ecuaciones diferenciales unidad 2

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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden

Superior• Instituto Tecnológico Superior de

Martínez de la Torre

ng Sistemas Computacionales | 4° "A"

ng Sistemas Computacionales | 4° "A" 2

Integrantes

• Claudia Lisbeth Cortés Chacón• Alberto Martínez Pasos

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Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

ng Sistemas Computacionales | 4° "A"


Definición matemática para una ecuación diferencial:

Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o mas funciones desconocidas con respecto a una o mas variables independientes, se dice que es una ecuacióndiferencial. En otras palabras, Se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figuran las derivadas o diferenciales de una o mas funciones incógnitas con respecto a una o mas variables independientes.Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden, el grado y la linealidad.


Llamamos ecuación diferencial lineal de orden n a toda ecuación que se puede expresar en la forma:

para la que admitimos que los coeficientes ai (x), i = 1, 2, . . . , n y el segundo miembro f(x) son funciones definidas en un intervalo I ⊆ R.La ecuación anterior se dice homogénea o incompleta si f(x) = 0 para todo x ∈ I. En caso contrario, se dice no homogénea o completa.


Operador Diferencial

Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferente llamada la función derivada. Podemos definir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada de esta, esto es:


Principio de Superposición

El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más sencillos.


Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B.


DEPENDENCIA LINEAL


EDLH CON COEFICIENTES CONSTANTES

Las ecuaciones diferenciales homogéneas siguen el siguiente modelo [ay’+by=0] donde a≠0 y b son constantes. Este tipo de ecuaciones se resuelve ya sea por separación de variables o con la ayuda de un factor de integración.


Sea ay´´+ by´+ cy = 0

si hacemos y= emx

y´= me mx

y´´ = m2emx

ECUACION AUXILIAR

ANALIZANDO CADA CASO

CASO I: Raíces reales y distintasSabiendo que tiene dos raíces, se definen dos soluciones que son linealmente independientes, por lo tanto obtenemos la siguiente solución general:

CASO II: Raíces reales repetidas.Cuando m1=m2, siempre se tiene una solución exponencial De la fórmula cuadrática se encuentra que m1=-b/2a puesto que la única forma de tener m1=m2 es tener

ECUACIÓN AUXILIAR

Deduciendo la segunda solución de la ecuación es:

La solución general es:

ECUACIÓN AUXILIAR

CASO III: Raíces complejas conjugadas.Si m1 y m2 son complejas entonces y

donde y son reales .

Sin embargo se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de las exponenciales complejas. Y para eso se utiliza la formula de Euler.

Donde θ es cualquier numero real. Se deduce de esta formula q:

ECUACION AUXILIAR

Y donde la formula General es:

MÉTODO DEL ANULADOR

La solución general de una ecuación diferencial no homogénea de n-esimo orden en un intervalo I puede expresarse como:

y = c1y1(x) + c2y2(x) + …. + cnyn(x) + yp

donde y1; y2; ….; yn conforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea relacionada (su combinación lineal recibe usualmente el nombre de función complementaria, yc), c1; c2; ….; cn son constantes arbitrarias y yp es cualquier solución particular de la ecuación diferencial.

De conocimientos previos se sabe que la función complementaria puede encontrarse resolviendo la ecuación diferencial lineal homogénea relacionada. Resta entonces, para encontrar la solución general del problema, encontrar una solución particular al mismo. Y es aquí, en la obtención de la forma de la solución particular, en donde puede utilizarse un operador anulador.

Luego, para hallar los factores que dan pie a la solución particular explicita, puede usarse el método de coeficientes indeterminados.

Para entender este método es necesario recordar el uso del operador diferencial D, que representa dy=dx, y de un operador diferencial de n-esimo orden (también operador polinomio) que se define como:

L = an(x)Dn + an-1(x)Dn-1 + …+ a1(x)D + a0(x)

De esto que podamos escribir una ecuación diferencial lineal de n-esimo orden con coeficientes constantes como:

L(y) = (anDn + an-1Dn-1 + …+ a1D + a0)y =g(x)

Sea una ecuación diferencial :

Donde b es una solución de la ecuación diferencial homogénea M(y) = 0 con coeficientes constantes. Esto implica que b(x) debe ser una combinación lineal de términos de tipo P(x)eax, donde P es un polinomio y a es una constante (nótese que a es una constante no necesariamente real, por lo que, según la ecuación de Euler, podrá dar paso a funciones con senos y cosenos involucrados).

L(y) = b(x) (1)

Se supone que una ecuación diferencial tiene coeficientes , y la función b(x) consiste en sumas y productos finitos de constantes, polinomios, funciones exponenciales eax, funciones trigonométricas.

1. Encuentre la función complementaria yc para la ecuación homogénea L(y) = 0.

2. Opere ambos lados de la ecuación no homogénea L(y) = b(x) con un operador diferencial M1 que anule la función b(x) .

3. Determine la solución genera de la ecuación diferencial homogénea de orden superiorM1L(y) =0.

PASOS DEL MÉTODO DEL ANULADOR.

4. Elimine de la solución del paso 3 los términos que se duplican en la solución complementaria yc encontrada en el paso 1. Forme una combinación lineal yp de los términos restantes. Esta es la forma de una solución particular de L(y) = b(x).

5. Sustituya yp encontrada en el paso 4 en L(y) = b(x). Iguale los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuelva el sistema resultante de ecuaciones a n de determinar los coeficientes desconocidos de yp.

6. Con la solución particular encontrada en el paso 5, forme la solución general y = yc + yp de la ecuación diferencial que se proporciona.

Éste método consiste en proponer la solución particular como:

yp= uy1 + vy2 con u’y1 +v’y2 =0

ya que la solución general de una ecuación diferencial de la forma:

y’’+ f(x)y’ + g(x)y=0 es y= c1y1(x) + c2y2(x)

Entonces derivamos:

yp’=uy1’+vy2’

yp’’=uy1’’+u’ y1’+vy2’’+v’ y2’

Sustituimos en la ecuación no homogénea:

uy1’’+u’ y1’+vy2’’+v’ y2’+f(x)( uy1’+vy2’)+g(x)( uy1+vy2)= Q(x)

Sacamos a u y v como factor común:

u(y1’’+f(x)y1’+g(x)y1) + v(y2’’+f(x)y2’+g(x)y2) + u’y1’+v’y2’=Q(x)

Como y1 + y2 son soluciones, se vuelven cero:

u’y1 +v’y2 =0 u’y1’+v’y2’=Q(x)

Y obtenemos sus wronskianos, para después integrar.

2

2

1

1

´´ y

y

y

yW

2

21 ´)(

0

y

y

xfW

)(

0

1́

12 xfy

yW

Pero todo esto podemos resumirlo en los siguientes pasos:

1. Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el coeficiente de y’’ sea uno.

2. Resolvemos la ecuación homogénea y obtenemos las raíces de la ecuación auxiliar y su función complementaria.

3. Se calcula el wronskiano.


4. Calculamos el wronskiano de cada identificación, obteniendo u’ y v’.

5. Integramos para obtener u, v y la solución particular.

6. Para obtener la solución general, sumamos la solución particular mas la complementaria.

EJEMPLOy" ‑ 4y' + 4y = (x + 1)e2X .

1.2. m2 ‑ 4m + 4 = (m ‑ 2)2 = 0 yc = c1e2x + c2xe2x Identificamos y1 = e2x y y2 = xe2x

3.

4.

5. Integramos para obtener u

6. Sumamos la solución particular mas la complementaria y obtenemos la solución general

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