guia de cc3a1lculo ii

Guia de Clculo II Pg.

Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Gudez

1

UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE INGENIERIA

CIUDAD OJEDA - ZULIA

Guia de Clculo II

EL CLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR

b

a (Disciplina + Esfuerzo + Consagracin)dv = Profesionales Altamente Capacitados



2 CONTENIDO

Antiderivada .................................................................................................................5 Tabla de Integrales........................................................................................................5 Tabla de Derivadas ........................................................................................................6 Tabla de Identidades Trigonomtricas ..............................................................................6 Integrales Inmediatas ....................................................................................................7

Ejemplos Ilustrativos............................................................................................7 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................9

Tcnicas De Integracin ...............................................................................................10 Integracin por Sustitucin Elemental o Cambio de Variable ..............................................10

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................16 Integracin por partes..................................................................................................17

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................22 Integracin de Potencias del Seno y el Coseno.................................................................23

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................29 Integracin de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.........................30

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................37 Integracin Por Sustitucin Trigonomtrica .....................................................................38

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................41 Integrales que contienen ax2+bx+c (Completacin de Cuadrados)......................................42

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................42 Integracin De Funciones Racionales (Casos I Y II) ..........................................................44

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................44 Integracin De Funciones Racionales (Casos III y IV) .......................................................46

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................46 Integral Definida .........................................................................................................48

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................49 Longitud de Arco de una Curva Plana .............................................................................50

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................50 rea bajo una curva.....................................................................................................53 rea entre dos curvas ..................................................................................................53

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................54



3

Por qu la resolucin de problemas?

El hombre en su quehacer prctico dentro de la sociedad es un solucionador de

problemas lo cual lo ubica por encima de los animales ms inteligentes del mundo entero y

dentro de su entorno se hace ms importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener o

acumular y manejar una simple informacin. El lenguaje matemtico se universaliza cada vez

mas, hacindose ms preciso y exacto, y menos propenso a ambigedades por esto el estudio

de la Matemtica nos debe llevar por el camino de la inteligencia y autorrealizacin hacia un

mundo cada vez mas humano y perfecto.

La presente gua constituye un recurso didctico para ser utilizado en el aprendizaje del

Clculo II, aqu se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como

fundamentales en todo el curso de esta ctedra.

Mi motivacin principal al realizar esta gua es ofrecer al estudiante, que cursa su nivel

universitario; una compilacin de ejercicios que conforman el background para las asignaturas

Clculo I, II, III y IV as como tambin para las todas asignaturas del rea numrica. La misma

es producto de la recopilacin de ejercicios interesantes a travs de la investigacin e

integracin de textos de diversos autores y sobre todo del m propio intelecto.

Los propsitos de la esta gua se centran en:

Propiciar la independencia intelectual del educando a travs de la resolucin de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a autorregular

y controlar sus pensamientos y acciones.

Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisicin de conocimientos, habilidades, actitudes y valores relativos al rea intelectual, cientfica, tecnolgica y

humanstica.

Promover en el educando el desarrollo de la investigacin, la creatividad, el auto aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la formacin

de valores favorables para el desempeo como estudiante, futuro profesional y

generacin de relevo en una sociedad democrtica y en un mundo cada vez mas

globalizado.

Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivacin que estimulen el aprendizaje efectivo de la Matemtica.

Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta gua te

aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada grupo.



4 Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquizacin en

su nivel de dificultad de resolucin de los ms sencillos y significativo a lo ms complejo e

interesante.

La realizacin ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva al

afianzamiento de los hbitos de estudio no solo en Matemtica sino tambin en todas las

asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y variada

cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados por

objetivos y/o contenidos.

Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta gua ayudara de forma

determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los contenidos

matemticos fundamentales.

Someto esta versin de la gua al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de

realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a

travs de sus criticas constructivas y poder as mejorarla para que pueda llevar por el camino

de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente.

Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades de

la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y a los

estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a

engrandecer nuestro pas al aportar mi humilde trabajo formando la generacin de relevo que

enaltecer nuestra cultura e idiosincrasia.

Pedro R. Gudez L

Prof. de Matemtica



5 Antiderivada Definicin: Antiderivada Una funcin F(x) se llama antiderivada de una funcin f(x), en un intervalo I, si F(x) = f(x), valor de x en el intervalo I Ejm. F(x) = 4x3 + x2 + 5 f(x) = 12x2 + 2x G(x) = 4x3 + x2 - 8 g(x) = 12x2 + 2x A(x) = 4x3 + x2 + C h(x) = 12x2 + 2x Teorema: Si F y G son dos funciones tales que f(x) = g(x) x I entonces C tq F(X) = G(X) + C x I Definicin: Antidiferenciacin es el procedimiento por medio del cual se determinan todas las antiderivadas de una funcin dada. El smbolo denota la operacin de antidiferenciacin y se escribe:

C)x(Fdx )x(F += Dos propiedades bsicas de la antidiferenciacin.

1.- dx )x(fadx )x(af = 2.- [ ] dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)f n21n21 +++=+++ Tabla de Integrales

1. = vduuvdvu ; Integracin por Partes 2. C)u(Tandu)u(Sec2 += 3. Cudu += 4. C)u(Cotdu)u(Csc2 += 5. Ckukdu += Donde k es una constante 6. C)u(Secdu)u(Tan)u(Sec += 7. C

1nu

duu1n

n ++=+ ; para n -1 8. C)u(Cscdu)u(Cot)u(Csc +=

9. CuLnudu += 10. Cau auLna21au du 22 ++= ; ( u2 > a2 )

11. Cedue uu += 11. Cau auLna21ua du 22 ++= ; ( a2 > u2 ) 13. C

aLna

duau

u += ; donde a>0 y a 1 14. CauarcSenuadu

22+

=

; donde a>0 15. C)u(Cosdu)u(Sen += 16. CauarcSeca1auu

du22

+

= ; donde a>0

17. C)u(Sendu)u(Cos += 18. CauarcTana1ua du 22 +=+ 19. C)u(SecLndu)u(Tan += 20. CauuLnau

du 2222

++=



6

21. C)u(SenLndu)u(Cot += 22. Cu)u(Tandu)u(Tan2 += 23. C)u(Tan)u(SecLndu)u(Sec ++= 24. ( ) Cu)u(Cotdu)u(Cot2 ++= 25. C)u(Cot)u(CscLndu)u(Csc += 26. C

au

arcSen2a

ua2u

duua2

2222 +

+= 27. CauuLn

2a

au2u

duau 222

2222 ++= Tabla de Derivadas

1. uDnu)u(D x1nn

x= 2. uD u Cos )u Sen(D xx = 3. 2

xx

u1

uD )u arcSen(D

=

4. vDuD)vu(D xxx +=+ 5. uD u Sen- )u Cos(D xx = 6. 2x

xu1

uD - )u arcCos(D

=

7. uvDvuD)uv(D xxx += 8. uD uSec )u Tan(D x2x = 9. 2xx u1uD

)u arcTan(D +=

10. 2xx

xv

vuDuvD)

vu

(D= 11. uD uCsc )u Cot(D x2x = 12. 2xx u1

uD- )u arcCot(D +=

13. uDe)e(D xuu

x = 14. uD Cot u Csc )u Csc(D xx = 15. 1uuuD

)u arcSec(D2

xx

=

16. uD Ln(a) a)(aD xuu

x = 17. uD u Tanu Sec )u Sec(D xx = 18. 1uuuD -

)u arcCsc(D2

xx

=

19. uuD

Ln(u)D xx =

Tabla de Identidades Trigonomtricas

1. 1)x(Sen)x(Cos 22 =+ 2. )x(Sen)x(Cos)x2(Cos 22 = 3. )x(Tan1)x(Sec 22 += 4. (x) Cos)x(Cos )x(Sen)x(Sen == 5. )x(Cot1)x(Csc 22 += 6. (x) Cot)x(Cot )x(Tan)x(Tan == 7. 1)x(Csc)x(Sen = 8. (x) Csc)x(Csc )x(Sec)x(Sec ==

9. 1)x(Sec)x(Cos = 10. coh

)(Csc hco

)(Sen ==

11. 1)x(Cot)x(Tan = 12. cah

)(Sec hca

)(Cos ==

13. )x(Cos)x(Sen

)x(Tan = 14. coca

)(Cot caco

)(Tan ==

h = Hipotenusa co = Cateto Opuesto ca = Cateto Adyacente

h co

ca



7

15. )x(Sen)x(Cos

)x(Cot = 16. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos21

nx Sen mx Sen +=

17. [ ])x2(Cos121

)x(Sen2 = 18. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos21nx Cos mx Cos ++=

19. [ ])x2(Cos121

)x(Cos2 += 20. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21

nx Cos mx Sen ++=

21. )x(Cos)x(Sen2)x2(Sen = 22. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21

nx Sen mx Cos += Integrales Inmediatas Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular dxx3 4 dxx3 4

Cx53

C14

x3

dxx3

5

14

4

+=

++=

=+

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular dxx13 dxx13

Cx2

1

C2

x

C13

x

dxx

2

2

13

3

+=

+=

++=

=

+

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular dxx x22 3 23 dxx x22 3 23

23 3

113

22 x x dx

22 x dx

= =

111

3

143

22 xC

111

3

22 xC

143

+= ++

= +



8 14

3

143

66x C

1433

x C7

= +

= +

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula + dx)x8x32(x2 322 + dx)x8x32(x2 322

Cx38

x56

x34

Cx6

16x

56

x34

C15

x1614

x612

x4

dxx16dxx6dxx4

dx)x16x6x4(

653

653

151412

542

542

++=

++=

+++

++=

+=+=

+++

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula dy y

)1y2y( 24 + dy

y

)1y2y( 24 +

Cy25y4

9y2

C1y2

5y22

9y2

C

21

y

25y2

29

y

C1

21

y

123y2

127y

dyydyy2dyy

dyyy2y

dyyy2y

dyy

1

y

y2

y

y

212

52

9

21

25

29

21

25

29

121

123

127

21

23

27

21

23

27

212/122/14

21

21

2

21

4

++=

++=

++=

++

+

++

=

+=

+=

+=

+=

+++

Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula 3Sen(t) - 2Cos(t) dt [ ] dt 2Cos(t) - 3Sen(t)

C)t(sen2)tcos(3

dt Cos(t)2 - Sen(t)dt3

+==



9 Ejemplo Ilustrativo 7 Calcula [ ] + d)(Sec2)(Cot )( Csc 2 [ ] + d)(Sec2)(Cot )( Csc 2 )(Tan2)( Csc

d)(Sec2d)(Cot )( Csc 2

+=+=

Ejemplo Ilustrativo 8 Calcula + dx)x(Cot 3(x) Cot3 + dx)x(Cot 3(x) Cot3 [ ]

( )( ))x(sen)xsec(Ln3

)x(senLn)xsec(Ln3

C)x(senLn3)xsec(Ln3

dx)x(Cot3dx)x(Tan3

dx)x(Cot 3)x(Tan3

=+=

++=+=

+=

Ejemplo Ilustrativo 9 Calcula + x x2

32 e 4 dx

Cos (x)

+ x x23

2 e 4 dxCos (x)

( )= += +

= + +

2 x x

2 x x

xx

3Sec (x) 2 e 4 dx

3 Sec (x)dx 2 e dx 4 dx

43Tan(x) 2e C

Ln4

EJERCICIOS PROPUESTOS

Integral Respuesta Integral Respuesta

1. dxx3 2 Cx3 + 2. + dx3x5x 23

Cx3x3

10x

52 2325 ++

3. dxX13 Cx21 2 + 4. dy7y C7Ln7y

+

5. 3 xdx Cx23 32 + 6. ( )dy 3y2y 23 Cy43y31 46 ++ 7. dxx3 32 Cx59 35 + 8. ( )( ) d)(Tan3Cot2 C)(Cos)(SenLn 32 + 9. xdx Cx2 + 10. )x(Sendx2 C)x(Cot +

11.

dyy3y5 412 Cy4y

35 433 + 12. )u(Cosdu C)u(Tan)u(SecLn ++

13. dxX x2x42

Cx4x2 2 + 14. )t(Cos dt)t(Sen C)t(SecLn + 15. dxax C3axx2 + 16. ( ) dx1x2x 2 + C4812xx34x

234 +++



10

17.

dx

X

22x

2

2

CX2

6x3 ++ 18. + dxX 5x6x

3

CxLn5x63x3 ++

19. tdt CtLn + 20. d)(Cos)(Sec3 C)(Tan + 21. dyey Cey + 22. ++ dx5X3x2 23 Cx5x3x12 ++ 23. dxx3 4 Cx53 5 + 24. ( )dt tt23 2 + Ct31tt3 32 ++ 25. duu5 23 Cu2 25 + 26. ( )dx1xx + Cx32x52 2325 ++ 27. dxx10

3 2 Cx6 35 + 28. duuu 23

Cu21

u52 225 +

29. dxxx6 32 Cx59 310 + 30. dxx1x 33

+ Cx

23

x43 3234 ++

31. dx e e6 x23 x2 Cex + 32. ( )dx xx4 23 + Cx31x 34 ++

33. ( )dx 5x4x6x4 23 + Cx5x2x2x 234 ++ 34. + dxx 4x4x

2

Cx8x38

x52 212325 ++

35. ( ) ( )[ ]dttCos2t Sen3 C)t(Sen2)t(Cos3 + 36. ( )( ) d)(Tan3Cot2 22 C)(Tan3)(Cot2 ++ 37. ( ) ( )( )dt)t(TantSec5tCsc3 2 ( ) C)t(Sec5)t(Cot3 ++ Tcnicas De Integracin. Integracin por Sustitucin Elemental o Cambio de Variable Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular dyy413 dyy413 ( ) dyy41 31 = (A)

Cambio de variable

Sea 1-4y=u -4dy = du 4

dudy =

Sustituyendo u y dy en (A) tenemos 13

13

duu

41

u du4

= =



11 43

43

1 uC

443

3u C

16

= +

= +

Volviendo a la variable original y Quitando el cambio de variable

( )( ) Cy41

163

Cy41163

3 4

34

+=

+=

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular dx 1) - (x x 1032 dx 1) - (x x 1032 = dxx1) - (x 2103 (1)

Cambio de variable

Sea 1 -x3 = v 3x2dx = dv 3dv

dxx2 = Sustituyendo v y dv en (1) se tiene

C11v

3dv

v

11

10

+=

=

Quitando el cambio de variable

C11

)1x(

C11v

113

11

+=

+=

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular + ds13ss2

+ ds13ss2

( ) += 212 13ssds

Haciendo 3s2+1 = x 6dx

sdsdxsds6 ==

12

12

dx6

x1 dx6 x

=

=



12 12

11

2

1x dx

6

1 xC

16 12

+

=

= + +

12

12

1 xC

162

1x C

3

= +

= +

Volviendo a la variable original

( )C13s

31

C 13s31

2

21

2

++=

++=

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular d)(4 Cos

d)(4 Cos = d)Cos(4 Hacemos 4 =t

4dt

ddtd4 ==

C )t(Sen41

dt)Cos(t41

4dt

)Cos(t

+=

=

=

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular + dxCos(x)) (1 (x) 4Sen 2 + dxCos(x)) (1 (x) 4Sen 2 += 2Cos(x)) (1 dx (x) Sen4

Hacemos 1+Cos(x) = u Sen(x) dx = du

CCos(x) 1

4

Cu4

C1

u4

duu4

u

du4

1

2

2

++=

+=

+=

=

=



13 Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular + dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2 Desarrollando el producto notable 2(2x)) Cot 2x) (Tan( + se tiene

2(2x)) Cot 2x) (Tan( +

(2x)Csc(2x)Sec

22-(2x)Csc(2x)Sec

1-(2x)Csc21-(2x)Sec

(2x)Cot 12 (2x)Tan

(2x)Cot Cot(2x) 2Tan(2x) (2x)Tan

22

22

22

22

22

+=++=

++=++=

++=

Asi la integral original se transforma en

+ dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2 += dx (2x)) Csc 2x) ((Sec 22 Si cambiamos 2x por se tiene 2x =

2d

dxddx2 ==

+= 2d ))( Csc )((Sec 22 [ ]

( ) C)(Cot)(Tan21

d ))( Csc )d((Sec21 22

+=

+=

Quitando el cambio se tiene finalmente

( ) C)x2(Cot)x2(Tan21 +

Ejemplo Ilustrativo 7 Calcular xxe -Sen(x) dxe +Cos(x) Cambio de variable: Sea ( )x xe +Cos(x) = r e -Sen(x) dx = dr que al sustituir en la integral original se obtiene: xxe -Sen(x) dxe +Cos(x) = = + = + x

drLn r C Ln e +Cos(x) C

r

Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular 22x Ln(x +1) dxx +1

Cambio de variable:

Sea = =22 2

2x x dvLn(x +1) = v dx dv dx

2x +1 x +1 sustituyendo en la integral

original se obtiene: 22x Ln(x +1) dxx +1

22

xLn(x +1) dx

x +1dv

v2

=

=



14

2

1v dv

21 v

C2 2

=

= +

( )221 x +1 C4

= +

Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular arcSen(x)2e +x dx1-x La integral original se puede expresar como sigue:

arcSen(x)2e +x dx1-x

= = +

arcSen(x)

2 2

arcSen(x)

2 2

I1 I2

e x+ dx

1-x 1-x

e xdx dx

1-x 1-x

Resolviendo esta dos integrales por separado se obtiene:

= arcSen(x)2eI1 dx1-x para I1 el cambio de variable ser: = =

2dx

arcSen(x) u du1 x

, por lo cual

=

=

= = += +

arcSen(x)

2

arcSen(x)

2

u

u1

arcSen(x)1

eI1 dx

1-xdx

I1 e1-x

I1 e du

I1 e C

I1 e C

= 2xI2 dx1-x para I2 el cambio de variable ser: = =

2 dv1-x v -2xdx dv xdx=2

, asi tenemos que

2

2

xI2 dx

1-x1

I2 xdx1-x

=

=

12

1 dvI2

2v1 1

I2 dv2 v

= =



15 -1

21I2 v dv2

1I2

2

= =

12v

1

2

2C+

12

2

2

22

I2 v C

I2 v C

I2 1-x C

= += += +

La integral original es la suma de I1 e I2:

= + arcSen(x)2e +x dx I1 I21-x

= + += + += +

arcSen(x) 21 2

arcSen(x) 21 2

arcSen(x) 2

e C 1-x C

e 1-x C C

e 1-x C

Ejemplo Ilustrativo 9 Calcular ( )123 2x 2 x dx La integral original se puede expresar como sigue:

( )123 2x 2 x dx

( )122 2x 2 x xdx= Haciendo el cambio de variable:

( )( )

( )

2

2 2

12

12 13

1312

13 14

13

12-x =u -2xdx=du xdx=- du

2

Como 2-x =u x =2-u

que al sustituir en la integral original se obtiene:1

2 u u du21

2u u du21

2 u du u du21 2 1

u u C2 13 14

1 1u 28 13u C

2 1821

364

=

= = = +

= +

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

132 2

132 2

132 2

2-x 28 13(2-x ) C

12-x 28 26 13x C

3641

2-x 2 13x C364

+

= + +

= + +



16 EJERCICIOS PROPUESTOS


1. dyy41 ( ) Cy4161 23 + 2. + dxe3 e x2x2

Ce3Ln21 x2 ++

3. dxx263 ( ) Cx2683 34 + 4.

+3 2

43

1

r

dr2r

C2r53

53

1 +

+

5. dx9xx 2 ( ) C9x31 232 + 6. dxx)31Sen( C3x3Cos- + 7. dxx4x3 2 ( ) Cx4 232 + 8. dx)Sen(x6x 32 C)(x2Cos- 3 + 9. ( ) + dx1x2x 62 ( )72 1x2281 + 10. dt)tCos(4t21 2 ( ) Ct4Sen161 2 +

11. ( ) + 32 1xxdx ( ) C1x4 1 22 ++ 12. dr)(rSecr 322 ( ) CrTan31 3 + 13. ( ) dxx49x5 3 22 ( ) Cx4983 352 + 14. d)(2Csc2 C)Cot(221- + 15. ( ) + dx4x4x 342 ( ) C2x113 311 + 16. dx)x2(Cos2Sen(2x) [ ] C)x2(Cos231 23 + 17. dx5x3x 54 ( ) C5x3452 35 + 18. dx)x(Cose )x(Sen Ce )x(Sen + 19. ( ) 54

3

y21

dyy ( )44y2132 1 20. ( ) ( ) dy3y Cot 3y yCsc 22 ( ) C3y Csc61- 2 +

21. 4x1xdx2 C)x(arcSen 2 + 22. ( ) + dxSen(x)2 Cos(x) 5 [ ] C)x(Sen261 6 ++ 23. dx4x33 ( ) C4x341 34 + 24. )x(Tan9)x(Cos dx 22 C3 )x(TanarcSen + 25.

2x

dxx31

1 + Cx3112 23

+

+ 26. + 2))x(Cos1( dx )x(Sen4 C)x(Cos1 4 ++ 27.

( )( ) ++ + 3232

1x2x

dxx8x6 ( ) C1x2x 1 223 +++ 28. dxx1 x1Cos + + Cx1sen2 ++

29. ( ) + dxx3x 5413 ( ) ( ) C12x53x1354 3453 ++ 30. ( ) 7r1 rdr2 ( )( ) Cr11r6156 6 + 31.

( )( ) + 32y3 dy3y ( )( ) Cy321y43 31 ++

32. + 3ttdt ( )( ) C3t6t32 21 ++



17

33. dxxx23 2 ( )( ) Cx236x6x5351 232 +++ 34. ( ) dxx2x 1223 ( )( ) Cx22x133641 1322 ++ Integracin por partes. Entre las aplicaciones mas importantes del mtodo de integracin por parte se encuentra la integracin de :

a) Diferenciales que contienen productos. b) Diferenciales que contienen logaritmos c) Diferenciales que contienen Funciones Trigonomtricas Inversas

Si u y v son funciones de la misma variable independiente se tiene que udv = uv - vdu la cual es llamada frmula de integracin por partes. Esta frmula expresa la udv en trminos de otra integral vdu la cual es mas fcil de evaluar. Para evaluar cualquier integral por este mtodo se debe elegir un cambio para u y dv, por lo general es recomendable que el dv sea el factor ms complicado del integando. Otra recomendacin es la siguiente regla para la eleccin de u L = Logartmica. I = Trigonomtrica Inversa A = Algebraica T = Trigonomtrica Directa E = Exponencial Ejemplos Ilustrativos:

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2

ln xdx

x

Tomando en cuenta la regla (L)IATE se hace u Ln(x)

dxdu

x

==

2

2

2

1

dxdv

xdx

dvx

dv x dx

v x1

vx

=

==

= =

Sustituyendo en la frmula de integracin por partes se tiene:

2

ln xdx

x 2

1 1 dxLn(x)

x x xLn(x) dx

observe que esta integral se resolvio al iniciox x

Ln(x) 1C

x x1

1 Ln(x) Cx

= = += + +

= +



18

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular dx Senx x

Tomando en cuenta la regla LI(A)TE se hace

dxduxu=

=

)x(Cosv

dx)x(Sendv

dx)x(Sendv

==

=

Sustituyendo en la formula de integracin por partes se tiene:

dx Senx x C)x(Sen)x(Cos

dx)x(Cos)x(Cos

duvvu

++==

=

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular dx Cosx ex

Siguiendo la regla LIA(T)E para seleccionar el cambio para u se tiene que la primera prioridad es Trigonomtrica por lo que:

dx)x(Sendu)x(Cosu

==

x

x

x

ev

dxedv

dxedv

==

=


xe C os(x) dx

)A(dx)x(Sene)x(Cose

dx)x(Sene)x(Cose

duvvu

xx

xx

+==

=

Para resolver la integral dx)x(Senex usamos tambin la tcnica de integracin por partes, para lo cual aplicamos la regla LIA(T)E

dx)x(Cosud

)x(Senu

==

x

x

x

ev

dxevd

dxevd

==

=

Por lo cual

)B(dx)x(Cose)x(Senedx Sen(x) e

udvvudx Sen(x) e

xxx

x

==

Sustituyendo la expresin (B) en la expresin (A)se tiene: x x x x

x x x x

e C os(x) dx e Cos(x) e Sen(x) e Cos(x)dx

e C os(x) dx e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)

= + + = +



19 x x x

x x12

2 e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)

e Cos(x)dx e Cos(x) Sen(x) C

= + = + +

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular dxx-1

x2

3

dxx-1

x2

3

Observe que:

= dxx-1

xx2

2

Utilizando la regla LI(A)TE para seleccionar el cambio tiene que la primera prioridad es Algebraica por lo que:

xdx2duxu 2

==

=

=

)A(

2

2

x1

xdxdv

x1

xdxdv

Para resolver la integral (A) se hace el cambio de variable

xdx2

dtdtxdx2tx1 2 ===

Por lo que:

2212

1

21

2x1tt

21

t21

dtt21

t2

dt

x1

xdx ======

Lo cual se simplifica en:

22

x1x1

xdx =

Asi la expresin (A) quedara como: 2x1v = Quedando la integral original al aplicar la formula de integracin por partes como sigue:

dxx-1

x2

3

)B(

222

222

xdx2x1x1x

xdx2x1x1x

duvvu

+==

=

La integral (B) ser resuelta en forma anloga a la integral (A) por un cambio de variable siendo w=1-x2 dw=-2xdx as

( )3223223212 x132

)x1(32

w32

dwwdwwxdx2x1 ===== Volviendo a la expresin (B) se tiene:

dxx-1

x2

3

2 2 2

u v v du

x 1 x 1 x 2xdx

= =



20 2 2 2

(B)

x 1 x 1 x 2xdx= + ( )( )

( )

32 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2x 1 x 1 x C

32

1 x x 1 x C3

2 21 x x x C

3 3

1 21 x x C

3 3

11 x x 2 C

3

= + = + + = + + = + +

= + +

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular xarctg(x)dx

Siguiendo la regla L(I)ATE se tiene que el cambio mas indicado para u es Trigonomtrica inversa por lo que: =

2

u arctg(x)dx

du=x +1

=

=

2

dv xdx

dv= xdx

1v x

2

Luego la integral original al aplicar la formula de integracin por partes quedar como sigue:

xarctg(x)dx = = += +

+ = + + = + + + = + + = + +

22

2

22

2

22

2

22

2 2

22

22

u v v du

1 1 xx arctg(x) dx

2 2 x 11 1 x

x arctg(x) dx2 2 x 11 1 x 1 1

x arctg(x) dx2 2 x 1

1 x 1 1x arctg(x) dx

2 x 1 x 1

1 1x arctg(x) 1 dx

2 x 1

1 1x arctg(x) dx dx

2 x 1

= + + 21

x arctg(x) x arctg(x) C2

Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular 2x Sen (3x)dx



21 2x Sen (3x)dx ( )x 1 2 1 C os(6x) dx

1x xC os(6x) dx

2

= =

2

I1

1xdx xC os(6x)dx

21 1

xdx xC os(6x)dx2 2x 1

xC os(6x)dx4 2

= =

=

La integral I1 se resuelve usando el metodo de integracin por partes Siguiendo la regla LI(A)TE se tiene que el cambio mas indicado para u es Trigonomtrica inversa por lo que: u xdu=dx=

dv C os(6x)dx

dv C os(6x)dx

6x = z 6dx = dz

dz dx =

6dz

dv C os(z)6

1dv C os(z)dz

6v = Sen(z)

1v Sen(6x)

6

==

=

=

=

Resolviendo la integral I1 al aplicar la formula de integracin por partes quedar

como sigue:

I1

1I1 xC os(6x)dx

2

xSen(6x)1 1I1 Sen(6x)dx

2 6 6

=

=

1I1 xSen(6x) Sen(6x)dx

12 6x = r 6dx = dr

dr dx =

6

=

1 drI1 xSen(6x) Sen(r)

12 6 =



22 1 1

I1 xSen(6x) Sen(r)dr12 72

= 1 1

I1 xSen(6x) Sen(6x)dr12 721 1

I1 xSen(6x) Cos(6x)12 72

=

= +

2x Sen (3x)dx 2I1

2

2

2

x 1xC os(6x)dx

4 2

x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C

4 12 72

x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C

4 12 721

18x 6xSen(6x) Cos(6x) C72

=

= + + = +

= +



1. dxxe x3 C31xe31 x3 + 2. dxxLn C1)- x (Ln x + 3. dx x Sen x C x Cos x - x Sen + 4. ( ) + dx1xxe 2

x

C1x

ex ++

5. dxx xLn2 ( ) C1xLnx1 ++ 6. dxx1x 23

( )( ) cx-12x31 2122 ++

7. dxex x2 ( ) C2 2x- xe 2x ++ 8. dxex 2x3 ( ) C1xe21 2x2 ++ 9. dxex x2 ( ) C2x2xe 2x +++

10. dx 3x Sen x 2 C6x Cos 721- 12 6x Sen x-x41 2 + 11. dy y Sec y 2 C y CosLn y Tany ++ 12. dx x) Ln(Cos x Sen ( ) C x CosLn-1 x Cos + 13. dx x Cos ex ( ) C x Senx Cose21 x ++ 14. dx 2x Sen x C 2x Cos 2x - 2x 4Sen + 15. ( ) dxxLn 2 C2xx Ln 2x- xLn x 2 ++ 16. dx x Csc x 2 Cx SenLn x Cot x- ++



23

17. dx x arcTan x ( )[ ] Cxx arcTan1x21 2 ++ 18. ( )dxxLn Sen ( ) ( )[ ] CxLn CosxLn Sen2x + 19. ( )dxxLn Cos ( ) ( )[ ] CxLn CosxLn Sen2x ++ 20. ( ) dx 1x2 Cos x + ( ) ( ) C12x Cos4112x Sen2x ++++ 21. dx x Tanx Sec x Cx Tanx SecLn -x Sec x ++ 22. dx x Cos x2 Cx 2Sen- x Cos 2x x Sen x2 ++ 23. dx x Csc 3 ( ) CCtgxCscxLnCscxCtgx21 ++ 24. dx

x1

arcTanx x2

2 + ( ) Cx arcTan21x1Ln21x arcTanxx arcTan 22 +++ Integracin de Potencias del Seno y el Coseno Caso 1 n nSen (u)du Cos (u)du ; donde n es un entero Impar

Se descompone n en (n 1) y 1 ;para el exponente par (n1) se usa la frmula Sen2(x) = 1Cos2(x) Cos2(x) = 1Sen2(x) y la funcin trigonomtrica elevada al exponente 1 se agrupa con el diferencial.

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 5Sen (x) dx

5Sen (x) dx

Observe que:

( )

( )

= =

= = = + = + +

22

22

22

2 4

2 4

3 5

Sen (x) Sen(x) dx

1-Cos (x) Sen(x) dx

Hagamos el siguiente cambio de variable Sea Cos(x)=u -Sen(x)dx = du Sen(x)dx = -du

1-u du

(1-2u -u ) du

du 2 u du u du

2 1u u u C

3 5Volviendo

= + +3 5 a la variable inicial x tenemos

2 1Cos (x) Cos (x) Cos (x) C

3 5

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 3Cos (3x) dx 3Cos (3x) dx

Observe que: 2

2

Cos (3x) Cos(3x) dx

1-Sen (3x) Cos(3x) dx

= =



24

( )22

3

3

Hagamos el siguiente cambio de variable dv

Sea Sen(3x)=v 3Cos(3x)dx = dv Cos(3x)dx = 3

dv1-v

31

dv v dv31 v

v C3 3

Volviendo a la variable inicial x tenemos

1 1Sen(3x) Sen (x) C

3 3

=

= = +

= +

Caso 2 n nSen (u)du Cos (u)du donde n es un entero par Se usan la frmulas: 2Sen (x) = 1 - Cos(2x) 2Cos (x) = 1 + Cos(2x)

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 xCos ( ) dx2 2 xCos ( ) dx2

( )( )

= =

=

11+Cos(x) dx

2

11+Cos(x) dx

21

dx+ Cos(x)dx 2

( )( )

= =

= =

11+Cos(x) dx

2

11+Cos(x) dx

21

dx+ Cos(x)dx 21

x+Sen(x) +C 2

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 4Sen (3x) dx 4Sen (3x) dx

( )

22

2

Sen (3x) dx

11-Cos(6x) dx

2

= =

( )21 1-Cos(6x) dx (A)4

dSea 6x= 6dx=d dx= sustituyendo en (A) se tiene

6

=



25

( )( )

2

2

1 d1-Cos( ) (A)

4 61

1-2Cos( )+Cos ( ) d24

=

=

21 d -2 Cos( )d + Cos ( )d241 1

d -2 Cos( )d + 1+Cos(2 ) d24 2

1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos(2 )d

24 2 2

Sea 2 = 2d =d d

1 1d -2 Cos( )d +

24

= = = +

=

1 dd Cos( )

2 2 2

1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos( )d

24 2 4

1 3 1d -2 Cos( )d Cos( )d

24 2 4

1 3 1-2Sen( )+ Sen( ) C

24 2 4

Quitando la variable

1 3 1-2Sen( )+ Sen(2 ) C

24 2 4

Quitando

+ = + = + = +

= +

la variable

1 3 16x-2Sen(6x)+ Sen(2 6x) C

24 2 4

= +

= + = +

1 19x-2Sen(6x)+ Sen(12x) C

24 4

136x-8Sen(6x)+Sen(12x) C

48

Caso 3 n mSen (x) Cos (x)dx; donde al menos uno de los exponentes es impar (m n) es impar La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 1

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4 3Cos (x)Sen (x) dx 4 3Cos (x)Sen (x) dx

4 2

4 2

Cos (x)Sen (x)Sen(x)dx

Cos (x) (1-Cos (x)) Sen(x)dx

==

4 2

Haciendo Cos(x)=u Sen(x)dx=du Sen(x)dx=-du

u (1-u ) du

=

4 6

4 6

(u -u ) du

u du u du

= = +



26 5 7

5 7

u uC Quitando el cambio se tiene

5 71 1=- Cos (x) Cos (x) C5 7

= + ++ +

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5 4Cos (x)Sen (x) dx 5 4Cos (x)Sen (x) dx

( )( )

= = =

=

=== +

= +

4 4

24 2

24 2

24 2

4 2 4

4 6 8

4 6 8

5 7 9

Sen (x)Cos (x)Cos(x)dx

Sen (x) Cos (x) Cos(x)dx

Sen (x) 1-Sen (x) Cos(x)dx

Haciendo Sen(x)=u Cos(x)dx=du

u 1-u du

u 1-2u +u du

u -2u +u du

u du 2 u du u du

u 2u uC

5 7 9Quitando el

+ +5 7cambio se tiene

1 1=- Cos (x) Cos (x) C5 7

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular Sen(5x) Cos(2x)dx Usando la frmula Sen(mx) Cos(nx) = Sen (m-n) x + Sen (m+n) x se tiene que: Sen(5x) Cos(2x) = Sen (5-2) x + Sen (5+2) x

= Sen(3x) + Sen(7x)

Asi la integral original se convierte en:



27 Sen(5x) Cos(2x)dx

= Sen(3x) + Sen(7x) dx

= Sen(3x)dx + Sen(7x)dx

Cambiando variables 3x=u 7x=v3dx=du 7dx=dv

du dvdx= dx=

3 7du dv

= Sen(u) + Sen(v)3 7

1 1= Sen(u)du+ Sen(v)dv

6 141 1

Cos(u) Cos(v) C6 14

= +

=

1 1Cos(3x) Cos(7x) C

6 141

7Cos(3x) 3Cos(7x) C42

+

= + +

Caso 4 n mSen (x).Cos (x)dx donde m y n son numeros pares La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 2

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2Sen (x) Cos (x)dx

2 2Sen (x) Cos (x)dx

2

2

1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx

2 2

11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx

41

1-Cos (2x) dx41

Sen (2x)dx4

1-Cos(4x)1dx

4 2

11-Cos(4x) dx

81

dx- Cos(4x)dx8

= =

= =

= =

=

Para la segunda integral usamos el cambio 4x u4dx du

dudx

4

==

=



28 1 du

dx- Cos(u)8 4

1 1dx- Cos(u)du

8 32

= =

1 1x Sen(u) C

8 321 1

x Sen(4x) C8 321

4x Sen(4x) C32

= +

= +

= +

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 4 2Sen (x) Cos (x)dx

4 2Sen (x) Cos (x)dx 22

2

2 2 3

2 3

1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx

2 2

11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx

81

1-2Cos(2x)+Cos (2x) 1+Cos(2x) dx81

1+Cos(2x)-2Cos(2x)-2Cos (2x)+Cos (2x)+Cos (2x) dx81

1-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x8

= =

= =

= +

( )2 2

2

) dx

11-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x) Cos(2x) dx

81+Cos(4x)1

1-Cos(2x)- 1 Sen (2x) Cos(2x) dx8 2

11-Cos(2x)

8

= + = +

=

Cos(4x)1- Cos(2x)2 2 + 2

2

2

2

Sen (2x) Cos(2x) dx

Cos(4x)1 1Sen (2x) Cos(2x) dx

8 2 2

Cos(4x)1 1dx dx Sen (2x) Cos(2x)dx

8 2 2

1 1 1dx Cos(4x)dx Sen (2x) Cos(2x)dx

16 16 8

=

= =

Usemos los siguientes cambios de variable

4x u4dx du

dudx

4

==

=

Sen(2x) v2Cos(2x)dx dv

dvCos(2x)dx

2

==

=

2

2

1 1 du 1 dvdx Cos(u) v

16 16 4 8 21 1 1

dx Cos(u)du v dv16 64 16

=

=

3

3

1 1 1 vx Sen(u) C

16 64 16 31 1 1

x Sen(4x) Sen (2x) C16 64 48

= +

= +



29 31 12x 3Sen(4x) 4Sen (2x) C

192 = +


Integral Respuesta

1. dx x Cos x Sen4 C x Sen51 5 + 2. dx 4x Sen 4xCos3 C 4x Cos161 4 + 3. dx

2x

Cos2 ( ) C x Senx21 ++ 4. dx xSen2 C 22x Sen-x21 + 5. dx xSen3 C x Cos- x Cos31 3 + 6. dx x Cos x Sen 32 C x Sen51 - x Sen31 53 + 7. dx 3x Sen 4x Cos C x Sen - 7x Sen7121 + 8. dy 5y Cos 3y Sen C 8y Cos412y Cos41 + 9. dt 3t Cos t3 Sen 22 C 12t Sen121-t81 +

10. dt2t Sen

2t Cos4 C 2t Csc61 3 +

11. dx x Cos

x Sen2

3 C x Secx Cos ++ 12. ( ) dt 2t Sen- 3t Sen 2 C 6t Sen121- 5t Sen514t Sen81 - t Sent ++ 13. dx x Cos x Sen 25 C x Cos71- x Cos32 x Cos31 753 ++ 14. dy ySen6 C 4y Sen643 2y Sen481 2y Sen41y165 3 +++ 15. dx xCos4 C 4x Sen321 2x Sen41x83 +++ 16. dz zSen4 C 4z Sen321 2z Sen41z83 ++ 17. ( ) dt t Cos t Sen 22 + C 4t Sen321 t Sen 32t87 3 +++ 18. ( ) dt y Sen- 2 2 C 2y Sen41-y 4Cosy29 ++ 19. dx

3x Sen

3xCos3

3 C 3x Sen41 - 3x Sen21 3832 +



30

20. dx xSen4 C 4x Sen321 2x Sen41x83 ++ Integracin de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

Caso1 n nTg (u)du Ctg (u)du donde n es un entero positivo Se desarrolla:

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Tg (u) = Tg (u) Tg (u)

Tg (u) = Tg (u) Sec (u) - 1

Se usa el cambio de variable Tg(u) = z

n (n -2) 2

n (n-2) 2

Ctg (u) = Ctg (u) Ctg (u)

Ctg (u) = Ctg (u) Csc (u) - 1

Se usa el cambio de variable Ctg(u) = z

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Tg (x)dx

4Tg (x)dx

( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

Tg (x)Tg (x)dx

Tg (x) Sec (x)-1 dx

Tg (x) Sec (x)-Tg (x) dx

Tg (x) Sec (x)- Sec (x)-1 dx

Tg (x) Sec (x)-Sec (x)+1 dx

Tg (x) Sec (x)dx- Sec (x)dx+ dx

Siendo Tg(x)=u Sec (x)dx=du

u du- S

= =

= = =

=

=

2

3

3

ec (x)dx+ dx

uTg(x) x C

31

Tg (x)-Tg(x)+x+C3

= + +

=

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 3Ctg (x)dx

3Ctg (x)dx 22

2

2

2 2

2

2

Ctg(x) Ctg (x)dx

Ctg(x) Csc (x)-1 dx

Ctg(x) Csc (x)-Ctg(x) dx

Ctg(x) Csc (x)dx- Ctg(x)dx

Siendo Ctg(x)=u Csc (x)dx=du Csc (x)dx=-du

udu- Ctg(x)dx

uLn Sen(x) C

21

Ctg (x)-Ln Sen(x)2

= =

= =

=

= + =

+C



31 Caso 2 ( ) ( )n nSec u du Csc u du donde n es un entero positivo par Se desarrolla:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n-2n 2

(n-2)/2n 2 2

Sec u = Sec u Sec u

Sec u = Tg u +1 Sec u

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n-2n 2

(n -2)/2n 2 2

Csc u = Csc u Csc u

Csc u = Ctg u + 1 . Csc u

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Sec (2x)dx

4Sec (2x)dx 2 22 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

3

Sec (2x) Sec (2x)dx

Sec (2x) Tg (2x)+1 dx

Tg (2x) Sec (2x)+Sec (2x) dx

Tg (2x) Sec (2x)dx+ Sec (2x)dx

duSiendo Tg(2x)=u 2 Sec (2x)dx=du Sec (2x)dx=

2du du

u +2 2

1 1u du+ du

2 21 1

u u C6 21

Tg6

= =

= =

=

=

= + +

=

3 1(2x) Tg(2x) C2

+ +

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 6x

Csc dx3

6 xCsc dx

3 4 2

2

2 2

4 2 2

4 2 2 2 2

x xCsc Csc dx

3 3

x xCtg +1 Csc dx

3 3

x x xCtg 2Ctg 1 Csc dx

3 3 3

x x x x xCtg Csc 2Ctg Csc Csc

3 3 3 3 3

= = = + + = + +

4 2 2 2 2

2 2

4 2

5 3

5 3

dx

x x x x xCtg Csc dx 2 Ctg Csc dx Csc dx

3 3 3 3 3

x 1 x xSiendo Ctg =u Csc dx=du Csc dx=-3du

3 3 3 3

3 u du 6 u du 3 du

3 6u u 3u C

5 33 x 6 x

Ctg Ctg5 3 3 3

= + +

= = + =

x3Ctg C

3 +



32 Caso 3 ( ) ( )n nSec u du Csc u du donde n es un entero positivo impar En este caso se usa la Integracin por Partes

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )3Sec x dx

Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

u Sec(x)du Sec(x) Tg(x)dx==

2

2

dv Sec (x)dx

dv Sec (x)dx

v Tg(x)

==

=


( )

3

3 2

3 2

3 3

3 3

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg (x) Sec(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x) 1 Sec(x) dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x) dx Sec(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec

= = = = =

3 3

3

3

(x) dx Ln Sec(x) Tg(x) C

Sec (x)dx Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

2 Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

1Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

2

+ ++ = + +

= + + = + +

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5Csc x dx

Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

3

2

3

u Csc (x)

du 3Csc (x) Csc(x) Ctg(x)dx

du 3Csc (x) Ctg(x)dx

== =

2

2

dv Csc (x)dx

dv Csc (x)dx

v Ctg(x)

==

=

Sustituyendo en la formula de integracin por partes se tiene: ( )5Csc x dx

3 3 2

I1

Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x) Ctg (x)dx (A)= Resolviendo I1 tenemos:

( )( )

3 2

3 2

5 3

5 3

I2

I1 Csc (x) Ctg (x)dx

I1 Csc (x) Csc (x) 1 dx

I1 Csc (x) Csc (x) dx

I1 Csc (x)dx Csc (x)dx (B)

= = = =

Observe que la primera integral es nuestra integral original y la I2 se resuelve por este mismo caso i.e. por integracin por partes con el siguiente cambio de variale



33 u Csc(x)

du Csc(x) Ctg(x)dx

==

2

2

dv Csc (x)dx

dv Csc (x)dx

v Ctg(x)

==

=

Por lo tanto I2 quedara como sigue

( )3 2

3 2

3 3

3 3

3

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Ctg (x)dx

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Csc (x) 1 dx

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc (x)dx Csc(x)dx

Csc (x)dx Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x)dx

2 Csc (x)dx Csc(x)

= = = ++ = +=

3

Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

+ = +

Al sustituir esta integral en I1 en la expresin (B) se obtiene: 5 1I1 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2 = +

Sustituye I1 en la expresin (A) obtenemos:

( )

( )( )

5 3 3 2

I1

5 3 5

5 3 5

Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x) Ctg (x)dx (A)

1Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

3 3Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x)

2 2

=

= + = +

( )5 5 35 3

5 3

Ctg(x)

3 3Csc x dx 3 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2 23 3

4 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2 2

1 3 3Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

4 2 2

+ = +

= + = +

5 3

C

1Csc (x)dx 2Ctg(x)Csc (x) 3Csc(x) Ctg(x) 3Ln Csc(x) Ctg(x) C

8

+ = + +

Caso 4 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du Ctg u Csc u du donde n es un entero positivo par Se desarrolla:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Sec u = Sec u Sec u

Sec u = Sec u 1+Tg u

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Csc u = Csc u Csc u

Csc u = Csc u 1+Ctg u

Ejemplos Ilustrativos: 1.- tg5xsec6x dx 2.- ctg4ycsc4y dy

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )4 4Tg (x)Sec x dx ( )4 4Tg (x)Sec x dx

( ) ( )( ) ( )

4 2 2

4 2 2

Tg (x) Sec x Sec x dx

Tg (x) Tg (x)+1 Sec x dx

= =



34 ( )

2

4 2

Sea v=Tg(x) dv=Sec (x)dx

v v +1 dv

=

( )6 46 4

v +v dv

= v dv v dv

= +

7 5

7 5

1 1= v + v C

7 51 1

= Tg (x)+ Tg (x) C7 5

+

+

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5 6Ctg (x) Csc x dx

( )5 6Ctg (x) Csc x dx

( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

25 2 2

25 2 2

2 2

25 2

5 4 2

9 7 5

9 7 5

10 8 6

10 8

Ctg (x) Csc x Csc x dx

Ctg (x) Ctg (x)+1 Csc x dx

Sea v=Ctg(x) dv=-Csc (x)dx dv=Csc (x)dx

v v +1 dv

v v +2v 1 dv

v +2v v dv

= v dv 2 v dv v dv

1 1 1= v + v + v C

10 4 61 1 1

= Ctg (x)+ Ctg (x)+ C10 4 6

= =

= = + = +

+ ++

6tg (x) C+

Caso 5 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du Ctg u Csc u du donde n es un entero positivo impar

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )5 5Ctg (x) Csc x dx ( )5 5Ctg (x) Csc x dx

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

4 4

22 4

4 2 4

4 2 4

8 6 4

8

C tg (x) Csc x Ctg(x) Csc x dx

Csc (x) 1 Csc x C tg(x) Csc x dx

Csc (x) 2Csc (x) 1 Csc x Ctg(x) Csc x dx

Sea v=Csc(x) dv=-Csc(x) C tg(x)dx dv=Ctg(x) Csc(x)dx

v 2v 1 v dv

v -2v v dv

=- v dv

= = = +

= + = +

6 4

9 7 5

9 7 5

2 v dv v dv

1 2 1= v + v v C

9 7 51 2 1

= Csc (x)+ Csc (x) Csc (x) C9 7 5

+ +

+



35 Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5 7Tg (x) Sec x dx

( )5 7Tg (x) Sec x dx

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

4 6

22 6

4 2 6

4 2 6

10 8 6

10 8 6

11 9

Tg (x) Sec x Tg(x) Sec x dx

Sec (x) 1 Sec x Tg(x) Sec x dx

Sec (x) 2Sec (x) 1 Sec x Tg(x) Sec x dx

Sea =Sec(x) d =Sec(x) Tg(x)dx

2 1 d

-2 d

= d 2 d d

1 2 1=

11 9

= = = +

= + = +

+ +

7

10 9 7

C7

1 2 1= Sec (x)- Sec (x)+ Sec (x) C

11 9 7

+

+

Caso 6 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du Ctg u Csc u du donde m es un entero positivo par y n es un entero positivo impar. El integrando se puede expresar en trminos de potencias impares de la secante o la cosecante y luego se aplica integracin por partes como en el Caso 3

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )2 3Tg (x) Sec x dx ( )2 3Tg (x) Sec x dx

( )( )

( )

2 3

2 3

5 3

5 3

I1 I2

Tg (x) Sec x dx

Sec (x) 1 Sec x dx

Sec (x) Sec x dx

Sec (x)dx Sec (x)dx (A)

= = =

=

I2 fue resuelta en el ejemplo ilustrativo 1 del caso 3 y cuyo resultado es: 3 1Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (B)

2 = +

Debemos resolver ahora I1 5Sec (x)dx la que se resuelve por integracin por partes Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

3

2

3

u Sec (x)

du 3Sec (x) Sec(x) Tg(x)dx

du 3Sec (x) Tg(x)dx

== =

2

2

dv Sec (x)dx

dv Sec (x)dx

v Tg(x)

==

=

Sustituyendo en la frmula de integracin por partes se tiene:

5 3 2 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Tg (x)Sec (x)dx (C)= Resolviendo 2 3Tg (x)Sec (x)dx



36 ( )2 3 2 32 3 5 3

2 3 5 3

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) 1 Sec (x)dx

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) Sec (x) dx

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x)dx Sec (x)dx (D)

= =

=

Sustituyendo (D) en (C) tenemos ( )

( )

5 3 5 3

5 3 5 3

5 3 3

5 3 3

Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx Sec (x)dx

Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx 3 Sec (x)dx

4 Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx

1Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx (E)

4

= = += +

= +

Sustituyendo (B) en (E) tenemos

5 31 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (F)4 2 = + +

seguidamente ya para concluir sutituimos (B) y (F) en (A) ( )2 3Tg (x) Sec x dx 31 3Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x)

4 2 = + +

1

Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x)2 +

31 3 3 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)4 8 8 2

= + +

1

Ln Sec(x) Tg(x)2

+ + 31 1 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

4 8 8= + + +

31 2 Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C8 = + + +

( )2 3 31Tg (x) Sec x dx 2 Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C8 = + + +

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 2Ctg (x) Csc(x)dx

2Ctg (x) Csc(x)dx

2

3

I1 I2

Csc (x) 1 Csc(x)dx

Csc (x)dx Csc(x)dx

= =

I1 se resolvio dentro del ejemplo ilustrativo 2 del caso 3 de este apartado por favor vease linea (B) y siguientes para ver que su resultado es:

3 1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2 = +

I2 es una integral directa definida en el formulario de integrales como la nmero 25 por lo cual nuestra integral original quedar como sigue

1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2 = +



37 1 1

Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2 21 1

Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) C2 2

= +

= +


Integral Respuesta

1. dx x Tan3 C x CosLn x Tan21 2 ++ 2. +2u

Sec1

du

C 4u

2Tan - u +

3. dx 2x Cot x 22 C x21- 2x Cot41 22 + 4. dx x Tan x Sec43

C x Csc31 3 +

5. dx 2x Csc 2x Cot3 C 2x Csc61- 2x Csc21 3 + 6. dw w Cos w Sen42 C w Tan31 3 +

7. dt t Cot3 C t SenLn- t Cot21 2 + 8. dy y Sen y Cos 64 C y Cot51- 5 +

9. dx 4x

Csc4 C 4x 4Cot- 4x Cot34 3 + 10. dx 5x Tan2 C x- 5x Tan51 + 11. dx x Sec4 C x Tanx Tan31 3 ++ 12. dz z Sec z Tan 253 C z Sec52 -z Sec92 2529 + 13. dx x Sec x Tan 46 C x Tan91x Tan71 97 ++ 14. ( ) + dx 2x Cot 2x Tan 2 ( ) C 2x Cot2x Tan21 + 15. ( ) + dx 2x Cot2x Cot 42 C 2x Cot61 3 + 16. dw

w Cos

1- w Sen 22 C w Tan-w 2Sec +

17. 2x Cos 2x Sen

dx 42 C 2x Cot21-2x Tan612x Tan 3 ++

18. dx 3x Csc 3x Cot 42 C 3x Cot151- 3x Cot91 53 + 19. ( ) dx e Tane x4x C ee Tane Tan31 xxx3 ++ 20. dx 3x Tan5 C x3 Sec Ln313x Tan61-3x Tan121 24 ++ 21.

( ) ( ) dx x xLnSec xLnTan63

( ) ( ) ( ) CxLnTan81xLnTan31xLnTan41 864 +++ 22. dx 3x Tan6 C x-3x Tan313x Tan91-3x Tan151 25 ++



38

23. dy 3y Tan4 Cxx Tan-x Tan31 3 ++ 24. dx x Csc3 Cx Cot -x CscLn21 x Cot x Csc21 ++ 25. dx

x Cos

xSen

211

23

C x Tan92x Tan52 2925 ++ Integracin Por Sustitucin Trigonomtrica

Se usa para resolver integrales con expresiones que contienen 22 ua , 22 ua + , 22 au 22 ua , 22 ua + , 22 au , el mtodo mas corto para integrar dichas expresiones es efectuar un

cambio de variable trigonomtrico como se indica a continuacin.

Para 22 ua se hace u = a sen para lo que 22 ua = a cos Para 22 ua se hace u = a sen para lo que 22 ua = a2 cos2 Para 22 ua + se hace u = a tg para lo que 22 ua + = a sec Para 22 ua + se hace u = a tg para lo que 22 ua + = a2 sec2 Para 22 au se hace u = a sec para lo que 22 au = a tg Para 22 au se hace u = a sec para lo que 22 au = a2 tg2 Ejemplos Ilustrativos: 1.- 49x4

dx2

2.- + 22 1) (4x8dx

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2

dx

x a

2 2

dx

x a

( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

Sea x aS ec( ) dx aS ec( )T an( )d

Como x aS ec( ) x a S ec ( )aS ec( )T an( )d

a Sec ( ) a

aS ec( )T an( )d

a Sec ( ) 1

aS ec( )T an( )d

a Tan ( )

a

= = = = =

=

=

=

S ec( )T an( ) da

T an( )

S ec( )d

L n S ec( ) T an( ) C

= = + +

Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable



39

h xS ec( )

ca a = =

2 2x aT an( )

a = y como xS ec ( )

a =

As nuestra integral original quedara como:

2 2

2 2

2 2

2 2

L n S ec( ) T an( )

x x aL n C

a a

x x aL n C

a

L n x x a L n a C

L n x x a k donde k= L n a C

= + += + +

+ += +

= + + += + + + +

2 2

2 2

dxL n x x a k

x a= + + +


8dx4x 1+

2

8dx4x 1+

( )22 2Observemos que 4x 1 2x 1+ = + dz

Sea 2x=z 2dx=dz dx2

= asi nuestra integral original queda

2 2

2 2

2 2

8dx(2x) 1

dz8

2z 1

dz4

z 1

= +

= += +

Haciendo el cambio de variable 2z Tg( ) dz Sec ( )d= =

Ca=a

h = x ( ) ( )( )2 22

22 2

2 2

h Co Ca

x Co a

Co x a

= += +=

Co



40 2

2

2

Sec ( )d4

Tg ( ) 1

Sec ( )4

= +=

2

d

Sec ( )

4 d=

4 C= + Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable

1

1

Tg( ) z Tg (z)y como z=2x entonces

Tg (2x)

= =

=

As nuestra integral original quedara como: 14Tg (2x) C= +

12

8dx4Tg (2x) C

4x 1= ++


2

3 xdx

x

2

2

3 xdx

x

( )( )

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Se hace x 3Sen( ) dx 3Cos( )d

Como x 3Sen( ) x 3S en ( )

3 3S en ( ) 3Cos( )d

3S en ( )

3 1 S en ( ) 3Cos( )d

3S en ( )

3 1 S en ( ) 3Cos( )d

3S en ( )

3 C os ( ) 3Cos( )d

3S en ( )

3 3 C os ( ) Cos( )d

3S en

= = = =

=

=

= = =

( )2

2

( )

3

=

C os( ) Cos( )d

3

( )

2

2

2

2

2

2

S en ( )

C os ( ) dS en ( )

Ctg ( ) d

Csc ( ) 1 d

Csc ( ) d d

Ctg( ) C

=

= = = = +



41 Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable

c o xS en( )

h 3 = =

2ca 3 xCos( )

h 3

= = y como xS en( )3

=

23 x

3Cos( )Ctg( )

Sen( )

= = x

3

23 xx= y 1 xSen

3 =

As nuestra integral original quedar como:

21

Ctg( ) C

3 x xSen C

x 3

= +

= +

2 2

12

3 x 3 x xdx Sen C

xx 3 = +



1. 22 x4xdx

( ) Cx4x4 2

12

+ 2. + 4xx dx2 C4x2 xLn21 2 +++ 3. 2x25x

dx C

x

x25-5Ln

5

1 2 + 4. ( ) 2322

xTan4

dx x Sec C

xTan44

x Tan2

+

5. 22 axdx

CaxxLn 22 ++ 6. + 2x4xdx

Cx4 2 ++

7. ( ) + 222

4x

dxx ( ) C4x2 x2xarcTan41 2 ++ 8. 2x41

dx Cx2 arcSen

2

1 +

Ca

h = 3 Co=x

( ) ( )( ) ( )

2 22

2 2 2

2

h Co Ca

3 x Ca

Ca 3 x

= += +

=



42

9. + 2xx4dx

Cxx42xLn 2 ++++ 10. ( ) 232xx45dx

Cxx459

2x2

+

+

11. ( ) ++ 23xx2x

7e8e

dxe ( ) C

7e8e9

4exx2

x

+++

+ 12. ( ) 232 9x4

dx ( ) C9x4x

91 212 +

13. + 22 xaxdx

Cxaa

xLn

a

122

+++

14. + x2x3dx

2 C

2

1x arcSen +

15. ( )

+dx

x4

1x2

C2x

arcSenx4 2 +

+ 16. 22 ax xdx

Ca

x arcSec

a

1 +

17. 2x52dx

C25x arcSen

5

1 +

18. ( ) 2322 xadx

Cxaa

x222

+

19. Cos2d Sen2

C2

Cos arcCos +

20. dxx25x

6

2

C5

x arcSen

3

1 3 +

21. ( ) + 2x94 dx Cx94

x3Ln

4

12

++

22. 22 x5 x dx Cx5 x52

+

23. + 2x9 xdx

C3

x9xLn

2

+++

24. 4wLnwwdwLn2

3

( ) C4wLnwLn831 22 ++

25. + 25ttdt2

4 CtLn

5

2525tLn

5

1 4 ++

26. dxx x42

Cx4x

x4-2Ln2 2

2

++

27. dx x9

x2

2 C3x

arcSen2

9x9 x

2

1 2 +

+

28. 9x xdx

23 C

3x

arcSec541

x8

9x

2

2

+

+ Integrales que contienen ax2+bx+c (Completacin de Cuadrados)

1.- 2

xdx

x 4x 8+ + 2.- x

2x x 3/2

e dx

(e + 8e + 7) 3.- 2(y 1)dy5 12y 9y+

+ EJERCICIOS PROPUESTOS



43


1. 2x41dx

Cx2 arcSen2

1 + 2. 2x94dx

C2

x3 arcSen

3

1 +

3. 2xx2dx

( ) C1x arcSen + 4. ( ) + 2xx28dx x-1

Cxx28 2 ++

5. + 16x9dx

2 C

4

x3 arcTan

12

1 + 6. 16x x4dx

2 C

4

x arcSec

16

1 +

7. ++ 2x4x4dx

2 ( ) C1x2 arcTan

2

1 ++ 8. 2x52dx

Cx210

arcSen55 +

9. + 5x2xdx

2 C

2

1x arcTan

2

1 + 10. 4r916dr r

C4

3r arcSen

6

1 2 +

11. ( ) + x x1dx

Cx arcTan2 + 12. + x2x

e7

dxe C

7

e arcTan

7

1 x +

13. + 2 xxdx

2 C

7

1x2 arcTan

7

2 + 14. + 2xx215dx

C4

x-1 arcCos +

15. Sen4d Cos2

C Sen2 Sen2

Ln4

1 ++

16. + x2x

e1

dxe ( ) Ce arcTan x +

17. ( ) ++

+5x4x4

dx 32x2

C2

1x arcTan

2

15x4x4Ln

4

1 2 +

++++

18. ++ 5x4xdx x

2 ( ) C2x arcTan25x4x4Ln

2

1 2 ++++

19. + 5x2xdx x

2 C5x2x1xLn5x2x 22 +++++

20. ( )

+2xx2

dx 1x ( ) Cxx21x arcSen 2 2 +

21. ( ) + 3x4x

dx 1-x2

C3x4x2xLn3x4x 22 +++++

23. ++ 5x4xdx x

2 C5x4x2xLn25x4x 22 +++++++

24. + 2xx45dx x

Cxx453

2xarcSen2 2 ++

25. 2xx23dx x

Cxx232

x1 arcCos 2 ++

26. ( )

+2xx24

dx x2 Cxx24

5

x1 arcSen 2 ++



44

27. ( ) +

+4x6x2

dx 1x2

C2x3x23

xLn22

52

2x3x 22

+++++

28. 8x2xdx

2 C8x2x1xLn 2 ++

Integracin De Funciones Racionales (Casos I Y II) Una funcin racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales (la variable no est afectada por exponentes negativos o fraccionarios). Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, (Fraccin Impropia) esta fraccin puede reducirse a una expresin mixta dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo

1 2x x

35x 3-x x

1 2x x

3x X2

22

34

+++++=++

+

Donde el ltimo trmino de la derecha es una fraccin reducida a su ms simple expresin (Fraccin Propia), es fcil observar que x2 + x 3 se puede integrar inmediatamente; por lo que nuestro estudio se centrar en las fracciones propias. Caso I Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y ninguno se repite.

Ejemplos Ilustrativos: + + dxx2xx 3x2 23 Caso II Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y algunos se repiten

Ejemplos Ilustrativos:: + + dxxx3x3x 1x 2343


Integral Respuesta

Integral Respuesta

1. 4x dx2 C2x 2xLn41 ++ 2. ( ) x2xx dx 2x4 23 ( ) C1x x2xLn 22

++

3. + 23 x3x dx Cx31x 3xLn91 ++ 4. ( ) xx dx 3x5 32

( ) 1xx CLn 23 5.

( ) 4x dx 2x5 2 ( ) ( )32 2x2x CLn + 6. ( ) + 4w7w2 dw 11-4w2 ( )1w2 4w CLn3

+

7. + dxx2xx 4xx2 232

( )

C1x2xx

Ln2

++

8. ( ) xx4 dx 1x2x6 3

2

( )

1x21x2x C

Ln41 34

+

9. ( ) + 21xx dx C1x xLn1x1 ++++ 10. ( )( ) ( ) 2x 1x dx 1x2 ( ) C1x 2xLn3

+



45

11. + dx5x4x x2 ( ) ( )C1x5xLn61 5 + 12. dx3x2x x2 C1xLn413xLn 43 +++ 13. ++ 2e3e dte tt2

t

Ce2

e1Ln

t

t

+++ 14. ++ 5x4x dx)1x(2 C1xLn413xLn 43 +++

15. 2 Cos Cos

d Sen 2 + C Cos1 Cos2Ln31 + + 16. ++ 1x2x dxx2

2

C1x

11xLn2x +++

17. +++ 15 23x 9xx dxx23 ( ) )1x(5)(x C3x Ln81 56

+++ 18. ( )( ) ( ) 2x 1x dx 1x2 ( ) 2

3

1)-(x

C2x Ln

19. ( ) ( ) ++ 1x 1x dx 2 ( ) CxarcTan211x 1x Ln41 22

++++

20. ++ + dxx3x8x4 3x4 23 ( ) ( ) Cx 3x2 1x2 Ln21 2 +++ 21. ++ dxxx4 1x2x4 3

23

( ) ( )

Cx

1x2 1x2 Ln

21

x2

2

+++

22. ( )( ) ( ) + + 2

2

1x 1x

dx x5x3 ( ) ( ) C

1x1

1x 1x Ln 2 +++

23. ( ) + 22 1xx dx C1x1x1x 1xLn 2 +++ 24. ( ) dz1z z 3

2

( ) ( ) C1z21

1z2

1zLn2+

25. ( )( ) ( ) ++ 2

2

1x 3x2

dx 7x3x C3x2Ln

21

1xLn 1x

3 +++++

26. ( ) + 23

4

y2y

dy 8y Cy2yLn2

y4

y22y 2

2

++++

27. + dxx4x 8xx 345

( )

( ) C2x2x x

Lnx42x

3x

3

5223

+++++

28. + 2xx2x dx4 23 ( )( ) C2xLn3161x 1x Ln61x22x 32

+++++

29. ( ) ( ) 21x 2x dx C1x 2xLn1x 1 ++ 30. + x4x4x dx)8x( 23 Cx 2xLn22x 3 ++ 31. ( ) ++ 31xx 2)dx(3x C1x xLn2)1x(2 3x4 2 +++++ 32. ( ) ( ) ++ 22

2

4x2x

dx x C

2x4x

Ln28x6x

12x52

++++++

+

33. ( ) + dz4z 13z 22 ( ) ( ) C2z 2zLn3212z16 72z16 5 ++++



46

34. ++ ++ dx3x5xx 17x4x5x3x 23234

C3x2xLn1x

3x2x

21 22 +++

35. ++ +++ dx4x4x11x6x9 17x52x30x24 23423

( ) ( ) ( ) C1x 32x33 11x2x3Ln 232 +++

Integracin De Funciones Racionales (Casos III y IV) Caso III Los factores del denominador son lineales y/o cuadrticos y ninguno de los factores cuadrticos se repite.

Ejemplos Ilustrativos: + x4x 4dx3 Caso IV Los factores del denominador son lineales y/o cuadrticos y algunos de los factores cuadrticos se repiten

Ejemplos Ilustrativos:( )( ) + ++ 22

3

1x

dx3 x 2x


Integral Respuesta

Integral Respuesta

1. + xx2 dx3 1x2 x CLn21 22

+ 2. ( ) ++ x3x dx 6x4 3

2

( ) C3xx Ln 22 ++ 3. ( ) ( ) ++ 22 1x 1x dx x2 C x arcTan1x1 +++ 4. + 24 zz dz C z arcTanz1 + 5.

( )( ) ( ) + 4t 2t dt 8t8t2 2

2

C2t4t

Ln 22

++

6. ( ) + 1xx dx 2 C 1x

xLn

2+

+

7. ++ +++ dz2y3y 2y2yy2 2423

C y arcTan2yLn 2 +++ 8. 1x dxx 35

( )[ ] C1xLnx31 33 ++

9. ( ) ( ) + dx 5x2x 1x 3-3x-x2 22

( )

( ) C2 1xarcTan21 1x5x2x

Ln2

32

+++

10. ++ 8x6x dx 6)-x( 243

( )

C2

xarcTan

2

32x

arcTan23

2x

4xLn

2

2

+++

11. + 1x dx 3 ( ) C3 1x2arcTan31 1x-x 1xLn61 22

++++

12. +++ 4x4xx 7)dx-3x ( 23 ( )( ) C2xarcTan21 1x 4xLn 22

++++

13. ++ xxx dx 23

+++ 3

1x2 arcTan

3

1

1xx

x CLn

21

2

2



47

14. ( )( ) ( ) ++ ++ 1t 1t2 dt 1tt 2

2

( ) ( ) C t arcTan32

1t2 1tLn101 32 ++++

15. ++ + dxxx2x 2xx2 352

( )1x2 x-x arcTan211x x CLn 222

++

16. + 1x dx 44 Cx1 x2arcTan2 1x2x 1x2xLn21 222

+++++

17. ( ) + + dx2x 1xx 223

( ) C2

xarcTan

24

12xLn

)2x(4

x2 2122

++++

18. ( ) ( ) + dx1x 1x 8x4 2222

( ) ( ) ( ) CxarcTan1x 1xLn1x 1x 1x3 22

2

2

+++++

19. ( ) ( ) + 2222 1xx xx dx C)1xx(3 1x23 1x2 arcTan3310x 1x Ln 2 ++ 20. 1x16 dx4 C x2 arcTan411x2 1x2Ln81 ++ 21. ( ) + 22 9z418dz C9z4 z32z arcTan61 2 +++ 22. 1x dx 44 C x arcTan 21x 1xLn ++ 23. + dx1x27 1x2x 3

2

C3

1x6 arcTan

39

51x3Ln

812

1x3x9Ln1625 2 +

++++

24. ( ) ( ) + + dx4x 3x2 10xx 22

C 2x

arcTan 3x24x

Ln21 2 ++

+

25. ( ) + 225

4t

dt t ( ) C

4t

84tLn4

2t

22

2

+++

26. ( )( ) ++ 22

3

1x

dx 3xx ( ) C

1x

11xLn

21

22 +++

27. + dxx9x4 18x3 C 3x2 arcTan 61x 9x4Ln 22

+++

28. ( ) + 224

1x

dxx C

)1x(2

x x arcTan

23

x2

+++

29. ( ) + 22 1x dx C x arcTan1x 121 2 + ++ 30. + + dz5z2z 10z15zz5 2

23

( ) C5z2z8 1547z-21-z arcTan16655z2zLn25 22 ++ +++ 31.

( ) + + dxxTan1 xSec 1xSec 322

C3

1x Tan 2 arcTan

3

2x Tan1Ln

21 +

++



48

32. ( ) + + 1xxx dx xx 23

2

C x arcTan1xLn ++

33. + + dzy9y 9y9y9y 3235

( ) C 9yLn3y 42

3

++

34. ( ) + ++ dx2x x 8x2x4 222

C2

xarcTan

42

2x

xLn

4x2

x2

2

2++++

35. ( ) ++ dx2x x4x 3235

C)2x(Ln21

)2x(

1 222 ++++

36. +++ ++ dz)2z2z)(2z( 2z3z2 22

C 1)(z arcTan2zLn2 +++ Integral Definida Se lee integral de f(x) desde a hasta b Cuando has hallado el valor de la integral se dice que has evaluado la integral Sea f(x) una funcin definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f(x) de a y b

denotada por dx)x(fb

a esta dado por: dx)x(fba = [F(x) + C] = F(b) F(a) Propiedades de la integral definida

1) 0dx)x(fa

a=

2) = abba dx)x(fdx)x(f 3) = baba dx)x(fkdx)x(kf 4) teck )ab(kdxk

b

a==

5) [ ] dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)f ba

n

b

a2

b

a1

b

an21 =

Integrando

dx)x(fb

a Signo de la Integral Limite superior de Integracin

Limite inferior de Integracin

Diferencial, x es la variable de integracin



49

6) bca tq c dx f(x) dx f(x) dx f(x)b

c

c

a

b

a



50

15. e0 xdx 1 31. 91 2 9x dx 5 Ln121 16. +32 2t1 tdt2 Ln 2 32. ( ) +

1

0 2

x

dx1x

xe ( )2e

21

Longitud de Arco de una Curva Plana Def. Sea f(x) una funcin continua en el intervalo [a , b]. En base a la grfica de la funcin y = f(x) la cual se muestra en la figura adjunta podemos establecer el arco de la funcin dada como la porcin de la curva desde el punto A=(a ,f(a)) hasta el punto B=(b ,f(b)), al cual podemos asignar un nmero real como su longitud denotado por L que puede ser calculado por la frmula Anlogamente para una curva dada por x = f(y) la longitud de arco entre c y d estara dada por: Ejemplos Ilustrativos:

1.- Calcular la longitud de rea de la curva x21

6x

y3

+= en el intervalo [1/2 , 2] Resp. 33/16 u.c.

2.- Calcular la longitud de rea de la curva x) Ln(cos y = entre x = 0 y 4

x=

Resp. Ln(2 + 1) ln 1 0,8819 u.c. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x desde el punto (1 , 3) al punto (1 , 6)

Resp. .c.u10 2.- Calcular la longitud del segmento de la recta 4x + 9y = 36 desde el punto (-2 , 2) al

punto (4 , 0) Resp. .c.u97 3.- Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto

(3 , 32 ) Resp. .c.u314

4.- Hallar la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x = 1 hasta el

punto donde x = 2 Resp. .c.u1633

Y=f(x)

a b

y

x

A=(a ,f(a)) B=(b ,f(b))

[ ] dx)x('f1L ba

2 +=

[ ] dy)y('f1L dc

2 +=



51 5.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = 8x2 desde el punto (1 , 2) hasta el punto

(27 , 18) Resp. .c.u)12597(271 23

6.- Calcule la longitud de arco de la curva 23

2 )2x(31

y += desde el punto donde x = 0 hasta el punto donde x = 3 Resp. 12 u. c.

7.- Obtenga la longitud de arco de la curva )1x3(x31

y = desde el punto donde x = 1 hasta

el punto donde x = 4 Resp. .c.u322

8.- Hallar la longitud de arco de la curva 1xy 32

32 =+ desde el punto donde x = 1/8 hasta el


9.- Hallar la longitud de arco de la curva 1bx

ay 3

23

2

=

+

en el primer cuadrante desde el

punto donde x= a81 hasta el punto donde x= a Resp. .c.u

)ba(8

)b3a(a822

23

223

+

10.- Hallar la longitud de arco de la curva 22 )3x(xy9 = en el primer cuadrante desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. .c.u

34

32

11.- Hallar la longitud de arco total de la Hipocicloide 323

23

2

abx

ay =

+

Resp. 6a u.c.

12.- Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln(x) entre los limites x = 3 y x = 8

Resp. .c.u23

Ln21

1 +

13.- Calcular la longitud de arco de la curva y = 1-Ln[cos(x)] entre los limites x = 0 , 4

x=

Resp. .c.u83

TanLn

14.- Hallar la longitud de arco de la curva 23

xy = desde el punto (0 , 0) hasta el punto (4 , 8) Resp. ( ) .c.u11010

278

15.- Hallar la longitud de arco de la curva x41

3x

y3

+= desde el punto donde x = 1 hasta el



4

y8

14y

x += desde el punto donde y = 1 hasta el

punto donde y = 2 Resp. .c.u32123

17.- Hallar la longitud de arco de la curva 32 x4)1y( =+ desde el punto donde x = 0 hasta el punto donde x = 1 Resp. ( ) .c.u11010

274

18.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = x2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (8 , 4) Resp. 9,07 u.c.

19.- Hallar la longitud de arco de la parbola semicbica x3 = ay2 desde el origen hasta la



52

ordenada x = 5a Resp. .c.u27

a335

20.- Calcular la longitud de arco de la curva x21

6x

y3

+= desde el punto de abscisa x = 1 hasta el punto de abscisa x = 3 Resp. .c.u

314

21.- Hallar la longitud de arco de la parabola y2 = 2px desde el vrtice hasta un extremo del

lado recto. Resp. .c.u)21(Ln2p

22p ++

22.- Calcular la longitud de arco de la curva y2 = x3 desde el punto donde x = 0 hasta el punto

donde x = 5/9 Resp. .c.u2719

23.- Calcular la longitud de arco de la parbola 6y = x2 desde el origen hasta el punto (4 , 8/3) Resp. 4,98 u.c.

24.- Determinar la longitud de arco de la curva y = Ln[Sec(x)] desde el origen hasta el punto

Ln2 ,

3 Resp. .c.u)32(Ln +

25.- Hallar la longitud del arco de la hiprbola x2 y2 = 9 comprendido entre los puntos (3 , 0) y (5 , 4) Resp. 4,56 u.c.

26.- Hallar la longitud de arco de la parbola y = 4x - x2 que est por encima del eje de las x Resp. 9,29 u.c.


xy = desde el punto donde x = -1 hasta el punto donde x = 8 Resp. ( ) .c.u5,10.c.u1610801313

271 +

28.- Demostrar que la longitud de una circunferencia de radio r es .c.ur2 29.- Hallar la longitud de arco de la curva 3

2xy = desde el punto (1 , 1) hasta el punto (8 , 4)

Resp. .c.u6,7.c.u1340271 2323


23

xx31

y = desde el punto donde x = 1 hasta el


31.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x23

y 23 += en el intervalo [0,1]


5

x6

110x

y += en el intervalo [1,2]


eey

xx += en el intervalo [0,2] 34.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x

23

y 23 += en el intervalo [1,8]

35.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x23

y 23 = en el intervalo [0,4]

36.- Hallar

guia de cc3a1lculo ii

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