rompimiento de presas-1.pdf
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CONTENIDO RESUMEN 12 0. INTRODUCCIÓN 14 1. CASOS DE FALLA 23
1.1 TETON DAM (USA, 1976) 23
1.2 MANTARO (PERÚ, 1974) 32
1.3 LA JOSEFINA (Ecuador, 1993) 34
2. ECUACIONES DE PREDICCIÓN 38
2.1 ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL DESARROLLO DE LA BRECHA 40
2.2 ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL CAUDAL PICO 45
2.3 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL CAUDAL PICO A 45 CASOS 50
2.3.1 Análisis estadístico para cada ecuación de predicción para el caudal pico 60
2.3.2 Análisis estadístico para cada presa 63
2.3.3 Ecuación de predicción propuesta por Barros (2002) 68
3. MODELOS PARAMÉTRICOS 73
3.1 MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE ANCHO CONSTANTE (SINGH, 1988), 74
3.2 MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE PROFUNDIDAD CONSTANTE (PACHECO-BARROS, 1998) 82
3.3 APLICACIÓN DEL MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE PROFUNDIDAD CONSTANTE (PACHECO-BARROS, 1998) 86
4. MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICAMENTE BASADOS 92
2
4.1 BREACH: UN MODELO DE EROSIÓN PARA FALLAS DE PRESAS DE TIERRA (HYDROLOGIC RESEARCH LABORATORY, NATIONAL WEATHER SERVICE (NWS), NOAA) 94
4.1.1 Descripción del modelo. Generalidades 96
4.1.2 Ancho del canal de erosión 101
4.1.3 Determinación del nivel del embalse: 104
4.1.4 Hidráulica del canal de erosión 105
4.1.5 Transporte de sedimentos 108
4.1.6 Agrandamiento del canal por el colapso súbito: 109
4.1.7 Sumergencia 111
4.1.8 Porosidad del material 111
4.1.9 Algoritmo computacional 112
4.2 MODELO MATEMÁTICO BRECCIA ( MODELO DEL ENEL-CRIS, ENTE NAZIONALE ENERGIA ELETTRICA-CENTRO RICERCA IDRAULICA E STRUTTURALE ) 114
4.2.1 La presa 114
4.2.2 La brecha 114
4.2.3 El embalse 116
4.2.4 El caudal de rebose 117
4.2.5 La corriente a lo largo de la brecha 117
3
4.2.6 El material transportado por la corriente 119
4.2.7 La evolución de la brecha 120
4.2.8 Solución de las ecuaciones del modelo 121
4.3 APLICACIÓN DE LOS MODELOS 121
4.3.1 Modelos BREACH y BRECCIA. Análisis de sensibilidad en los casos Mantaro y La Josefina 122
4.3.2 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de parámetros geotécnicos en 13 presas 127
4.3.3 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de la cota de inicio de tubificación para 9 presas 147
4.3.4 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad al diámetro medio y a la porosidad para el caso Teton 158
4.3.5 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de una presa a varios parámetros162
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 168
5.1 LAS BASES DE DATOS 168
5.2 LAS ECUACIONES DE PREDICCIÓN 169
5.3 LOS MODELOS PARAMÉTRICOS 170
5.4 LOS MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICAMENTE BASADOS 171
5.5 RECOMENDACIONES Y ESTÍMULO PARA OTRAS INVESTIGACIONES 174
BIBLIOGRAFÍA 176 ANEXOS 180
LISTA DE TABLAS
4
Tabla 1. Características del embalse de Teton 31
Tabla 2. Datos de área y volumen del embalse de Teton 31
Tabla 3. Características de la presa del embalse de Teton 31
Tabla 4. Características del embalse de Mantaro 33
Tabla 5. Datos de área y volumen del embalse de Mantaro 33
Tabla 6. Características de la presa Mantaro 34
Tabla 7. Características del embalse de La Josefina 36
Tabla 8. Datos de área y volumen del embalse de La Josefina 36
Tabla 9. Características de la presa de La Josefina 37
Tabla 10. Ecuaciones de predicción para la formación de la brecha 44
Tabla 11. Características de la presa, el embalse y el caudal pico para 22 presas de material suelto (Froehlich, 1995) 49
Tabla 12. Ecuaciones de predicción para el caudal pico 52
Tabla 13. Coeficientes de determinación para las 13 ecuaciones de predicción 54
Tabla 14. Criterio de Chauvenet para rechazo de una lectura 58
Tabla 15. Resumen de rechazos para las 45 presas 60
Tabla 16. Resumen de rechazos para las presas según la variable independiente de las ecuaciones de predicción 63
Tabla 17. Resumen de pruebas de rechazo para las 13 ecuaciones de predicción 65
5
Tabla 18. Coeficientes de determinación para la regresión lineal entre variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado 68
Tabla 19. Prueba de rechazo para la ecuación de Barros (2002) 71
Tabla 20. Características físicas y datos de brecha de 52 casos históricos. 79
Tabla 21. Coeficientes de erosión para brecha rectangular (Singh, 1988) 80
Tabla 22. Coeficientes de erosión para 13 presas 87
Tabla 23. Modelos Físicamente basados(V.Singh & Scarlatos, 1988; Wurbs, 1987).94
Tabla 24. Datos reportados de los casos Mantaro y La Josefina 123
Tabla 25. Parámetros de referencia utilizados en la modelación 124
Tabla 26. Resultados de caudal pico y tiempo al pico 124
Tabla 27. Parámetros geotécnicos adoptados para la modelación de 13 presas 127
Tabla 28. Resultados de caudal obtenidos para 13 presas con el modelo BREACH128
Tabla 29. Resumen del estudio de sensibilidad de los parámetros geotécnicos para 13 presas 143
Tabla 30 Resumen del estudio de sensibilidad de la cota de inicio de tubificación para 9 presas 157
Tabla 31. Características geométricas de la presa y del embalse 163
Tabla 32. Rangos de variación de los parámetros para el análisis de sensibilidad 163
Tabla 33. Valores de los parámetros considerados para 31 casos de modelación para una presa 165
6
LISTA DE FOTOGRAFÍAS
Fotografía 1. Falla por tubificación en la presa Teton (10:45 a.m.,junio 5,1976) 24
Fotografía 2. Estado del rompimiento en la presa Teton a las 11:20 a.m. 26
Fotografía 3. Estado del rompimiento en la presa Teton a las 11:30 a.m. 27
Fotografía 4. Presa Teton poco después de las 11:30 a.m. 27
Fotografía 5. Estado del rompimiento en la presa Teton a las 11:50 a.m. 28
Fotografía 6. Transición de tubificación a brecha a las 11:55 a.m. 28
Fotografía 7. Estado del rompimiento temprano en la tarde del 5 de junio 29
Fotografía 8. Estado del rompimiento al final de la tarde del 5 de junio 29
Fotografía 9. Presa Teton en la actualidad 30
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Histogramas de altura de presa, volumen de embalse, factor de presa y caudal pico para la base de datos de 45 presas. 52
Figura 2. Gráficos comparativos de los caudales para las 13 ecuaciones de predicción de la Tabla 12 , 6 de 13(continúa en la p. siguiente) 55
Figura 3. Gráficos de las variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado (después del análisis estadístico) 69
Figura 4. Ecuación de predicción propuesta por Barros (2002) 70
Figura 5. Gráfico comparativo de los caudales para la ecuación de predicción Barros (2002) 71
Figura 6. Gráfico comparativo de los caudales para la ecuación de predicción Barros (2002), después del análisis estadístico 72
Figura 7. Hidrógrafas de 13 presas generadas con el modelo paramétrico de Pacheco-Barros 89
Figura 8. Sección transversal de una presa 99
Figura 9. Formación del canal de erosión en la presa 103
Figura 10. Vista frontal de la presa con el canal de erosión 104
Figura 11. Vista lateral mostrando las fuerzas que determinan el posible colapso de la porción superior (yc) de la presa. 110
Figura 12. Geometría de la presa y de la brecha, modelo BRECCIA 115
Figura 13. Análisis de sensibilidad para los casos Mantaro y La Josefina 126
8
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas 129
Figura 15. Resultados del análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 7 presas 146
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas 148
Figura 17. Correlaciones entre la carga hidráulica inicial con los caudales y el tiempo en el cambio de flujo confinado a libre 158
Figura 18. Sensibilidad a la porosidad para el caso Teton 159
Figura 19. Sensibilidad al diámetro medio para el caso Teton (con cohesión) 160
Figura 20. Sensibilidad al diámetro medio para el caso Teton (sin cohesión) 161
Figura 21. Estudio de sensibilidad para una presa en Antioquia (Colombia) 166
9
LISTA DE ANEXOS
ANEXO A. BASE DE DATOS DE 108 PRESAS 181
ANEXO B. BASE DE DATOS DE 45 PRESAS 184
ANEXO C. LISTA DE PRESAS PARA ANÁLISIS DE REGRESIÓN 185
ANEXO D. ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA CADA ECUACIÓN DE PREDICCIÓN186
ANEXO E. ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA CADA PRESA 187
10
Dedico este trabajo:
A mis padres y hermanos
A mi Familia (Marta Lucía, Manuel y Sara)
A mis profesores del Posgrado
A mis compañeros del Posgrado
A mis discípulos
A mis compañeros de la Escuela de Ingeniería de Antioquia
A mis amigos
11
RECONOCIMIENTOS
A Ramón Galindo Pacheco (Posgrado en Aprovechamiento de recursos Hidráulicos,
Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín). Propuso el tema de esta tesis,
elaboró el primer plan de trabajo, suministró información valiosa, programas de
cómputo e ideas originales. Asumió con dedicación y notable interés la asesoría del
trabajo durante el tiempo que permaneció como profesor en el Posgrado.
Adriana Tobón Noreña (Empresas Públicas de Medellín). Abrió las puertas para
desarrollar y aplicar el conocimiento en casos reales demostrando con ello la
importancia de la predicción en la elaboración de Planes de Contingencia.
Rubén Darío Hernández Pérez (Escuela de Ingeniería de Antioquia). Brindó un
espacio indispensable para la culminación de este trabajo.
Mauricio Toro Botero (Posgrado en Aprovechamiento de recursos Hidráulicos,
Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín). Llevó a cabo una brillante
dirección con receptividad, creatividad, seriedad y una visión especial para alcanzar
la conexión de mucho trabajo que parecía disperso.
Marta Lucía Mejía Jiménez (mi esposa). Siempre creyó en el proyecto y sobretodo en
mí. Mantuvo la esperanza y la confianza. Empujó, apoyó, animó, oró. Siempre estuvo
dispuesta, atenta, despierta. Su inmenso amor merecía conocer este proyecto
culminado.
12
RESUMEN
Utilizando una base de datos de 45 casos de presas falladas en un rompimiento de
presa, se analizan tres métodos de predicción para el caudal pico resultante:
ecuaciones de predicción, modelos paramétricos y modelos matemáticos
físicamente basados. Se aplican 13 ecuaciones de predicción a la base de datos y
se propone una nueva; se realiza un análisis estadístico que permite evaluar los
datos de caudal pico y la aplicabilidad de las ecuaciones de predicción a cada
presa. Se propone un nuevo modelo paramétrico. Se realiza un exhaustivo análisis
de sensibilidad utilizando dos modelos matemáticos físicamente basados (BREACH
y BRECCIA).
Palabras claves: Presa, Rompimiento, Brecha, Ecuaciones de predicción, Modelos
paramétricos, Modelos matemáticos físicamente basados.
ABSTRACT
Using a database of 45 cases of dams failed in a dam breach, three prediction
methods are analyzed for the resultant peak discharge: predictor equations,
parametric models and physically based mathematical models. 13 predictor
equations are applied to the database and a new one is purposed; a statistical
analysis that allows evaluating the data of peak discharge and the applicability of the
predictor equations to each failed dam is carried out. A new parametric model is
purposed. An exhaustive analysis of sensibility is carried out using two physically
based mathematical models (BREACH and BRECCIA).
13
Key words: Dam, Break, Breach, Predictor Equations, Parametric Models, Physically
Based Mathematical Models
14
0. INTRODUCCIÓN
La falla de una presa puede resultar en un desastre de grandes proporciones con
pérdidas materiales, ambientales y de vidas humanas. Para la planificación del
territorio y la definición de usos del suelo en zonas aledañas a un embalse artificial o
en zonas con riesgo de formación de embalses naturales (por el represamiento
debido a deslizamientos de tierra), es urgente el estudio y análisis del rompimiento
por erosión de la presa que contiene al embalse. Las crecientes asociadas por la
falla de presas artificiales han producido algunos de los desastres más
devastadores en los últimos dos siglos. Costa (1985) reporta que el 60% de más de
11,100 fatalidades asociadas con fallas de presas, han ocurrido en tan sólo 3
fallas: Vaiont, Italia, 1963 (2,600 muertes por un sobrevertimiento en una presa en
arco de concreto producido por la onda generada por un deslizamiento); Johnstown
Dam, Pennsylvania, USA, 1889 (2,200 muertes por un sobrevertimiento en una presa
de tierra); y Machhu II, India, 1974 (más de 2,000 muertes por un sobrevertimiento en
una presa de tierra durante construcción). La mayoría de las causas de las fallas han
sido el sobrevertimiento debido a una inadecuada capacidad del vertedero (34%),
defectos de fundación (30%) y tubificación o filtración (28%)1. El número promedio
de fatalidades ha sido hasta casi 20 veces mayor cuando no existen adecuaciones o
medidas de prevención. Hay varias causas de falla en las presas de material suelto y
en algunas ocasiones es difícil determinar con exactitud el modo de falla,
especialmente si no hay testigos de ella. La International Commission on Large
Dams (ICOLD, 1974) reporta que cerca de una tercera parte de las fallas de presa
de material suelto son causadas por una capacidad inadecuada del vertedero que
15
da como resultado un sobrevertimiento de la presa2. Aproximadamente otra tercera
parte de las fallas de presas de material suelto se han atribuido a la tubificación
causada por filtraciones concentradas que erosionan las partículas del suelo a lo
largo de la trayectoria de la filtración, que aumenta gradualmente hasta que la falla
ocurre. La tercera parte restante de las fallas es causada por el deslizamiento de la
presa, asentamiento de la base, o una protección inadecuada contra la acción de las
olas.
Durante la falla de la presa se desarrolla un proceso dinámico complejo. Aunque los
principales modos de falla han sido identificados como el sobrevertimiento y la
tubificación, poco se conoce sobre la localización y el tamaño del canal (brecha
inicial) o del conducto con el cual se inicia el proceso. En la formación de esta
brecha y en el proceso de la falla se involucran aspectos hidráulicos, hidrodinámicos,
hidrológicos, geotécnicos y de mecánica de transporte de sedimentos. La predicción
de la forma, magnitud y tiempo del desarrollo de la falla de la presa es importante
para el diseño de un programa de evacuación y un manejo adecuado de las
operaciones en el embalse. Una vez se forma la brecha, la descarga de agua
continúa erosionándola hasta que el embalse es prácticamente vaciado.
El caso de la falla de la presa Baldwin Hills cerca de Los Ángeles, California (USA)
en 1964 y la posibilidad de ocurrencia de falla en la presa Lower Van Norman en
1971, llevaron a que el estado de California promulgara unos estatutos mediante los
cuales se exigía a los propietarios de presas, la elaboración de mapas de
1 WAHL, Tony L. Prediction of embankment dam breach parameters, literature review and needs assessment. En: Dam safety operation and maintenance an international technical seminar. Denver, CO, USA: USBR, 1996, p. 4. 2 FROEHLICH, David C. Peak outflow from Breached embankment dam . Journal of Water Resources Planning and Management . Vol. 121, No 1, January/February, 1995, p. 91.
16
inundación en el caso eventual de una falla. Aquí nació el desarrollo de
procedimientos para estimar los resultados del rompimiento por falla de las
presas. Anterior a esta medida, poco se había escrito acerca de procedimientos
para estimar tales resultados3. En los últimos 20 años se han desarrollado un buen
número de modelos matemáticos para la simulación de este proceso.
Para Colombia el Ministerio del Medio Ambiente expidió en Junio de 1997 los
términos de referencia (Eter-210) para el Estudio de Impacto Ambiental de proyectos
de aprovechamiento hidroeléctrico (Sector de Energía). En la Identificación y
Evaluación de Impactos Ambientales, debe tenerse en cuenta para el análisis de
riesgos, la posibilidad de la rotura de presa. En Junio de 1998, el mismo Ministerio
expidió la Resolución 0501 por la cual se establecen términos de referencia
genéricos (Eter-220) para la elaboración de Planes de Manejo Ambiental de
centrales hidroeléctricas en régimen de transición que son de competencia del
Ministerio del Medio Ambiente. Allí se presenta un listado de las amenazas a
considerar para el análisis de riesgos y el Plan de Contingencia, entre las cuales se
incluyen las fallas en la presa.
Los dos aspectos principales en el análisis del rompimiento de la presa son la
predicción de la hidrógrafa de salida y el desplazamiento de esa hidrógrafa aguas
abajo. Para la predicción de la hidrógrafa de caudales generada en la ruptura
gradual del cuerpo de la presa, se deben considerar las características de la brecha
(e.g. forma, ancho inicial, profundidad y tasa de formación), las del volumen
almacenado en el embalse y las del flujo entrante en la brecha. Para el
desplazamiento de la hidrógrafa aguas abajo de la presa, existen diversos modelos
3 WAHL, Tony L., Op. cit., p. 6.
17
computacionales basados en métodos de propagación de la onda, generalmente
utilizando flujo unidimensional.
Reclamation (1988) agrupa los métodos de análisis del rompimiento de la presa en
4 categorías4:
1. Métodos físicamente basados: predicen el desarrollo de la brecha y el caudal de
salida resultante utilizando un modelo de erosión basado en principios de
hidráulica, transporte de sedimentos y mecánica de suelos.
2. Modelos paramétricos: utilizan información de casos estudiados para estimar el
tiempo de falla y la geometría final de la brecha y simulan el crecimiento de la
brecha como un proceso lineal o no lineal dependiente del tiempo, calculando el
caudal de salida usando principios de la hidráulica.
3. Ecuaciones de predicción: calculan el caudal máximo (caudal pico) por medio de
una ecuación empírica basada en datos de casos estudiados y asumen una
forma razonable para la hidrógrafa de salida.
4. Análisis comparativo: si la presa en consideración es muy similar en tamaño y
construcción a la presa de una falla bien documentada, los parámetros de la
brecha y del caudal pico de salida pueden determinarse por comparación.
Los tres últimos métodos dependen de la similitud entre los datos del caso estudiado
y los datos seleccionados para las ecuaciones utilizadas. En general la base de
datos de las fallas de presas bien documentadas es pequeña y contiene pocos
ejemplos de presas muy altas o embalses de gran volumen de almacenamiento. Los
4 Ibid., p. 7.
18
datos de estudios de casos sólo proporcionan información limitada (e.g.
profundidad, ancho y forma final de la brecha, caudal pico y tiempo total de la falla o
de vaciado del embalse). Los datos de casos estudiados son insuficientes para
realizar predicciones de la tasa de formación de la brecha y del tiempo total
requerido para la falla, dada la dificultad en definir el punto de falla y en la
interpretación de la falla por parte del observador del lugar, que es a menudo el único
testigo que presencia el rompimiento de la presa. La identificación de casos
estudiados para un análisis comparativo o para el desarrollo de ecuaciones de
predicción puede ser imposible para presas grandes o aquellas de construcción
única. Además, la suposición de la tasa de crecimiento de las dimensiones de la
brecha no es muy realista en la mayoría de los casos.
Los modelos numéricos físicamente basados ofrecen la posibilidad de obtener una
información más detallada pero en la actualidad se reconoce que poseen
limitaciones en la precisión. Los modelos disponibles dependen de las relaciones de
transporte de sedimentos que no son siempre aplicables o no han sido verificadas
para las condiciones de régimen de flujo que se aplican en la brecha de la
presa. Además, muchos de los modelos disponibles no simulan los mecanismos de
falla observados en los casos estudiados o en los ensayos de laboratorio. Existen
distintos modelos matemáticos con idénticos propósitos pero que utilizan distintas
hipótesis, ecuaciones básicas y determinadas características particulares.
Algunos estudios de casos descritos por Wahl son:
K. Singh y Snorrason (1984) utilizaron los modelos DAMBRK y HEC-1 para estudiar
los efectos de las variaciones en los parámetros de la brecha sobre la descarga
máxima predicha para ocho rompimientos de presa hipotéticos. Ellos variaron el
ancho de brecha, la profundidad, el tiempo de falla y la carga hidráulica sobre la
19
cresta, entre rangos identificados de un análisis de 20 casos estudiados de fallas
reales. Grandes cambios en el caudal pico se produjeron variando el tiempo de falla
en embalses de pequeño volumen de almacenamiento. Una reducción del 50% en el
tiempo de falla durante la creciente máxima probable produjo incrementos en el
caudal pico del 13% al 83%. Para embalses grandes el caudal de salida era
insensible al mismo cambio en tiempo de falla, mostrando una variación de sólo el
1% al 5%. Cambios en el ancho de la brecha produjeron grandes variaciones en el
caudal pico para grandes embalses (35% al 87%) y pequeñas para pequeños
embalses (6% al 50%). La sensibilidad a la profundidad de la brecha fue
relativamente pequeña en los 20 casos estudiados, considerados por Singh y
Snorrason. Sólo hubo un cambio del 20% en el caudal pico en el rango de las
profundidades de brecha simuladas y el cambio en el caudal pico no mostró una
relación aparente con el tamaño del embalse5.
Petrascheck y Sydler (1984) también demostraron la sensibilidad de la descarga,
niveles de inundación y propagación de la creciente a cambios en el ancho de
brecha y el tiempo de formación de la misma. Para localidades cercanas a la presa
ambos parámetros pueden tener una gran influencia. Para sitios alejados aguas
abajo de la presa el tiempo de la onda de crecida puede ser alterado
significativamente por cambios en el tiempo de formación de la brecha, pero el
caudal pico y los niveles de inundación son insensibles a cambios en los parámetros
de la brecha.
Wurbs (1987) concluyó que la simulación de la brecha contiene la mayor
incertidumbre de todos los aspectos de la onda de crecida modelada en el
rompimiento. La importancia de diferentes parámetros varía con el tamaño del
5 Ibid., p.7.
20
embalse. En embalses grandes el caudal pico ocurre cuando la brecha alcanza su
máxima profundidad y ancho. Cambios en el nivel del embalse son relativamente
pequeños durante el período de formación de la brecha. En estos casos una
predicción precisa de la geometría de la brecha es más crítica. Para pequeños
embalses hay un cambio significativo en el nivel del embalse durante la formación de
la brecha y por ello el caudal pico ocurre antes de que la brecha se haya formado
completamente. Para estos casos la tasa de formación de la brecha es el parámetro
crítico6.
Planes de contingencia bien elaborados son indispensables para prevenir la pérdida
de vidas durante un desastre por el rompimiento de una presa. Un aspecto clave de
la mayoría de los planes de contingencia es el conocimiento del tiempo disponible
para llevar a cabo los programas de evacuación, de acuerdo con la amenaza de la
falla de la presa. En algunos casos, unos sistemas de alerta oportunos pueden
proporcionar un tiempo adicional que hace posible unos procedimientos de
evacuación y reduce la necesidad de modificaciones costosas en la presa o en el
vertedero de descarga. Distintos tipos de análisis ingenieriles deben utilizarse para
determinar los parámetros que afectan el desarrollo del plan de contingencia.
Para poblaciones localizadas lejos, aguas abajo de la presa, las características del
canal del río después de la presa juegan un papel importante en la determinación del
tiempo de llegada de la onda de creciente y en la atenuación del caudal pico y del
máximo nivel de inundación. Para esta población, el desplazamiento de la onda de la
creciente es el aspecto más importante del análisis. Sin embargo, para la población
de mayor riesgo ante la falla de la presa (aquella cercana a la presa) los parámetros
de la brecha (tiempo de iniciación, tasa de formación y geometría como una función
6 Ibid., p.8.
21
del tiempo) son los de mayor influencia. La mayoría de las aproximaciones cuentan
bien sea con datos obtenidos de casos estudiados de presas falladas o con
modelos numéricos que simulan los mecanismos de erosión y los regímenes de flujo
relevantes en un proceso de rompimiento sin unas consideraciones realistas.
En el trabajo que se desarrolla en los capítulos siguientes se hace uso de tres de los
distintos métodos de análisis que agrupa el Bureau, i.e., las ecuaciones de
predicción, los modelos paramétricos y los modelos matemáti cos físicamente
basados. La investigación va orientada a la aplicación de los métodos de análisis y
a la propuesta de una metodología de trabajo que permita validar los resultados. En
el Capítulo 1 se describen tres casos de falla bien documentados. En el Capítulo 2 se
lleva a cabo un análisis estadístico con 13 ecuaciones de predicción y una base de
datos de 45 presas. En el capítulo 3 se presentan dos modelos paramétricos y se
aplica uno de ellos a 13 presas de la misma base de datos anterior. En el capítulo 4
se describen dos modelos matemáticos físicamente basados, y se presentan
estudios de análisis de sensibilidad aplicados a distintas presas.
En Colombia, han ocurrido varios casos de rompimiento, pero poco se conoce sobre
ellos debido a la falta de un manejo técnico. Entre algunos de ellos están el de la
presa de La Regadera (Cundinamarca) en 19377. También en el departamento de
Antioquia ocurrió en Octubre de 1970, un deslizamiento de unos 8 millones de
metros cúbicos que ocasionó el represamiento del río Sucio y la posterior
destrucción de 120 casas en el municipio de Uramita (en ese entonces municipio de
Dabeiba), distintas localidades municipales, puentes, instalaciones de servicios
públicos y varios kilómetros de carretera. Este deslizamiento se conoce como El
7 FREGA, Giuseppe y MACCHIONE, Francesco. Formulazione e sviluppo di modelli matematici alle diferenze finite per la simulazione della rottura di una diga in materiali sciolti. ENEL CRIS-Università degli studi della Calabria, Montalto, diciembre de 1992, p. 14.
22
Revenidero8. El 25 de julio de 1994 se presentó un flujo de escombros a lo largo de
la quebrada El Uval, municipio de Guasca (Cundinamarca), originado por la falla de
una pequeña presa construida en 1979 para almacenar 200,000 m3 de agua para
riego y consumo doméstico. La creciente arrasó gran cantidad de árboles, causó la
destrucción de numerosas viviendas, generó algunos deslizamientos en las orillas
del cauce y destruyó parcialmente algunos acueductos veredales9.
Colombia es un país montañoso con zonas de alto riesgo de deslizamiento y la
consecuente formación de represamientos por el posible taponamiento de ríos o
quebradas. El 6 de febrero de 1999 se produjeron distintos deslizamientos en el
municipio de La Montañita (Caquetá) con el represamiento de varias quebradas10. A
consecuencia de estos deslizamientos 50 familias se vieron afectadas y se
registraron fuertes pérdidas materiales, ya que los aludes arrasaron tuberías de
acueductos, carreteras, puentes, viviendas, animales y cultivos, hasta varios
kilómetros abajo del pueblo.
8 CABALLERO ACOSTA, José Humberto y MEJÍA PELÁEZ, Isabel. Investigación histórica y de campo del derrumbe El Revenidero ocurrido en Octubre de 1970, municipio de Uramita, departamento de Antioquia. Revista Ingeominas (Instituto de Investigaciones en Geociencias, Minería y Química, Colombia), No.2,1993,p. 28-56.
9 CARO PEÑA, Pablo E. y ÁVILA ÁLVAREZ, Guillermo E. Evaluación de un flujo de escombros producido por la falla de una presa en el municipio de Guasca. VII Congreso Colombiano de Geología. IV Conferencia Colombiana de Geología Ambiental. No Exp. 18. Santafé de Bogotá, Colombia. Agosto 27 al 29 de 1996. 10 El Espectador. La Montañita se derrumbó. Lunes, 8 de febrero de 1999.
23
1. CASOS DE FALLA
Existe gran variedad de bases de datos que recogen información acerca de fallas de
presas. Quizás una de las más completas es la que ofrece Tony L. Wahl en el sitio
WEB del Water Resources Research Laboratory del U.S. Department of the Interior,
Bureau of Reclamation11, con datos de 108 presas compilados de diversas fuentes
de la literatura científica. Esta base de datos se presenta en el ANEXO A .
Puede encontrarse buena información acerca de tres casos de rompimiento en
particular: la presa Teton (USA) y dos presas naturales creadas por deslizamientos
conocidas como Mantaro (Perú) y La Josefina (Ecuador). Dada la descripción que
puede lograrse de los procesos de rompimiento mediante estos casos, a
continuación se presenta un resumen.
1.1 TETON DAM (USA, 1976)
La presa Teton (Teton Dam) del Bureau of Reclamation falló el 5 de junio de 1976
durante el llenado inicial, cuando el embalse estaba casi completamente lleno 12. A la
falla se atribuyó la muerte de 11 personas y daños en propiedades por cerca de 400
millones de dólares. La presa estaba situada sobre el río Teton, 5 kilómetros al
noreste de Newdale, Idaho (USA). El embalse formado por la presa de tierra se
comenzó a llenar el 3 de octubre de 1975 y el día de la falla almacenaba 310.3 hm 3
11 WAHL, Tony L. Report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment. U.S. Department of the Interior, Bureau of Reclamation, Dam Safety Office. July 1998. Disponible en Internet: <http://www.usbr.gov/wrrl/twahl/> 12 BUREAU OF RECLAMATION. Dams and Public Safety. Denver, CO: United States Government Printing Office. 1992. p 191-196.
24
de agua, 295.9 hm 3 de los cuales fueron desalojados en un período de 8 horas. Los
eventos fueron descritos por testigos en el reporte Teton Dam Failure Review Group
(U.S. Department of the Interior, 1977)13. A las 7:30 a.m. del sábado 5 de junio se
observaron dos filtraciones de agua en el cuerpo de la presa. Aproximadamente
0.06 m3/s manaban de la presa a una cota de 1,585.4 msnm y a las 8 a.m. fluían de
0.6 a 0,9 m3/s a una cota de 1,538.1 msnm. Para las 9 a.m. este flujo se había
incrementado a 1,417 m3/s. Otra fuga de cerca de 0.43 m3/s se observó a las 10
a.m. a una elevación de 1,585.4 m y a partir de ésta la cara aguas abajo de la presa
se comenzó a erodar progresivamente a medida que el flujo se incrementaba
(Fotografía 1 ).
Fotografía 1. Falla por tubificación en la presa Teton (10:45 a.m.,junio 5,1976)
Fuente: <http://ponce.sdsu.edu/teton_dam_failure_photos.html>
13 RAY,H.A. y KJELSTROM, L.C. The flood in southeastern Idaho from the Teton Dam failure of June 5,1976. En: U.S. Geological Survey,Open-file report 77-769. p 1-3.
25
A las 11:57 a.m. (Fotografía 2 a Fotografía 6) se formó una brecha en la presa y el
agua del embalse se precipitó hacia el cañón del río Teton, arrasando con una
cantidad apreciable del material de las paredes del cañón y dejando la casa de
máquinas enterrada bajo el material erodado. De acuerdo con un reporte de Ray et
al (1976), la falla comenzó por tubificación a las 10:00 am y lentamente se
incrementó el caudal de descarga hasta las 12:00 m cuando la porción de la presa
sobre el conducto creado por la tubificación colapsó y en los minutos próximos
(cerca de 12 minutos de acuerdo con Blanton, 1977) la brecha llegó a desarrollarse
completamente permitiendo un caudal pico entre 45,300 m3/s y 79,300 m3/s,
considerándose el mejor estimativo como de 65,100 m3/s (Brown y Rogers,
1977). En el momento del caudal pico la brecha (según observaciones en
fotografías) aparece con forma trapezoidal con un ancho superior en el nivel inicial de
la superficie del agua de cerca de 152 m y pendientes laterales en proporción 1
vertical a 0.5 horizontal (1:0.5) (Fotografía 7 y Fotografía 8). Un estimativo mayor de
ancho final de brecha, después de haber ocurrido más ensanchamiento posterior al
caudal pico fue reportado por Brown y Rogers (1977) como de 198 m. Luego del
caudal pico, el caudal decreció gradualmente a un flujo comparativamente bajo en
cerca de 5 horas, tiempo en el cual fue vaciado el embalse. El caudal de entrada al
embalse durante la falla fue insignificante. El nivel del eje del conducto de brecha
estaba 48.8 m sobre el piso de la presa.
La presa estaba localizada en un cañón formado por el río Teton sobre suelo
volcánico y que se extendía hasta aproximadamente 8,045 m aguas abajo de la
presa. Cerca de 6,436 m aguas abajo del final de este cañón, el río Teton se bifurca
en una ramificación norte y una ramificación sur y ambas ramificaciones caen más
abajo al río Henrys Fork. Aproximadamente 17,699 m aguas abajo de la
desembocadura de la ramificación sur del río Teton, el río Henrys Fork cae al río
Snake y 197,907 m aguas abajo de este punto se encuentra la presa de las
26
Cataratas Americanas. En las llanuras de inundación de estos ríos se practicaba la
agricultura extensiva. Las inundaciones en este sistema fluvial estaban generalmente
asociadas a los deshielos de primavera o las fuertes lluvias de verano.
En los 143 minutos siguientes al rompimiento de la presa, cerca de 213.3 hm3 de
agua drenaron por la brecha formada, resultando un caudal pico de
aproximadamente 65,179 m3/s en el cañón del río Teton entre 1,448 a 3,701 m
aguas abajo de la presa y produciendo la inundación de 479.2 km2, la muerte de 11
personas y cuantiosas pérdidas materiales. El volumen de la creciente de cerca de
197.3 hm3 de agua después de las atenuaciones sufridas en los 251,004 m
recorridos, fue amortiguado por el embalse de las Cataratas Americanas sobre el río
Snake, con una capacidad de almacenamiento de 1,603 hm 3.
Fotografía 2. Estado del rompimiento en la presa Teton a las 11:20 a.m.
Fuente: Ibid.
27
Fotografía 3. Estado del rompimiento en la presa Teton a las 11:30 a.m.
Fuente: Ibid.
Fotografía 4. Presa Teton poco después de las 11:30 a.m.
Fuente: Ibid.
28
Fotografía 5. Estado del rompimiento en la presa Teton a las 11:50 a.m.
Fuente: Ibid.
Fotografía 6. Transición de tubificación a brecha a las 11:55 a.m.
Fuente: Ibid.
29
Fotografía 7. Estado del rompimiento temprano en la tarde del 5 de junio
Fuente: Ibid.
Fotografía 8. Estado del rompimiento al final de la tarde del 5 de junio
Fuente: Ibid.
30
Fotografía 9. Presa Teton en la actualidad
Fuente: Ibid.
En las 48 horas siguientes a la rotura de la presa, un área de cerca de 479.2 km2 fue
inundada; sin embargo los sistemas de alerta permitieron evacuar las zonas en
peligro de inundación y salvar muchas vidas humanas. La onda de creciente alcanzó
velocidades cercanas a 12.2 m/s y las profundidades de agua oscilaron entre 22.9 m
cerca a la presa, hasta 15.2 m en zonas más alejadas aguas abajo. Las
comunidades de Willford y Sugar City ubicadas a más de 19 km de la presa, fueron
devastadas por una ola de 4.6 m de altura que llegó a ellas el 5 de junio a la 1 p.m.
Aproximadamente 40 minutos después llegó la onda de creciente a la población de
Rexburg (24,618 m aguas abajo de la presa) y en pocos minutos inundó el 80% de la
ciudad bajo 2.4 m de agua que arrastraban árboles y escombros. Cerca de dos
horas más tarde, la creciente alcanzó la confluencia de los ríos Henrys Fork y Snake
inundando 137.3 km2 de tierras dedicadas a la agricultura alrededor de los cerros
Menan y produciendo daños considerables en viviendas, carreteras, puentes,
canales y demás infraestructura de la zona. Para entonces, 6 horas después de la
falla de la presa, 238.3 km2 habían sido inundados. El 6 de junio a las 6 p.m., 30
31
horas después de ocurrido el rompimiento, 331.5 km2 habían sido inundadas; en
tanto que entre el 5 y el 7 de junio se presentaron inundaciones menores en 85.5 km2
más. Cerca de la media noche del 7 de junio, la cresta de la onda de creciente
producida por el rompimiento de la presa Teton llegó al embalse de las Cataratas
Americanas, el cual almacenó y amortiguó la creciente. Finalmente, las aguas que
habían inundado grandes extensiones y que no habían sido evaporadas o infiltradas,
regresaron a los canales, los cuales tuvieron caudales de medianos a altos durante
largo tiempo. En la Tabla 1 y en la Tabla 2 se presentan las principales
características del embalse de Teton y los datos de área y volumen para distintas
cotas. La Tabla 3 presenta algunas características de la presa.
Tabla 1. Características del embalse de Teton
Capacidad máxima (106 m3) 355.2
Capacidad en el momento de la falla (106 m3) 310.3 Área en el momento de la falla (km2) 7.89 Cota en el momento de la falla (msnm) 1,617
Embalse
Altura en el momento de la falla (m) 85.4
Tabla 2. Datos de área y volumen del embalse de Teton
Cota (msnm)
Área del espejo de agua (km2)
Volumen almacenado (millones de m3)
1,546.9 0.27 1,559.1 0.87 1,586.5 3.48 129.8 1,592.6 4.30 159.6 1,598.7 5.20 194.3 1,604.8 6.18 230.9 1,607.8 6.59 251.3 1,611.5 7.77 272.7
Tabla 3. Características de la presa del embalse de Teton Característica Presa de Teton
32
Tipo Presa de tierra compactada Cota de cresta (msnm) 1,624.6 Cota de fondo (msnm) 1,531.6 Altura (m) 93 Longitud de la cresta (m) 914.4 Ancho de la cresta (m) 10.7 Pendiente de la cara de aguas arriba Zu, 1(v):Zu(h)
2.5
Pendiente de la cara de aguas abajo Zd, 1(v):Zd(h)
2
1.2 MANTARO (PERÚ, 1974)
En el valle del río Mantaro, en el área montañosa del centro del Perú, ocurrió un
deslizamiento masivo de una ladera del monte Cochacay a las 9:00 p.m. del 25 de
abril de 197414. El deslizamiento, con un volumen de aproximadamente 1,600 106 m3
formó una presa de enormes proporciones con una altura de 170 m, una longitud a lo
largo del río de 3,800 m y un ancho de cresta en el cañón del río de 1,000 m15. Esta
presa represó el Río Mantaro creando un lago que alcanzó una profundidad de 170
m y una longitud de 31 km, almacenando 670 106 m3 de agua, antes del
sobrevertimiento que se produjo 44 días después del deslizamiento durante el
periodo de junio 6 al 8 de 1974 (Lee y Duncan, 1975). El flujo del sobrevertimiento
erosionó gradualmente un canal que se convirtió finalmente, en las próximas 6 a 10
horas, en una brecha de forma trapezoidal de aproximadamente 107 m de
profundidad, con un ancho superior de 244 m y pendientes de las paredes laterales
de 1:1. El caudal pico se estimó en 10,000 m3/s de acuerdo con el reporte de Lee y
14 FREAD, D.L. BREACH: an erosion model for earthen dam failures. En: The NWS DAMBRK Model: theoretical background/user documentation, National Weather Service (NWS), NOAA, 1991. p. 25. 15 QUEIROZ NOGUEIRA, Vicente de Paulo. A mathematical model of progressive earth dam failure. Dissertation, in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy . Colorado State University. Fort Collins. Colorado, 1984, p. 83.
33
Duncan (1975); Sembenelli reportó un caudal de 19,000 m3/s16, pero Ponce y
Tsivoglou (1981) reportaron luego un valor estimado de 13,700 m3/s. La brecha no
erosionó el lecho del río original; esto hizo que el gran lago permaneciera hasta que
la brecha hubo bajado de nivel, 24 horas después de que ocurriera el caudal pico. La
onda de la creciente produjo fuertes daños aguas abajo, incluyendo la destrucción de
la pequeña ciudad de Santiago de Anco (Salas, 1974). En la Tabla 4 y la Tabla 5 se
presentan las principales características del embalse de Mantaro y los datos de área
y volumen para distintas cotas. La Tabla 6 presenta algunas características de la
presa.
Tabla 4. Características del embalse de Mantaro
Capacidad en el momento de la falla (106 m3) 670 Área en el momento de la falla (km2) 9.90 Embalse Altura en el momento de la falla (m) 170
Tabla 5. Datos de área y volumen del embalse de Mantaro
Altura (m)
Área del espejo de agua (km2)
Volumen almacenado (millones de m3)
0 0 64 4.82 170 9.90 670
16 SEMBENELLI, Piero. La frana di Mayunmarca-Huaccoto. En: Rivista Italiana di Geotecnica, Organo dell’Associazione Geotecnica Italiana. Anno IX, No 1, Gennaio-Marzo 1975. p. 7-11.
34
Tabla 6. Características de la presa Mantaro
Característica Presa Mantaro
Tipo Presa creada por deslizamiento Altura (m) 170 Longitud de la cresta (m) 1,000 Ancho de la cresta (m) 0 Pendiente de la cara de aguas arriba Zu, 1(v):Zu(h)
17
Pendiente de la cara de aguas abajo Zd, 1(v):Zd(h)
8
1.3 LA JOSEFINA (ECUADOR, 1993)
El lunes 29 de marzo de 1993, se produjo un aluvión que formó un dique el cual
taponó los ríos Cuenca y Jadán en el sector conocido como La Josefina,
perteneciente a la Parroquia del Cantón Paute, a 22 Km de la ciudad de
Cuenca17. El deslizamiento se produce en dos instancias: en la primera, una gran
masa del Cerro Tamuga desciende provocando el taponamiento de los ríos; en un
segundo momento, el deslizamiento cubre una parte del primero apoyándose en el
Cerro Tubón, localizado en frente del Tamuga. El evento produjo la desaparición de
150 personas y de unas 7.000 damnificadas.
El deslizamiento ocurrió en un periodo de intenso invierno. La presencia de canteras
de explotación de material pétreo en la zona del deslizamiento fue sin duda causa de
la ocurrencia del fenómeno. Aproximadamente 27 millones de metros cúbicos de
material conformaron el dique. El material estaba compuesto por una mezcla
heterogénea, desde limos arcillosos plásticos a gravas y bloques angulares. El
17 ZEAS D., Rodrigo. El deslizamiento de la Josefina, tragedia nacional. En: Revista de la Sociedad Chilena de Ingeniería Hidráulica. Santiago de Chile. Vol. 13 No. 1, abril de 1997.p 6-22.
35
material corresponde a un cuerpo rocoso de origen volcánico conocido como
tonalita. La presa alcanzó una longitud de 900 m, un ancho de 300 m y una altura de
100 m. Durante los 33 días siguientes al deslizamiento se alcanzó un
almacenamiento de 200 millones de metros cúbicos de agua, inundándose unas
1.000 ha de tierras fértiles y zonas habitadas. La inundación dejó sumergidos varios
puentes y cerca de 6 Km de la vía Panamericana. La cota del espejo de agua llegó a
los 2,362.5 msnm.
Una semana después del deslizamiento se iniciaron trabajos de movimiento de tierra
con el fin de construir un canal para evitar el almacenamiento del agua. Se pretendía
disminuir la altura de la cresta de la cota 2,375 a la 2,353 msnm. Finalmente, el 15
de abril se había conformado un canal contra el cerro Tubón con un ancho de 6 m en
la base y talud de 70o en la margen izquierda. Se movieron unos 160,000 metros
cúbicos de tierra. El canal tenía un tramo inicial con una contrapendiente del 2%,
alcanzando la cota 2,357 en el punto más alto, a unos 80 m de la entrada; de ahí en
adelante presentaba una pendiente del 1%.
El viernes 30 de abril se inicia en forma el proceso de erosión del canal (brecha)
cerca de las 6 pm. El incremento del caudal fue notable a partir de la medianoche. A
las 6 am del sábado 1 o de mayo se tenía un caudal en la brecha de 300 m3/s, a las 7
am de 500 m3/s, registrándose luego incrementos de más de 1,000 m3/s cada 30
minutos. El caudal pico de la creciente se presentó cerca de las 9:30 am con un valor
cercano a los 8,400 m3/s. El volumen desalojado durante el sábado llegó a los 170
millones de metros cúbicos; volumen que transitó por los ríos Cuenca y Paute. Luego
de que la erosión alcanzó su máximo efecto, el canal construido descendió su piso
40 m, quedando con una ancho de 30 m en la entrada y de 70 m en la salida. El nivel
del espejo de agua descendió de la cota 2,362.5 a la 2,323 msnm.
36
Durante todo el tiempo del desastre participaron grupos como el Instituto de
Investigación de Ciencias Técnicas y la Facultad de Ingeniería de la Universidad de
Cuenca. También participaron grupos técnicos de misiones extranjeras de Italia,
Estados Unidos, Chile, Suiza, Naciones Unidas e instituciones nacionales como la
Escuela Politécnica Nacional (EPN)18,19, INAMHI, Instituto Ecuatoriano de
Electrificación (INECEL), EERCS, INERHI, el Colegio de Ingenieros Civiles del
Ecuador, la Comisión de Estudios para el Desarrollo de la Cuenca del Río Guayas
(CEDEGE)20 y la Fundación del Agua (CICA). En la Tabla 7 y en la Tabla 8 se
presentan las principales características del embalse de La Josefina y los datos de
área y volumen para distintas cotas. La Tabla 9 presenta algunas características de
la presa.
Tabla 7. Características del embalse de La Josefina
Capacidad en el momento de la falla (106 m3) 200 Área en el momento de la falla (km2) 10 Embalse Altura en el momento de la falla (m) 52.5
Tabla 8. Datos de área y volumen del embalse de La Josefina Altura
(m) Área del espejo de
agua (km2) Volumen almacenado
(millones de m3)
0 0 15.2 1.35
18 ZEVALLOS MORENO, Othón; FERNÁNDEZ MARÍA, Augusta; PLAZA NIETO, Galo; KLINKICHT SOJOS, Susana. Sin plazo para la esperanza, reporte sobre el desastre de La Josefina - Ecuador, 1993. Escuela Politécnica Nacional, 1996, 347 p. 19 ZEVALLOS MORENO Othón. Lecciones del deslizamiento “La Josefina” - Ecuador. En: Conferencia Interamericana sobre reducción de los desastres naturales. Cartagena de Indias, Colombia. Marzo 21 al 24 de 1994, 13p. 20 RIVERO, Jacinto; MARÍN, Luis; ORTÍZ, Guido. El desastre natural de La Josefina al sur-este del Ecuador. En: Memorias del XVII Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Guayaquil, Ecuador,21 al 25 de octubre de 1996, p. 257-269.
37
24.4 2.89 33.5 4.84 42.7 7.15 52.5 10 200
Tabla 9. Características de la presa de La Josefina
Característica Presa La Josefina
Tipo Presa creada por deslizamiento Altura (m) 65 Longitud de la cresta (m) 300 Ancho de la cresta (m) 0 Pendiente de la cara de aguas arriba Zu, 1(v):Zu(h)
7
Pendiente de la cara de aguas abajo Zd, 1(v):Zd(h)
4
38
2. ECUACIONES DE PREDICCIÓN
El riesgo creado por la avenida resultante de la descarga rápida e incontrolada a
través de la brecha formada en una presa, necesita ser evaluado para proporcionar
unas medidas de seguridad adecuadas en el evento de que ocurra una falla
catastrófica. El nivel de detalle de los análisis hidrológicos e hidráulicos que se
necesitan para evaluar las consecuencias de la creciente, depende del peligro para
la vida humana y la cantidad de daños ambientales y a la propiedad que podrían
ocurrir. Si la pérdida de vidas humanas es improbable y el daño potencial de la
propiedad es pequeño, un procedimiento simple puede proporcionar una
descripción adecuada de la magnitud y del tiempo de la avenida aguas abajo,
resultante de la falla de la presa21.
Las presas de material suelto son el tipo más común de presas construidas. El
United States Committee on Large Dams (USCOLD) estima que el 79% de las
grandes presas en operación en Estados Unidos son de este tipo (USCOLD-ASCE,
1975)22. Las presas de material suelto generalmente se construyen con materiales
naturales obtenidos de zonas de préstamo o canteras, o de material sobrante de
operaciones mineras. Las presas de material suelto con cuerpo de arena o roca son
las más comunes y se clasifican con base en la composición del material
predominante . Las presas de tierra están formadas principalmente por material fino-
granular compactado y las presas de roca, por material preconsolidado o de roca
triturada. Una característica de las presas de material suelto que puede afectar la
21 FROEHLICH, David C., Op. cit, p. 90. 22 Ibid., p. 90.
39
tasa de formación de la brecha y por lo tanto el caudal pico, es el ancho promedio de
la presa desde el fondo de la brecha final hasta la cresta de la presa.
Fórmulas empíricas para estimar el desarrollo de la brecha y el caudal pico causado
por una falla gradual de la presa han sido presentadas por Kirkpatrick (1977), Hagen
(1982), K. Singh & Snorrason (1982), MacDonald & Langridge-Monopolis (1984),
Costa (1985), Soil Conservation Service (1981,1985), Bureau of Reclamation
(1986), Evans (1986)23, Von Thun & Gillette (1990), Dewey & Gillette (1993) y
Froehlich (1987, 1995)24. La escasez de datos ha llevado a tener que utilizar
estimaciones aproximadas de los caudales pico de salida a través de la
brecha. Algunos de los caudales pico de salida utilizados para desarrollar las
ecuaciones empíricas han sido medidos a una distancia considerable aguas abajo
de la presa fallada, pudiendo ser significativamente menores que el caudal pico a la
salida del embalse. Otros caudales pico han sido obtenidos mediante simulación
numérica del rompimiento de la presa y no de mediciones. En el caso de las
descargas simuladas, el caudal pico calculado depende del modelo de formación de
la brecha utilizado para simular la falla gradual de la presa y de las suposiciones de
las condiciones del tailwater de la presa. Considerando la dificultad en la estimación
de los parámetros que definen una brecha, la incertidumbre de un caudal de salida
simulado es necesariamente alta (MacDonald & Langridge-Monopolis, 1984). Casi
todas las relaciones propuestas se han basado en banco de datos de unas 20 a 50
presas. Los datos de falla de presa son escasos para presas de más de unos 20
23 Ibid., p. 91. 24 WAHL, Tony L., Report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment, Op. cit., p10.
40
metros (65 pies), en cambio sí existen datos sustanciales para la falla de presas
entre 6 y 15 metros de altura25.
En los Estados Unidos de América se han venido publicando desde 1988 trabajos
que reportan grandes cantidades de datos. Desde esa época ha habido varios
eventos mayores de inundación en ese país que han causado muchas fallas de
presa. Algunas de las más notables son la inundación del Mississippi en su parte alta
y del Missouri en su parte baja en el año de 1993, las fallas de presa en Georgia
causadas por la tormenta tropical Alberto en 1994 y las fallas de presa en Carolina
del Norte en septiembre de 1996. Para reportar incidentes de presa, incluyendo las
fallas de presa, se creó el National Performance of Dams Program (NPDP), el cual
está siendo administrado por la Universidad de Stanford en cooperación con la
Association of State Dam Safety Officials (ASDSO).26
2.1 ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL DESARROLLO DE LA
BRECHA 27
K. Singh & Snorrason (1982) proporcionaron una primera guía cuantitativa del ancho
de la brecha. Relacionaron el ancho de la brecha con la altura de la presa para 20
casos de falla y encontraron que el ancho de la brecha estaba generalmente entre 2 y
5 veces la altura de la presa. También reconocieron que el tiempo de falla, desde el
inicio de formación de la brecha hasta que se desarrolla por completo, estaba
generalmente entre 15 minutos y 1 hora. Encontraron además que para las fallas por
25 Ibid., p. 10. 26 Ibid., p. 11-12. 27 Ibid., p. 13-16.
41
sobrevertimiento, la profundidad máxima de sobrevertimiento antes de la falla estaba
entre 0.15 y 0.61 m (0.5 y 2.0 pies).
MacDonald & Langridge–Monopolis (1984) propusieron un factor de formación de
brecha, definido como el producto del volumen del flujo descargado a través de la
brecha (incluyendo el almacenamiento inicial y el flujo entrante al embalse durante la
falla) y la profundidad del agua en la presa en el momento de la falla medida desde el
piso de la brecha. Relacionaron con este factor el volumen del material de la presa
removido. Además, concluyeron del análisis de los 42 casos estudiados que las
pendientes de los lados de la brecha se podían asumir como 1h:2v y que la forma de
la brecha era triangular y trapezoidal, dependiendo de si la brecha alcanzaba la base
de la presa. También se propuso una curva envolvente para el tiempo de formación
de la brecha como una función del volumen del material erosionado.
Froehlich (1987) desarrolló ecuaciones de predicción adimensionales para estimar
el ancho promedio de la brecha (B ), un factor promedio para la pendiente de las
paredes de la brecha (Z) y el tiempo de formación (t f). Las predicciones estuvieron
basadas en las características de la presa incluyendo el volumen del embalse, la
altura del agua sobre el fondo de la presa, la profundidad de la brecha, el ancho de la
presa en la cresta y en el nivel del fondo de la brecha, teniendo en cuenta falla por
sobrevertimiento o por otra causa, y la presencia o ausencia de núcleo en la
presa. Froehlich concluyó que siendo todos los demás factores iguales, las brechas
provocadas por sobrevertimiento son más anchas y se erosionan lateralmente a una
tasa más rápida que las brechas provocadas por otras causas.
Froehlich revisó su análisis de 1987 en un trabajo de 1995, usando datos de un total
de 63 casos. 18 de estas fallas no habían sido previamente documentadas en la
literatura revisada para su reporte. Froehlich desarrolló unas nuevas ecuaciones de
42
predicción para el ancho promedio de la brecha ( B ) y el tiempo de falla (tf) (véase la
Tabla 10). En contraste con sus relaciones de 1987, las nuevas ecuaciones no son
adimensionales. Las dos relaciones de 1995 tenían mejores coeficientes de
determinación que las de 1987, aunque la diferencia para la relación del tiempo de
falla fue muy pequeña. En su trabajo de 1995 Froehlich no sugirió una ecuación de
predicción para las pendientes promedio de las paredes de la brecha, pero
recomendó que se utilizaran unos factores de corrección de 1.4 para fallas por
sobrevertimiento y de 0.9 para otros modos de falla.
Reclamation (1988) proporcionó una guía para seleccionar el ancho de brecha final y
el tiempo de falla a ser utilizado en los casos de clasificación de amenaza usando el
modelo SMPDBK (Simplified Dam Brake) (Fread & Wetmore, 1983). Los valores
sugeridos no pretenden producir predicciones precisas del caudal máximo de
descarga a través de la brecha, sino un valor conservador. Para presas de tierra, el
ancho de brecha recomendado es 3 veces la profundidad de la brecha, medido
desde el nivel inicial de agua en el embalse hasta el nivel del fondo de la brecha,
usualmente asumido en el piso del pie de la presa (hw). El tiempo recomendado
para la formación de la brecha (en horas) es 0.011 veces el ancho de la brecha (en
metros).
Singh & Scarlatos (1988) documentaron las tendencias de las características
geométricas y el tiempo de falla mediante el estudio de 52 casos. Encontraron que la
relación de ancho de brecha superior y de fondo (Bsuperior/Bfondo) estaba entre 1.06 y
1.74 con un valor promedio de 1.29 y una desviación estándar de 0.180. La relación
del ancho superior de la brecha con la altura de la presa estaba en un rango muy
amplio. Las pendientes del lado de la brecha estaban inclinadas 10o a 50° con la
vertical en casi todos los casos (relación 1h:5.8v a 1h:0.8v). Igualmente, casi todos
43
los tiempos de falla fueron de menos de 3 horas, y el 50% fueron de menos de 1.5
horas.
Von Thun & Gillette (1990) y Dewey & Gillette (1993) usaron datos de Froehlich
(1987) y MacDonald & Langridge–monopolis (1984) para desarrollar la guía para
estimar las pendientes de los lados de la brecha, el ancho de la brecha a la altura
media y el tiempo de falla. Propusieron que las pendientes de los lados de la brecha
se asumieran como 1h: 1v exceptuando las presas con pantallas cohesivas o con
cuerpos muy cohesivos, donde las pendientes de 1h: 2v o 1h: 3v podían ser más
apropiadas.
Von Thun & Gillette propusieron la siguiente relación para el ancho promedio de la
brecha:
bw C2.5hB += Ecuación 1
Siendo hw la profundidad del agua en la presa en el momento de la falla, medida
desde el nivel del piso de la brecha, y Cb una función del almacenamiento en el
embalse como sigue:
Tamaño del embalse (106 m3) Cb (m) Tamaño del embalse (acres-pie) Cb (pies) < 1.23 6.1 < 1,000 20 1.23 a 6.17 18.3 1,000 - 5.000 60 6.17 a 12.3 42.7 5,000 - 10,000 140 > 12.3 54.9 > 10,000 180
Von Thun & Gillette propusieron dos métodos para estimar el tiempo de formación
de la brecha:
tf = 0.020hw + 0.25 (material resistente a la erosión) Ecuación 2
tf = 0.015hw (material fácilmente erosionable) Ecuación 3
44
con tf en horas y hw en metros. Con base en el promedio entre el ancho superior y el
inferior de la brecha Von Thun & Gillette desarrollaron otras dos ecuaciones para el
tiempo de formación de la brecha:
w4hB
tf = (material resistente a la erosión) Ecuación 4
0.614hB
tfw +
= (material altamente erosionable) Ecuación 5
Con hw y B dados en metros. La Tabla 10 resume las ecuaciones para los
principales parámetros relacionados con la brecha.
Tabla 10. Ecuaciones de predicción para la formación de la brecha28
Autores Número de
casos estudiados
Ecuación propuesta Unidades en sistema SI
K.Singh & Snorrason (1982, 1984)
20 2hd ≤ B ≤ 5hd 0.15 m ≤ dovtop ≤ 0.61 m 0.25 h ≤ tf ≤ 1.0 h
MacDonald & Langridge-Monopolis (1984)
42 0.769wouter )h 0.0261(VV ⋅=
0.364erf )0.0179(Vt =
Froehlich (1987) 43 0.25*o
* )(S0.47KB =
Ko = 1.4 sobrevertimiento; 1.0 de otra forma 0.73*1.57*
wc )W()(h0.75KZ =
Kc = 0.6 con núcleo; 1.0 sin núcleo 0.47**
f )79(St =
Reclamation (1988) B = (3)hw tf = (0.011)B
V. Singh & Scarlatos (1988)
52 Bsuperior/Bfondo promedio 1.29
Von Thun & Gillette (1990) 57 Guía para B, Z, tf (véase p. 43) Dewey & Gillette (1993) 57 Modelo de iniciación de brecha; guía B, Z, tf
28 Ibid., p. 13.
45
Froehlich (1995) 63 0.19b
0.32wo hV0.1803KB =
0.90)(b
0.53wf h0.00254Vt −=
Ko = 1.4 (sobrevertimiento); 1.0 (de otro modo) B: ancho de la brecha B = ancho promedio de brecha (B top + Bbottom)/2
*B = ancho de brecha adimensional, b/hB
dovtop: profundidad del flujo de sobrevertimiento en la falla hb: altura de la brecha hd: altura de la presa hw: profundidad del agua en la presa en la falla, sobre el piso de la brecha
Ver: volumen de material de presa erosionado Vout: volumen de agua descargado a través de la brecha Vw: volumen de agua sobre el invert de la brecha en el tiempo de inicio de brecha S: capacidad del embalse S*: volumen adimensional, S/hb
3
tf: tiempo de formación del a brecha tf*= tiempo de formación de la
brecha adimensional, bf gh /t
*W = ancho promedio de la presa adimensional (Wcrest + Wbottom)/(2hb) Z: factor de pendiente del talud de la brecha (Z horizontal:1 vertical)
2.2 ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL CAUDAL PICO29
Entre las características del embalse que se pueden medir fácilmente y que tienen
influencia en el caudal pico de una presa fallada están el volumen y la altura del agua
en el embalse al comienzo de la formación de la brecha, ambas cantidades medidas
desde la elevación del fondo de la brecha final. Los caudales de entrada al embalse
durante la falla también pueden afectar el caudal pico, especialmente durante
grandes crecientes que producen el sobrevertimiento de la presa. Sin embargo, la
dificultad para estimar las hidrógrafas de entrada al embalse para las presas
falladas reportadas imposibilita la evaluación de los efectos del caudal de entrada.
El Soil Conservation Service (SCS) proporciona el siguiente procedimiento para
estimar el caudal pico producido por una falla de una presa de tierra (SCS,
1985). Para Hw ≥ 31.4 m, donde Hw es la profundidad del agua en el embalse en el
29 FROEHLICH, David C., Op. cit, p. 92-96.
46
momento de la falla, medida desde el fondo de la brecha final, el caudal pico a través
de la brecha, en m3/s se calcula como:
Qp = 16.6 Hw1.85 Ecuación 6
Para Hw < 31.4 m, el caudal pico se calcula como
Qp = 0.000421Br1.35 Ecuación 7
donde Br es un factor de brecha definido como
AHV
= B wwr Ecuación 8
siendo Vw el volumen en m3 almacenado en el embalse en el tiempo de la falla y A el
área transversal (en m2) de la presa en el sitio de la brecha. El área transversal de la
presa puede ser calculado como A = W x H, donde W es el ancho promedio de la
presa desde el fondo de la brecha final hasta la cresta de la presa y H es la distancia
desde el fondo de la brecha final hasta la cresta de la presa. De ahí que el caudal
pico para Hw < 31.4 m, está dado por:
35.1
H WH V
0.000421 = Q wwp Ecuación 9
Sin embargo, el caudal pico dado por la Ecuación 9 no debe exceder el valor dado
por la Ecuación 6 ni ser menor de:
Qp = 1.77Hw2.5 Ecuación 10
Varios estudios han utilizado el producto del volumen del embalse y la profundidad
en el tiempo de falla para predecir el caudal pico en el rompimiento de una
presa. Costa (1985) se refiere a este producto (V w x Hw) como el “factor de presa”,
que se describe como un índice de la entrega de energía en la presa cuando esta
falla. Con base en caudales pico medidos en presas construidas falladas, que
47
incluyen presas de material suelto y de concreto, Costa (1985) desarrolla la siguiente
ecuación para predecir el caudal pico de una presa fallada:
0.42wwp )H0.763(V = Q Ecuación 11
Los caudales pico de presas de concreto falladas son generalmente mayores que
los caudales pico de presas de material suelto falladas con volúmenes similares, por
el agrandamiento más rápido de la brecha durante la falla. Por esto, la Ecuación 11
probablemente sobrestime la predicción del caudal pico de las presas de material
suelto. Costa (1985), también presenta las siguientes ecuaciones para el cálculo del
caudal pico en presas artificiales o creadas por deslizamientos:
Variables independientes Tipo de presa Altura de presa (H) (m) Volumen (V) (m3) Factor de presa (H·V) (m4) Artificial Qp=10.5 H1.87 Qp=1.267 V0.48 Qp=1.887 (HV)0.42 Por deslizamiento Qp=6.3 H1.59 Qp=0.223 V0.56 Qp=0.476 (HV)0.43
Mac Donald and Langridge-Monopolis (1984) presentan una relación para el caudal
pico de presas falladas como una función del factor de presa, que es aproximado
por la siguiente ecuación:
0.47wwp )H1.176(V = Q Ecuación 12
La Ecuación 12 también está basada en los caudales pico de presas falladas de
concreto y material suelto y por eso pueden sobrestimar los caudales pico de estas
últimas.
48
Froehlich (1995) recopiló datos de 22 fallas de presas de material suelto30. En la
Tabla 11 se resumen los caudales pico y otros datos pertinentes de las 22 presas
de tierra. Estos datos incluyen una descripción de la presa, el modo de falla, las
características del embalse en el momento de la falla y el caudal pico medido. Los
caudales pico reportados para cada presa fallada son determinados a partir de
tablas de registro de los niveles de embalse o por mediciones de área-
pendiente. Los niveles de embalse se utilizan para determinar el cambio en el
volumen del embalse durante un corto período de tiempo a partir del cual se calcula
una tasa promedio de caudal de salida. Si el período de tiempo utilizado para
estimar el caudal de salida promedio es largo en comparación con el tiempo
requerido para que el embalse sea vaciado, el caudal de salida calculado puede ser
significativamente menor que el caudal pico instantáneo. Las mediciones de área-
pendiente se hacen en una localización del canal a una corta distancia aguas abajo
de la presa y dependen de la geometría de la sección transversal medida, de la
pendiente de la superficie del agua y de estimados de los coeficientes de rugosidad
para calcular la tasa del caudal pico usando la ecuación de Manning (Dalrymple and
Benson, 1984). El método utilizado para estimar el caudal pico reportado se conoce
para todos las presas menos una (Oros, Brasil).
Froehlich realizó un análisis de regresión múltiple para obtener una nueva expresión
empírica para la estimación rápida del caudal pico en la falla de una presa de
material suelto. La nueva ecuación de predicción utiliza información fácilmente
obtenible y también proporciona un medio para calcular los límites de predicción a
partir de los cuales se pueden determinar los factores de seguridad apropiados a
ser utilizados en la evaluación del potencial de amenaza por la creciente producida
por la falla de la presa.
30 FROEHLICH, David C. Op. Cit., p. 92.
49
Tabla 11. Características de la presa, el embalse y el caudal pico para 22 presas de material suelto (Froehlich, 1995)
Nombre de la presa y localización Año de construida/fallad
a
Tipo de falla
W (m)
Vw (106 m3)
Hw (m)
H (m)
Qp (m3/s)
Apishapa, Colo.(USA) 1920/1923 P 82.4 22.2 28 31.1 6,850 Baldwin Hills, Calif.(USA) 1951/1963 P 59.6 0.91 12.2 21.3 1,130 Butler, Ariz.(USA) /1982 O 9.63 2.38 7.16 7.16 810 Castlewood, Colo.(USA) 1890/1933 O 47.4 6.17 21.6 21.3 3,570 Fred Burr, Mont.(USA) /1948 P 30.8 0.75 10.2 10.4 654 French Landing, Mich.(USA) 1925/1925 P 34.3 3.87 8.53 14.2 929 Frenchman Creek, Mont.(USA) 1952/1952 P 37.3 16 10.8 12.5 1,420 Hatchtown, Utah.(USA) 1908/1914 P or F 44.8 14.8 16.8 18.3 3,080 Hell Hole, Calif.(USA) 1964/1964 P 103 30.6 35.1 56.4 7,360 Ireland No. 5, Colo.(USA) /1984 P 18 0.16 3.81 5.18 110 Kelly Barnes, Ga.(USA) 1948/1977 P 19.4 0.777 11.3 12.8 680 Laurel Run, Penn.(USA) /1977 O 40.6 0.555 14.1 13.7 1,050 Lily Lake, Colo.(USA) 1913/1951 P 0.0925 3.35 3.66 71 Little Deer Creek, Utah.(USA) 1962/1963 P 63.1 1.36 22.9 27.1 1,330 Lower Latham, Colo.(USA) /1973 P 25.7 7.08 5.79 7.01 340 Lower Two Medicine, Mont.(USA) /1964 P 29.6 11.3 11.3 1,800 Oros, Brazil 1960/1960 O 110 660 35.8 35.5 9,630 Prospect, Colo.(USA) 1914/1980 P 13.1 3.54 1.68 4.42 116 Puddingstone, Calif.(USA) 1926/1926 O 0.617 15.2 15.2 480 Quail Creek, Utah (USA) 1986/1989 P 56.6 30.8 16.7 21.3 3,110 South Fork, Penn.(USA) 1853/1889 O 64 18.9 24.6 24.4 8,500 Teton, Idaho (USA) 1975/1976 P 250 310 77.4 86.9 65,120 P= piping; O= Overtopping; F= Foundation
La transformación logarítmica de todas las variables presentó la mejor relación lineal
con la ecuación31:
ln Qp = -0.499+0.295 ln Vw +1.24 ln Hw Ecuación 13
donde Qp es el caudal pico calculado (m3/s); Vw es el volumen del embalse en el
momento de la falla (m3) y Hw es la altura del agua en el embalse en el momento de la
falla, medida desde el nivel del piso de la brecha final (m). El coeficiente de
determinación (R2) de la Ecuación 13 es 0.934 y el error estándar del logaritmo
natural de Qp predicho es 0.4198. Tomando el exponencial de cada lado de la
Ecuación 13 se obtiene
50
Qp = 0.607 Vw 0.295 Hw 1.24 Ecuación 14
Otras ecuaciones de predicción se presentan en la Tabla 12.
2.3 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE PREDICCIÓN PARA EL CAUDAL
PICO A 45 CASOS
De la base de datos de 108 presas presentada por Wahl32 ( ANEXO A ) se
seleccionan 42 presas que disponen de datos de caudal pico. Se agregan a esta
lista los casos de Mantaro (p. 32), La Josefina (p. 34) y Eigiau33 para conformar una
base de datos de 45 presas ( ANEXO B ). Wahl recopila además 13 ecuaciones de
predicción para el caudal pico34, las cuales son aplicadas a los 45 casos de
falla. Ninguna de las ecuaciones de predicción puede ser aplicada a la totalidad de
los 45 casos por falta de algunos datos. En la Tabla 12 se resume el número de
casos aplicables con cada ecuación, que depende de la disponibilidad de datos,
según las variables involucradas en cada ecuación ( ANEXO C ).
La Tabla 12. Ecuaciones de predicción para el caudal pico
Nombre (fecha), variable independiente Ecuación No. de casos
aplicados Kirkpatrick (1977), f(Hw) Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5 34 SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85 34 Reclamation (1982), f(Hw) Qp = 19.1(Hw)1.85 34
31 FROEHLICH, David C. Op. Cit., p. 94. 32 WAHL, Tony L., report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment., Op. cit., p 55-60. 33 SINGH, Vijay P. Major recorded dam breaches in the world. En: Dam Breach Modeling Technology. Kluwer Academic Publishers, 1996, p.68. 34 WAHL Tony L. The uncertainty of embankment dam breach parameter predictions based on dam failure case studies. Prepared for: USDA/FEMA Workshop on Issues, Resolutions, and Research Needs Related to Dam Failure Analysis. Oklahoma City, OK. June 26-28, 2001, p. 7-8.
51
Froehlich (1995), f(Vw, Hw) Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24) 33 McDonald and Langridge-Monopolis (1984,) f(Vw, Hw) Qp = 3.85(Vw Hw)0.411 33 McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw) Qp = 1.154(Vw Hw)0.412 33 Singh and Snorrason (1984), f(hd) Qp = 13.4(Hd)1.89 37 Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd)0.42 36 Hagen (1982), f(S, Hd) Qp = 0.54(S Hd)0.5 36 Costa (1985), envelope f(S, Hd) Qp = 2.634(S Hd)0.44 36 Singh and Snorrason (1984), f(S) Qp = 1.776(S)0.47 38 Costa (1985), envelope f(S) Qp = 1.122(S)0.57 38 Evans (1986), f(Vw) Qp = 0.72(Vw)0.53 37
Figura 1 muestra la distribución porcentual de las 45 presas según su altura, el
volumen del embalse, el factor de presa (H·V) y el caudal pico observado. Se aprecia
gran variación en las alturas de presa, desde 6.1 m hasta 93.0 m con un caso
excepcional de 170.0 m, y un 35% de las presas comprendidas entre 10 m y 15
m. Un notable porcentaje de presas tienen pequeño volumen de embalse: el 8%
tienen embalses inferiores a 100,000 m3, el 13% entre ese valor y 1 millón de m3, el
26% entre 1 y 10 millones de m3, y el resto de los embalses (53%) están
comprendidos entre 10 y 670 millones de m3, con sólo un 16% del total mayores de
100 millones de m3. El factor de presa (HV) es inferior a 109 para el 82% de los
casos. Para el caudal pico, predominan los caudales inferiores a 103 m3/s,
agrupando el 40% de los casos.
52
Tabla 12. Ecuaciones de predicción para el caudal pico
Nombre (fecha), variable independiente Ecuación No. de casos
aplicados Kirkpatrick (1977), f(Hw) Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5 34 SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85 34 Reclamation (1982), f(Hw) Qp = 19.1(Hw)1.85 34 Froehlich (1995), f(Vw, Hw) Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24) 33 McDonald and Langridge-Monopolis (1984,) f(Vw, Hw) Qp = 3.85(Vw Hw)0.411 33 McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw) Qp = 1.154(Vw Hw)0.412 33 Singh and Snorrason (1984), f(hd) Qp = 13.4(Hd)1.89 37 Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd)0.42 36 Hagen (1982), f(S, Hd) Qp = 0.54(S Hd)0.5 36 Costa (1985), envelope f(S, Hd) Qp = 2.634(S Hd)0.44 36 Singh and Snorrason (1984), f(S) Qp = 1.776(S)0.47 38 Costa (1985), envelope f(S) Qp = 1.122(S)0.57 38 Evans (1986), f(Vw) Qp = 0.72(Vw)0.53 37
Figura 1. Histogramas de altura de presa, volumen de embalse, factor de presa y caudal pico para la base de datos de 45 presas.
Histograma de altura de presa
0
5
10
15
20
25
30
35
40
7 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 180
Altura de presa, hd (m)
%
Histograma de volumen de embalse
0
5
10
15
20
25
30
0 1 10 20 30 100 300 500 700
Volumen de embalse, S (106 m3)
%
Histograma de factor de presa
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 10 20 30 115
Factor de presa, hw*Vw (109 m4)
%
Histograma de Caudal pico
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 2 4 6 10 30 70
Caudal pico, Qp (103 m3/s)
%
53
En la Figura 2 se presentan los gráficos comparativos de los logaritmos del caudal
pico observado versus el calculado con la ecuación de predicción y el
correspondiente coeficiente de determinación del análisis de regresión llevado a
cabo en el programa Microsoft Excel. En el análisis de regresión, Microsoft Excel
calcula para cada punto el cuadrado de la diferencia entre el valor Y estimado para
ese punto y su valor Y real. La suma de estas diferencias cuadradas se denomina
suma de los cuadrados residual. Microsoft Excel calcula a continuación la suma de
las diferencias al cuadrado entre los valores Y reales y la media de los mismos, la
cual se denomina suma total de los cuadrados (suma de los cuadrados de la
regresión + suma de los cuadrados residual). Cuanto menor sea la suma residual de
los cuadrados, en comparación con la suma total de los cuadrados, mayor será el
valor del coeficiente de determinación, R2, que es un indicador de hasta qué punto la
ecuación resultante del análisis de regresión explica la relación entre las variables. El
coeficiente de determinación compara los valores Y estimados y reales, y los rangos
con valor de 0 a 1. Si es 1, hay una correlación perfecta en la muestra, es decir, no
hay diferencia entre el valor Y estimado y el valor Y real. En el otro extremo, si el
coeficiente de determinación es 0, la ecuación de regresión no es útil para predecir
un valor Y. En la Tabla 13 se presentan los coeficientes de determinación según los
análisis de regresión de las 13 ecuaciones de predicción, ordenados de manera
descendente según el valor R2. La ecuación con mejor valor R2 es la de Froehlich
(1995), seguida por las dos ecuaciones de McDonald and Landgridge-Monopolis
(1984). Estas tres ecuaciones involucran como variables independientes a Hw y
Vw. La ecuación con menor valor R2 es la de Singh and Snorrason (1984), que utiliza
como variable independiente a Hd.
54
Tabla 13. Coeficientes de determinación para las 13 ecuaciones de predicción
Nombre (fecha), variable independiente Ecuación Coeficiente de determinación
Froehlich (1995), f(Vw, Hw) Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24) 0.8542 McDonald and Langridge-Monopolis (1984,) f(Vw, Hw)
Qp = 3.85(Vw Hw)0.411 0.7385
McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw)
Qp = 1.154(Vw Hw)0.412 0.7385
Kirkpatrick (1977), f(Hw) Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5 0.6523 SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85 0.6433 Reclamation (1982), f(Hw) Qp = 19.1(Hw)1.85 0.6433 Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd)0.42 0.6406 Hagen (1982), f(S, Hd) Qp = 0.54(S Hd)0.5 0.6406 Costa (1985), envelope f(S, Hd) Qp = 2.634(S Hd)0.44 0.6406 Evans (1986), f(Vw) Qp = 0.72(Vw)0.53 0.5681 Singh and Snorrason (1984), f(S) Qp = 1.776(S)0.47 0.5318 Costa (1985), envelope f(S) Qp = 1.122(S)0.57 0.5318 Singh and Snorrason (1984), f(hd) Qp = 13.4(Hd)1.89 0.4947
55
Figura 2. Gráficos comparativos de los caudales para las 13 ecuaciones de predicción de la Tabla 12 , 6 de 13(continúa en la p. siguiente)
Ecuación de Kirkpatrick (1977), f(hw))
R2 = 0.6523
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
34dat
Ecuación de SCS (1981),f (hw)
R2 = 0.6433
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
34dat
Ecuación de Reclamation (1982),f(hw)
R2 = 0.6433
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
34dat
Ecuación de Froehlich (1995a),f(hw, Vw)
R2 = 0.85420
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
33dat
Ecuación de McDonald & L-M (1984),f(hw, Vw)
R2 = 0.7385
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
33dat
Ecuación Singh- Snorrason (1984),f(hd)
R2 = 0.4947
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
37dat
56
Figura 2. Gráficos comparativos de los caudales para las 13 ecuaciones de predicción de la Tabla 12 ,6 de 13 (viene de la p. anterior)
Ecuación de Costa (1985),f(hd, S)
R2 = 0.6406
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
36dat
Ecuación Singh- Snorrason (1984),f(S)
R2 = 0.5318
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
38dat
Ecuación de Evans (1986),f (Vw)
R2 = 0.5681
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
37dat
Ecuación de McDonald & L-M (1984),f(hw, Vw)
R2 = 0.7385
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o 33dat
Ecuación de Hagen (1982),f(hd,S)
R2 = 0.6406
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
36dat
Ecuación de Costa -envelope-(1985),f(hd,S)
R2 = 0.6406
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
36dat
57
Figura 2. Gráficos comparativos de los caudales para las 13 ecuaciones de predicción de la,1 de 13 (viene de la p. anterior)
Ecuación de Costa -envelope-(1985),f(S)
R2 = 0.5318
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
38dat
Con el fin de evaluar tanto la aproximación de los valores de caudal pico de las 13
ecuaciones de predicción para las 45 presas como la correspondencia de los datos
de las presas de acuerdo con lo esperado por cada ecuación de predicción, se lleva
a cabo un análisis estadístico siguiendo dos vías diferentes: en una primera se aplica
el análisis estadístico a cada ecuación de predicción con la diferencia entre el caudal
predicho y el caudal pico observado de las presas aplicables en la ecuación; en la
segunda vía, se aplica el análisis estadístico a cada presa, con los valores de caudal
de todas las ecuaciones de predicción, incluyendo en la muestra el caudal pico
observado. El análisis utiliza el criterio de Chauvenet35 y el criterio de Peter J.
Rousseeuw36.
El criterio de Chauvenet define una dispersión aceptable (desde un punto de vista
probabilístico) alrededor del valor medio de una muestra de N lecturas tomadas de
35 COLEMAN Hugh W.; STEELE, W. Glenn. Experimentation and uncertainty analysis for engineers, Mississipi State University. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-63517-0. p. 31. 36 ROUSSEEUW, Peter J. Robust estimation and identifying outliers. En: Handbook of Statistical methods for engineers and scientist, editor: Harrison M. Wadsworth, Jr., McGraw-Hill, New York, p. 17.1-17.15.
58
una variable en particular. El criterio especifica que todos los puntos deben estar en
una banda alrededor del valor medio que corresponde a una probabilidad de 1-
1/(2N). Un valor puede ser rechazado si esa probabilidad es menor que 1/(2N). Esta
probabilidad puede relacionarse a una desviación definida desde el valor medio
según la probabilidad normal. Para una muestra cualquiera se calcula la desviación
adimensional τ como:
x
max
x
i
Sx
SXX
t =−
= Ecuación 15
Donde xmax es la máxima desviación permitida desde el valor medio para las N
lecturas y Sx es el índice de precisión (la desviación estándar) de la muestra de los N
puntos.
La Tabla 14 da la máxima desviación adimensional (τ ) aceptable para varios
tamaños de muestra.
Tabla 14. Criterio de Chauvenet para rechazo de una lectura
Número de lecturas (N) Relación entre la máxima desviación
aceptable y el índice de precisión τ =(xmax/Sx)
3 1.38 4 1.54 5 1.65 6 1.73 7 1.80 8 1.87 9 1.91
10 1.96 15 2.13 20 2.24 25 2.33 50 2.57 100 2.81 300 3.14 500 3.29 1000 3.48
59
El criterio de Rousseeuw se aplica a la diferencia de los valores predichos y los
observados de la siguiente manera:
ei =log(x̂ ) – log(x) = log( x̂ /x) Ecuación 16
donde ei es el error de predicción, x̂ el valor predicho y x el valor observado. Se
aplica luego el siguiente algoritmo a la serie de los errores de predicción:
5. Se determina T, la mediana de los e i valores. T es el estimador de localización.
6. Se calcula para cada error el valor absoluto de la desviación de la mediana y se
determina la mediana de estas desviaciones absolutas (MAD).
7. Se calcula el estimador de escala, S=1.483 * MAD. El factor 1.483 hace a S
comparable con la desviación estándar, que es el parámetro de escala usual en
una distribución normal.
8. Con S y T se calcula el parámetro Z para cada observación:
STe
Z ii
−= Ecuación 17
Donde los ei son los errores de los valores predichos con respecto a los observados,
de acuerdo con la Ecuación 16.
9. Son rechazadas las observaciones cuyos valores de IZ iI>2.5.
Este método rechaza en un nivel de probabilidad del 98.7% si las muestras son de
una perfecta distribución normal.
60
2.3.1 Análisis estadístico para cada ecuación de predicción para el caudal pico
En este caso el criterio de Chauvenet se aplica de 4 maneras diferentes: Ch1, hace
la diferencia entre el valor de la ecuación de predicción y el caudal pico observado;
Ch2, toma el valor absoluto de cada diferencia; Ch3, hace la diferencia entre los
logaritmos de los valores; Ch4, toma el valor absoluto de cada diferencia entre los
logaritmos de los valores. El criterio de Rousseeuw ( R) se aplica como se acaba de
explicar en la p. 59 . En la Tabla 15 se presentan los rechazos del análisis estadístico
aplicado según los criterios explicados, a las 45 presas para cada ecuación de
predicción. Se presenta la lista de las presas que son rechazadas alguna vez por
cualquiera de las ecuaciones de predicción; debe entenderse que las presas que no
aparecen es porque no son rechazadas. En el ANEXO D se entregan los resultados
de esta aplicación.
Tabla 15. Resumen de rechazos para las 45 presas presa Ecuación
Ecuación de Kirkpatrick (1977), f(Hw) Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5
SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R
Baldwin Hills, California (USA) Break Neck Run (USA)
Davis Reservoir, California (USA) Euclides de Cunha, Brazil R R R R R R R R R
Frankfurt, Germany R
Goose Creek, South Carolina (USA) R R R R R R Hatfield (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R
Nanaksagar, India Oros, Brazil
Prospect, Colorado (USA) R Río Mantaro, Perú
Teton, Idaho (USA)
presa Ecuación
Reclamation (1982), f(Hw)
Qp = 19.1(Hw)1.85
Froehlich (1995), f(Vw, Hw)
Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24)
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R
Baldwin Hills, California (USA)
Break Neck Run (USA) Davis Reservoir, California (USA) R R R
Euclides de Cunha, Brazil R R R R R
Frankfurt, Germany R R Goose Creek, South Carolina (USA) R R R R R
Hatfield (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R Nanaksagar, India
Oros, Brazil Prospect, Colorado (USA)
Río Mantaro, Perú
Teton, Idaho (USA) R R
61
Tabla 15. Resumen de rechazos para las 45 presas (cont., viene de la p.anterior) presa Ecuación
McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw)
Qp = 3.85(Vw Hw)0.411
McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw)
Qp = 1.154(Vw Hw)0.412
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R
Baldwin Hills, California (USA)
Break Neck Run (USA) Davis Reservoir, California (USA) R R R
Euclides de Cunha, Brazil
Frankfurt, Germany Goose Creek, South Carolina (USA)
Hatfield (USA) Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA)
Nanaksagar, India
Oros, Brazil R R Prospect, Colorado (USA)
Río Mantaro, Perú
Teton, Idaho (USA) R R
presa Ecuación
Singh and Snorrason (1984), f(hd) Qp = 13.4(Hd)1.89
Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd)0.42
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R
Baldwin Hills, California (USA) R Break Neck Run (USA) R R R R R R
Davis Reservoir, California (USA)
Euclides de Cunha, Brazil R Frankfurt, Germany R
Goose Creek, South Carolina (USA) Hatfield (USA) R
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA)
Nanaksagar, India R Oros, Brazil
Prospect, Colorado (USA)
Río Mantaro, Perú R R R R R Teton, Idaho (USA) R R
presa Ecuación
Hagen (1982), f(S, Hd)
Qp = 0.54(S Hd)0.5
Costa (1985), envelope f(S, Hd)
Qp = 2.634(S Hd)0.44
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R
Baldwin Hills, California (USA)
Break Neck Run (USA) R R R Davis Reservoir, California (USA)
Euclides de Cunha, Brazil
Frankfurt, Germany Goose Creek, South Carolina (USA)
Hatfield (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) Nanaksagar, India
Oros, Brazil Prospect, Colorado (USA)
Río Mantaro, Perú R R R R
Teton, Idaho (USA)
62
Tabla 15. Resumen de rechazos para las 45 presas (cont., viene de la p. anterior) presa Ecuación
Singh and Snorrason (1984), f(S) Qp = 1.776(S)0.47
Costa (1985), envelope f(S) Qp = 1.122(S)0.57
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R
Baldwin Hills, California (USA) Break Neck Run (USA) R R R
Davis Reservoir, California (USA)
Euclides de Cunha, Brazil Frankfurt, Germany
Goose Creek, South Carolina (USA) Hatfiel d (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA)
Nanaksagar, India Oros, Brazil R R
Prospect, Colorado (USA)
Río Mantaro, Perú R R Teton, Idaho (USA) R R
presa Ecuación
Evans (1986), f(Vw)
Qp = 0.72(Vw)0.53
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R
Baldwin Hills, California (USA)
Break Neck Run (USA) Davis Reservoir, California (USA)
Euclides de Cunha, Brazil
Frankfurt, Germany Goose Creek, South Carolina (USA)
Hatfield (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) Nanaksagar, India
Oros, Brazil Prospect, Colorado (USA)
Río Mantaro, Perú
Teton, Idaho (USA) R R
Los resultados de la Tabla 15 muestran una mayor exigencia en el análisis que utiliza
el criterio de Rousseeuw. En general este criterio rechaza presas que se incluyen en
los rechazos de los demás criterios, con excepción de las presas Oros, Río Mantaro
y Teton, las cuales son rechazadas por Ch1 y Ch2 en algunos casos. La ecuación de
predicción que más presas rechaza es la de Singh and Snorrason (1984), f(hd) (Qp =
13.4(Hd)1.89), que a su vez es la ecuación de menor coeficiente de determinación
(R2= 0.4947) ( Tabla 12 y Figura 2 ). Sin embargo no existe una relación directa entre
el número de presas rechazadas y el coeficiente de determinación de las ecuaciones
de predicción, pues otras ecuaciones rechazan entre una y 4 presas sin mantener
una relación con el coeficiente de determinación. Así, por ejemplo la ecuación de
Kirkpatrick (1977) (f(Hw), Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5) con R2 = 0.6523 rechaza 3 presas
63
igual que la de Froehlich (1995) (f(Vw, Hw), Qp = 0.607(Vw 0.295 Hw 1.24) que tiene un
R2 de 0.8542.
La Tabla 16 presenta un resumen de los rechazos realizados. Las presas más
rechazadas son Teton y Río Mantaro que son las presas más altas. Les siguen Break
Neck Run, Euclides de Cunha, Goose Creek y Davis Reservoir, que son las presas
más bajas. Los mayores rechazos de presas son otorgados por las ecuaciones que
dependen de hd.
Tabla 16. Resumen de rechazos para las presas según la variable independiente de las ecuaciones de predicción
Número de rechazos
Presa f(hw) f(hw,Vw) f(hd) f(S,hd) f(S) f(Vw)
Total de
rechazos Baldwin Hills, California (USA) 1 1 Break Neck Run (USA) 1 2 1 4 Davis Reservoir, California (USA) 3 3 Euclides de Cunha, Brazil 3 1 4 Frankfurt, Germany 2 1 1 4 Goose Creek, South Carolina (USA) 3 1 4 Hatfield (USA) 1 1 Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) 2 2 Nanaksagar, India 1 1 Oros, Brazil 1 1 2 Prospect, Colorado (USA) 1 1 Río Mantaro, Perú 1 3 1 5 Teton, Idaho (USA) 2 1 1 1 5 Total de presas rechazadas 5 5 7 3 4 1
2.3.2 Análisis estadístico para cada presa
En este caso se lleva a cabo el análisis estadístico a la lista conformada por los
resultados de las ecuaciones de predicción aplicadas a cada presa incluyendo el
valor del caudal pico observado. Se aplican los criterios de Chauvenet y Rousseeuw
a los valores (Ch1, R1) y a los logaritmos de los valores (Ch2, R2). La Tabla 17
64
presenta los rechazos de este análisis. En el ANEXO E se entregan los resultados
del análisis estadístico.
65
Tabla 17. Resumen de pruebas de rechazo para las 13 ecuaciones de predicción Ecuación
Ecuación de Kirkpatrick (1977), f(Hw)
Qp = 1.268(Hw+0.3)2.5
SCS (1981), f(Hw) Qp = 16.6(Hw)1.85
Reclamation (1982), f(Hw) Qp = 19.1(Hw)1.85 Presa
Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2
Apishapa, Colorado (USA)
Baldwin Hills, Cal ifornia (USA)
Butler, Arizona (USA) R
Davis Reservoir, California (USA)
Frankfurt, Germany
Fred Burr, Montana (USA)
French Landing, Michigan (USA)
Frenchman Creek, Montana (USA)
Goose Creek, South Carolina (USA) R
Hatchtown, Utah (USA)
Hatfield (USA)
Hell Hole, California (USA)
Ireland No. 5, Colorado (USA)
Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA)
Lake Avalon, New Mexico (USA)
Lily Lake, Colorado (USA)
Lower Latham, Colorado (USA)
Lower Two Medicine, Montana (USA)
Mammoth (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA)
Mill River, Massachusetts (USA)
Nanaksagar, India
Oros, Brazil
Prospect, Colorado (USA)
Puddingstone, California (USA) R R
Quail Creek, Utah
Salles Oliveira, Brazil
Swift, Montana (USA)
McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw)
Qp = 3.85(Vw Hw)0.411
Singh and Snorrason (1984), f(hd)
Qp = 13.4(Hd) 1.89
Hagen (1982), f(S, Hd)
Qp = 0.54(S Hd)0.5 Presa
Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2
Apishapa, Colorado (USA) R
Baldwin Hills, California (USA) R R R R
Butler, Arizona (USA) R R
Davis Reservoir, California (USA)
Frankfurt, Germany R
Fred Burr, Montana (USA) R
French Landing, Michigan (USA) R R R
Frenchman Creek, Montana (USA)
Goose Creek, South Carolina (USA)
Hatchtown, Utah (USA) R R R R
Hatfield (USA)
Hell Hole, California (USA) R R
Ireland No. 5, Colorado (USA) R R
Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA) R R R
Lake Avalon, New Mexico (USA)
Lily Lake, Colorado (USA) R R
Lower Latham, Colorado (USA) R
Lower Two Medicine, Montana (USA) R
Mammoth (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R
Mill River, Massachusetts (USA) R
Nanaksagar, India
Oros, Brazil R R
Prospect, Colorado (USA) R
Puddingstone, California (USA) R
66
Quail Creek, Utah R R R
Salles Oliveira, Brazil R R
Swift, Montana (USA)
Tabla 17. Resumen de pruebas de rechazo para las 13 ecuaciones de predicción (viene de la p. anterior)
Costa (1985), envelope f(S, Hd)
Qp = 2.634(S Hd)0.44
Costa (1985), envelope f(S)
Qp = 1.122(S)0.57
Evans (1986), f(Vw)
Qp = 0.72(Vw)0.53 Presa
Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2
Apishapa, Colorado (USA) R R R
Baldwin Hills, California (USA) R
Butler, Arizona (USA)
Davis Reservoir, California (USA) R R R
Frankfurt, Germany R
Fred Burr, Montana (USA) R R
French Landing, Michigan (USA)
Frenchman Creek, Montana (USA) R R R
Goose Creek, South Carolina (USA) R R R
Hatchtown, Utah (USA) R R R R
Hatfield (USA) R
Hell Hole, California (USA) R
Ireland No. 5, Colorado (USA)
Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA) R R R
Lake Avalon, New Mexico (USA) R R R
Lily Lake, Colorado (USA)
Lower Latham, Colorado (USA) R R
Lower Two Medicine, Montana (USA) R R R
Mammoth (USA) R R
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R R
Mill River, Massachusetts (USA) R R R R
Nanaksagar, India R
Oros, Brazil R R R
Prospect, Colorado (USA) R
Puddingstone, California (USA)
Quail Creek, Utah R
Salles Oliveira, Brazil
Swift, Montana (USA) R
McDonald and Langridge-Monopolis (1984), f(Vw, Hw)
Qp = 1.154(Vw Hw)0.412
Costa (1985), f(S, Hd) Qp = 0.981(S Hd) 0.42
Singh and Snorrason (1984), f(S)
Qp = 1.776(S)0.47 Presa
Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2 Ch1 R1 Ch2 R2
Apishapa, Colorado (USA)
Baldwin Hills, California (USA)
Butler, Arizona (USA)
Davis Reservoir, California (USA)
Frankfurt, Germany
Fred Burr, Montana (USA)
French Landing, Michigan (USA)
Frenchman Creek, Montana (USA)
Goose Creek, South Carolina (USA)
Hatchtown, Utah (USA)
Hatfield (USA)
Hell Hole, California (USA)
Ireland No. 5, Colorado (USA)
Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA)
Lake Avalon, New Mexico (USA)
Lily Lake, Colorado (USA)
Lower Latham, Colorado (USA)
Lower Two Medicine, Montana (USA)
Mammoth (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA)
Mill River, Massachusetts (USA)
Nanaksagar, India
67
Oros, Brazil
Prospect, Colorado (USA) R
Puddingstone, California (USA)
Quail Creek, Utah
Salles Oliveira, Brazil
Swift, Montana (USA) R R R
De nuevo en este caso, el criterio de Rousseeuw es más exigente que el de
Chauvenet, particularmente el que se aplica a los valores (R1). La ecuación de
Froehlich Qp = 0.607(Vw0.295 Hw1.24) es la única que no es rechazada. Las
ecuaciones que son rechazadas el mayor número de veces son las de McDonald
and Langridge-Monopolis (1984) (f(Vw, Hw), Qp = 3.85(Vw Hw)0.411), Costa
(1985) (envelope f(S, Hd), Qp = 2.634(S Hd)0.44) y Costa (1985) (envelope f(S),Qp =
1.122(S)0.57 que son aquellas cuyos valores de predicción suelen ser los más
elevados. También interesa destacar que 3 presas rechazan el valor del caudal
observado: Euclides de Cunha, Frankfurt y Break Neck Run. Este resultado se
interpreta como que el valor del caudal observado para estas presas difiere
notablemente, según el criterio estadístico, de los valores de todas las ecuaciones
de predicción. Estas mismas tres presas estuvieron entre las más rechazadas en el
análisis estadístico realizado para cada ecuación de predicción para el caudal pico.
68
2.3.3 Ecuación de predicción propuesta por Barros (2002)
Una vez realizados los análisis estadísticos se depura la base de datos de las 45
presas dejando únicamente las presas aceptadas (no rechazadas). Se analiza de
nuevo la relación entre cada variable involucrada en las ecuaciones de predicción y
el caudal pico, obteniéndose los coeficientes de determinación que se presentan en
la Tabla 18 . La Figura 3 presenta las gráficas de estas correlaciones.
Tabla 18. Coeficientes de determinación para la regresión lineal entre variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado Variables de la regresión lineal (log-log) No de presas Valor R2
hw 29 0.8962 hb 30 0.8792 hd 30 0.7980
hw*Vw 28 0.7554 Vw 36 0.5362
S*hd 33 0.5215 S 34 0.3508
69
Figura 3. Gráficos de las variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado (después del análisis estadístico)
Gráfico log10(hw) Vs log10(Qp)
y = 1.959560x + 0.923662R2 = 0.896248
0
1
2
3
4
5
6
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
log10 hw (m)
log 1
0 C
auda
l pic
o m
3 /s
29dat
Gráfico log10(hb) Vs log10(Qp)
y = 1.9609x + 0.8156R2 = 0.8792
0
1
2
3
4
5
6
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
log10 hb (m)
log 1
0 C
auda
l pic
o m
3 /s
30dat
Gráfico log10(hd) Vs log10(Qp)
y = 1.6522x + 1.1968R2 = 0.7980
0
1
2
3
4
5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
log10 hd (m)
log 1
0 Cau
dal p
ico
m3 /
s
30dat
Gráfico log10(hw*Vw) Vs log10(Qp)
y = 0.4883x - 0.6351R2 = 0.7554
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10 12
log10 Hw*Vw (m4)
log 1
0 Cau
dal p
ico
m3 /
s
28dat
Gráfico log10(Vw) Vs log10(Qp)
R2 = 0.5362
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10
log10 Vw (m3)
log 1
0 Cau
dal p
ico
m3 /
s
36dat
Gráfico log10(S*hd) Vs log10(Qp)
R2 = 0.5215
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12
log10 S*hd (m4)
log 1
0 C
auda
l pic
o m
3 /s
33dat
70
Figura 3. Gráficos de las variables de las ecuaciones de predicción y el caudal pico observado (después del análisis estadístico) (viene de la p. anterior)
Gráfico log10(S) Vs log10(Qp)
R2 = 0.3508
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10
log10 S (m3)
log 1
0 C
auda
l pic
o m
3 /s
De todas las regresiones se escoge la de mayor coeficiente de determinación. Esta
regresión da como resultado la ecuación de predicción propuesta por Barros (
Figura 4 ):
Qp= 8.388064 hw1.959560 Ecuación 18
Figura 4. Ecuación de predicción propuesta por Barros (2002)
Gráfico (hw) Vs (Qp)Ecuación de Barros (2002)
y = 8.388064x1.959560
R2 = 0.8962480
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
70,000
0 20 40 60 80 100
hw (m)
Cau
dal p
ico
m3 /
s
29dat
Gráfico log10(hw) Vs log10(Qp)Ecuación de Barros (2002)
y = 1.959560x + 0.923662R2 = 0.896248
0
1
2
3
4
5
6
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
log10 hw (m)
log 1
0 Cau
dal p
ico
m3 /
s
29dat
Al realizar para la ecuación Barros (2002), el análisis de regresión como se hizo
para las 13 ecuaciones de predicción ( Figura 2 ), se obtiene un coeficiente R2 de
0.6433 ( Figura 5 )
71
Figura 5. Gráfico comparativo de los caudales para la ecuación de predicción Barros (2002)
Ecuación de Barros(2002),f(Hw)
R2 = 0.6433
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
El análisis estadístico de las 45 presas para la ecuación de Barros (2002) da como
resultado las presas rechazadas que se presentan en la Tabla 19 .
Tabla 19. Prueba de rechazo para la ecuación de Barros (2002) Ecuación
presa Barros (2002), f(Hw)
Qp= 8.3881(hw) 1.9596
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 R
Baldwin Hills, California (USA)
Break Neck Run (USA) Davis Reservoir, California (USA)
Euclides de Cunha, Brazil R R R R R
Frankfurt, Germany R Goose Creek, South Carolina (USA) R R R
Hatfield (USA)
Martin Cooling Pond Dike, Florida (USA) R Nanaksagar, India
Oros, Brazil Prospect, Colorado (USA) R
Río Mantaro, Perú
Teton, Idaho (USA) R R
Al retirar estas presas rechazadas de la base de datos y realizar de nuevo el gráfico
comparativo de los caudales se obtiene un coeficiente de determinación de 0.8336
como se muestra en la Figura 6 .
72
Figura 6. Gráfico comparativo de los caudales para la ecuación de predicción Barros (2002), después del análisis estadístico
Ecuación de Barros(2002),f(Hw) datos depurados
R2 = 0.8336
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Caudal pico observado
Cau
dal p
ico
calc
ulad
o
29dat
73
3. MODELOS PARAMÉTRICOS
La aplicación exitosa de la mayoría de los modelos matemáticos algunos de los
cuales se presentarán en el Capítulo 4, requiere de la especificación de la geometría
del embalse y de la presa, así como de otras características físicas del cuerpo de la
presa, e.g., el diámetro medio de las partículas, la resistencia a la erosión, el ángulo
de fricción interna, la cohesión y la porosidad. Uno de los aspectos más difíciles, sin
embargo, es la definición del tamaño y la forma de la brecha inicial. Sin importar el
nivel de sofisticación del modelo, hay un grado de incertidumbre resultante del
amplio rango de valores de los parámetros involucrados. Por esto, se justifica
investigar la posibilidad de reducir la complejidad matemática del problema sin
sacrificar los principios conceptuales involucrados.
En el caso de los modelos paramétricos se trata de utilizar la mínima cantidad de
ecuaciones básicas introduciendo unos coeficientes, los cuales son calibrados con
base en datos reales, dando así cierto carácter experimental a las ecuaciones
simplificadas que se utilizan.
En este capítulo se presentarán dos modelos paramétricos, también conocidos
como modelos analíticos, uno de ellos propuesto por Singh (1988) y el otro
propuesto por Pacheco (1998). Los modelos están basados en los principios de
conservación de la masa de agua, la hidráulica del vertedero de cresta ancha y la
consideración de una tasa de erosión del suelo, función de la velocidad o del
caudal. La forma de la brecha se toma como rectangular en ambos modelos y se
determina un coeficiente de erosión del suelo (un parámetro de calibración) con
base en una comparación con valores obtenidos a partir de la base de datos de las
45 presas.
74
Conceptualmente la erosión de la brecha puede considerarse como un proceso de
dos fases donde interactúan agua y sedimentos. El agua de descarga proporciona la
fuerza que erosiona la brecha. El crecimiento de la brecha afecta la descarga de
agua que controla la tasa de erosión. El fenómeno continúa hasta que el agua
almacenada se agota o hasta que la presa no se erosiona más. Las ecuaciones de
gobierno son principalmente la ecuación de continuidad en el embalse y una relación
entre la tasa de erosión y las características del flujo.
3.1 MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE ANCHO CONSTANTE (SINGH,
1988)37,38
Este modelo asume una brecha de sección rectangular con un ancho constante b
que crece únicamente en dirección vertical.
La ecuación del balance del volumen de agua puede ser escrita como:
QQIdtdH
(H)A bs −−= Ecuación 19
donde H es el nivel de la superficie del agua; I es el caudal que entra al embalse; Qb
es el caudal de salida a través de la brecha; Q es el caudal de descarga por
sobrevertimiento sobre la cresta, por el vertedero y por la casa de máquinas y As(H)
es el área superficial del embalse. La Ecuación 19 puede simplificarse
sustancialmente si se asume que la diferencia entre I y Q es de una magnitud muy
37 SINGH, Vijay P. Empirical models: dimensional analytical solutions. En: Dam Breach Modeling Technology. Kluwer Academic Publishers, 1996, p.101-121. 38 SINGH, Vijay P. y SCARLATOS, Panagiotis D. Analysis of gradual earth-dam failure. Journal of Hydraulic Engineering, Vol. 114, No. 1, January, 1988.
75
inferior a Qb. Esta suposición implica que el vaciado del embalse ha comenzado. Tal
suposición es análoga al almacenamiento lineal utilizado con frecuencia en modelos
de lluvia-escorrentía. Si además As es independiente de H (i.e., embalse prismático)
y el caudal de descarga a través de la brecha está dado por la ecuación de
continuidad
bb uAQ = Ecuación 20
donde u es la velocidad promedia del agua y Ab es la sección transversal mojada de
la brecha; entonces, la Ecuación 19 puede reducirse a
bs uAdtdH
A −= Ecuación 21
Observaciones experimentales y de campo han indicado que el flujo sobre y a través
de la brecha puede simularse con la hidráulica del flujo del vertedero de pared
gruesa (Chow 1959; Pugh y Gray 1984), i.e.,
1)(1βα ZHu −= Ecuación 22
donde α1 y β1 son coeficientes empíricos y Z es el nivel del piso de la brecha. Para
condiciones de flujo crítico, estos coeficientes están determinados como
[ ]1/23g(2/3)=1α y β1=1/2. Utilizando el sistema internacional de unidades, la Ecuación
22 queda escrita
1/2Z)1.7(Hu −= Ecuación 23
o para cualquier sistema
1/2ZHu )(1 −= α Ecuación 24
Combinando la Ecuación 21 y la Ecuación 24, se obtiene
76
b1/2
s AZ)(HdtdH
A −= 1α Ecuación 25
La Ecuación 25 es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con dos
incógnitas, H y Z. Una ecuación adicional puede obtenerse introduciendo la tasa de
erosión como una función de la velocidad del flujo, i.e.,
22
βα udtdZ
−= Ecuación 26
donde α2 y β2 son coeficientes empíricos. La Ecuación 26 está justificada
físicamente porque la erosión es directamente proporcional al esfuerzo cortante y por
lo tanto a la velocidad del agua. De acuerdo con Laursen (1956), la tasa del
transporte de sedimentos es una función potencial de la velocidad media del agua,
con un exponente igual a 4.5 ó 6. Se espera entonces que β2 tenga un valor similar a
éstos. Sin embargo, soluciones analíticas son factibles sólo si β2 es un entero igual o
menor que 2. La corrección para esta discrepancia en el valor del exponente β2
puede incorporarse durante la calibración del coeficiente α2, que aparece también
en la Ecuación 26. Tal ecuación es consistente con la fórmula de carga de lecho de
DuBoy (Lou, 1981). Por supuesto, la tasa de erosión depende también de otros
factores además de la velocidad, y puede formularse de distintas maneras.
Si la forma de la sección transversal de la brecha Ab se conoce, el sistema de la
Ecuación 25 y de la Ecuación 26 puede resolverse con respecto a H o Z, siempre
que las condiciones iniciales adecuadas estén dadas, i.e.,
H = H0 y Z = Z0 en t = t0 Ecuación 27
La expresión para el desarrollo de la brecha teniendo en cuenta las hipótesis de
forma rectangular y ancho constante se escribe
Ab = b(H - Z) Ecuación 28
77
Combinando la Ecuación 21 y la Ecuación 28 y dividiendo por la Ecuación 26 se
obtiene
Z)(HAb
dZdH
S2
−=α
Ecuación 29
Definiendo h = H - Z, la Ecuación 29 puede escribirse
1hAb
dZdh
S2
−=α
Ecuación 30
La solución de la Ecuación 30 de acuerdo con las condiciones iniciales de la
Ecuación 27 y con respecto a las variables iniciales H y Z es
−−
−− Z)(Z
Ab
expbA
ZH+bA
+Z=H 0S2
S200
S2
ααα
Ecuación 31
La Ecuación 31 expresa el nivel del agua H como una función del nivel del piso de la
brecha Z. Para derivar Z en función del tiempo, la Ecuación 24, la Ecuación 26 y la
Ecuación 31 se combinan obteniéndose finalmente
dt-=
AZZ
expAA
dZ211/2
1
021
αα
−−+
Ecuación 32
donde A1 y A2 están dadas respectivamente como
bA
A S21
α= Ecuación 33
bA
ZHA S2002
α−−= Ecuación 34
Ya que A 1>0, la solución de la Ecuación 32 se obtiene así (Gradshteyn y Ruzik 1983)
78
Ecuación 35
La Ecuación 35 describe el desarrollo de la brecha en el tiempo.
Singh evaluó el comportamiento de distintas soluciones analíticas asumiendo forma
de brecha rectangular, triangular y trapezoidal, así como coeficiente de erosión lineal
(β2 =1) y no lineal (β2 =2). Los datos de entrada incluyeron la elevación inicial de la
superficie del agua H0, el ancho de la brecha final b, y el volumen almacenado en el
embalse V. En las soluciones para brecha rectangular, el ancho constante se tomó
como un porcentaje (75%) del ancho promedio final b. El área superficial del
embalse se estimó como As = V/H0. El coeficiente α1 se asumió como 1.5 m1/2 /s. La
única cantidad que tuvo que ser estimada por medio de calibración fue el coeficiente
de erosión α2. La calibración se basó en el caudal pico Qbmax y en el tiempo de falla
tf. Para la calibración no se tuvo en cuenta la forma de la hidrógrafa resultante. Por lo
tanto se eligió, por ensayo y error, el valor de α2 que representa a Qbmax y tf lo mejor
posible. En la Tabla 21 se muestra el coeficiente de erosión de una brecha
rectangular para 16 casos, de los 52 presentados en la Tabla 20 . De esta tabla se
puede ver que el coeficiente de erosión lineal tiene un orden de magnitud mayor que
el no-lineal. Igualmente, el comportamiento general de la tasa de erosión lineal es
mejor que la tasa de erosión no-lineal.
−
−−−
+−
−
+−+
+−
+−−−
+=
2
tA
bexp
bA
)Z(HbA
)Z(H
tA
bexp
bA
)Z(HbA
)Z(H
1A)Zb(H
Aln
bA
ZZ(t)1/2
S
211/2
S21/200
1/2S21/2
00
1/2
S
21
1/2
S21/200
1/2
S21/200
S200
S2S20
αααα
αααα
ααα
79
Tabla 20. Características físicas y datos de brecha de 52 casos históricos39. No Nombre Altura (Zo) Ancho de
cresta Pendiente taludes Volumen
almacenado Caudal pico Ancho de la brecha Profundidad de
la brecha Tiempo de falla
vertical:horizontal sup/fondo/prom
(m) (m) a.arriba a.abajo (105 m3) (102 m3) (m) (m) (h)
1 Apishapa 34 4.9 0.33 0.50 225.00 68.50 91.5/81.5/86.5 30.50 2.50
2 Baldwin Hills 49 19 0.50 0.56 11 11.00 23/10/16.5 27.50 1.30
3 Bradfield 29 4.5 0.33 0.40 32 11.50 <0.5
4 Break Neck Run 7 4.3 0.33 0.50 0.49 0.09 -/-/30.5 7.00 3.00
5 Buffalo Creek 14 128 0.63 0.77 6.1 14.20 153/97/125 14.00 0.50
6 Bullock Drew Dike 5.8 4.3 0.50 0.33 11.3 13.6/11/12.3 5.80
7 Canyon Lake 6 9.85 0.1
8 Cheaha Creek 7 4.3 0.33 0.40 0.69 5.5
9 Coedty 11 3.1 67/18.2/42.5
10 Eigiau 10.5 4.3 0.33 0.50 45.2 4
11 Elk City 9 0.33 0.50 7.4 45.5/-/- 9
12 Erindale 10.5 39.5/-/- 4.6 <0.5
13 Euclides de Cunha 53 5 0.33 0.40 136 10.2 131/-/- 53 7.3
14 Frankfurt 10 4.3 0.33 0.50 3.5 0.79 9.2/4.6/6.9 10 2.5
15 French Landing 12 2.5 0.50 0.40 9.3 41/-/- 14.2 0.58
16 Frenchman Creek 12.5 6 0.33 0.50 210 14.1 67/54.4/60.4 12.5
17 Frias 1.00 1.00 62/-/- 15 0.25
18 Goose Creek 6 3 0.67 0.67 106 5.65 30.5/22.3/26.4 4.1 0.5
19 Grand Rapids 7.5 3.7 0.67 0.67 2.2 12.2/6/9.1 7.5 <0.5
20 Hatchtown 19 6 0.50 0.40 148 21 180/140.4/160.2 19 3
21 Hatfield 6.8 4.3 0.33 0.50 123 34 -/-/91.5 6.8 2
22 Hebron 11.5 3.7 0.33 0.67 61/30.4/45.7 15.3 2.25
23 Johnston City 4.3 1.8 0.21 0.36 5.75 13.4/2/7.7 5.2
24 Kaddam 12.5 2140 30/-/- 15.2 1
25 Kelly Barnes 11.5 6 1.00 1.00 5.05 6.8 35/18/26.5 11.5 0.5
26 Lake Avalon 14.5 4.3 0.33 0.50 77.5 23.2 -/-/137 14.5 2
27 Lake Barcroft 21 31.2 23/-/- 11 >1
28 Lake Frances 15 5 0.33 0.50 8.65 30/10.4/20.2 15 1
29 Lake Latonka 13 4.3 0.33 0.50 15.9 2.9 -/-/33.5 13 3
30 Laurel Run 13 4.3 0.33 0.50 3.85 10.5 -/-/-
31 Little Deer Creek 26 4.5 0.33 0.40 17.3 13.3 23/-/- 21.4 0.33
32 Lower Two Medicine 11 4.3 0.33 0.50 196 18 -/-/-
33 Lyman 20 3.7 0.50 0.50 495 107/87/97 20
34 Mammoth 21.3 4.5 0.33 0.40 136 25.2 -/-/9.2 21.3 3
35 Manchhu II 60 6 0.33 0.50 1100 540/-/- 60 2
36 Melville 11 3 0.33 0.67 40/-/- 11
37 Nanaksagar 16 4.5 0.33 0.50 2100 97 -/-/46 16 12
38 North Branch 2.9 -/-/-
39 Oakford Park 6 2.6 23/-/- 4.6 1
40 Oros 35.5 4.5 0.33 0.40 6500 115 200/-/- 35.5
41 Otto Run 6 -/-/-
42 Rito Manzanares 7.3 3.7 0.75 0.75 2.46E-03 19/-/- 7.3
43 Salles Oliveira 35 4.5 0.33 0.40 259 72 -/-/168 35 2
44 Sandy Run 8.5 4.3 0.33 0.50 0.568 4.35 -/-/-
45 Schaeffer 30.5 4.6 0.33 0.50 39.2 45 210/-/- 27.5 0.5
46 Sheep Creek 17 6 0.33 0.50 14.3 30.5/13.5/22 17
47 Sherburne 10.5 4.3 0.33 0.50 0.42 9.6 46/-/-
48 Sinker Creek 21 33.3 92/49.2/70.6 21 2
49 South Fork 1.22 -/-/-
50 Spring Lake 5.5 2.5 1.33 1.33 1.35 20/914.5 5.5
51 Teton 93 10.5 0.33 0.40 3560 666 -/-/46 79 4
52 Wheatland Number 1 13.6 6 115 46/41/43.5 13.5 1.5
39 Ibid., p. 23 y 24.
80
Tabla 21. Coeficientes de erosión para brecha rectangular (Singh, 1988) Coeficiente de erosión Qbmax calculado
Caso No de la Tabla 20 lineal No-lineal
Qbmax observado (103 m3/s)
Lineal (103 m3/s)
No-lineal (103 m3/s)
1 0.0020 0.00040 6.85 6.53 6.90 2 0.0070 0.00095 1.1 0.68 0.40 4 0.0010 0.0092 0.0045 5 0.0085 1.42 1.10 13 0.0014 0.00080 1.02 1.05 6.10 14 0.0010 0.00080 0.079 0.092 0.014 18 0.0013 0.00060 0.565 0.322 0.251 20 0.0008 0.00025 2.10 2.20 2.40 21 0.0020 0.00065 3.40 1.70 1.50 25 0.0050 0.00080 0.68 0.54 0.267 29 0.0010 0.00050 0.29 0.35 0.58 31 0.0090 0.00095 1.33 1.50 1.20 34 0.0050 0.00085 0.252 0.120 0.120 37 0.0003 0.00015 9.70 3.10 2.80 43 0.0020 0.00035 7.20 7.30 6.10 45 0.0080 0.00210 4.50 4.40 5.80
El modelo es válido sólo cuando la diferencia entre el caudal de entrada y el caudal
de salida Q es pequeña en comparación con el caudal a través de la brecha Qb, y
cuando la función As(H) no varía sustancialmente. La principal desventaja del modelo
es el coeficiente de erosión α2. Se necesita más investigación sobre este aspecto;
de manera que α2 pueda ser relacionado a algunas característica físico-químicas del
suelo. Desafortunadamente, pocos datos experimentales están disponibles bajo
condiciones dinámicas extremas que ocurren en el rompimiento de la presa. Los
modelos de transporte de sedimentos desarrollados en laboratorio y en ríos
naturales no son válidos, estrictamente hablando, para el rompimiento. Como
resultado, hay méritos para mantener un análisis simple, incorporando los
parámetros más esenciales. Los modelos presentados aquí son un paso en esta
dirección.
Las conclusiones presentadas por Singh acerca de su trabajo son:
81
1. Todos los modelos (se probaron modelos con brecha de sección rectangular y
triangular y con ecuación de erosión lineal y no-lineal) simularon
satisfactoriamente el caudal de salida producido durante la falla de la presa Teton
en el Río Teton en Idaho.
2. Los modelos de brecha rectangular parecen ser más precisos que los modelos
de brecha triangular. Sin embargo, esta observación está probablemente limitada
al caso específico de la presa Teton.
3. Los modelos de erosión lineal representan mejor la rama de recesión de la
hidrógrafa, mientras que los modelos de erosión no lineal aproximan mejor la
rama ascendente.
4. Incrementos en las cantidades α1, α2, b, s (s define la pendiente de los lados de
la brecha triangular, 1v:sh) y As producen un aumento en el caudal máximo de
salida, mientras que una disminución en estos resulta en una reducción del caudal
máximo.
5. Los resultados son casi insensibles a la cabeza hidráulica inicial.
6. Los resultados dependen fuertemente del valor del coeficiente de erosión α2.
7. El coeficiente α2 varía entre ciertos límites. Para erosión lineal, α2 estuvo entre
0.0008 y 0.0090, mientras que para erosión no lineal, α2 osciló entre 0.00015 y
0.0020. Por tanto, el valor de α2 para erosión lineal es de un orden mayor que el
de erosión no lineal. Los experimentos de laboratorio con varios tipos de suelos
pueden proporcionar un estimativo de la variabilidad de α2.
82
8. Los modelos de erosión lineal se comportaron, en general, mejor que los
modelos de erosión no lineal.
9. Si los modelos son utilizados con propósitos predictivos, se deben probar
diferentes valores del coeficiente de erosión para que el espectro de posibles
eventos sea evaluado, y no sólo un único evento.
3.2 MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE PROFUNDIDAD CONSTANTE
(PACHECO-BARROS, 1998)40
Para este modelo se considera desde un comienzo una brecha de sección
rectangular de altura igual a la de la presa, la cual se erosiona lateralmente. Esta
hipótesis aunque está lejos de ser real, evita involucrarse con el ancho de brecha
dando libertad para que el modelo lo determine como una variable dinámica. La
situación hipotética podría asimilarse a la consideración de falla por
sobrevertimiento y tubificación simultáneamente. El modelo exige igual que el
anterior, la calibración de un coeficiente de erosión, la cual se realiza con base en los
datos geométricos de la presa y en el valor del caudal pico conocido o estimado.
El modelo utiliza como ecuaciones básicas la ecuación de continuidad, la de flujo a
través de un vertedero de borde ancho y la de erosión.
40 PACHECO, Ramón Galindo. Modelo simplificado de la brecha formada por el proceso erosivo de una presa de tierra (manuscrito inédito), 1998.
83
La brecha se considera con una sección rectangular con una profundidad constante
igual a la altura de la presa. El ancho va aumentando con el proceso de erosión que
se considera tiene una relación directa y lineal con el caudal líquido.
Despreciando el caudal de entrada al embalse, considerando que el único caudal
representativo corresponde al que pasa a través de la brecha, la ecuación de
continuidad se expresa:
QdtdV
−= Ecuación 36
donde V es el volumen del embalse, t el tiempo y Q el caudal a través de la brecha.
Teniendo en cuenta que el volumen puede expresarse mediante una ecuación
monómica en función de la profundidad en el embalse
baHV = Ecuación 37
donde H es la profundidad y a, b son constantes características del embalse. Resulta
dtdH
abHQ 1b−−= Ecuación 38
Por propósitos de simplificación se asigna a b el valor de 1. Entonces:
dtdH
aQ −= Ecuación 39
El valor de a se obtiene de acuerdo con la Ecuación 37 a partir del volumen total del
embalse y de la profundidad total. Adquiere así el significado de área superficial
promedio.
84
El caudal a través de la brecha puede expresarse mediante la ecuación de un
vertedero de pared gruesa
3/23/2
H B g32Q
= Ecuación 40
Para el sistema internacional
3/2H B 1Q 7.= Ecuación 41
De acuerdo con la Ecuación 39 y la Ecuación 41
3/2Ha
1.7BdtdH
−= Ecuación 42
Se asume una relación directa y lineal entre el caudal del material erosionado y el
caudal líquido que pasa a través de la brecha.
eQQs = Ecuación 43
donde Qs es el caudal sólido y e es un coeficiente de erosión adimensional.
El caudal sólido puede expresarse también
dtdB
AQs = Ecuación 44
con A el área transversal de la presa en el sentido longitudinal, considerada
constante.
De la Ecuación 43 y de la Ecuación 44 resulta con la Ecuación 41,
3/2HA
1.7BedtdB
= Ecuación 45
85
y con la Ecuación 42 y la Ecuación 45 se obtiene
dBaeA
dH −= Ecuación 46
Integrando la Ecuación 46 se obtiene
)B(BaeA
HH 00 −−=− Ecuación 47
donde H0 es la altura de la presa y B0 el ancho inicial de la brecha.
De la Ecuación 47 se obtiene para B, con B0 ≅ 0,
H)-(HAae
B 0= Ecuación 48
Reemplazando en la Ecuación 41 la expresión anterior se obtiene:
3/2o H H) - (H
Pa
Q = Ecuación 49
donde 1.7e
AP = . Reemplazando en la Ecuación 42 la expresión anterior de B y
ordenando, se tiene,
dH)HH-(H
Pdt 3/2
0
= Ecuación 50
La integral de la Ecuación 50 es
cH-H
HHHH2ln
HP+
HH2Pt
0
003/2
00
+
−−= Ecuación 51
donde el valor de c se obtiene con H=H0-δ para t=δ (δ<<1).
86
Derivando la Ecuación 41 con respecto al tiempo,
dtdB
1.7HdtdH
1.7BH23
dtdQ 3/21/2 += Ecuación 52
reemplazando dH/dt y dB/dt según la Ecuación 42 y la Ecuación 45 y haciendo dQ/dt
= 0, para obtener el punto más alto de la hidrógrafa, se obtienen las siguientes
relaciones:
aeAB
23
H = Ecuación 53
0H53
H = Ecuación 54
0HAae
52
B = Ecuación 55
Luego, el caudal máximo resulta igual a
5/20
3/2
00max HAae
0.316H53
HAae
52
1.7Q =
= Ecuación 56
Para obtener valores del coeficiente de erosión se requiere de acuerdo con la
Ecuación 56 conocer la sección transversal de la presa en el sentido longitudinal (A),
su altura (H0), el área media superficial del embalse (a) y el caudal máximo
presentado durante el rompimiento de la presa (Qmax).
3.3 APLICACIÓN DEL MODELO DE BRECHA RECTANGULAR DE
PROFUNDIDAD CONSTANTE (PACHECO-BARROS, 1998)
Para la aplicación del modelo paramétrico es necesario conocer el caudal máximo,
el cual puede ser estimado mediante el uso de una ecuación de predicción. En este
caso se utiliza la ecuación de Barros (Ecuación 18 ) para 13 presas con datos
87
geométricos que permiten calcular la sección transversal de la presa en el sentido
longitudinal y el área media superficial del embalse. La Tabla 22 presenta los
coeficientes de erosión para estas 13 presas. Se han calculado 4 coeficientes de
acuerdo con 4 valores de caudal máximo: el caudal observado, y tres caudales
obtenidos de la ecuación de Barros (2002): (1) se obtiene de la aplicación directa de
la ecuación, (2) y (3) son los valores extremos obtenidos según el criterio de
Rousseeuw:
ee 2Se-2S-e- 10 x̂ ,10 x̂ + Ecuación 57
donde x̂ es el valor predicho, e es la media de los ei ( Ecuación 16 ) y Se es la
desviación estándar de los errores de la predicción. Estos valores extremos definen
aproximadamente una banda de confianza del 95%41.
Tabla 22. Coeficientes de erosión para 13 presas
coeficiente de erosión
Nombre
Area superficial promedio
(S/hd), a (m2)
Area transversa
l de la presa, A (m2)
según Qp observado
eobs
según Qp Barros (1)
ep
según Qp Barros (2)
em
según Qp Barros (3) eM
Apishapa, Colorado (USA) 659,051 3,080 0.0149 0.0125 0.0046 0.0336 Baldwin Hills, California (USA) 15,493 10,941 0.0595 0.0594 0.0221 0.1596 Buffalo Creek, West Virginia (USA) 34,522 2,080 0.3678 0.3838 0.1428 1.0318 Castlewood, Colorado (USA) 198,219 1,015 0.0275 0.0266 0.0099 0.0716 Davis Reservoir, California (USA) 4,878,049 355 0.0002 0.0005 0.0002 0.0013 Frenchman Creek, Montana (USA) 1,680,000 467 0.0023 0.0014 0.0005 0.0038 Goose Creek, South Carolina (USA) 1,737,705 74 0.0008 0.0000 0.0000 0.0001 Hatchtown, Utah (USA) 770,833 947 0.0074 0.0051 0.0019 0.0137 Hell Hole, California (USA) 456,308 8,174 0.0113 0.0138 0.0051 0.0370 Johnstown -South Fork Dam-, Penn. (USA)
496,063 2,657 0.0161 0.0084 0.0031 0.0227
Kelly Barnes, Georgia (USA) 43,610 205 0.0221 0.0316 0.0118 0.0850 Schaeffer, Colorado (USA) 128,525 2,466 0.0532 0.0803 0.0299 0.2159 Teton, Idaho (USA) 3,829,604 24,759 0.0160 0.0104 0.0039 0.0278
41 WAHL, Tony L. The uncertainty of embankment dam breach parameter predictions based on dam failure case studies. Op. cit., p. 6.42 WAHL, Tony L., report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment., Op. cit., p 18.
88
La Ecuación 49 y la Ecuación 51 permiten construir la hidrógrafa de caudal para
cada presa. La Figura 7 presenta las hidrógrafas para las 13 presas, habiendo
definido el valor de ∆h como Ho/75.
89
Figura 7. Hidrógrafas de 13 presas generadas con el modelo paramétrico de Pacheco-Barros
Hidrógrafa Apishapa
0
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
Hidrógrafa Baldwin Hills
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
0 1 1 2 2 3
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs= ep
em
eM
Hidrógrafa Buffalo Creek
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs= ep
em
eM
Hidrógrafa Castlewood
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs= ep
em
eM
Hidrógrafa Davis Reservoir
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
-10 10 30 50 70 90 110 130 150
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
Hidrógrafa Frenchman Creek
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
0 10 20 30 40 50 60
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
90
Figura 7. Hidrógrafas de 13 presas generadas con el modelo paramétrico de Pacheco-Barros (viene de la p. anterior)
Hidrógrafa Goose Creek
0
100
200
300
400
500
600
0 50 100 150 200
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
eM
Hidrógrafa Hatchtown
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
- 1 1 3 5 7 9 11 13 15
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
Hidrógrafa Hell Hole
0
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
Hidrógrafa Johnstown-South Fork Dam-
0
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
0 2 4 6 8 10
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
Hidrógrafa Kelly Barnes
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
Hidrógrafa Schaffer
0
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
20,000
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
91
Figura 7. Hidrógrafas de 13 presas generadas con el modelo paramétrico de Pacheco-Barros (viene de la p. anterior)
Hidrógrafa Teton
0
20,000
40,000
60,000
80,000
100,000
120,000
0 5 10 15 20
tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /
s)
eobs
ep
em
eM
La Figura 7 muestra que el caudal observado está siempre comprendido entre los
valores extremos obtenidos con la ecuación de Barros (2002). La única presa para la
que nos se cumple la predicción es Goose Creek, la cual es rechazada en el análisis
estadístico con la ecuación de Barros (2002). Se explica según la Ecuación 56 que
un menor coeficente de erosión produce un menor caudal pico y según la Ecuación
51 un mayor tiempo al caudal pico.
92
4. MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICAMENTE BASADOS
En los últimos 30 años numerosos autores han propuesto y desarrollado modelos
matemáticos físicamente basados, para la modelación del rompimiento de presas
de tierra. La Tabla 23 presenta una lista de algunos modelos reconocidos en la
literatura científica, sus modelos de transporte de sedimentos asociados, y otras
características (V. Singh & Scarlatos, 1988; Wurbs, 1987)42.
Cristofano (1965) propuso el primer modelo para el rompimiento de presas. Este
modelo relaciona la tasa de erosión de la brecha con la tasa de flujo de agua a
través de la brecha, utilizando una ecuación que da cuenta del esfuerzo cortante en
las partículas del suelo y las fuerzas del agua. El modelo asume una brecha
trapezoidal de ancho constante en el fondo; las pendientes de los lados de la brecha
se determinan por el ángulo de fricción del material y la pendiente de fondo del canal
de la brecha es igual al ángulo de fricción interna del material. También hace uso de
coeficientes empíricos.
Harris & Wagner (1967) aplicaron la ecuación de transporte de sedimentos de
Schoklitsch a los flujos de presa con brecha. Asumieron que la erosión de la brecha
empezaba inmediatamente después del sobrevertimiento, y que seguía hasta que la
brecha alcanzaba el fondo de la presa. Brown & Rogers (1977, 1981) presentaron un
modelo, BRDAM, basado en el trabajo de Harris y Wagner que era aplicable a
brechas inducidas por sobrevertimiento y por tubificación.
Lou (1981) y Ponce & Tsivoglou (1981) presentaron un modelo que conjugaba la
ecuación de transporte de sedimentos de Meyer–Peter y Müller con las ecuaciones
diferenciales unidimensionales de flujo no permanente y de conservación de
93
sedimentos. Las ecuaciones diferenciales eran solucionadas con un esquema
implícito de diferencias finitas que era computacionalmente complejo y con tendencia
a presentar problemas de inestabilidad numérica. La resistencia del flujo en la
brecha era representada utilizando el n de Manning. El ancho de la brecha estaba
empíricamente relacionado con el flujo a través suyo. El modelo tenía en cuenta el
agotamiento del volumen del embalse y sus condiciones de borde aguas arriba.
Los modelos FLOW SIM 1 y FLOW SIM 2 son principalmente modelos para el
desplazamiento de la creciente pero incluyen rutinas para la modelación de la brecha
similares a las del DAMBRK basadas en la fórmula de transporte de fondo de
Schoklitsch.
El modelo BEED (Breach Erosion of Embankment Dams) desarrollado por Singh &
Scarlatos (1985) es un modelo que simula el desarrollo de la brecha, el
desplazamiento de la creciente y del sedimento. La erosión y el transporte de
sedimentos son calculados utilizando las ecuaciones de Einstein-Brown y Bagnold.
Macchione & Sirangelo (1988, 1990) han propuesto recientemente un modelo
basado en las ecuaciones de Meyer-Peter y Müller.
El modelo BREACH (Fread, 1993) es probablemente el modelo matemático más
conocido y de este se hará una descripción en detalle más adelante.
94
Tabla 23. Modelos Físicamente basados(V.Singh & Scarlatos, 1988; Wurbs, 1987).
Modelo y año Transporte de
Sedimento Morfología de
brecha Parámetros
Otras características
Cristofano (1966) Fórmula empírica Ancho de brecha constante
Angulo de reposo
Harris & Wagner (1967) BRDAM (Brown & Rogers, 1977)
Fórmula de Schoklitsch
Forma de brecha parabólica
Dimensiones de brecha, sedimentos
DAMBRK (Fread, 1977)
Erosión lineal predeterminada
Rectangular, triangular o trapezoidal
Dimensiones de brecha, otros
Efectos tailwater
Lou (1981); Ponce & Tsivouglou (1981)
Fórmulas de Meyer - Peter y Müller
Relación del tipo de régimen
Esfuerzo cortante crítico, sedimento
Efectos tailwater
BEED (V. Singh & Scarlatos, 1985)
Fórmula de Einstein - Brown
Rectangular o trapezoidal
Sedimentos, otros
Efectos tailwater estabilidad de pendiente húmeda
FLOW SIM 1 and FLOW SIM 2 (Bodine, undated)
Erosión linear predeterminada; opción de fórmula de Schoklitsch
Reactangular, trioangular o trapezoidal
Dimensiones de brecha, sedimentos
BREACH (Fread, 1984a, 1985, 1993)
Fórmulas de Meyer - Peter y Müller modificadas por Smart
Rectangular, triangular o trapezoidal
Cortante crítico, sedimento
Efectos tailwater, estabilidad de pendiente seca
4.1 BREACH: UN MODELO DE EROSIÓN PARA FALLAS DE PRESAS DE
TIERRA (HYDROLOGIC RESEARCH LABORATORY, NATIONAL WEATHER
SERVICE (NWS), NOAA)43
BREACH es un modelo matemático basado en principios físicos de hidráulica,
transporte de sedimentos y mecánica de suelos, para predecir las características del
canal (tamaño y tiempo de formación) creado en el proceso de rompimiento de una
presa debido a la erosión, así como para conocer la hidrógrafa de salida que se
43 Fread, D.L. Op., cit., p. 1-21.
95
obtiene en este rompimiento. El modelo utiliza las ecuaciones de continuidad de
masa, de capacidad de transporte de sedimentos y de flujo uniforme. Utiliza las
ecuaciones de flujo sobre vertederos o a través de un orificio para simular el caudal a
través de un canal o conducto que será erosionado gradualmente a través de la
presa. La conservación de la masa, que tiene en cuenta el caudal entrante al
embalse, el volumen almacenado en él y el caudal saliente (sobre la cresta, por el
vertedero de descarga y por el canal de erosión), determina el nivel del agua en el
embalse en función del tiempo que junto con el nivel del piso del canal de erosión
predicho, define la cabeza que controla la descarga. El piso del canal de erosión se
supone con una pendiente igual a la de la cara de aguas abajo de la presa. Una
relación de transporte de sedimentos, la ecuación de Meyer-Peter y Muller
modificada para canales empinados se usa para predecir la capacidad de
transporte del flujo del canal cuya profundidad se determina por una relación de flujo
uniforme cuasi-permanente en la cual se aplica la ecuación de Manning durante un
intervalo de tiempo ∆t en cada paso del desarrollo del canal de erosión modelado. El
ensanchamiento del canal (de supuesta forma trapezoidal) está gobernado por la
tasa de erosión que es función de la pendiente del piso y de la profundidad del flujo y
depende de las propiedades del material de presa (tamaño D50, peso específico,
ángulo de fricción interna, fuerza de cohesión). El coeficiente n de Manning usado
para calcular la profundidad del flujo en el canal de erosión puede deducirse de
acuerdo con el tamaño del material del canal mediante la ecuación de Strickler o las
relaciones de Moody. Se consideran hasta tres materiales en la presa: un material
de cuerpo interno, un material de cuerpo externo y una delgada capa sobre la cara
de aguas abajo de la presa que puede ser un cubrimiento de grama o de un material
granular de mayor tamaño que el del cuerpo externo. Se consideran dos tipos
principales de fallas que pueden iniciar el rompimiento: la tubificación o el
sobrevertimiento. Además pueden producirse colapsos en los costados del canal
debidos a fallas de los taludes, provocadas por la fuerza hidrostática, que excede la
96
resistencia al esfuerzo cortante y las fuerzas de cohesión. El modelo tiene la
capacidad de determinar si el canal de erosión se desarrollará lo suficiente durante
el desbordamiento de la presa produciendo una descarga catastrófica del agua
represada. La hidrógrafa de salida se obtiene mediante una estructura iterativa
simple del modelo BREACH, que posee un eficiente y buen comportamiento
numérico. Unos pocos segundos de tiempo en computador se requieren en una
aplicación típica.
El modelo fue ensayado por la NWS en la presa Teton y en el deslizamiento natural
ocurrido en el río Mantaro. Los resultados de la hidrógrafa de salida obtenidos
mediante la modelación, estuvieron muy cerca de los datos registrados para esos
casos.
4.1.1 Descripción del modelo. Generalidades
El modelo BREACH simula la falla de una presa de tierra como la de la Figura 8 . La
presa puede ser homogénea o compuesta por dos materiales: uno en el cuerpo
interior cuyas propiedades definidas son el ángulo de fricción interna (φc), la fuerza
de cohesión (Cc), el tamaño medio de su granulometría (D 50c) y el peso específico
(γc); otro, en una zona externa para el cual se definen así mismo φs, Cs, D50s, y
γs. También puede especificarse la cara de aguas abajo de la presa así: 1) cubierta
en grama de estado (GL) o altura especificada (Gs); 2) material igual al de la zona
externa de la presa ó 3) material granular más grande que el de la zona externa
(D50DF). Para la descripción de la geometría de la presa se define su altura (Hu), el
nivel del piso (HL), la pendiente de la cara de aguas abajo según la relación
1(vertical): Zd (horizontal) y la de la cara de aguas arriba 1:Zu. Si la presa es
construida por el hombre se define el ancho de la cresta (Wc) y una tabla de
calibración del vertedero de descarga donde se relacione el caudal (Qsp(I)) contra el
97
nivel del agua (Hsp(I)), donde el primer nivel corresponde al de la cresta del
vertedero. Para una presa formada de manera natural por un deslizamiento se
considera que normalmente no existe un ancho de cresta ni un vertedero.
Las características del embalse se describen con una tabla de área superficial
(Sa(I)) contra el nivel del agua (Hsa(I)), un nivel inicial del agua al comienzo de la
simulación (Hi) y una tabla del caudal de entrada al embalse (Qin(I)) contra el tiempo
(Tin(I)).
Si se trata de simular una falla por desbordamiento, el nivel del agua en el embalse
debe ser mayor a la altura de la presa antes de que ocurra cualquier erosión. La
erosión comienza sólo en la cara de aguas abajo de la presa según lo muestra la
línea A-A de la Figura 8 . Si no hay cubierta de grama, se asume la existencia de un
pequeño caño de sección rectangular a lo largo de esta cara. Un canal de erosión
cuyo ancho depende de la profundidad se va formando a lo largo de la cara. El
caudal en el canal se calcula de acuerdo con la ecuación de vertedero de pared
gruesa (con unidades en el sistema inglés)44:
Qb = 3 Bo (H-Hc)1.5 Ecuación 58
en la cual Qb es el caudal en el canal de erosión, Bo es el ancho instantáneo del canal
inicial de forma rectangular, H es el nivel en el embalse y Hc es el nivel del piso del
canal. La Ecuación 58 se deduce asumiendo un vertedero de borde ancho a lo largo
del cual se presenta la profundidad crítica. Así, puede escribirse que:
44 Las ecuaciones del modelo BREACH que se presentan en este trabajo conservan la expresión del manual del usuario y en general corresponden el sistema inglés siempre que no se especifique lo contarrio.
98
( ) Hc - H32
= g B
Q3
2o
2b y despejando Qb se obtiene ( )1.5
o
1.5
b Hc-H B g 32
= Q
Como el canal se erosiona a lo largo de la cara de aguas abajo de la presa, el nivel
Hc se mantiene en lo alto de la presa Hu y el punto más extremo del canal aguas
arriba se mueve a lo largo de la cresta hacia la cara de aguas arriba de la
presa. Cuando el piso del canal de erosión ha alcanzado la posición de la línea B-B
de la Figura 8 , el nivel del piso Hc comenzará a erosionarse hacia abajo hasta un
nivel especificado Hm que puede llegar a ser igual al nivel del piso de la presa
(HL). La pendiente del piso del canal se mantiene cercana a la pendiente de la cara
de aguas abajo de la presa.
Si la cara de aguas abajo de la presa, representada en la Figura 8 por la línea A-A,
está cubierta de grama, la velocidad del flujo de desborde sobre ella se calcula en
cada intervalo de tiempo mediante la ecuación de Manning. Esta velocidad se
compara con la máxima velocidad permisible para canales engramados ( Chow,
1959 ). La falla de la cara de aguas abajo por erosión se inicia una vez se excede la
velocidad permisible. En ese momento se crea al instante un caño a lo largo de esa
cara con un ancho de 2 pies y 1 pie de profundidad. La erosión en el caño se
considera como cuando no hay cubierta de grama. La velocidad (v) a lo largo de la
cara de aguas abajo se calcula de acuerdo con la Ecuación 58:
v = q/y, con q = 3 (H-Hc)1.5 el caudal por unidad de ancho Ecuación 59 5/3
1/2(1/Zd) 1.49n q
=y
Ecuación 60
con y obtenido de la ecuación de Manning asumiendo un canal ancho ( R=y ) y n = a
qb es el coeficiente de Manning representado matemáticamente .
99
Figura 8. Sección transversal de una presa
Si se trata de simular una falla por tubificación, el nivel (H) en el embalse debe ser
mayor que el nivel del eje del orificio rectangular (Hpi) antes de que el orificio se
incremente por la erosión. El fondo del orificio se va erosionando verticalmente hacia
abajo mientras su clave lo va haciendo hacia arriba e igualmente se da un desarrollo
lateral en iguales proporciones. El caudal en el orificio (Qo) se calcula de acuerdo
con la ecuación de Bernoulli aplicada entre el eje del orificio (Hpi) y el nivel en el
embalse (H), teniendo en cuenta unas pérdidas por fricción en su longitud L para un
diámetro o ancho D, calculadas con la ecuación de Darcy-Weisbach:
2g1
A
Q
DL
f = 2g1
A
Q + Hpi-H
2o
2o
,que al despejar da para Qo:
2/1
o L/D f+1Hpi)-2g(H
A = Q
Ecuación 61
donde A es el área transversal del orificio.
Wc
Hy
Hi
Zu Zd 1 1
Hu
Hsp
D50c D50s
A B
A B
HL
100
El factor de fricción f se obtiene de acuerdo con las ecuaciones (Morris y Wiggert,
1972 ):
f = 64/R para R<2000 Ecuación 62
f = 0.105 ( D50/D )0.167 para R>2000 Ecuación 63
Donde A D Qo
= Rν
es el número de Reynolds, con ν = 1.2 10-5 pies2/s, la viscosidad
cinemática del agua a 60oF (150C)
El nivel superior del orificio va aumentando hacia arriba con la erosión (Hpu) hasta
llegar a un punto donde el flujo de control de orificio cambia por flujo de control de
vertedero. La transición de este cambio se supone que ocurre cuando se cumple con
la siguiente desigualdad:
H < Hpu + 2( Hpu - Hpi ) Ecuación 64
El caudal en el vertedero está gobernado por la Ecuación 58 en la cual Hc es
equivalente al nivel del orificio y Bo es el ancho del orificio en el instante de la
transición. Luego del instante de transición de la condición del flujo de orificio a
vertedero, se asume que el material existente entre la clave del orificio y la cresta de
la presa, colapsa y es transportado por el canal de erosión a la tasa presente de
transporte de sedimentos antes de que ocurra más erosión. Posteriormente la
erosión procede a formar un canal a lo largo de la cara de aguas abajo de la presa
entre el nivel de la batea del orificio y el piso de la presa. El resto del proceso de
erosión es muy similar al descrito en la falla por desbordamiento con la posición del
canal ahora indicada por la línea A-A de la Figura 8 .
La descripción general del proceso de erosión presentada, es para presas
construidas por el hombre. Si se trata de simular una presa por deslizamiento, el
proceso es similar, excepto que como no se considera un ancho de cresta (Wc), la
101
erosión comienza con el canal en la posición de la línea B-B de la Figura 8 . Los
tipos de falla por desbordamiento o tubificación también pueden darse en una presa
formada por un deslizamiento.
4.1.2 Ancho del canal de erosión
El método para la determinación del ancho del canal de erosión es un aspecto crítico
de cualquier modelamiento. En este modelo el ancho del canal está controlado
dinámicamente por dos mecanismos: el primero asume que el canal tiene una
sección inicial rectangular y el segundo relaciona el ancho del canal con la
estabilidad de los taludes ( Spangler 1951 ).
El ancho del canal está gobernado por la ecuación:
Bo = Br y Ecuación 65
donde Br es un factor basado en la sección hidráulicamente óptima y y es la
profundidad del flujo en el canal de erosión. Br tiene un valor de 2 para las fallas por
desbordamiento y de 1 para las fallas por tubificación. El modelo asume que y es la
profundidad crítica en la entrada al canal, es decir,
Hc)(H32
=y − Ecuación 66
De acuerdo con el segundo mecanismo, la sección inicial rectangular cambia a
trapezoidal cuando los costados del canal de erosión colapsan, formando un ángulo
α con la vertical como lo muestra la Figura 9 . El colapso ocurre cuando la
profundidad del canal erosionado (Hc’) alcanza la profundidad crítica (H’) que
depende de las propiedades del material de la presa: ángulo de fricción interna (φ),
cohesión (C) y peso específico (γ ), de acuerdo con la ecuación,
102
[ ] 3 2, 1, =k , 'cos( -1
'sen cos 4C = H'
1-k
1-kk φθγ
θφ−
Ecuación 67
En la cual el subíndice k indica una de las tres condiciones de colapso que se
muestran en la Figura 9 , θ es el ángulo que la pared lateral del canal de erosión
hace con la horizontal como lo presenta la Figura 10 .
Los ángulos θ ó α en cualquier momento durante la formación del canal están dados
por:
θ = θ’k-1 Hk ≤ H’k Ecuación 68
θ = θ’k Hk > H’k Ecuación 69
Bo = Br y k = 1 Ecuación 70
Bo = Bom k > 1 Ecuación 71
Bom = Br y cuando H1 = H’1 Ecuación 72
α = 0.5π - θ Ecuación 73
θ’o = 0.5π Ecuación 74
θ’k = (θ’k-1 + φ ) /2 Ecuación 75
Hk = H’c - y/3 Ecuación 76
El subíndice k se incrementa en 1 cuando Hk > H’k. En la Ecuación 76 el término y/3
es restado a H’ c para obtener la profundidad libre real del canal en la cual la
influencia del agua sobre la estabilidad de los taludes es tenida en cuenta. A través
de este mecanismo es posible que el canal se ensanche luego de que ha ocurrido el
caudal pico a través suyo después que la profundidad y disminuya para el resto del
caudal.
103
Figura 9. Formación del canal de erosión en la presa
La erosión se supone que ocurre de igual manera a lo largo del piso y de los taludes
del canal excepto cuando colapsan los taludes. Luego del colapso se interrumpe la
erosión en el piso hasta que el volumen de material colapsado es removido a la tasa
de la capacidad de transporte de sedimentos del canal en el instante del
colapso. Luego de esta corta pausa, el piso y los taludes continúan erosionándose.
Cuando una presa de deslizamiento se simula, la longitud más bien larga del canal
comparada con las presas construidas por el hombre, sugiere que el ancho del canal
debe calcularse aparte del ancho inicial de la entrada. En este caso, y en la Ecuación
70, la Ecuación 72 y la Ecuación 76 se calcula como la profundidad normal yn en el
canal, mejor que la profundidad crítica dada por la Ecuación 66.
Bo
Bom
α1 α2
α3
Hc
Hd
Presa
104
Figura 10. Vista frontal de la presa con el canal de erosión
4.1.3 Determinación del nivel del embalse:
La ley de conservación de masa se utiliza para calcular el cambio del nivel de la
superficie del agua en el embalse (H) debido al caudal de entrada al embalse (Qin),
el caudal de descarga del vertedero (Qsp), el caudal de descarga sobre la presa
(Qo), el caudal en el canal de erosión (Qb) y las características de almacenamiento
del embalse. La conservación de masa durante un intervalo de tiempo ∆t (en horas)
está representado así:
3,60043,560
t
H Sa = o)Q + spQ + Q( -in Q b ∆∆ Ecuación 77
donde ∆H es el cambio en el nivel de la superficie del agua durante el intervalo de
tiempo ∆t (en horas, 1hora=3600s), y Sa es el área superficial (en acres, 1 acre =
43,560 pies2) del embalse en el nivel H. La barra superior indica que el caudal es
promediado en el intervalo. Despejando de la Ecuación 77 se obtiene la siguiente
expresión para el cambio de nivel de la superficie del agua:
o)Q - spQ Q -in Q( Sa
t
43,5603,600
= H b −∆
∆ Ecuación 78
Hd
H’c Hk
Y/3 y α
θ
θk H’k
Presa
105
El nivel del embalse (H) en el tiempo t puede obtenerse fácilmente de la relación:
H = H’ + ∆H Ecuación 79
donde H’ es el nivel del embalse en el tiempo t-∆t.
El caudal de entrada al embalse (Qin) se determina de la tabla Qin contra Tin
especificada en un comienzo. El caudal del vertedero (Qsp) se determina de la tabla
también especificada de Qsp contra H. El caudal del canal de erosión (Qb) se calcula
de la Ecuación 61 para flujo orificio o de la Ecuación 58 para flujo sobre un vertedero
cuando Hc=Hu (la cota de la cresta de la presa); cuando Hc<Hu, se utiliza la
siguiente ecuación de vertedero de borde ancho:
Qb = 3 Bo (H-Hc)1.5 + 2.2 tan(α) (H-Hc)2.5 Ecuación 80
en la cual Bo se obtiene según la Ecuación 70 ó la Ecuación 71 y α está dada por la
Ecuación 73. El caudal sobre la cresta del vertedero (Qo) se calcula como el de un
vertedero de borde ancho con la Ecuación 58, donde Bo es reemplazado por la
longitud de la cresta y Hc por Hu.
4.1.4 Hidráulica del canal de erosión
El flujo del canal se asume descrito adecuadamente como un flujo uniforme cuasi-
permanente, determinado mediante la aplicación de la ecuación de Manning para
flujo en canales abiertos, en cada intervalo de tiempo ∆t,
2/3
5/31/2
b PA
S n
1.49 Q = Ecuación 81
106
en la cual S=1/Zd, A es el área de la sección transversal del canal, P es el perímetro
mojado del canal y n es el coeficiente de Manning. En este modelo n se calcula
usando la relación de Strickler basada en el tamaño promedio del grano del material
que conforma el canal,
n = 0.013 D500.167 Ecuación 82
donde D50 representa el diámetro del tamaño promedio del grano expresado en mm.
La utilización de un flujo uniforme cuasi-permanente se considera apropiado debido
a la corta longitud del canal y a las pendientes empinadas (1/Zd) para las presas
hechas por el hombre y aún en el caso de presas formadas por deslizamientos,
donde la longitud del canal es mayor y la pendiente menor, la variación del flujo es
muy pequeña con la distancia, a lo largo del canal. El uso de un flujo uniforme cuasi-
permanente en contraposición con las ecuaciones del flujo no permanente utilizadas
por Ponce y Tsivoglou (1981) simplifican enormemente la hidráulica y el algoritmo
computacional. Tal simplificación se considera comparable con las otras
simplificaciones inherentes al tratamiento del desarrollo del canal en presas, para el
cual mediciones precisas de las propiedades del material son escasas o imposibles
de obtener así como la varianza que tienen tales propiedades. La simplificación
hidráulica elimina dificultades numéricas computacionales y permite al modelo
requerir de mínimos recursos computacionales.
Cuando el canal es rectangular, se tiene la siguiente relación entre la profundidad del
flujo (yn) y el caudal (Qb) :
S B 1.49
n Q =yn
3/5
1/2o
b
Ecuación 83
107
en la cual Bo está definida por las ecuaciones comprendidas entre la Ecuación 70 y
la Ecuación 72.
Cuando el canal es trapezoidal, el siguiente algoritmo basado en la iteración Newton-
Raphson se utiliza para calcular la profundidad del flujo yn:
)(yn' f
)(yn f - yn = yn
k
kk1+k Ecuación 84
5/31/22/3 b
k A S 1.49 - PQ = )f(yn Ecuación 85
donde
A = 0.5 (Bo + B) Ynk Ecuación 86
B = Bom + 2 yn tanα Ecuación 87
P = Bom + 2 yn/ cosα Ecuación 88
2/31/21/3b
k A B S n
1.49
35
- PP'
Q 32
= )(yn' f Ecuación 89
con P’ = 1/ cosα Ecuación 90
El superíndice k es un contador de la iteración, la cual continúa hasta que
ynk+1 - ynk < ε, ε ≤ 0.01 Ecuación 91
El primer estimativo para yn se obtiene así:
S B 1.49
n Q = yn
3/5
1/2b1
Ecuación 92
donde
)B' + (B 0.5 = B om Ecuación 93
con B’ el ancho superior del canal a la profundidad yn en el tiempo t-∆t.
108
4.1.5 Transporte de sedimentos
La tasa a la cual el canal es erosionado depende de la capacidad de la corriente de
agua para transportar el material. Se utiliza la relación de transporte de sedimentos
de Meyer-Peter y Muller modificada por Smart (1984) para canales empinados,
O) - S (D S n
D P
DD
3.64 = Qs 1.12/30.2
30
90
Ecuación 94
Donde
50c Dt0.054O = (cohesivo) Ecuación 95
c'(PI)62.4
b'O = (no cohesivo) Ecuación 96
τc = a’ τc’ Ecuación 97
a’ = cosθ ( 1 - 1.54 tanθ) Ecuación 98
θ = tan-1 S Ecuación 99
τc’ = 0.122 / R*0.970 si R* < 3 Ecuación 100
τc’ = 0.056 / R*0.266 si 3 ≤< R* ≤ 10 Ecuación 101
τc’ = 0.0205 R*0.173 si R* > 10 Ecuación 102
S= 1/Zd Ecuación 103
R* = 1524 D50 (D S)0.5 Ecuación 104
Qs es la tasa de transporte de sedimentos; D30, D50, D90 son los tamaños del grano
en mm para el correspondiente porcentaje en peso del 30, 50 ó 90% en finos; D es
la profundidad hidráulica del flujo; S es la pendiente de la cara de aguas abajo de la
presa, τc’ es el esfuerzo cortante crítico de Shields, PI es el índice de plasticidad para
suelos cohesivos y b’ y c’ son coeficientes empíricos con los siguientes rangos:
0.003 =b’=0.019 y 0.58=c’=0.84 (Clapper and Chen, 1987).
109
4.1.6 Agrandamiento del canal por el colapso súbito:
Es posible que el canal sea ampliado por una falla de un colapso más bien súbito de
porciones superiores de la presa en las vecindades del canal en desarrollo. Este
colapso consiste en una porción en forma de cuña de la presa con una dimensión
vertical yc tal como lo presenta la Figura 11. El colapso puede deberse a la presión
del agua en la cara de aguas arriba de la presa que excede las fuerzas resistivas por
la cortante y la cohesión, que mantienen la cuña en su lugar.
Cuando esto ocurre, la cuña es empujada hacia adelante y es transportada por el
agua descargada por el canal ampliado. Cuando ocurre el colapso la erosión del
canal cesa hasta que el volumen de la cuña colapsada es transportado a través del
canal de erosión a la tasa de transporte del agua descargada. Un chequeo para el
colapso es hecho en cada intervalo de tiempo ∆t durante la simulación. El chequeo
consiste en asumir un valor inicial de yc igual a 10 y luego, sumando las fuerzas
actuando en la cuña de altura yc. Las fuerzas son aquellas debidas a la presión del
agua (Fw) y las fuerzas resistivas que son la cortante actuando a lo largo del piso de
la cuña (Fsb), la cortante actuando en ambos lados de la cuña (Fss), la fuerza debida
a la cohesión a lo largo del piso de la cuña (Fcb) y la fuerza de cohesión actuando a
lo largo de ambos lados de la cuña (Fcs).
110
Figura 11. Vista lateral mostrando las fuerzas que determinan el posible colapso de la porción superior (yc) de la presa.
El colapso ocurre si,
Fw > Fsb + Fss + Fcb + Fcs Ecuación 105
donde
hd)2 + yc ( B 62.4 21
= Fw Ecuación 106
[ 2yc B D Z21
? yc WccB ?2ycBZU21
62.4)(?ftan= Fsb +++−
] ycyn B D' Z62.4 B Wcchd 62.4 32
+ Ecuación 107
( )[ ]yc ZDZU Wcc yc K tan = Fss 2 ++φγ Ecuación 108
( )[ ] yc Zd+Zu + Wcc B C = Fcb o Ecuación 109
( )[ ] cos / yc 2 (B yc Zd+Zu + Wcc 2C = Fcs 0 α+ Ecuación 110
con φ
φsen + 1
sen - 1 K = Ecuación 111
sin a Hc B = B 0 + Ecuación 112
ZD’ = (1+ZD2)0.5 Ecuación 113
hd
yc
Fw
Zu 1
Wcc Xp
Fss Fcs
yn
Zd 1
Fsb Fcb
111
siendo BT el ancho superior de la brecha y yc, hd, Zu, Zd, Wcc, yn, están definidas
según la Figura 11. El ancho superior de la superficie del agua en el canal de erosión
B, se define según la Ecuación 65 ó la Ecuación 87 y α se define en la Ecuación 73,
según laFigura 10 .
Si la desigualdad de la Ecuación 105 no se satisface con el primer ensayo yc,
entonces no ocurre colapso en ese tiempo. Si es satisfecha la desigualdad, yc se
incrementa en 2 pies y se evalúa de nuevo la Ecuación 105. Este ciclo continúa hasta
que la desigualdad no es satisfecha.
4.1.7 Sumergencia
El caudal en el canal se verifica por efectos debidos a la profundidad del agua en la
descarga. Se calcula un factor de sumergencia Sb así:
3
tb 3
2
Hc - HHc - Y
2.78 - 1 = S
− Ecuación 114
con Yt la profundidad en la descarga, aguas abajo del pie de presa, calculada con la
ecuación de Manning, considerando la sección en la descarga y el caudal total. Si Sb
resulta ser menor que la unidad, entonces el caudal Qb se corrige así:
Qb = Sb Qb Ecuación 115
4.1.8 Porosidad del material
La porosidad del material de la presa influye en el transporte de este, y por lo tanto
es determinante en el cálculo del nivel del piso del canal. El cambio en el nivel del
piso del canal (∆Hc) se calcula así:
112
Po)-(1 L PQst 3,600
= Hc∆
∆ Ecuación 116
donde ∆t es el intervalo de tiempo en horas, L es la longitud del canal, P es el
perímetro total del canal, es decir,
αcosHc)-(Hu 2
+ B = P o Ecuación 117
Po es la porosidad del material y Qs es el caudal calculado según la Ecuación 94.
4.1.9 Algoritmo computacional
La secuencia de cálculos en el modelo es iterativa ya que el caudal en el canal
depende del nivel del piso y del ancho, mientras que las características del canal
dependen de la capacidad de transporte de sedimentos del caudal y esta depende a
su vez del tamaño del canal y del flujo. Un algoritmo simple se utiliza para dar cuenta
de la dependencia mutua del flujo, la erosión y las características del canal. El
algoritmo computacional es como sigue:
1. Se adopta un incremento de tiempo ∆t. t(i) = t(i -1) + ∆t
2. Se calcula Hc(i) = Hc(i-1) - ∆Hc, con ∆Hc inicialmente supuesto
3. Se calcula el nivel en el embalse H(i) = H(i-1) - ∆H, con ∆H estimado mediante
extrapolación de acuerdo con los cambios ocurridos previamente.
4. Se obtienen los caudales asociados con H(i): Qb, Qo, Qsp, Qin
5. Se calcula ∆H de acuerdo con la Ecuación 78
113
6. Se verifica el nivel del embalse H(i) = H(i-1) - ∆H
7. Se verifica Qb de acuerdo con la Ecuación 58 ó la Ecuación 80
8. Se verifican efectos de sumergencia
9. Se calculan Bo, α, BT, P y R para el canal, según las ecuaciones comprendidas
entre la Ecuación 70 y la Ecuación 73, la Ecuación 87 y la Ecuación 88
10. Se calcula Qs según la Ecuación 94
11. Se calcula ∆Hc según la Ecuación 116
12. Se compara ∆Hc con el valor inicialmente supuesto de acuerdo con un error de
tolerancia. Si la diferencia sobrepasa el error, se regresa al paso 2 con el cálculo
anterior de ∆Hc
13. Se verifica la estabilidad por colapso
14. Se vuelve al paso 1
15. Finalmente se obtiene la hidrógrafa de salida
114
4.2 MODELO MATEMÁTICO BRECCIA ( MODELO DEL ENEL-CRIS, ENTE
NAZIONALE ENERGIA ELETTRICA-CENTRO RICERCA IDRAULICA E
STRUTTURALE )45
El modelo matemático BRECCIA simula el crecimiento de la brecha que se
desarrolla en una presa de material suelto y que inicia su formación al verse
desbordada la presa, por el flujo que entra al embalse.
El modelo se basa en la ecuación de conservación del agua contenida en el embalse
y del material sólido que conforma la presa. El valor de la erosión operada por la
corriente de la brecha es evaluada por medio de las leyes de transporte de
Engelund.
4.2.1 La presa
Se hará referencia a una presa ideal de sección transversal en forma de triángulo
isósceles, constituida de material suelto de diámetro uniforme D.
4.2.2 La brecha
Una investigación sobre una presa en tierra desbordada ha revelado que la brecha
tiene en su mayor parte forma triangular con pendiente media de las paredes de
2:1. En otras, en que casi la altura de la brecha ha afectado la altura de la presa, la
brecha se desarrolla posteriormente alargándose un poco, erosionando la fundación,
manteniendo la misma pendiente de la pared antes dicha. En consideración de tales
características del fenómeno, se aproxima la brecha siguiendo la geometría ideal,
45 ENEL-CRIS. Modello matematico della breccia che si sviluppa in uno sbarramento in materiale
115
ilustrada en la Figura 12 , válida hasta que la erosión no afecte toda la altura de la
presa. Tales simplificaciones consisten en calcular analíticamente el volumen de la
brecha (identificado con el volumen del material transportado), expresando tal
volumen en función de la altura Hb inicial de la brecha (punto C’ de la Figura 12
). Sobre el plano de la fundación de la presa se obtiene la expresión:
2/1
22
22
02
22
)Hb2Hs( tanHb
- tan
Hb-Hs 2Hs 2
cotan Hb)-(Hs Hs
32
= Vb
−
φφ
φ Ecuación 118
donde φo es el ángulo que la línea de la pendiente máxima de la pared de la brecha
forma con la horizontal. De acuerdo con el estudio citado, se tiene que φo=arctan(2).
Figura 12. Geometría de la presa y de la brecha, modelo BRECCIA
sciolto per tracimazione. 1986, p. 1-10.
116
Q
Hs H
Hb
E,F,C
P C'
T Q
ϕ 2 ϕ 3
ϕ 1
B M' T' z
y
A
F E
C'
T
A
L
Hb
Hs
M
C
Vista frontal
Sección transversal
4.2.3 El embalse
El volumen del embalse de la presa se aproxima según la ecuación:
Vs = Cs Hm Ecuación 119
donde Cs y m son parámetros cuyo valor numérico depende de las características
geométricas del embalse y H es la altura del agua correspondiente en la presa.
Indicando con Q el caudal que rebosa sobre la presa y con Qo el caudal del afluente,
la ecuación de continuidad del embalse se escribe:
Qo+Q- = dt
dVs Ecuación 120
Esta ecuación puede expresarse de acuerdo con la Ecuación 119:
1-mH Cs mQo+Q-
= dt
dH Ecuación 121
117
4.2.4 El caudal de rebose
El extremo de la brecha constituye una entrada de vertedero. Tal entrada puede ser
asimilada de manera aproximada a un vertedero de forma triangular isósceles para
el cual es válida la fórmula para el cálculo del caudal:
5/2Hb)-(H 2g HbHs
B
154
=Q−
µ Ecuación 122
donde:
B = ancho de la brecha en el extremo superior
µ = coeficiente de descarga
g = aceleración de la gravedad
El extremo se considera como un umbral para el cual el coeficiente µ alcanza el límite
superior de 0.60. Dada la no correspondencia perfecta entre el vertedero ideal al
cual se refiere la Ecuación 122 y el vertedero real constituido por la brecha, el valor
real de µ podrá alejarse del valor guía.
4.2.5 La corriente a lo largo de la brecha
Si se considera la hipótesis que la evolución de la brecha es bastante lenta se puede
suponer con buena aproximación, que el flujo de la corriente que fluye ocurre en
condiciones casi estacionarias. En tales condiciones la corriente sigue la ley de
Bernoulli. Aplicando esta ley a las secciones situadas en la parte alta de la abertura
(punto C’) de la brecha y en una cota z sobre la fundación (véase la Figura 12), se
obtiene la ecuación:
118
DH-H = 2gU
+ cosy + z2
3ϕ Ecuación 123
donde y y U son respectivamente la profundidad y la velocidad de la corriente en la
cota z, y DH es la pérdida de energía entre las dos secciones, referida a la unidad de
peso del agua. La pérdida de energía DH puede ser evaluada mediante la ecuación:
DH = Jm L = Jm (Hb-z) sen-1ϕ3 Ecuación 124
en la que L es la distancia entre las dos secciones y Jm representa el valor medio de
la pérdida de energía por unidad de longitud y por unidad de peso, calculado por la
fórmula de Chézy:
R C gU
= J2
2
Ecuación 125
donde C es el parámetro adimensional de Chézy y R el radio hidráulico de la
corriente. Calculando J de la Ecuación 125 en la sección del valle puesta a la cota z,
el valor medio Jm se obtiene multiplicando el valor de J así obtenido, por un
coeficiente de conversión α, comprendido entre 0 y 1.
El procedimiento de solución de la Ecuación 123, la ecuación de Bernoulli aplicada a
la corriente a lo largo de la brecha es como sigue:
Sustituyendo en la Ecuación 123 la expresión de DH (Ecuación 124 y Ecuación 125),
se obtiene
DH-H = 2gU + cosy + z
2
3ϕ
119
0 = L R C g
U + H - 2gU + cosy + z
2
22
3 αϕ
Dado que 2
4
2
22
tan y
Q = U
ϕ
y 6/1
KsR 7.66 = C
, reemplazando en la ecuación anterior
resulta:
0 = y g 2
tanQ
R 58.68Ks L 2 + 1 + H -y cos + z = F(y)
44
22
4/3
1/3
3
ϕαϕ
ecuación que se resuelve por el método de Newton-Raphson.
4.2.6 El material transportado por la corriente
La corriente de rebose ejerce una acción erosiva sobre las paredes de la brecha. El
volumen de material suelto transportado por la corriente en la unidad de tiempo,
llamado caudal de sólido, depende de las características mecánicas de la corriente y
del material sólido: radio hidráulico (R), velocidad media (U), peso específico del
agua (Gw), diámetro medio del material (D), peso específico del material (Gs).
El caudal de sólido, Qs, puede ser calculado mediante la ecuación de Einstein:
2/1
3D 1GwGs
g P = Qs
−φ Ecuación 126
En la que P es el perímetro mojado (desarrollado transversalmente en la pared de la
brecha mojada por la corriente), y φ es el parámetro adimensional de transporte de
120
Einstein. El parámetro φ puede ser a su vez calculado mediante la fórmula de
Engelund:
φ = 0.05 C2 θ5/2 Ecuación 127
donde θ es el parámetro de Shields:
D Gw)-(Gs =
τθ Ecuación 128
y τ representa el esfuerzo tangencial medio ejercido por la corriente sobre el
perímetro mojado. El esfuerzo τ está dado por la fórmula:
2
2
C g UGw
= τ Ecuación 129
El parámetro de Chézy C, puede ser evaluado siguiendo la expresión de Strickler:
6/1
KsR
7.66 = C
Ecuación 130
donde Ks representa la rugosidad equivalente de Nikuradse, la cual es proporcional
al diámetro D del grano, Ks=Rs·D. El coeficiente de proporcionalidad Rs debe tener
en cuenta el transporte sólido al fondo y en suspensión. Este coeficiente se
constituye en una limitación del modelo dada la poca información que sobre él se
tiene.
4.2.7 La evolución de la brecha
Con la continua remoción del material de la presa, la brecha aumenta
progresivamente de dimensiones. La variación del volumen Vb de la brecha está
gobernada por la ecuación:
121
n1Qs
= dtVb d
− Ecuación 131
donde n es la porosidad de la presa y Qs el caudal sólido en la base de la brecha. El
caudal Qs viene calculado por la Ecuación 126 hasta la Ecuación 130, a partir de las
características de la corriente en la base de la brecha, z=0 (véase la Figura 12).
La ecuación de la brecha puede ser expresada en términos de la derivada temporal
de la altura Hb:
n-1Qs
Hb dVb d
= dtHb d 1−
Ecuación 132
4.2.8 Solución de las ecuaciones del modelo
El modelo se basa en dos ecuaciones diferenciales ordinarias en el tiempo, la
Ecuación 121 y la Ecuación 132, las cuales son solucionadas por el método de
Euler.
4.3 APLICACIÓN DE LOS MODELOS
A continuación se realizan algunas aplicaciones de los modelos matemáticos
físicamente basados en algunas de las presas de los capítulos anteriores. En la
utilización de los modelos físicamente basados se tienen en cuenta no sólo variables
geométricas como en las ecuaciones de predicción (Capítulo 2 ) o en los modelos
paramétricos (Capítulo 3 ), sino además variables o parámetros relacionadas con las
propiedades del suelo. Se hace necesario y recomendable llevar a cabo un análisis
de sensibilidad de estas variables con el fin de conocer cómo puede variar el valor
de predicción del caudal pico y el tiempo en el que este se produce.
122
4.3.1 Modelos BREACH y BRECCIA. Análisis de sensibilidad en los casos
Mantaro y La Josefina
Un ejemplo de un análisis de sensibilidad a tres parámetros del suelo como son el
diámetro medio (d50), la porosidad (Po) y el ángulo de fricción (a), es llevado a cabo
con los modelos BREACH Y BRECCIA para los casos Mantaro (p. 32) y La Josefina
(p. 34)46.
En la Tabla 24 se presentan los datos geotécnicos y geométricos de estas dos
presas naturales según el reporte de informes técnicos. En estos casos se ha tenido
en cuenta una variable hidrológica: el caudal inicial de entrada al embalse (Qin). Esta
variable puede utilizarse en el BREACH pero no en el BRECCIA. Con estos datos se
simularon en ambos modelos el rompimiento de las presas.
46 BARROS, Juan Fernando; PACHECO, Ramón; GÓMEZ, Paula. Sobre la modelación matemática del rompimiento de presas de tierra naturales. Casos Mantaro (Perú, 1974) y Josefina (Ecuador, 1993). En: Memorias XIX Congreso Latinoamericano de hidráulica. Tomo III. Córdoba, Argentina, 22 al 27 de octubre de 2000, p. 299-308.
123
Tabla 24. Datos reportados de los casos Mantaro y La Josefina
Presa Po d50
(mm) a (°)
γ (N/m3)
Hu (m)
Zu H
(m) Qin
(m3/s) Zd
C (N/m2)
Mantaro 0.50 11 30 15,700 26,000
170 17 170 13 8 1,436
La Josefina 0.10 100 27,000 64.9 7 52.5 100 4
El modelo BREACH presenta un buen comportamiento para el Caso Mantaro, pero
para el Caso La Josefina presenta problemas para los valores de Zd y d50. Con un
Zd igual a 4 y un d50 de 100, como está registrado en los informes técnicos, el
programa no completa su ejecución. Si se aumenta el valor de Zd a 5,
disminuyéndose la pendiente del paramento de aguas abajo, se obtiene un caudal
de 33,300 m3/s con un tiempo al pico (Tp) de 19.10 horas, valores mucho mayores
que los registrados por los observadores. Si se aumenta aún más el Zd el programa
no desarrolla la brecha, es decir, no se produce erosión. Una restricción del
BREACH es que no permite definir el ancho de la brecha inicial sino que el proceso
de erosión se inicia con una brecha de 0.2 pies de ancho, la cual se desarrolla
desde la cresta de la presa. Teniendo en cuenta que en La Josefina se construyó un
canal artificial, esta restricción obligó a utilizar en lugar de la altura real de la presa, la
distancia vertical medida desde el lecho del río hasta el piso del canal.
El modelo BRECCIA presentó problemas en el caso Mantaro con el d50. Para un
d50 igual a 11 mm como registran los informes se obtiene un caudal pico igual a
177,000 m3/s y un tiempo al pico (Tp) de 14 horas. Para obtener un valor cercano a
los registrados por los observadores debió utilizarse un d50 igual a 72 mm. En el
Caso La Josefina, sí se pudo utilizar la altura real de la presa ya que este modelo
permite definir el nivel inicial del piso de la brecha.
La sensibilidad en los resultados de Tp y Qp de los modelos se ha medido
realizando cambios en los valores del diámetro medio (d50), la porosidad (Po) y el
ángulo de fricción (a ). Teniendo en cuenta que en todos los casos la brecha se
124
desarrolla hasta el piso de la presa produciéndose el desembalse de todo el
volumen de agua almacenado, necesariamente un aumento en Tp debe implicar una
disminución en Qp y una disminución en Tp un aumento en Qp. Para el análisis de
sensibilidad se utilizan en este caso los valores de referencia según el registro de los
informes técnicos, cambiando el d50 y el Zd en el del BREACH para el caso La
Josefina y el d50 en el BRECCIA para el caso de Mantaro por las razones expuestas
anteriormente. En la Tabla 25 se presentan los datos finalmente utilizados.
Tabla 25. Parámetros de referencia utilizados en la modelación
Modelo BREACH
Presa Po d50 (mm)
a (°)
γ (N/m3)
Hu (m)
Zu H
(m) Qin
(m3/s) Zd
C (N/m2)
Mantaro 0.50 11 30 15,700 170 17 170 13 8 1,436 Josefina 0.10 30 10 27,000 52.5 7 52.5 100 10 1,436
Modelo BRECCIA
Presa Po d50
(mm) a
(°) γ
(N/m3) Hs (m)
Cotan φ2
H (m)
Mantaro 0.50 72 45 26,000 170 17 170 Josefina 0.10 100 45 27,000 64.9 7 52.5
Con los datos de la Tabla 25 se obtienen los resultados para caudal pico (Qp) y
tiempo al pico (Tp) que se presentan en la Tabla 26.
Tabla 26. Resultados de caudal pico y tiempo al pico
Presa Observado
Modelo BREACH Modelo BRECCIA
Qp (m3/s) Tp (h) Qp (m3/s) Tp (h) Qp (m3/s) Tp (h) Mantaro 10,000 - 14,000 24 13,374 16.31 18,566 54 Josefina 8,400 15.5 6,238 13.6 7,713 52
La sensibilidad de cada modelo se mide según la variación porcentual del resultado
que se calcula con la siguiente expresión:
referencia Qpreferencia Qp - obtenido Qp
(%) Qp ? = Ecuación 133
125
Donde “Qp referencia” es el valor obtenido con el respectivo modelo, utilizando los
datos de la Tabla 25 . De la misma manera se hace para Tp. En la Figura 13 se
muestran los resultados del análisis de sensibilidad. Los gráficos de la Figura 13
muestran para el diámetro medio en el BREACH una limitación importante: en la
caso Mantaro no se produce erosión para un d50 mayor de 11 mm y en el caso La
Josefina ocurre igual para un d50 mayor de 30 mm. En ambos casos un aumento en
el d50 representa un aumento en el Tp pero no representa variación importante en el
Qp. En el modelo BRECCIA el aumento en el d50 se manifiesta con una disminución
en el Qp y un aumento en el Tp en ambos casos. Para la porosidad, los gráficos de
la Figura 13 muestran que los dos modelos presentan un comportamiento similar
con el cambio de este parámetro . El aumento de la porosidad representa un
aumento en Qp y una disminución en Tp. En lo que se refiere al ángulo de fricción, el
BREACH reconoce que un valor de a mayor significa una altura crítica mayor de
acuerdo con la Ecuación 67 , es decir un talud más estable o la posibilidad de un
talud más alto sin la ocurrencia de un colapso súbito. Para el caso Mantaro, con el
aumento de a se producen cambios crecientes y decrecientes con una tendencia de
disminución en el Qp y de aumento en el Tp. Para el caso La Josefina, el aumento de
a representa una disminución en el Qp y aumento en el Tp. El modelo BRECCIA no
utiliza explícitamente el ángulo de fricción del material pero puede asumirse para su
representación el ángulo de la pendiente máxima de la pared de la brecha. El
aumento de este ángulo representa para el caso Mantaro un aumento en el Qp
mientras que en el Tp se presenta una disminución y posteriormente un aumento.
Este comportamiento es contradictorio e inconsistente. Para el caso La Josefina se
produce con el aumento de a una disminución y posteriormente un aumento en el Tp
y en el Qp se producen cambios crecientes y decrecientes con tendencia a la
disminución.
126
Figura 13. Análisis de sensibilidad para los casos Mantaro y La Josefina
Sensibilidad al d50
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0 30 60 90 120 150d50 (mm)
Qp
(%)
Sensibilidad al d50
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 30 60 90 120 150 180
d50 (mm)
Tp
(%)
Sensibilidad a Po
-1000
100200
300
400500
600700800
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0porosidad
Qp
(%)
Sensibilidad a Po
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0porosidad
Tp
(%)
Sensibilidad a α
-80
-60
-40
-20
0
20
0 10 20 30 40 50 60 70
ángulo de fricción (o)
Qp
(%)
Sensibilidad a α
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70
ángulo de fricción (o)
Tp
(%)
Mantaro (BRECCIA) La Josefina (BRECCIA)
Mantaro (BREACH) La Josefina (BREACH)
127
4.3.2 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de parámetros geotécnicos en 13
presas
Otra manera de realizar un análisis de sensibilidad es el estudio de las hidrógrafas
resultantes del rompimiento de la presa. Con el fin de estudiar la sensibilidad de 5
parámetros geotécnicos, se modelan rompimientos en 13 presas. Estos parámetros
son: diámetro medio (d50), porosidad (Po), ángulo de fricción interna (a), peso
específico (γ) y cohesión (Coh). Los datos geométricos se obtienen de la misma
base de datos de las 45 presas ( ANEXO B ), sin embargo, debido a la ausencia de
datos para los parámetros geotécnicos, se han adoptado ciertos valores con base
en experiencias en estudios realizados en el departamento de Antioquia47. Los
parámetros geotécnicos adoptados para la modelación se presentan en la Tabla 27 .
Tabla 27. Parámetros geotécnicos adoptados para la modelación de 13 presas d50
(mm) Po a (°) γ
(kgf/m3) Coh
(N/m2) Referencia 1.5 0.35 35 1,600 23,940
Análisis de sensibilidad 0.05 0.50 22 2,700 0
En la Figura 14 se presentan para cada presa las hidrógrafas obtenidas con los
valores de referencia de la Tabla 27 que constituyen los datos de la hidrógrafa de
referencia y las hidrógrafas obtenidas con los valores del análisis de sensibilidad. Se
ha procedido de manera que sólo se hace cambio en uno de los parámetros
geotécnicos, manteniendo los demás iguales a los valores de referencia de la Tabla
27 . Las hidrógrafas de referencia se han obtenido buscando resultados de caudal
pico lo más cercano posible al valor observado. Con este propósito, en los casos de
falla por tubificación se define la cota de inicio que produzca este resultado. En los
128
casos por sobrevertimiento se limita el crecimiento de la brecha con este mismo
fin. La Tabla 28 presenta los valores de caudal pico obtenidos según las hidrógrafas
de referencia. Los resultados de todas las modelaciones se presentan en la Figura
14 acompañados de los principales resultados de caudal y tiempo. Particularmente
en los casos de tubificación resulta de interés el momento del cambio del flujo
confinado a flujo libre en canal abierto o brecha. Cada uno de los gráficos de la
Figura 14 se acompaña de un comentario con respecto a la sensibilidad mostrada
por los parámetros y de una interpretación del fenómeno con base en la hidrógrafa
resaltando algunos puntos de interés. Los resultados se resumen posteriormente en
la Tabla 29 .
Tabla 28. Resultados de caudal obtenidos para 13 presas con el modelo BREACH
Presa Caudal Observado
(m3/s)
Caudal obtenido con el modelo BREACH
(m3/s) Apishapa 6,850 6,852 Baldwin Hills 1,130 1,134 Buffalo Creek 1,420 242 Castlewood 3,570 5,221 Davis Reservoir 510 514 Frenchman Creek 1,420 1,422 Goose Creek 565 600 Hatchtown 3,080 3,086 Hell Hole 7,360 7,370 Johnstown-South Fork 8,500 14,175 Kelly Barnes 680 524 Schaeffer 4,500 9,053 Teton 65,120 66,121
Los resultados de la Tabla 28 demuestran que la simulación con el modelo
BREACH puede ofrecer resultados de predicción iguales a los observados en 9 de
las 13 presas. Ninguna de las 4 presas restantes había sido rechazada en el análisis
47 GABiS -Gestión del ambiente para el bienestar social-. Grupo de investigación de la Escuela de Ingeniería de Antioquia. Determinación de la llanura de inundación del río Negro por eventual rompimiento de la presa La Fe. Empresas Públicas de Medellín, 2002.
129
estadístico realizado para las 45 presas en el Capítulo 2 aunque Johnstown-South
Fork había rechazado algunas ecuaciones de predicción en el análisis realizado
para estas.
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas
ApishapaFalla por tubificación
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref, 0.18H
D=0.05 mm
Por=0.50
Nota: insensibilidad aα=22o
γ =2.7 T/m3
Coh=0
Altura de la presa (m): 34.14 Altura de inicio de tubificación (m): 6.10 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 25.50
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo confinado
a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 1.50 6,851.6 1.50 6,851.6 D50= 0.05 mm 3.13 3,140.6 2.77 3,228.5 Po= 0.50 1.22 7,507.3 1.22 7,538.3 α= 22o 1.50 6,850.9 1.50 6,851.6 γ= 2,700 kgf/m3 1.50 6,850.9 1.50 6,851.6 C = 0 1.50 6,850.9 1.50 6,851.6
En este caso se presentan variaciones en el caudal y en el tiempo con los cambios
en el diámetro medio y en la porosidad, pero no se presentan variaciones con los
cambios en los otros tres parámetros (ángulo de fricción, peso específico y
cohesión). Se destaca en las hidrógrafas el cambio súbito en el caudal cuando el
flujo confinado pasa a canal abierto. Esto se explica por la disminución en la carga
hidráulica debido a la elevación del piso de la brecha (antes fondo del conducto de
130
tubificación) provocado por el material de suelo presente entre la clave del conducto
y la cresta de la presa. El caudal pico se presenta durante la tubificación o en el
instante del cambio de flujo confinado a libre.
131
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
Baldwin HillsFalla por tubificación
0
200
400
600
800
1,000
1,200
1,400
1,600
1,800
2,000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref, 0.88H
D=0.05 mm
Por=0.50
Coh=0
α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 71.00 Altura de inicio de tubificación (m): 62.70 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 7.30
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
(h)
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 0.60 241.0 1.39 1,134.4 D50= 0.05 mm 1.07 107.5 2.44 1,094.6 Por= 0.5 0.48 271.6 1.07 1,638.3 α= 22o 0.60 241.0 1.69 882.3 γ= 2,723 kgf/m3 0.60 241.0 2.03 781.6 C = 0 0.60 240.8 1.66 1,905.0
Se presentan variaciones en el caudal y el tiempo muy notables. El tiempo de
cambio de flujo confinado a libre se ve afectado sólo por el cambio de diámetro y
porosidad. Se presentan también colapsos por falta de estabilidad en los taludes de
la brecha debidos a la gran altura de la presa como por ejemplo a las 0.8 h en la
hidrógrafa de referencia, a las 1.6 h en la del cambio de d50, a las 0.6 h en la del
cambio de porosidad y en la sin cohesión. Sin duda la variabilidad en los resultados
es propiciada por la altura considerable de la presa. Observando las hidrógrafas se
aprecia que el desembalse más rápido ocurre en los casos sin cohesión y con mayor
132
porosidad. Ambos tienen relación directa con el rápido aumento del tamaño de la
brecha.
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
Buffalo CreekFalla por tubificación
0
50
100
150
200
250
300
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref, 0.02H
D=0.05 mm
Por= 0.50
Nota: insensibilidad aα=22o
γ =2.7 T/m3
Coh=0
Altura de la presa (m): 14.02 Altura de inicio de tubificación (m): 0.30 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 13.72
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
(h)
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia no hay cambio 0.66 242.44 D50= 0.05 mm no hay cambio 0.79 136.22 Por= 0.5 no hay cambio 0.54 281.37 α= 22o no hay cambio 0.66 242.36 γ= 2,723 kgf/m3 no hay cambio 0.66 242.36 C = 0 no hay cambio 0.66 242.36
Sólo se presenta sensibilidad al d50 y a la porosidad. El diámetro menor permite
que el proceso erosivo se inicie desde más temprano produciendo una hidrógrafa de
menor altura. La mayor porosidad provoca un crecimiento mayor del conducto
alcanzando el máximo caudal en el menor tiempo. No se presentan variaciones con
los cambios en los otros tres parámetros (ángulo de fricción, peso específico y
cohesión).
133
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
CastlewoodFalla por sobrevertimiento
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref
D=0.05 mm
Por= 0.50
Coh=0
Nota: insensibilidad a α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 21.34 Nivel inicial del embalse (m): 21.40
Parámetros geotécnicos
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 0.50 5,220.7 D50= 0.05 mm 0.50 5,390.1 Por= 0.5 0.45 5,530.2 α= 22o 0.46 5,126.7 γ= 2,723 kgf/m3 0.58 3,820.7 C = 0 0.70 4,255.5
En esta falla por sobrevertimiento se produce un crecimiento de la brecha casi
instantáneo a partir de cierto tiempo durante el cual el proceso erosivo se ha
producido en el piso y paredes de la brecha. El piso de la brecha alcanza
rápidamente la base de la presa. A partir de ese momento se hace mayor la erosión
en las paredes, la brecha aumenta su capacidad de descarga y se alcanza
rápidamente el caudal pico. Los tiempos en los cuales el piso de la brecha alcanza la
base de la presa son: 0.45 para la hidrógrafa de referencia, la de cambio de a y la
de cambio de γ, 0.46 para la del cambio de diámetro, 0.34 para la de cambio de
porosidad y 0.69 para la de cambio de cohesión. Las mayores diferencias con la
hidrógrafa de referencia las presentan las del cambio de peso específico y cohesión.
134
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
Davis ReservoirFalla por tubificación
0
100
200
300
400
500
600
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
Ref, 0.03H
D=0.05 mm
Por= 0.50
Nota: insensibilidad a γ =2.7 T/m3
α=22o
Coh=0
Altura de la presa (m): 11.89 Altura de inicio de tubificación (m): 0.30 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubifi cación (m): 10.20
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
(h)
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia no hay cambio 0.67 514.0 D50= 0.05 mm no hay cambio 3.07 509.1 Por= 0.5 no hay cambio 0.52 514.5 α= 22o no hay cambio 0.52 514.5 γ= 2,723 kgf/m3 no hay cambio 0.67 514.0 C = 0 no hay cambio 0.67 514.0
En esta presa de pequeña altura no se presentan cambios considerables en los
valores de caudal máximo debido a los cambios en los valores de los parámetros
geométricos. Lo más notable es el proceso más gradual que se observa cuando se
hace el cambio de diámetro, en el cual el caudal máximo se presenta en mayor
tiempo que en los demás casos.
135
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
Frenchman CreekFalla por tubificación
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
0 2 4 6 8 10
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref, 0.02H
D=0.05 mm
Por=0.50
Coh=0
α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 12.50 Altura de inicio de tubificación (m): 0.30 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 8.64
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
(h)
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 1.83 971.9 4.87 1,422.3 D50= 0.05 mm 4.95 588.7 8.83 643.4 Por= 0.5 1.45 1,013.3 3.72 2,015.7 α= 22o 1.83 971.9 4.57 1,492.7 γ= 2,723 kgf/m3 1.83 971.5 4.27 1,419.6 C = 0 1.83 971.5 4.20 1,104.2
A pesar de su pequeña altura, similar al de la presa anterior (Davis Reservoir), los
resultados de caudal y tiempo son muy diferentes. Existe otro parámetro muy
influyente en los resultados, que será analizado más adelante (sección 4.3.3 ): la cota
de inicio de tubificación o si se prefiere, la carga hidráulica inicial (nivel inicial del
embalse menos cota de inicio de tubificación). Allí se encuentra la explicación de
esa diferencia. Por ahora interesa decir que en este caso la mayor sensibilidad se
presenta para el d50 y la porosidad. El cambio de diámetro a un tamaño menor
136
representa un cambio más gradual en la hidrógrafa. El cambio de porosidad a un
valor mayor, significa un crecimiento más acelerado de la brecha y por lo tanto un
mayor caudal máximo.
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
Goose CreekFalla por sobrevertimiento
0
100
200
300
400
500
600
700
3 4 5 6 7 8
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
Ref
D=0.05 mm
Por=0.50
Coh=0
Nota:Insensibilidad a α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 6.10 Nivel inicial del embalse (m): 6.11
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 5.55 600.3 D50= 0.05 mm 5.83 597.4 Por= 0.5 4.08 598.0 α= 22o 5.55 600.3 γ= 2,723 kgf/m3 5.55 600.3 C = 0 7.37 595.8
En este nuevo caso de falla por sobrevertimiento no se presentan diferencias
significativas en los resultados del caudal máximo pero sí en los tiempos. El
comportamiento de la brecha es similar al de Castlewood: el caudal aumenta a partir
del momento en el que el piso de la brecha alcanza la base de la presa y la erosión
lateral se intensifica. El crecimiento de la brecha es similar en todos los cambios de
parámetro debido a la poca altura de la presa. Se puede concluir sin embargo, con
137
base en los tiempos al caudal pico que la mayor porosidad acelera el proceso
erosivo y por tanto el más rápido crecimiento de la brecha.
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
HatchtownFalla por tubificación
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref, 0.81H
D=0.05 mm
Por=0.50
Coh=0
α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 19.20 Altura de inicio de tubificación (m): 15.54 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 2.19
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
(h)
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 0.58 29.4 1.92 3,085.8 D50= 0.05 mm 1.33 30.0 2.65 3,085.4 Por= 0.5 0.44 29.4 1.66 3,821.0 α= 22o 0.58 29.4 2.10 2,956.2 γ= 2,723 kgf/m3 0.58 29.4 2.32 2,837.7 C = 0 0.58 29.3 1.91 2,536.9
La observación de las hidrógrafas permite concluir que los mayores efectos se
producen en los cambios de diámetro y de porosidad. De nuevo la mayor porosidad
acelera el comienzo del proceso erosivo mientras que el d50 lo retrasa. Debido a
ello, los tiempos de cambio de flujo confinado a libre se ven afectados notablemente
con la variación de estos dos parámetros.
138
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
Hell HoleFalla por tubificación
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
Ref, 0.45H
D=0.1 mm
Por=0.50
α=22o
Nota: la hidrógrafa de γ =2.7 T/m3
y la de Coh=0 son similares a la de α=22o
Altura de la presa (m): 67.06 Altura de inicio de tubificación (m): 30.48 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 15.23
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
(h)
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 1.57 1,959.4 2.08 7,370.2 D50= 0.1 mm 2.39 1,083.6 4.56 5,640.8 Por= 0.5 1.24 2,166.3 1.64 8,564.5 α= 22o 1.57 1,959.4 2.10 8,321.2 γ= 2,723 kgf/m3 1.57 1,959.4 2.06 8,533.8 C = 0 1.57 1,959.4 2.08 8,384.1
En esta presa de altura considerable se hace evidente la influencia de dos
parámetros geotécnicos en particular: el d50 y la porosidad. Se concluye de nuevo
que la mayor porosidad acelera el proceso erosivo mientras que el menor diámetro
lo retrasa. Los tiempos de cambio de flujo confinado a libre se ven notablemente
afectados así como el valor del caudal máximo para los casos de cambio de
diámetro y de porosidad.
139
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
Johnstown-South ForkFalla por sobrevertimiento
0
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref
D=0.05 mm
Por=0.50
Coh=0
Nota: lnsensibilidad a α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 38.10 Nivel inicial del embalse (m): 38.13
Parámetros geotécnicos
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 3.63 14,174.7 D50= 0.05 mm 3.87 14,874.2 Por= 0.5 2.59 14,464.0 α= 22o 3.61 14,413.7 γ= 2,723 kgf/m3 3.61 15,245.5 C = 0 4.13 13,505.6
En este caso de sobrevertimiento, los parámetros de mayor sensibilidad son la
porosidad, el d50 y la cohesión. El comportamiento de la erosión es similar al de los
otros dos casos de falla por sobrevertimiento analizados atrás (Castlewood y Goose
Creek). En el momento en el cual el piso de la brecha ha llegado a la base de la
presa, el proceso de erosión en las paredes produce un agrandamiento acelerado
de la brecha con el consecuente aumento súbito del caudal.
140
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
Kelly BarnesFalla por tubificación
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref, 0.97H
D=0.05 mm
Por=0.50
Coh=0
α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 11.58 Altura de inicio de tubificación (m): 11.28 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 0.30
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
(h)
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 0.69 0.2 1.05 524.1 D50= 0.05 mm 0.65 0.2 1.00 547.0 Por= 0.5 0.53 0.2 0.88 599.6 α= 22o 0.69 0.2 0.95 708.5 γ= 2,723 kgf/m3 0.69 0.2 0.95 706.4 C = 0 0.69 0.2 >8.05 no lo alcanza
Este caso de falla por tubificación se parece mucho los de falla por sobrevertimiento
debido a que la cota de inicio de la tubificación está a sólo 0.30 m de la cresta de la
presa. Por ello los tiempos de cambio de flujo confinado a libre son muy pequeños
(0.2 h) e iguales. Los resultados de caudal principalmente muestran sensibilidad a
los 5 parámetros mientras que los tiempos al caudal pico no varían notablemente,
con excepción cuando la cohesión es cero que no hay un desarrollo de la brecha en
el intervalo de tiempo de modelación (8.05 h). Sin cohesión se produce cambio en el
141
ángulo de los taludes laterales de la brecha que no ocurre en los demás casos. En
este caso no se alcanza el caudal máximo porque el modelo llega al límite de
iteraciones (5000) y se detiene la simulación.
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
SchaefferFalla por sobrevertimiento
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
0 1 2 3 4 5
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
Ref
Por=0.50
Coh=0
Nota:no hay corrida con D< 1.5 mm.Insensibilidad a:α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 30.50 Nivel inicial del embalse (m): 30.62
Parámetros geotécnicos
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 4.35 9,053.4 D50= 0.05 mm Por= 0.5 1.18 8,880.3 α= 22o 4.34 8,474.1 γ= 2,723 kgf/m3 4.35 8,841.1 C = 0 >5.93 no hay erosión
Se producen hidrógrafas similares a los demás casos de falla por sobrevertimiento
debido a la manera casi instantánea como el piso de la brecha llega a la base de la
presa. Como se ha presentado en casos anteriores, la mayor porosidad acelera el
proceso de erosión. Se presentan dos dificultades en la modelación: con el cambio
de diámetro el modelo no realiza ninguna simulación y con el cambio de porosidad
se llega al máximo de iteraciones sin haber alcanzado un desarrollo de la
142
brecha. Los resultados que se obtienen de caudal pico difieren notablemente de los
valores observados.
Figura 14. Estudio de sensibilidad de 5 parámetros geotécnicos en 13 presas (viene de la p. anterior)
TetonFalla por tubificación
0
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
70,000
80,000
90,000
100,000
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) Ref, 0.69H
D=0.05 mm
Por=0.50
Coh=0
α=22o
γ =2.7 T/m3
Altura de la presa (m): 92.96 Altura de inicio de tubificación (m): 64.01 Nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación (m): 27.49
Parámetros geotécnicos
Tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
(h)
Caudal en el cambio
de flujo confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Referencia 1.89 11,762.0 2.30 65,199.4 D50= 0.05 mm 4.97 6,159.7 5.55 49,314.0 Por= 0.5 1.49 12,575.1 1.84 67,585.2 α= 22o 1.89 11,762.0 2.31 86,400.9 γ= 2,723 kgf/m3 1.89 11,762.0 2.30 71,699.8 C = 0 1.89 11,762.0 2.31 81,759.8
Para este famoso caso se presenta sensibilidad a todos los parámetros, pero con
resultados de caudal cercanos al caudal observado en todos los casos. Las mayores
variaciones se presentan en el tiempo al pico principalmente para el cambio en la
porosidad donde el tiempo al pico en la hidrógrafa es menor que en la de la
referencia, y para el cambio en el diámetro que como en otros casos, retrasa el
comienzo de la erosión cuando se disminuye su valor.
143
La Tabla 29 es un cuadro comparativo de los caudales pico y los tiempos al caudal
pico de los resultados de los archivos de referencia con los originados por el cambio
de cada parámetro geotécnico.
Tabla 29. Resumen del estudio de sensibilidad de los parámetros geotécnicos para 13 presas
Presa Tipo
de falla
d50
Ref: 1.5 mm
Cambio: 0.05 mm
Porosidad
Ref: 0.35
Cambio: 0.50
Ángulo de fricción
Ref: 35o
Cambio: 22o
Peso específico
Ref: 1.6 T/m3
Cambio: 2.7 T/m3
Cohesión
Ref: 2.9 KPa
Cambio: 0 KPa
Apishapa Tubificación Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q=Qref
T=Tref
Q=Qref
T=Tref
Q=Qref
T=Tref
Baldwin Hills Tubificación Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T>Tref
Buffalo Creek Tubificación Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T=Tref
Q>Qref
T>Tref
Q>Qref
T>Tref
Q>Qref
T>Tref
Castlewood Sobrevertimiento. Q>Qref
T=Tref
Q>Qref
T<Tref
Q<Qref
T<Tref .
Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T>Tref
Davis Reservoir Tubificación Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Q=Qref
T=Tref
Q=Qref
T=Tref
Frenchman Creek Tubificación Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Q<Qref
T<Tref
Q<Qref
T<Tref
Goose Creek Sobrevertimiento Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T<Tref
Q=Qref
T=Tref
Q=Qref
T=Tref
Q<Qref
T>Tref
Hatchtown Tubificación Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T<Tref
Hell Hole Tubificación Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T=Tref
Johnstown-South Fork Sobrevertimiento Q>Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Q<Qref
T>Tref
Kelly Barnes Tubificación Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
no alcanza máximo caudal en tiempo < 8.05
Schaeffer Sobrevertimiento No hubo corrida Q<Qref
T<Tref
Q<Qref
T<Tref
Q<Qref
T=Tref
no se desarrolla la brecha en tiempo < 5.9
Teton Tubificación Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T>Tref
Q>Qref
T=Tref
Q>Qref
T>Tref
De acuerdo con la información de la Tabla 29 , resumen cualitativo de los resultados
de la Figura 14 , se puede concluir con relación a la sensibilidad de los resultados en
cuanto al caudal y al tiempo por cambios en los 5 parámetros geoténicos:
1. Sensibilidad al d50 (disminución de 1.5 mm a 0.05 mm): la disminución del d50
produce una disminución en el caudal en la mayoría de los casos (en 9 de los 13),
un aumento del caudal en tres de ellos y una corrida abortada. El tiempo al pico
aumenta en 10 de los casos, disminuye en uno y permanece igual en otro.
144
2. Sensibilidad a la Porosidad (aumento de 0.35 a 0.50): el aumento en la
porosidad produce un aumento en el caudal en la mayoría de los casos (en 11 de
los 13) y una disminución en 3. El tiempo al pico disminuye en 12 de los casos y
permanece igual en uno.
3. Sensibilidad al ángulo de fricción (disminución de 35º a 22º): aunque hay cierta
tendencia al aumento del caudal pico con la disminución del ángulo de fricción (7
casos de los 13), también se presenta disminución en 4 casos y permanencia del
mismo valor de referencia en dos. En cuanto al tiempo al pico permanece igual
en dos casos, aumenta en 6 y disminuye en cinco. No hay una tendencia tan
marcada en cuanto a la influencia del cambio de este parámetro en los valores de
caudal pico y tiempo al pico, como en los de d50 y porosidad.
4. Sensibilidad al peso específico (aumento de 1.6 T/m3 a 2.7 T/m3): los cambios en
el caudal se presentan en las dos direcciones con un aumento en 5 casos, la
disminución en 5 y permanece igual en tres. El tiempo al pico permanece igual en
5 casos, aumenta en 4 y disminuye en 4.
5. Sensibilidad a la cohesión (disminución de 2.9 kPa a 0): se presentan cambios
en el caudal en las dos direcciones, con aumento en 4 casos, disminución en 5 y
permanencia sin cambio en 2. El tiempo al pico se mantiene igual en 3 casos,
aumenta en 6 y disminuye en dos casos, presentándose problemas en los
resultados en los dos casos restantes.
Como conclusión general se puede afirmar que las influencias más definidas en los
resultados de caudal pico y tiempo al pico se presentan con el cambio en el d50 y en
la porosidad.
145
Un acontecimiento relevante en el proceso de rompimiento de la presa cuando la
falla se ha iniciado por tubificación, es el cambio del flujo confinado a flujo libre, es
decir, el paso de conducto cerrado (tubo) a brecha. El momento de ocurrencia de
esta transición es definitivo en el resultado del caudal y del tiempo al pico. En las 13
presas analizadas anteriormente, se produce esta transición en 7 presas: Apishapa,
Baldwin Hills, Frenchman Creek, Hatchtown, Hell Hole, Kelly Barnes y Teton. La
Figura 15 presenta dos gráficos comparativos de los resultados de tiempo en el cual
se realiza la transición en la condición de flujo, cuando se cambia el valor del d50 y
de la porosidad. Como una confirmación de lo concluido en el capítulo anterior ( 4.3.2
) se observa que una mayor porosidad aumenta el caudal pico y un menor diámetro
medio disminuye el caudal pico. En cuanto al tiempo en el cual se da el cambio de
flujo confinado a libre, se muestra que la mayor porosidad induce un cambio más
rápido y que un menor diámetro retrasa el cambio. Esto se cumple para todos los
casos con una sola excepción relacionada con el tiempo de la transición en la presa
Kelly Barnes cuando se hace el cambio de d50 del archivo de referencia por el
menor valor.
146
Figura 15. Resultados del análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 7 presas
Sensibilidad de la carga hidráulica inicial con cambios en D50 y porosidad
0
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
0 5 10 15 20 25 30Carga hidráulica inicial (m)
Cau
dal (
m3 /s
)
Sensibilidad de la carga hidráulica inicial con cambios en D50 y porosidad
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6Tiempo de cambio de flujo confinado a libre (h)
Car
ga h
idrá
ulic
a in
icia
l (m
)
Valor de D50= 1.5 mm y Porosidad= 0.50 Valor de referencia: D50= 1.5mm y Porosidad= 0.35 Valor de D50= 0.05 mm y Porosidad= 0.35
147
4.3.3 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de la cota de inicio de tubificación
para 9 presas
Un estudio sistemático se ha realizado para 9 presas del mismo grupo de las 13
anteriores, donde se ha producido la falla por tubificación. Se trata en este caso de
analizar la influencia que tiene en los resultados la determinación de la cota de inicio
de tubificación, o interpretado de otra manera, la influencia de la carga hidráulica
inicial (nivel inicial del embalse menos cota de inicio de tubificación). Se han definido
distintas alturas con respecto a la altura de cada presa. Los valores de los
parámetros geotécnicos son los de referencia presentados en la Tabla 25 . Y la
hidrógrafa de referencia es la misma para cada presa de las consideradas en el
análisis de sensibilidad para los 5 parámetros geotécnicos (numeral 4.3.2 ). Los
resultados se presentan en la Figura 16 . Como en el numeral anterior, cada gráfico
de la Figura 16 va acompañado de una tabla de resultados y de un comentario a
manera de conclusión.
148
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas
Apishapa
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
HPI= 0.8H
HPI= 0.4H
Ref, 0.18H
HPI= 0.1H
Altura de la presa (m): 34.14
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
0.8H 27.31 4.29 0.82 156.4 2.10 5,090.6 0.4H 13.66 17.94 1.24 3,909.3 1.77 5,181.8
Ref, 0.18H 6.10 25.50 1.50 6,851.6 1.50 6,851.6 0.1H 3.41 28.18 1.74 6,518.6 1.53 6,731.2
En el caso de Apishapa el caudal de referencia corresponde a una altura equivalente
a 0.18H. Para una altura de 0.1H se obtiene un caudal pico un poco menor para el
mismo tiempo; obsérvese el pequeño retraso en el ascenso de la hidrógrafa y la
mayor pendiente de la misma. El paso de tubificación a brecha se tarda más
tiempo. Si se aumenta la altura de inicio de tubificación a 0.4H se acelera el cambio
de flujo confinado a brecha, pero como se ha reducido la carga hidráulica no se
alcanza un caudal mayor. Para una altura de 0.8H el retraso para el comienzo del
proceso es notable debido a la poca carga hidráulica, sin embargo el cambio de flujo
confinado a brecha se realiza más rápido que para las demás alturas. El caudal
máximo se produce durante tubificación para 0.1H y 0.18H y en flujo libre para 0.4H y
0.8H, siendo superior en magnitud en los primeros.
149
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)
Baldwin Hills
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
Ref, 0.88H
HPI= 0.8H
HPI= 0.4H
HPI= 0.1H
Altura de la presa (m): 71.00
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Ref, 0.88H 62.70 7.30 0.60 241.0 1.39 1,134.4 0.8H 56.80 13.20 0.55 576.0 1.59 775.9 0.4H 28.40 41.60 0.59 2,046.5 0.51 2,641.0 0.1H 7.10 62.90 no hay cambio 0.58 4,198.4
Como en el caso anterior, los caudales pico superiores ocurren cuando la cota de
inicio de tubificación es más baja y el caudal máximo se presenta durante la
tubificación. Debe resaltarse que sólo para 0.1H la erosión se realiza hasta que se
alcanza la base de la presa (aunque no se completa la modelación por motivos no
precisados por el programa BREACH). Esto quiere decir que para las demás
alturas, el piso de la brecha no alcanza a llegar a la base de la presa, por lo tanto no
se lleva a cabo un desembalse completo.
150
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)
Buffalo Creek
0
50
100
150
200
250
300
0 2 4 6 8 10Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
HPI= 0.8H
HPI= 0.4H
HPI= 0.1H
Ref, 0.02H
Altura de la presa (m): 14.02
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
0.8H 11.22 2.80 7.61 6.52 7.51 6.53 0.4H 5.61 8.41 no hay cambio 1.46 91.51 0.1H 1.40 12.62 no hay cambio 0.83 218.97
Ref, 0.02H 0.30 13.72 no hay cambio 0.66 242.44
Los valores superiores se producen en los casos donde el caudal máximo ocurre
durante la tubificación, siendo mayor para la menor altura (0.02H). Para la altura de
0.8H, donde ocurre cambio de flujo confinado a libre, no se alcanza el máximo caudal
debido a que la poca carga hidráulica no logra erosionar la brecha. El modelo no
genera las hidrógrafas completas por causas no precisadas por el programa
BREACH.
151
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)
Davis Reservoir
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
0 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
HPI= 0.8H
HPI= 0.4H
HPI= 0.1H
Ref, 0.03H
Altura de la presa (m): 11.89
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
0.8H 9.51 0.99 0.81 3.8 4.34 5,697.5 0.4H 4.75 5.75 0.46 216.8 3.76 5,657.2 0.1H 1.19 9.31 0.67 487.0 4.03 5,565.8 Ref, 0.03H 0.30 10.20 no hay cambio 0.67 514.0
En este caso, para la altura de referencia (0.03H) la proximidad al piso de la presa
restringe el crecimiento del conducto que controla el caudal de manera que no se
alcanza a producir suficiente erosión, evitando así mismo la transición a brecha. Para
las demás alturas, donde sí se produce la transición a brecha, se alcanzan caudales
pico y tiempos al pico muy similares, todos después de la transición al flujo
libre. Para estos tres casos se realiza un desembalse casi completo.
152
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)
Frenchman Creek
0
200
400
600
800
1,000
1,200
1,400
1,600
1,800
2,000
0 2 4 6 8 10
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
HPI= 0.7H
HPI= 0.4H
HPI= 0.1H
Ref, 0.02H
Altura de la presa (m): 12.50
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
0.7H 8.75 0.20 no hay cambio sin desarrollo 0.4H 5.00 3.94 1.18 127.1 4.83 1,893.3 0.1H 1.25 7.70 1.37 803.4 4.33 1,723.9
Ref, 0.02H 0.30 8.64 1.83 971.9 4.87 1,422.3
Para la altura de 0.7H, con una carga hidráulica inicial de 0.20 m, no se logra ningún
desarrollo del conducto y por lo tanto no hay rompimiento. Para los demás casos, el
cambio de flujo confinado a libre se produce más pronto en la medida en que la
altura de inicio de tubificación es mayor. Los valores superiores de caudal pico
ocurren durante el flujo libre y son mayores en la medida en que se haya dado la
transición más temprano.
153
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)
Hatchtown
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
Ref, 0.81H
HPI= 0.8H
HPI= 0.4H
HPI= 0.1H
Altura de la presa (m): 19.20
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Ref, 0.81H 15.54 2.19 0.58 29.4 1.92 3,085.8 0.8H 15.36 2.38 0.57 36.2 1.91 3,079.7 0.4H 7.68 10.06 0.73 1,209.3 2.11 2,731.7 0.1H 1.92 15.82 1.13 3,212.8 1.13 3,213.7
El caudal pico superior ocurre para el caso en el cual la altura de tubificación es más
baja (0.1H) y donde el caudal máximo se produce durante la tubificación. Para las
demás alturas se produce la transición de flujo confinado a brecha en un menor
tiempo aunque se llega a alcanzar para 0.8H y 0.81H valores de caudal pico
cercanos al producido por 0.1H.
154
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)
Hell Hole
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
) HPI= 0.6H
HPI= 0.5H
Ref, 0.45H
HPI= 0.4H
HPI= 0.1H
Altura de la presa (m): 67.06
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
0.6H 40.24 5.47 no hay cambio >3.86 no lo alcanza 0.5H 33.53 12.18 1.79 1,290.4 2.39 7,807.6
Ref, 0.45H 30.48 15.23 1.57 1,959.4 2.08 7,370.2 0.4H 26.82 18.89 1.41 2,847.8 1.90 6,637.1 0.1H 6.71 39.00 1.11 8,222.9 0.99 8,768.0
En esta presa de gran altura se realizan desembalses completos para todos los
casos con excepción de 0.6H, donde el desarrollo del conducto se detiene porque la
baja carga hidráulica no alcanza a producir más erosión. El valor superior del caudal
pico ocurre para la altura de 0.1H y se produce durante la tubificación. En los demás
casos el caudal pico se produce después de la transición a brecha.
155
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)
Kelly Barnes
0
100
200
300
400
500
600
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
Ref, 0.97H
HPI= 0.8H
HPI= 0.4H
HPI= 0.1H
Altura de la presa (m): 11.58
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
Ref, 0.97H 11.28 0.30 0.69 0.2 1.05 524.1 0.8H 9.26 2.32 0.13 33.7 0.36 514.9 0.4H 4.63 6.95 0.17 416.8 0.17 416.8 0.1H 1.16 10.42 0.35 505.9 0.26 542.4
En esta presa de pequeña altura se presentan dos casos en los que el caudal pico
se produce durante la tubificación y otros dos donde ocurre luego de la transición a
brecha. El valor superior corresponde a 0.1H y se produce durante la
tubificación. Aquí se puede desvirtuar una afirmación hecha en la aplicación de los
modelos paramétricos: que un menor tiempo al pico conducía a un resultado mayor
del caudal pico. Esto es cierto para las hidrógrafas de los modelos paramétricos,
dada su simetría. En el caso particular del BREACH, donde no existe siempre
156
simetría por la posibilidad de transición de flujo libre a confinado (los colapsos
súbitos), y las demás condiciones geotécnicas como la estabilidad de taludes, no se
cumple tal afirmación que relaciona tiempo y caudal.
Figura 16. Análisis de sensibilidad de la carga hidráulica inicial para 9 presas (viene de la p. anterior)
Teton
0
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
70,000
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
HPI= 0.8H
Ref, 0.69H
HPI= 0.4H
HPI= 0.1H
Altura de la presa (m): 92.96
Altura de inicio de tubificación (m):
Carga hidráulica
(m)
Tiempo en el cambio de flujo
confinado a libre (h)
Caudal en el cambio de flujo
confinado a libre (m3/s)
Tiempo al Caudal pico (h)
Caudal pico (m3/s)
0.8H 74.37 17.13 1.40 4,512.5 1.85 66,121.0 Ref, 0.69H 64.01 27.49 1.89 11,762.0 2.30 65,199.4
0.4H 37.19 54.32 2.71 33,822.4 3.26 41,164.5 0.1H 9.30 82.20 3.43 43,388.6 2.88 50,073.0
En Teton los caudales pico se producen después de la transición excepto para
0.1H. Para este caso el valor superior se alcanza con 0.8H. Pueden compararse
estos resultados con los de Hell Hole, la otra presa de gran altura. Cabe destacar la
notable diferencia entre los caudales pico de Teton y los de Hell Hole. Esto se
explica por la gran diferencia en el volumen de los respectivos embalses (356 106 m3
de Teton y 30.6 106 m3 de Hell Hole). Se reconoce así que la única variable de
predicción no debe ser la altura del embalse (hw).
157
La Tabla 30 es un cuadro comparativo de los caudales pico y los tiempos al caudal
pico de los resultados de los archivos de referencia con los originados por el cambio
de cada altura inicial de tubificación.
Tabla 30 Resumen del estudio de sensibilidad de la cota de inicio de tubificación para 9 presas
Referencia 0.8H 0.4H 0.1H
Apishapa 0.18 Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T>Tref
Baldwin Hills 0.88 Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Buffalo Creek 0.02 Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T>Tref
Davis Reservoir 0.03 Q>Qref
T>Tref
Q>Qref
T>Tref
Q>Qref
T>Tref
Frenchman Creek 0.02 no se corrió Q>Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Hatchtown 0.81 Q<Qref
T<Tref
Q<Qref
T>Tref
Q>Qref
T<Tref
Hell Hole 0.45 no se corrió Q<Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Kelly Barnes 0.97 Q<Qref
T<Tref
Q<Qref
T<Tref
Q>Qref
T<Tref
Teton 0.69 Q>Qref
T<Tref
Q<Qref
T>Tref
Q<Qref
T>Tref
Los resultados cualitativos de la Tabla 30 no contribuyen a una conclusión
generalizada. Sin embargo los análisis realizados para cada una de las presa de la
Figura 16 demuestran que es posible hacer interpretaciones juiciosas del fenómeno
de rompimiento con base en los resultados de la modelación.
En la Figura 17 se presentan correlaciones lineales entre la carga hidráulica inicial
con el caudal en la transición (del cambio de flujo confinado a libre) y con el tiempo
en el cual ocurre la transición para las mismas 7 presas de la Figura 15 . Se han
llevado los datos y resultados de la Figura 16 . La Figura 17 demuestra (con una
buena correlación) que una mayor carga hidráulica inicial (es decir, una más baja
cota de tubificación), produce un caudal mayor en la transición; sin embargo, en la
relación de la carga hidráulica inicial con el tiempo en el cual se produce el cambio
de flujo confinado a libre la correlación es muy baja.
158
Figura 17. Correlaciones entre la carga hidráulica inicial con los caudales y el tiempo en el cambio de flujo confinado a libre
Sensibilidad en la cota de inicio de tubificación
y = 5.3735x2.129
R2 = 0.9479
0
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
70,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Carga hidráulica inicial (m)
Cau
dal (
m3 /s
)
Sensibilidad de la cota de inicio de tubificación
y = 0.4071x0.3506
R2 = 0.2977
0
1
2
3
4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Carga hidráulica inicial (m)
Tie
mpo
de
cam
bio
de fl
ujo
conf
inad
o a
libre
(h)
4.3.4 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad al diámetro medio y a la porosidad
para el caso Teton
159
En el apartado 4.3.2 se ha concluido que los parámetros geotécnicos identificados
como de mayor sensibilidad son el diámetro medio y la porosidad. La Figura 18
presenta además de las hidrógrafas de caudal para distintos valores de porosidad,
las curvas que representan la variación en el tiempo del ancho del piso de la
brecha. La línea horizontal que se observa en las curvas de Tiempo versus Bo
corresponden al momento de la transición de tubificación a brecha, y se refieren al
tiempo en el cual es arrastrado el material de suelo proveniente del colapso súbito,
tiempo durante el cual no se desarrolla la brecha. Una vez este material es
transportado el crecimiento de la brecha se realiza con una tasa de tiempo
proporcional con la porosidad (mayor porosidad produce una mayor tasa de
crecimiento del ancho del piso de la brecha), tal como se concluyó en el apartado
4.3.2 .
Figura 18. Sensibilidad a la porosidad para el caso Teton
Sensibilidad a la porosidad (casoTeton )
0
20,000
40,000
60,000
80,000
100,000
120,000
0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
0.15
0.25
0.35
0.45
0.55
0.65
0.85
160
Sensibilidad a la porosidad (casoTeton )
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)
Bo
(m)
0.15
0.25
0.35
0.45
0.55
0.65
0.85
El análisis del d50 es más complejo que el de la porosidad. La Figura 19 permite
identificar dos situaciones que afectan el desarrollo de la brecha: para un diámetro
menor el proceso erosivo comienza más temprano que para uno mayor, pero la tasa
de erosión es menor. Esta última situación es consistente con las conclusiones del
aparatado 4.3.2 , de que un d50 menor retrasa el cambio de flujo confinado a
libre. Sin embargo la combinación de las dos situaciones antagónicas pueden
provocar un cambio en cuanto al tiempo en el que ocurre la transición.
Figura 19. Sensibilidad al diámetro medio para el caso Teton (con cohesión)
Teton (sensibilidad al d50) con cohesión de 0.35 105 kgf/m2
0
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
70,000
80,000
90,000
0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)
0.01
0.05
0.09
0.2
0.5
1
5
8
10
161
Teton (sensibilidad al d50)con cohesión de 0.35 105 kgf/m2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (h)
Bo
(m)
0.01
0.05
0.09
0.2
0.5
1
5
8
10
En la Figura 19 el tiempo en el cual se produce la transición va disminuyendo con el
aumento del diámetro para d50 entre 0.01 mm y 5 mm, pero aumenta directamente
con él para d50 entre 5 mm y 10 mm. Este comportamiento se refleja en las
hidrógrafas particularmente en el tiempo al pico que disminuye con el aumento del
diámetro para d50 entre 0.01 mm y 5 mm, pero aumenta con el aumento del
diámetro para d50 entre 5 mm y 10 mm. El caudal pico en cambio, siempre aumenta
directamente con el diámetro. La Figura 20 presenta otro caso de análisis para el
d50 considerando cohesión nula.
Figura 20. Sensibilidad al diámetro medio para el caso Teton (sin cohesión)
162
Teton (sensibilidad al d50) sin cohesión
0
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
70,000
80,000
90,000
0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)
Cau
dal (
m3 /s
)0.01
0.05
0.09
0.2
0.5
1
5
8
10
Sensibilidad al D50 (caso Teton )sin cohesión
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 1 2 3 4 5 6Tiempo (h)
Bo
(m)
0.01
0.05
0.09
0.2
0.5
1
5
8
10
La cohesión no afecta el crecimiento del piso de la brecha pero si interviene en la
altura crítica de estabilidad de los taludes y por tanto en el crecimiento del ancho
superior de la brecha. Por esta razón, sin cohesión se alcanzan mayores caudales
pico.
4.3.5 Modelo BREACH. Análisis de sensibilidad de una presa a varios parámetros
Si se trata de realizar análisis de sensibilidad a un caso de falla en particular, es
conveniente involucrar todos los parámetros geotécnicos, hidráulicos e
163
hidrológicos. El modelo BREACH permite considerar además de los 5 parámetros
geotécnicos mencionados atrás, el índice de plasticidad, la condición de engramado
en el paramento de aguas abajo de la presa, el número de Manning del cauce del río
en el pie de la presa aguas abajo y el nivel inicial del embalse.
En esta sección se presenta un análisis de sensibilidad para una presa en
Antioquia. Las características geométricas de la presa las presenta la Tabla 31 .
Tabla 31. Características geométricas de la presa y del embalse CARACTERÍSTICA VALOR
Elevación de la cresta (msnm) 2,161
Elevación del fondo (msnm) 2,128
Altura (m) 37.5
Ancho de la cresta (m) 8
Longitud de la cresta (m) 581
Pendiente de la cara aguas arriba Zu, 1(v):Zu(h)
3.5
Pendiente de la cara aguas abajo Zd, 1(v):Zd(h)
3.0
Volumen del embalse (106 m3) 14.04
Los rangos de variación de los parámetros considerados, se han seleccionado en el
caso de los datos geotécnicos con base en ensayos de laboratorio del material
constitutivo de la presa y en el caso de las cotas de inicio de tubificación y niveles del
embalse de acuerdo con un criterio ingenieril y con datos históricos. La Tabla 32
presenta tales valores.
Tabla 32. Rangos de variación de los parámetros para el análisis de sensibilidad
Variable Rango de variación
Diámetro medio de partícula (mm) 0.01 – 0.1
Porosidad (%) 14.75 – 44.5
Ángulo de fricción (o) 0-35
Índice de plasticidad (adimensional) 0 – 10.3
164
Características de engramado (GL-GS) (adimensional) 0.0 – 1.0
n de Manning en la primera sección después de la presa 0.03 – 0.04 – 0.05
Cohesión (kgf/m2) 0.0 – 5,400
Altura de inicio de falla (msnm) 2130 – 2139 – 2151 – 2154
Nivel del embalse (msnm) 2,155.5
En este análisis de sensibilidad se han llevado a cabo distintas combinaciones entre
todos los parámetros, generando 31 casos diferentes. La Tabla 33 presenta los
valores de los parámetros de entrada al modelo para cada caso y los resultados de
caudal pico (Qp) y tiempo al pico (Tp). La Figura 21 recopila todos los casos y
muestra el correspondiente valor de caudal pico. La presa puede ser comparada en
altura con la de Apishapa, estudiada en las secciones 4.3.2 y 4.3.3, pero en
Apishapa los mayores valores de caudal pico se producen durante la tubificación
antes del cambio de flujo confinado a libre. Los caudales máximos sin embargo son
similares para estas dos presas.
165
Tabla 33. Valores de los parámetros considerados para 31 casos de modelación para una presa Caso D50
(mm) Po Grama Manning Coh
(kgf/m2) a HPI
(msnm) IP Qp
(tub.) Qp
(brecha) Tp
1 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,139 10.3 1,653 5.83
2 0.1 0.45 si 0.05 0 30 2,139 10.3 2,137 3.27
3 0.011 0.15 si 0.05 0 30 2,139 10.3 1,359 6.7
4 0.1 0.15 si 0.05 0 30 2,139 10.3 2,240 4.5
5 0.011 0.45 no 0.05 0 30 2,139 10.3 1,653 5.83
6 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,139 10.3 3,238 4.1
7 0.011 0.45 si 0.03 0 30 2,139 10.3 1,653 5.83
8 0.011 0.45 si 0.04 0 30 2,139 10.3 1,653 5.83
9 0.1 0.45 no 0.03 0 30 2,139 10.3 3,238 4.1
10 0.1 0.45 no 0.04 0 30 2,139 10.3 3,238 4.1
11 0.011 0.45 si 0.05 5,400 30 2,139 10.3 1,653 5.83
12 0.1 0.45 no 0.05 5,400 30 2,139 10.3 2,140 3.25
13 0.011 0.45 si 0.05 0 24 2,139 10.3 1,653 5.83
14 0.011 0.45 si 0.05 0 31 2,139 10.3 1,653 5.83
15 0.011 0.45 si 0.05 0 35 2,139 10.3 1,653 5.83
16 0.1 0.45 no 0.05 0 24 2,139 10.3 3,238 4.1
17 0.1 0.45 no 0.05 0 31 2,139 10.3 3,234 4.1
18 0.1 0.45 no 0.05 0 35 2,139 10.3 3,185 4.1
19 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,130 10.3 2,239 4.44
20 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,151 10.3 964 5.14
21 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,154 10.3 850 5.14
22 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,130 10.3 2,917 2.08
23 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,151 10.3 7,833 4.55
24 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,154 10.3 8,495 4.84
25 0.011 0.45 no 0.05 0 30 2,154 10.3 7,324 6.9
26 0.1 15% no 0.05 0 30 2,154 10.3 7,446 5.73
27 0.1 0.45 si 0.05 0 30 2,154 10.3 1,013 4.41
28 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,139 0 1,653 5.83
29 0.011 0.45 si 0.05 0 30 2,139 6.9 1,653 5.83
30 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,154 0 8,495 4.84
31 0.1 0.45 no 0.05 0 30 2,154 6.9 8,495 4.84
HPI= cota de inicio de tubificación
166
Figura 21. Estudio de sensibilidad para una presa en Antioquia (Colombia)
31 casos modelados de una presa (Antioquia, Colombia)
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
21 20 27 3 1 5 7 8 11 13 14 15 28 29 2 12 19 4 22 18 17 6 9 10 16 25 26 23 24 30 31
Identificación del caso
Cau
dal m
áxim
o (m
3 /s)
Tubificación Brecha
Insensibilidad aGL-GS, M, C, α, IP
Insensibilidad aGL-GS, y C
Insensibilidad aM y α
Insensibilidad aIP
En la Figura 21 se han señalado unos tramos horizontales conformados por valores
de caudal pico de varios casos. El primero de estos tramos lo conforman los valores
de caudal pico de los casos 1,5,7,8,11,13,14,15,28 y 29; el segundo, los valores de
caudal pico de los casos 2, 12,19 y 4; el tercero, los de los casos 18,17,6,9,10 y 16;
y el último tramo, los de los casos 24,30,31. Revisando los valores de los parámetros
considerados en estos casos se concluye que existe una muy baja sensibilidad a los
siguientes parámetros: engramado, número de Manning, cohesión, ángulo de fricción
interna e índice de plasticidad. Se concluye entonces que los parámetros de mayor
sensibilidad son el diámetro medio, la porosidad y la cota de inicio de tubificación,
reafirmando lo que se ha trabajado en secciones anteriores ( 4.3.2 y 4.3.3 ). En
general el aumento en la porosidad produce un caudal pico mayor y un tiempo al pico
menor. Un aumento en el diámetro medio también aumenta el caudal y disminuye el
tiempo al pico. En cuanto a la cota de inicio de tubificación se presentan dos
comportamientos contrarios: en los casos donde el caudal pico ocurre durante la
tubificación, un mayor valor de la cota produce un menor caudal; en los casos donde
el caudal pico ocurre después de la trans ición, es decir, en condición de flujo libre, un
mayor valor de la cota produce un mayor caudal.
167
Los saltos que se observan en la gráfica entre los casos 27 y 3, 3 y 1, 29 y 2, 4 y 22,
16 y 25, 25 y 26, 26 y 23, 23 y 24, se explican por el cambio en los valores de
porosidad, diámetro medio y cota de inicio de tubificación.
Utilizando la ecuación de predicción de Barros (2002) para el cálculo del caudal pico
( Ecuación 18 ) se obtiene un valor de 5,547.8 m3/s, valor que está entre el mínimo (
850 m3/s) y el máximo ( 8,495 m3/s) obtenido en la modelación de los 31 casos
utilizando el BREACH.
168
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Se han analizado en este trabajo tres métodos de predicción para el caudal pico
resultante en un rompimiento de presa: ecuaciones de predicción (Capítulo 2 ),
modelos paramétricos (Capítulo 3 ) y modelos matemáticos físicamente basados
(Capítulo 4 ). Se presentan a continuación algunas conclusiones en particular para
cada método de predicción y en general con relación al uso conjunto de los mismos.
5.1 LAS BASES DE DATOS
Se ha contado con una base de datos bien documentada de 108 presas ( ANEXO A
), a partir de la cual se ha logrado construir otra base de datos de 45 presas
(ANEXO B ). Esta última base de datos ha sido utilizada en los tres métodos de
predicción para el estudio del caudal pico y puede ser utilizada además en el estudio
del tiempo al pico y en el del desarrollo de la brecha. Sería conveniente aumentar
además el número de presas documentadas de manera que se puedan hacer
análisis mediante una agrupación más numerosa de casos similares. La base de
datos contiene en su mayoría pequeñas presas ( Figura 1 ).
A pesar de la considerable cantidad de eventos en masa por deslizamiento,
generadores de presas naturales en nuestros andinos ríos de montaña, hace falta un
esfuerzo por recopilar la información que pueda existir en los informes técnicos de
los organismos de atención de desastres y una mayor dedicación por parte de ellos
para que esa documentación contribuya a un mejor conocimiento de casos y al
estudio de riesgos por rompimiento de presas naturales. La ocurrencia de desastres
de gran proporción como los casos Mantaro en el Perú (p. 32 ) y La Josefina en
169
Ecuador (p. 34 ) demuestran la necesidad de darle atención al tema del rompimiento
de presas de tierra naturales.
Conviene también que las empresas propietarias de presas dediquen atención al
tema del rompimiento. En este caso se hace indispensable el uso de modelos de
predicción para la obtención del caudal pico y preferiblemente de la hidrógrafa del
rompimiento que ha de ser transitada aguas abajo de la presa para la determinación
de la llanura y los tiempos de inundación. En este sentido, las Empresas Públicas de
Medellín han entendido la importancia de estas investigaciones y han apoyado varios
estudios de modelación del rompimiento y del tránsito de la creciente producida.
Con los casos de falla que se relatan en el Capítulo 1 (Teton, Mantaro y La Josefina)
se quiere mostrar la manera como han ocurrido rompimientos de presa catastróficos
para que se entienda la magnitud que puede alcanzar el fenómeno y sus
consecuencias.
5.2 LAS ECUACIONES DE PREDICCIÓN
Existe una numerosa variedad de ecuaciones estadísticas conocidas como
ecuaciones de predicción para el desarrollo de la brecha y para el caudal pico. Estas
ecuaciones relacionan variables independientes como la altura de presa (hd, hb) o
características del embalse como profundidad (hw), capacidad (S) y volumen de
almacenamiento (Vw), con variables de interés como el ancho promedio de brecha
( B )y el tiempo de falla (tf) para el caso de desarrollo de la brecha o con el caudal
pico (Qp). La aplicación de las ecuaciones es muy sencilla debido a que
normalmente dependen de una o máximo dos variables, pero es tan solo una
aproximación dada las complejas condiciones del fenómeno de rompimiento, donde
se distinguen principalmente tres tipos de falla: el sobrevertimiento, la tubificación y
170
los defectos de fundación. La predicción del desarrollo de la brecha presenta mayor
dificultad que la del caudal pico debido a las características del proceso. Se puede
determinar el máximo caudal (caudal pico) a pesar de que la hidrógrafa del
rompimiento pudiera presentar varios picos de caudal, pero no es sencillo
determinar el máximo desarrollo del conducto o de la brecha debido a los diferentes
fenómenos que intervienen en el proceso además de la erosión, como son el
colapso en el cambio de flujo confinado a libre (de tubificación a brecha) o los
sucesivos colapsos de los taludes por inestabilidad geotécnica
Se desarrolló un completo análisis estadístico tanto para las 45 presas como para
las 13 ecuaciones de predicción para el caudal pico, siguiendo criterios de
Chauvenet (con base en la media) y de Rousseeuw (con base en la mediana),
utilizados para determinar el rechazo de datos que estén por fuera de cierta
distancia de los demás valores de la muestra. Aunque el criterio de Rousseeuw ha
demostrado mayor exigencia en las aplicaciones realizadas, ambos criterios son
consecuentes con las determinaciones de rechazo y se pueden utilizar como
complementarios. El análisis estadístico ha sido utilizado para depurar las bases de
datos de las variable independientes (hw, hb, hd, S, Vw), llevar a cabo nuevas
correlaciones entre cada una de estas variables o su combinación (hw*Vw, S*hd) y el
caudal pico observado, y proponer con base en los coeficientes de determinación de
estas correlaciones una nueva ecuación de predicción (ecuación de Barros (2002),
Ecuación 18 ). La misma clase de análisis estadísticos puede desarrollarse con
otros datos de presas o con ecuaciones de predicción adicionales.
5.3 LOS MODELOS PARAMÉTRICOS
Se presentan dos modelos paramétricos. Estos modelos son de fácil aplicación y se
complementan de manera estrecha con las ecuaciones de predicción. El
171
requerimiento de un coeficiente de erosión cuyo valor puede estar en un rango de
varios órdenes de magnitud ( Tabla 21 ), produce para una misma presa caudales en
iguales órdenes de magnitud. Para controlar esta situación se ha utilizado la
ecuación de Barros (2002) para determinar un caudal pico y dos valores extremos
(mínimo y máximo) de una banda de confianza del 95%. Con los tres valores de
caudal pico se obtienen los correspondientes coeficientes de erosión con la
ecuación que relaciona el caudal pico con el coeficiente de erosión, la altura y la
sección transversal de la presa y el área media superficial del embalse ( Ecuación
56 ).
Se presentan dos modelos: un modelo propuesto por Singh que considera el ancho
de la brecha constante y otro propuesto por Pacheco-Barros que considera el
desarrollo del ancho de la brecha manteniendo su profundidad constante. Se realiza
una aplicación a 13 presas de la base de datos utilizando la ecuación de Barros
(2002) y generando las hidrógrafas para los correspondientes coeficientes de
erosión. La generación de esta hidrógrafa provee un valor agregado si se considera
la determinación del tiempo al pico que se resuelve con la aplicación del modelo
paramétrico ( Ecuación 51 ).
5.4 LOS MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICAMENTE BASADOS
Se describen dos modelos matemáticos físicamente basados: BREACH y
BRECCIA. Estos modelos emplean además de las variables utilizadas en los otros
métodos (las ecuaciones de predicción y los modelos paramétricos), parámetros
relacionados con las propiedades del material de la presa, geometría de la presa y
curvas de calibración del embalse.
172
Se realiza un análisis de sensibilidad mediante la aplicación de los dos modelos a
los casos Mantaro y La Josefina para analizar el cambio en los resultados de caudal
pico y de tiempo al pico, debido a la variación en los valores del diámetro medio, la
porosidad y el ángulo de fricción. En general se cumple que el aumento en el
diámetro medio produce una disminución en el caudal pico y un aumento en el
tiempo al pico; un aumento en la porosidad produce un aumento en el caudal pico y
disminución en el tiempo al pico; los resultados por el cambio en el ángulo de fricción
no muestran una tendencia marcada hacia un solo sentido.
Se llevan a cabo aplicaciones con el BREACH a 13 presas de la base de datos con
el fin de analizar la sensibilidad a cinco parámetros geotécnicos. Se analiza la
situación en cada presa y en general se concluye que: la disminución del diámetro
medio produce disminución en el caudal y aumento en el tiempo al pico (esta
afirmación aunque contradice la conclusión del párrafo anterior no es discutible dado
que no es determinante en todos los casos sino en la mayoría); el aumento en la
porosidad produce aumento en el caudal y disminución en el tiempo al pico. La
sensibilidad de los otros tres parámetros (ángulo de fricción, peso específico y
cohesión) no es tan marcada como para el diámetro medio y la porosidad, y los
resultados presentan con el cambio en el valor del parámetro tendencias en ambos
sentidos.
Se realiza también un análisis de sensibilidad a la cota de inicio de la tubificación
aplicando el BREACH a 9 presas de falla por tubificación. Las consideraciones del
modelo en cuanto al desarrollo de la brecha (cambio de tubificación a brecha (
Ecuación 64 )), colapso en los taludes de acuerdo con una altura crítica de
estabilidad ( Ecuación 67 ), permiten obtener hidrógrafas de forma muy distinta a las
simétricas que se obtienen con los modelos paramétricos. La revisión de los
resultados del BREACH permite conocer la ocurrencia de los cambios en la brecha y
173
la situación en cada instante, de la brecha (sus dimensiones) y del embalse (su
nivel). Se demuestra la directa relación entre la carga hidráulica inicial sobre el
conducto de tubificación con el resultado del caudal que se presenta durante la
transición de flujo confinado a libre, cuando el conducto cerrado se convierte en canal
abierto o brecha ( Ecuación 17 ). Así mismo se muestra la baja correlación de esa
carga hidráulica con el tiempo en el que se produce el cambio. Debe reconocerse
que estos resultados no dependen únicamente de la altura de la presa y de la cota
de inicio de la tubificación sino también del volumen del embalse que determina la
tasa de cambio del nivel y por lo tanto la variación de la carga hidráulica.
Se estudia con el BREACH la sensibilidad de los resultados en el caso Teton para
cambios en la porosidad y en el diámetro medio teniendo en cuenta en este último
parámetro la influencia de la cohesión. Se concluye que el aumento en la porosidad
produce aumento en el caudal pico y disminución en el tiempo al pico; el aumento en
el diámetro medio produce aquí siempre un aumento en el caudal, pero dos
situaciones distintas para el tiempo al pico según el valor del diámetro: si el diámetro
es menor de 5 mm, la disminución del diámetro produce un aumento en el tiempo al
pico y si es mayor de 5 mm, el aumento del diámetro produce aumento en el tiempo
al pico. Se reconoce la influencia de la cohesión particularmente con el aumento del
caudal pico cuando es nula.
Finalmente se presenta un caso de falla hipotética para una presa en el
departamento de Antioquia con resultados de caudal y tiempo al pico para 31 casos
de combinaciones de cinco parámetros geotécnicos, condición de engramado del
paramento de aguas abajo de la presa y valor del número de Manning del cauce en
el pie de la presa. Se reafirma la mayor influencia en los resultados por cambios en
el valor del diámetro medio, la porosidad y la cota de inicio de tubificación. El mayor
valor de caudal pico se obtiene en este caso cuando se presenta después de la
174
transición de flujo confinado a libre. El aumento de la porosidad y del diámetro
aumentan el caudal pico y disminuyen el tiempo al pico. La cota de inicio de
tubificación varía los resultados en una dirección o en otra, dependiendo si el caudal
máximo se alcanza durante la tubificación o después de la transición a flujo libre:
cuando el máximo caudal ocurre en tubificación, al aumentar la cota de inicio de
tubificación ocurre disminución en el caudal pico; cuando el máximo caudal ocurre
después de la transición a flujo libre, al aumentar la cota de inicio de tubificación se
obtienen caudales pico mayores. Se calcula el caudal pico con la ecuación de
predicción de Barros (2002) obteniéndose un valor comprendido entre el mínimo y el
máximo de la modelación con el BREACH.
5.5 RECOMENDACIONES Y ESTÍMULO PARA OTRAS INVESTIGACIONES
Si bien se ha llevado a cabo un recorrido por los principales métodos de predicción,
son considerables las diferentes propuestas que pueden encontrarse en cada uno de
estos métodos. Por ejemplo, en la medida en que se logren agrupar más presas
bien documentadas a la base de datos, será posible obtener una mejor ecuación de
predicción. Particularmente el método por el cual Froehlich propone su ecuación de
predicción a partir de una base de datos de 22 presas, puede ser empleado a la
base de las 45 presas para obtener una nueva ecuación de predicción con hw y Vw
como variables independientes.
Existen estudios de soluciones adimensionales para modelos paramétricos que
pueden conducir a la construcción de dominios de solución para los posibles valores
de caudal pico para una presa en particular. Conviene explorar esta alternativa que
puede ser muy útil en la toma de decisiones de los resultados obtenidos aun con los
modelos matemáticos físicamente basados.
175
Los modelos físicamente basados utilizados en esta exploración son básicamente
iterativos. Existen modelos de solución numérica de las ecuaciones diferenciales del
movimiento que aunque pueden presentar con más frecuencia problemas numéricos,
posibilitan una mejor representación física del fenómeno.
No se han presentado en este trabajo investigaciones de modelos físicos de
laboratorio. Estos modelos existen incluso para casos reales como el de La
Josefina. Sin embargo los resultados por lo general no son contundentes y se
parecen a los casos de presas estudiados aquí mediante la simulación matemática
con el BREACH. Existe un reto particular en la determinación de los parámetros
adimensionales para la similitud dinámica de la modelación.
176
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180
ANEXOS
181
ANEXO A. BASE DE DATOS DE 108 PRESAS48
48 WAHL, Tony L. Report DSO-98-004: Prediction of embankment dam breach parameters - A literature review and needs assessment. U.S. Department of the Interior, Bureau of Reclamation, Dam Safety Office. July 1998. Disponible en Internet: <http://www.usbr.gov/wrrl/twahl/>
182
DATA SOURCES (these are the codes that were used during early development of
this spreadsheet)
A Froehlich, 1987 (aa - Froehlich, 1995 [18 previously uncited cases])
Aaa Froehlich, written communication
Aq Froehlich, 1996
B V. Singh & Scarlatos, 1987
C MacDonald & Langridge-Monopolis, 1984
D Physical and Breach Parameters for Dams with Large Storage to Height Ratios
E Actual and Equation Derived Dam Failure Flood Peaks
F K. Singh & Snorasson, 1982
G Costa, 1985
H Ballentine, 1993 ASDSO
I SCS, 1981
183
DATA SOURCES (Codes used when published)
a Babb, 1968
b ICOLD, 1974
c SCS, 1981
d K. Singh & Snorrason, 1982
e Jansen, 1983
f MacDonald & Langridge-Monopolis, 1984
g Costa, 1985
h V. Singh & Scarlatos, 1987
i Froehlich, 1987
j Froehlich, 1995a
k Froehlich, 1995b
m Froehlich, written communication
n Ballentine, 1993
o Baker & Bliss, 1996
p Graham, undated written communication, Physical and Breach Parameters for Dams with Large Storage to Height Ratios
q Graham, undated written communication, Actual and Equation Derived Dam Failure Flood Peaks
r http://www.wa.gov/ecology/shwr/dams/iowa.html
184
ANEXO B. BASE DE DATOS DE 45 PRESAS49
49 Base de datos de 45 presas utilizada en los métodos de predicción para el caudal pico: ecuaciones de predicción (Cap. 2), modelos paramétricos (Cap. 3) y modelos matemáticos físicamente basados (Cap. 4).
185
ANEXO C. LISTA DE PRESAS PARA ANÁLISIS DE REGRESIÓN
186
ANEXO D. ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA CADA ECUACIÓN DE PREDICCIÓN
187
ANEXO E. ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA CADA PRESA