x3 = x7 + x8 + x9 = S , entonces S = 3x5.

x1 x2 x3 a + b a− b − c a + cx4 x5 x6 = a− b + c a a + b − cx7 x8 x9 a− c a + b + c a− b


Cuadrados magicos


¡Ya tenemos nuestro sistema de formas lineales!

Ψ : Z3 → Z9

Ψ(a, b, c) = (a+b, a−b− c, a+ c, a−b+ c, a, a+b− c, a− c, a+b+ c, a−b)

Los cuadrados magicos de enteros forman un grupo abeliano con lasuma y por lo tanto un Z-modulo. Una base para este Z-moduloes:

1 1 1 1 −1 0 0 −1 11 1 1 −1 0 1 1 0 −11 1 1 0 1 −1 −1 1 0


Cuadrados magicos


Observemos que si trataramos de resolver “de cualquier manera” elsistema que tenıamos (como sistema de ecuaciones en R),podrıamos obtener algo como:

−1 2 2 2 −1 2 2 2 −14 1 −2 1 1 1 −2 1 40 0 3 0 3 0 3 0 0

Y no todo cuadrado magico de enteros se puede escribir como unac. l. entera de esos tres cuadrados.

Hemos aprendido que no tiene por que ser facil obtener formaslineales adecuadas a partir de las ecuaciones lineales y tambien queobtener una base es equivalente a obtener las formas lineales.


Cuadrados magicos


Ecuaciones: Ax = 0,donde x = (x1, . . . , x16), 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) y A es

1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 −1 −1 −1 −11 −1 0 0 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 −1 0 00 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 −1 00 0 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 −11 0 0 −1 0 1 −1 0 0 −1 1 0 −1 0 0 10 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 −1


Cuadrados magicos


¿Y las formas lineales?

Si fijamos las entradas de las 8 posiciones de este esqueleto,podemos determinar las del resto de posiciones.


Cuadrados magicos


1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 1 0 0 0 1 1 −1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 0 0 −1 0 1 0 −10 −1 2 0 0 1 −1 0 0 0 −1 −11 2 −1 −1 −1 −1 1 1 0 −1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 −1 0 0 0 00 −1 0 1 1 1 −1 −10 1 −1 0 −1 −1 1 1


Cuadrados magicos


En principio hemos tenido suerte. No hay un motivo obvio por elque las entradas de fuera del esqueleto tengan que ser enteras. Porejemplo, un cuadrado magico 3× 3 con entradas reales quedadeterminado por las tres entradas de su primera fila, y el unicocuadrado magico con entradas reales con uno, cero y cero en laprimera fila es:

1 0 0−2/3 1/3 4/32/3 2/3 −1/3


Cuadrados magicos

Cuadrados magicos n × n

En general, las ecuaciones que definen los cuadrados magicosn× n para cualquier n ≥ 5 “son muy faciles de obtener” (igual queantes). Pero ¿que hacemos para obtener bases o formas lineales?

Podemos escoger el siguiente esqueleto y obtener una base:


Cuadrados magicos


Bases elefante


Cuadrados magicos


Bases elefante

1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1


Cuadrados magicos


Bases elefante

1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

2 2


Cuadrados magicos


Bases elefante

1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

2 23

3


Cuadrados magicos


Bases elefante

1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

2 23

3 4


Cuadrados magicos


Si completamos los n2 − 2n cuadrados magicos con 1 en una de lasposiciones del esqueleto y 0 en el resto, tendremos una base paralos cuadrados magicos de enteros. Las formas lineales dadas pordicha base se pueden ver en la siguiente figura:


Cuadrados magicos


−n+5 −n+3 ... −n+3 −n+2 −n+3 −n+1 2 2 1 ... 1 0 0 2 1 ...12 1 −1 1 2 1 ...1 2 1 11 0 0 1 ...1 1 1 02 0 2 1 2 1 ...1 10 2 1 2

... ...0 0 ...−1 ... 0 ... 0 ...1 1 10 0 0 −1 0 −1 0 −1 0 0 −1 0 0 −1

...1 ...10 0 ...−1 ... 0 ... 0 ...00 −1 0 0 0 0 0 00 00 −1 −1 000 0 −1 0 0 0 −1

1 1 1−I 1 1 1 0 −I0 0 0 0 −I0 00 0 −I0 00 −I0 000 −I0 00 −I 00

21 ... 10 0 1−1 −1 0 0... 1−1 −1 0 0... 0 1−1 −1 0 0... 0 0 −1 −1 0 1 0 0... −1 −1 01 0... −1 0 0

1 ... 10 −1 0 0... −1 0 ... 0 −1 0 ... 0 −1 0 0−1 0 ... 0 −1 0 ... 0

−n+4 −n+3 ... −n+3 −n+2 2 1 ... 1 1 ...12 1 1 ...1 2 1 1 1 ... 1 2 1 ... 1 101 1 1 1 1 21 0

n−4 ... −2 −2 −1 ... −1 0 −2 −1 ...−1−2 −1 −1 −2 −1 ...−1 −2 −1 −1−1 0 −1 ...−1 −1 −1−2 0 −2 −1 −2 −1 ...−1 −10 −2 −1 −2n−2 n−2 n 0 −1 −1 −1 −2

1 ... ... −10 ... −1 ... ...−1 000 0 −1 1 0 01 0 1 0 −10 0 0 1 0 0 0 −11 0 0 0... 1 0 0

...

0 000 0 10 00

I 000 0 0 0 0 0

0 000 0 10 0 0

0

I 000 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0−1

000 0 0 0 0

1 0 0 00 0 0 0−1

000 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

000 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

00I 0 0 0 0 0

...

...

......0

0

0

0

0

0

−1

−1

I

I

I

n

n−1

n−1

n−1

n−1

n−5

n−5

n n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 n−5

n−3 de ellos

n−3

de e

llos


Cuadrados magicos


−n+5 −n+3 ... −n+3 −n+2 −n+3 −n+1 2 2 1 ... 1 0 0 2 1 ...12 1 −1 1 2 1 ...1 2 1 11 0 0 1 ...1 1 1 02 0 2 1 2 1 ...1 10 2 1 2

... ...0 0 ...−1 ... 0 ... 0 ...1 1 10 0 0 −1 0 −1 0 −1 0 0 −1 0 0 −1

...1 ...10 0 ...−1 ... 0 ... 0 ...00 −1 0 0 0 0 0 00 00 −1 −1 000 0 −1 0 0 0 −1

1 1 1−I 1 1 1 0 −I0 0 0 0 −I0 00 0 −I0 00 −I0 000 −I0 00 −I 00

21 ... 10 0 1−1 −1 0 0... 1−1 −1 0 0... 0 1−1 −1 0 0... 0 0 −1 −1 0 1 0 0... −1 −1 01 0... −1 0 0

1 ... 10 −1 0 0... −1 0 ... 0 −1 0 ... 0 −1 0 0−1 0 ... 0 −1 0 ... 0

−n+4 −n+3 ... −n+3 −n+2 2 1 ... 1 1 ...12 1 1 ...1 2 1 1 1 ... 1 2 1 ... 1 101 1 1 1 1 21 0

n−4 ... −2 −2 −1 ... −1 0 −2 −1 ...−1−2 −1 −1 −2 −1 ...−1 −2 −1 −1−1 0 −1 ...−1 −1 −1−2 0 −2 −1 −2 −1 ...−1 −10 −2 −1 −2n−2 n−2 n 0 −1 −1 −1 −2

1 ... ... −10 ... −1 ... ...−1 000 0 −1 1 0 01 0 1 0 −10 0 0 1 0 0 0 −11 0 0 0... 1 0 0

...

0 000 0 10 00

I 000 0 0 0 0 0

0 000 0 10 0 0

0

I 000 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0−1

000 0 0 0 0

1 0 0 00 0 0 0−1

000 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

000 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

00I 0 0 0 0 0

...

...

......

0

0

0

0

0

0

−1

−1

I

I

I

n

n−1

n−1

n−1

n−1

n−5

n−5

n n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 n−5

n−3 de ellos

n−3

de e

llos


Conjetura de Hardy-Littlewood


Conjetura de Hardy-Littlewood generalizada (Green y Tao, 2008)

Dados un sistema de formas Ψ : Zd → Zt , Ψ = (ψ1, . . . , ψt), y uncuerpo convexo K ⊂ [−N,N]d

|K ∩ Zd ∩Ψ−1(Pt)| ∼ β∞Nd

logt N

∏p primo

βp

donde P = {primos}, β∞Nd = vold(K ∩Ψ−1(Rt+)) y βp son unos

factores locales (uno para cada primo p).

Para K convenientemente elegido,

β∞Nd = vold(K ∩Ψ−1(Rt+))

es el numero de tuplas con entradas en [0,N] que satisfacen loque queremos (ser un cuadrado magico en nuestro caso) sinimponer la condicion de que las entradas sean primas.






|K ∩ Zd ∩Ψ−1(Pt)| ∼ β∞Nd

logt N

∏p primo

βp



Para cada primo p se define βp = En∈Zdp

∏i ΛZp(ψi (n)), donde

ΛZp es la funcion local de von Mangoldt, ΛZp : Zp → R+,ΛZp(0) = 0 y ΛZp(b) = p

φ(p) = pp−1 si b 6= 0. Esperamos que∏

p primo βp converja a una constante no nula.






|K ∩ Zd ∩Ψ−1(Pt)| ∼ β∞Nd

logt N

∏p primo

βp



Luego “si todo va bien” y si la conjetura es cierta, tendremos queel numero asintotico de las estructuras en que estemos interesadoses

∼ CNd

logt N.






|K ∩ Zd ∩Ψ−1(Pt)| ∼ β∞Nd

logt N

∏p primo

βp



Del mismo modo que el teorema del numero primo nos dice que laprobabilidad de que un entero elegido al azar cerca de N sea primoes ∼ 1/ log N, la conjetura afirma que la probabilidad de que unpunto elegido al azar en Ψ(Zd) ∩ Zt

+ “de magnitud N” tengatodas sus coordenadas primas es ∼

∏p βp/ logt N.



Complejidad

La conjetura es cierta para problemas que no sean demasiadodifıciles. Green y Tao introdujeron una “medida de como decomplicado es un problema de este tipo”. Se llama complejidad:

i-complejidad a lo sumo s:

complejidad: mınimo s para el que la i-complejidad (i = 1, . . . , t)es a lo sumo s.



Complejidad

Ejemplo (k-progresiones aritmeticas):Ψ(a, b) := (a, a + b, a + 2b, . . . , a + (k − 1)b) tiene complejidadk − 2 porque cualesquiera dos formas a + ib y a + jb generan sobreQ cualquier combinacion lineal de a y b.

a + iba + jb

}→ (j − i)a

(i − j)b

}

Ejemplo (primos gemelos): Ψ(a) := (a, a + 2) tiene complejidad∞ porque cada forma esta en el espacio afın generado por la otra.

Ejemplo (Goldbach): Ψ(a) := (a, 2N − a) tiene complejidad ∞porque cada forma esta en el espacio afın generado por la otra.



Complejidad

Hardy-Littlewood, Vinogradov, 1923-1937

La conjetura es cierta para sistemas de complejidad 1.

Green-Tao, 2008

La conjetura es cierta para sistemas de complejidad 2.

Green-Tao-Ziegler, 2011

La conjetura es cierta para sistemas de complejidad 3, 4, . . . <∞.



Complejidad

Aunque es un poco tecnico, con las formas lineales dadas pornuestras elegantes bases, podemos calcular la complejidad delproblema para cuadrados magicos:

El sistema de los cuadrados magicos 3× 3 tiene complejidad 3.

Para todo n ≥ 4, los sistemas de los cuadrados magicos n × ntienen complejidad 1.


Volumen de politopos

Calculando β∞

Recordemos que β∞Nd = vold(K ∩Ψ−1(Rt+)).

Para cada n ≥ 3 y N ≥ 0, elegimos

K = Kn(N) = {x ∈ Rn2−2n : 0 ≤ ψi (x) ≤ N para i = 1, . . . , n2}

donde las ψi son las formas lineales dadas por nuestras bases.

Ası, en nuestro caso β∞,nNn2−2n = voln2−2n(Kn(N)) y tenemosque calcular el volumen de Kn(N), que, al ser todas las formaslineales, es voln2−2n(Kn(1))Nn2−2n.

En el caso de cuadrados 3× 3, el politopo K3(1) esta definido porlas 18 desigualdades:

0 ≤ a + b ≤ 1 0 ≤ a− b − c ≤ 1 0 ≤ a + c ≤ 10 ≤ a− b + c ≤ 1 0 ≤ a ≤ 1 0 ≤ a + b − c ≤ 1

0 ≤ a− c ≤ 1 0 ≤ a + b + c ≤ 1 0 ≤ a− b ≤ 1


Volumen de politopos

Calculando β∞

Y podemos visualizar el politopo

(1/2,0,1/2)

(0,0,0)

(1/2,-1/2,0)

(1,0,0)

(1/2,1/2,0)

(1/2,0,-1/2)

y calcular su volumen (2 piramides con area de la base 1/2 y altura1/2), que es 1/6. Luego β∞,3 = 1

6 .

¿Hay otra forma de calcular el volumen con la que podamos“aprender mas” y que podamos generalizar a dimensionesmayores?


Ehrhart

Teorema de Ehrhart

Teorema de Ehrhart (vertices enteros)

Si P es un politopo convexo cuyos vertices tienen coordenadasenteras, el numero de puntos de coordenadas enteras en lasdilataciones NP para N = 0, 1, 2 . . . viene dado por un polinomioen N cuyo grado es la dimension de P.

E (0) = 1, E (1) = 3 y E (2) = 6interpolando−−−−−−−→ E (N) = N2

2 + 3N2 + 1.


Ehrhart

Teorema de Ehrhart

Ademas, el volumen del politopo original es el coeficiente deltermino de mayor grado (podemos pensar el volumen como ellımite cuando N →∞ del numero de puntos enteros en ladilatacion por N dividido entre Nd).

N

N

1

1


Ehrhart

Teorema de Ehrhart

Teorema de Ehrhart (vertices racionales)

Si P es un politopo convexo cuyos vertices tienen coordenadasracionales, el numero de puntos de coordenadas enteras en lasdilataciones NP para N = 0, 1, 2 . . . viene dado por unquasi-polinomio en N cuyo grado es la dimension de P y cuyoperiodo divide al mınimo comun multiplo de los denominadores delos vertices de P.

El numero exacto de cuadrados magicos 3× 3 con entradas enterasen [0,N] es:

E3(N) =

{N3/6 + N2/2 + 4N/3 + 1 if N ≡ 0 (mod 2)N3/6 + N2/2 + 5N/6 + 1/2 if N ≡ 1 (mod 2)

y el volumen del politopo K3(1) es 1/6.


Ehrhart

Teorema de Ehrhart

Para el caso de cuadrados magicos 4× 4 podemos interpolar elquasi-polinomio con un ordenador:

E4(N) =

8389N8

120960 + 8389N7

15120 + 5531N6

2592 + 10877N5

2160 + 8663N4

1080 + 14371N3

1620 + 143N2

21 + 1067N315 + 1

si N ≡ 0 (mod 6)

8389N8

120960 + 8389N7

15120 + 5531N6

2592 + 10877N5

2160 + 69169N4

8640 + 57079N3

6480 + 4303N2

672 + 13607N5040 + 37

128si N ≡ 1 (mod 6)

8389N8

120960 + 8389N7

15120 + 5531N6

2592 + 10877N5

2160 + 8663N4

1080 + 14371N3

1620 + 143N2

21 + 1067N315 + 97

81si N ≡ 2 (mod 6)

8389N8

120960 + 8389N7

15120 + 5531N6

2592 + 10877N5

2160 + 69169N4

8640 + 57079N3

6480 + 4303N2

672 + 13607N5040 + 37

128si N ≡ 3 (mod 6)

8389N8

120960 + 8389N7

15120 + 5531N6

2592 + 10877N5

2160 + 8663N4

1080 + 14371N3

1620 + 143N2

21 + 1067N315 + 1

si N ≡ 4 (mod 6)

8389N8

120960 + 8389N7

15120 + 5531N6

2592 + 10877N5

2160 + 69169N4

8640 + 57079N3

6480 + 4303N2

672 + 13607N5040 + 5045

10368si N ≡ 5 (mod 6)


Ehrhart

Teorema de Ehrhart

Para cuadrados 5× 5 este enfoque para calcular el volumen exactodel politopo llevarıa muchısimo tiempo, incluso haciendolo con unordenador. Sı es sencillo demostrar que el volumen del politopo deinteres es un numero estrictamente comprendido entre 0 y 1 paratodo n ≥ 3 (los coeficientes de cada Ψi suman 1).

Cualquier otro enfoque conocido, tampoco ayudarıa mucho amedida que N crece. En general, calcular el volumen exacto depolitopos en dimensiones cada vez mayores es difıcil.

Como ejemplo ilustrando lo anterior, en el caso del politopo deBirkhoff, Bn, uno de los politopos mas importantes y estudiados (ymucho mas sencillo que el nuestro; por ejemplo, tiene verticesenteros bien conocidos), solo se conoce el volumen exacto paran ≤ 10 y el caso n = 10 llevo casi 17 anos de tiempo de ordenador.


Calculo de factores locales

Factores locales

Utilizando el principio de inclusion-exclusion y separando los primospequenos, podemos determinar los factores locales βp para todoprimo p. Para todo n ≥ 3 el producto de los factores localesconverge a una constante no nula.


Resultados

Para todo n ≥ 3

Teorema (V., 2012)

El numero de cuadrados magicos n × n cuyas entradas sonnumeros primos en [0,N] es

∼ SnNn2−2n

logn2

N,

donde Sn = voln2−2n(Kn(1))∏

p primo βp,n es un numero realestrictamente positivo.Ademas, tenemos un algoritmo para calcular Sn.


Resultados

Para n = 3

Teorema (V., 2012)

El numero de cuadrados magicos 3× 3 cuyas entradas sonnumeros primos en [0,N] es

∼ S3N3

log9 N,

donde

S3 = 2438

∏p primop≥5

(1− 6

p−1 + 13(p−1)2

)(1 + 1

p−1

)6

≈ 25.818.


Resultados

Para n = 4

Teorema (V., 2012)

El numero de cuadrados magicos 4× 4 cuyas entradas sonnumeros primos en [0,N] es

∼ S4N8

log16 N,

donde

34654959573440

∏p primop≥5

(1 − 8

p−1+ 36

(p−1)2 − 110(p−1)3 + 250

(p−1)4 − 416(p−1)5 + 461

(p−1)6 − 257(p−1)7

)(1 + 1

p−1

)8

≈ 76.758.


Mas resultados

Cuadrados magicos con entradas distintas

Se suele imponer a un cuadrado magico la condicion de que susentradas sean todas distintas.

Dado que se conocen cuadrados magicos con todas sus entradasdistintas para cualquier longitud del lado del cuadrado (cuadrados

magicos normales), cada una de las(n2

2

)ecuaciones del tipo

xi − xj = 0 para i ∈ [1, n2 − 1] y j ∈ [i + 1, n2] es linealmenteindependiente con las 2n ecuaciones que definen los cuadradosn × n.

Ası, el numero de cuadrados magicos (sin primos o con ellos) conalguna repeticion es de un orden de magnitud menor y todas lasformulas asintoticas dadas son validas tambien para el numero decuadrados magicos con todas sus entradas distintas.


The end

el número asintótico de cuadrados mágicos de primos · cuadrados m agicos ecuaciones y formas...

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