ejer 1-1 matematicas aplicadas

8/20/2019 Ejer 1-1 matematicas aplicadas

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NÚMEROS COMPLEJOS

EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS RESUELTOS

1) Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

a) j1

) j1)(2 j1(

−−−+

b))3 j4)(3 j4(

2 j1

+−

+

c) Re

+−−+

)2 j1)( j2(

) j1)( j1(5 jd)

2

15!5

j j1

j j j1

+−−+

"oluci#n:

a) $ % j1

) j1)(2 j1(

−−−+

% j1

j22 j j1 2

−−−−−

% j1

3 j1

−−

$ % j1

3 j1

−−

j1

j1

++

%22

2

j1

j33 j j1

−

−−+%

2

2 j4 −% 2 & j

b) ' % )3 j4)(3 j4(

2 j1

+−

+

% 22 )3 j(4

2 j1

−

+

% 25

2 j1+%

25

2 j1+%25

5

c) %

+−−+

)2 j1)( j2(

) j1)( j1(5 j%

−−+

−2

22

j2 j4 j2

) j1(5 j%

+ 3 j41 j

%3 j4

1 j+ 3 j4

3 j4−− % 22

2

)3 j(4 j34 j

−− %

254 j3+ %

5

* j

5

++

d) , %2

15!5

j j1

j j j1

+−

−+%

2

1514

j

1 j1

j j1

+−

−+%

1 j1

j j1 32

−

−+%

j

(j)11

−% &1

2) alcule j12-

23


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NÚMEROS COMPLEJOS

"oluci#n:

"i dividimos a 12 por 4. obtenemos un residuo igual a cero. por lo tanto:

j12 % j % 1

3) ,ados z 1 % 1 / j2. z 2 % 1 & j 0 z 3 % 2 / j. determine el valor

numérico de las siguientes expresiones-

a)

2

2 321 z

z z +− b) m )2321 2 j z z z +−

"oluci#n:

a) $ %2

2 321 z

z z +− %2

j2) j1(22 j1

++−−+ %

2

! j %

2

!

b) ' % 2321 )(2 jm z z z +− %2)2()1(2 j2)(1 jm j j ++−−+

' % )44()1(2 j2) j(1m 2

j j j ++++−

' % m(j / 2 & 2 & j2 / 4 / j4 & 1) % m(3 / j3) % 3

4) ,etermine el valor de a∈ para ue la expresi#n j4

j3

−+ a

sea

un nmero imaginario puro-

"oluci#n:

6amos a desarrollar la expresi#n dada para llevarla a la 7orma

bin#mica-

j4

j3

−+ a

j4

j4

++

%11+

j43 j12

+++− aa

%18

)43( j

18

12 aa ++

−

24


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NÚMEROS COMPLEJOS

9ara ue esta expresi#n sea imaginaria pura la parte real debe ser

igual a cero. esto es:

1812 a− %

de donde:

a % 12

5) alcular el argumento principal de los siguientes nmeros

complejos:

a) z % 1 & j 3 b) z % & 3 / j c) z % & 2"oluci#n:

a) θ % arctg

−1

3% arctg(& 3 ) % 2π;3. & π;3 <

=atem>ticamente. al calcular el arcotangente. se obtienen dos

soluciones pertenecientes al intervalo (& π. π- "in embargo. si

gra7icamos a z en el plano complejo observamos ue pertenece al

4

to

cuadrante. por lo ue se conclu0e ue:

$rg( z ) % & π;3

b) θ % arctg

− 2

% arctg() % . π <

omo z pertenece al semieje real negativo del plano complejo. se

conclu0e ue:

$rg( z ) % π

c) θ % arctg

− 3

1% arctg(&

3

3) % 5π;+. & π;+ <

$l igual ue en caso anterior. al calcular el arcotangente se

obtienen dos soluciones dentro del intervalo (& π. π- "in embargo.

si gra7icamos a z en el plano complejo observamos ue pertenece

al 2do cuadrante. por lo ue se conclu0e ue:

$rg( z ) % &5π;+

25


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NÚMEROS COMPLEJOS

+) ,emuestre ue2

1

z

z %

2

1

z

z -

"oluci#n:

$plicando las propiedades relacionadas con el conjugado de un

nmero complejo. se tiene lo siguiente:

2

1

z

z %

2

1

2

1

z

z

z

z

%

2

1

2

1

z

z

z

z

%

22

11

z z

z z

%

22

11

z z

z z

%

2

1

z

z

8) ?xprese a z % ∑=

*

j

k

k en 7orma bin#mica-

"oluci#n:

Recordemos ue las potencias de la unidad imaginaria 7orman un

ciclo de cuatro valores- omo:

z % ∑=

*

j

k

k % j / j / j2 / j3 / j4 / --- / j!8 / j!* / j!! / j1

entonces:

z % ∑=

*

j

k

k % 1 / (j & 1 & j / 1) / (j & 1 & j / 1) / --- / (j & 1 & j /

1)

0 los 2 paréntesis son nulos- @inalmente.

z % 1

*) ,ada la ecuaci#n (1 & j)m / (2 & j)n % &j. calcule el valor de

m.n∈

-

"oluci#n:

2+


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NÚMEROS COMPLEJOS

$grupemos las partes reales 0 las partes imaginarias de la

ecuaci#n:

(1 & j)m / (2 & j)n % &j

m & jm / 2n & jn % &j

(m / 2n) / j(& m & n) % &j

aAora aplicamos la igualdad entre nmeros complejos. 0

obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos inc#gnitas:

−=−−

=+

1

2

nm

nm

0 al resolver el sistema se obtiene m % 2 0 n % &1-

!) ?xprese cada una de las siguientes ecuaciones en términos de z

0 z :

a) y % x / 4 b) x2 / y2 % 3+

"oluci#n:

a) BtiliCando las ecuaciones (1) e (2) de la p>gina *. se obtiene lo

siguiente:

y % x / 4

2 j

z z − %

2

z z + / 4

multiplicando por j2.

z & z % j z / j z / j*7inalmente.

(1 & j) z & (1 / j) z % j*

b) Duevamente. utiliCando las ecuaciones (1) e (2) de la p>gina *.

se obtiene lo siguiente:

x2 / y2 % 3+

2

2 j

− z z %

2

2

+ z z

/ 4

& 4

1( z 2 & 2 z z / z 2 ) %

4

1( z 2 / 2 z z / z 2 ) / 4

28


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NÚMEROS COMPLEJOS

multiplicando por 4.

& z 2 / 2 z z & z 2 % z 2 / 2 z z / z 2 / 1+

0 7inalmente.

2 z 2 / 2 z 2 & 1+ %

1) ?xprese a z % 2 / j 32 en 7orma polar-

"oluci#n:

?l modulo de z es: r % 22 )32(2 + % 34

$Aora calculamos el argumento principal de z :

θ % arctg

2

32% arctg( 3 ) % π;3. &2π;3<

omo z se pertenece al 1er cuadrante del plano complejo. entonces

θ % π;3- 9or lo tanto:

z % 34 cos(π;3) / jsen(π;3)

11) ?xprese a z % j en 7orma exponencial-

"oluci#n:

r % 22 1 + % 1

θ % arctg

1→ ∞ 0 por lo tanto θ % π;2

luego.

z % 2 j

e

π

12) Erans7orme a cada uno de los siguientes nmeros complejos a

la 7orma bin#mica:

2*


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NÚMEROS COMPLEJOS

a) z % 24 4 j

e

π b) z % +2 cos(&5π;+) /

jsen(&5π;+)

"oluci#n:

a) "ea z % a / jb. entonces se cumple ue:

a % r cos(θ) % 24 cos(& π;4) % 242

2% 4

b % r sen(θ) % 24 sen(& π;4) % 24 (& 22 ) % &4

9or lo tanto.

z % 4 & j4

b) "i z % a / jb. entonces se cumple ue:

a % r cos(θ) % +2 cos(&5π;+) % +2 (& 2

3) % & 23

b % r sen(θ) % +2 sen(&5π;+) % +2 (& 2

1) % & +

@inalmente.

z % & 23 & j +

13) ,etermine una identidad para sen(5θ). utiliCando la 7ormula

de ,e =oivre-

"oluci#n:

"egn la 7#rmula de ,e =oivre. para n % 5 se tiene ue:

cos(5θ) / jsen(5θ) % cos(θ) / jsen(θ)5

BtiliCando el binomio de DeFton se puede desarrollar el segundo

miembro de la ecuaci#n. 0 se obtiene:

cos(5θ) / jsen(5θ) % cos5(θ) / j5cos4(θ)sen(θ) & 1cos3(θ)sen2(θ) &

j1cos2(θ)sen3(θ) / 5cos(θ)sen4(θ) / jsen5(θ)

ordenando en 7orma bin#mica al segundo miembro. ueda:

2!


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NÚMEROS COMPLEJOS

cos(5θ) / jsen(5θ) % cos5(θ) & 1cos3(θ)sen2(θ) / 5cos(θ)sen4(θ)

/ j5cos4(θ)sen(θ) & 1cos2(θ)sen3(θ) / sen5(θ)

igualando las partes imaginarias.

sen(5θ) % 5cos4(θ)sen(θ) & 1cos2(θ)sen3(θ) / sen5(θ)

sacando 7actor comn sen(θ) 0 usando la identidad trigonométrica

cos2 (θ) / sen2(θ) % 1.

sen(5θ) % sen(θ) 5cos4(θ) & 1cos2(θ)1 & cos2(θ)

/ 1 & cos2(θ)2 <

desarrollando 0 simpli7icando.

sen(5θ) % sen(θ) 1+cos4(θ) & 12cos2(θ) / 1

14) ,emuestre ue cos(θ) %2

ee jG jG +

utiliCando la 7#rmula de

?uler-

"oluci#n:

a 7#rmula de ?uler dice ue G je % cos(θ) / jsen(θ)-

"i cambiamos a θ por & θ en la 7#rmula de ?uler. sabiendo ue

cos(& θ) % cos(θ) 0 sen(& θ) % &sen(θ). nos ueda ue:

G je− % cos(θ) & jsen(θ)

uego. si sumamos estas dos ecuaciones. se obtiene:

G jG jee

−+ % cos(θ) / jsen(θ) / cos(θ) & jsen(θ)

es decir.G jG j

ee −+ % 2cos(θ)

0 7inalmente.

2

ee G jG j −+ % cos(θ)

3


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NÚMEROS COMPLEJOS

15) ,emuestre ue cos4(θ) %*

1cos(4θ) /

2

1cos(2θ) /

*

3.

utiliCando la expresi#n del ejercicio anterior-

"oluci#n:

,e acuerdo con el ejercicio anterior.

cos4(θ) %

4G jG j

2

ee

+ −%

1+

)ee( 4G jG j −+

desarrollando.

cos4(θ) %1+

1( e j4θ / 4e j3θe &jθ / +e j2θe &j2θ / 4e jθe &j3θ / e &j4θ )

simpli7icando.

cos4(θ) %1+

1( e j4θ / 4e j2θ / + / 4e &j2θ / e &j4θ )

agrupando convenientemente.

cos4(θ) %1+

1( e j4θ / e &j4θ ) /

1+

1( 4e j2θ / 4e &j2θ ) /

1+

+

cos4(θ) %*

1

2

)ee( G4 jG4 j −+

/2

1

2

)ee( G2 jG2 j −+ /

*

3

0 nuevamente usando la 7#rmula del ejercicio anterior. ueda:

cos4(θ) %*

1cos(4θ) /

2

1cos(2θ) /

*

3

1+) Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

a)

+−

4

2

3 j

2

1 b) (1 & j)1

"oluci#n:

31


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NÚMEROS COMPLEJOS

a) $ %

+−

4

2

3 j

2

1%

−−

4

2

3 j

2

1%

( )

+

−

44

3 j12

1

$ %

π 4

3 j

e21+

1%

π3

4 j

e1+1+

1%

π3

j

e

$ % [ ])3;I( jsen)3;Icos( + % )3;I( jsen)3;Icos( −

%2

3 & j

2

1

b) ' % (1 & j)1 % ( 2 4I

j

e− )1 % 32 2

5I j

e−

omo &5π;2 no es un argumento principal. podemos sumarle 2π aeste valor para obtener ue $rg(') % & π;2- 9or lo tanto:

' % 32 2I

j

e− % 32(&j) % &j32

18) ?n cada uno de los siguientes casos. calcular las raJces 0

representarlas en el plano complejo- ?xprese las soluciones en

7orma exponencial 0 en 7unci#n del argumento principal-

a) (&32)1;5 b) (&1 / j)1;3 c) (1)1;4

"oluci#n:

a) Recordemos ue:

r i % (r )1;n

θi % (θ/2k π);n con k ∈K

con i % 1.2.3.4.5- ,onde r i 0 θi representan el modulo 0 el

argumento de la iésima raJC de z % r e jθ- omo:

&32 % 32 I je−

?n primer lugar tenemos ue:

32


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NÚMEROS COMPLEJOS

r i % (32)1;5 % 2 ∀ i % 1.2.3.4.5

uego.

9ara k % : θ1 %5

π−

9ara k % 1: θ2 %55

2 π=

π+π−

9ara k % &1: θ3 %53

52 π−=π−π−

9ara k % 2: θ4 %5

3

5

4 π=

π+π−

9ara k % &2: θ5 % π−=π−π−

5

4

9or lo tanto. las raJces uintas de (&32) son: 2 5I

j

e− . 2 5

I j

e. 2

5

3I j

e− . 2 5

3I j

e. 2 π− je - 6éase la 7igura *-

@igura *: RaJces uintas de (&32)-

b) omo (&1 / j) % 2 43I

j

e. entonces:

33


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NÚMEROS COMPLEJOS

r i % ( 2 )1;3 % + 2 ∀ i % 1.2.3

uego.

9ara k % : θ1 %

43

4

3

π=

π

9ara k % 1: θ2 %

12

11

3

24

3

π=

π+π

9ara k % &1: θ3 %12

5

3

24

3

π−=

π−π

9or lo tanto. las raJces cbicas de (&1 / j) son: + 2 4I

j

e. + 2

12

11I j

e. + 2 12

5I j

e− - 6éase la 7igura !-

c) omo 1 es el nmero complejo de m#dulo igual a uno 0

argumento igual a cero. entonces:

r i % (1)1;4 % 1 ∀ i % 1.2.3.4

@igura !: RaJces cbicas de (&1/ j)- @igura 1: RaJces cuartas de 1-

9ara k % : θ1 %4

%

34


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NÚMEROS COMPLEJOS

9ara k % 1: θ2 %24

2 π=

π

9ara k % &1: θ3 %24

2 π−=

π−

9ara k % 2: θ4 % π=π4

4

uego. las raJces cuartas de 1 son: 1. 2I

j

e. 2

I j

e− . π je -

6éase la 7igura 1-

1*) alcule las raJces de la ecuaci#n z 3;2 / j % -

"oluci#n:

omo ( ) m nmn z z =; ∀m.n∈K. se tiene ue:

( z 3)1;2 % (&j)

z 3;2 / j %

elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuaci#n.

( z 3) % (&j)2

z 3 % &1

z % (&1)1;3

9or lo tanto. la ecuaci#n dada tiene tres soluciones. las cuales

representan a las raJces cbicas de &1-

uego. como (&1) % π je . entonces:

r i % (&1)1;3 % &1 ∀ i % 1.2.3

$dem>s.

9ara k % : θ1 %3

I

35


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NÚMEROS COMPLEJOS

9ara k % 1: θ2 % I3

I2I=

+

9ara k % &1: θ3 %3

I

3

I2I−=

−

@inalmente. las soluciones de la ecuaci#n son: 3I

j

e. I je .

3

I j

e− -

1!) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) z 2 / (j2 & 3) z / 5 & j % b) z 4 / 5 z 2 / 4 %

"oluci#n:

a) $plicando la 7#rmula para Aallar las raJces de la ecuaci#n de

segundo grado. se tiene ue:

z 2 / (j2 & 3) z / 5 & j %

z %)1(2

) j5)(1(4)2 j3(2 j3 2 −−−±−

z %2

* j152 j3 −−±−(L)

,ebemos calcular las raJces cuadradas de z o % & 15 & j*- omo el

$rg(& 15 & j*) no es un >ngulo notable. entonces aplicaremos un

procedimiento distinto para Aallar las dos raJces-

omo z o en 7orma polar es z o % 18 cos(θ) / jsen(θ) . entonces

igualamos la 7orma polar 0 la 7orma bin#mica de z o para calcular

cos(θ) 0 sen(θ). es decir:

18 cos(θ) / jsen(θ) % & 15 & j*

igualamos las partes real e imaginaria. obteniendo lo siguiente:

cos(θ) % & 15;18

3+


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NÚMEROS COMPLEJOS

sen(θ) % & *;18

D#tese ueθ

es un >ngulo del tercer cuadrante. 0a ue cos(θ

) 0sen(θ) son negativos-

$Aora bien. el m#dulo de las raJces es:

r i % (18)1;2 % 18 ∀ i % 1.2

$dem>s. para k % : θ1 %2

G

?s casi evidente ue θ;2 es un >ngulo del segundo cuadrante. 0a

ue θ es un >ngulo del tercer cuadrante-

9ara k % 1: θ2 %2

I2G +% I2

G+

0 las raJces en 7orma polar son:

z 1 % 18 cos(θ;2) / jsen(θ;2)

z 2 % 18 cos(θ;2 / π) / jsen(θ;2 / π) % & z 1

uego. utiliCando identidades.

cos(θ;2) % & 2

)Gcos(1+% &

2

18;151−% &

18

1

sen(θ

;2) % 2

)Gcos(1−% 2

18;151+% 18

4

D#tese ue cos(θ;2)M 0 sen(θ;2)N. 0a ue θ;2 es un >ngulo del

segundo cuadrante-

@inalmente.

z 1 % 18 & 18

1 / j

18

4 % &1 / j4

z 2 % & 18 & 18

1 / j

18

4 % 1 & j4

$Aora sustituimos a z 1 en (L). para calcular las dos soluciones de

la ecuaci#n cuadr>tica:

38


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NÚMEROS COMPLEJOS

z %2

)4 j1(2 j3 +−±−

donde.

z $ %2

)4 j1(2 j3 +−+−% 1 / j

z ' %2

)4 j1(2 j3 +−−−% 2 & j3

son las soluciones de la ecuaci#n z 2 / (j2 & 3) z / 5 & j % -

Dota: no AiCo 7alta sustituir a z 2 en (L) 0a ue z 1 % & z 2. lo ue

implica ue ± z 1 0 ± z 2 permiten Aallar las mismas soluciones-

,ejamos al lector la tarea de comprobarlo-

b) ?sta es una ecuaci#n bicuadr>tica- $pliuemos la 7#rmula de la

ecuaci#n de segundo grado:

z

4

/ 5 z

2

/ 4 %

z 2 %2

1+255 −±−%

2

35±−

donde

( z 1)2 % &4 0 ( z 2)

2 % &1.

9ara ( z 1)2 % &4 % 4 jIe . el m#dulo de las raJces es:

r i % (4)1;2 % 2 ∀ i % 1.2

9ara k % : θ1 %2

I

9ara k % 1: θ2 %2

I2I+%2

I

0 las raJces son: 2 2I

j

e. 2 2

I j

e-

uego. para ( z 2)2 % &1 % jIe .

3*


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NÚMEROS COMPLEJOS

r i % (1)1;2 % 1 ∀ i % 1.2

9ara k % : θ1 %2I

9ara k % 1: θ2 %2

I2I+%2

I

0 las raJces son: 2I

j

e. 2

I j

e-

@inalmente. las soluciones de la ecuaci#n z 4 / 5 z 2 / 4 % son: 2

2

I j

e. 2 2

I j

e. 2

I j

e. 2

I j

e-

2) @actoriCar el siguiente polinomio:

9( z ) % z 5 & 2 z 4 & z 3 / +C & 4

"oluci#n:

"e esperan obtener cinco raJces 0a ue el polinomio es de grado 5-

$pliuemos la regla de Ru77ini al polinomio- "e sabe ue las

posibles raJces enteras son los divisores del término independiente-

?n este caso. los divisores de &4 son:

±1. ±2 0 ±4-

?ntonces:

9( z ) % z 5 & 2 z 4 & z 3 / +C & 4

1 &2 &1 + &4

1 1 &1 &2 &2 4

1 &1 &2 &2 4

1 1 &2 &4

3!


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NÚMEROS COMPLEJOS

1 &2 &4

2 2 4 4

1 2 2

enterassonnoraJcescu0asgradosegundodeoun trinomideescoe7icient

?l polinomio tiene dos raJces enteras. 1. 2n determinadas como la soluci#n del

trinomio de segundo grado z 2 / 2 z / 2. es decir. ue Aasta aAora

podemos a7irmar ue:

9( z ) % ( z & 1)2( z & 2)( z 2 / 2 z / 2)

pero es casi obvio ue el polinomio an no esta 7actoriCado. 0aue el trinomio en cuesti#n es 7actoriCable- Recordemos ue la

variable z es compleja. 0 el trinomio puede tener raJces reales no

enteras # raJces complejas-

alculemos a continuaci#n las raJces del trinomio:

z 2 / 2 z / 2 %

z %)1(2

)2)(1(422 2

−±− %2

42 −±− %2

2 j2 ±− % &1 ± j

@inalmente.

9( z ) % ( z & 1)2( z & 2)( z / 1 & j)( z / 1 / j)

21) denti7iue 0 represente en el plano complejo a cada uno de

los siguientes lugares geométricos-

a) j22 −− z M 1 b) z % j / λ(2 & j)

con λ∈

"oluci#n:

4


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NÚMEROS COMPLEJOS

a) Recordemos ue la desigualdad o z z − M r representa uncJrculo en el plano complejo-

?ntonces. la regi#n dada corresponde a un cJrculo. donde el centro

es z o % 2 / j2 0 el radio es r % 1- "u representaci#n gr>7ica en el

plano complejo se muestra en la 7igura 11-

b) Recordemos ue la ecuaci#n z % z 1 / λ( z 2 & z 1) con λ∈ .

representa a la recta en el plano complejo-

9or lo tanto. la ecuaci#n dada es una recta ue pasa por los puntos z 1 0 z 2 del plano complejo. donde:

z 1 % j

z 2 & z 1 % 2 & j

es decir.

z 1 % j 0 z 2 % 2

uego. podemos traCar la recta ue pasa por estos dos puntos-

6éase la 7igura 12-

@igura 11: Jrculo

j22 −− z M 1

@igura 12: Recta z % j / λ(2 & j)

con λ∈

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ejer 1-1 matematicas aplicadas

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