自动控制理论 -...
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第三章
控制系统的时域分析 嘉应学院
王小增
自动控制理论
各章复习要点
2016-6-1
第三章复习要点
2
第二章复习要点
第五章复习要点 第四章复习要点
第一节 典型的测试信号
典型的测试信号一般应具备两个条件
（1）信号的数学表达式要简单
（2）信号易于在实验室中获得
一、阶跃输入
s
1 R1 00 sRR 它的拉氏变换为则称为单位阶跃信号，常量式中 ，。，
0 t
0 t0
0Rtr
＜
二、斜坡信号
0 t 0
0 t 0
＜
tvtr
2011s
v 拉氏变换为，称为单位斜坡信号，若 其
三、等加速度信号
等加速度信号是一种抛物线函数，其数学表达式为
30011aas
拉氏变换为号，，称为单位等加速度信常数。若 其
0 t ta2
1
0 t 0
2
0
＜
tr
四、脉冲信号
＜＜
＜
t0 H
t0, t 0tr
表示。并用1b所示,-如图3
为单位理想脉冲函数，，则称。若时，记为当
t
t
其 01H
五、正弦信号
sin +r t A t
正弦信号的数学表达式为
第二节 一阶系统的时域响应
1
1G
TSsR
sCs
一阶系统原理图
一阶系统方框图
一阶系统传递函数
9
一、单位阶跃响应
则令s
s 1R
1 1 1
11C s
S Ts SS
T
图2-13 R-C电路
T
C T 1- 0.632Te
阶跃 响应曲线 C（t）
上升到其终值的63.2%时
，对应的时间就是系统的
时间常数T
1
1 1t
TC t C s e
l
:时，则有当 Tt
1
1G
TSsR
sCs
t=0:0.1:7
y1=1-exp(-t)
plot(t,y1)
grid on
xlabel('时间/s')
ylabel('输出')
T=1s
1 1 1
11C s
S Ts SS
T
1
1 1
A BC s
S Ts S Ts
1
TAs A Bs
S Ts
1
1
TA B
A
1
B T
A
1 1 1 1
11 1
TC s
S Ts S Ts SS
T
二、单位斜坡响应
则令 21R
ss
2
2 2
2
1 1 T T
1 S 1 TS
1 T T
S 1/T S
C sS Ts S
S
1
(1 )t
TC t t T e
Tet
ss
telim
tTeTtCtr
1
1te
1
1G
TSsR
sCs
图2-13 R-C电路
r（t）=t
t=0:0.1:6
y1=t-1+exp(-t)
y2=t
plot(t,y1,t,y2)
grid on
legend('输出','输入')
xlabel('时间/s')
ylabel('输出')
2
2 2
2 2
1 1 T T
1 S 1 TS
1 B C
1 S 1 TS
C sS Ts S
AC s
S Ts S
2 2
2
2
2
1
( ) ( )
1
A ATs Bs BTs Cs
S Ts
BT C s AT B s A
S Ts
1
0
0
A
AT B
BT C
2
1A
B T
C T
三、单位脉冲响应
, ( ) 1r t t R s
TS
TsGsC1
1
t
TeT
sGLtg1
1 1
t=0:0.1:6
y1=exp(-t)
y2=t
plot(t,y1)
grid on
xlabel('时间/s')
ylabel('输出')
T=1 s
14
线性定常系统的性质
（1）一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号的时域响应的导数
（2）一个输入信号积分的时域响应等于该输入信号的时域响应的积分
结论：了解一种典型信号的响应，就可知道其它信号作用下的响应。
t
TeT
sGLtg1
1 1
1
1t
TC t e
1
(1 )t
TC t t T e
r t t
1, 0r t t
, 0r t t t
求导
求导 求导
求导
信号的导数与输出的导数：
15
第三节 二阶系统的时域响应
一、传递函数的推导
图3-6 位置随动系统原理图
0
e p r c
e u
up A
U K
C CF f
R
C jK K K
R
图3-6中:
GK
ss Js F
开环传递函数
2
c
r
s K
s Js Fs K
闭环传递函数
16
图3-7 图3-6所示系统的框图
a) 图3-6所示系统的框图 b) 系统的简化框图
2
c
r
s K
s Js Fs K
闭环传递函数
二、二阶系统的单位阶跃响应
标准形式：
2
2 2
2
n
n
n
C s
R s s s
率为系统的无阻尼自然频为系统的阻尼比; n
二阶系统的框图
＜10＜欠阻尼 1、
dnnn jj 2
1,2 1s
则,令s
sR1
222 222
21
][ dn
n
dn
n
dn
n
ss
s
ssssC
0t sin1
cos12
ttetC dd
tn
其拉氏反变换为:
2 22 0n
ns s
特征方程为：
有共轭复数根：
1,20 ns j ， ，无阻尼情况
0t 1
arctansin1
11
2
2
tetC d
tn
或写作
ttc ncos1
1, 0.5n ＜10＜欠阻尼
Simulink仿真图
Simulink仿真结果
1, 0,n 无阻尼
1,20 ns j ，
无阻尼情况
ttc ncos1
Simulink仿真结果
2016-6-1 21
2、 1临界阻尼
1,21, ns
n
n
n
n
n
ssssssC
11
2
22
2
011
tettct
nn
其拉氏反变换为:
dnnn jj 2
1,2 1s
2 22 0n
ns s
特征方程为：
2
2 2
2
n
n
n
C s R ss s
2016-6-1 第三章 控制系统的时域分析 22
1, 1n 1临界阻尼
Simulink仿真结果
011
3
1
2
22
teAeAtctt nn
3、 ＞1过阻尼
1s 2
1,2 nn
11
2 2
3
2
21
2
2
2
nnnnnn
n
s
A
s
A
s
A
ssssC
11 A 112
1
222
A
112
1
223
A
1, 2n
二阶过阻尼系统的近似处理，用靠近原点的极点近似
1
1
2
2
1
1
nn
nn
sss
s
sR
sC
则,令s
sR1
1
11
1
1
22
2
nnnn
nn
sssssC
tn
etc
12
1
则输出响应的准确值为,如令 2,1 n
3.73 0.271 0.077 1.077t tc t e e
tetc 27.01 近似计算值：
二阶系统的实极点
t=0:0.1:6
y1=1+0.077*exp(-3.73*t)-1.077*exp(-0.27*t)
y2=1-exp(-0.27*t)
plot(t,y1,t,y2)
grid on
legend('二阶系统','一阶近似')
xlabel('时间/s')
ylabel('输出')
2016-6-1 25
3.73 0.271 0.077 1.077t tc t e e
tetc 27.01
二阶系统
一阶近似
26
三、二阶系统阶跃响应的性能指标
1、上升时间
当被控制量c(t)首次由零上升到其稳态值所需的时间，称上升时间tr。
1sin1
11
2
rd
t
r tetc rn
21arctan
d
rt
求得： 1, 0.5n
2
2
1arctan = / 3
/ 3
1
2 / 32.42
1 1/ 4
r
d n
t
s
2、峰值时间
瞬态响应第一次出现峰值的时间叫峰值时间,用tp表示
d
1sin cos 0
1
n p n p
p
t t
t t n d p d p
dc te t e t
dt
21tan
pdt
2、、0
1tan
2
pdt
简化上式，求得
因为：
图3-13 二阶系统瞬态响应的性能指标
π处，即t系统最大峰值出在ω pd
d
pt
1, 0.5n p
2
3.14t
1 1 0.5
3.63
d
s
0t 1
arctansin1
11
2
2
tetC d
tn
28
3、超调量Mp
％
c
ctc％
c
ctcM
pp
p 100
p或M
1
1 etcM pp
图3-14 二阶系统的Mp与 关系曲线
1, 0.5n
21
16.4%
pM e
1, 0.5n
1, 0.25n
21
44.4%
pM e
Ttn
s 44
02.0
时,
近似计算：
Ttn
s 33
05.0
时,
4、调整时间ts
阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值± Δ的误差范围(一
般Δ为5%或2%),并从此不现超越这个范围的时间称为系
统的调整时间,用ts表示之。
30.05, 6s
n
t s
40.02, 8s
n
t s
1, 0.5n
5、稳态误差
则,令 21,
ssRttr
222
1
2
2
1
1
sss
sssR
sGsE
nn
n
nnn
n
ssss
sss
sssssEe
2
1
2
2limlim
22200
于是有：
2
2( )
2
n
nG s
s s
2 1ss
n
e
1, 0.5n
1, 0.25n 2
0.5ss
n
e
11,s
0ss
r t R s
e
若
则
二阶系统实例 比较环节
积分环节 惯性环节
R=160K，临界阻尼，小于160时欠阻尼，大于160时过阻尼。
四二阶系统阶的动态校正
1、比例微分(PD)校正
电动机校正前系统的特征方程
2 0 3-33Js Fs K
图3-15 具有PD校正的二阶系统
KJ
F
J
Kn
2 ,
加上PD校正后，系统特征方程为：
34-3 02 pd KsKFJs
为但校正后的系统的阻尼,J
K都为校正前后的ω
则系统,K若令K,从面增加了系统的阻尼的负转矩,dt
dc轴上加了一个量值为K
它表示在电动机的s项,中增加了K可知校正后的系统方程,34-3和33-3对比式
n
pd
d
调节Kp值,使之满足稳态误差ess要求,然后调节Kd值使之满足 的要求。
校正前系统
21,r t t R s
s
/ Pess F K
s 0 s 0
1lim ( ) lim
1ess sE s s
GH
1( )
1E s
GH
( )
p dk k sG s
s Js F
2s 0 s 0lim ( ) lim
d p
Js Fess sE s s
s Js k s Fs k
1,r t t R ss
0ess
s 0 s 0
1lim ( ) lim
1ess sE s s
GH
1( )
1E s
GH
( )
p dk k sG s
s Js F
2s 0 s 0lim ( ) lim
d p
Js Fess sE s s
Js k s Fs k
2、测速反馈校正
图3-16 随动系统框图
图3-17 图3-16的等效框图
22
2
2 nn
n
ss
KJ
KKF
JK h
n2
,
K
KKFe
K
KKFttc
hss
h
系统的稳态输出t时,当r
2
2
. .
( ) ( )( ) ( )
( )
1
( )
( )
( ) ( )
h
h
h
h
d c t dc tJ F KK Kc t Kr t
dt dt
r t t
r t c t
F KK Kc t Kt
F KKc t t
K
F KKess r t c t
K
调整K和Kh使ess
和阻尼符合系统设计要求。
引出点后移，加倒数“s”
例3-1
图3-19 图3-18的等效图
零斜坡输入的稳态误差为
系统跟踪试证明当t时,当r ,2
n
dK
22
2
2
1
nn
nd
ss
sK
sR
sC
解：
据此画出图3-19所示的方框图。
d
n
K
tctctc
2-t
21
0,,2
ss
n
d etrttcK
当
等效变换
例题3-2：已知超调量0.2，峰值时间1s，求K和Kh，调整时间ts和上升时间tr。
30.05 1.86s
n
t
，
=2.48r
d
t
210.2 =0.456pM e
，
p n2
n
t = =1 =3.531-d
，
2
2
2 2
T(s)= 1
2
h
n
n n
C s K
R s s KK s K
s s
2K= =12.5
2 = 1 =0.178
n
n h hKK K
可得：
，
21 arctan =1.1
38
第四节 高阶系统的时域响应
设高阶系统闭环传递函数的一般形式
43-3 ,
42-3 ,
21
21
1
1
1
1
1
10
mnpspsps
zszszsK
mnasasas
bsbsbsb
sR
sC
m
m
nn
nn
mm
mm
则,令s
1sR
r
knknkk
knkknkkk
q
j
j
q
j
r
knknkkj
m
i
i
ss
CsBps
s
A
sspss
zsK
sC
122
2
1
0
1 1
22
1
2
1
2
一、高阶系统的时域响应
0 t, 1sin
1cos
2
1
2
11
0
teC
teBEAAtc
knk
r
k
t
k
knk
r
k
t
k
q
j
tp
j
nkk
nkkj
求拉氏反变换，得：
由此可知
高阶系统时域响应是由一阶和二阶系统的时域响应函数组成，含：稳态分量和瞬态分量。
闭环极点均有负实部，随着时间的推移，式中瞬态分量不断衰减，
当时间趋于无穷大 时，该式等号右方只剩下稳态分量A0。
过渡过程结束后，系统的被控制量仅与稳态分量有关。
系统调整时间取决于最靠近虚轴的闭环极点；
如果系统所有的闭环极点均远于虚轴；
则系统的瞬态响应分量就衰减得很快。
0 t, 1sin
1cos
2
1
2
11
0
teC
teBEAAtc
knk
r
k
t
k
knk
r
k
t
k
q
j
tp
j
nkk
nkkj
二、闭环主导极点
如果系统中有极点距虚轴最近,且其附近没有闭环零点；
其他闭环极点与虚轴的距离都比这个极点与虚轴的距离大5倍以上；
则此系统的瞬态响应可近似地视为由这个极点所产生。
这种极点所决定的瞬态分量不仅持续时间最长，而且其初值幅值也大，充分体现了它在系统响应中的主导作用，故称其这系统的主导极点。
2
30( )
( 15)( 2 2)C s
s s s s
则系统的输出,令
ssR 1
)22)(15(
302
ssssR
sC
解：
用部分分式法将上式展开，由拉氏反变换得
)07.49(cos511.101.01 15 teetc tt
显然，由极点s3=-15产生的瞬态响应项一仅幅值小，而
且衰减得快，因而对系统的输出响应很小，故可把它略
去。于是，系统的输出可近似地用下式表示：
)07.49(cos511.11 tetc t
例3-3 已知一系统的闭环传递函数为
如果闭环系统的一个零点与一个极点彼此十分靠近，人们常称这样的闭环零、极点为偶极子。
不难证明，只要偶极子不十分靠近坐极原点，则它们对系统瞬态响应的影响就很小，因而可忽略它们的存在。
三、偶极子
例3-4 已知系统的闭环传递函数为
)22)((
)()
2(
)(
)(2
ssas
as
a
a
sR
sC
式中 。求系统的单位阶跃响应。 0,0
（3-46）
解：该系统有一对复数极点 、一个实数极点 和一个实
数零点 。
112,1 js as 3
)( as
1）假设实数极点 不十分靠近坐标原点，且令 ，使实数极点和零
点十分靠近，以构成一对偶极子，则式（3-46）所示系统的单位阶跃响应为
0as 3
)1351
1arctan
1
1arctansin(
)1(12)(
)1(12
)22)((
21)(
2
2
2
o
tat
aat
eaa
aae
aaatc
考虑到 ，上式经简化得 0
)135sin(2)22(
21)(
2
otat teeaaa
tc
（3-47）
)135sin(21)( ot tetc （3-48）
基于上述对a和 的假设，式（3-47）可进一步近似表示为
由式（3-48）可知，系统的单位阶跃响应主要由一对主导
极点决定，偶极子对系统瞬态响应的影响十分微小，故可
略去不计。
46
假设 ，即一对偶极子十分靠近坐标原点，则式（3-47）可改写为
0, a
)135sin(21)( ot tea
tc
由于 的值是可比的，故 项不能略去。综上所述，得出如下结论：
a与εa
① 如果偶极子不靠近坐标原点，则它们对系统的瞬态响应可
略去不计
② 如果偶极子十分靠近坐标原点，则应考虑它们对系统瞬态
响应的影响，但不会改变主导极点的作用。
第五节 线性定常系统的稳定性 系统稳定的充要条件
设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它在瞬间受到某一扰动而偏离了
原有的平衡状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调节作用，如能使偏差
不断的减小，最后仍能回到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反之，则
称为不稳定。如图3-22所示。
稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信号无关只取决其本身的结构和参数
用系统的单位脉冲响应函数 来描述系统的稳定性 tg
如果 则系统是稳定的
图3-22 稳定与不稳定系统的响应曲线
0lim
tgt
若 ，表示方程的所有根全位于S平面的
左方，这是系统稳定的充要条件。
它不仅是零输入时系统稳定的充要条件，而且也是
在给定信号作用下系统稳定的充要条件
对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全
为正值是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三
阶以上系统，特征方程的多项系数均为正值仅是系
统稳定的必要条件而非充分条件。如何判断其稳定
性？-劳斯判据
第六节 劳斯稳定判据 令系统特征方程为
0,0 01
1
10 ＞ aasasasa nn
nn
排劳斯表：
1
0
21
1
321
2
321
3
4321
2
7531
1
6420
f
e e
d d d
c c c
b b b b
a a a a
a a a a
s
s
s
s
s
s
s
n
n
n
n
,b
baabc,
b
baabc,
b
baabc
,a
aaaab,
a
aaaab,
a
aaaab
1
4171
3
1
3151
2
1
2131
1
1
7061
3
1
5041
2
1
3021
1
表中
若劳斯表中第一列的系数
均为正值,则系统稳定
如果表中第一列的系数有
正、负符号变化，其变化
的次数等于该特征方程式
的根在S右半平面上的个数，
相应的系统为不稳定
50
例3-5 一调速系统的特征方程为
3
2 4
1 517 0
41.5 2.3 10
s
s
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的
3 2 441.5 517 2.3 10 0s s s
1
0 4
-38.5
s 2.3 10
s
求系统稳定的K值范围
3
2
1 517 0
41.5 1670 1 K
s
s
0K16701
0K16701-51741.5
＞
＞
欲使系统稳定则应满足
9.111＜K＜解不等式组得：
例3-6 已知系统的特征方程为
0116705175.41 23 Ksss
1
0
41.5 517-1670 1 K 0
41.5
s 1670 1 K
s
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有
一对共轭虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数
等于该方程在S平面右半面上根的数目。
例3-7 已知系统的特征方程为 3 22 2 0s s s ，试判别相应系统的稳定性
解： 列劳斯表
2 s
0
0 2 2
0 1 1
0
1
2
3
s
s
s
方程中有对虚根，系统不稳定。
排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：
1）劳斯表中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不全为
零。解决的办法是以一个很小正数ε来代替为零的这项。然后完成
劳斯表的排列。
解： 列劳斯表
3
2
1 -3 0
0 2 0
s
s
结论：有两个根在S的右半平面。
例3-8 已知系统的特征方程为
0233 ss ，试用劳斯判据确定方程式的根 在S平面上的具体分布
3 20 3 2 0s s s
1
0
-3 -2
s 2
s
2）如果劳斯表的某一行中所有的系数都为零，则表示相
应方程中含有一些大小相等，径向位置相反的根。
例： 01616201282 123456 ssssss
劳斯列表：
0 0 0 s
0 16 12 2 s
0 16 12 2 s
0 16 20 8 1 s
3
4
5
6 16122sP 24 ss令
3P s
8 24 d
s sds
0 38 1s
61 s0
j；j；j 1s2s2s 6、54、32、1
24 8 3s
16 6 2s
有共轭虚根，临界稳定。
解：列劳斯表
4 s
12.2 10
8130
4 01
13 2
0
1
2
3
s
s
s
3
2
1
0
2 -1 0
4 -1 0
1 0
2
z 1
z
z
z
有一个根在垂直线S=-1的右方。
代入方程又令 1 zs
例3-9 用劳斯判据检验下列方程 3 22 10 13 4 0s s s
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂直线S=-1的右方？
变号一次。
3 2 2z 4z -z-1 0
第七节 控制系统的稳态误差
sHsG1
limlim
sRsHsG1
1E
sCsH-sRE
00
ssRssEe
s
s
ssss
def
＝
稳态误差的定义
图3-24 控制系统框图
给定输入下的稳定误差
1 2
1 2
1 1 ... 1 G ,
1 1 ... 1
m
v
n v
K s s ss H s n m
s T s T s T s
令
1、阶跃信号输入
s
RsRRtr 0
0 常量，令
0 0 0 0
0 0 0
0
1lim lim lim =
1 s 1 1 lim 1ss
s s sp
s
R R R Re sE s s
GH GH G s H s K
sHsGKs
def
p0
lim
＝静态位置误差系数
0
0 v 0 limps
K G s H s
型系统0 0
1 1ss
p
R Re
K K
1 2
1 2
1 1 1 G ,
1 1 1
m
v
n v
K s s ss H s n m
s T s T s T s
令
1 2
001 2
1 1 1= lim
1 1 1
m
sn v
K s s s
s T s T s T s
1 2
001 2
0 1 0 1 0 1= lim
0 1 0 1 0 1
=K
m
sn v
K
s T T T
0 v 0 =KpK型系统0 0
1 1ss
p
R Re
K K
II 2 pK 型 及以上系统，
I =1 pK 型 系统， 0sse =0
1 p
R
K
0sse =0
1 p
R
K
1、阶跃信号输入系统稳态误差
0
lim ---vs
K sG s H s
＝ 静态速度误差系数
0 0 0 0
20 0 0
0
1lim lim lim
1 s s s limsss
s s sv
s
v v v ve sE s s
GH GH GH K
2、斜坡信号输入
00 0 2
,v
r t v t v R ss
常数，
1 2
1 2
1 1 1 G ,
1 1 1
m
v
n v
K s s ss H s n m
s T s T s T s
L
L
0 : 0 v ssK e 型系统
01 : K v ss
vK e
K 型系统
: 0v ssK e 2型系统
0
0 v 0 limvs
K sG s H s
型系统
1 2
001 2
1 1 1= lim
1 1 1
m
sn v
k s s ss
s T s T s T s
1 2
001 2
0 1 0 1 0 1= lim0
0 1 0 1 0 1
=0
m
sn v
K
s T T T
0
1 v 1 limvs
K sG s H s
型系统
1 2
101 2
1 1 1= lim
1 1 1
m
sn v
K s s ss
s T s T s T s
1 2
01 2
0 1 0 1 0 1= lim
0 1 0 1 0 1
=K
m
sn v
K
T T T
0
v 2 limvs
K sG s H s
2型系统
1 2
201 2
1 1 1= lim
1 1 1
m
sn v
K s s ss
s T s T s T s
1 2
01 2
0 1 0 1 0 1= lim
0 0 1 0 1 0 1
=
m
sn v
K
T T T
3、抛物线信号输入
图3-26 Ⅱ型系统跟踪抛物线输入响应
0 0 0 0
3 2 2 20 0 0
0
1lim lim lim =
1 s s s limsss
s s sa
s
a a a ae sE s s
GH GH GH K
3
0
0
2
0 ,2
1
s
asRatatr 常量，令
0II K a ss
aK e
K 型系统 ，
ssa eK 0O型、I型系统
1 2
1 2
1 1 1 G ,
1 1 1
m
v
n v
K s s ss H s n m
s T s T s T s
L
L0
3( )
s
aR s
2
0limas
K s G s H s
＝ 加速度误差系数
2
00 v 0 lima
sK s G s H s
型系统
1 22
001 2
1 1 1= lim
1 1 1
m
sn v
K s s ss
s T s T s T s
1 2
001 2
0 1 0 1 0 1= lim0
0 1 0 1 0 1
=0
m
sn v
K
s T T T
2
01 v 1 lima
sK s G s H s
型系统
1 22
101 2
1 1 1= lim
1 1 1
m
sn v
K s s ss
s T s T s T s
1 2
01 2
0 1 0 1 0 1= lim0
0 1 0 1 0 1
=0
m
sn v
K
T T T
2
0v 2 lima
sK s G s H s
2型系统
1 22
201 2
1 1 1= lim
1 1 1
m
sn v
K s s ss
s T s T s T s
1 2
01 2
0 1 0 1 0 1= lim
0 1 0 1 0 1
=K
m
sn v
K
T T T
系统型数提高，即积分环节个数增加，能够减少或消除系统的稳态误差！
信号越复杂，消除稳态误差所需积分环节个数越多！
0 , sse 型系统
01 , ss
ve
K型系统
, 0sse 2型系统
0 ,型系统 0
1ss
Re
K
1 =1 ,型 系统sse =0
2 2 , 型 及以上系统sse =0
斜坡信号输入 阶跃信号输入
扰动作用下的稳定误差
闭环控制系统
，则令 0R s
sD
ss
ss
21
2D
GG1
G-C
21
222
111 G ,G
vvs
sWKs
s
sWKs 令
sD
ss
sssEe
sD
ssd
21
2
00 GG1
SGlimlim
sD
ss
sssED
21
2D
GG1
GC
，则其中 1, 2121 oWoWvvv
vs
sWsWKKsss 2121
21 G G G
sDsWsWKKs
sWKssE
v
v
D
2121
221
1、0型系统(v=0，v=v1+v2=0，v1=0,v2=0)
0lim ( )sd ds
e sE s
s
DsDDtd 0
0 , 令
sDsWsWKKs
sWKssE
v
v
D
2121
221
2 2 0
01 2 1 2
lim1s
K W s Ds
K K W s W s s
2 0
1 21
K D
K K
01 2
1
( 1)D
K KK
2、Ⅰ型系统(v=1)
s
DsDvv 0
21 ,0,1 令1）
2 2 0 0
201 2 1 2 1
limsds
sK W s v ve s
s K K W s W s s K
2 2 0
0 01 2 1 2
lim ( ) lim 0sd Ds s
sK W s De sE s s
s K K W s W s s
，则对应的稳态误差为s
vsD 如
20 , td 0tv
sDsWsWKKs
sWKssE
v
v
D
2121
221
2 2 0
201 2 1 2
limsds
K W s De s
s K K W s W s s
s
DsDvv 0
21 ,1,0 令
2）
2 2 0 0
01 2 1 2 1
limK
sds
K W s D De s
s K K W s W s s
，则 如2
0 s
DsD
sDsWsWKKs
sWKssE
v
v
D
2121
221
3、∏型系统(v=2)
01 2 2
2
2 2 0
2 20 01 2 1 2
1) 2, 0,
lim ( ) lim 0sds s
vv v D s
s
s K W s ve sE s s
s K K W s W s s
01 2 2
2 2 0
2 20 01 2 1 2
3) 0, 2,
lim ( ) lim
sds s
vv v D s
s
K W s ve sE s s
s K K W s W s s
01 2 2
2 2 0 0
2 20 01 2 1 2 1
2) 1, 1,
vlim ( ) lim
Ksd
s s
vv v D s
s
sK W s ve sE s s
s K K W s W s s
sDsWsWKKs
sWKssE
v
v
D
2121
221
积分环节的位置对系统的抗干扰性能有影响，在扰动信号之前更能抑制干扰信号！
提高系统稳态精度 的方法
1、对扰动进行补偿
s
sGD
1G
1
图3-28 按扰动补偿的复合控制系统 ，则令 0R s
2 1 D
D
1 2
G G G -1C ( )
1 G G
s s ss D s
s s
全补偿条件：
DC ( ) 0s
梅逊公式
1 DG G -1=0s s
2、对输入进行补偿
sRsC
图3-29 按输入补偿的复合控制系统
sR
s
ss
G1
G1GsC R
R
1
GG s
s如果 则有
1G 1
GC s
1 G
ss
R ss
1 GC s
1 G
sR s
s
第八节 MATLAB在时域分析法中的应用
例3-10 已知某闭环系统的特征方程为
02423 23 sss
试判别该系统的稳定性。 解：
由结果可知，该方程中有两个根位于s平面的右方，故此系统是不稳定的。
判别系统的稳定性——求特征方程式的根
den 1 3 2 24
roots den
ans
4.0000
0.5000 2.3979i
0.5000 2.3979i
系统的单位阶跃响应
指令step(num,den)，step(num,den,t)，
例3-11 已知一系统的闭环传递函数为
164
16
)(
)(2
sssR
sC
试求该系统的单位阶跃响应。 解：
num=[16];
den=[1 4 16];
step(num,den);
grid on;
xlabel('t');
ylabel('c(t)') ;
title('Unit-Step Response of G(s)=16/s^2+4s+16)');
st p 903.0
16.1)( ptc %16% pM
)05.0(32.1 sts
num=[16];
den=[1 4 16];
t=0:0.1:10;
step(num,den,t);
grid on;
xlabel('t');
ylabel('c(t)');
title('Unit-Step Response of G(s)=16/s^2+4s+16)');
例3-12 二阶系统闭环传递函数的标准形式为 22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
n 令 =1，为一定值，则系统的瞬态响应只与参变量 有关。下面用MATLAB分析
分别为0、0.3、0.5、0.7、1时系统的单位阶跃响应。
t=0:0.1:12
num=[1]; Zetal=0;
den1=[1 2*Zetal 1];
Zeta2=0.3;den2=[1 2*Zeta2 1];
Zeta3=0.5;den3=[1 2*Zeta3 1];
Zeta4=0.7;den4=[1 2*Zeta4 1];
Zeta5=1;den5=[1 2*Zeta5 1];
[y1,x,t]=step(num,den1,t);
[y2,x,t]=step(num,den2,t);
[y3,x,t]=step(num,den3,t);
[y4,x,t]=step(num,den4,t);
[y5,x,t]=step(num,den5,t);
plot(t,y1, t,y2, t,y3, t,y4, t,y5);
grid on;
系统的单位斜坡响应和脉冲响应
对于系统的单位斜坡响应和单位脉冲响应，也可以用step(num,den)指令来求取。
当输入为单位斜坡信号，即 时，系统相应的输出为： 2/1)( ssR
2
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )C s G s R s G s T s
s s
式中， 。这样仍可用step指令求取，虽然它是针对传递函数 ，
但实际所得的结果是传递函数为 的系统的单位斜坡响应。同时，当系统的输
入信号为单位理想脉冲函数 时，即R(s)=1，系统的输出为：
ssGsT /)()( )(sT
)(sG
)(t
ssT
sssGsGsC
1)(
1)()()(
式中， 。应用step指令求取传递函数为 的单位阶跃响应，它
等价于传递函数为 的系统的单位脉冲响应 。
)()( ssGsT )(sT
)(sG )(tg
81
试求：1）系统的单位斜坡响应
2）系统的单位脉冲响应
解 1）系统的单位脉冲响应
由于 时，则系统的输出为： 2/1)( ssR
2 2 2
( ) 1 1 1 1( )
( ) 0.6 1 s ( 0.6 1)
C sC s
R s s s s s s s
在MATLAB中求解的程序如下：
num=[1];
den=[1 0.6 1 0];
t=0:0.1:12;
c=step(num,den,t);
plot(t,c,t,t);
title('Unit-Step Response curve for
G(s)=1/s^2+0.6s+1)');
xlabel('t/s');
ylabel('c(t)');
grid on
图3-33为该系统的单位斜坡响应曲线。 图3-33 单位斜坡响应
例3-13 已知一控制系统的闭环传递函数为
16.0
1
)(
)()(
2
sssR
sCsG
2）系统的单位脉冲响应
令 时，则系统的输出为： 1)( sR
sss
s
sssR
sCsC
1
16.016.0
1
)(
)()(
22
在MATLAB中求解的程序如下：
num=[1,0];
den=[1 0.6 1];
t=0:0.1:12;
c=step(num,den,t);
plot(t,c);
title('Unit-Step Response curve for
G(s)=1/s^2+0.6s+1)');
xlabel('t/s');
ylabel('c(t)');
grid on
图3-34为该系统的单位脉冲响应曲线。
用Simulink对系统仿真
1新建文件；
2选取模块；
• Step，阶跃信号（simulink-sources-step）
• Integrator，积分环节（simulink-continous-integrator）
• Transfer fcn，传递函数（simulink-continous-transfer fcn）
• Substract，减法器（simulink-mathoperation-substract）
• Scope，示波器（simulink-sinks-scope）
3模块连线；
4仿真运行；
5查看结果。
例3-14 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为
)2(
2)(
sssG
试用Simulink求取系统的单位阶跃响应。
解 构建系统的仿真框图，如图3-36 a所示。仿真结果如图3-36b所示。
图3-36 例3-14图
a) 仿真系统框图 b)单位阶跃响应
a) b)
例题：3-1阶跃信号作用下，稳态误差？
0 0
1 1 ( ) 1/ 0
1 1lim limss
s s
se sE s s s
s K K
E s 1 1 1
R s 1 11 1
1
s
KGH s K
s
R s 1/ s
例题：3-2，斜坡信号作用下，系统输出？
1s 11
1R s 1 21 1
1
C G s
GH s
s
2 2
1 1/ 2 1/ 4 1/ 4s
2 2C
s s s s s
2R s 1/ s
1 21 1 1( ) ( )
2 4 4
tc t C s t e
例题：3-3求单位阶跃信号下参数K1,K2,a
1 2
2
2
s
R s 1
C K KG
GH s as k
1 2
2
2
sK K
Cs s as k
1 2
10 0 2
2
( ) lim ( ) lim =s s
K Kc sC s s K
s s as k
R s 1/ s
1( ) 2 2c K 由 图 可 知 ，所 以
例题：3-3求单位阶跃信号下参数K1,K2,a
219%
0.6
pM e
由
可得
p2
3.14t 0.75
1
5.2
d n
n s
由
可得2
2 27.04
2 6.24
n
n
K
a
2
21 12 2 2
2
s
R s 2
n
n n
C KK K
s as k s s
例题：3-5（1）Gc（s）=1，系统稳定？
（2）Gc（s）=Kp（s+1）/s，系统稳定的条件？
(1)
3 2
特征方程为：s(s+5)(s+10)+20=0
s +15s +50s+20=0
3
2
1
0
s 1 50 0
s 15 20 0
s 730 /15 0 0
s 20 0 0
劳斯表：
劳斯表系数均为正，系统稳定
4
3
2
1
0
s 1 50
s 15 0
s 750 20 /15 0
750 20s 0 0
750 20
s 20 0 0
Kp
Kp
Kp
Kp
劳斯表：
20Kp
20Kp
20Kp
20Kp-225X20Kp
(2)
20Kp s+1Gc(s)G(s)=
2
系统开环传递函数
s (s+5)(s+10)
(1) 750 20 /15 0
37.5
Kp
Kp
750 20(2) 0
750 20
26.25
Kp
Kp
Kp
20Kp-225X20Kp
(3)20 0
0
Kp
Kp
0 26.25Kp 所以：
Gc（s）=Kp（s+1）/s
20Kp s+12
4 3 2
特征方程为：s (s+5)(s+10)+ =0
s +15s +50s +20Kps+20Kp=0
