el cc3a1lculo generalizado y las funciones fraccionarias rafael prieto curiel

INSTITUTO TECNOLOGICO AUTONOMO DE MEXICO

El calculo generalizadoy las funciones fraccionarias

TESIS

que para obtener el tıtulo de

Licenciado en Matematicas Aplicadas

presenta

Rafael Prieto Curiel

MEXICO, D.F. 2009

I

Con fundamento en los artıculos 21 y 27 de la Ley Federal del Derecho deAutor y como titular de los derechos moral y patrimonial de la obtra titulada “Elcalculo generalizado y las funciones fraccionarias”, otorgo de manera gratuita ypermanente al Instituto Tecnologico Autonomo de Mexico y a la Biblioteca RaulBailleres Jr., autorizacion para que fijen la obra en cualquier medio, incluido elelectronico, y la divulguen entre sus usuarios, profesores, estudiantes o terceraspersonas, sin que pueda percibir por tal divulgacion una contraprestacion.


Fecha

Firma

El calculo generalizadoy las funciones fraccionarias


III

AGRADECIMIENTOS

A mi mama y a mi hermano,juntos los tres mosqueteros.

A mis abuelas.

A mi familia.

A mis amigos.

A mis profesores.

A Marianito.

A mis sinodales,Nelia, Rafael y Juan Carlos.

A Papa.

Resumen

El calculo fraccionario es una generalizacion del calculo en la cual se utilizael orden de un operador diferencial y se definen expresiones con derivadas e inte-grales de orden fraccionario.

El presente trabajo expone una breve introduccion a los conceptos del calculofraccionario como la integral fraccionaria, la derivada fraccionaria y un problemacon valor inicial fraccionario y se muestra una aplicacion del calculo fraccionariopara resolver el problema de la tautocrona y una generalizacion de este.

Se generalizan funciones como la exponencial o funciones trigonometricas alpartir de un problema con valor inicial fraccionario y por ultimo se utilizan esasdefiniciones de funciones fraccionarias en sistemas de ecuaciones diferencialesy se definen funciones matriciales que generalizan y resuelven sistemas diferen-ciales fraccionarios.

IV

Indice general

1. Introduccion 11.1. Requisitos de un operador fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Un primer acercamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Un operador diferointegral en general . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Integral de orden fraccionario 72.1. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. Existencia de la integral fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. La integral como convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Derivada de orden fraccionario 133.1. Derivada de orden ν por la izquierda. . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Derivada de orden ν por la derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4. Propiedades de la derivada fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . 173.5. Regla de Leibniz para el producto de funciones . . . . . . . . . . 213.6. Derivadas fraccionarias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Ecuaciones diferenciales 244.1. El problema de la tautocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.1. Calculo fraccionario y la tautocrona . . . . . . . . . . . . 284.2. Transformada de la derivada fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1. Transformada de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . 31

I

INDICE GENERAL II

4.2.2. Transformada de Laplace de la derivada de Caputo . . . . 324.3. La funcion exponencial fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1. Exponencial fraccionaria de Riemann . . . . . . . . . . . 334.3.2. Exponencial fraccionaria de Caputo . . . . . . . . . . . . 39

4.4. Funciones trigonometricas fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . 434.4.1. Funcion trigonometrica de Riemann . . . . . . . . . . . . 454.4.2. Funcion trigonometrica de Caputo . . . . . . . . . . . . . 48

5. Sistemas de ecuaciones diferenciales 505.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2. Potencias fraccionarias de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1. Matriz exponencial de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 525.3.2. Matriz exponencial de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.3. Matrices trigonometricas fraccionarias . . . . . . . . . . . 55

A. Operador de Weyl 58

B. Otras Propiedades 64B.1. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

B.1.1. Existencia y unicidad de la funcion fraccionaria . . . . . . 67

C. Funciones Especiales 68

D. Tabla de derivadas fraccionarias 70

Capıtulo 1Introduccion

El calculo es sin duda una de las herramientas mas poderosas y mas utilizadasde las matematicas; gracias al calculo podemos entender problemas de toda clase:fısicos, economicos, financieros, quımicos, biologicos, por nombrar algunos. Alcalculo le debemos la conexion que establecemos entre conceptos como tangen-cia, curvatura y concavidad con las ideas de crecimiento, velocidad y aceleracion,etc. y poder formular matematicamente problemas y en algunos casos, estableceruna solucion.

Los dos grandes pilares del calculo son la derivada y su operacion inversa,la integral, conceptos desarrollados paralelamente por Newton1 y por Leibniz2 afines del siglo XVII y es gracias al Teorema Fundamental del Calculo que hace-mos la coneccion entre estos dos pilares.

Matematicamente definimos la derivada de una funcion f (t) en un punto tcomo

lımh→0

f (t +h)− f (t)h

si el lımite existe, y por otro lado integrar consiste en encontrar una funcion F(t)tal que al derivarla se obtenga la funcion original f (t).

Podemos definir un operador diferointegral del espacio de funciones Ξ y delos enteros Z al espacio de funciones

D : Ξ×Z 7−→ Ξ

definido como1Sir Isaac Newton, (1642-1727).2Gottfried Wilhelm Leibniz, (1646-1716).

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

Dk f (t) =

dk

dtk f (t) si k > 0∫ ∫. . .∫

︸︷︷︸k veces

f (t)dt dt . . .dt si k < 0

f (t) si k = 0

un operador lineal en las funciones (dado que derivar e integrar son operadoreslineales) y que cumple que

Dk [D j f (t)]= Dk+ j f (t)

si ambas k y j son positivas, negativas o si j es negativo y k positivo.El calculo fraccionario es una generalizacion del calculo, en la cual se busca

extender el concepto de derivacion y de integracion de una funcion, y extenderla definicion del operador diferointegral D a numeros racionales, irracionales einclusive complejos.

1.1. Requisitos de un operador fraccionarioSe definira un operador fraccionario

Dν f (t)

y se considerara siempre que ν es un numero real. Se busca que el operadorcumpla ciertos requisitos para que tenga sentido llamarlo operador diferointegralde orden fraccionario. Estos requisitos seran:

Si ν = n, un numero natural, entonces se busca que

Dn f (t) =dn

dtn f (t),

es decir, que coincida con la derivada usual.

Si ν =−n, un entero negativo, entonces

D−n f (t) =∫ ∫

. . .∫

︸︷︷︸n veces

f (t)dt dt . . .dt,

es decir, que si es un entero negativo sea la n-esima integral iterada de lafuncion.


Si ν = 0, entoncesD0 f (t) = f (t).

Que cumpla de alguna manera la propiedad de semigrupo, es decir, que sitenemos ν , µ ∈ R, entonces

Dν [Dµ f (t)] = Dν+µ f (t).

Respecto a esta propiedad, es importante recordar que la derivada e integralde orden entero no siempre cumplen esta propiedad: la derivada es el o-perador inverso por la izquierda de la integral pero no por la derecha, por loque esta propiedad tendra algunas restricciones.

1.2. Un primer acercamientoUn primer ejemplo de lo que es el calculo fraccionario lo podemos ver con la

funcion exponencial. Si vemos que, sin importar el signo de k y para alguna c 6= 0,

Dk ect = ckect ,

podrıamos entonces generalizar que para algun numero real ν

Dν ect = cνect .

Inclusive, utilizando la misma idea

Dν+iµ ect = cν+iµect

= cν

[eiµ log(c)

]ect

= cν [cos(µ log(c))+ isen(µ log(c))]ect .

Por otro lado, si buscamos generalizar el operador en un polinomio, vemosque si k ≤ n

Dk tn =n!tn−k

(n− k)!,

una formula que sirve tanto para derivar como para integrar tn. Gracias a la fun-cion3

Γ(z) =∫

∞

0e−τ

τz−1 dτ

3Las funciones especiales que se utilizaran estan en el Apendice (C)


podemos generalizar el termino factorial que aparece en el denominador, puessabemos que si k es un numero natural, entonces Γ(k + 1) = k!, por lo que pode-mos escribir

Dk tn =n!tn−k

Γ(n− k +1)

y utilizar esta formula para generalizar

Dν tn =n!tn−ν

Γ(n−ν +1).

Un punto interesante de la funcion Γ es que si k es un entero negativo o cero,entonces

lımh→0

Γ(k +h) =±∞

por lo que concluımos que la formula funciona bien inclusive para potencias en-teras de ν y valores de ν ≥ n.

Gracias a esta formula podrıamos concluir que si tenemos una funcion defini-da en terminos de una serie de potencias y utilizando la linealidad del operador,entonces tenemos definida la derivada fraccionaria de esa funcion. Sin embargo,aplicando esta idea a la funcion exponencial, vemos que

Dν ect = Dν∞

∑j=0

(ct) j

j!

=∞

∑j=0

c jt j−ν

Γ( j−ν +1)

=1tν

∞

∑j=0

(ct) j

Γ( j−ν +1)

=1tν

E1,1−ν(ct),

la funcion de Mittag-Leffler 4 de dos parametros.Vemos que las dos formas dederivar fraccionariamente la funcion exponencial no coinciden, por lo que hayalgun problema con el operador diferencial que hemos definido, ademas, tener

4La funcion de Mittag-Leffler, definida por G. M. Mittag-Leffler como Eα,β (t) = ∑∞j=0

t j

Γ(α j+β )es una generalizacion de la funcion exponencial que tiene importantes aplicaciones en el calculofraccionario.


el operador definido unicamente para funciones definidas como una serie es muyrestrictivo y no indica como actua el operador en una funcion general.

Para generalizar el calculo a ordenes no enteros hay dos enfoques, uno queparte de la derivada y que generaliza el concepto de derivada visto como lımite, yotro que parte de la integral iterada de una funcion.

1.3. Un operador diferointegral en generalHemos definido el operador D−1 f (t) como la antiderivada de una funcion,

pero gracias al Teorema Fundamental del Calculo, lo podemos ver como

D−1 f (t) =∫ t

0f (τ)dτ,

y al integrar mas veces la funcion, llegamos a que

D−2 f (t) =∫ t

0D−1 f (τ)dτ =

∫ t

0

∫τ

0f (s)dsdτ,

la cual es una expresion en la cual podemos intercambiar las integrales gracias alTeorema de Fubini, llegando a la expresion:

D−2 f (t) =∫ t

0

∫ t

sf (s)dτ ds =

∫ t

0f (s)

∫ t

sdτ ds =

∫ t

0f (s)(t− s)ds.

Si seguimos este proceso de intercambiar las integrales, podemos llegar a unaexpresion conocida como la formula de Cauchy para integrales iteradas, con lacual una forma generalizada de escribir la n-esima integral es

D−n f (t) =1

(n−1)!

∫ t

0(t− τ)n−1 f (τ)dτ.

Vemos que esta formula puede aceptar valores no enteros de n si cambiamosel termino (n− 1)! por Γ(n) y escribimos la formula de Cauchy para integralescomo

D−ν f (t) =1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1 f (τ)dτ.

Esta sera el primer operador integral fraccionario definido para una funcion ge-neral. Se trabajara con este operador para definir la derivada de orden fraccionarioy tener ası definido el operador diferointegral por completo.


1.4. Un poco de historiaLa historia del calculo fraccionario es practicamente tan antigua como la del

calculo mismo. Entre las cartas que se escribıan Leibniz y L’Hopital, ya se men-cionaba la pregunta de que significado se le podrıa dar a la media derivada de unafuncion. Probablemente la primera aplicacion del calculo fraccionario fue hechapor Niels Henrik Abel en 1823 al resolver el problema de la tautocrona o isocrona.

Grandes matematicos hicieron aportes al calculo fraccionario, como Liouville,Riemann, Cayley o Grunwald. Hasta la segunda mitad del siglo pasado se consi-deraba el calculo fraccionario como un objeto puramente matematico y sin apli-caciones reales mas que algunos problemas un tanto artificiales.

En epocas mas recientes ha recibido mucha atencion por parte de no solamentematematicos, sino tambien ingenieros, fısicos, quımicos e incluso biologos. Elprimer congreso de calculo fraccionario se realizo en la decada de 1970 y actual-mente hay muchas personas que dedican su investigacion al estudio del calculofraccionario y sus aplicaciones.

Entre sus aplicaciones se encuentran modelos de viscoelasticidad y de ecua-ciones de difusion, teorıa de circuitos electricos, teorıa de control y algunos mo-delos biologicos y neurologicos.

Capıtulo 2Integral de orden fraccionario

Definimos la integral fraccionaria (o la integral de Riemann-Liouville) de or-den ν ≥ 0 de una funcion f (t) sobre [a, t] como

aD−νt f (t) =

1

Γ(ν)

∫ t

a(t− τ)ν−1 f (τ)dτ si ν > 0,

f (t) si ν = 0.

Es facil comprobar gracias a la formula de Cauchy para integrales iteradas quecuando ν es un numero natural coincide con la integral usual. Los lımites a y t dela integral son llamados terminales. En algunos casos el intervalo de integraciones (−∞, t], en cuyo caso sera llamada integral de Liouville. En el caso cuando elintervalo de integracion sea [t,∞), se llamara integral de Weyl. Sin embargo, enesta tesis solamente consideraremos la integral de Riemann-Liouville con a = 0.Para facilitar la notacion, escribiremos D−ν f (t) en lugar de 0D−ν

t f (t) dondet ≥ 0.

El operador D−ν lo hemos definido unicamente para integrales y es impor-tante notar que no funciona para derivar una funcion y calcular una derivada frac-cionaria no sera unicamente cambiar el signo en la ecuacion. Esta claro que laintegral fraccionaria es un operador lineal. A continuacion mostraremos algunasotras propiedades de esta integral. Supondremos que las funciones son tales quelas integrales existen y que µ,ν > 0.

7

CAPITULO 2. INTEGRAL DE ORDEN FRACCIONARIO 8

2.1. Algunas propiedades

(i) Propiedad de semigrupo, es decir, D−ν[

D−µ f (t)]

= D−(ν+µ) f (t), y sepuede demostrar al hacer

D−ν[

D−µ f (t)]

= D−ν

[1

Γ(µ)

∫ t

0(t− τ)µ−1 f (τ)dτ

]=

1Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1

[1

Γ(µ)

∫τ

0(τ− s)µ−1 f (s)ds

]dτ

=1

Γ(ν)Γ(µ)

∫ t

0

∫τ

0(t− τ)ν−1(τ− s)µ−1 f (s)dsdτ

=1

Γ(ν)Γ(µ)

∫ t

0

∫ t

s(t− τ)ν−1(τ− s)µ−1 f (s)dτ ds

=1

Γ(ν)Γ(µ)

∫ t

0f (s)

[∫ t

s(t− τ)ν−1(τ− s)µ−1 dτ

]ds.

Al hacer un cambio de variable de u = (τ− s)/(t− s), obtenemos que laintegral de adentro se puede cambiar por∫ t

s(t− τ)ν−1(τ− s)µ−1 dτ =

∫ 1

0(t− s)ν+µ−1uµ−1(1−u)ν−1 du

= (t− s)ν+µ−1∫ 1

0uµ−1(1−u)ν−1 du

= (t− s)ν+µ−1 Γ(ν)Γ(µ)Γ(ν + µ)

,

lo cual se obtiene al integrar la funcion beta1 B(ν ,µ). Al sustituir este re-sultado llegamos a que

D−ν[

D−µ f (t)]

=1

Γ(ν)Γ(µ)

∫ t

0f (s)(t− s)ν+µ−1 Γ(ν)Γ(µ)

Γ(ν + µ)ds

=1

Γ(ν + µ)

∫ t

0f (s)(t− s)ν+µ−1 ds

= D−(ν+µ) f (t).

(ii) Conmutatividad, es decir,

D−ν[

D−µ f (t)]= D−µ

[D−ν f (t)

],

1Apendice C


lo cual se sigue de la propiedad anterior.

(iii) Si f es una funcion analıtica en t > 0, entonces D−ν f (t) es un operadorcontinuo respecto a ν , es decir,

lımµ→ν

D−µ f (t) = D−ν f (t).

Gracias a la propiedad (i), basta demostrar que

lımν→0+

D−ν f (t) = f (t).

Para comprobarlo, vemos que si f es analıtica en t, entonces en una vecin-dad de t, tenemos que

f (τ) =∞

∑k=0

αk(t− τ)k,

donde α0 = f (t), α1 = f ′(t) y en general αk = f (k)(t)/k!. Vemos que

D−ν f (t) =1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1 f (τ)dτ

=1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1

∞

∑k=0

αk(t− τ)k dτ

=1

Γ(ν)

∞

∑k=0

αk

∫ t

0(t− τ)ν−1+k dτ

=−1

Γ(ν)

∞

∑k=0

αk(t− τ)ν+k

ν + k

∣∣∣∣τ=t

τ=0

=1

Γ(ν)

∞

∑k=0

αk

ν + ktν+k

=∞

∑k=0

αk

Γ(ν +1)+ kΓ(ν)tν+k.

Al tomar el lımite cuando ν → 0+, dado que Γ(0) toma un valor infinito,la unica parte de la suma que tomara un valor distinto de cero sera cuandok = 0, por lo que

lımν→0+

D−ν f (t) = lımν→0+

α0tν

Γ(ν +1)= α0 = f (t)

y concluimos que el operador es continuo respecto al orden de la integral.


2.2. Ejemplos(i) Sea f (t) = 1. Se puede ver que

D−ν 1 =1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1 dτ

=−1

Γ(ν)(t− τ)ν

ν

∣∣∣∣τ=t

τ=0

=1

Γ(ν +1)tν .

(ii) Sea f (t) = tα con α >−1. Haremos un cambio de variable u = τ/t dentrode la integral y vemos que

D−ν tα =1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1

τα dτ

=1

Γ(ν)

∫ 1

0(t−ut)ν−1(ut)αt du

=tν+α

Γ(ν)

∫ 1

0uα(1−u)ν−1 du,

que es una funcion beta B(ν ,α +1), por lo que llegamos a que

D−ν tα =tν+α

Γ(ν)Γ(ν)Γ(α +1)Γ(ν +α +1)

=Γ(α +1)

Γ(ν +α +1)tν+α .

Vemos que en el caso de una potencia entera, α = n, se llega a que

D−ν tn =n!

Γ(ν +n+1)tν+n

y que inclusive la formula coincide con la del ejemplo anterior cuando n =0. Observemos que gracias a esta formula y a la linealidad del operador,podemos calcular la integral fraccionaria de cualquier polinomio.

(iii) Sea f (t) = eat con a > 0. Usando la serie de Maclaurin de la funcion expo-


nencial y los ejemplos anteriores, tenemos que

D−ν eat = D−ν∞

∑k=0

(at)k

k!

=∞

∑k=0

ak

k!k!tk+ν

Γ(ν + k +1)

= tν∞

∑k=0

(at)k

Γ(ν + k +1)

= tνE1,ν+1(at),

la cual es una potencia fraccionaria multiplicada por la funcion de Mittag-Leffler.

2.3. Existencia de la integral de orden fraccionarioA continuacion consideraremos el problema de la existencia de la integral de

orden fraccionario de una funcion. Supongamos que f es continua en [0,∞) yfijemos ν , t > 0. Si definimos la funcion

g(τ) =− (t− τ)ν

Γ(ν +1), 0≤ τ ≤ t,

entonces

g′(τ) =(t− τ)ν−1

Γ(ν)y por lo tanto g es creciente en [0, t]. Entonces la integral de orden fraccionario sepuede expresar como una integral de Riemann-Stieltjes:

D−ν f (t) =1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1 f (τ)dτ =

∫ t

0f (τ)dg(τ).

La continuidad de f y la monotonicidad de g implica que esta integral existe paratoda t > 0.

2.4. La integral fraccionaria vista como la convolu-cion entre funciones

Puede ser de gran utilidad para descubrir otras propiedades de la integral deorden fraccionario expresarla de otras formas. Una de ellas es utilizando la con-


volucion entre funciones. Definimos la convolucion f ∗g entre dos funciones f (t)y g(t) como

( f ∗g)(t) =∫ t

0f (τ)g(t− τ)dτ =

∫ t

0f (t− τ)g(τ)dτ.

Ahora buscamos expresar la integral de orden fraccionario como la convolucionentre dos funciones, y para ello definimos la funcion

Φν(t) =tν−1

Γ(ν), t > 0.

Entonces

D−ν f (t) =1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1 f (τ)dτ = (Φν ∗ f )(t).

Capıtulo 3Derivada de orden fraccionario

Hasta ahora unicamente hemos definido la integral de orden fraccionario. Paradefinir la derivada no es solo cuestion de cambiar el signo a nuestra definicion,pues se llegara a una integral que en general no converge, ademas de que la fun-cion Γ no converge en los enteros negativos, de donde no coincidira con la defini-cion usual de derivada. Para definir la derivada de orden arbitrario, buscamos quecoincida con la derivada usual en el caso en el que el orden sea un entero y paraello se define en terminos de la integral fraccionaria.

Tendremos dos definiciones de la derivada, las cuales no seran equivalentes.Suponiendo siempre que ν ≥ 0, utilizaremos Dν para denotar la derivada frac-cionaria mientras D−ν denotara la integral fraccionaria.

3.1. Derivada de orden ν por la izquierda.Sea n el numero natural que cumpla que n−1 < ν ≤ n. Entonces se define la

derivada de Riemann-Liouville como

Dν f (t) =dn

dtn D−(n−ν) f (t).

Cuando ν es un numero entero positivo, entonces ν = n y

Dn f (t) =dn

dtn D0 f (t) = f (n)(t).

Por lo tanto, coincide con la derivada de orden entero.

13

CAPITULO 3. DERIVADA DE ORDEN FRACCIONARIO 14

3.2. Derivada de orden ν por la derechaEsta derivada tambien es llamada la derivada de Caputo, y sera diferenciada

de la derivada por la izquierda con el sımbolo CDν , y al igual que en la definicionanterior, si tenemos n−1 < ν ≤ n, entonces la derivada por la derecha es

CDν f (t) = D−(n−ν) dn

dtn f (t).

Es sencillo comprobar que tambien con esta definicion de derivada, si ν es unentero positivo, entonces ν = n y

CDn f (t) = f (n)(t).

Veremos que en general las dos definiciones de derivada no coindicen y pre-sentan radicales diferencias. Pero es importante notar que en ambas definiciones,la parte fraccionaria de la definicion es unicamente mediante la integral que serealiza (ya sea antes o despues de derivar) y que la integral que se hace es siemprede orden menor que uno, pues siempre se cumple que n−ν < 1.

3.3. Ejemplos(i) Sea f (t) = 1. Vemos que

Dν 1 =dn

dtn D−(n−ν) 1 =dn

dtntn−ν

Γ(n−ν +1)=

t−ν

Γ(1−ν),

una funcion no nula. Si por otro lado calculamos la derivada de Caputo deorden ν , llegamos a

CDν 1 = D−(n−ν) dn

dtn 1 = 0.

Vemos con un ejemplo que el resultado de las dos definiciones no siemprecoincide.


(ii) Sea f (t) = tα con α >−1. Entonces

Dν tα =dn

dtn D−(n−ν) tα

=dn

dtnΓ(α +1)

Γ(α +n−ν +1)tα+n−ν

=Γ(α +1)

Γ(α +n−ν +1)Γ(α +n−ν +1)

Γ(α−ν +1)tα−ν

=Γ(α +1)

Γ(α−ν +1)tα−ν .

Podemos obtener dos resultados interesantes de esta formula. El primero escuando ν = α , de donde se llega a que

Dα tα = Γ(α +1),

una constante. El segundo resultado es cuando ν = α + k con k ∈ N, en elque se obtiene

Dα+k tα =Γ(α +1)Γ(1− k)

t−k = 0.

Ahora, calculando la derivada de Caputo de tm con m ∈ N, se llega a

CDν tm = D−(n−ν) dn

dtn tm,

y tenemos dos distintos casos: si n > m vemos que la derivada sera ceropor lo que la integral fraccionaria tambien tomara el valor de cero. Por otrolado, si n≤ m, llegamos a

CDν tm = D−(n−ν) m!(m−n)!

tm−n

=m!

(m−n)!Γ(m−n+1)tm−n+n−ν

Γ(n−ν +m−n+1)

=m!tm−ν

Γ(m−ν +1),

de donde concluimos que

CDν tm =

0 si ν > m,

m!tm−ν

Γ(m−ν +1)si ν ≤ m.


Generalizando esta formula para CDν tα , donde α 6= 0,1,2 . . . y tomandoν < α , obtenemos

CDν tα = D−(n−ν) dn

dtn tα

= D−(n−ν) Γ(α +1)tα−n

Γ(α−n+1)

=Γ(α +1)

Γ(α−n+1)Γ(α−n+1)tα−n+n−ν

Γ(α−n+n−ν +1)

=Γ(α +1)tα−ν

Γ(α−ν +1).

Podemos observar que el resultado de las dos derivadas de tα tomando α su-ficientemente grande sı coincide. Posteriormente obtendremos condicionessobre una funcion para garantizar que ambas derivadas coinciden.

(iii) Sea f (t) = eat con a > 0. Entonces si ν < 1

Dν eat = Dν∞

∑k=0

(at)k

k!

=∞

∑k=0

Dν (at)k

Γ(k +1)

=∞

∑k=0

ak

Γ(k +1)Γ(k +1)

Γ(k +1−ν)tk−ν

=∞

∑k=0

ak

Γ(k +1−ν)tk−ν

=1tν

∞

∑k=0

(at)k

Γ(k +1−ν)

=1tν

E1,1−ν(at),

de nuevo, una funcion de Mittag-Leffler. Por otro lado, vemos que (ademasde ser mas sencilla de calcular) que

CDν eat = D−(n−ν) dn

dtn eat

= D−(n−ν) aneat

= antn−νE1,n−ν+1(at).


3.4. Propiedades de la derivada fraccionariaAhora veremos algunas propiedades de las dos definiciones de derivada. Note-

mos en primer lugar que Dν tambien se puede expresar en una manera simplifica-da como Dn D−ρ , donde ρ = n−ν y se cumple que n−1 < ν ≤ n con n entero,y de la misma manera CDν = D−ρ Dn .

(i) Ambos operadores D−ρ y Dn son lineales, de donde se sigue que Dν yCDν tambien lo son.

(ii) La derivada de Riemann-Liouville es el operador inverso de la integral. Paraello consideramos la expresion

Dν[

D−ν f (t)],

que se expresa de la manera

Dν[

D−ν f (t)]= Dn D−(n−ν) [D−ν f (t)

].

Por la propiedad de semigrupo de la integral, llegamos a que

Dν D−ν f (t) = Dn D−(n−ν)−ν f (t) = Dn D−n f (t),

una expresion de orden entero, en la cual sabemos que son operadores in-versos, de donde

Dν D−ν f (t) = f (t).

Concluimos que la derivada de Riemann-Liouville de orden fraccionario, aligual que en el calculo entero, es el operador inverso por la izquierda de laintegral.

(iii) Buscamos probar si cumplen la propiedad de semigrupo.

Para la derivada de Riemann-Liouville buscamos si se cumple que

Dµ [Dν f (t)] = Dµ+ν f (t).

Para ello expresamos Dν = Dn D−(n−ν) y tambien Dµ = Dm D−(m−µ)

con n−1 < ν ≤ n y m−1 < µ ≤ m. Usando esa expresion llegamos que

Dµ Dν = Dm D−(m−µ) Dn D−(n−ν)


y por otro lado

Dµ+ν = Dm Dn D−(m−µ) D−(n−ν) .

Al ver esas dos expresiones, se observa que la propiedad que estamos bus-cando es saber si

D−(m−µ) Dn = Dn D−(m−µ) .

Para comprobarlo, integramos por partes la siguiente expresion:

D−(m−µ) f (t) =1

Γ(m−µ)

∫ t

0(t− τ)m−µ−1 f (τ)dτ

= − (t− τ)m−µ f (τ)(m−µ)Γ(m−µ)

∣∣∣∣τ=t

τ=0

+1

(m−µ)Γ(m−µ)

∫ t

0(t− τ)m−µ f ′(τ)dτ

=f (0)tm−µ

Γ(m−µ +1)

+1

Γ(m−µ +1)

∫ t

0(t− τ)m−µ f ′(τ)dτ

=f (0)tm−µ

Γ(m−µ +1)+ D−(m+1−µ) f ′(t),

y al seguir el mismo proceso n veces, llegaremos a que

D−(m−µ) f (t) =f (0)tm−µ

Γ(m−µ +1)+ D−(m+1−µ) f ′(t)

=n

∑k=0

f (k)(0)tm−µ+k

Γ(m−µ +1+ k)+ D−(m+n−µ) f (n)(t)

=n

∑k=0

f (k)(0)tm−µ+k

Γ(m−µ +1+ k)+ D−(m+n−µ) Dn f (t).

Ademas, por la propiedad de semigrupo de la integral, el ultimo termino sepuede expresar como D−n D−(m−µ) Dn f (t), por lo que, al derivar n vecesla expresion anterior y tomando en cuenta que la derivada es el operador


inverso por la izquierda de la integral, llegamos a que

Dn D−(m−µ) f (t) = Dnn

∑k=0

f (k)(0)tm−µ+k

Γ(m−µ +1+ k)

+ Dn D−(m+n−µ) Dn f (t)

=n

∑k=0

Dn f (k)(0)tm−µ+k

Γ(m−µ +1+ k)

+ Dn D−n D−(m−µ) Dn f (t)

=n

∑k=0

f (k)(0)tm−µ+k−n

Γ(m−µ +1+ k−n)

+ D−(m−µ) Dn f (t).

Llegamos entonces a la conclusion que

Dµ [Dν f (t)] = Dµ+ν f (t)

unicamente si todos los terminos dentro de la suma son iguales a cero entoda t, lo cual se cumple solo si la funcion f es tal que f (k)(0) = 0 conk = 0,1 . . .n. Funciones de esta clase son por ejemplo funciones de la forma

f (t) = tn+1g(t),

donde g(t) es una funcion n veces derivable.

En el caso de la derivada de Caputo estamos buscando si se cumple queCDν CDµ f (t) = CDν+µ f (t), que lo podemos expresar como

CDν CDµ = D−(n−ν) Dn D−(m−µ) Dm

y por otro lado

CDν+µ = D−(n−ν) D−(m−µ) Dn Dm

ası que, al igual que con la derivada de Riemann-Liouville, buscamos que

Dn D−(m−µ) = D−(m−µ) Dn ,

por lo que la conclusion es la misma.


En ambos casos vemos que la propiedad de semigrupo se cumple si la fun-cion cumple que1

Dn−m+µ f (t) = CDn−m+µ f (t).

(iv) Calcular el kernel de Dν , es decir, buscamos funciones que cumplan queDν f (t) = 0. Para ello expresamos

Dν f (t) = Dn D−(n−ν) f (t),

lo cual es cero solo si

D−(n−ν) f (t) = a0 +a1t +a2t2 + . . .+an−1tn−1,

un polinomio de grado n− 1, ası que al aplicar el operador inverso por laizquierda, es decir, la derivada de orden n−ν , llegamos a que

f (t) = Dn−νn−1

∑k=0

ak tk

=n−1

∑k=0

ak Dn−ν tk

=n−1

∑k=0

bktk−(n−ν)

= tν−nn−1

∑k=0

bktk,

el cual es una funcion de la forma

f (t) = b0tν−n +b1tν−n+1 + · · ·+bn−1tν−1.

Si por otro lado calculamos el kernel de CDν buscamos funciones que cum-plan que

D−(n−ν) Dn f (t) = 0

y aplicando el operador inverso por la izquierda de la integral (la derivadade Riemann-Liouville), llegamos a que

Dn f (t) = Dn−ν 0 = 0.

1Apendice B.


Al integrar n veces concluimos que

f (t) = b0 +b1t + · · ·+bn−1tn−1,

un polinomio de grado n−1.

3.5. Regla de Leibniz para el producto de funcionesUna sencilla forma de deducir la regla de Leibniz en el calculo tradicional es

calcular primero la derivada del producto de dos funciones, y llegar a que

( f g)′ = f ′g+g′ f ,

y a partir de esa definicion, seguir inductivamente a la formula:

dn

dtn ( f g)(t) =n

∑k=0

(nk

)f (k)(t)g(n−k)(t).

Necesitamos, para generalizar esa formula al calculo fraccionario, resolver dos de-talles: el termino binomial y el lımite de la suma. Generalizar el termino binomialno es complicado, al sustituir(

nk

)=

Γ(n+1)k!Γ(n− k +1)

.

Por otro lado, el termino superior de la suma se reemplazara por ∞, y una deduc-cion detallada del por que se hace ese remplazo se puede encontrar en Podlub-ny [1]. Llegamos a la regla de Leibniz generalizada, la cual sera

Dν ( f g)(t) =∞

∑k=0

Γ(ν +1)k!Γ(ν− k +1)

(Dν−k f (t)

)g(k)(t).

Una interesante observacion es que, al igual que en todas las definiciones quehemos obtenido en el calculo fraccionario, cuando se hace una derivada enteraentonces la formula coincide con la regla de Leibniz usual. Lo podemos notarpues Γ(n− k + 1) tomara un valor infinito cuando k sea mayor que n, por lo quela serie se puede escribir como una suma finita.


Podemos ademas utilizar la regla de Leibniz generalizada para calcular laderivada fraccionaria de una funcion f de clase C∞ al ver que

Dν f (t) =∞

∑k=0

Γ(ν +1)k!Γ(ν− k +1)

(Dν−k 1

)f (k)(t)

=∞

∑k=0

Γ(ν +1)k!Γ(ν− k +1)

tk−ν

Γ(1−ν + k)f (k)(t)

=∞

∑k=0

Γ(ν +1)tk−ν f (k)(t)k!Γ(1+ν− k)Γ(1−ν + k)

.

Usando el hecho de que

Γ(z)Γ(1− z) =π

sen(πz)si z no es entero, por lo que, asumiendo que estamos haciendo una derivada frac-cionaria y no entera, escribimos

Dν f (t) =∞

∑k=0

Γ(ν +1)senπ(ν− k)tk−ν f (k)(t)k!π(ν− k)

=∞

∑k=0,k 6=n


+Γ(n+1)senπ(ν−n)tn−ν f (n)(t)

n!π(ν−n)

=∞

∑k=0,k 6=n


+senπ(ν−n)tn−ν f (n)(t)

π(ν−n).

Tomando el lımite cuando ν → n, obtenemos

lımν→n

Dν f (t) =∞

∑k=0,k 6=n

n! senπ(n− k)tk−n f (k)(t)k!π(n− k)

+ f (n)(t)

= f (n)(t).

3.6. Derivadas fraccionarias complejasPara una funcion compleja de una variable real, podemos definir la derivada

fraccionaria como sigue. Si

f (t) = u(t)+ iw(t)


en donde ambas u y w son funciones reales, definimos entonces la derivada deorden fraccionario como

Dν f (t) = Dν u(t)+ i Dν w(t).

Tambien se puede dar una definicion analoga para la derivada de Caputo.

Capıtulo 4Ecuaciones diferenciales

Decimos que una ecuacion es diferencial si una funcion esta referida mediantealguna(s) de su(s) derivada(s) y tal vez ella misma. Llamaremos a una ecuaciondiferencial de n-esimo orden por ser la derivada de orden n la mas grande de laecuacion y suponemos que se puede expresar de la forma:

y(n)(t) = F(t,y(t),y′(t), . . . ,y(n−1)(t)),

en donde t es la variable independiente, la cual usualmente representa el tiempotranscurrido desde algun tiempo fijo t0. En general tomaremos t ≥ t0 = 0.

Debido a que al hacer el proceso inverso de la derivada —integrar— aparecenconstantes de integracion, por lo general habra una infinidad de funciones quecumplan con la ecuacion diferencial. Normalmente a la ecuacion diferencial se leincorporan condiciones iniciales que nos marcan el estado en el que se encuentrael sistema en un tiempo determinado, lo que termina por fijar las constantes deintegracion. La manera mas usual en que se expresan estas condiciones es con necuaciones de la forma

y(0) = y0, y′(0) = y1, . . . , y(n−1)(0) = yn−1,

donde y0,y1, . . . ,yn−1 son constantes determinadas en el problema. Un problemacon valor inicial consiste de una ecuacion diferencial de orden n junto con n condi-ciones iniciales. Decimos que el problema esta resuelto si logramos encontrar unafuncion y(t) que cumpla la ecuacion diferencial y las condiciones iniciales.

Decimos que una ecuacion diferencial es de orden fraccionario si al menosuna de las derivadas que aparece es de orden fraccionario, y definiremos el orden

24

CAPITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES 25

de la ecuacion diferencial fraccionaria como el menor entero mayor o igual quetodas las derivadas que aparecen en la ecuacion diferencial. Por ejemplo, para

D3/4 y(t)−3 D1/4 y(t) = 0

diremos que es una ecuacion diferencial fraccionaria de primer orden.Al tratar el tema de ecuaciones diferenciales es de suma importancia hablar de

las condiciones iniciales y de la interpretacion que se les puede dar. Por ejemplo,al hacer una interpretacion fısica de las condiciones iniciales, dirıamos que y(t)es la posicion de una partıcula al tiempo t y dirıamos que y′(t) y y′′(t) son lavelocidad y aceleracion de la partıcula, respectivamente. Inclusive se puede haceruna interpretacion geometrica de las condiciones, si nos referimos a la pendientede la recta tangente a una cierta curva, o a la concavidad de la curva en un puntoparticular. Al trabajar con ecuaciones diferenciales fraccionarias apareceran enalgun sentido ’constantes de integracion’, las cuales se necesitaran fijar a partirde algunas condiciones iniciales. Estas condiciones iniciales dependeran muchodel tipo de derivada que estemos hablando, ya sea la de Riemann-Liouville o lade Caputo. Un punto importante que hay que mencionar es que a la derivadafraccionaria no se le ha dado una interpretacion razonable.

Se consideraran dos tipos de condiciones iniciales:

Dν y(t)|t=0 ,

con ν ∈ R, que es el tipo de condiciones iniciales que surgen al trabajar con laderivada de Riemann, y

y(k)(0),

que es el tipo de condiciones que se utilizan con la derivada de Caputo. Un proble-ma con valor inicial fraccionario consiste de una ecuacion diferencial fracciona-ria y de condiciones iniciales asociadas a la ecuacion diferencial. Un ejemplo deproblema con valor inicial fraccionario serıa

D3/4 y(t)−3 D1/4 y(t) = 0, D−1/4 y(t)∣∣∣t=0

= y0, D−3/4 y(t)∣∣∣t=0

= y1,

donde y0 y y1 son constantes. Una solucion a este problema con valor inicial frac-cionario es

y(t) =y0−3y1

t1/4 E1/2,3/4(3√

t),

como se puede verificar al sustituir.


Existen diversos metodos para resolver una ecuacion diferencial fraccionaria,como proponer que la solucion sea una serie de potencias (tal vez con potenciasno enteras, dependiendo del tipo de derivada y de las condiciones iniciales) ybuscar alguna relacion entre los coeficientes. Sin embargo, uno de los metodosmas sencillos para resolver una ecuacion diferencial fraccionaria es utilizandola transformada de Laplace. Posteriormente se calculara una relacion entre lastransformadas de Laplace de una funcion y sus derivadas fraccionarias.

4.1. El problema de la tautocronaEl problema de la tautocrona consiste en encontrar una curva por la cual una

partıcula se desliza sin friccion y es tal que, sin importar el punto de partida yempezando en reposo, llega a la parte inferior de la curva al mismo tiempo. Pro-bablemente la solucion a este problema fue una de las primeras ocasiones en quese resolvio de manera explıcita una ecuacion diferencial, por Jakob Bernoulli1 en1690 y se puede formular de la siguiente manera:

Supongamos que la partıcula parte del punto P = (a,b) y que la parte inferiorde la curva es el origen, y que la curva:

(x(t),y(t))

sera la solucion. Queremos que la curva parta del punto P, por lo que al evaluaren t = 0 queremos que

(x(0),y(0)) = (a,b)

y buscamos que parta del reposo por lo que(x′(0),y′(0)

)= (0,0)

y esas seran las condiciones iniciales.Sabemos que la longitud de la curva desde el punto P hasta el punto (x(t),y(t))

se puede expresar como

s(t) =∫ t

0

√x′(τ)2 + y′(τ)2 dτ

y al expresarla como una funcion de la altura y, se llega a

s(y) =∫ y

b

√1+(

dxdy

)2

dy

1Jakob Bernoulli, (1654-1705).


y llamamos a la razon de cambio de la longitud de la curva f (y) = s′(y) y vemosque es

f (y) =

√1+(

dxdy

)2

.

La partıcula perdera energıa potencial EP = mg(b− y) la cual se transfor-mara en energıa cinetica EC = mv2/2 donde m es la masa de la partıcula, g laaceleracion de la gravedad y v la velocidad de la partıcula. Por el principio deconservacion de la energıa, al igualar la energıa potencial a la cinetica, llegamos aque la velocidad de la partıcula en alguna altura y es

v(y) =√

2g(b− y).

La partıcula recorrera infinitesimalmente una distancia dada por f (y) a unavelocidad v(y) por lo que el tiempo total que le tomara a la partıcula llegar delpunto de partida al origen, al hacer la suma (integral) de todos los tiempos, sera

t =∫ b

0

f (y)√2g(b− y)

dy.

El objetivo del problema es que el tiempo sea constante para cualquier punto departida b, es decir, buscamos la funcion f (y) que nos expresa la razon de cambiode la longitud de la curva tal que∫ b

0

f (y)√b− y

dy = c√

2g = c′

sea constante para cualquier b.Para resolver la ecuacion de una manera “tradicional”, podemos observar que

la convolucion entre la funcion f (y) y la funcion g(y) = y−1/2 nos queda

( f ∗g)(b) =∫ b

0

f (y)√b− y

dy = c′

y al aplicar la transformada de Laplace llegamos a

f (s)g(s) =c′

s.

Al calular g(s) y despejar llegamos a que

f (s) =c′√πs

,


por lo que al calcular la transformada inversa, llegamos a que

f (y) = αy−1/2

con α = c′/π = c√

2g/π . Para calcular la funcion en el eje x vemos que

αy−1/2 =

√(dxdy

)2

+1

y al despejar

dxdy

=

√α2− y

y.

Si hacemos el cambio de variable y(θ) = α2 sen2(θ/2), llegamos a que

dxdθ

=(

dxdy

)(dydθ

)=

(√α2−α2 sen2(θ/2)

α2 sen2(θ/2)

)(α

2 sen(θ/2)cos(θ/2))

=(√

cot2(θ/2))(

α2 sen(θ/2)cos(θ/2)

)= α

2 cos2(θ/2)

=α2

2(cosθ +1) .

Al integrar y considerar las condiciones iniciales se obtiene

x(θ) =α2

2(θ + senθ)+a, y(θ) = α

2 sen2(θ/2) =α2

2(1− cosθ)+b,

que es la forma parametrica de una cicloide, la solucion de nuestro problema.

4.1.1. Calculo fraccionario y la tautocronaUna de las primeras aplicaciones que se le encontro al calculo fraccionario

fue precisamente en encontrar la solucion al problema de la tautocrona. Abel2

utilizo tecnicas de calculo fraccionario en 1823 para resolver el problema.

2Niels Henrik Abel, (1802-1829).


Si de la deduccion anterior nos fijamos en la ecuacion

c′ =∫ b

0

f (y)√b− y

dy,

entonces podemos expresar el lado derecho como∫ b

0

f (y)√b− y

dy =∫ b

0(b− y)1/2−1 f (y)dy = Γ(1/2) 0D−1/2

b f (b).

Por lo tanto, buscamos que

0D−1/2y f (y) =

c′

Γ(1/2).

Al aplicar el operador inverso por la izquierda (la derivada de orden 1/2), llegamosa

f (y) = 0D1/2y

c′

Γ(1/2)=

c√

2gΓ(1/2)

y−1/2

Γ(1/2)=

c√

2gπ

y−1/2,

al igual que cuando lo resolvimos de manera tradicional.De hecho, podemos usar tecnicas de calculo fraccionario para generalizar un

poco el problema. Vimos que

f (y) = 0D1/2y

c√

2gΓ(1/2)

=√

2gΓ(1/2) 0D1/2

y c.

Si sustituimos c, que es el tiempo constante en que se llegara al origen, por otrafuncion h(y), por ejemplo, h(y) = y, se estarıa encontrando una curva en la que laaltura inicial es el tiempo de caıda. Se llega a una ecuacion integral de la forma∫ b

0

f (y)√b− y

dy = h(b)

donde f (y) es una funcion desconocida. En general una ecuacion integral de laforma

1Γ(ν)

∫ b

0(b− y)ν−1 f (y)dy = h(b)

es conocida como una ecuacion integral de Abel, y la solucion (si esta existe) esde la forma

f (y) = 0Dνy h(y) .


En el ejemplo en el que se busca una curva tal que el tiempo de caıda sea laaltura desde la que se deja caer la partıcula, es decir, h(y) = y, la ecuacion parapoder encontrar x en funcion de y es√(

dxdy

)2

+1 =√

2gΓ(1/2) 0Dν

y h(y) =√

8gyπ

de dondedxdy

=√

8gπ

√y− π2

8g

.

Vemos que para alturas pequenas (es decir, valores de y < π2/8g) la curva noestara definida, por lo que no existe una solucion a este problema. De hecho,para garantizar la existencia de una solucion a un problema de la forma de latautocrona, tenemos el siguiente resultado: Si h(y) es tal que 0D1/2

y h(y) existe enun intervalo [0,y0] y [

0D1/2y h(y)

]2≥ π/2g

en ese intervalo, entonces el problema tendra una solucion en [0,y0], es decir,habra una curva tal que el tiempo de caida sea h(y). La demostracion de esta afir-macion es muy sencilla al utilizar conceptos de calculo fraccionario. Aplicamosla derivada de orden 1/2 en

1Γ(ν)

∫ b

0(b− y)ν−1 f (y)dy = h(b)

y llegamos a √(dxdy

)2

+1 =√

2gΓ(1/2) 0Dν

y h(y).

Despejando dx/dy podemos expresar que

x(y) =

√2gπ

∫ y

0

√[0D1/2

s h(s)]2− π

2gds.

Concluimos que la curva existe y el problema tiene una solucion si los valoresdentro de la raız son siempre no negativos.


4.2. Transformada de Laplace de la derivada frac-cionaria

Sin duda alguna, una de las herramientas mas poderosas en el estudio de ecua-ciones diferenciales es la transformada de Laplace. Gracias a la transformada lo-gramos incorporar en una sola expresion la ecuacion diferencial junto a las condi-ciones iniciales. Veremos que en el estudio de ecuaciones diferenciales de ordenfraccionario, la transformada de Laplace es tambien una herramienta que nos per-mite incorporar los terminos diferenciales junto con las condiciones iniciales.

Recordemos que la transformada de Laplace de una funcion f (t) es

f (s) = L { f (t)}=∫

∞

0e−st f (t)dt.

Formalmente, al integrar por partes n veces, podemos ver que

L{

f (n)(t)}

= sn f (s)−n−1

∑k=0

sn−k−1 f (k)(0).

Ahora buscaremos una expresion similar en el caso de tener un operador frac-cionario.

4.2.1. Transformada de Laplace de la derivada de RiemannComo hemos visto anteriormente, un enfoque de la derivada de orden frac-

cionario es que

Dν f (t) =dn

dtn D−(n−ν) f (t) = g(n)(t)

dondeg(t) = D−(n−ν) f (t).

Al aplicar la transformada de Laplace en ambos lados, vemos que

L {Dν f (t)}= L{

g(n)(t)}

= sng(s)−n−1

∑k=0

sn−k−1g(k)(0).

Tenemos entonces que calcular la trasformada de la funcion g(t) y establecerg(k)(0). Recordamos que, dado que la integral de orden fraccionario se puede es-tablecer como la convolucion entre la funcion f (t) y la funcion Φn−ν(t), entonces


la transformada de g(t) queda como

L {g(t)}= L {( f ∗Φn−ν)(t)}=f (s)sn−ν

.

Por otro lado, calcular g(k)(0), es lo mismo que calcular

dk

dtk D−(n−ν) f (t) en t = 0,

lo cual es equivalente a calcular Dν+k−n f (t)∣∣t=0 con k = 0,1 . . .n− 1, es decir,

como condiciones iniciales que son incorporadas por la transformada, necesita-mos condiciones iniciales de orden fraccionario. Llegamos entonces a que

L {Dν f (t)}= sν f (s)−n−1

∑k=0

sn−k−1 Dν+k−n f (t)∣∣∣t=0

y al reindexar los terminos de la suma, llegamos finalmente a que

L {Dν f (t)}= sν f (s)−n−1

∑k=0

sk Dν−k−1 f (t)∣∣∣t=0

.

4.2.2. Transformada de Laplace de la derivada de CaputoDe la misma manera en que calculamos la transformada anterior, obtenemos

L{

CDν f (t)}

= L

{D−(n−ν) dn

dtn f (t)}

=f (n)(t)sn−ν

=1

sn−ν

[sn f (s)−

n−1

∑k=0

sn−k−1 f (k)(0)

]

= sν f (s)−n−1

∑k=0

sν−k−1 f (k)(0).

Vemos que ambas definiciones no solo no coinciden, sino que —y la principaldiferencia— las condiciones iniciales que se requieren para la transformada deLaplace de la derivada de Riemann-Liouville son tambien de orden fraccionario,mientras que en la derivada de Caputo se tienen condiciones iniciales de ordenentero.


4.3. La funcion exponencial fraccionariaLa funcion exponencial x(t) = x0eat con x0,a ∈ R usualmente se define como

la funcion inversa de la funcion logaritmo natural. Partiendo de esta definicion, sepuede demostrar que x(t) satisface el problema con valor inicial

x′(t) = ax(t), x(0) = x0.

Sin embargo, suponiendo que la existencia y unicidad de la solucion del problemacon valor inicial ya se ha demostrado, podemos definir la funcion exponencialcomo la unica solucion del problema anterior.

Buscaremos, de una manera similar, definir lo que llamaremos la funcion expo-nencial fraccionaria como la solucion a un problema con valor inicial fraccionariode la forma

Dν x(t) = aνx(t), Dν−k−1 x(t)∣∣∣t=0

= xk, k = 0,1, . . . ,n−1

para el caso de Riemann-Liouville, y

Dν x(t) = aνx(t), x(k)(0) = xk, k = 0,1, . . . ,n−1

para el caso de Caputo. Aquı, supondremos que a > 0 y que x0,x1, . . . ,xn−1 sonconstantes dadas.

4.3.1. Exponencial fraccionaria de RiemannPartiremos de la ecuacion diferencial fraccionaria

Dν x(t) = aνx(t)

y con las condiciones iniciales

Dν−k−1 x(t)|t=0 = xk, k = 0,1, . . . ,n−1.

Aplicando la transformada de Laplace, suponiendo que tiene una solucion, lle-gamos a

sν x(s)−n−1

∑k=0

skxk = aν x(s),


por lo que al despejar y tomando s > a

x(s) =n−1

∑k=0

skxk

sν −aν.

Trabajando cada uno de los terminos de la suma, tenemos

skxk

sν −aν=

xk

sν−k[1− (a/s)ν

)]

=xk

sν−k

∞

∑j=0

(as

) jν

= xk

∞

∑j=0

a jν

s( j+1)ν−k.

Aplicando la transformada de Laplace inversa y usando el hecho de que

L{

t p−1}=Γ(p)

sp , p > 0,

llegamos a

L −1

{xk

∞

∑j=0

a jν

s( j+1)ν−k

}= xk

∞

∑j=0

a jν t( j+1)ν−k−1

Γ(( j +1)ν− k)

= xktν−k−1∞

∑j=0

(at) jν

Γ( jν +ν− k)

= xktν−k−1Eν ,ν−k((at)ν),

una potencia fraccionaria por una funcion de Mittag-Leffler, por lo que la solucionformal del problema con valor inicial fraccionario es

x(t) =n−1

∑k=0

xktν−k−1Eν ,ν−k((at)ν).

Definimos entoncesEa,t

ν ,k = tν−k−1Eν ,ν−k ((at)ν)

como la funcion exponencial fraccionaria de Riemann.


Ahora mostraremos que x(t) sı satisface el problema con valor inicial frac-cionario. Vemos que

Dν Ea,tν ,k = Dν tν−k−1Eν ,ν−k((at)ν)

= Dν∞

∑j=0


Γ(( j +1)ν− k)

=∞

∑j=0

a jν

Γ(( j +1)ν− k)Dν t( j+1)ν−k−1

=∞

∑j=0

a jν

Γ(( j +1)ν− k)Γ(( j +1)ν− k)t( j+1)ν−k−1−ν

Γ(( j +1)ν− k−ν)

=∞

∑j=0

a jνt jν−k−1

Γ( jν− k).

Al tomar j = 0 en la suma, el termino Γ( jν− k) = Γ(−k) toma un valor infinitopuesto que k es no negativo, ası que la suma se puede hacer desde j = 1. Por loque al reindexar, llegamos a

Dν Ea,tν ,k =

∞

∑j=1

a jνt jν−k−1

Γ( jν− k)

= aν∞

∑j=0


Γ(( j +1)ν− k)

= aν Ea,tν ,k ,

de donde

Dν x(t) =n−1

∑k=0

xk Dν Ea,tν ,k =

n−1

∑k=0

xkaν Ea,tν ,k = aνx(t).

Ademas, para comprobar que se cumplen las condiciones iniciales, vemos que


para m = 0,1, . . . ,n−1 tenemos

Dν−m−1 Ea,tν ,k = Dν−m−1

∞

∑j=0


Γ(( j +1)ν− k)

=∞

∑j=0

a jν

Γ(( j +1)ν− k)Γ(( j +1)ν− k)t( j+1)ν−k−1−(ν−m−1)

Γ(( j +1)ν− k− (ν−m−1))

=∞

∑j=0

a jνt jν−k+m

Γ( jν− k +m+1)

=t−k+m

Γ(−k +m+1)+

∞

∑j=1

a jνt jν−k+m

Γ( jν− k +m+1).

Vemos que el primer termino toma el valor de cero si m < k. Al evaluar en t = 0todos los terminos de la suma en los que j > 0 son cero pues ν − k + m > 0, porlo que solo nos interesa el caso en el que j = 0, llegando a

Dν−m−1 Ea,tν ,k

∣∣∣t=0

=t−k+m

Γ(−k +m+1)

∣∣∣∣t=0

.

Tendremos tres casos, dependiendo de k y m:

si m > k la potencia es positiva y toda la expresion sera cero.

si m = k nos queda t−k+m/Γ(−k +m+1) = 1.

si m < k entonces Γ(−k+m+1) tomara un valor infinito, y toda la expresionsera cero.

Concluimos entonces que

Dν−m−1 Ea,tν ,k

∣∣∣t=0

=

{1 si m = k,0 si m 6= k.

Por lo tanto, para todo m = 0,1, . . . ,n−1 tenemos

Dν−m−1 x(t)∣∣t=0 =

n−1

∑k=0

xk Dν−m−1 Ea,tν ,k

∣∣∣t=0

= xm

y tambien se cumplen las condiciones iniciales. Hay que notar que no podemosgarantizar que la solucion es unica, aunque se espera que sı3.

3Apendice B


Algunas propiedades de la exponencial de Riemann

Analizaremos algunas propiedades de la funcion exponencial de Riemann

Al evaluar la funcion exponencial fraccionaria de Riemann en t = 0 vemosque

Ea,0ν ,k =

∞

∑j=0

a jν

Γ(ν( j +1)− k)tν( j+1)−k−1

∣∣∣∣∣t=0

.

Vemos que la sucesion de los exponentes de t, {ν( j +1)− k−1}, con j =0,1, . . . es una sucesion creciente, por lo que si en j = 0 se obtiene un termi-no positivo entonces todos los exponentes seran positivos y la evaluacionsera cero. Por otro lado si en j = 0 se obtiene un termino igual a cero (el ca-so en el que ν−k = 1) entonces los siguientes terminos seran positivos y laevaluacion en t = 0 tomara el valor de uno. Por ultimo, si en j = 0 se obtieneuna potencia negativa entonces sin importar si los siguientes exponentes sonpositivos o negativos, al evaluar en t = 0 se tendra al menos un exponentenegativo y en la evaluacion en t = 0 se obtendra ±∞, dependiendo si nosaproximamos por la derecha o por la izquierda.

Resumiendo, vemos que unicamente tiene importancia cuando j = 0 y seobtiene que

Ea,0ν ,k =

0 si k < n−1,1 si k = n−1 y ν = n y±∞ si k = n−1 pero ν < n.

En el caso particular que ν = n, es decir, que se este haciendo una derivadaentera se llega al valor de uno.

Consideremos algunos casos particulares de la funcion exponencial frac-cionaria. Si ν = 1, entonces

x(t) = x0E1,1(at) = x0eat ,

la funcion exponencial. Cuando ν = 1/2, se llega a que

x(t) =x0√πt

+ x0√

aeaterfc(−√

at).4

4Apendice C.


La funcion exponencial fraccionaria nos sirve tambien para casos enteros,por ejemplo, para resolver la ecuacion diferencial

dn

dtn x(t) = anx(t)

con las condiciones iniciales x(k)(0) = xk donde k = 0,1 . . .n− 1. No senecesita resolver este problema por medio del polinomio caracterıstico.

Al calcular la derivada de orden entero de la funcion, vemos que

ddt

Ea,tν ,k =

ddt

tν−k−1Eν ,ν−k((at)ν)

=∞

∑j=0

a jν

Γ(ν( j +1)− k)ddt

tν( j+1)−k−1

=∞

∑j=0

a jν

Γ(ν( j +1)− k−1)tν( j+1)−k−2

= tν−k−2Eν ,ν−k−1((at)ν)

= Ea,tν ,k+1 .

Respecto a un reescalamiento, vemos que si α > 0 entonces

Ea,αtν ,k = (αt)ν−k−1

∞

∑j=0

(aαt)ν j

Γ(ν( j +1)− k)

= αν−k−1

[tν−k−1

∞

∑j=0

((αa)t)ν j

Γ(ν( j +1)− k)

]= α

ν−k−1 Eαa,tν ,k .

Sabemos que en general la propiedad de semigrupo no se cumple en lasderivadas de orden fraccionario, pero si tenemos un conjunto de coeficientesµi > 0 y tal que ∑ µi = 1 entonces

Dµ1ν Dµ2ν · · · Dµnν Ea,tν ,k = Dν Ea,t

ν ,k = aν Ea,tν ,k .


Para demostrar esta propiedad, vemos que

Dµ1ν Dµ2ν . . . Dµnν Ea,tν ,k

=∞

∑j=0

a jν Dµ1ν Dµ2ν . . . Dµnν tν( j+1)−k−1

Γ(ν( j +1)− k)

=∞

∑j=0

a jν Dµ1ν Dµ2ν . . . Dµn−1ν tν( j+1−µn)−k−1

Γ(ν( j +1−µn)− k)

=∞

∑j=0

a jν Dµ1ν Dµ2ν . . . Dµn−2ν tν( j+1−(µn+µn−1))−k−1

Γ(ν( j +1− (µn + µn−1))− k),

y siguiendo este proceso, llegamos a que

Dµ1ν Dµ2ν . . . Dµnν Ea,tν ,k

=∞

∑j=0

a jν tν( j+1−(µn+µn−1+...+µ1))−k−1

Γ(ν( j +1− (µn + µn−1 + . . .+ µ1))− k)

=∞

∑j=0

a jν tν j−k−1

Γ(ν j− k)

= aν

[tν−k−1

∞

∑j=0

(at) jν

Γ(ν( j +1)− k)

]= Dν Ea,t

ν ,k .

4.3.2. Exponencial fraccionaria de CaputoPara la derivada de Caputo, tenemos la ecuacion diferencial

CDν x(t) = aνx(t),

con las condiciones iniciales

x(k)(0) = xk, k = 0,1 . . .n−1.

Aplicando la transformada de Laplace de ambos lados, llegamos a

sν x(s)−n−1

∑k=0

sν−k−1xk = aν x(s),


por lo que al despejar llegamos a

x(s) =n−1

∑k=0

sν−k−1xk

sν −aν

=n−1

∑k=0

xk

sk+11

1− (a/s)ν

=n−1

∑k=0

xk

sk+1

∞

∑j=0

(as

) jν

=n−1

∑k=0

xk

∞

∑j=0

a jν

s jν+k+1 .

Al calcular la transformada inversa, llegamos a

x(t) =n−1

∑k=0

xk

∞

∑j=0

a jν t jν+k

Γ( jν + k +1)

=n−1

∑k=0

xktk∞

∑j=0

(at) jν

Γ( jν + k +1)

=n−1

∑k=0

xktkEν ,k+1((at)ν).

Definimos la funcionCEa,t

ν ,k = tkEν ,k+1((at)ν),


que llamaremos la funcion exponencial fraccionaria de Caputo. Comprobamos altomar la derivada de Caputo de orden ν que

CDν CEa,tν ,k = CDν

∞

∑j=0

a jν t jν+k

Γ( jν + k +1)

=∞

∑j=0

a jν

Γ( jν + k +1)CDν t jν+k

=∞

∑j=0

a jν

Γ( jν + k +1)D−(n−ν) dn

dtn t jν+k

=∞

∑j=0

a jν

Γ( jν + k +1)D−(n−ν) Γ( jν + k +1)t jν+k−n

Γ( jν + k−n+1)

=∞

∑j=0

a jν

Γ( jν + k−n+1)D−(n−ν) t jν+k−n.

Vemos que cuando j = 0 dentro de la suma, el denominador sera infinito, por loque

CDν CEa,tν ,k =

∞

∑j=1

a jν

Γ( jν + k−n+1)Γ( jν + k−n+1)t jν+k−n+n−ν

Γ( jν + k−n+n−ν +1)

=∞

∑j=1

a jνt( j−1)ν+k

Γ(( j−1)ν + k +1)

= aν∞

∑j=0

a jνt jν+k

Γ( jν + k +1)

= aν CEa,tν ,k

de donde

CDν x(t) =n−1

∑k=0

xkCDν CEa,t

ν ,k =n−1

∑k=0

xkaν CEa,tν ,k = aνx(t).


Concluimos que la funcion cumple la ecuacion diferencial. Para comprobar quecumple las condiciones iniciales, vemos que para m = 0,1, . . . ,n−1,

dm

dtmCEc,t

ν ,k

∣∣∣∣t=0

=∞

∑j=0

a jν

Γ( jν + k +1)dm

dtm t jν+k

∣∣∣∣∣t=0

=∞

∑j=0

a jν

Γ( jν + k +1)Γ( jν + k +1)t jν+k−m

Γ( jν + k−m+1)

∣∣∣∣∣t=0

=∞

∑j=0

a jνt jν+k−m

Γ( jν + k−m+1)

∣∣∣∣∣t=0

=tk−m

Γ(k−m+1)

∣∣∣∣t=0

,

pues cuando j > 0 el exponente de t sera positivo y al evaluar sera cero. Tenemos,al igual que con la exponencial fraccionaria de Riemann, tres casos dependiendode la relacion entre k y m. Podemos ver que si k 6= m, sera cero ya sea por lafuncion Γ o por la evaluacion en cero, y si k = m se llega a uno, de donde

dm

dtmCEa,t

ν ,k

∣∣∣∣t=0

=

{1 si k = m,0 si k 6= m.

Por lo tanto, para todo m = 0,1, . . . ,n−1 tenemos

CDν−m−1 x(t)∣∣∣t=0

=n−1

∑k=0

xkCDν−m−1 CEa,t

ν ,k

∣∣∣t=0

= xm

y tambien se cumplen las condiciones iniciales. Como en el caso de Riemann, nose puede asegurar que la solucion obtenida aquı es unica.

Algunas propiedades de la exponencial de Caputo

Al evaluar la funcion en t = 0 se llega a

CEa,0ν ,k =

∞

∑j=0

a jνt jν+k

Γ( jν + k +1)

∣∣∣∣∣t=0

=tk

Γ(k +1)

∣∣∣∣t=0

,

pues las potencias son siempre positivas si j > 0. Concluimos que al evaluar

CEa,0ν ,k =

{0 si k > 0,1 si k = 0.


La funcion exponencial de Caputo tambien cumple que si ν = 1 se llega ala funcion exponencial usual, y de hecho, en el caso en el que ν = n, unnumero entero, entonces

CEa,tn,n−k−1 = Ea,t

n,k ,

la funcion exponencial de Riemann.

Si calculamos la derivada entera de la exponencial fraccionaria de Caputo,vemos que

ddt

CEa,tν ,k =

ddt

tkEν ,k+1((at)ν)

=∞

∑j=0

a jν

Γ( jν + k +1)ddt

t jν+k

=∞

∑j=0

a jν

Γ( jν + k)t jν+k−1

= tk−1Eν ,k((at)ν)

= CEa,tν ,k−1 .

Como un detalle curioso podemos ver que la relacion recursiva que obte-nemos en la funcion exponencial de Caputo es igual a la de la exponencialde Riemann pero en sentido opuesto.

4.4. Funciones trigonometricas fraccionariasUna propiedad que resultarıa interesante es comprobar si, al igual que con la

funcion exponencial, al evaluarla en un numero imaginario puro ia, con a > 0, yel negativo de ese numero −ia, se llega (agrupando terminos y combinando lasdos funciones) a un seno y coseno fraccionarios que cumplan que

D2ν x(t) =−a2νx(t).

Basandonos en esta idea se pueden hacer dos distintos analisis dado que lapropiedad de semigrupo no aplica en derivadas fraccionarias. La primera de ellases ver si la funcion

x(t) =Eia,t

ν ,k + E−ia,tν ,k

2


cumple queD2ν x(t) =−a2νx(t).

Al hacer el calculo directo, vemos que

D2ν x(t) =12

∞

∑j=0

(ia) jν

Γ(ν( j +1)− k)D2ν tν( j+1)−k−1

+12

∞

∑j=0

(−ia) jν

Γ(ν( j +1)− k)D2ν tν( j+1)−k−1

=12

[∞

∑j=0

(ia) jνtν( j−1)−k−1

Γ(ν( j−1)− k)

+∞

∑j=0

(−ia) jνtν( j−1)−k−1

Γ(ν( j−1)− k)

].

Podemos separar el caso cuando j = 1 que por la funcion Γ la expresion se va acero, por lo que, al separar tambien el caso en que j = 0 y reindexar los terminosllegamos a

D2ν x(t) =t−ν−k−1

Γ(−ν− k)+

12

[∞

∑j=2

(ia) jνtν( j−1)−k−1

Γ(ν( j−1)− k)+

∞

∑j=2

(−ia) jνtν( j−1)−k−1

Γ(ν( j−1)− k)

]

=t−ν−k−1

Γ(−ν− k)+

a2ν

2

[i2ν

∞

∑j=0

(ia) jνtν( j+1)−k−1

Γ(ν( j +1)− k)

+(−i)2ν∞

∑j=0

(−ia) jνtν( j+1)−k−1

Γ(ν( j +1)− k)

].

Concluimos que x(t) cumple la propiedad que buscamos solo cuando ν es unnumero entero y ası el termino t−ν−k−1/Γ(−ν − k) desaparece y los factores i2ν

y (−i)2ν forman el signo negativo que buscamos.Por otro lado, si aplicamos dos veces la derivada de orden ν a la funcion x(t)


vemos que

Dν Dν x(t) = Dν Dν (Eia,tν ,k + E−ia,t

ν ,k )/2

=(ia)2ν

2Eia,t

ν ,k +(−ia)2ν

2E−ia,t

ν ,k

= a2ν

[cos(νπ)

(Eia,t

ν ,k + E−ia,tν ,k

2

)

+isen(νπ)

(Eia,t

ν ,k − E−ia,tν ,k

2

)]

= a2ν

[cos(νπ)x(t)+ isen(νπ)

(Eia,t

ν ,k − E−ia,tν ,k

2

)],

y por lo tanto, se cumple la ecuacion diferencial unicamente cuando ν es enteroe impar (que en el caso de ν = 1 son las funciones seno y coseno), por lo quela funcion exponencial fraccionaria de Riemann no funciona para generalizar lasfunciones trigonometricas pues, sin importar si se hace la derivada por pasos o enuna sola operacion, se obtienen potencias fraccionarias de un numero imaginario.

4.4.1. Funcion trigonometrica de RiemannEl hecho de que la funcion exponencial fraccionaria de Riemann no funcione

para generalizar otras funciones deja abiertas las ecuaciones diferenciales

Dν Dν x(t) =−a2νx(t) y D2ν x(t) =−a2νx(t),

que en el caso en el que ν = 1 es satisfecha por las funciones seno y coseno.Para resolver la segunda ecuacion, tomando n− 1 < 2ν ≤ n e imponiendo

como condiciones iniciales D2ν−k−1 x(t)∣∣t=0 = xk, con k = 0,1 . . .n−1, llegamos

a

s2ν x(s)−n−1

∑k=0

skxk =−a2ν x(s).


Despejando la transformada de x(t) se llega a

x(s) =n−1

∑k=0

skxk

s2ν +a2ν

=n−1

∑k=0

xk

s2ν−k[1+(a/s)2ν ]

=n−1

∑k=0

xk

s2ν−k

∞

∑j=0

(−1) j(a

s

)2ν j

=n−1

∑k=0

xk

∞

∑j=0

(−1) j a2ν j

s2ν( j+1)−k.

Al tomar la transformada de Laplace inversa, vemos que una posible solucion dela ecuacion diferencial es

x(t) =n−1

∑k=0

xk

∞

∑j=0

(−1) ja2ν j t2ν( j+1)−k−1

Γ(2ν( j +1)− k)

=n−1

∑k=0

xkt2ν−k−1∞

∑j=0

(−1) j(at)2ν j

Γ(2ν j +2ν− k)

=n−1

∑k=0

xkt2ν−k−1E2ν ,2ν−k(−(at)2ν

).

Entonces definimos la funcion

Tν ,k(a, t) = t2ν−k−1E2ν ,2ν−k(−(at)2ν

)como la funcion trigonometrica de Riemann y vemos que cumple la ecuaciondiferencial como sigue.

D2ν Tν ,k(a, t) =∞

∑j=0

(−1) ja2ν j

Γ(2ν( j +1)− k)D2ν t2ν( j+1)−k−1

=∞

∑j=0

(−1) ja2ν j

Γ(2ν( j +1)− k)Γ(2ν( j +1)− k)t2ν( j+1)−k−1−2ν

Γ(2ν( j +1)− k−2ν)

=∞

∑j=0

(−1) ja2ν jt2ν j−k−1

Γ(2ν j− k).


Vemos que la suma se puede hacer desde j = 1 pues el denominador se va ainfinito. Al reindexar los terminos llegamos a

D2ν Tν ,k(a, t) =∞

∑j=1

(−1) ja2ν jt2ν j−k−1

Γ(2ν j− k)

=∞

∑j=0

(−1) j+1a2ν( j+1)t2ν( j+1)−k−1

Γ(2ν( j +1)− k)

= −a2νt2ν−k−1∞

∑j=0

(−1) j(at)2ν j

Γ(2ν( j +1)− k)

= −a2ν Tν ,k(a, t) .

De la misma manera podemos comprobar que cumple las condiciones ini-ciales, pues se llega a que

D2ν− j−1 Tν ,k(a,0) = δ j,k,

y al sumar todas las distintas funciones, podemos expresar la solucion como

x(t) =n−1

∑k=0

xk Tν ,k(a, t) .

Es interesante notar que la unica diferencia entre la funcion exponencial frac-cionaria y las funciones trigonometricas fraccionarias es (ademas del orden de laderivada 2ν) el signo negativo dentro de la funcion Mittag-Leffler.

Algunas propiedades interesantes de las funciones trigonometricas de Rie-mann es que en el caso en el que ν = 1/2, se llega a

x(t) = x0 T1/2,0(a, t) = x0E1,1 (−(at)) = x0e−at ,

y como es de esperarse, en el caso en el que ν = 1 la funcion es

x(t) = x0 T1,0(a, t) + x1 T1,1(a, t)

= x0tE2,2(−(at)2)+ x1E2,1

(−(at)2)

= x0

∞

∑j=0

(−1) j a2 j

Γ(2 j +2)t2 j+1 + x1

∞

∑j=0

(−1) j a2 j

Γ(2 j +1)t2 j

=x0

a

∞

∑j=0

(−1) j (at)2 j+1

(2 j +1)!+ x1

∞

∑j=0

(−1) j (at)2 j

2 j!

=x0

asen(at)+ x1 cos(at).


Otra propiedad de la funcion trigonometrica de Riemann, al igual que la ex-ponencial, es que si tenemos un conjunto de ındices µi > 0 y tal que ∑ µi = 2entonces se cumple que

Dµ1ν Dµ2ν · · · Dµnν Tν ,k(a, t) = D2ν Tν ,k(a, t) =−a2ν Tν ,k(a, t) .

La demostracion es muy similar a la que se hizo para la funcion exponencial deRiemann, al reducir el orden de la derivada. Esta propiedad nos sirve para probarque la funcion trigonometrica de Riemann tambien cumple la ecuacion diferencial

Dν Dν Tν ,k(a, t) =−a2ν Tν ,k(a, t) .

4.4.2. Funcion trigonometrica de CaputoAl evaluar la exponencial fraccionaria de Caputo en algun numero complejo y

seguir el mismo argumento que con la exponencial de Riemann, no llegaremos auna funcion que cumpla la ecuacion diferencial

CD2ν x(t) =−a2νx(t).

Tomando n−1 < 2ν ≤ n y partiendo de la ecuacion diferencial

CD2ν x(t) =−a2νx(t),

buscaremos definir una funcion trigonometrica de Caputo que cumpla la ecuaciondiferencial y las condiciones iniciales x(k)(0) = xk con k = 0,1 . . .n−1. Al aplicarla transformada de Laplace, se llega a que

s2ν x(s)−n−1

∑k=0

s2ν−k−1xk =−a2ν x(s),


por lo que al despejar y calcular la transformada inversa, se llega a que una posiblesolucion de la ecuacion diferencial es

x(t) = L −1

{n−1

∑k=0

s2ν−k−1xk

s2ν +a2ν

}

=n−1

∑k=0

xkL−1

{1

sk+1

∞

∑j=0

(−1) j(a

s

)2ν j}

=n−1

∑k=0

xk

∞

∑j=0

(−1) ja2ν jL −1

{(1s

)2ν j+k+1}

=n−1

∑k=0

xk

∞

∑j=0

(−1) ja2ν jt2ν j+k

Γ(2ν j + k +1)

=n−1

∑k=0

xktkE2ν ,k+1(−(at)2ν

).

Definimos entonces la funcion trigonometrica de Caputo como

CTν ,k(a, t) = tkE2ν ,k+1(−(at)2ν

),

y vemos que podemos escribir la solucion a la ecuacion diferencial como

x(t) =n−1

∑k=0

xkCTν ,k(a, t) .

Algunas propiedades interesantes de la funcion trigonometrica de Caputo esque al igual que la de Riemann, en el caso en que ν = 1/2 se llega a que x(t) =x0e−at y cuando ν = 1 se llega al seno y coseno usual.

Capıtulo 5Sistemas de ecuaciones diferenciales

5.1. MotivacionCuando trabajamos con sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de orden

entero, sabemos que si partimos del sistema

x(t) = Ax(t)

donde A es una matriz real y constante y x(t) es una funcion vectorial, entonces lasolucion se encuentra a partir de la matriz exponencial etA, la cual la definimos detal manera que al evaluar en t = 0 se obtenga la identidad, y al derivar esa funcionse obtenga

ddt

etA = AetA.

Gracias a esa propiedad de la matriz exponencial, sabemos que la solucion a laecuacion diferencial

x(t) = Ax,

con la condicion inicial x(0) = x0 es

x(t) = etAx0,

pues vemos que cumple la ecuacion diferencial y las condiciones iniciales.Ademas, una ecuacion diferencial homogenea de orden n y con coeficientes

constantes de la forma

y(n)(t) = α0y(t)+α1y′(t)+ . . .+αn−1y(n−1)(t)

50

CAPITULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 51

se puede expresar como un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma

ddt

yy′...

y(n−1)

=

0 1 0 . . .0 0 1 . . .

. . .α0 α1 . . . αn−1

yy′...

y(n−1)

.

Es importante notar que al pasar de una ecuacion homogenea de orden n aun sistema de ecuaciones, utilizamos implıcitamente la propiedad de semigrupode las derivadas de orden entero. Para desarrollar una idea similar en ecuacionesdiferenciales de orden fraccionario tendremos que imponer a la solucion o com-probar de la solucion que obtengamos que cumple la propiedad de semigrupo.

5.2. Potencias fraccionarias de una matrizEn muchos ejemplos y aplicaciones del calculo fraccionario, nos encontramos

con potencias fraccionarias de una matriz. En el caso de matrices diagonalizables,definimos

Aν = PDνP−1,

la cual vemos que es una matriz con entradas reales si los eigenvalores de A sonpositivos. En el caso de matrices no diagonalizables, vemos que

Aν = PJνP−1 = P

Jν

1Jν

2. . .

Jνl

P−1,

en donde la potencia fraccionaria, definida en cada uno de los bloques de Jordan,queda como

Jνi =

λi 1 . . . 00 λi . . . 0... . . . 10 0 . . . λi

ν

=

(λi)ν ν(λi)ν−1 ν(ν−1)

2 (λi)ν−2 . . .(

ν

j

)(λi)ν− j

0 (λi)ν ν(λi)ν−1 . . .... . . . ν(λi)ν−1

0 0 . . . (λi)ν

,


la cual existe siempre y cuando los eigenvalores λi sean distintos de cero, y dehecho, es una matriz con entradas reales si los eigenvalores son positivos.

Podemos definir, si la matriz A es invertible, potencias fraccionarias negativascomo A−ν =

(A−1)ν

, es decir, primero invertir la matriz y luego calcular la poten-cia fraccionaria. Se cumple ademas que si los eigenvalores son positivos, entoncesAν y A1−ν existen y AνA1−ν = A. Demostrar esa propiedad se logra gracias a laconmutatividad de las funciones matriciales.1

5.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales de ordenfraccionario

Buscaremos resolver un sistema de ecuaciones diferenciales fraccionario de laforma

Dν x(t) = Aνx(t).

Veremos si la solucion tiene alguna relacion con la matriz exponencial, la cualsabemos que es parte de la solucion en el caso ν = 1.

Al igual que lo hicimos para funciones de una sola variable, en que a partirde una ecuacion diferencial fraccionaria definimos la funcion exponencial frac-cionaria Ea,t

ν ,k , partiremos de un sistema de ecuaciones homogeneo para definir lamatriz exponencial fraccionaria como la solucion a algun sistema de ecuacionesdiferenciales fraccionario.

5.3.1. Matriz exponencial de RiemannPartimos del sistema de ecuaciones diferenciales

Dν x(t) = Aνx(t),

considerando las condiciones iniciales Dν−k x(t)|t=0 = xk, con k = 0,1, . . . ,n−1.Notemos que aquı, xk es un vector. Aplicando la transformada de Laplace, lleg-amos a la expresion

L {Dν x(t)}= L {Aνx(t)} ,1Se puede demostrar que si dos funciones son analıticas entonces al evaluarlas en una matriz

conmutan.


y como vimos anteriormente, al calcular la transformada de Laplace de la derivadade la expresion a la izquierda de la ecuacion, llegamos a que:

sν x(s)−n−1

∑k=0

skxk = Aν x(s),

por lo que, al despejar la transformada de x, llegamos a que

sν

[I−(

1s

A)ν]

x(s) =n−1

∑k=0

skxk.

Sabemos, gracias al lema de perturbacion de Banach, que para s suficientementegrande, la matriz I− (1/s)νAν es invertible y ademas[

I−(

1s

A)ν]−1

=∞

∑j=0

(1s

A) jν

,

de donde

sν x(s) =∞

∑j=0

(1s

A) jν

(n−1

∑k=0

skxk

),

por lo que al calcular la transformada inversa, llegamos a

x(t) =n−1

∑k=0

L −1

{sk

sν

∞

∑j=0

(1s

A) jν

xk

}

=n−1

∑k=0

[∞

∑j=0

L −1

{(1s

)( j+1)ν−k}

A jνxk

]

=n−1

∑k=0

[∞

∑j=0

t( j+1)ν−k−1

Γ(( j +1)ν− k)A jνxk

]

=n−1

∑k=0

tν−k−1

[∞

∑j=0

(tA) jν

Γ( jν +ν− k)xk

]

=n−1

∑k=0

tν−k−1Eν ,ν−k((tA)ν)xk,

donde

Eα,β (tA) =∞

∑k=0

(tA)k

Γ(αk +β )


es la funcion Mittag-Leffler definida para matrices.Definimos entonces la funcion

EA,tν ,k = tν−k−1Eν ,ν−k((tA)ν)

como la matriz exponencial de Riemann, y al igual que lo hicimos con la fun-cion exponencial fraccionaria de Riemann, podemos comprobar que cumple laecuacion diferencial y que

0Dν−r−1t EA,t

ν ,k

∣∣∣t=0

=

{I si r = k,0 en cualquier otro caso.

Expresamos la solucion a la ecuacion diferencial como

x(t) =n−1

∑k=0

EA,tν ,k xk,

la cual tambien cumple que si ν = 1 la solucion es la matriz exponencial usual.Gracias a este estudio tambien hemos resuelto el sistema de ecuaciones de

orden ndn

dtn x(t) = Anx(t)

con las condiciones iniciales determinadas.La funcion exponencial de Riemann cumple las mismas propiedades que la

funcion escalar y lograr la demostracion se logra al seguir el mismo proceso,tratando la matriz A como la constante a de la funcion escalar. La propiedad queresulta sobresaliente es que sobre un conjunto de coeficientes µi > 0 que cumplaque ∑ µi = ν se cumple que

Dµ1 Dµ2 · · · Dµn EA,tν ,k = Dν EA,t

ν ,k = Aν EA,tν ,k .

5.3.2. Matriz exponencial de CaputoPor otro lado, para la derivada de Caputo, tenemos la ecuacion diferencial

CDν x(t) = Aνx(t),

con x(k)(0) = xk para k = 0,1, . . . ,n− 1. Aplicando la misma idea de la transfor-mada de Laplace, llegamos a

sν

[I−(

1s

A)ν]

x(s) =n−1

∑k=0

sν−k−1xk,


por lo que una solucion a la ecuacion diferencial es

x(t) = L −1

{n−1

∑k=0

∞

∑j=0

(1s

)k+1(1s

A) jν

xk

}

=n−1

∑k=0

∞

∑j=0

L −1

{(1s

) jν+k+1}

A jνxk

=n−1

∑k=0

∞

∑j=0

t jν+k

Γ( jν + k +1)A jνxk

=n−1

∑k=0

tk∞

∑j=0

(tA) jν

Γ( jν + k +1)xk

=n−1

∑k=0

tkEν ,k+1((tA)ν)xk

de nuevo, con la funcion Mittag-Leffler definida para matrices. De esta maneradefinimos la funcion

CEA,tν ,k = tkEν ,k+1((tA)ν)

como la matriz exponencial de Caputo, la cual podemos comprobar que cumplela ecuacion diferencial y las condiciones iniciales si manipulamos la matriz A dela misma manera en que trabajamos la constante a en el caso de la exponencialfraccionaria de Caputo. Expresamos entonces la solucion a la ecuacion diferencialcomo

x(t) =n−1

∑k=0

CEA,tν ,k xk.

5.3.3. Matrices trigonometricas fraccionariasComo vimos anteriormente, las funciones exponenciales de Riemann y Ca-

puto no funcionan para generalizar las funciones trigonometricas. Generalizar lasfunciones trigonometricas fraccionarias en el caso de matrices tiene un procesosimilar al que seguimos con las funciones trigonometricas fraccionarias escalares.

Para el caso de la la derivada de Riemann y partiendo de la ecuacion diferencial

D2ν x(t) =−A2νx(t),


con las condiciones iniciales D2ν−k x(t)∣∣t=0 = xk con k = 0,1 . . .n−1, al aplicar

la transformada de Laplace y despejar, se llega a que

x(t) = L −1

n−1

∑k=0

1s2ν−k

[I +(

1s

A)2ν

]−1

xk

=

n−1

∑k=0

∞

∑j=0

(−1) jL −1

{1

s2ν−k

(1s

A)2ν j

}xk

=n−1

∑k=0

∞

∑j=0

(−1) jL −1

{(1s

)2ν( j+1)−k}

A2ν jxk

=n−1

∑k=0

∞

∑j=0

(−1) j t2ν( j+1)−k−1

Γ(2ν( j +1)− k)A2ν jxk

=n−1

∑k=0

t2ν−k−1∞

∑j=0

(−1) j(tA)2ν j

Γ(2ν( j +1)− k)xk

=n−1

∑k=0

t2ν−k−1E2ν ,2ν−k(−(tA)2ν)xk.

Definimos con este proceso la funcion

Tν ,k(A, t) = t2ν−k−1E2ν ,2ν−k(−(tA)2ν

),

la cual llamaremos la matriz trigonometrica de Riemann.Es facil comprobar que cumple la ecuacion diferencial, ası como el hecho de

queD2ν− j Tν ,k(A, t) = δk, j,

por lo que podemos expresar la solucion a la ecuacion diferencial como

x(t) =n−1

∑k=0

Tν ,k(A, t) xk.

Por otro lado, para llegar a la funcion trigonometrica de Caputo, partimos de

CD2ν x(t) =−A2νx(t),


con las condiciones iniciales x(k)(0) = xk con k = 0,1 . . .n− 1 y de la mismamanera, aplicando la transformada de Laplace, llegamos a que

x(t) = L −1

n−1

∑k=0

s2ν−k−1

[I +(

1s

A)2ν

]−1

xk

=

n−1

∑k=0

L −1

{1

sk+1

∞

∑j=0

(−1) j(

1s

A)2ν j

}xk

=n−1

∑k=0

∞

∑j=0

(−1) jt2ν j+k

Γ(2ν j + k +1)A2ν jxk

=n−1

∑k=0

tkE2ν ,k+1(−(tA)2ν

)xk.

Definimos la funcion

cTν ,k(A, t) = tkE2ν ,k+1(−(tA)2ν

)como la matriz trigonometrica de Caputo; y es facil comprobar que cumple laecuacion diferencial ası como las condiciones de frontera.

Como una propiedad interesante de ambas funciones trigonometricas es quecuando ν = 1/2 se llega a e−tA y cuando ν = 1 se resuelven ambas ecuacionesdiferenciales con el seno y coseno de la matriz A.

Apendice AOperador de Weyl

Las terminales de la integral juegan un papel fundamental en el calculo ge-neralizado y una de las integrales mas usuales es cuando la terminal inferior tomael valor de menos infinito, y es llamada la integral de Liouville. Como es de es-perarse es un poco mas restrictiva pues necesita ser convergente la integral, estoimplicara que solo podemos garantizar la existencia de la intergal de Liouvillesi la funcion es de orden O(t−n) cuando t → −∞. Esa puede ser una restriccionun tanto fuerte, y en algunas aplicaciones se tienen funciones que decaen rapida-mente para valores grandes de t, por lo cual se define un operador que tiene unainterpretacion similar a la integral de Riemann-Liouville, llamada la integral deWeyl. Este operador, denotado por W−ν

t f (t), lo definimos como:

W−νt f (t) =

1Γ(ν)

∫∞

t(τ− t)ν−1 f (τ)dτ.

Utilizando la notacion de la integral de Riemann-Liouville podemos expresarque

−∞D−νt f (t) =

1Γ(ν)

∫ t

−∞

(t− τ)ν−1 f (τ)dτ

=−1

Γ(ν)

∫ −t

∞

(t + s)ν−1 f (−s)ds

=1

Γ(ν)

∫∞

−t(t + s)ν−1 f (−s)ds

= W−ν−t f (−t)

58

APENDICE A. OPERADOR DE WEYL 59

por lo que el operador de Weyl es tambien una integral de Riemann-Liouville ypor lo tanto, hereda las propiedades de la integral de Riemann, es decir, es unoperador continuo en el orden, lineal y que cumple la propiedad de semigrupo yconmutatividad.

Como ejemplo de la integral de Liouville calcularemos −∞D−νt tmect con c > 0

y m = 0,1, . . .

−∞D−νt tmect =

1Γ(ν)

∫ t

−∞

(t− τ)ν−1τ

mecτ dτ

y haciendo la transformacion s = c(t− τ) llegamos a que

−∞D−νt tmect =

1cΓ(ν)

∫∞

0

( sc

)ν−1(t− s

c

)mect−sds

=ect

cνΓ(ν)

∫∞

0sν−1

(t− s

c

)me−sds

=ect

cνΓ(ν)

∫∞

0sν−1

[m

∑k=0

(mk

)(−1)ktm−k

( sc

)k]

e−sds

=ect

cνΓ(ν)

m

∑k=0

(mk

)(−1)ktm−k 1

ck

∫∞

0sν−1+ke−sds

=ect

cνΓ(ν)

m

∑k=0

(mk

)(−1)ktm−kΓ(ν + k)

ck ,

y por ejemplo, para m = 0 llegamos a que

−∞Dνt ect =

ect

cν.

Ademas, como vimos W−νt f (−t) = −∞D−ν

−t f (t) por lo que

W νt e−ct =

e−ct

cν.

En general y para evitar tener dos definiciones equivalentes, si alguna de lasdos terminales de la integral son infinitas diremos que es una integral de Weyl.

Al igual que la derivada de Riemann-Liouville por la izquierda, se define laderivada de Weyl, la cual designaremos por

W νt f (t) =

dn

dtn

[W−(n−ν)

t f (t)].


Vemos, de nuevo, que la definicion de derivada de orden fraccionario consiste enaplicar la derivada de orden entero a la integral de orden fraccionario. Al igual queen la integral de Weyl, si alguna de las dos terminales de la derivada son infinitas,diremos que es una derivada de Weyl.

Una de las propiedades particulares de la derivada de Weyl es que se puedeexpresar como una integral de la forma

W νt f (t) =

dn

dtn

[1

Γ(n−ν)

∫∞

t(τ− t)n−ν−1 f (τ)dτ

],

y haciendo un cambio variable s = τ− t, llegamos a

W νt f (t) =

dn

dtn

[1

Γ(n−ν)

∫∞

0sn−ν−1 f (s+ t)ds

]=

1Γ(n−ν)

dn

dtn

[∫∞

0sn−ν−1 f (s+ t)ds

]=

1Γ(n−ν)

∫∞

0sn−ν−1 f (n)(s+ t)ds.

De esta expresion podemos deducir que W νt f (t) = 0 si y solo si f (n)(t) = 0, o si

f es un polinomio de grado a lo mas n− 1, sin embargo, los polinomios no sonintegrables en el sentido de Weyl, por lo que concluimos que, si una funcion es deorden O(x−n) y la integral de Weyl existe, entonces es distinta de cero. Ademas,una de las caracterısticas que hace muy especial a la derivada de Weyl es quesiempre —si la funcion es derivable en el sentido de Weyl— que

W νt[W µ

t f (t)]= W ν+µ

t f (t)

para cualesquiera ν y µ sin importar su signo.Demostrar esta propiedad si ν y µ son negativos lo hemos probado como la

propiedad de semigrupo de las integrales de orden fraccionario. Si ν y µ sonambos positivos se cumple pues

lımt→∞

f (k)(t) = 0

para k = 0,1 . . .n para que la integral de Weyl exista. Por otro lado, si tenemos

W νt

[W−µ

t f (t)]

=dn

dtnW−(n−ν)t

[W−µ

t f (t)]

=dn

dtnW−(n−ν+µ)t f (t)


pues esa propiedad se cumple para la integral de orden fraccionario.Nos hace falta probar que

W−νt[W µ

t f (t)]= W−ν+µ

t f (t),

para ello expresamos

W−νt[W µ

t f (t)]= W−ν

t

[dm

dtmW−(m−µ)t f (t)

]y observamos que la propiedad que buscamos es

W−νt g(m)(t) =

dm

dtm

[W−ν

t g(t)].

Para demostrarla, vemos que

W−νt g(m)(t) =

1Γ(ν)

∫ t

−∞

(t− τ)ν−1g(m)(τ)dτ

=(t− τ)ν−1g(m−1)(τ)

Γ(ν)

∣∣∣∣∣τ=t

−∞

+(ν−1)Γ(ν)

∫ t

−∞

(t− τ)ν−2g(m−1)(τ)dτ

=1

Γ(ν−1)

∫ t

−∞

(t− τ)ν−2g(m−1)(τ)dτ

= W−ν+1t g(m−1)(t).

Obtenemos una formula que recursivamente reduce el grado de la derivada.Dependiendo de ν y m se puede llegar a dos casos: hacer m veces el paso anteriory llegar a la propiedad deseada o hacer n veces el paso anterior y que se llegue a

W−ν+nt g(m−n)(t)

y usar la propiedad para derivadas. Concluimos que el operador de Weyl cumpleque

W νt[W µ

t f (t)]= W ν+µ

t f (t)

para cualesquiera ν y µ . Un detalle interesante que obtenemos gracias a estapropiedad es que la derivada de Weyl se puede definir como una derivada por laderecha (como la derivada de Caputo) y el resultado serıa el mismo. Concluimosentonces que la derivada de Caputo y Riemann coinciden si alguna de las termi-nales es infinito.


Si como ultimo ejemplo buscamos calcular −∞Dνt tmect , con c > 0 y m =

0,1, . . . es

−∞Dνt tmect =

dn

dtn

[−∞D−(n−ν)

t tmect],

y como vimos anteriormente,

−∞D−µ

t tmect =m

∑k=0

(mk

)(−1)kΓ(µ + k)tm−kect

cµ+kΓ(µ)

entonces

−∞Dνt tmect =

dn

dtn

[m

∑k=0

(mk

)(−1)kΓ(n−ν + k)tm−kect

cn−ν+kΓ(n−ν)

]

=m

∑k=0

(mk

)(−1)kΓ(n−ν + k)

cn−ν+kΓ(n−ν)dn

dtn

[tm−kect

]=

m

∑k=0

(mk

)(−1)kΓ(n−ν + k)

cn−ν+kΓ(n−ν)

[n

∑j=0

(nj

)(m− k)!

(m− k− j)!tm−k− jcn− ject

]

= ectm

∑k=0

n

∑j=0

(mk

)(nj

)(−1)kΓ(n−ν + k)(m− k)!tm−k− jcn− j

cn−ν+kΓ(n−ν)(m− k− j)!

= ectm

∑u=0

tm−ucν−uu

∑k=0

(−1)km!(m− k)!n!Γ(n−ν + k)k!(n−u+ k)!(u− k)!(m−u)!Γ(n−ν)

.

Si definimos

A(u,m,ν) =u

∑k=0

(−1)km!(m− k)!n!Γ(n−ν + k)k!(n−u+ k)!(u− k)!(m−u)!Γ(n−ν)

,

donde n = dνe, podemos escribir la derivada como

−∞D−µ

t tmect = tmcνectm

∑u=0

(ct)−uA(u,m,ν).

Escribir la solucion de esta manera nos permite ver que, para m = 0 obtenemosque

−∞D−µ

t ect = cνectA(0,0,ν)

= cνect n!Γ(n−ν)n!Γ(n−ν)

= cνect ,


una idea mas acorde al calculo de orden entero. De hecho, es justamente por lasterminales de la derivada que en nuestro primer acercamiento a la derivada deorden fraccionario, concluimos que

Dν ect = cνect

y cuando lo hicimos a traves de su serie de potencias llegamos a que

Dν ect =1tν

E1,1−ν(cx)

porque la primera tiene terminales (−∞, t) y la segunda tiene terminales (0, t).Usando esa derivada, y aplicandola a numeros complejos, vemos que

−∞Dνt e(iµ)t = −∞Dν

t [cos(µt)+ isen(µt)]

= (iµ)νeiµt

en donde, ademas, podemos ver que al aplicar el logaritmo complejo en amboslados

(iµ)ν = eν(log(µ)+i( π

2 ))

= µν

[cos(

νπ

2

)+ isen

(νπ

2

)]= µ

νeiνπ

2 .

Ası, llegamos a que

−∞Dνt [cos(µt)+ isen(µt)] =

(µ

νeiνπ

2

)eiµt

= µνei(µt+ νπ

2 ).

Aplicando la misma idea a la funcion e−iµt , llegamos a que

−∞Dνt [cos(µt)− isen(µt)] = µ

νe−i(µt+ νπ

2 ).

Llegamos con estas dos formulas a un sistema de ecuaciones, el cual al re-solverlo llegamos a que

−∞Dνt cos(µt) = µ

ν 12

[ei(µt+ νπ

2 ) + e−i(µt+ νπ

2 )]

= µν cos(µt +

νπ

2),

y por otro lado

−∞Dνt sen(µt) = µ

ν 12i

[ei(µt+ νπ

2 )− e−i(µt+ νπ

2 )]

= µν sen(µt +

νπ

2).

Apendice BOtras propiedades de las ecuacionesdiferenciales fraccionarias

Una pregunta que resulta natural cuando se habla de las derivadas fracciona-rias es cuando las dos diferentes definiciones de derivada (Riemann-Liouville yCaputo) coinciden para una funcion derivable en ambos sentidos.

La pregunta se puede expresar como la ecuacion diferencial

0Dνt f (t) = C

0 Dνt f (t).

Al aplicar la transformada de Laplace en ambos lados, llegamos a que

sν f (s)−n−1

∑k=0

sk0Dν−k−1

t f (t)∣∣∣t=0

= sν f (s)−n−1

∑j=0

sν− j−1 f ( j)(0)

por lo quen−1

∑k=0

sk0Dν−k−1

t f (t)∣∣∣t=0

=n−1

∑j=0

sν− j−1 f ( j)(0).

Vemos que si ν es un numero entero entonces al reindexar ambos lados com-probamos que ambas definiciones coinciden; por otro lado, si estamos haciendouna derivada fraccionaria, vemos que del lado izquiero un polinomio en s de ex-ponentes enteros y del lado derecho potencias fraccionarias, de donde son igualessolo si los coeficientes de todos los terminos son cero.

Concluimos entonces que

0Dνt f (t) = C

0 Dνt f (t)

64

APENDICE B. OTRAS PROPIEDADES 65

solo si f (k)(0) = 0 y 0Dν−k−1t f (t)

∣∣t=0 = 0 con k = 0,1 . . .n−1, es decir, potencias

pequenas son las que causan la diferencia entre las dos derivadas.Ejemplos de funciones de esta clase son funciones analıticas de la forma

f (t) =∞

∑k=n

αk tk

o funciones definidas como una serie fraccionaria de la forma

f (t) = tν+1∞

∑k=0

αk tk.

B.1. Existencia y unicidadAl trabajar con ecuaciones diferenciales (ya sean enteras o fraccionarias) un

punto crıtico es poder establecer si esa ecuacion tiene solucion (y entonces aplicaralgun metodo para resolverlas) y si es unica. Demostraremos que una ecuaciondiferencial de orden ν , con n−1 < ν ≤ n y con con algunas estructuras tambientiene una unica solucion, gracias al siguiente teorema

Si f (t) es integrable y es tal que∫ T

0| f (t)|dt < ∞,

entonces la ecuacion diferencial

0Dνt y(t) = f (t)

junto con las condiciones iniciales[

0Dν−kt f (t)

]t=0 = fk, con k = 1 . . .n, tiene una

solucion unica en Cn [0,T ].Para lograr la demostracion, suponemos que f (t) = 0 para t > T , por lo que

podemos calcular la transformada de Laplace de la funcion f .Al calcular la transformada de la ecuacion diferencial, suponiendo que la solu-

cion existe, llegamos a que

L {0Dνt y(t)}= L { f (t)}

sνY (s)−n−1

∑k=0

sk[

0Dν−k−1t y(x)

]= f (s)


de donde, al despejar, llegamos a

y(t) = L −1

{f (s)+∑

n−1k=0 fksk

sν

}

= L −1{

f (s)sν

}+

n−1

∑k=0

fkL−1{

1sν−k

}= f (t)∗ tν−1

Γ(ν)+

n−1

∑k=0

fktν−k−1

Γ(ν− k).

Podemos dividir la solucion encontrada en dos partes:

yP(t) = f (t)∗ tν−1

Γ(ν),

yH(t) =n−1

∑k=0

fktν−k−1

Γ(ν− k).

Vemos que la funcion yH(t) esta en el kernel de 0Dνt y que cumple todas las

condiciones iniciales fk, mientras que la parte

yP(t) =1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1 f (τ)dτ = 0D−ν

t f (t)

cumple condiciones iniciales igual a cero y la ecuacion diferencial

0Dνt yH(t) = 0Dν

t(

0D−νt f (t)

)= f (t),

por lo que la suma de ambas es una solucion a la ecuacion diferencial.Para ver si la solucion es unica, consideremos que existe otra funcion y2(t)

que tambien sea solucion, entonces al restarlas obtendrıamos una funcion z(t) =y(t)− y2(t), que cumple la ecuacion diferencial homogenea y con condicionesiniciales

0Dν−kt z(t)

∣∣∣t=0

= 0.

Utilizando la transformada de Laplace, llegamos a que

sν Z(s) = 0,

de donde z(t) = 0 casi donde sea, por lo que la solucion, dentro de Cn [0,T ], esunica.


B.1.1. Existencia y unicidad de la funcion fraccionariaSi partimos del problema con valor inicial

Dν x(t) = aνx(t)

y con las condiciones iniciales

Dν−k−1 x(t)|t=0 = xk, k = 0,1, . . . ,n−1.

vimos que una solucion es

x(t) =n−1

∑k=0

xk Ea,tν ,k .

Hasta el momento no podemos garantizar si la solucion es unica, pero si vemosque ∫ T

0

n−1

∑k=0

xk Ea,tν ,k dt < ∞,

para alguna T > 0 y aplicando el teorema de existencia y unicidad a la ecuaciondiferencial

0Dνt x(t) =

n−1

∑k=0

xk Ea,tν ,k

con las condiciones iniciales determinadas, entonces podemos concluir que lasolucion existe (lo cual ya lo habıamos comprobado) y es unica en Cn [0,T ].

Apendice CFunciones Especiales

Funcion gamma Γ

Se define la funcion como sigue:

Γ(z) =∫

∞

0tz−1e−t dt

y cumple con las siguientes propiedades:

1)Γ(1) = 1

2)Γ(z+1) = zΓ(z)

3) Si z es un numero natural, entonces

Γ(z+1) = z!

4) Si z no es un numero entero, entonces

Γ(z)Γ(1− z) =π

senπz

Funcion beta B

Se define la funcion B(a,b) con a y b >−1 como sigue:

B(a,b) =∫ 1

0ta−1(1− t)b−1 dt

68

APENDICE C. FUNCIONES ESPECIALES 69

y cumple con las siguientes propiedades:

1)B(a,b) = B(b,a)

2)

B(a,b) =Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)

Funcion Mittag-LefflerSe define la funcion como sigue:

Eα(z) =∞

∑k=0

zk

Γ(αk +1)

y cumple que:

E1(cz) = ecz

Funcion Mittag-Leffler de dos parametrosSe define la funcion de la siguiente manera:

Eα,β (z) =∞

∑k=0

zk

Γ(αk +β )

y cumple que:

1)Eα,1(z) = Eα(z)

2) si m es un numero natural, entonces

E1,m(z) =1

zm−1

(ez−

m−2

∑j=0

z j

j!

)

Funcion error complementarioSe define la funcion como sigue:

erfc(z) =2√π

∫∞

ze−t2

dt.

Apendice DTabla de derivadas fraccionarias

Algunas derivadas fraccionarias de funciones sobresalientes, dependiendo delas terminales de integracion:

f (t) 0Dνt f (t) C

0 Dνt f (t)

1 t−ν

Γ(1−ν) 0

tn n!tn−ν

Γ(n−ν+1)

0 si ν > n

n!tn−ν

Γ(n−ν+1) en otro caso.

tα Γ(α+1)tα−ν

Γ(α−ν+1)Γ(α+1)tα−ν+1

Γ(α−ν+1)

eat t−νE1,1−ν(at) antn−νE1,n−ν+1(at)

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Bibliografıa

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[5] K. S. Miller y B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Frac-tional Differential Equations, Wiley, 1993.

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el cc3a1lculo generalizado y las funciones fraccionarias rafael prieto curiel

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