COMPENSACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS DE UNA FIGURA DE TRIANGULACIÓN - SOLUCION CON DERIVADAS:

Ecuaciones condicionales calculadas:

F= V12 +V2

2 +V32 +V4

2 +V52 +V6

2 +V72 +V8

2

U= F - 21f1 - 22f2 - 23f3 - 24f4

Remplazando valores:U= V1

2 +V22 +V3

2 +V42 +V5

2 +V62 +V7

2 +V82 - 21(V1 +V2 +V3 +V4 +V5 +V6 +V7 +V8 +19.5) - 22(V1 + V2 -

V5 - V6 - 6.5”) - 23(V3 + V4 - V7 - V8 - 6.6) - 24(3.43V1-4.12V2-0.54V3-6.92V4+7.54V5-2.26V6+2.43V7-0.35V8+104.32)

Derivando U con respecto a Vi:∂U = 2V1 - 21 - 22 - 2x3.434 = 0 → V1= 1 + 2 + 3.434

∂V1

∂U = 2V2 - 21 - 22 - 2(-4.12)4 = 0 → V2= 1 + 2 - 4.124

∂V2

∂U = 2V3 - 21 - 23 - 2(-0.54)4 = 0 → V3= 1 + 3 - 0.544

∂V3

∂U = 2V4 - 21 - 23 - 2(-6.92)4 = 0 → V4= 1 + 3 - 6.924

∂V4

∂U = 2V5 - 21 – 2(-1)2 – 2x7.544 = 0 → V5= 1 - 2 + 7.544

∂V5

∂U = 2V6 - 21 – 2(-1)2 – 2(-2.26)4 = 0 → V6= 1 - 2 - 2.264

∂V6

∂U = 2V7 - 21 – 2(-1)3 – 2x2.434 = 0 → V7= 1 - 3 + 2.434

∂V7

∂U = 2V8 - 21 – 2(-1)3 – 2(-0.35)4 = 0 → V8= 1 - 3 - 0.354

∂V8

Sustituyendo las ecuaciones correlativas Vi en las ecuaciones de condición fi:f1= V1 +V2 +V3 +V4 +V5 +V6 +V7 +V8 +19.5” = 0

V1 V2 V3 V4 V5

1 + 2 + 3.434 + 1 + 2 - 4.124 + 1 + 3 - 0.544 + 1 + 3 - 6.924 + 1 - 2 + 7.544 +

V6 V7 V8

1 - 2 - 2.264 + 1 - 3 + 2.434 + 1 - 3 - 0.354 + 19.5 = 0

Simplificando:81 + 02 + 03 – 0.794 + 19.5 = 0 →1ra Ecuación condicional

f2= V1 + V2 - V5 - V6 - 6.5” = 0 V1 V2 - V5 -V6

1 + 2 + 3.434 + 1 + 2 - 4.124 - 1 + 2 - 7.544 - 1 + 2 + 2.264 - 6.5 = 0

1) V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8 +19.5 = 0 →f1

2) V1 + V2 - V5 - V6 - 6.5 = 0 →f2 3) V3 + V4 - V7 - V8 - 6.6 = 0 →f3

4)3.43V1-4.12V2-0.54V3-6.92V4+7.54V5-2.26V6+2.43V7-0.35V8+104.32=0→f4

Simplificando:01 + 42 + 03 – 5.974 – 6.5 = 0 →2da Ecuación condicional

f3= V3 + V4 - V7 - V8 - 6.6 = 0

V3 V4 -V7 -V8

1 + 3 - 0.544 + 1 + 3 - 6.924 - 1 + 3 - 2.434 - 1 + 3 + 0.354 - 6.6 = 0

Simplificando:01 + 02 + 43 – 9.544 – 6.6 = 0 →3ra Ecuación condicional

f4= 3.43V1 -4.12V2 -0.54V3 -6.92V4 +7.54V5 -2.26V6 +2.43V7 -0.35V8 +104.32 = 0

V1 V2 V3 V4

3.43(1 + 2 + 3.434) – 4.12(1 + 2 - 4.124) – 0.54(1 + 3 - 0.544) – 6.92(1 + 3 - 6.924)

V5 V6 V7 V8

+ 7.54(1 - 2 + 7.544) – 2.26(1 - 2 - 2.264) + 2.43(1 - 3 + 2.434) – 0.35(1 - 3 - 0.354) + 104.32 = 0

Multiplicando:3.431 + 3.432 + 11.76494 – 4.121 - 4.122 + 16.97444 – 0.541 - 0.543 + 0.29164 – 6.921 – 6.923 +47.88644 + 7.541 – 7.542 + 56.85164 – 2.261 +2.26 2 +5.10764+ 2.431 - 2.433 + 5.90494 – 0.351 +0.353 + 0.12254 + 104.32 = 0

Simplificando:-0791 – 5.972 -9.543 +144.90394 + 104.32 = 0 →4ta Ecuación condicional

Luego las Ecuaciones Normales son: 81 + 02 + 03 – 0.794 + 19.5 = 0 01 + 42 + 03 – 5.974 – 6.5 = 0 01 + 02 + 43 – 9.544 – 6.6 = 0 -0791 – 5.972 -9.543 +144.90394 + 104.32 = 0

Resolviendo el sistema de Ecuaciones Normales:

[ 800

−0.79

040

−5.97

004

−9.54

−0.79−5.97−9.54

+144.9039] . [123

4]=[ −19.5

+6.5+6.6

−104.32] 1=−2.50801

2=+0.5592873=−0.05229988

4=−0.714046

Remplazando i en las Ecuaciones Correlativas Vi:

V1= 1 + 2 + 3.434 = -4.3979”V2= 1 + 2 - 4.124 = +0.9931”V3= 1 + 3 - 0.544 = -2.1754”V4= 1 + 3 - 6.924 = +2.3801”V5= 1 - 2 + 7.544 = -8.4512”V6= 1 - 2 - 2.264 = -1.4535”V7= 1 - 3 + 2.434 = -4.1901”V8= 1 - 3 - 0.354 = -2.2050”

ANGULOS AJUSTADOS O COMPENSADOS

s AJUSTADOS POR CIERRE HORIZ. CORRECCION(Vi”)

s COMPENSADOS

N° ANGULO ( ° ’ “ )

1 31°31’43.3” -4.4” 31°31’38.9”

2 27°05’13.4” +1.0” 27°05’14.4”

3 104°27’44.8” -2.2” 104°27’42.6”

4 16°55’21.7” +2.4” 16°55’24.1”

5 15°36’12.4” -8.4” 15°36’04.0”

6 43°00’50.8” -1.5” 43°00’49.3”

7 40°54’36.4” -4.2” 40°54’32.2”

8 80°28’36.7” -2.2” 80°28’34.5”

= 360°00’19.5” -19.5” = 360°00’00.0”

EJEMPLO N° 2: Para la compensación por mínimos cuadrados de una figura de triangulación, se han determinado las siguientes ecuaciones condicionales que deben cumplir simultáneamente las correcciones de sus ángulos ajustados por cierre de horizonte. Se pide determinar las Ecuaciones Normales, las Ecuaciones Correlativas y el valor de todas las correcciones.

1) V1 + V2 + V3 + V8 +10 = 0 2) V4 + V5 + V6 + V7 - 9 = 0 3) V1 + V6 + V7 + V8 + 6 = 0 4) –0.11V1+ 0.05V2 - 0.02V3 + 0.04V4 - 0.06V5 + 0.09V6 - 1 = 0

CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 K

1 a1= +1 a2= +1 a3= +1 a4= 0 a5= 0 a6= 0 a7= 0 a8= +1 +10 = 0

2 b1= 0 b2= 0 b3= 0 b4= +1 b5= +1 b6= +1 b7= +1 b8= 0 - 9 = 0

3 c1= +1 c2= 0 c3= 0 c4= +1 c5= 0 c6= +1 c7= +1 c8= +1 + 6 = 0

4 d1=-0.11 d2=+0.05 d3=-0.02 d4=+0.04 d5=-0.06 d6=+0.09 d7= 0 d8= 0 - 1 = 0

S S1=+1.89 S2=+1.05 S3=+0.98 S4=+1.04 S5=+0.94 S6=+2.09 S7= +2 S8= +2 /////////

SE TIENEN QUE CONSIDERAR 4 ECUACIONES NORMALES CUYAS FORMAS TIPICAS SON:

[aa]1 + [ab]2 + [ac]3 + [ad]4 + K1 = 0…………..1ra EC. NORMAL

[ab]1 + [bb]2 + [bc]3 + [bd]4 + K2 = 0…….…….2daEC. NORMAL

[ac]1 + [bc]2 + [cc]3 + [cd]4 + K3 = 0……….….3ra EC. NORMAL

[ad]1 + [bd]2 + [cd]3 + [dd]4 + K4 = 0………..…4taEC. NORMAL

CUADRO PARA CALCULAR LOS COEFICIENTES NUMERICOS DE LAS EC. NORMALES

1 2 3 4 K S

a1a1= +1 a1b1= 0 a1c1= +1 a1d1= -0.11 a1S1= +1.89a2a2= +1 b2b2= 0 a2c2= 0 a2d2= +0.05 a2S2= +1.05a3a3= +1 a3b3= 0 a3c3= 0 a3d3= -0.02 a3S3= +0.98a8a8= +1 a8b8= 0 a8c8= +1 a8d8= 0 a8S8= +2[aa] = 4 [ab] = 0 [ac] = 2 [ad] = -0.08 K1=+10 [aS] = +5.92 1°EC.NORM

b4b4= +1 b4c4= 0 b4d4= +0.04 b4S4= +1.04b5b5= +1 b5c5= 0 b5d5= -0.06 b5S5= +0.94b6b6= +1 b6c6= +1 b6d6= +0.09 b6S6= +2.09b7b7= +1 b7c7= +1 b7d7= 0 b7S7= 2

[ab] = 0 [bb] = +4 [bc] =+2 [bd] = +0.07 K2= -9 [bS] = +6.07 2°EC.NORM

c1c1= +1 c1d1= -0.11 c1S1= +1.89c6c6= +1 c6d6= +0.09 c6S6= +2.09c7c7= +1 c7d7= 0 c7S7= +2c8c8= +1 c8d8= 0 c8S8= +2

[ac] = +2 [bc] = +2 [cc] =+4 [cd] =-0.02 K3= +6 [cS] = +7.98 3°EC.NORM

d1d1=+0.0121 d1S1=-0.2079d2d2=+0.0025 d2S2=+0.0525d3d3=+0.0004 d3S3=-0.0196d4d4=+0.0016 d4S4=+0.0416d5d5=+0.0036 d5S5=-0.0564d6d6= +0.0081 d6S6=+0.1881

[ad] =-0.08 [bd] =+0.07 [cd] =-0.02 [dd] =+0.0283 K4=-1 [dS] =-0.0017 4°EC.NORM

Luego las ECUACIONES NORMALES serán:1) 41 + 02 + 23 – 0.084 +10 = 02) 01 + 42 + 23 + 0.074 – 9 = 03) 21 + 22 + 43 – 0.024 + 6 = 01) –0.081 +0.072 –0.023 +0.02834 – 1 = 0

SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES NORMALES:1 = -0.7398 -0.742 = +3.12 +3.123 = -2.5722 -2.574 =+23.7063 +23.71

DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES CORRELATIVAS:

CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 K

1 a1= +1 a2= +1 a3= +1 a4= 0 a5= 0 a6= 0 a7= 0 a8= +1 +10 = 0

2 b1= 0 b2= 0 b3= 0 b4= +1 b5= +1 b6= +1 b7= +1 b8= 0 - 9 = 0

3 c1= +1 c2= 0 c3= 0 c4= +1 c5= 0 c6= +1 c7= +1 c8= +1 + 6 = 0

4 d1=-0.11 d2=+0.05 d3=-0.02 d4=+0.04 d5=-0.06 d6=+0.09 d7= 0 d8= 0 - 1 = 0S S1=+1.89 S2=+1.05 S3=+0.98 S4=+1.04 S5=+0.94 S6=+2.09 S7= +2 S8= +2 //////////

Estos valores de 1, 2, 3, 4 se remplazan en las EC. CORRELATIVAS para obtener las correcciones V1, V2, V3, V4,..., V8

ECUACIONES CORRELATIVAS: Del cuadro anterior se tiene lasEcuaciones correlativas siguientes:

V1 = 11 + 02 + 13 – 0.114 V1 = 1(-0.74) + 0 + 1(-2.57) - 0.11(+23.71) = -5.92”V2 = 11 + 02 + 03 + 0.054 V2 = 1(-0.74) + 0 + 0 + 0.05(+23.71) = +0.44”V3 = 11 + 02 + 03 – 0.024 V3 = 1(-0.74) + 0 + 0 - 0.02(+23.71) = -1.21”V4 = 01 + 12 + 03 + 0.044 V4 = 0 + 1(+3.12) + 0 + 0.04(+23.71) = +4.07”V5 = 01 + 12 + 03 – 0.064 V5 = 0 + 1(+3.12) + 0 - 0.06(+23.71) = +1.70”V6 = 01 + 12 + 13 + 0.094 V6 = 0 + 1(+3.12) +1(-2.57) +0.09(+23.71)=+2.68”V7 = 01 + 12 + 13 + 04 V7 = 0 + 1(+3.12) +1(-2.57) + 0 = +0.55”V8 = 11 + 02 + 13 + 04 V8 = 1(-0.74) + 0 + 1(-2.57) + 0 = -3.31”

Estas correcciones Vi con sus respectivos signos se aplican a los ángulos observados para obtener los ángulos compensados. Luego se procede a efectuar la comprobación, que consistirá en que los ángulos compensados deberán cumplir con todas las condiciones independientes impuestas por la figura.

PROBLEMA DE APLICACIÓN DE UNA CADENA DE TRIANGULOS

a) Compensar por mínimos cuadrados los ángulos de la siguiente cadena de triángulos.b) Calcular las coordenadas de los vértices, si se tiene: A(E256456.254; N8662,458.678).c) Dibujar el plano en formato A1, determinar la escala, incluir la escala gráfica.d) Elaborar el informe conteniendo todos los cálculos realizados y el plano correspondiente;

incluir el CD.

DATOS DE LA LIBRETA DE CAMPO

TRIANGULO s MEDIDOS Y CORREG.POR CIERRE HORIZ. d.1” TRIANGULO s MEDIDOS Y CORREG.

POR CIERRE HORIZ. d.1”

11 = 48°39’40”2 = 35°15’30”3 = 96°05’00”

24 = 43°15’50”5 = 53°18’30”6 = 83°25’30”

37 = 38°20’40”8 = 32°30’30”9= 109°09’00”

410 = 32°15’30”11 = 48°16’20”12 = 99°28’00”

513= 110°18’40”14 = 40°16’30”15 = 29°24’50”

616 = 31°15’10”17 = 52°35’40”18 = 96°09’00”

Base de Partida: AB = 618.79 mBase de Cierre: GH = 537.94 m

ZAB ASTRONOMICO = 25°18’42”

Remplazando: 1= -0.74 2 = +3.12 3 = -2.57 y 4 = +23.71 en Vi:

PROBLEMA DE APLICACIÓN – POLIGONO CON VÉRTICE CENTRAL

En la figura de triangulación, se pide compensar los ángulos por mínimos cuadrados.

E

C

BA

D