el fenómenos de las mareas

8/18/2019 El Fenómenos de Las Mareas

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24/4/2016 El fenómenos de las mareas

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/marino/origen/origen.html

El fenómenos de las mareas

En esta página, se explicará el origen de las mareas. Veremos que los fundamentos físicosson simples pero el análisis cuantitativo es bastante complejo.

En esta página, no se explican los efectos dinámicos que sobre el océano tiene una fuerzaque varía con el tiempo. Solamente, se explicará el origen y las propiedades de las fuerzasde marea.

El problema que se va a resolver, es el de encontrar la forma que adopta la superficie librede una capa de agua que cubre toda la Tierra, cuando consideramos las fuerzas de atracciónque ejerce el Sol y la Luna

El origen de las fuerzas de marea

El origen de las fuerza de marea se debe a que la Tierra es un cuerpo extenso y el campogravitatorio producido por la Luna o por el Sol no es homogéneo en todos sus puntos, ya quehay unos puntos que están más cercanos y otros más alejados de dichos cuerpos celestes.

Supondremos que la Tierra es un cuerpo rígido de forma esférica de radio R, que está cubiertapor una capa de agua de espesor uniforme y de pequeña profundidad. El cuerpo perturbador,la Luna o el Sol se supone que está en el plano ecuatorial de la Tierra

Aunque el Sol y la Luna se mueven, se considera que el agua está en todo momento enequilibrio, la velocidad y la aceleración de cualquier elemento de líquido respecto de la Tierrase supone despreciable.

Supondremos inicialmente, que el cuerpo perturbador es la Luna, las mismas fórmulas seránaplicables para el Sol. Finalmente, analizaremos el efecto combinado de la Luna y del Sol.

Consideremos la Tierra y la Luna inmóviles en el espacio estando sus centros separados unadistancia r . La fuerza de marea, en una determinada posición P de la superficie de la Tierra, esigual a la diferencia entre la fuerza de atracción que la Luna ejerce sobre un objeto situado endicha posición y la fuerza de atracción que ejercería sobre tal objeto si estuviese en el centrode la Tierra.

Inicio El recurso marino Las mareas

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Dibujamos las fuerzas de atracción que ejerce la Luna (en color rojo) sobre un objeto de masam situado en los puntos A, B y C y la fuerza que ejercería (en color azul) sobre dicho objeto siestuviese situado en el centro T de la Tierra. A la derecha, se dibujan las fuerzas de marea(diferencia entre los vectores rojos y azul) en los puntos A, B y C.

En el centro de la Tierra T, la fuerza de atracción está dirigida hacia el centro de la Luna

En A, la fuerza de atracción que ejerce la Luna sobre un objeto de masa m es

y la fuerza de marea f A en dicho punto es

Se ha hecho la aproximación R


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Las fuerzas de marea en las posiciones A y B, en la línea que une la Luna y la Tierra sonaproximadamente el doble en módulo, que en la posición C, perpendicular a dicha línea.

En P, la fuerza de marea es.

La fuerza que ejerce la Luna sobre un objeto de masa m situado en el punto P distante r P del centro de la Luna será

y está dirigida según la línea que une el punto P con el centro de la Luna

La fuerza de marea en P es la diferencia entre los vectores f P=FP-FT. Sea

r P el vector con origen en el centro de la Luna y extremo en P

r es el vector con origen en la Luna y extremo en el centro de la TierraR el vector con origen en la Tierra y extremo en el punto Pr P =r+R

Para θ=0, los vectores r y R tienen la misma dirección y sentido, obtenemos f B (véase la

primer figura)

= G F

P

M

2

P

= − G M

( − = − G M

( − f

P

r

P

3

P

r

3

r + R

3

P

r

3

= = + + 2 r ⋅ R ≈ ( 1 +

2

P

( r + R )

2

2

R

2

2

2 r ⋅ R

2

≈ − ( r + R ) − r ≈ − ( ( r + R ) ( 1 − − r ≈ f

P

G M

3

( 1 +

2 r ⋅ R

2

− 3 / 2

G M

3

3 r ⋅ R

2

− ( R − r

G M

3

3 r

⋅ R

2


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Para θ=π/2 los vectores r y R son perpendiculares, el producto escalar es cero,obtenemos f C

Para θ=π, los vectores r y R tienen la misma dirección y pero sentido opuesto,obtenemos f A.

Como apreciamos en la figura, solamente tenemos que calcular las fuerzas de marea en lamitad de la Tierra por encima del eje que une el centro de la Tierra y el centro de la Luna. Lospuntos de la Tierra simétricos, por debajo de dicho eje, tienen fuerzas de marea iguales y de

sentido contrario.

Componentes de la fuerza de marea.

Para calcular la componente radial de la fuerza de marea, hacemos el producto escalarf P·R =f R·R, donde f R es la componente radial de la fuerza de marea

La componente tangencial f t se calcula mediante el módulo del producto vectorial |f P×R |=f t ·R

La componente tangencial es cero, para θ=0, punto B, θ=90º punto C, θ=180º punto A.

La componente radial es máxima, para θ=0, punto B, θ=180º punto A. Es mínima, paraθ=90º, punto C.

Datos

Masa de la Luna, M =7.35·1022 kg

Distancia media entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna, r =384.4·106 m

Masa del Sol, M =1.98·1030 kg

Distancia media entre el centro de la Tierra y el centro del Sol, r =149.6·109 m

Radio de la Tierra, R=6.37·106 m

Constante G=6.67·10-11 Nm2 /kg2

La fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre un objeto de masa m situado en su superficiees

El Sol está muy alejado de la Tierra, pero tiene una masa enorme. La Luna está cercana a laTierra pero su masa es relativamente pequeña. La fuerza de atracción que ejerce el Sol sobreel c.m. de la Tierra es mayor que la fuerza que ejerce la Luna sobre el c.m. de la Tierra.

= R ( 3 θ − 1 )

R

G M

3

c o s

2

= − 3 R s i n θ c o s θ

G M

3

F = = = 9 . 8 3 ⋅ N

G M

T

R

2

6 . 6 7 ⋅ ⋅ 5 . 9 8 ⋅ ⋅ 1 0

− 1 1

1 0

2 4

( 6 . 3 7 ⋅ ) 1 0

6

2

6 . 6 7 ⋅ ⋅ 7 . 3 5 ⋅ ⋅

− 1 1 2 2

− 5


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El cociente es F S /F L=178

Estimados el valor máximo de las fuerzas de marea en A o B (θ=0), véase la primera figura

Debidas a la Luna

Debidas al Sol

El cociente entre estas dos fuerzas es f L /f S=2.195

Estas cifras nos indican que, las fuerzas de marea son muy pequeñas comparadas con la fuerzade atracción de la Tierra 9.83·m sobre un objeto de masa m situado en su superficie, pero susefectos son notables.

La fuerza de atracción del Sol sobre el c.m. de la Tierra es mayor que la fuerza de atracción dela Luna, a pesar de que ésta está muy próxima a la Tierra. Sin embargo, la fuerza de mareaproducida por el Sol es más pequeña que la producida por la Luna.

Elevación de la capa de agua

El siguiente paso, cuya demostración se omite, por razones de dificultad matemática, pero quepuede consultarse en el primer artículo citado en las referencias, es el cálculo de la energíapotencial correspondiente a la fuerza de marea f P.

La forma S0 de la superficie debido a la fuerza de atracción de la Tierra y a su rotación es la de

un esferoide de revolución alrededor del eje polar.

La fuerza centrípeta, debida a la rotación de la Tierra alrededor desu eje, que es una fuerza independiente del tiempo, no añadenada a las fuerzas de marea.

El efecto del cuerpo perturbador (Sol, Luna o ambos) es eldistorsionar ligeramente la superficie S0, para dar lugar a una

nueva superficie S, donde S es una superficie equipotencialperpendicular a la resultante de todas las fuerzas, incluidas las demarea, que actúan en P.

Teniendo en cuenta, que el volumen de agua que cubre la Tierrapermanece constante, se determina la elevación h del punto P de

la superficie S0 debida exclusivamente a las fuerzas de atracción del cuerpo perturbador.

= = = 3 . 3 2 ⋅ ⋅ N F

L

G M

L

2

6 . 6 7 ⋅ ⋅ 7 . 3 5 ⋅ ⋅

1 0

− 1 1

1 0

2 2

( 3 8 4 . 4 ⋅ ) 1 0

6

2

1 0

− 5

= = = 5 . 9 0 ⋅ ⋅ N F

S

G M

S

2

6 . 6 7 ⋅ ⋅ 1 . 9 8 ⋅ ⋅

1 0

− 1 1

1 0

3 0

( 1 4 9 . 6 ⋅ ) 1 0

9

2

1 0

− 3

= 2 = 2 = 1 . 1 ⋅ ⋅ N

L

G M

L

2

R

6 . 6 7 ⋅ ⋅ 7 . 3 5 ⋅ ⋅ 6 . 3 7 ⋅ ⋅ 1 0

− 1 1

1 0

2 2

1 0

6

( 3 8 4 . 4 ⋅ ) 1 0

6

3

1 0

− 6

= 2 = 2 = 5 . 0 2 ⋅ ⋅ N

S

G M

S

2

R

6 . 6 7 ⋅ ⋅ 1 . 9 8 ⋅ ⋅ 6 . 3 7 ⋅ ⋅

1 0

− 1 1

1 0

3 0

1 0

6

( 1 4 9 . 6 ⋅ ) 1 0

9

3

1 0

− 7

3


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donde M es la masa del cuerpo perturbador, M T =5.98·1024 kg es la masa de la Tierra, R su

radio, r la distancia entre el centro de la Tierra y el centro del cuerpo perturbador.

Esta es la expresión que emplearemos en los programas interactivos al final de esta página,donde hemos supuesto que el cuerpo perturbador está en reposo en el plano ecuatorial de la

Tierra a una distancia r de su centro.

La máxima elevación corresponde al ángulo θ=0º o θ=π, cuando el cuerpo perturbador estádelante o detrás, (puntos A y B de la primera figura) donde son máximas las fuerzas de marea.

La mínima elevación corresponde al ángulo θ=π/2, (punto C de la primera figura). La máximaelevación es el doble en valor absoluto, de la mínima elevación. De modo que, la diferenciaentre altura máxima de la bajamar y la pleamar es

Con los datos proporcionados en el apartado anterior. Para las mareas producidas por la Luna

Para las mareas producidas por el Sol

Mareas producidas por el Sol y la Luna

Cuando consideramos los efectos combinado de la de la Luna y del Sol, la elevación de lamarea se obtiene sumando las elevaciones debidas cada uno de ellos.

La máxima diferencia de nivel entre la marea baja y pleamar es de 53.4+24.4=77.8 cm.Cuando los dos cuerpos celestes están en conjunción alineados con la Tierra se producen lamáxima elevación y cuando están en cuadratura se producen la mínima elevación.

Rotación de la Tierra

Ahora bien, esta no es la situación real. La Tierra se mueve respecto de su eje con un periodode 24 h 22 min. Su velocidad angular de rotación es ω=2π /P .

La elevación en función de la latitud

= R ( 3

θ − 1 )

M

2 M

T

R

3

c o s

2

Δ = 3 R

á

M

2 M

T

R

3

Δ = 3 = 5 3 . 4 c m

á

7 . 3 5 ⋅ 1 0

2 2

2 ⋅ 5 . 9 8 ⋅ 1 0

2 4

( 6 . 3 7 ⋅ ) 1 0

6

4

( 3 8 4 . 4 ⋅ ) 1 0

6

3

Δ = 3 = 2 4 . 4 c m

á

1 . 9 8 ⋅ 1 0

3 0

2 ⋅ 5 . 9 8 ⋅ 1 0

2 4

( 6 . 3 7 ⋅ ) 1 0

6

4

( 1 4 9 . 6 . 4 ⋅ ) 1 0

9

3

= R ( 3 θ − 1 ) + R ( 3 θ − 1 )

M

L

2 M

T

R

L

3

c o s

2

M

S

2 M

T

R

S

3

c o s

2


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Supongamos que en el instante t =0, el punto P sobre la superficie de la Tierra a una latitud λ,y el cuerpo perturbador M están en el plano XZ. Al cabo de un cierto tiempo t , debido a larotación de la Tierra, el punto P se habrá desplazado a la posición P’.

El ángulo θ, formado la recta que une el centro de la Tierra con el punto P' y el centro de laTierra con el centro del cuerpo perturbador o bien, por el vector R y el vector r, se puedecalcular por medio del producto escalar.

r=r iR =Rcos λ·cos(ωt )·i+ Rcos λ·sin(ωt )· j+Rsin λ·k

El producto escalar vale

r·R =R·r cosθ=R·r cos λcos(ωt )

cosθ=cos λ·cos(ωt )

La elevación en función de la latitud y el ángulo de declinación

Si el cuerpo perturbador no está en el plano ecuatorial, sino que forma un ángulo δ, dedeclinación con dicho plano.


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El vector r se escribe ahora

r=r cosδ·i+r sinδ·k

El producto escalar vale

r·R =R·r cosθ=R·r cos λ cos(ωt ) cosδ+ Rr sin λ r sinδ

cosθ=cos λ cos(ωt ) cosδ+sin λ r sinδ

Finalmente, si P no parte del plano XZ (meridiano de Greenwich) sino de una meridiano inicialφ. La fórmula se convierte en

cosθ=cos λ cos(ωt+φ) cosδ+sin λ r sinδ

Introduciendo cosθ en la expresión de la elevación del agua, y teniendo en cuenta las

identidades trigonométricas cos2 β=2cos2 β-1,sin2 β+cos2 β=1, sin2 β =2sin βcos β, se llega alsiguiente resultado.

El primer sumando, depende armónicamente de ωt y completa un periodo de oscilacióncuando ωt =2π, es decir, cuando la Tierra da una vuelta completa. Estas son las mareasdiurnas, lunares o solares según que M y r sean, respectivamente, los datos de la masade la Luna y su distancia al centro del la Tierra o los datos relativos al Sol.

En el ecuador estas mareas desaparecen ya que la latitud λ=0. En cambio, se hacengrandes para latitudes de λ=45º.

El segundo sumando, depende armónicamente de 2ωt , por tanto, cada 12 horas seproduce un ciclo de marea. Su amplitud se hace nula en los polos λ=90º y son máximasen el ecuador λ=0º.

=

M R

4

2 M

T

3

⎛

⎝

⎜

⎜

s i n 2 δ ⋅ s i n 2 λ c o s ( ω + ϕ ) +

3

2

δ λ c o s ( 2 ω + 2 ϕ ) +

3

2

c o s

2

c o s

2

( 3 λ − 1 ) ( 3 δ − 1 )

1

2

s i n

2

s i n

2

⎞

⎠

⎟

⎟


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El tercer sumando, no depende del tiempo y se anula para aquellas latitudes tales que

sin2 λ=1/3, λ≈35º, y tiene su máximo valor en los polos. Finalmente, depende del ángulode declinación δ que a su vez depende del movimiento de la Luna y del Sol.

Oscilaciones forzadas

La descripción de las mareas que se ha hecho en los apartados anteriores corresponde al efectode la Luna y del Sol sobre una capa de agua de espesor uniforme que cubre la Tierra por

completo. La Tierra está cubierta de agua en sus tres cuartas partes y su distribución no esuniforme, tanto en profundidad como en extensión. Tenemos grandes océanos, mares cerradoscomo el Mediterráneo, lagos, bahías, etc. La diferencia de nivel entre la marea baja y la altacambia de un lugar a otro, así en el mar Mediterráneo es muy pequeña y en ciertas bahíascomo la de Fundy en Canadá es muy grande

Resonancia

Hemos observado, que un punto de la superficie líquida de la Tierra está sometido a una fuerzaoscilante, cuyo periodo es de 12 horas aproximadamente y cuya amplitud es variable. Unabahía es una cavidad con determinados modos de oscilación, que dependen de su forma,extensión y profundidad de sus aguas. En ciertos lugares como Mont St Michel en la Bretaña

francesa o la bahía de Fundy en Canadá se pueden producir situaciones de resonancia, con unadiferencia de altura entre el flujo y el reflujo que van desde los 15 metros en la localidadfrancesa a 20 m en la bahía de Canadá.

Efecto sobre la rotación de los cuerpos

El efecto de las mareas es una disminución progresiva en la velocidad de rotación de la Tierra.La duración del día se incrementa en 3.5 milisegundos por cada siglo.

Si consideramos que la Luna tuvo alguna vez en su historia remota una parte fluida, los efectosde marea provocados por la acción de la Tierra fueron enormes. Se puede hacer un cálculo ymostrar que estos son 6000 veces mayores que los que produce la Luna en la Tierra. El efecto

de estas intensísimas mareas explica el hecho de que siempre vemos la misma cara de la Luna.

Venus que está mucho más cerca del Sol, tiene una baja velocidad de rotación, la duración deun día venusiano es de 243.16 días terrestres, el año venusiano consta aproximadamente dedos días solares.

No se pueden explicar ciertos movimientos de planetas y satélites sin recurrir al mecanismo defricción de marea.

Actividades

Sistema inmóvil Tierra -Luna o Tierra – Sol.Comparamos los "efectos de marea" sobre la Tierra producidos separadamente por la Luna ypor el Sol. Se supone que la Luna y el Sol están a una distancia fija de la Tierra, en su planoecuatorial y que ésta no tiene movimiento de rotación.

Se activa el botón titulado Luna,Se pulsa el botón titulado Nuevo

Si se activa la casilla titulada Fuerzas, se observa las componentes tangencial y radial de lasfuerza de marea que se ejercen en varios puntos de la superficie terrestre.

Se activa el botón titulado Sol,

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Se activa el botón de radio titulado Gira la TierraSe pulsa el botón titulado EmpiezaSe activa el botón de radio titulado Se mueven los dos cuerposSe pulsa el botón titulado Empieza

Suponiendo que la Luna estuviese fija, debido a la rotación de la Tierra, al cabo de seis horasun punto que estuviese en θ=0º o en θ=180º (marea alta) pasará a la posición θ=90º oθ=270º (marea baja). Seis horas más tarde se invertirá la situación y así sucesivamente. Portanto, en un punto del plano ecuatorial de la Tierra se producirán dos pleamares y dos

bajamares. El "efecto de la marea" producido por la Luna cuando consideramos únicamente elmovimiento de rotación de la Tierra es la oscilación de un punto de la superficie líquida con unperiodo P 0=24/2=12 horas.

Finalmente, consideramos el efecto conjunto de ambos movimientos. El "efecto de marea"producido por la Luna en un punto de la superficie líquida cuando consideramos el efectosimultáneo de los dos movimientos es un cambio en el intervalo de tiempo entre dospleamares o dos bajamares. Si el movimiento de la Luna y la rotación de la Tierra tienen elmismo sentido. El nuevo periodo vendrá dado por

La velocidad angular de la Tierra es 1 vuelta cada día, la de la Luna es una vuelta cada 27.32días.

Gira la Tierra Se mueven los dos cuerpos

Efecto de la Luna y del Sol

P = = 1 2 . 4 6 h

π

− ω

T

ω

L

Nuevo ► Ⅱ


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Examinamos el efecto por separado y conjunto la Luna y el Sol sobre las mareas en la Tierra.

Activamos el primer botón de radio titulado efecto de la Luna y volvemos a examinar elefecto únicamente de la Luna sobre las mareas, que ya hemos descrito en el apartado anterior.

Activamos el segundo botón de radio y observamos el efecto del Sol sobre las mareas. Se hasupuesto que el centro de la Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol con unperiodo de 365 días.

En el primer apartado, vimos que el efecto del Sol era mucho menor que el de la Luna, laposición de la Tierra cambia muy poco durante un día, por lo que las mareas debidas al Soltienen un periodo de prácticamente 12 horas pero su amplitud es algo menos de la mitad quelas producidas por la Luna. Después de muchos días, empieza a ser apreciable el cambio de lahora en la que se produce la pleamar o la bajamar debida exclusivamente al movimiento de laTierra en órbita circular alrededor del Sol.

Activando el botón de radio Efecto de ambos, observamos el efecto debido a la Luna y al Sol.Aunque el efecto dominante es el de la Luna, el comportamiento es muy complejo. Pero cabendestacar dos rasgos:

Cuando la Luna y el Sol están alineados con la Tierra el efecto de la marea es muy intenso,

esta situación se denomina "marea viva", que a su vez corresponde a las fases lunares lunanueva y luna llena.

Cuando la Luna y el Sol está en cuadratura, es decir, cuando la línea que une el Sol con LaTierra hace 90º con la línea que une la Tierra y la Luna, los efectos se contraponen dando lugara las denominadas "mareas muertas", que corresponden a las fases lunares de cuarto crecientey cuarto menguante.

Hemos presentado un modelo simple, que permite explicar cualitativamente las mareas. Perola realidad es mucho más compleja. La Tierra no es homogénea, no es una esfera perfecta y larotación hace que el valor de la aceleración de la gravedad y su dirección cambien ligeramentecon la latitud, siendo mínima en el Ecuador y máxima en los polos. Las órbitas de la Luna

alrededor de la Tierra y de la Tierra alrededor del Sol no son circunferencias sino elipses depequeña excentricidad.

En los mares pequeños como el Mediterráneo el efecto de las mareas es relativamentepequeño. Sin embargo, las mareas son mucho más intensas en las costas de los grandesocéanos.

Nota: El tamaño de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra está muy exagerado, ya que larazón del radio r de la órbita de la Luna, al radio medio R de la órbita de la Tierra alrededor delSol es, r/R=0.0026


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Efecto de la Luna Efecto del Sol Efecto de ambos

Referencias

Kapoulitsas G. On the generation of tides. Eur. J. Phys. 6 (1985) pp. 201-207

Butikov E. A dynamical picture of the oceanic tides. Am. J. Phys. 70 (10) October 2002, pp.1001-1011

Energías Renovables Curso Interactivo de Física en Internet

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