cuadrados mágicos

LOSCUADRADOS

MÁGICOS

(Un recurso para el aula)

GERMÁN BERNABEU SORIA

LOS CUADRADOS MÁGICOS 2 GERMÁN BERNABEU SORIA

CUADRADOS MÁGICOS.

La composición de los cuadrados mágicos numéricos es un entretenimiento que siempre ha gustado a los matemáticos (tanto antiguamente como en la actualidad). Dicho entretenimiento consiste en buscar unos determinados números que se colocan dentro de las casillas de un cuadrado cuadriculado de tal forma que las sumas de las filas, las columnas y las diagonales dan siempre el mismo resultado.

El adjetivo de mágicos, pertenecientes a la magia, no es un concepto actual, ya que desde su origen siempre han tenido un significado esotérico, utilizándose su uso, en muchas ocasiones, como amuletos, labrados en oro o plata y asociados especialmente, a la religión, la astrología y la alquimia. Los antiguos magos de Persia, que eran al mismo tiempo médicos, afirmaban que esos cuadrados numéricos, puestos sobre una parte enferma del cuerpo tenían facultades curativas (más o menos como las cataplasmas de nuestras abuelas ).

Más recientemente y durante la guerra de Camboya, muchas mujeres dibujaban cuadrados mágicos en los pañuelos que se anudaban en la cabeza o eran dibujados en los tejados de las viviendas, creyendo que les protegían de las bombas.

El primer cuadrado mágico que se conoce es el que según la leyenda el emperador hindú Yu vió dibujado en el caparazón de una tortuga sagrada en el rio Luo, aproximadamente 1200 años a. de C. Este cuadrado es conocido con el nombre de Luo Shu (rio Luo).

Luo Shu


De la India pasaron a China, de esta a Japón, al Sudeste asiático, de aquí a Arabia, y gracias a comerciantes y navegantes, llegaron al mundo occidental. Los árabes utilizaron cuadrados mágicos de número impar con el 1 en el centro, número que representaba a Alá.

El primer texto que muestra un cuadrado mágico es un manuscrito árabe del siglo VIII y corresponde al cuadrado mágico más sencillo, el de 3 x 3, cuyo autoría se atribuye a Apolonio de Tiana, que vivió en el siglo I. Este cuadrado aparece posteriormente, en el siglo XII, en los trabajos realizados por el matemático judío Ibn Esra.

6 1 8

7 5 3

2 9 4

Se trata del cuadrado mágico de orden 3, y los números consecutivos del 1 al 9.

Si sumamos los números de sus horizontales, verticales o diagonales obtenemos de resultado, en todos los casos, 15.

Los árabes introdujeron en Europa, a finales del siglo XV, dos

cuadrados mágicos de orden 4 que habían copiado a los hindúes. Un monje griego llamado Moschopoulus los divulgó entre la gente, llegando a alcanzar tanto éxito que fueron utilizados en la época como talisman, contra los peligros de la peste

Algunos historiadores afirman que el primer cuadrado mágico conocido en Occidente, es el que aparece en la pintura de Alberto Durero titulada Melancolía I, cuyo número mágico es el 34.


A continuación vemos el grabado, donde un ángel rodeado de objetos, de características físico- matemáticas (compás, esfera, balanza, un sólido extraño, etc.), se encuentra en actitud pensativa. Algunos estudiosos dicen que representa la insuficiencia del conocimiento humano para alcanzar la sabiduría.

Melancolía I

Como puedes apreciar en el grabado, el cuadrado mágico se encuentra situado en la parte superior derecha, debajo de la campana y una característica del mismo es que los números situados en las dos casillas centrales inferiores indican el año en que fue grabado 1514.


Este cuadrado, fue encontrado además, en las ruinas de la ciudad de Jajuraho, que se remontan al siglo XI.

Aquí lo tenemos en un formato de producción más claro.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Muchos matemáticos han querido ver en este cuadrado y en sus propiedades unas características de significado místico.

En él podemos comprobar, como en cualquier cuadrado mágico que sus filas, sus columnas y sus diagonales suman 34, pero,

también sus cuadrados centrales suman 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

y sus cuatro esquinas

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12


4 15 14 1

y sus cuatro cuadrantes

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

y sus diagonales quebradas

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Y …

16 3 2 13

5 10 11 8


9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

En definitiva, como podemos apreciar, se trata de un cuadrado mágico excepcional.

Pero no es el único. A continuación tenemos otro cuadrado mágico que como este, además es diabólico, que así es, como suele llamarse a este tipo de cuadrados mágicos.

Si sumas sus filas, columnas, diagonales, esquinas, cuadrado central, cuadrantes y diagonales truncadas siempre suman lo mismo.

15 10 3

6

4

5

16

9

14

11 2 7

1 8 13 12

Pero la pregunta es


¿Existe alguna manera de poder construirlos?.

Y la respuesta es, sin duda, afirmativa.

A través de los tiempos, los matemáticos y estudiosos del tema, se han visto atraídos por su indudable influencia. Ya en un manuscrito hindú sobre magia, el Kaksaputa, se encuentra la regla de construcción de cuatro cuadrados mágicos. El propio cuadrado de Alberto Durero es atribuida su construcción al astrónomo Vaharamihira. En el siglo XIV el matemático hindú Narayama explicó el método de construcción de los cuadrados 4n mediante el singular método del movimiento del caballo de ajedrez.

En 1531, el alquimista Agrippa, condenado por hechicería, publica en su libro “De occulta philosophia libri tres”, la construcción de los cuadrados mágicos de 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 los cuales fueron asociados a los siete planetas conocidos de su época (Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Venus, Mercurio y Luna).

Posteriormente matemáticos de la talla Fermat, Euler, Lucas, … establecieron muchas de las propiedades de los cuadrados mágicos.

Entre las muchas y diferentes maneras de construirlos vamos a ver algunas de ellas. Una para cuadrados de número impar y otra para cuadrados de número par.

Para cuadrados de número impar.

Para construir cuadrados mágicos de número impar de casillas (3 x 3, 5 x 5, 7 x 7, 9 x 9, …), procederemos de la siguiente manera.

1. Construimos el tablero del cuadrado mágico a realizar, en este caso el de 3 x 3.


2. Sobre el cuadrado central de cada lado añadimos una nueva casilla (casillas asociadas), lo que da lugar a una figura de tipo rombo cuadriculado.

3. Sobre el nuevo tablero colocamos los números del 1 al 9 comenzando por la casilla asociada izquierda y en diagonal, tal como se indica en la figura.

3

2 6

1 5 9

4 8

7

4. Transladamos lo números dituados en las casillas suplementarias a la casilla situada en el mismo lugar pero en el lado opuesto del tablero, algo así como si el tablero, imaginariamente, se plegara por el centro.

2 7 6

9 5 1

4 3 8


5. Y ya tenemos construido el cuadrado mágico.


Vamos ahora a construir uno de 5 x 5.

Paso 1.

Paso 2

Paso 3.


5

4 10

3 9 15

2 8 14 20

1 7 13 19 25

6 12 18 24

11 17 23

16 22

21

Y paso 4.

3 16 9 22 15

20 8 21 14 2

7 25 13 1 19

24 12 5 18 6

11 4 17 10 23

¿A que no resulta tan complicado?.

Pues a partir de éste, mediante rotaciones y reflexiones, podemos construir otros.

¡Ah!, se me olvidaba decir que la colocación de los números, paso 3, se puede comenzar desde cualquier casilla asociada, arriba, abajo, derecha o izquierda, y en orden ascendente o descendente. Compruébalo.

Para cuadrados de número par.


Como he indicado anteriormente, el cuadrado mágico de número par más famoso es sin duda el de Alberto Durero, conocido como consecuencia de haber sido reproducido en el famoso grabado, hecho a buril, titulado "Melancolía I" y que ya hemos visto con anterioridad

Se trata, como ya sabemos, de un cuadrado mágico par de orden cuatro, es decir que tiene cuatro casillas por lado (4 x 4).

Nuestro objetivo, recordando al ya indicado Vaharamihira, será construirlo y para ello, lo primero que debemos hacerserá construir el tablero.

A continuación se colocan los números del 1 al 16 ordenadamente en las casillas comenzando por la primera de la izquierda

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Seguidamente invertimos en torno al centro las dos diagonales de forma que el 1 se cambie de lugar con el 16, el 6 con el 11, el 4 con el 13 y el 7 con el 10, quedando de esta manera.

16 2 3 13


5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

Si compruebas la suma de las filas, columnas y diagonales comprobarás si se trata de un cuadrado mágico.

Sorprendentemente, podemos intercambiar las filas o las columnas sin que por ello el cuadrado deje de ser mágico.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Se puede realizar otros cambios de filas o de columnas y de esta manera obtener diferentes cuadrados mágicos.

Otro forma sería comenzar a colocar los números por cualquiera de las otras esquinas y , superior o inferiores, para seguidamente realizar los pasos indicados.

¿Crees que en estos casos obtendremos otros cuadrados mágicos? . ¿Y si utilizáramos otros números?.

Compruébalo.

ALGUNAS ACTIVIDADES


Cuadrado mágico de 3 x3. Este es el cuadrado mágico de orden 3 más conocido.

6 1

8

7 5 3

2 9 4

A partir de éste, se pueden obtener mediante rotaciones y reflexiones una serie de cuadrados mágicos diferentes al primero en la disposición de los números. Trata de conseguir los que puedas.


En este mismo cuadrado mágico de 3 x 3, podemos realizar diferentes actividades. Vamos a plantear algunas de ellas, pero pueden ser muchísimas más.

a). Anotar en los nueve cuadros las cifras del 0 al 9 (10 cifras), dejando una de ellas libre (primero el 1, luego el 2, después el 3, …) de forma que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 15.

b). Anotar en las casillas las cifras del 0 al 9 (igual que en el anterior caso), de modo que cada horizontal y vertical sumen 14.

c). Anotar en las casillas las cifras del 0 al 9 de modo que cada horizontal y vertical sumen 13.


d). Anotar en las casillas las cifras del 0 al 9 de modo que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 12.

e). Colocar en las casillas los números del 2 al 10 de modo que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 18.

f). Colocar en las casillas los nueve primeros números pares para que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 30.

g). Anotar en las casillas los nueve primeros números impares de modo que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 27.


h). Con los números del 1 al 10 y dejando uno de ellos sin poner, por ejemplo primero el 1, después el 2, en el siguiente el 3, … consigue diferentes cuadrados mágicos.

i). Lo mismo que en el anterior pero utilizando del 1 al 20.


j). Completa los siguientes cuadrados mágicos de números naturales

7 5 6

2 4 6 5 9

8 4

2 12 1

8 8 0

4 3 7

k). Completa los siguientes cuadrados mágicos de números enteros

5 -8 7

1 10

10 -3 5 4 -3

-8 -11 -14

0 -7 -6

5 2 0


l). Si a cada número de un cuadrado mágico le sumamos, restamos , multiplicamos o dividimos por un número, el cuadrado que se obtiene sigue siendo mágico.

¿Es cierto?, compruébalo.

+ 6

- 4

x 7

: 4


x (-2)

Cuadrado mágico de 4 x 4

En un cuadrado mágico de 4 x 4, también podemos realizar multitud de actividades. Aquí tenemos algunas.

a). Colocar en las casillas los números del 0 al 15 de modo que todas las horizontales, verticales y diagonales sumen 30.

b). Colocar en los cuadros los números del 1 al 16 de tal modo que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 34.


c). Escribir en las casillas 16 de los 17 números primeros números naturales, de modo que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 37.

d). Escribir en los cuadros 16 de los 17 primeros números (igual qu en el anterior), de forma que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 36.

e). Colocar en las casillas 16 de los 17 primeros números de modo que la suma de cada horizontal y vertical sea 35.


f). Escribir en las casillas los 16 primeros números pares de modo que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 68.

g) Escribir en los cuadros 16 de los 17 primeros números de forma que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 64.

h) Anotar en cada casilla una cifra del 1 al 4, repitiéndolas cuatro veces, de modo que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 10.


Completa los siguientes cuadrados mágicos

11 8 6 5 11 8

9 2 13 12 3

3 0 13 9 7

4 1 10 1 0 15

6 1 6 11 9

9 4 3 7 8 5

0 12 1 0 15

5 2 8 13 3 2

6 3 13 3 6

4 10 7 2 5

11 5 10 1 4

12 15 7

4 3 15 1 6

5 9 14 2 5

11 12 7 11

10 13 1 15 4 3


Si a los números de un cuadrado mágico se les suma, resta, multiplica o divide por un número, el resultado es otro cuadrado mágico. ¿Es cierto?. Compruébalo en varios casos.

+ n

- n

X n

: n


También se dice, que si sumamos, restamos o multiplicamos 2 cuadrados mágicos (casilla con casilla), el resultado también es un cuadrado mágico ¿…?

+ =

- =

x =

: =


Construye un cuadrado mágico de orden 5 diferente al ejemplo presentado.

Construye un cuadrado mágico de orden 6 .

Y, finalmente contruye otro de orden 7.


Por si te resulta demasiado complicado, aquí tienes uno resuelto. Comprueba que se trata de un cuadrado mágico, y si es así, a partir de él, construye otros diferentes.

15 30 45 11 26 41 7

27 42 1 16 31 46 12

32 47 13 28 36 2 17

37 3 18 33 48 14 22

49 8 23 38 4 19 34

5 20 35 43 9 24 39

10 25 40 6 21 29 44


cuadrados mágicos

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