年度電磁気学演習年月日版) 2019年度京都大学理...

2019年度電磁気学演習 1 (2019年 10月 10日版)

2019年度京都大学理学部電磁気学演習1組分け名簿に載っていない人は、説明の後に担当教員(手塚)まで申し出てください。

日程

毎回金曜日 13:00 – 14:30; 2019/11/22, 2019/12/27, 2020/ 1/ 3 は休み。センター試験前日の2020/1/17 (金)の演習は、前日の 16日(木)に振り替えます。下記の内容は、各クラスでの発表の状況などにより、多少前後することがあります。

回演習日予定している主な内容出欠

1 2019/10/ 4 ベクトル解析の復習

2 2019/10/11 Maxwell方程式3 2019/10/18 真空中の静電場

4 2019/10/25 多重極展開

5 2019/11/ 1 導体系の静電場

6 2019/11/ 8 2次元・ 3次元境界値問題7 2019/11/15 鏡映法, 等角写像

8 2019/11/29 Maxwellの応力9 2019/12/ 6 誘電体の静電場

10 2019/12/13 誘電体でのエネルギーと力

11 2019/12/20 定常電流による静磁場

12 2020/ 1/10 真空中の静磁場

13 2020/ 1/16 磁性体の静磁場

14 2020/ 1/24 磁場が電流に及ぼす力

(15) 2020/ 2/ 3頃 (期末レポート提出締切)

成績

以下を加算した数値をもとに、 100 – 0 点の間でつける予定です。

• 発表 (A(15), B(10), F(0)) 単位の取得を希望する人は必ず発表すること。最大 30点を予定。• 小レポート (A(10), D(5), F(0)) 期間中に 3回実施。他の人と相談してもよいが、解答の作成は他の受講者の答案を見ずに自力で行うこと。 2週間後の演習終了時に提出締切。メールの場合は担当教員と TAの両方に締切日 (日本時間) 中に。締切の次の演習の際に返却予定。 F の場合は返却 2週間後までの再提出を強く推奨する。 D の場合も再提出可能。合計 30点満点。

• 出席シート 10回程度実施。期末までに返却。 (10点)• 期末レポート (30点満点) 期末に 1回。

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2019年度電磁気学演習 1 (2019年 10月 10日版)

方針

講義「物理学基礎論 B」, 「電磁気学続論」で学習した内容を踏まえ、講義「電磁気学 A」で解説される内容を中心に演習を行います。発表者と他の受講者が積極的な質疑応答を行うことで、静的な系の古

典電磁気学に習熟します。 (単位系は国際単位系 (SI) を用います)

配布する問題を皆が解いて集まり、発表者が黒板で解いて質疑応答を行うのを主とします。次回発表

することになったら、問題を解くだけでなく、ぜひ発表用のまとめを作って、何回か練習しましょう。発表時は

初めに問題番号・名前・学生番号の下 4桁を見やすく書いてください。そして、

次の (5–10)分で何を説明するか宣言する→宣言した時間で説明する→何を説明したかまとめる

というサイクルごとに質問に対応することの繰り返しで、進めてください。

1人の発表につき、長くても発表者による説明 20分, 質疑応答およびクラス担当者からのコメント 5分の 25分で終わらせることを原則とします。発表者まかせにするのでなく、積極的に参加するとの意識を持ち、随時発言してください。発表にプロジェクターが必要なときは、前の週にクラス

担当者と相談してください。

次週の黒板での発表者は、まだ発表していない人を優先に、希望者からクラス担当者が指名しますが、

指名された人が来ていない場合はその場で希望者に振り替えます (状況により分割可能。 ∗ つきの問題・小問は省略可)。

教室とクラス担当 TA

原則として 3週ごとに手塚が担当しますが、出張などにより変更することがあります。

組 (教室) 氏名所属 E メールアドレス

1組 (302)いく

幾た

田かい

佳宇宙物理学教室 ikuta at kusastro.kyoto-u.ac.jp

2組 (303)わ

和だ

田とも

知き

己基礎物理学研究所 tomoki.wada at yukawa.kyoto-u.ac.jp

3組 (401)こ

小にし

西かず

一き

貴物理学第一教室 konishi.kazuki.55a at st.kyoto-u.ac.jp

連絡先

担当教員:て

手づか

塚まさ

真き

樹 (物理学第一教室凝縮系理論グループ。理学研究科 5号館 439号室)質問がある場合、なるべく電子メール (tezuka at scphys.kyoto-u.ac.jp) で事前に連絡してください。(特別な用事がない限り、水曜日 15–18時は原則として在室するようにします)

演習ウェブページ

http://cond.scphys.kyoto-u.ac.jp/~tezuka/em1/PandA は https://panda.ecs.kyoto-u.ac.jp/もし読めないなど不具合があれば、上記メールまたは 075–753–3798 までお知らせください。

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第 1章

ベクトル解析の復習とMaxwell方程式

� �• 3次元極座標, 円柱座標で div, rot, grad, 4 が計算できるようになる。• ストークスの定理, ガウスの発散定理を利用できるようになる。• デルタ関数の各種の座標系での表現を導出できるようになる。� �

1.1 その場問題

各教室に移動後、問題 [1], 問題 [2], 問題 [3] を 40分程度で解き、残り時間で発表者を決めて簡潔に発表してください。問題 [1], 問題 [2] は、必要ならば 2人で分担して発表してください。

問題 [1] ディラックのデルタ関数

ディラックのデルタ関数について説明せよ。また、ディラックのデルタ関数を適切に用いて、下記の場合

に、 3次元の電荷分布 ρ(r) を表せ。 (b), (d)では、求めた ρ(r) の 3次元空間全体にわたる積分が、与えられた全電荷と一致することを確認せよ。

(a) xy平面上 (z = 0)に、単位面積あたり σの電荷が均一に分布している。(3次元直交座標 (x, y, z)

を用いる)

(b) 原点を中心とする半径 R の球面に、全電荷 Qが均一に分布している。(3次元球座標 (r, θ, φ) を

用いる)

(c) z軸を中心とする半径 bの円柱表面に、軸に沿った単位長さあたり λの電荷が、均一に分布してい

る。(円柱座標 (ρ, θ, z) を用いる)

(d) xy 平面上 (z = 0) の原点を中心とする半径 R の薄い円盤上に、全電荷 Q が均一に分布してい

る。(円柱座標 (ρ, θ, z) と 3次元球座標 (r, θ, φ) の場合についてそれぞれ表す。場合分けして書い

ても、ヘヴィサイドの階段関数 Θ(x) を用いてもよい)

2019年度電磁気学演習 1 第 1週問題 (2019年 10月 10日版)

問題 [2] ストークスの定理とガウスの発散定理

(a) 3次元空間でストークスの定理 ∮C

A(r) · dl =∫

S(∇ × A) · nda, (1.1.1)

を考える。ただし S は閉曲線を境界とする曲面で A(r)はその近傍で定義された充分滑らかなベクトル場、 da は S 上の微小面積要素、 nは S の法線ベクトル、 C は S の境界で nについて右ねじの向きに向き付けされており、 dl は C 上の微小線要素である。

この定理の意味するところについて、図を用いるなどして、直感的な説明を試みよ。そして、例と

して、 S = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0} で、この定理が成り立つことを確認せよ。

(発表では、計算の方針がわかるような説明まででよい。 n = z と選んでよく、その場合は C は

(0, 0, 0)→ (1, 0, 0)→ (1, 1, 0)→ (0, 1, 0)→ (0, 0, 0)のように向き付けられる)

(b) 3次元空間でガウスの発散定理∫V∇ · A(r)dv =

∫∂V

A(r) · ndS , (1.1.2)

を考える。ただし ∂V は領域 V の境界で nは ∂V の外向き単位法線ベクトル、 dv は V の微小体

積要素、 dS は ∂V の微小面積要素とする。

この定理の意味するところについて、図を用いるなどして、直感的な説明を試みよ。そして、例として、

V = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}で、この定理が成り立つことを確認せよ。(発表で

は、計算の方針がわかるような説明まででよい)

問題 [3] 曲面の面積

3次元空間中で 2つの実パラメータ (s, t)でパラメータづけられた曲面 S ((s, t) ∈ A) の面積が

S =

"A

dsdt

√∣∣∣∣∣∂r∂s

∣∣∣∣∣2 ∣∣∣∣∣∂r∂t

∣∣∣∣∣2 − (∂r∂s·∂r∂t

)2(1.1.3)

で表されることについて説明せよ。(たとえば単位球面の場合、

r =

sin s cos tsin s sin t

cos s

, A = {(s, t)|0 ≤ s ≤ π, 0 ≤ t ≤ 2π} (1.1.4)

は、このようなパラメータづけの例になっており、右辺に代入して計算すると

"A

dsdt

√√√√√√∣∣∣∣∣∣∣∣cos s cos tcos s sin t− sin s

∣∣∣∣∣∣∣∣2 ∣∣∣∣∣∣∣∣

− sin s sin tsin s cos t

0

∣∣∣∣∣∣∣∣2

−

cos s cos tcos s sin t− sin s

·− sin s sin t

sin s cos t0

=

∫ π

0

ds∫ 2π

0

dt√

sin2 s − 0 =

∫ π

0

ds2π sin s = 4π (1.1.5)

が得られる。ただ、一般には右辺の根号の中の第 2 項の内積が 0 でないことがありうる)

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1.2 ベクトル解析に関する自習問題

自習問題 1: ベクトル

(a) 3次元空間のベクトル A, B,C を考える。以下を示せ。

A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B). (1.2.1)

なお、最初の等号を示せば充分である(なぜか?)。

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B). (1.2.2)

(b) 3次元空間で位置ベクトル r と定ベクトル A を考える。以下を示せ。

rot r = 0, (1.2.3)div r = 3, (1.2.4)

grad (A · r) = A, (1.2.5)rot (A × r) = 2A, (1.2.6)div (A × r) = 0. (1.2.7)

自習問題 2: 円柱座標

以下の量を、 3 次元円柱座標 (ρ, θ, z) での成分とそれぞれの座標軸の方向の単位ベクトル

eρ, eθ, ez を用いて表せ。 φ(r)は滑らかなスカラー場, A(r)は滑らかなベクトル場である。

(a) grad φ.(b) rot A.(c) 4 φ.(d) div A.

1.3 Maxwell方程式� �• Maxwell 方程式の微分形と積分形を理解する。• 静的な Maxwell 方程式を用いて、導体系での電荷の振る舞いについて導かれる性質を理解する。

• グリーンの定理を発散定理から導き、静的な系でのスカラーポテンシャルの一意性を導く。• Maxwell 方程式から電荷の保存を導く。また、ベクトルポテンシャルの不定性を理解する。• 電荷に働く力を調べる。� �

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自習問題 3: 真空中のMaxwell方程式

真空中のMaxwell方程式 (微分形)

∇ × E(r, t) = −∂tB(r, t), (1.3.1)∇ × B(r, t) = µ0( j(r, t) + ε0∂tE(r, t)), (1.3.2)

∇ · E(r, t) =ρ(r, t)ε0

, (1.3.3)

∇ · B(r, t) = 0, (1.3.4)

(通常通り、 Eは電場、 Bは磁束密度、 jは電流密度、 ρは電荷密度、 ∂t は時刻 tでの偏微分、 µ0は真空の透磁率、 ε0 は真空の誘電率)について、

(a) (1.3.2), (1.3.3)から、電荷が保存することに対応する式を導出せよ。(b) (1.3.4)は、 B = rot A となる A (ベクトルポテンシャルと呼ばれる)が存在する必要十分条

件であることを説明せよ。

(c) このとき、 A は一意には決まらない。どのような不定性があるかを任意関数 ψ(r) を用いて説明せよ。

(d) スカラーポテンシャル Φ(r, t)が導入できることを説明し、上で述べた A の不定性に対応して、スカラーポテンシャルをどのように変更すれば E と Bが不変に保たれるかを述べよ。

自習問題 4: Maxwell方程式の微分形と積分形

• 微分形の Maxwell 方程式について、対応する積分形の式を示し、それぞれ、何の法則と呼ばれるかを説明せよ。

自習問題 5: 時間反転と空間反転、極性ベクトルと軸性ベクトル

• 微分形の Maxwell 方程式が、時間反転と空間反転で、それぞれどのように変換されるかを説明せよ。

• Maxwell 方程式に「磁荷」 ρm と「磁流」 jm を導入したものを書き、空間反転でどうなるかを説明せよ。とくに、 ρm は擬スカラーとなることを説明せよ。

自習問題 6: Earnshawの定理

電荷のない空間ではポテンシャルの極大点, 極小点が存在せず、電荷の集団は、静電力だけで安定なつり合いを保つことはできないことについて説明せよ。

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第 2週発表問題

問題 [4] 静的なMaxwell方程式

静的なMaxwell方程式

∇ · E =ρ

ε0, (1.3.5)

∇ × E = 0, (1.3.6)

を使って以下を示せ。

(a) 導体中の電荷は表面にのみ分布する。(b) 中空の閉じた導体を考える。導体の外におかれた電荷による電場は、内部の閉じた空間の電場に

影響しない。しかし、内部の閉じた空間においた電荷は、導体外に電場を作る。

(c) (滑らかな)導体表面に単位面積 σ(r) で分布する電荷が、導体表面で作る電場は面に垂直であり、大きさは σ/ε0 である。

(d) * 避雷針について説明せよ。

問題 [5] 電荷に働く力と電気力線

電場 E(r)があるとき、位置 r にある電荷 qがこの電場から受ける力は、 F = qE(r)で与えられる。電場の空間内での配位を、電気力線で表す。具体的には、(3次元空間の)曲線 r(s)で、微分方程式

dr(s)ds

= E(r(s)) (1.3.7)

を満たすものを、いくつかの初期条件について(2次元平面に)図示することにする。

(a) 一直線 L上に点電荷 q1, q2, . . . , qn が固定されている。 L を含む平面上で、これら電荷の作る電

気力線は、各電荷と電気力線上の点 P を結ぶ線分が L となす角を θ1, θ2, . . . , θn とするとき、(初

期条件による)定数 C を用いてn∑

i=1

qi cos θi = C (1.3.8)

と表せることを説明せよ。(半頂角 αの円錐形の、頂点から見た立体角は ω = 2π(1 − cosα) となることをまず示そう。このことと、各電荷から、点 P を L まわりに回転させてできる円板 S (P) を見込

む立体角との関連を考えよ。 C をいろいろな値にとれば、何本も電気力線を描くことができることに

なる)

(b) 2個の電荷 Q = +mq と −q (m > 1, q > 0) があるとき、 Q から出発した電気力線の一部は無

限遠に行き、残りは −q に入る。その境界の電気力線が Q を出発する角度を求めよ。また、 m = 4

として、この系の電気力線を描け。

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問題 [6] * スカラーポテンシャル

静的な Maxwell 方程式 (1.3.5), (1.3.6) を考える。 (1.3.6) から、スカラーポテンシャル Φ(r, t) を用いて

E = −∇Φ (1.3.9)

と書けることがわかる。電荷分布が与えられたとき、この Φはポアソン方程式

∇2Φ(r) = −ρ(r)ε0

(1.3.10)

の解となる。この解が

Φ(r) =1

4πε0

∫ρ(r′)|r − r′|

d3r′ (1.3.11)

で与えられることを確かめてみよう。 ∇2G(r) = −δ3(r)の特解を、 G(r) =∫

G(k) exp(ik · r)d3k のよう

にフーリエ積分で書き、デルタ関数のフーリエ積分による表示 δ3(r) = (2π)−3∫exp(ik · r)d3k を用いて

G(k) を求めることにより計算してもよいが、ここでは、長さ a > 0 を導入して以下を考える。

Φa(r) =1

4πε0

∫ρ(r′)√

(r − r′)2 + a2d3r′. (1.3.12)

(a) x = |r − r′| とすると、以下が成り立つことを示せ。

∇2rΦa(r) = −1

4πε0

∫3a2

(x2 + a2)5/2ρ(r′)d3r′ (1.3.13)

また、 rを中心として半径 Rの球 S R内で ρの変化が小さいとする。球の外側での積分は、 a(� R)を 0に近づけると a2 のように小さくなる(O(a2) と書く)ことを説明せよ。

(b) このとき、

∇2rΦa(r) = −1

4πε0

∫S R

3a2

(x2 + a2)5/2ρ(r′)d3r′ + O(a2) (1.3.14)

であるが、これが

∇2rΦa(r) = −1

4πε0

∫ R

x=0

4π3a2

(x2 + a2)5/2

[ρ(r) +

x2

6∇2ρ+ · · ·

]x2dx + O(a2) (1.3.15)

のように展開できることを説明し、右辺を計算し a の次数ごとに整理して a → 0 とすることで、

(1.3.11)が、すなわち、 (1.3.12)で a→ 0 としたものが (1.3.10)の解となることを示せ。(c)

∇2(

1

|r − r′|

)= −4πδ(r − r′) (1.3.16)

と書けることと、 (1.3.10)の解が (1.3.11)で与えられることの関係について説明せよ。

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自習問題 7: グリーンの定理

発散定理 ∫V∇ · A(r)dv =

∫∂V

A(r) · ndS , (1.1.2)

において、(V を含む充分広い領域で定義された、充分な回数微分可能な)スカラー場 φ, ψ を用い

て A = φ∇ψ と書ける場合を考える。

(a) グリーンの第一公式 ∫V(φ∇2ψ+ ∇φ · ∇ψ)dv =

∮∂Vφ∂ψ

∂ndS (1.3.17)

を示せ。ただし、∂ψ∂n は、 ψ の ∂V に垂直な方向の微分で、 V の内側から外側へ出るときに

ψが増加する場合に正となるように定義されたものとする。

(b) 下記のグリーンの第二公式を示せ:∫V(φ∇2ψ − ψ∇2φ)dv =

∮∂V

(φ∂ψ

∂n− ψ

∂φ

∂n

)dS . (1.3.18)

(c) 静的な系で、体積 V でスカラーポテンシャル Φ を求めることを考える。 Φは

∇2Φ(r) = −ρ(r)ε0

(1.3.10)

を満たす。表面 ∂V 上で Φ の値が与えられている(ディリクレ境界条件)か、または、 ∂Φ/∂n

の値が与えられている(ノイマン境界条件)ときには、 Φ(r) は V 全体で定数の差を除いて一

意に定まることを示せ。(2 つの解 Φ1,Φ2 を仮定し、その差 U = Φ2 − Φ1 の満たすべき式

を考える)

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第 2章

真空中の静電場

2.1 電荷分布が与えられたときの静電場� �• 電荷分布からスカラーポテンシャルを求める。• 球対称な系、軸対称な系の扱いに慣れる。• 電荷分布の間に働く力を求める。� �

自習問題 8: 球対称な系

原点 O を中心とする半径 aの球内に電荷 Qが分布している。電荷密度 ρ(r)は原点からの距離 r

のみに依存し、ある定数 kがあって rk に比例するものとする。

(a) 有限の qがあって

ρ(r) = ρ(r) = qrk (2.1.1)

と書けるための k の範囲を述べ、 q を Q, a, kで表せ。

(b) 球の内外での電場 E を求め、 k = 0 (一様な分布)の場合に、 |E(r)| を r の関数として図

示せよ。

問題 [7] 円形コイルと円板

半径 zの円形コイルに線密度 λで電荷が一様に分布している。

(a) 電荷の総量 Q を求め、コイルの中心からの距離 R � zのところで電場がどうなるかを述べよ。

(b) 中心軸上、コイルの中心から xの距離での電場を求めよ。

半径 aの円板に面密度 σで電荷が一様に分布している。

(c) 中心軸上、円板の中心から x の距離の点 P での電場を求めよ。ただし、円形コイルについての問題の結果を用いてよい。


(d) 上記の結果を、(無限に広がる)平面に面密度 σで分布する電荷の場合と比較して議論せよ。(たと

えば、無限平面から距離 xの点での電場の半分の(あるいは、一般に κ倍の)強さの電場が得られ

るのは、 aがどのくらいのときか。点 Pから円板を見込む立体角との関連を考えよ。)

自習問題 9: 線分・直線上の電荷分布

(a) 線密度 λの一様な電荷が、点 A (0, 0,−`/2) と点 B (0, 0, `/2) を結ぶ線分上に分布して

いるとき、点 P (a, 0, z) における電位 Ψ を求めよ。

(b) 上記で z = 0 のとき、電場の強さを求めよ。また、 ` → ∞ の極限ではどうなるかを述べよ。

(c) (x, y, z) = (0,−d/2, 0) と (0, d/2, 0) をそれぞれ通り、 z軸に平行な長い 2本の直線上に、−λ, λ の線密度で電荷が分布しているとき、 (x, y, z) = (r sin θ, r cos θ, 0) における電位を求め、 r � d のとき((d/r) の最低次で)どう近似されるかを述べよ。

2.2 多重極展開� �• ルジャンドルの多重極展開について理解する。• 電場と双極子の相互作用、双極子の間に働く力を計算できるようになる。� �

問題 [8] ルジャンドルの多重極展開

原点 O を中心とする半径 a の球内 V に電荷分布 ρ(r)があり、球の外には電荷がないとする。以下で表される、球の外の点 rでの静電ポテンシャルを求めたい。

φ(r) =1

4πε0

∫V

ρ(r′)|r − r′|

d3r′. (2.2.1)

(a) r と r′ のなす角を θ と書くとき、 |r − r′| =√

r2 + r′2 − 2rr′ cos θであることを示せ。(b) r > a より、積分の範囲について r′ < r なので、 |r − r′|−1 = (r2 + r′2 − 2rr′ cos θ)−1/2 を (r′/r)

でべき

冪級数展開する。

(r2 + r′2 − 2rr′ cos θ)−1/2 =1

r

∞∑l=0

(r′

r

)l

Pl(cos θ). (2.2.2)

ここで、 x = cos θ とすると、 Pl(x) は x の多項式であり、ルジャンドル多項式と呼ばれる。

Pl(x) (l = 0, 1, 2, 3) を求めよ。(t = r′/r とする。与えられた式の両辺を r 倍して得られる式1

√1+t2−2xt

=∑∞

l=0 tlPl(x) を満たす Pl(x) を得ればよい)

(c) 上の結果から、静電ポテンシャルは次のように展開できる。

φ(r) =∞∑

l=0

1

rl+1

∫V

1

4πε0r′lρ(r′)Pl(cos θ)d3r′. (2.2.3)

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l ≤ 2 の項に対応する静電ポテンシャルを求めよ。ただし、以下で与えられる双極子モーメント p, 四重極モーメント

←→Q = (Qi j)

3i, j=1 と、 n = r/r を用いて定義される Q = n ·

←→Q · n =

∑3i, j=1 niQi jn j

を用いよ。

p =

∫V

r′ρ(r′)d3r′, Qi j =

∫V

(r′i r′j −

1

3δi jr′2

)ρ(r′)d3r′. (2.2.4)

(以下では、 Q12 = Qxy, Q33 = Qzz など、適宜、添字 1, 2, 3 を x, y, zで書くことがある)

自習問題 10: ルジャンドル多項式

ルジャンドル多項式が満たす微分方程式を導き、ルジャンドル多項式の満たす性質を調べよう。

r0 = (0, 0, r0)にある電荷 qが rに作る静電ポテンシャルは

φ(r) =q

4πε0V (r0, r, cos θ) , V(r0, r, cos θ) =

1√r2 + r20 − 2rr0 cos θ

(2.2.5)

と書けるので、電荷のところ以外では V(r0, r, cos θ) はラプラス方程式 ∇2V = 0 を満たすことがわ

かる。

(a) 極座標表示のラプラス方程式に上の V を代入したものと (2.2.2) を比較して、ルジャンドル多項式 Pn(x)が微分方程式

ddx

((1 − x2)

dPn(x)dx

)+ n(n + 1)Pn(x) = 0 (2.2.6)

を満たすことを示せ。

(b) 上の微分方程式の解(定数倍しても解だが、使いやすいように係数を選ぶ)が次のロドリゲスの公式で与えられることを示し、前に求めた P0, P1, P2, P3 と一致するか確認せよ。

Pn(x) =1

2nn!dn

dxn [(x2 − 1)n]. (n = 0, 1, 2, . . .) (2.2.7)

(c) 上記の解が、直交性 ∫ 1

−1

dxPm(x)Pn(x) =2

2m + 1δmn, (2.2.8)

およびボネの漸化式

(n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn−1(x), (n = 1, 2, 3, . . .) (2.2.9)

を満たすことを示せ。

自習問題 11: 双極子モーメントと電場

原点を中心として対称な位置 d/2, −d/2 に電荷 q, −qが配置されているとき、電気双極子モーメ

ントが p = qdで表されることを説明せよ。また、一様な電場 Eがあるとき、この電気双極子 pが電場から受ける力は全体として 0であることを示し、電場から受けるトルク N を求めよ。

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問題 [9] 双極子モーメントの間に働く力

(a) 原点 Oから見て r1 がオイラー角 (θ1, ϕ1)の、 r2 がオイラー角 (θ2, ϕ2)の向きにあるとする。 r1 とr2 のなす角を γ とするとき、 cos γ を θ1, ϕ1, θ2, ϕ2 で表せ。

(b) 2 つの電気双極子 p1, p2 がそれぞれ位置 r1, r2 に固定されている。相互作用エネルギー U を、

r ≡ r2 − r1 として、 (p1 · r), (p2 · r), (p1 · p2)などを用いて表せ。(c) 電気双極子の位置を固定したまま向きを変えて、 U を最小にするときの向きについて述べよ。

問題 [10] 多重極モーメント

(a) 四重極モーメント←→Q = (Qi j)

3i, j=1 がトレースレス(

∑i Qii = 0)かつ対称(Qi j = Q ji)な 2階テンソ

ルであることを確認し、 z軸に関し回転対称な電荷分布につき、四重極モーメント←→Q の独立な成

分は 1つのみである(たとえば Qzz が決まれば、他の成分を Qzz で表せる)ことを示せ。

(b) z軸上、 z = ±a の位置にそれぞれ電荷 +q, z = 0 の位置に電荷 −2qがある系を考える。この系

の全電荷(単極子), 双極子モーメント, 四重極モーメントを求め、電気力線を図示せよ。(c) * 全電荷, 双極子モーメント, 四重極モーメントのどの成分も 0 で、八重極モーメントが 0 でない

ような電荷分布を、なるべく少数の点電荷で構成し、そのときの八重極モーメントを適当な表式で

表せ。

(d) * 一般に 2n 重極モーメントの独立な成分はいくつあるか。

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第 3章

導体系の静電場, 静電容量係数と静電誘導係数, 境界値問題

3.1 導体系の静電場とそのエネルギー� �• 電荷分布の一意性, Greenの相反定理について理解する。• 導体系の電荷分布と電位分布について、重ね合わせの原理が成り立つことを理解する。• 電位係数, 静電容量係数, 静電誘導係数を各種の導体の配置で計算できるようになる。• 静電場のエネルギーを計算できるようになる。� �

自習問題 12: 真空中の導体系と Greenの相反定理

真空中に n個の導体がある静的な系を考える。無限遠での電位を 0 とする。

(a) 電位分布 V(r)が与えられたとき、導体の (表面の)電荷分布が一意に定まることを説明せよ。また、各導体の電荷量 {Qi}

ni=1 が与えられても、導体の電荷分布は一意に定まることが

わかる。

(b) 各導体の電荷量が {Qi}ni=1 のときの各導体の電位を {Vi}

ni=1, 電荷量が {Q

′i}

ni=1 のときの

各導体の電位を {V ′i }ni=1 とする。以下の Greenの相反定理が成り立つことを説明せよ:

n∑k=1

VkQ′k =n∑

k=1

V ′kQk. (3.1.1)

(c) 電荷量が {Qi + Q′i}ni=1 であれば、各導体の電位は {Vi + V ′i }

ni=1 となることを示せ。


自習問題 13: 相反定理の利用

導体 1 は導体 2 に囲まれている。導体 2 に囲まれている領域のうち、導体 1の外側に点 P をとる。導体 1, 2 に適当な電荷を与えて、導体 1の電位を V1, 導体 2の電位を V2 にしたところ、点 Pの電位は V ′ となった。

(a) 導体 1, 導体 2 を接地し、点 P に電荷 q をおいた。このとき、導体 1, 導体 2 に誘導される電荷 q1, q2 を求めよ。

(b) 導体 1が点 O を中心とする半径 r1 の球, 導体 2が同じ点 O を中心とする半径 r2 の球で

あるとする。点 Pの点 Oからの距離が r (r1 < r < r2) のとき、 q1, q2 を具体的に求めよ。

問題 [11] 電位係数と静電容量

真空中に n個の導体がある静的な系を考える。無限遠での電位を 0 とする。

(a) 第 j番目の導体にのみ 0でない電荷 q j を与え、他の導体の電荷は 0 とした場合に第 i番目の導

体の電位が Vi となるとき、電位係数 pi j を pi j = Vi/q j と定義する。

次に、一般に 1, 2, . . . , n 番目の導体に電荷 q1, q2, . . . , qn を与えると、第 1, 2, . . . , n 番目の導体

の電位 V1,V2, . . . ,Vn についてV1

V2...

Vn

=p11 p12 · · · p1n

p21 p22 · · · p2n...

.... . .

...pn1 pn2 · · · pnn

q1

q2...

qn

(3.1.2)

となること、そして、電位係数の間に、 pkl = plk > 0, k , l のとき pkk > pkl という関係が成り立つ

ことについて説明せよ。

(b) k番目の導体の静電容量 Ck は、 qk , 0, Vl = 0 (l , k) のときの Vk を用いて、 Ck = qk/Vk と

与えられる。また、導体 k と導体 l の間の静電容量 Ckl は、 qk = Q, ql = −Q, qm = 0 (m , k, l)

のときの Vk,Vl を用いて、 Ckl =Q

Vk−Vlで与えられる。このとき、 Ck および Ckl を、行列 (pkl) を用

いて求める方法を説明せよ。ただし、行列 (pkl)の逆行列を行列 (ckl) とする。

自習問題 14: 静電容量とその単位

静電容量の SI単位はファラド (farad, F)であり、 1 F = 1 C/V である。静電容量の次元を、長さ[L], 質量 [M], 時間 [T], 電流 [I] を用いて表し、 1 F を m, kg, s, Aで表せ。

問題 [12] 静電容量の計算

2 つの導体に +Q, −Q の電荷を与えて電位差 ∆V が生じるとき、この 2 つの導体からなるコンデンサ(capacitor)の静電容量 (capacitance)は C = Q/∆V であるという。以下、導体の周囲は真空とする。

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(a) 距離 d 離れて並行して置かれた、 2枚の平らな面積 A の導体平面からなるコンデンサについて、

A � d2 のとき、静電容量を求めよ。 A � d2 といえないほど離れていたらどうなるか?(b) 同じ中心をもつ 2 つの導体球面で半径が a, b (b > a) のものからなるコンデンサについて、静電

容量を求めよ。

(c) 同心である 2つの円柱側面で半径が a, b (b > a)のものからなるコンデンサについて、長さ L � b

のとき、静電容量を求めよ。

問題 [13] 静電容量係数と静電誘導係数

(3.1.2) に現れる電位係数行列 (elastance matrix) (p jk) の逆行列(静電容量行列 capacitancematrix)を考える:

q1q2...

qn

=c11 c12 · · · c1n

c21 c22 · · · c2n...

.... . .

...cn1 cn2 · · · cnn

V1

V2...

Vn

. (3.1.3)

対角成分 ckk は導体 k の(静電)容量係数、非対角成分 c jk = ck j は導体 j と導体 k の(静電)誘導係数

といわれる。必要ならば k0 = (4πε0)−1 を用いて、以下に答えよ。

(a) 合計 Qの電荷をもった導体系の n個の導体をすべて充分細い導線で接続して同一の電位 V とす

るときの、合成導体の静電容量 C = Q/V を、 {c jk}で表せ。

(b) 半径 a, b の 2 つの導体球が、半径に比べ充分大きな中心間距離 d を隔てて置かれている。容量

係数 ca, cb と、誘導係数 cab を求めよ。

(c) 半径 aの導体球 1 を、同じ中心を持つ半径 bの薄い導体球殻 2で囲う。電位係数 p11, p22, p12

と容量係数 c1, c2、誘導係数 c12 を求めよ。

3.2 静電場のエネルギー

問題 [14] 静電場のエネルギー

ポテンシャル Φが(電荷の導入により乱されない)外部電場により作られているとき、その中に置かれた

電荷分布 ρ(r)のエネルギーは U =∫ρΦd3r で与えられる。

(a) 真空中で、ポテンシャル(無限遠で 0 とする)も電荷分布によって作られているとすると、

U =1

2

∫ρΦd3r =

ε02

∫|E|2d3r (3.2.1)

となることを説明せよ。(無限遠から電荷分布を微小量 δρ だけ運んできて加えるのに必要な仕事量 δU

を、それまでに形成されたポテンシャルで表し、 U =∫ ρ(r)ρ=0

δU と考える。また、 δρ = ε0∇ · δE である)

(b) 真空中で、面積 A, 間隔 d の平行平板コンデンサに電荷 Qが蓄えられているとき、平板の境界の

影響は無視できるとして、電場のエネルギーを求めよ。

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年度電磁気学演習 年 月 日版) 2019年度京都大学理...

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