ekonometria przestrzenna - web.sgh.waw.pl -...
TRANSCRIPT
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ekonometria PrzestrzennaWykªad 9: Przestrzenne modele panelowe
Andrzej Torój
Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 1 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Plan wykªadu
1 Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowejModele panelowe bez zale»no±ci przestrzennychElementy diagnostyki modeli panelowych
2 Podstawowe panelowe modele przestrzenneModel panelowy SARAREstymacja ML
3 Rozbudowa specy�kacji panelowych modeli przestrzennychModele statyczneRó»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 2 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Plan prezentacji
1 Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej
2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne
3 Rozbudowa specy�kacji panelowych modeli przestrzennych
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 3 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Dane panelowe
yt,i : dane indeksowane w dwóch wymiarach � czas iobserwowane jednostki
t: �przestrze«� jednowymiarowa o zde�niowanym zwrocie(przeszªo±¢ → przyszªo±¢)i : jednostki � w panelach aprzestrzennych niezale»ne od siebienawzajem
Map¦ powi¡za« mi¦dzy jednostkami W mo»emy potencjalnieodnie±¢ do wymiaru przestrzennego panelu, i .
Wyró»niamy panele:
zbilansowane: dost¦pne T × N obserwacji dla wszystkichzmiennychniezbilansowane: braki w danych (konsekwencje w ekonometriiprzestrzennej powa»niejsze)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 4 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Dane panelowe
yt,i : dane indeksowane w dwóch wymiarach � czas iobserwowane jednostki
t: �przestrze«� jednowymiarowa o zde�niowanym zwrocie(przeszªo±¢ → przyszªo±¢)i : jednostki � w panelach aprzestrzennych niezale»ne od siebienawzajem
Map¦ powi¡za« mi¦dzy jednostkami W mo»emy potencjalnieodnie±¢ do wymiaru przestrzennego panelu, i .
Wyró»niamy panele:
zbilansowane: dost¦pne T × N obserwacji dla wszystkichzmiennychniezbilansowane: braki w danych (konsekwencje w ekonometriiprzestrzennej powa»niejsze)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 4 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Dane panelowe
yt,i : dane indeksowane w dwóch wymiarach � czas iobserwowane jednostki
t: �przestrze«� jednowymiarowa o zde�niowanym zwrocie(przeszªo±¢ → przyszªo±¢)i : jednostki � w panelach aprzestrzennych niezale»ne od siebienawzajem
Map¦ powi¡za« mi¦dzy jednostkami W mo»emy potencjalnieodnie±¢ do wymiaru przestrzennego panelu, i .
Wyró»niamy panele:
zbilansowane: dost¦pne T × N obserwacji dla wszystkichzmiennychniezbilansowane: braki w danych (konsekwencje w ekonometriiprzestrzennej powa»niejsze)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 4 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Panele niezbilansowane (1)
obs = 7 · 5− 2
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 5 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Panele niezbilansowane (2)
obs = 7 · 5− 3
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 6 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Panele niezbilansowane (3)
obs = 7 · 5− 4− 3
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 7 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Panele niezbilansowane (4)
obs = 7 · 5− 4− 3; ρ1?, ρ2 ↓, a w konsekwencji β2 ↑
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 8 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Panele niezbilansowane (5)
obs = 7 · 5− 2 · 5
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 9 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Model pooled (klasyczna regresja liniowa)
Model pooled:
yt,i = c + xt,iβ + εi ,t
εi ,t ∼ N(0, σ2
)i .i .d .
Notacja macierzowa:
yNT×1
= 1NT×1
· c1×1
+ XNT×K
βK×1
+ εNT×1
ε ∼ MVN
(0, σ2 I
NT×NT
)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 10 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Model pooled (klasyczna regresja liniowa)
Model pooled:
yt,i = c + xt,iβ + εi ,t
εi ,t ∼ N(0, σ2
)i .i .d .
Notacja macierzowa:
yNT×1
= 1NT×1
· c1×1
+ XNT×K
βK×1
+ εNT×1
ε ∼ MVN
(0, σ2 I
NT×NT
)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 10 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Model z efektami ustalonymi (FE, �xed e�ects)
Model FE:
yt,i = αi + xt,iβ + εi ,t
εi ,t ∼ N(0, σ2
)i .i .d .
Notacja macierzowa:
yNT×1
=
(1T×1 ⊗ IN
N×N
)µ
N×1+ X
NT×Kβ
K×1+ ε
NT×1
ε ∼ MVN
(0, σ2 I
NT×NT
)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 11 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Model z efektami ustalonymi (FE, �xed e�ects)
Model FE:
yt,i = αi + xt,iβ + εi ,t
εi ,t ∼ N(0, σ2
)i .i .d .
Notacja macierzowa:
yNT×1
=
(1T×1 ⊗ IN
N×N
)µ
N×1+ X
NT×Kβ
K×1+ ε
NT×1
ε ∼ MVN
(0, σ2 I
NT×NT
)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 11 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Iloczyn Kroneckera
12×1⊗ α
3×1=
[11
]⊗
α1
α2
α3
=
1·α1
1·α2
1·α3
1·α1
1·α2
1·α3
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 12 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Model z efektami losowymi (RE, random e�ects)
Model RE:
yt,i = α + xt,iβ + ui , ui = αi + εi ,t ,
αi ∼ N(0, σ2α
)i .i .d ., ui ,t ∼ N
(0, σ2u
)i .i .d .
Notacja macierzowa:
yNT×1
= 1NT×1
· c1×1
+ XNT×K
βK×1
+
(1T×1 ⊗ IN
N×N
)µ
N×1+ u
NT×1
µ ∼ MVN
(0, σ2µ I
N×N
), u ∼ MVN
(0, σ2u I
NT×NT
)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 13 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych
Model z efektami losowymi (RE, random e�ects)
Model RE:
yt,i = α + xt,iβ + ui , ui = αi + εi ,t ,
αi ∼ N(0, σ2α
)i .i .d ., ui ,t ∼ N
(0, σ2u
)i .i .d .
Notacja macierzowa:
yNT×1
= 1NT×1
· c1×1
+ XNT×K
βK×1
+
(1T×1 ⊗ IN
N×N
)µ
N×1+ u
NT×1
µ ∼ MVN
(0, σ2µ I
N×N
), u ∼ MVN
(0, σ2u I
NT×NT
)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 13 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Elementy diagnostyki modeli panelowych
Wybrane post¦powania testowe
Testy efektów indywidualnych:
poolability FE (Walda)wariancji RE (Breuscha-Pagana)
Test Hausmana:
H0: estymator RE zgodny (i wówczas preferowany jakoefektywniejszy)H1: estymator RE niezgodny (i wówczas preferowany FE mimoni»szej efektywno±ci)
Testy efektów przestrzennych w modelach aprzestrzennych.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 14 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Elementy diagnostyki modeli panelowych
Modele specjalne
Modele dynamiczne: Arellano-Bonda, Blundella-Bonda, itd.
Modele ograniczonej zmiennej zale»nej
Modele z kointegracj¡
Dynamiczny rozwój literatury w ostatnich 10 latachNie s¡ przedmiotem tego wykªadu, ale: Elhorst P., 2014,Spatial Econometrics: From Cross-Sectional Data toSpatial Panels (ch. 4)Oprogramowanie: wi¦cej w Stata (np. modeleniezbilansowane)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 15 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Plan prezentacji
1 Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej
2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne
3 Rozbudowa specy�kacji panelowych modeli przestrzennych
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 16 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Model panelowy SARAR
Model SARAR z efektami indywidualnymi
yNT×1
=
ρ
(IT
T×T⊗ W
N×N
)y
NT×1+ X
NT×Kβ
K×1+ (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε︸ ︷︷ ︸
NT×1
ε ∼ MVN(0, σ2εI
)Opcja spatial.error w komendzie R spml:
�none�: λ = 0 (SAR)�b�: λ 6= 0�kkp�: autokorelacja przestrzenna obejmuje równie» efektyindywidualne (Kapoor i in., 2007 � nie omawiamy tego przypadkuponi»ej, pozostawiam jako ¢wiczenie)
[INT − λ (IT ⊗W)]−1 [(1T×1 ⊗ IN)µ+ ε]
Powy»szy przypadek ªatwo uszczegóªowi¢ do modelu SEM (ρ = 0, lag =
FALSE).Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 17 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Model panelowy SARAR
Model SARAR z efektami indywidualnymi
yNT×1
=
ρ
(IT
T×T⊗ W
N×N
)y
NT×1+ X
NT×Kβ
K×1+ (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε︸ ︷︷ ︸
NT×1
ε ∼ MVN(0, σ2εI
)Opcja spatial.error w komendzie R spml:
�none�: λ = 0 (SAR)�b�: λ 6= 0�kkp�: autokorelacja przestrzenna obejmuje równie» efektyindywidualne (Kapoor i in., 2007 � nie omawiamy tego przypadkuponi»ej, pozostawiam jako ¢wiczenie)
[INT − λ (IT ⊗W)]−1 [(1T×1 ⊗ IN)µ+ ε]
Powy»szy przypadek ªatwo uszczegóªowi¢ do modelu SEM (ρ = 0, lag =
FALSE).Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 17 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Model panelowy SARAR
Model SARAR z efektami indywidualnymi
yNT×1
=
ρ
(IT
T×T⊗ W
N×N
)y
NT×1+ X
NT×Kβ
K×1+ (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε︸ ︷︷ ︸
NT×1
ε ∼ MVN(0, σ2εI
)Opcja spatial.error w komendzie R spml:
�none�: λ = 0 (SAR)�b�: λ 6= 0�kkp�: autokorelacja przestrzenna obejmuje równie» efektyindywidualne (Kapoor i in., 2007 � nie omawiamy tego przypadkuponi»ej, pozostawiam jako ¢wiczenie)
[INT − λ (IT ⊗W)]−1 [(1T×1 ⊗ IN)µ+ ε]
Powy»szy przypadek ªatwo uszczegóªowi¢ do modelu SEM (ρ = 0, lag =
FALSE).Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 17 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Model panelowy SARAR
Macierz wag przestrzennych
Macierz mno»ników przestrzennych (IT ⊗W) ma teraz ukªadblokowo-diagonalny:
W
W
W. . .
W
W −macierz powiazan w 1 okresieW −macierz powiazan w 2 okresieW −macierz powiazan w 3 okresie
...W −macierz powiazan w T okresie
Wa»ne! Zakªadamy, »e kolejno±¢ obserwacji w macierzach y i X wgschematu:
region 1 okres 1, region 2 okres 1, region 1 okres 2, region 2okres 2...W spml w R prawie bez znaczenia jak zaimportujemy dane(szczegóªy w kodzie), ale poni»sze wyprowadzenia prawdziwetylko w takim przypadku.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 18 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Model panelowy SARAR
Macierz wag przestrzennych
Macierz mno»ników przestrzennych (IT ⊗W) ma teraz ukªadblokowo-diagonalny:
W
W
W. . .
W
W −macierz powiazan w 1 okresieW −macierz powiazan w 2 okresieW −macierz powiazan w 3 okresie
...W −macierz powiazan w T okresie
Wa»ne! Zakªadamy, »e kolejno±¢ obserwacji w macierzach y i X wgschematu:
region 1 okres 1, region 2 okres 1, region 1 okres 2, region 2okres 2...W spml w R prawie bez znaczenia jak zaimportujemy dane(szczegóªy w kodzie), ale poni»sze wyprowadzenia prawdziwetylko w takim przypadku.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 18 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Model panelowy SARAR
Rodzaje efektów indywidualnych
Efekty indywidualne mog¡ równie» dotyczy¢ okresów, a nietylko regionów (effect: �individual�, �time�,�twoways�).
Pod wzgl¦dem statystycznym, model przestrzenny równie»mo»emy traktowa¢ na dwa sposoby, tak jak aprzestrzenny:
FE: L(y|X,β, ρ, λ, σ2ε ,µ
)RE: L
(y|X,β, ρ, λ, σ2ε , σ2µ
), gdzie µ ∼ MVN
(0;σ2µI
)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 19 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Konstrukcja skªadnika losowego
Odnotujmy relacj¦ mi¦dzy postaci¡ strukturaln¡ a zredukowan¡:
y = [INT − ρ (IT ⊗W)]−1Xβ + [INT − ρ (IT ⊗W)]−1 ν
gdzie
ν = ε (FE, SAR) � µ traktujemy wtedy jako cz¦±¢ X
ν = (1T×1 ⊗ IN)µ+ ε (RE, SAR)
ν = [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε (FE, SARAR) � µ traktujemywtedy jako cz¦±¢ X
ν = (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε (RE, SARAR)
Niezale»nie od powy»szego wariantu:
∂ν∂y = [INT − ρ (IT ⊗W)] = IT ⊗ (IN − ρW) ≡ IT ⊗Mρ
−1
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 20 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Funkcja wiarygodno±ci
W przestrzennych modelach panelowych zawsze b¦dziemy korzystali z ogólnejpostaci funkcji wiarygodno±ci obserwacji, której logarytm wyra»a si¦ wzorem:
ln L(y|X,β, ρ, λ, σ2ε , ...
)=
−N·T2
ln (2π)+ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν |− 1
2ν (y|X,β, ρ,W, ...)′Σν
−1ν (y|X,β, ρ,W, ...)
N � wymiar przestrzenny
T � wymiar czasowy
y, X � dane
W � znana macierz wspóªzale»no±ci przestrzennych
ν � wektor skªadników losowych
Σν � macierz wariancji-kowariancji ν∂ν∂y
� Jakobian relacji mi¦dzy postaci¡ strukturaln¡ a zredukowan¡(pochodna wektora ν po wektorze zmiennej obja±nianej)
Uwaga! Przede�niowanie ν wymusza przede�niowanie Σν i ∂ν∂y
.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 21 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu FE-SARAR (1)
Skªadnik losowy:ν = [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε = IT⊗(IN − λW)−1ε ≡ IT⊗Mλε
Jego macierz wariancji-kowariancji (w dalszej cz¦±ciprezentacji: T � liczba okresów jako liczba lub indeks dolny, ′
� transpozycja):
Συ = (IT ⊗Mλ)σ2ε I (IT ⊗Mλ)′
= σ2ε (IT ⊗Mλ)(I′T ⊗Mλ
′)
=
= σ2ε
(IT I′T
)⊗(MλMλ
′)
= σ2ε IT ⊗(MλMλ
′)
Συ−1 = 1
σ2εIT ⊗
(MλMλ
′)−1
ln |Συ| = NT · lnσ2ε + T · ln∣∣∣MλMλ
′∣∣∣
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 22 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu FE-SARAR (1)
Skªadnik losowy:ν = [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε = IT⊗(IN − λW)−1ε ≡ IT⊗Mλε
Jego macierz wariancji-kowariancji (w dalszej cz¦±ciprezentacji: T � liczba okresów jako liczba lub indeks dolny, ′
� transpozycja):
Συ = (IT ⊗Mλ)σ2ε I (IT ⊗Mλ)′
= σ2ε (IT ⊗Mλ)(I′T ⊗Mλ
′)
=
= σ2ε
(IT I′T
)⊗(MλMλ
′)
= σ2ε IT ⊗(MλMλ
′)
Συ−1 = 1
σ2εIT ⊗
(MλMλ
′)−1
ln |Συ| = NT · lnσ2ε + T · ln∣∣∣MλMλ
′∣∣∣
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 22 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu FE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LFE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν | − 1
2υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− T
2
∣∣∣MλMλ′∣∣∣+
− 12σ2ευ′[IT ⊗
(MλMλ
′)−1]
υ
υ = [INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ − (1T×1 ⊗ IN)µ
Sposób maksymalizacji:
1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego yi,t warto±¢yi = 1
TΣT
t=1yi,t (i podobnie dla X).2 Maksymalizacja ln LFE ze wzgl¦du na ρ, λ, β, σ2ε z pomini¦ciem
skªadników (1T×1 ⊗ IN)µ.3 Wyznaczenie µ jako vi = 1
TΣT
t=1vi,t po takiej estymacji.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu FE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LFE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν | − 1
2υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− T
2
∣∣∣MλMλ′∣∣∣+
− 12σ2ευ′[IT ⊗
(MλMλ
′)−1]
υ
υ = [INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ − (1T×1 ⊗ IN)µ
Sposób maksymalizacji:
1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego yi,t warto±¢yi = 1
TΣT
t=1yi,t (i podobnie dla X).2 Maksymalizacja ln LFE ze wzgl¦du na ρ, λ, β, σ2ε z pomini¦ciem
skªadników (1T×1 ⊗ IN)µ.3 Wyznaczenie µ jako vi = 1
TΣT
t=1vi,t po takiej estymacji.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu FE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LFE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν | − 1
2υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− T
2
∣∣∣MλMλ′∣∣∣+
− 12σ2ευ′[IT ⊗
(MλMλ
′)−1]
υ
υ = [INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ − (1T×1 ⊗ IN)µ
Sposób maksymalizacji:
1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego yi,t warto±¢yi = 1
TΣT
t=1yi,t (i podobnie dla X).2 Maksymalizacja ln LFE ze wzgl¦du na ρ, λ, β, σ2ε z pomini¦ciem
skªadników (1T×1 ⊗ IN)µ.3 Wyznaczenie µ jako vi = 1
TΣT
t=1vi,t po takiej estymacji.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu FE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LFE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν | − 1
2υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− T
2
∣∣∣MλMλ′∣∣∣+
− 12σ2ευ′[IT ⊗
(MλMλ
′)−1]
υ
υ = [INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ − (1T×1 ⊗ IN)µ
Sposób maksymalizacji:
1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego yi,t warto±¢yi = 1
TΣT
t=1yi,t (i podobnie dla X).2 Maksymalizacja ln LFE ze wzgl¦du na ρ, λ, β, σ2ε z pomini¦ciem
skªadników (1T×1 ⊗ IN)µ.3 Wyznaczenie µ jako vi = 1
TΣT
t=1vi,t po takiej estymacji.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu RE-SARAR (1)
Zªo»ony skªadnik losowy:ν = (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε =
(1T×1 ⊗ IN)µ+ IT ⊗ (IN − λW)−1 ε ≡ (1T×1 ⊗ IN)µ+ (IT ⊗Mλ) ε
Jego macierz wariancji-kowariancji (przy zaªo»eniu niezale»no±ci µ i ε):Συ = Var [(1T×1 ⊗ IN)µ] + Var [(IT ⊗Mλ) ε] =
= σ2µ
(1T×11
′T×1
)⊗(IN I
′N
)+ σ2ε
(IT I
′T
)⊗(MλMλ
′)=
= σ2ε
σ2µ
σ2ε︸︷︷︸φ
(1T×T ⊗ IN) + IT ⊗(MλMλ
′)
︸ ︷︷ ︸Συ
Συ−1 = 1
σ2εΣυ−1
ln |Συ | = NT · lnσ2ε + ln∣∣∣Συ
∣∣∣Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 24 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu RE-SARAR (1)
Zªo»ony skªadnik losowy:ν = (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε =
(1T×1 ⊗ IN)µ+ IT ⊗ (IN − λW)−1 ε ≡ (1T×1 ⊗ IN)µ+ (IT ⊗Mλ) ε
Jego macierz wariancji-kowariancji (przy zaªo»eniu niezale»no±ci µ i ε):Συ = Var [(1T×1 ⊗ IN)µ] + Var [(IT ⊗Mλ) ε] =
= σ2µ
(1T×11
′T×1
)⊗(IN I
′N
)+ σ2ε
(IT I
′T
)⊗(MλMλ
′)=
= σ2ε
σ2µ
σ2ε︸︷︷︸φ
(1T×T ⊗ IN) + IT ⊗(MλMλ
′)
︸ ︷︷ ︸Συ
Συ−1 = 1
σ2εΣυ−1
ln |Συ | = NT · lnσ2ε + ln∣∣∣Συ
∣∣∣Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 24 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu RE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LRE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν |+
− 12υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− 1
2ln∣∣∣Συ (λ, φ)
∣∣∣+− 1
2σ2ευ′Συ (λ, φ)−1 υ
υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}
Sposób maksymalizacji:
1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ(0), ρ(0), φ(0).2 Na podstawie warunków pierwszego rz¦du dla ln L oraz ustalonych w
poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ2v .3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ2v wyznaczamy nowe warto±ci
λ, ρ, φ maksymalizuj¡c ln LRE .4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu RE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LRE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν |+
− 12υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− 1
2ln∣∣∣Συ (λ, φ)
∣∣∣+− 1
2σ2ευ′Συ (λ, φ)−1 υ
υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}
Sposób maksymalizacji:
1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ(0), ρ(0), φ(0).2 Na podstawie warunków pierwszego rz¦du dla ln L oraz ustalonych w
poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ2v .3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ2v wyznaczamy nowe warto±ci
λ, ρ, φ maksymalizuj¡c ln LRE .4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu RE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LRE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν |+
− 12υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− 1
2ln∣∣∣Συ (λ, φ)
∣∣∣+− 1
2σ2ευ′Συ (λ, φ)−1 υ
υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}
Sposób maksymalizacji:
1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ(0), ρ(0), φ(0).2 Na podstawie warunków pierwszego rz¦du dla ln L oraz ustalonych w
poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ2v .3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ2v wyznaczamy nowe warto±ci
λ, ρ, φ maksymalizuj¡c ln LRE .4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu RE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LRE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν |+
− 12υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− 1
2ln∣∣∣Συ (λ, φ)
∣∣∣+− 1
2σ2ευ′Συ (λ, φ)−1 υ
υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}
Sposób maksymalizacji:
1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ(0), ρ(0), φ(0).2 Na podstawie warunków pierwszego rz¦du dla ln L oraz ustalonych w
poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ2v .3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ2v wyznaczamy nowe warto±ci
λ, ρ, φ maksymalizuj¡c ln LRE .4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Estymacja ML
Estymacja ML modelu RE-SARAR (2)
Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:
ln LRE = −N·T2
ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1
2ln |Σν |+
− 12υ′Σν
−1υ =
= −N·T2
ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2
ln(σ2ε)− 1
2ln∣∣∣Συ (λ, φ)
∣∣∣+− 1
2σ2ευ′Συ (λ, φ)−1 υ
υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}
Sposób maksymalizacji:
1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ(0), ρ(0), φ(0).2 Na podstawie warunków pierwszego rz¦du dla ln L oraz ustalonych w
poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ2v .3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ2v wyznaczamy nowe warto±ci
λ, ρ, φ maksymalizuj¡c ln LRE .4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Plan prezentacji
1 Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej
2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne
3 Rozbudowa specy�kacji panelowych modeli przestrzennych
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 26 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele statyczne
Panelowe wersje przestrzennych modeli przekrojowych
SAR, SEM, SARAR: estymacja jak wy»ej metod¡ najwi¦kszejwiarygodno±ci
SLX: estymacja jak w przypadku aprzestrzennych modeliFE/RE
SDM, SDEM: rozbudowa SAR albo SEM o dodatkowyregresor (IT ⊗W)X
Estymacja
model <- spml(formula = ..., model = ..., effect = ,
lag = ..., spatial.error = ...)
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 27 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele statyczne
Testy specy�kacji w panelowych modelach przestrzennych(1)
Baltagi i in., 2003:
Test H0 dodatkowe zaªo»enia bsktest(test = ...)
LM1 σ2µ = 0 ρ = 0 �LM1�
LM2 ρ = 0 σ2µ = 0 �LM2�
LMH ρ = σ2µ = 0 � �LMJOINT�
LMλ ρ = 0 σ2µ ≥ 0 �CLMlambda�
LMµ σ2µ = 0 ρ ∈ (−1; 1) �CLMmu�
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 28 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele statyczne
Testy specy�kacji w panelowych modelach przestrzennych(2)
Przestrzenna wersja testu Hausmana (Mutl, Pfa�ermayr, 2011): sphtest
Niezale»nie od wyniku testu, stosowanie modelu RE do danychprzestrzennych ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników (Elhorst vsLeSage).
Argumenty zwolenników:
efektywno±¢ RE i problematyczne asymptotyczne wnioskowania o µ zewzgl¦du na Nzgodno±¢ (o ile wyka»e j¡ test Hausmana);
Argumenty przeciwników:
dane przestrzenne obejmuj¡ zwykle kompletn¡ populacj¦ jednostek, a niepróbk¦ losowan¡ z jakej± szerszej populacji / procesu o wariancji σ2µnie okre±lamy schematu potencjalnego losowania z takiej populacji, alewiemy, »e wpªywaªby on na sie¢ powi¡za« Wnie musimy wnioskowa¢ o µ, a problem z asymptotyk¡ N nie wpªywa naβ � Lancaster, 2000
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 29 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele statyczne
Testy specy�kacji w panelowych modelach przestrzennych(2)
Przestrzenna wersja testu Hausmana (Mutl, Pfa�ermayr, 2011): sphtest
Niezale»nie od wyniku testu, stosowanie modelu RE do danychprzestrzennych ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników (Elhorst vsLeSage).
Argumenty zwolenników:
efektywno±¢ RE i problematyczne asymptotyczne wnioskowania o µ zewzgl¦du na Nzgodno±¢ (o ile wyka»e j¡ test Hausmana);
Argumenty przeciwników:
dane przestrzenne obejmuj¡ zwykle kompletn¡ populacj¦ jednostek, a niepróbk¦ losowan¡ z jakej± szerszej populacji / procesu o wariancji σ2µnie okre±lamy schematu potencjalnego losowania z takiej populacji, alewiemy, »e wpªywaªby on na sie¢ powi¡za« Wnie musimy wnioskowa¢ o µ, a problem z asymptotyk¡ N nie wpªywa naβ � Lancaster, 2000
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 29 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Modele statyczne
Testy specy�kacji w panelowych modelach przestrzennych(2)
Przestrzenna wersja testu Hausmana (Mutl, Pfa�ermayr, 2011): sphtest
Niezale»nie od wyniku testu, stosowanie modelu RE do danychprzestrzennych ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników (Elhorst vsLeSage).
Argumenty zwolenników:
efektywno±¢ RE i problematyczne asymptotyczne wnioskowania o µ zewzgl¦du na Nzgodno±¢ (o ile wyka»e j¡ test Hausmana);
Argumenty przeciwników:
dane przestrzenne obejmuj¡ zwykle kompletn¡ populacj¦ jednostek, a niepróbk¦ losowan¡ z jakej± szerszej populacji / procesu o wariancji σ2µnie okre±lamy schematu potencjalnego losowania z takiej populacji, alewiemy, »e wpªywaªby on na sie¢ powi¡za« Wnie musimy wnioskowa¢ o µ, a problem z asymptotyk¡ N nie wpªywa naβ � Lancaster, 2000
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 29 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Dynamika w panelowych modelach przestrzennych
Uwzgl¦dnienie wymiaru czasowego zwielokrotniªo liczb¦ potencjalnychspecy�kacji modelu.Mo»liwo±¢ wyst¡pienia opó¹nie« czasowych komplikuje spraw¦ jeszcze bardziej...(Elhorst, 2001).
Poni»szy schemat nie uwzgl¦dnia nawet »adnych opó¹nie« X.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 30 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Podstawowy problem w specy�kacji dynamicznych paneli
Nakªadanie si¦ ró»nych wymiarów oddziaªywa«:
czas: yt−1 → ytprzestrze«: Wyt → ytzmienne: xt → ytw efekcie: yt ← xt, yt−1,Wyt,Wyt−1, xt−1,Wxt,Wxt−1, ...
Wymiar czasowy i przestrzenny nie s¡ niezale»ne, przestrzennepanele nale»y rozpatrywa¢ ª¡cznie jako czasowo-przestrzennyproces (Cook i in., 2017: �Right Place, Right Time� �badanie Monte Carlo).
Konsekwencja: cz¦ste obci¡»enia szacowanych parametrówprzy zªej specy�kacji procesu (Elhorst, 2010).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 31 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Podstawowy problem w specy�kacji dynamicznych paneli
Nakªadanie si¦ ró»nych wymiarów oddziaªywa«:
czas: yt−1 → ytprzestrze«: Wyt → ytzmienne: xt → ytw efekcie: yt ← xt, yt−1,Wyt,Wyt−1, xt−1,Wxt,Wxt−1, ...
Wymiar czasowy i przestrzenny nie s¡ niezale»ne, przestrzennepanele nale»y rozpatrywa¢ ª¡cznie jako czasowo-przestrzennyproces (Cook i in., 2017: �Right Place, Right Time� �badanie Monte Carlo).
Konsekwencja: cz¦ste obci¡»enia szacowanych parametrówprzy zªej specy�kacji procesu (Elhorst, 2010).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 31 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Podstawowy problem w specy�kacji dynamicznych paneli
Nakªadanie si¦ ró»nych wymiarów oddziaªywa«:
czas: yt−1 → ytprzestrze«: Wyt → ytzmienne: xt → ytw efekcie: yt ← xt, yt−1,Wyt,Wyt−1, xt−1,Wxt,Wxt−1, ...
Wymiar czasowy i przestrzenny nie s¡ niezale»ne, przestrzennepanele nale»y rozpatrywa¢ ª¡cznie jako czasowo-przestrzennyproces (Cook i in., 2017: �Right Place, Right Time� �badanie Monte Carlo).
Konsekwencja: cz¦ste obci¡»enia szacowanych parametrówprzy zªej specy�kacji procesu (Elhorst, 2010).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 31 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Podstawowe zasady
Pomini¦cie czasowej autoregresji zwykle prowadzi doprzeszacowania parametru przestrzennej autoregresji (lubzale»no±ci od WX) � Achen (2000).
To z kolei � do niedoszacowania β (Hays, 2003).
Nale»y zachowa¢ szczególn¡ ostro»no±¢ przy próbachwnioskowania od szegóªu do ogóªu (nie mo»na ich wykluczy¢,gdy» problem sªabej identy�kowalno±ci parametrówprzestrzennych przy bogatej dynamice czasowo-przestrzennejjest jeszcze silniejszy):
Minimum: oszacowa¢ przynajmniej dynamiczny modelaprzestrzenny i sprawdzi¢, czy nie zachodzi autokorelacjaprzestrzenna reszt (Beck i Katz, 2011).Lepiej: rozwa»y¢ ª¡cznie jedno opó¹nienie przestrzenne i jednoczasowe (testy istotno±ci LR).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 32 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Podstawowe zasady
Pomini¦cie czasowej autoregresji zwykle prowadzi doprzeszacowania parametru przestrzennej autoregresji (lubzale»no±ci od WX) � Achen (2000).
To z kolei � do niedoszacowania β (Hays, 2003).
Nale»y zachowa¢ szczególn¡ ostro»no±¢ przy próbachwnioskowania od szegóªu do ogóªu (nie mo»na ich wykluczy¢,gdy» problem sªabej identy�kowalno±ci parametrówprzestrzennych przy bogatej dynamice czasowo-przestrzennejjest jeszcze silniejszy):
Minimum: oszacowa¢ przynajmniej dynamiczny modelaprzestrzenny i sprawdzi¢, czy nie zachodzi autokorelacjaprzestrzenna reszt (Beck i Katz, 2011).Lepiej: rozwa»y¢ ª¡cznie jedno opó¹nienie przestrzenne i jednoczasowe (testy istotno±ci LR).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 32 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Model STADL
Uogólnienie: model STADL(p, q, r ,P,Q,R) �Spatio-Temporal Autoregressive Distributed Lag:
Fyt = X′tG + Hεt
F =
I−︸︷︷︸(φ1L + . . .+ φpLp)︸ ︷︷ ︸
FT
−ρ1W − . . .− ρPWP︸ ︷︷ ︸FS
G =(β0 + L′β1 + . . .+ (Lq)′ βq −W′θ1 − . . .−
(WQ
)′θQ
)H =
(I− δ1L− . . .− δrLr − λ1W − . . .− λRWR
)−1Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa procesu: uogólnieniepoj¦¢ typowych dla ekonometrii szeregów czasowych iprzestrzennej. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego Fpowinny by¢ poza koªem jednostkowym.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 33 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Model STADL
Uogólnienie: model STADL(p, q, r ,P,Q,R) �Spatio-Temporal Autoregressive Distributed Lag:
Fyt = X′tG + Hεt
F =
I−︸︷︷︸(φ1L + . . .+ φpLp)︸ ︷︷ ︸
FT
−ρ1W − . . .− ρPWP︸ ︷︷ ︸FS
G =(β0 + L′β1 + . . .+ (Lq)′ βq −W′θ1 − . . .−
(WQ
)′θQ
)H =
(I− δ1L− . . .− δrLr − λ1W − . . .− λRWR
)−1Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa procesu: uogólnieniepoj¦¢ typowych dla ekonometrii szeregów czasowych iprzestrzennej. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego Fpowinny by¢ poza koªem jednostkowym.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 33 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa
Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0):
(I− φ1L− ρ1W) yt = Xt′β0 + εt
Stacjonarno±¢ czasowa (dla ρ1 = 0): |φ1| < 1
Stacjonarno±¢ przestrzenna (dla φ1 = 0): λMIN < ρ1 < λMAX ,gdzie λMAX , λMIN � warto±ci wªasne W o najwy»szym inajni»szym module
W najcz¦stszych przypadkach: normalizacji W wierszami orazρ1 > 0 warunek upraszcza si¦ do: ρ1 < 1.
Stacjonarno±¢ czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008):∣∣∣FT (FS)−1∣∣∣ < 0
W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ1 > 0,warunek sprowadza si¦ do: φ1 + ρ1 < 1.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa
Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0):
(I− φ1L− ρ1W) yt = Xt′β0 + εt
Stacjonarno±¢ czasowa (dla ρ1 = 0): |φ1| < 1
Stacjonarno±¢ przestrzenna (dla φ1 = 0): λMIN < ρ1 < λMAX ,gdzie λMAX , λMIN � warto±ci wªasne W o najwy»szym inajni»szym module
W najcz¦stszych przypadkach: normalizacji W wierszami orazρ1 > 0 warunek upraszcza si¦ do: ρ1 < 1.
Stacjonarno±¢ czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008):∣∣∣FT (FS)−1∣∣∣ < 0
W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ1 > 0,warunek sprowadza si¦ do: φ1 + ρ1 < 1.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa
Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0):
(I− φ1L− ρ1W) yt = Xt′β0 + εt
Stacjonarno±¢ czasowa (dla ρ1 = 0): |φ1| < 1
Stacjonarno±¢ przestrzenna (dla φ1 = 0): λMIN < ρ1 < λMAX ,gdzie λMAX , λMIN � warto±ci wªasne W o najwy»szym inajni»szym module
W najcz¦stszych przypadkach: normalizacji W wierszami orazρ1 > 0 warunek upraszcza si¦ do: ρ1 < 1.
Stacjonarno±¢ czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008):∣∣∣FT (FS)−1∣∣∣ < 0
W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ1 > 0,warunek sprowadza si¦ do: φ1 + ρ1 < 1.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa
Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0):
(I− φ1L− ρ1W) yt = Xt′β0 + εt
Stacjonarno±¢ czasowa (dla ρ1 = 0): |φ1| < 1
Stacjonarno±¢ przestrzenna (dla φ1 = 0): λMIN < ρ1 < λMAX ,gdzie λMAX , λMIN � warto±ci wªasne W o najwy»szym inajni»szym module
W najcz¦stszych przypadkach: normalizacji W wierszami orazρ1 > 0 warunek upraszcza si¦ do: ρ1 < 1.
Stacjonarno±¢ czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008):∣∣∣FT (FS)−1∣∣∣ < 0
W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ1 > 0,warunek sprowadza si¦ do: φ1 + ρ1 < 1.
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Mno»niki przestrzenno-czasowe
Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0):
(I− φ1L− ρ1W) yt = Xt′β0 + εt
Mno»niki aprzestrzenne:
krótkookresowy: ∂yi∂xi′
= β0
dªugookresowy: ∂yi∂xi′
= β0
1−φ1
Mno»niki przestrzenne:
statyczny (φ1 = 0) / krótkookresowy:∂y∂xk′
= (I− ρ1W)−1β0,k
dªugookresowy: ∂y∂xk′
= (I− φ1L− ρ1W)−1β0,k
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 35 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Mno»niki przestrzenno-czasowe
Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0):
(I− φ1L− ρ1W) yt = Xt′β0 + εt
Mno»niki aprzestrzenne:
krótkookresowy: ∂yi∂xi′
= β0
dªugookresowy: ∂yi∂xi′
= β0
1−φ1
Mno»niki przestrzenne:
statyczny (φ1 = 0) / krótkookresowy:∂y∂xk′
= (I− ρ1W)−1β0,k
dªugookresowy: ∂y∂xk′
= (I− φ1L− ρ1W)−1β0,k
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 35 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Mno»niki przestrzenno-czasowe
Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0):
(I− φ1L− ρ1W) yt = Xt′β0 + εt
Mno»niki aprzestrzenne:
krótkookresowy: ∂yi∂xi′
= β0
dªugookresowy: ∂yi∂xi′
= β0
1−φ1
Mno»niki przestrzenne:
statyczny (φ1 = 0) / krótkookresowy:∂y∂xk′
= (I− ρ1W)−1β0,k
dªugookresowy: ∂y∂xk′
= (I− φ1L− ρ1W)−1β0,k
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 35 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
A je»eli to W si¦ zmienia?
To bardzo prawdopodobne, je»eli posªugujemy si¦abstrakcyjnym, niegeogra�cznym kryterium odlegªo±ci.
W zasadzie nie stanowi to problemu, bo zamiast (IT ⊗W)mo»na zde�niowa¢:
W1
W2
W3
. . .
WT
Problem pojawia si¦ wówczas, gdy zmiany W maj¡ charakterendogeniczny!
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 36 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
A je»eli to W si¦ zmienia?
To bardzo prawdopodobne, je»eli posªugujemy si¦abstrakcyjnym, niegeogra�cznym kryterium odlegªo±ci.
W zasadzie nie stanowi to problemu, bo zamiast (IT ⊗W)mo»na zde�niowa¢:
W1
W2
W3
. . .
WT
Problem pojawia si¦ wówczas, gdy zmiany W maj¡ charakterendogeniczny!
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 36 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
A je»eli to W si¦ zmienia?
To bardzo prawdopodobne, je»eli posªugujemy si¦abstrakcyjnym, niegeogra�cznym kryterium odlegªo±ci.
W zasadzie nie stanowi to problemu, bo zamiast (IT ⊗W)mo»na zde�niowa¢:
W1
W2
W3
. . .
WT
Problem pojawia si¦ wówczas, gdy zmiany W maj¡ charakterendogeniczny!
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 36 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Modele ko-ewolucji sieci
Rozwi¡zanie: modele ko-ewolucji sieci � Franzese, Hays,Kachi, 2011.
1 Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracownikówkorporacji w ci¡gu T = 24 miesi¦cy.
2 Fakt jego podj¦cia od szeregu indywidualnych charakterystyk(X), jak równie» od tego, czy sie¢ naszych najbli»szychznajomych pali (Wy).
3 Sie¢ naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymisªabn¡, z innymi si¦ wzmacniaj¡ (Wt).
4 Niewykluczone, »e pracownicy zawieraj¡ bli»sze znajomo±ci ztymi, których spotykaj¡ w palarni (Wt = f (yt−1)).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Modele ko-ewolucji sieci
Rozwi¡zanie: modele ko-ewolucji sieci � Franzese, Hays,Kachi, 2011.
1 Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracownikówkorporacji w ci¡gu T = 24 miesi¦cy.
2 Fakt jego podj¦cia od szeregu indywidualnych charakterystyk(X), jak równie» od tego, czy sie¢ naszych najbli»szychznajomych pali (Wy).
3 Sie¢ naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymisªabn¡, z innymi si¦ wzmacniaj¡ (Wt).
4 Niewykluczone, »e pracownicy zawieraj¡ bli»sze znajomo±ci ztymi, których spotykaj¡ w palarni (Wt = f (yt−1)).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Modele ko-ewolucji sieci
Rozwi¡zanie: modele ko-ewolucji sieci � Franzese, Hays,Kachi, 2011.
1 Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracownikówkorporacji w ci¡gu T = 24 miesi¦cy.
2 Fakt jego podj¦cia od szeregu indywidualnych charakterystyk(X), jak równie» od tego, czy sie¢ naszych najbli»szychznajomych pali (Wy).
3 Sie¢ naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymisªabn¡, z innymi si¦ wzmacniaj¡ (Wt).
4 Niewykluczone, »e pracownicy zawieraj¡ bli»sze znajomo±ci ztymi, których spotykaj¡ w palarni (Wt = f (yt−1)).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37
Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji
Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki
Modele ko-ewolucji sieci
Rozwi¡zanie: modele ko-ewolucji sieci � Franzese, Hays,Kachi, 2011.
1 Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracownikówkorporacji w ci¡gu T = 24 miesi¦cy.
2 Fakt jego podj¦cia od szeregu indywidualnych charakterystyk(X), jak równie» od tego, czy sie¢ naszych najbli»szychznajomych pali (Wy).
3 Sie¢ naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymisªabn¡, z innymi si¦ wzmacniaj¡ (Wt).
4 Niewykluczone, »e pracownicy zawieraj¡ bli»sze znajomo±ci ztymi, których spotykaj¡ w palarni (Wt = f (yt−1)).
Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej
(9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37