ejemplos presas[1]

7/27/2019 ejemplos presas[1]

1/16Revista Avances en Sistemas e Informtica, Vol.4 No. 3, Medelln, Diciembre de 2007, ISSN 1657-7663

ResumenLas nuevas tecnologas informticas abren unmundo de posibilidades inagotable en el mbito de ladocencia. En el caso particular de las enseanzas tcnicas, eluso de estas tecnologas se convierte en indispensable por lapropia naturaleza de los recursos actuales de diseo yproduccin industrial. Los mtodos numricos ofrecen unamplio campo de actuacin en este sentido. Por un lado,aparecen como una asignatura con gran porcentaje detroncalidad en cualquier carrera de ingeniera. Por otro lado,estn en la base del desarrollo tecnolgico del que a su vez sebenefician en un constante proceso de retroalimentacin. Eltrabajo que se presenta a continuacin, consiste en laelaboracin de un material didctico (herramienta educativa)destinado a la enseanza de la ecuacin de Laplace en dosdimensiones por medio de diferencias finitas.Particularmente, se estudia el flujo estable confinado entablestacados, presas de concreto, excavaciones y drenes. Estetipo de materiales, han sido desarrollados y utilizados conxito por varias universidades a nivel mundial, a lo largo delos ltimos aos dentro de los nuevos planes de estudio. Elsoftware educativo objeto de este trabajo se ha construidoutilizando como plataforma de pre y posproceso grfico a GiDy como lenguaje de programacin del motor de clculo dediferencias finitas a Fortran. El resultado, es unaherramienta educativa muy til, que permite una efectivacomunicacin profesor-alumno, adecuada tanto para lasclases presenciales en el aula de clase como para el trabajopersonal del estudiante.Palabras ClaveDesarrollo de Software, SoftwareEducat ivo, Diferencias Finitas, La place 2D, Medio Poroso.bstractNew computer technologies open aninexhaustible world of possibilities in the environment of the

teaching. In the case peculiar of the technical teachings, theuse of these technologies becomes in indispensable for theown nature of the current resources of design and industrialproduction. The numeric methods offer a wide performancefield in this sense. On one hand, they appear like a subjectwith great percentage of transversally in any engineeringcareer. On the other hand, they are in the base of thetechnological development of the one that in turn benefit in aconstant feedback process. The work that is presented nextconsists on the elaboration of a didactic material (educationaltool) dedicated to the teaching of the Laplace equation in twodimensions by means of finite differences. Particularly, theconfined flow in sheetpile walls, concrete dams, excavationsand drainages, is studied. This type of materials, they havebeen developed and used successfully by several universitiesat world level, along the last years inside the new study plans.The software didactic object of this work has been built usingas platform of graphic pre and post process to GiD and likeprogramming language from the motor of calculation of finitedifferences to Fortran. The result is a very useful educationaltool that an effective communication professor-studentallows, adapted so much for the present classes in theclassroom like for the student s personal work. KeywordsSoftware Development, Educational Software,Finite Differences, Laplace 2D, Porous Media.

I. INTRODUCCINSTE proyecto parte del desafo de pensar nuevasformas de acceso al conocimiento, y consolidar el uso

de la informtica en propuestas que planteen distintasconcepciones sobre la enseanza y sobre el rol del docente

Wilson Rodrguez C., Msc.1, Myriam R. Pallares M., MSc. 21Pontificia Universidad Javeriana de Cali, Colombia

2Universidad Santo Toms de Bogot, Colombia

[email protected], [email protected]

Recibido para revisin 26 de Marzo de 2007, Aceptado 30 de Noviembre de 2007, Versin final 9 de Diciembre de 2007

Diseo de una Aplicacin Educativa paraEstudiar el Problema de Flujo Confinado

Estacionario en Suelos con Diferencias Finitas

Design of an Educational Application to Studythe Steady-State Confined Flow whit

Finite Differences

E


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Revista Avances en Sistemas e Informtica, Vol.4 No. 3, Medelln, Diciembre de 2007, ISSN 1657-766388

y el alumno en el contexto ulico. Los mtodos numricoshan progresado rpidamente, y este enorme crecimiento,

junto con los cambios producidos, constituye un reto paralos docentes, que deben orientar la construccin de losconocimientos. Se trata de enriquecer el pensamiento delestudiante y de cultivar en l habilidades y aptitudes paradescubrir y usar los conocimientos matemticos, que sonclsicamente difciles para el alumnado por su nivel deabstraccin. Es as como surge la idea de crear unsoftware educativo como herramienta auxiliar parafacilitar la comprensin de estos temas, de manera amena,a travs de una aplicacin que incluye la simulacinnumrica de fenmenos fsicos. En particular se trabaja conel tema Ecuacin de Laplace 2D con diferencias finitas.Este tema es abordado en las carreras universitarias queincluyen la enseanza de los mtodos numricos en su

pnsum acadmico (las ingenieras en general). Lautilizacin de elementos tecnolgicos har posible quenuevas estrategias didcticas enriquezcan los procesos deenseanza y de aprendizaje.

El software educativo Geoflow 1.0 fue desarrolladodentro de un proyecto de investigacin adelantado en elao 2004 como parte de la produccin investigativa delgrupo en simulacin y control numrico-SICON. Laherramienta es un producto de la lnea de investigacin enmodelacin numrica que contempla el desarrollo desoftware educativo como un rea estratgica de lainvestigacin del grupo en la actualidad. El programa es unmodelador computacional de la ecuacin de Laplace en dosdimensiones por medio de diferencias finitas. Suscaractersticas de manejo sencillo hacen de este unaherramienta eficiente para la docencia en diversos temas deciencia bsica e ingeniera. La primera versin tieneimplementada la formulacin estacionaria, sin embargo, seespera en una segunda fase del proyecto integrar mejoras,tales como la implementacin del caso transitorio.

II. ANTECEDENTESCon la introduccin de los nuevos planes de estudio en

la titulacin de las ingenieras y en general, de la granmayora de las carreras en Colombia, las asignaturastcnicas de ingeniera sufren una importantereestructuracin. La apuesta por el sistema de crditos

conlleva una reubicacin de los contenidos en el currculo yuna disminucin en el nmero de horas lectivas globales.Adems, se hace necesario introducir un carcterexperimental en algunas de ellas con la asignacin de

prcticas en un laboratorio de informtica.El diseo de estas herramientas educativas, se

constituyen en un reto para cambiar el modo de ensear, demanera que vaya ms acorde con los instrumentos que lasnuevas tecnologas ponen a nuestra disposicin y, sobretodo, que permita realizar una educacin ingenieril para lavida profesional facilitando al alumno adaptarse a los

distintos cambios que, sin duda, tendr que acometer a lolargo de su carrera.

Con este trabajo, se busca proporcionar al alumno unaherramienta para obtener la solucin de diversos problemasgobernados por la ecuacin de Laplace. Obtener laaproximacin por diferencias finitas a la ecuacin degobierno del problema (Ecuacin de Laplace) y utilizarla

para determinar los potenciales y el flujo en todos lospuntos libres de un dominio. Analizar las ventajas queofrecen los mtodos numricos (en especial los dediferencias finitas) como alternativa de solucin de

problemas de ingeniera.III. ESTADO DEL ARTE

El artculo hace referencia en su mayora a ladescripcin de ecuaciones matemticas y al desarrollomismo de la aplicacin educativa. Por lo mismo, esteespacio es ideal y conveniente para plasmar un pequeoanlisis sobre la importancia de la informtica educativa en

la actualidad.Hace ya algunos aos, la pregunta ms inquietanterespecto a la informtica en el mbito educativo estabarelacionada con su viabilidad, esto era: cundo estar lainfraestructura tecnolgica (hardware y software) adisposicin de las instituciones educativas?

Pasado el tiempo, las necesidades fueron un pocodiferentes. La gran preocupacin se centraba en cmointegrar de forma activa la informtica en el currculum ycmo desarrollar cultura informtica en la comunidadeducativa.

El avance tecnolgico ha llevado a que tambin las

necesidades vayan evolucionando. Hoy en da que yatenemos a nuestro alcance la tecnologa, las necesidadesestn ligadas a crear diferencias cuando se generanambientes de aprendizaje haciendo uso de la informtica.

Vivimos en un mundo que se caracteriza por el cambioconstante, por la enorme generacin y exposicin de datosy conocimientos, el acceso simultneo a diversos canales deinformacin, donde el que ensea no es slo el profesor yen el cual el que aprende no termina nunca de hacerlo. Eneste contexto es evidente, que la educacin informtica esuna condicin necesaria para sacar provecho de lacomunidad global en la que vivimos.

En este orden de ideas, es importante dar a conocer, losobjetivos que con el trabajo se pretendieron lograr. Estosson:

Familiarizar al alumno con las nuevas tecnologasinformticas en el campo de la ingeniera, intentandomostrar su utilidad tanto en la formacin como en el

posterior desarrollo profesional.Poner en prctica los conocimientos adquiridos en las

clases tericas, lo que se cree, hace ms atractivo elaprendizaje de los distintos conceptos estudiados a travsde la experimentacin.


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Diseo de una Aplicacin Educativa para Estudiar el Problema de Flujo Confinado Estacionario en Suelos conDiferencias Finitas Rodrguez y Pallares

89

Inculcar el sentido del autoaprendizaje en los alumnoscomo mtodo de trabajo habitual.

IV. CONCEPTOS BSICOSUn modelo matemtico es una abstraccin de

representacin del mundo real aplicada al tratamiento

predictivo, que discretiza reas o cuerpos en 2 3dimensiones respectivamente, aplicando funcionesaproximadas del comportamiento de las propiedades que sequieren estudiar. Un mtodo de aplicacin de modelosmatemticos en el problema de flujo en medio poroso es elmtodo de diferencias finitas, que consiste en ladeterminacin de valores finales aproximados a partir devalores iniciales ciertos, aplicados a una funcin nodiferenciable, mediante el clculo en etapas finitas.

El mtodo de las diferencias finitas es una tcnicanumrica simple que se emplea para resolver ecuacionesdiferenciales parciales. Una solucin de diferencias finitas

a la ecuacin de Laplace, se obtiene en dos pasos. Primeroaproximndose a la ecuacin diferencial y a lascondiciones en la frontera por medio de un grupo deecuaciones algebraicas lineales llamadas ecuaciones dediferencias, en los puntos de una cuadrcula situada dentrode la regin de la solucin, y segundo, resolviendo estegrupo de ecuaciones algebraicas. As las cosas, el dominiode los problemas estar constituido por rectngulosdivididos en mallas rectangulares no uniformes. Con laherramienta es posible determinar los valores de potencialy flujo en problemas de flujo estacionario confinado.

A. Ecuaciones Matemticas

Existen situaciones en las cuales las condiciones delflujo son bastante simples, y en las que es posible describirel flujo que pasa a travs del rea de una seccintransversal dada, por medio de la ley de Darcy. En

problemas ms complicados esta ley no es suficiente, yaque las condiciones de flujo (velocidad, gradiente, etc.)varan por todo el medio y solo pueden ser expresadas enforma de ecuacin diferencial en un punto particular delmedio. Es necesario entonces, acudir a una ecuacin deflujo en suelos, que sirva de base para desarrollar redes deflujo y para otros mtodos de resolucin de problemas defiltracin. Para deducir tal ecuacin, es necesario

considerar un elemento de suelo, de lados dx, dy, dz, comose muestra en la Figura 1.

La rata de flujo en la direccin x es qx a travs del planox =0 y qx + dqx a travs del plano x = dx. Los gradienteshidrulicos en la direccin x en estos dos planos, sonrespectivamente, ix e ix + dix (para el flujo en lasdirecciones y y z son adoptadas notaciones similares). A

partir de estas consideraciones la ecuacin de Darcy sepuede escribir como:

qx = kx ix dy dz qx + d qx = kx (ix + d ix ) dy dz

qy = ky iy dx dz qy + d qy = ky (iy + d iy ) dx dz

qz = kz iz dx dy qz + d qz = kz (iz + d iz ) dx dy

(1)

En (1) kx, ky y kz son las permeabilidades en lasdirecciones x, y y z, respectivamente. Si el volumen de loselementos permanece constante y el fluido esincompresible, la rata total de flujo que entra al elementodebe ser igual a la que sale de l, esto es:

qx + qy + qz =

(qx + d qx ) + (qy + d qy ) + (qz + d qz )

(2)

A partir de la ecuacin (2) se obtiene,

kx ix dy dz + ky iy dx dz + kz iz dx dy = 0 (3)

Siendo ix =df/dx, iy =df/dy, iz =df/dz, entonces,

xx

ix d2

2

=

fy

yiy d2

2

=

fz

ziz d2

2

=

f(4)

En las expresiones (4) f representa la cabeza totalaplicada o potencial. La ecuacin (4) puede escribirsecomo:

0ddd2

2

2

2

2

2

=

+

+

zyx

zk

yk

xk zyx

fff(5)

La expresin (5) es llamada ecuacin de continuidad. Enel caso de flujo bidimensional, la ecuacin se simplifica a,

Figura. 1. Flujo a travs de un elemento de suelo en tres dimensiones.


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0dd2

2

2

2

=

+

yx

yk

xk yx

ff(6)

Si el suelo es isotrpico (kx = ky = k) la ecuacin decontinuidad queda reducida a,

02

2

2

2

=

+

yx

ff(7)

La expresin (7) es la conocida ecuacin de Laplace endos dimensiones y la principal ventaja de su aplicacinreside en que cada punto del espacio est asociado solo conuna cantidad escalar desconocida (la funcin incgnitaf).

B. Formulacin numrica de diferencias finitas

El mtodo consiste en una aproximacin de derivadasparciales por expresiones algebraicas envolviendo los

valores de la variable dependiente en un limitado nmerode puntos seleccionados. Como resultado de laaproximacin, la ecuacin diferencial parcial que describeel problema (ecuacin 7), se reemplaza por un nmerofinito de ecuaciones algebraicas, escritas en trminos de losvalores de la variable dependiente en puntos seleccionados.Por tanto, los valores de los puntos seleccionados seconvierten en las incgnitas, en vez de la distribucinespacial continua de la variable dependiente. Lasecuaciones son lineales si las ecuaciones diferenciales

parciales tambin lo son. El sistema de ecuacionesalgebraicas debe ser resuelto y puede envolver un nmero

largo de operaciones aritmticas.Con el uso del computador, actualmente, las operaciones

se desarrollan por medio de un programa de clculo.El mtodo de diferencias finitas muestra ser una de las

mejores tcnicas empleadas en el desarrollo de problemasde flujo a travs de medios porosos. En la Figura 2 seilustra una situacin donde los cuatro nodos alrededor delnodo central tienen separaciones distintas a fin degeneralizar el problema a retculas en las cuales los nodosno estn uniformemente espaciados. Las distancias a los

puntos L, R, A, y B desde el punto O, el nodo central, sonhL, hR, hA y hB. Estos puntos son nodos que estn a la

izquierda, derecha, arriba y abajo del nodo central. Asmismo, los valores de la incgnita (f) en dichos puntos sonfL,fR,fA, yfB y las primeras derivadas entre los puntos Ly O, O y R, A y O, y, O y B, se aproximan con:

( )hRx

OR

RO

fff -=

,

,( )

hBy

OB

BO

fff -=

,

(8)

( )hLx

LO

OL

fff -=

,

,( )

hAy

AO

OA

fff -=

,

Las ecuaciones (8) pueden interpretarse comoaproximaciones por diferencias centrales a puntos queestn en la mitad entre los puntos L y O, O y R, A y O, y,O y B. De esta manera, las segundas derivadas seaproximan con:

( )( )

( )

+

+-

+

=

+

-

=

hBhBhA

hBhA

hAhBhA

hBhA

yy

y

BOA

OABO

O

fff

ff

f

*

*2

2

,,

2

2

( )( )

( )

+

+-

+

=

+

-

=

hRhRhL

hRhL

hLhRhL

hRhL

xx

x

ROL

OLRO

O

fff

ff

f

*

*2

2

,,

2

2

(9)

Las ecuaciones (9) no son aproximaciones pordiferencias centrales exactamente al punto O, y al serusadas para aproximar las segundas derivadas se provocaun error de primer orden.

Finalmente, la expresin que permite calcular elpotencial del nodo central O en funcin de las distancias alos puntos L, R, A, y B y el valor de la incgnita (f) en los

puntos vecinos es,

hL hL O hR R

hB

B Figura. 2. Disposicin nodal no uniforme.


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91

( )

+

+

+

+

+

+=

hBhAhBhA

hRhLhRhL

hRhLhBhA

hBhAhRhL

BA

RL

O

ff

ff

f

)(

1

)(

1

***

***

(10)

De esta manera es posible particularizar la ecuacin (10)para cada situacin segn corresponda. Se puedendistinguir cuatro casos,Caso 0: Incluye todos los nodos internos del modelo.As, cada nodo central O estar rodeado por sus cuatronodos vecinos. Estos nodos no poseen ninguna condicinde frontera.Caso 1: Nodos ubicados sobre los contornos del modelo.El nodo central en las fronteras se encuentra rodeado desolo tres de sus nodos vecinos. As, los nodos localizados

sobre los contornos superior e inferior, estarn rodeadospor los dos nodos laterales y el inferior o superior segncorresponda. Si los nodos estn en las fronteras laterales, elnodo central tendr a los dos nodos inferior y superiorcomo vecinos adems del izquierdo o derecho segn sea elcaso. Estos nodos poseen cualquier tipo de condicin decontorno.Caso 2: Nodos esquina rodeados por slo dos de susnodos vecinos. Para las esquinas ubicadas al lado izquierdodel modelo, el nodo central O estar rodeado del nododerecho y los nodos superior e inferior segn corresponda.Lo mismo ocurre para las esquinas que se encuentran

localizadas sobre el lado derecho. Estos nodos poseencualquier tipo de condicin de contorno.Caso 3: Nodos esquina rodeados por sus cuatro vecinos.Estos nodos poseen cualquier tipo de condicin decontorno.

Para formular la condicin de Neumann en las fronterasdel modelo a travs del mtodo de diferencias finitas seemplea una aproximacin en diferencias de la primeraderivada de la variable principal. Para ilustrar este

procedimiento, se desarrolla aqu el planteamiento de laaproximacin para una frontera vertical, donde nicamenteexisten los nodos derecho, central y sus vecinos superior e

inferior, tal y como se describe en el caso (1). A partir deesta premisa es necesario incluir un nodo ficticio (a laizquierda en este caso) cuyo potencial debe ser calculado atravs de la aproximacin en diferencias finitas, con (verFigura 3).

( )0

2=

--=

-hR

kx

k FRfff

,(11)

( ) 0=- FR ff ,

RF ff =

Una vez obtenido el valor de la incgnita en el nodoficticio, se reemplaza en la ecuacin general (10) como

potencial izquierdo.Para acelerar la convergencia se utiliza un factor de

sobrerrelajacin denominado w, adaptado a retculas nouniformes, y para su implementacin, se parte de laecuacin general (10) (aproximacin de la ecuacin deLaplace en diferencias finitas). Esta expresin se multiplica

por el factor de sobrerrelajacin dividido entre el factormultiplicador de fO, as:

+

=

+

-

+

+

+

++

+

hBhAhRhL

w

hBhAhRhL

hBhAhBhA

hRhLhRhL

hBhAhRhL

w

O

BA

RL

*

1

*

1*0

*1

*1

)(

1

)(

1

*

*

1

*

1

f

ff

ff

(12)

SumandofO a ambos lados de la ecuacin se obtiene laexpresin final de sobrerrelajacin, donde los trminos enfde la izquierda son los valores actuales de la variable y eltrmino de la derecha se convierte en el nuevo valor. La

sobrerrelajacin puede disminuir el nmero de iteracionesa casi la mitad.

A

hAF nod o f i c i t i c i o O hR R

hB

B Figura. 3. Configuracin para la condicin de frontera de Neumann.


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O

O

BA

RL

O

hBhAhRhL

hBhAhBhA

hRhLhRhL

hBhAhRhL

w

f

f

ff

ff

f

=

+

-

+

+

+

+

+

++

*

1

*

1

)(1

)(

1

*

*

1

*

1

(13)

C. Casos de flujo estable confinado

El caso de flujo estable en el cual la cabeza del fluido esconocida en todo el borde permeable externo es llamadoflujo estable confinado. Entre los casos ms representativosestn el flujo en la fundacin de un muro tablestacado,flujo bajo presas o vertederos de concreto, flujo en la

vecindad de una excavacin y flujo en rellenos con drenes.V. DISEO DEL SOFTWARE

La herramienta computacional Geoflow 1.0, est encapacidad de resolver los problemas de flujo estableconfinado mencionados en el apartado C anterior, pormedio de diferencias finitas considerando isotropa delsuelo. A continuacin se presenta la estructura y el uso dela herramienta as como el desarrollo prctico de cuatromodelos obtenidos con la aplicacin que son comparados

posteriormente con Matlab

A. Estructura de la herramienta

La herramienta educativa Geoflow 1.0 es propiamenteun problem type creado sobre una plataforma de pre y

posproceso grfico, con el fin de capturar de manerainteractiva los datos de entrada del problema y presentargrficamente los resultados del anlisis. El problem typeest diseado para intercambiar informacin acerca de los

parmetros generales del problema, condiciones decontorno sobre lneas y puntos, propiedades fsicas de losmateriales, lanzar el mdulo de clculo y procesarresultados. De esta manera, la herramienta se estructura entres partes: preproceso, solucin y posproceso. En el

preproceso se cargan los datos de entrada del problema, enla solucin se lanza el motor de clculo de diferencias y enel posproceso se presentan los resultados del anlisis.

1) Implementacin de la interfase con GiD

Para elaborar la interfase de comunicacin con GiD esnecesario desarrollar seis (6) programas (Figura 4) que seexplican brevemente a continuacin:

- Geoflow.prb: proporciona la ventana para cargar lainformacin de los parmetros generales del problema.

- Geoflow.cnd: informa a GiD acerca de las condicionesimpuestas al modelo (sobre lneas y puntos): Potencialy Flujo.

- Geoflow.mat: proporciona informacin acerca de laspropiedades fsicas de los materiales: Permeabilidad

- Geoflow.bas: proporciona el formato del archivo dedatos de intercambio entre GiD y el cdigo de clculo.

- Geoflow.bat: encargado de lanzar el mdulo de clculo.La opcin Calculate de GiD, ejecuta este archivo.

- Geoflow.exe: es el motor de clculo desarrollado enFortran, encargado de solucionar el problema poraproximacin en diferencias finitas.

En la Figura 4: [1] representa el grupo de archivos demateriales (Geoflow.mat), datos del problema(Geoflow.prb) y condiciones (geoflow.cnd). Estos archivosson en el preproceso las bases fundamentales del sistemade anlisis. [2] Indica la etapa de preproceso, en la cual elarchivo Geoflow.bas [3], genera otro archivo de datosllamado Flujo.dat [4]. Este ltimo es la entrada al mdulode clculo, que es iniciado por medio del archivoGeoflow.bat (5). Finalmente se genera el archivoFlujo.flavia.res [6] el cual contiene todos los datosnecesarios para el posproceso (7).

2) Implementacin del motor de clculoEl motor de clculo desarrollado en Fortran consta de

siete subrutinas. La primera realiza la lectura de datosconsignados en el fichero *.dat. La segunda, lleva a caboun proceso de organizacin de nodos tomando como basesus coordenadas. De esta manera, se obtiene una conFiguracin reticular que permite el almacenamiento de lasmatrices de coordenadas, potenciales y casos y quedeterminan la forma de realizacin del clculo de cada unode los nodos de la malla de diferencias finitas. Se aplican

Geoflow mat Geoflow pr b Geoflow cnd

P R E P R O C E S OG I DGeoflow bas

F lu jo da tGeoflow batGeoflow exe

Flujo flavia res

P O S P R O C E S OG I D

1

2

3

45

6

7

Nombredelproyecto

Geoflow mat Geoflow pr b Geoflow cnd

P R E P R O C E S OG I DGeoflow bas

F lu jo da tGeoflow batGeoflow exe

Flujo flavia res

P O S P R O C E S OG I D

1

2

3

45

6

7

Nombredelproyecto

Figura. 4. Diagrama de flujo de la aplicacin.


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las condiciones Dirichlet como paso previo a la utilizacinde la subrutina de sobrerrelajacin que emplea comoncleo un seleccionador de casos de clculo, clasificados a

partir de la cantidad de nodos vecinos y del tipo decondiciones de contorno asignadas. Cuando se identificancasos relacionados con condiciones Neumann se usannodos ficticios. Para controlar las iteraciones se calcula elerror absoluto aproximado y se compara con la toleranciaespecificada por el usuario, una vez satisfecha finaliza elciclo de clculo del potencial y contina el de flujo, con

base en los valores de la incgnita para la aproximacin endiferencias finitas de las pendientes vertical y horizontal delos isocontornos de potencial. La Subrutina (6) crea elfichero *.flavia.res donde se consignan los valores de

potencial y campo que emplea GiD para llevar a cabo lafase de posproceso.

A continuacin se presenta un resumen de las etapas delprograma:

Declaracin de variables

(1) Lectura de datos desde el archivo *.dat generado por GiD(2) Ordenamiento de nodos de acuerdo a coordenadas(3) Ensamble de matriz de nodos, coordenadas, potenciales y casos que

identifican la forma de clculo de cada nodo(4) Mtodo de sobrerrelajacin adaptado a mallas de paso irregular(5) Clculo del flujo(6) Escritura de resultados

Fin

3) Mdulo de Preproceso

En la Figura 5 se presenta el ambiente del mdulo depreproceso. El men Calculate constituye el mdulo desolucin.

Los datos de entrada del modelo son cargados a travs deeste mdulo. A continuacin se describen las tareas de las

principales herramientas que lo componen.Cr eacin del modelo geomtr ico:- Puntos y lneas- Arcos y crculos- Rectngulos y polgonos superficies y volmenes

Asignacin de condiciones de contorno sobre el modelo: - Potencial sobre lneas del modelo geomtrico- Potencial sobre puntos del modelo de diferencias finitas- Flujo sobre lneas del modelo geomtrico- Flujo sobre puntos del modelo de diferencias finitas- Asignacin del material:- Base de datos de materiales- Asignacin de los datos generales del problema:

condiciones iniciales, criterios de convergencia ysobrerrelajacin e iteraciones.

- Potencial inicial

- Tolerancia- Numero mximo de iteraciones- Factor de sobrerrelajacin

Generacin de la malla: Discretizacin del modelo a travs de una mallaestructurada de nodos (para aplicar el mtodo dediferencias finitas).Debido a que se trata una malla de diferencias finitas es

preciso trabajar con:

- Malla estructurada- Tipo de elementos: cuadrilteros

La adaptacin del mtodo de diferencias finitas a retculasno uniformes de paso irregular implementado en estaaplicacin, permite refinar la malla en zonas de inters,

por ejemplo, en las regiones cercanas a los nodos esquina.

Fig. 5. Ambiente de Preproceso GiD.


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4) Mdulo de SolucinResolucin del problema con diferencias finitas

utilizando sobrerrelajacin. La opcin Calculate de estemdulo es el encargado de ejecutar el motor de clculo.

4) Mdulo de Posproceso

En la Figura 6 se presenta el ambiente del mdulo deposproceso. En l se realiza el procesamiento de losresultados generados por el mdulo de clculo para

presentarlos de manera grfica.Visualizacin de resultados:

- Contornos llenos- Lneas de contorno

- Vectores

B. Uso de la herr amienta

A continuacin se describen las tareas de los mensprincipales que se utilizan para analizar un problema dediferencias finitas con la herramienta.

(1) Tipo de problema: Men Data-Problem Type-Geoflow

Figura. 6. Ambiente de Posproceso GiD.


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(2) Datos generales del problema: Men Data-ProblemData

- Potencial Inicial: valor de prueba que se utiliza paradar inicio al mtodo sobrerrelajacin

- Tolerancia: empleada como criterio de parada para elmtodo de sobrerrelajacin

- Nmero mximo de iteraciones: criterio de paradausado cuando no se cumple el criterio de tolerancia.

- Factor de sobrerrelajacin: incrementa la velocidad deconvergencia del mtodo. Reduce el nmero deiteraciones aproximadamente a la mitad.

(3) Materiales: Men Data-Materials:Adicionar Material: agrega nuevos materiales a la

librera existenteBorrar Material: elimina uno o varios materiales de la

librera existente

Salvar cambios: guarda o actualiza cambios realizadossobre los valores de la permeabilidad asociada a cadamaterial.

(4) Condiciones de contorno: Men Data-ConditionsLas fronteras pueden ser prescritas asignando Potencial

o Flujo en las direcciones x o y, sobre las lneas del modelogeomtrico o sobre los nodos de la malla de diferenciasfinitas por medio de las ventanas mostradas. Para asignar

las condiciones sobre las lneas, es necesario visualizar lageometra, y para asignarlas a los nodos, visualizar lamalla de diferencias finitas.

(5) Generacin de la malla de diferencias finitas:

Men Meshing-Structured-SurfacesGenera una malla uniformemente estructurada, ya que

para poder aplicar el mtodo de las diferencias finitas lamalla debe tener estas caractersticas. Es importante teneren cuenta que los clculos por medio de este mtodonumrico se realizan sobre los nodos porque no existenelementos como tal.


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Men Meshing-Element Type-QuadrilateralGenera elementos 2D tipo cuadriltero. Los elementos

de la malla de diferencias finitas deben ser estrictamenterectangulares o cuadrados.

Men Meshing-GenerateGenera la malla de diferencias finitas con las anteriorescaractersticas.

(6) Clculo: Men Data-Calculate-Calculate

Inicia el clculo del problema por medio del mtodo dediferencias finitas adaptado a mallas de paso irregularaplicando el mtodo de sobrerrelajacin para la aceleracinde la convergencia. Este mdulo lanza el motor de clculo.

Finalizado el clculo, es posible acceder al posprocesopor medio del cual se visualizan los resultados de potencialy campo de flujo grficamente y se obtiene listados deellos.

(7) Posproceso: Men View results-Contour Fill,Contour Lines, Display Vectors

Visualizacin grfica de los resultados de potencial y

campo de flujo, por medio de:- Isocontornos llenos- Lneas de isocontornos, y,- Vectores (solo para el campo de flujo)

El listado de resultados se puede obtener del archivo*.flavia.res, contenido en la carpeta *.GiD, despus derealizado todo el proceso.

VI. IMPLEMENTACINLa primera versin de la herramienta est diseada para

trabajar con la formulacin estacionaria de la ecuacin deLaplace en dos dimensiones por diferencias finitas. Acontinuacin se ensean cuatro modelos que ilustran loscasos ms representativos de flujo estacionario confinado

mencionados y las condiciones de contorno aplicadas acada uno de ellos utilizando la herramienta.

A. Flujo bajo la fundacin de una tablestaca

Dentro de los innumerables problemas de ingeniera enlos que se recurre a un tablestacado se encuentra: el caso deuna pared para mantener la excavacin de un edificio enconstruccin, el muro de recinto de una terminal martima,la pantalla anclada de un muelle de atraque, etc. Para elmodelo, se utiliza un tablestacado hincado en un suelo

Figura. 7. Tablestacado de base impermeable


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limoso con una permeabilidad de 5.0E-07 cm/seg, como elque se ilustra en la Figura 7. El tablestacado es delongitud considerable en direccin perpendicular a laFigura por lo cual el flujo de agua bajo el mismo es

bidimensional.Las condiciones de contorno aplicadas al modelo del

tablestacado se ilustran en las Figuras 9, 10 y 11. Estasson:

- En la lnea equipotencial aguas arriba, h=6 m- En la lnea equipotencial de aguas abajo, h=0 m- Los dems contornos son lneas de flujo normal nulo.

B. Flujo bajo presas de concreto

La Figura 12 considera una presa de concreto

cimentada sobre un terreno permeable istropo con unapermeabilidad de 5.0E-07cm/seg. La seccin representada,

constituye realmente un vertedero ya que el agua pasasobre la presa en ciertas pocas del ao. El agua delembalse en la cara aguas arriba tiene una altura de 6.0m yla presa est enterrada dentro del suelo 2.0m. Estas son:

- En la lnea equipotencial aguas arriba, h=6 m- En la lnea equipotencial de aguas abajo, h=0 m- Los dems contornos son lneas de flujo normal nulo.

Figura. 13. Malla de Diferencias Finitas

Figura. 14. Condiciones Dirichlet

Figura. 15. Condiciones Neumann X

Figura. 16. Condiciones Neumann Y

Figura. 12. Representacin del flujo bajo una presa de concreto

Figura. 8. Malla de Diferencias Finitas.

Figura. 9. Condiciones Dirichlet.

Figura. 10. Condiciones Neumann X.



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Las condiciones de contorno aplicadas al modelo de lapresa se ilustran en las Figura s 14, 15 y 16.

C. Flujo en la vecindad de una excavacin

La Figura 17 ilustra el caso de dos paredes quemantienen una excavacin en un terreno permeable de

permeabilidad 5.0E-07cm/seg. Las paredes estn

enterradas dentro del suelo 6.0 m. y la excavacin est en

1.5 m. de profundidad. Las cotas aguas arriba y abajo de la

excavacin son h1 = 12 m y h3 = 13.5 m, respectivamente.La cota de la excavacin es h2 = 7.5 m.

Las condiciones de contorno aplicadas al modelo de laexcavacin se ilustran en las Figura s 19, 20 y 21. Estasson:

- En la lnea equipotencial aguas arriba, h=4.5 m

- En la lnea equipotencial de aguas abajo, h=6.0 m- Los dems contornos son lneas de flujo normal nulo.

D. Flujo en un relleno con dren vertical

Otra forma habitual de flujo es el caso de un muro quesostiene un relleno con un dren vertical entre la cara

Figura. 17. Flujo en la vecindad de una excavacin








Figura. 22. Flujo en el caso de lluvia en rgimen establecido en un muro deretencin de tierra con dren vertical


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interior del muro y el relleno. Si por ejemplo, la red deflujo se genera debido a una lluvia intensa la carga totalsobre el relleno (en condicin de flujo permanente) serigual a la altura geomtrica del relleno. Para el caso delejemplo la cabeza tiene un valor de 6.0 m. En la Figura 22se representa este caso.

En condiciones de saturacin y considerando flujopermanente, el borde superior del relleno ser unacondicin de borde equipotencial (f=6.0 m). La fundacindel relleno es impermeable y representa una condicin de

borde de flujo y una pequea lnea equipotencial de cabezacero es representada en la parte baja del dren. Las

condiciones de contorno aplicadas al modelo del relleno seilustran en las Figura s 24, 25 y 26. Estas son:

- En la lnea equipotencial superior, h = 6.0 m- En la lnea equipotencial inferior, h = 0.0 m- Los dems contornos son lneas de flujo normal nulo.

VII. PRESENTACIN DE RESULTADOSA continuacin se presentan grficamente los resultados

de potencial y flujo de los cuatro modelos ilustrados

anteriormente obtenidos con la aplicacin y se realiza una

comparacin con la herramienta de elementos finitosPDETool de Matlab, con el fin de validar los resultados.

a) Isocontornos de potencial

b) Isocontornos y vectores de flujoFigura. 28. Potencial y flujo en una tablestaca con Matlab


b) Isocontornos de flujo

c) Vectores de flujoFigura. 27. Potencial y flujo en una tablestaca con Geoflow




c) Vectores de flujoFigura. 29. Potencial y flujo bajo una presa con Geoflow


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c) Vectores de flujoFigura. 31. Potencial y flujo en una excavacin con Geoflow


b) Isocontornos y vectores de flujoFigura. 30. Potencial y flujo bajo una presa con Matlab


b) Isocontornos y vectores de flujoFigura. 32. Potencial y flujo en una excavacin con Matlab


b) Vectores de flujoFigura. 33. Potencial y flujo en un relleno con Geoflow


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VIII. COMENTARIO S SOBRE LOS RESULTADOSOBTENIDOS DE LA APLICACIN

De los resultados obtenidos con la aplicacin se puedecolegir que:

- La comparacin con Matlab es satisfactoria, lo cualrepresenta la validez de la aplicacin.

- La aplicacin Geoflow1.0 genera menor costocomputacional que otras alternativas numricas (p. ej.elementos finitos) dado que las diferencias finitas sonmenos robustas.

- Computacionalmente, la implementacin de diferenciasfinitas es ventajosa, dado que es un mtodo de solucinrpida, la matriz obtenida es llena y sigue el patrn de

la retcula del modelo. De esta forma, un dominio conun buen nmero de nodos no implica mayoralmacenamiento para la matriz de potencial.

- Los mtodos numricos constituyen una magnficaherramienta para la modelacin de problemas deingeniera. La aplicacin desarrollada en este proyectoes prueba de ello, y se puede hacer extensivo paradesarrollar proyectos industriales de gran envergadura.

IX. CONCLUSIONES- La enseanza en ingeniera debe adaptarse a la

sociedad en la que se desarrolla y para ello debeutilizar todas las herramientas a su alcance, hoy en dala utilizacin del computador en las aulas de clase esalgo ineludible y necesario para formar tcnicoscapaces de afrontar con seguridad su vida profesional.

Adems, las capacidades multimedia del computadorpermiten envolver las clases en un entorno que lashaga atractivas para el alumno.

- Por otra parte, la creacin de buenos materialesmultimedia requiere de gran trabajo y dedicacin por

parte del docente, la mayor parte de las veces pocoreconocido y menos recompensado, as como de un

proceso de ajuste basado en la experiencia y que ha deser constante como lo son los cambios en nuestrosestudiantes.

- Los materiales desarrollados con las nuevastecnologas van a permitir modificar la concepcin de

las clases tradicionales de ingeniera, dejando de ladola llamada clase magistral y tratando de seducir alalumno para que aporte ms trabajo personal en el

proceso de aprendizaje. Esto, representa una de lasbases ideolgicas de la reforma educativa. Adems,aumenta la participacin en la clase, tan difcil deconseguir hoy en da.

- El uso del software educativo es un acierto, ya quepermite al estudiante profundizar en los conceptosdejando de lado el esfuerzo que suponen clculostediosos. Esto, junto a cierto mtodo deductivo detrabajo, le motiva para seguir aprendiendo. De hecho,

los alumnos pueden utilizar el programa como ayudaen otras materias.- La utilizacin del computador como medio docente

debe llevar aparejados algunos cambios en loscontenidos a impartir. Ya no es necesario dedicarexcesivo tiempo a los mtodos de clculotradicionales, sino que ste se puede emplear en que elalumno comprenda mejor los conceptos. Para tal fin,las capacidades software educativo son importantes.

- El software educativo permite obtener resultados deforma gil y segura, en contraposicin al uso decalculadoras tradicionales la experimentacin

autnoma del alumno constituye un ejercicioestructurador de la mente que debe ser considerado degran importancia en la formacin de un tcnico.

REFERENCIAS[1] A. J. ngel, G. Bautista, Didctica de las Matemticas en enseanza

superior: la utilizacin de software especializado, 2001.[2] M. E. Aguiar, El dilogo en el aula: Una alternativa al tradicional

mtodo de seleccin natural en la enseanza de las Matemticas?,Tesis doctoral, Universidad de Valladolid, 2002.

[3] A. V. Aho, E. Hopcroft, J. D. Ullman, The Design and Analysis ofComputer Algorithms, Ed. New York: Addison Wesley, 1974.


b) Isocontornos y vectores de flujoFigura. 34. Potencial y flujo en un relleno con Matlab


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[5] Burden & Faires, Anlisis Numrico. Ed. Mxico: ThomsonInternacional., 1998.

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[8] C. W. Gear, Numeric initial value problems in ordinary differential

equations, Ed. New York: Prentice Hall, 1971.[9] E. Jurez, Mecnica de Suelos, Ed. Mxico: Limusa, 1982.[10] La enseanza superior en el siglo XXI: Estrategias de futuro. Texto de

la declaracin de la World Conference on Higher Education. Pars,1998.

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[12] C. Levy- Leboyer, Gestin de las competencias, Ed. Espaa:Gestin., 2000.

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York: Pergamon Press, 1989.[18] R. F. Scott, Principles of Soil Mechanics, Ed. London: Addison -

Weslley Publishing Company, 1963.[19] M. G. Spangler, R. L. Handy, Soil Engineering, Ed. New York:

Intext Educational Publishers, 1973.[20] V. L. Streeter, B. E. Wylie, Mecnica de los fluidos, Ed. Mxico: Mc

Graw - Hill, 1988.[21] V. Solrzano, C. Marina, Los Retos de la educacin virtual en

Amrica Latina, Instituto Politcnico Nacional, Sociedad Mexicana deComputacin en la Educacin. Mxico, 2001.

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[23] O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, El Mtodo de los elementos finitos,Ed. Barcelona: Mc.Graw - Hill., 1994.

Wilson Rodrguez C. Ingeniero Civil de la Universidad Industrial deSantander. Especialista en Gerencia y Magster en Mtodos Numricos parael Clculo y Diseo en Ingeniera de la Universidad Politcnica de Catalua.Director del Grupo de Investigacin en Informtica y Mtodos MatemticosAplicados-IMMA, reconocido por Colciencias.Profesor, Investigador del Departamento de Ciencias Naturales yMatemticas de la Pontificia Universidad Javeriana de Cali.Myriam R. Pallares M. Ingeniera Civil de la Universidad Industrial deSantander. Especialista en Gerencia y Magster en Mtodos Numricos parael Clculo y Diseo en Ingeniera de la Universidad Politcnica de Catalua.Directora del Grupo de Investigacin en simulacin y Control Numrico-SICON, reconocido por Colciencias.Profesora, Investigadora de la Facultad de Ingeniera Civil de la UniversidadSanto Toms de Bogot.

ejemplos presas[1]

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