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ERWARTUNGSTREUER, KONSISTENTER SCHÄTZERUniversität PotsdamSommersemester 2011Seminar: Ausgewählte Kapitel der WahrscheinlichkeitstheorieSeminarleiterin: Frau S. RoellyReferentin: Sophie Newiger
Datum: 26. Mai 2011
GLIEDERUNG1 Einstieg in die Thematik (Motivation)
2 Reißzweckenwurf (Binomialverteilung) 2.1 Definition: Schätzfunktion und Schätzer (Wiederholung)2.2 Beispiele für Schätzer2.3 Definition: Erwartungstreue und Konsistenz2.4 Qualität der Schätzer überprüfen
3 Sammelbilderproblem (Diskrete Gleichverteilung)
3.1 Beispiele für Schätzer3.2 Qualität der Schätzer überprüfen
4 Verkehrszählung (Poissonverteilung) 4.1 Beispiel eines Schätzers 4.2 Qualität des Schätzers überprüfen
5 Zusammenfassung6 Quellen
1 EINSTIEG IN DIE THEMATIK (MOTIVATION) schließende bzw. beurteilende Statistik
Beispiele: Bestandskontrollen ,Qualitätskontrollen, Prognose des Wahlverhaltens einer Bevölkerung, …
unvollständige Kenntnis über die zu untersuchenden DatenNotwendigkeit des Schätzens!
parametrische Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter p machen
p bestimmt Verteilung der Stichprobevon Stichprobe auf Grundgesamtheit schließen
1 EINSTIEG IN DIE THEMATIK (MOTIVATION) Wahl eines guten Schätzers hängt von
Qualitätsmerkmalen abz.B. Erwartungstreue und Konsistenz
Betrachtung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen
n-facher Reißzweckenwurf
NotationWahrscheinlichkeitsmaß, welches vom Parameter p abhängt,
unabhängig voneinander und identisch verteilte ZufallsvariablenRealisierungen der Zufallsvariablen
n Anzahl der Würfe k Anzahl der Treffer („Reißzwecke fällt auf den Kopf“)
Zufallsvariable ist bernoulliverteilt zum Parameter p
„Reißzwecke fällt auf den Kopf“
„Reißzwecke fällt schräg auf die Spitze“
2 REIẞZWECKENWURF
pP ]1,0[p
nXX ,...,1
nyy ,...,1
pi BX ,1~
pXPp )1(
pXPp 1)0(
Definition 1: SchätzfunktionEine Schätzfunktion für den Parameter p ist eine Funktion d.h.
Definition 2: Schätzer
Die Zufallsvariable heißt Schätzer für den Parameter p.
2 REIẞZWECKENWURF
]1,0[}1,0{: nt]1,0[),...,( 1 nyyt
),...,( 1
)(
n
n
XXtp
Beispiele für Schätzer
2 REIẞZWECKENWURF
21),...,()1( 11
)(1
nn XXtp
n
iin
n Xn
XXtp1
11)(
21),...,()2(
113)(
3 ),...,()3( XXXtp nn
n
iin
n Xn
XXtp1
,...,14)(
4 11)()4(
Definition 3: ErwartungstreueEin Schätzer für den Parameter p heißt erwartungstreu, wenn für alle .
Definition 4: Konsistenz Ein Schätzer heißt konsistent, wenn für alle
gilt:
, , d.h.
für alle
),...,( 1
)(
n
n
XXtp
pp np
][ )( ]1,0[p
2 REIẞZWECKENWURF
),...,( 1
)(
n
n
XXtp
0
1,0p
Qualität der Schätzer überprüfen
2 REIẞZWECKENWURF
nicht erwartungstreu nicht konsistent
erwartungstreu konsistent
erwartungstreu nicht konsistent
nicht erwartungstreu konsistent
21),...,()1( 11
)(1
nn XXtp
n
iin
n Xn
XXtp1
11)(
21),...,()2(
113)(
3 ),...,()3( XXXtp nn
n
iin
n Xn
XXtp1
,...,14)(
4 11)()4(
3 SAMMELBILDERPROBLEM Wie viel verschiedene Bilder gehören
zu einer Serie?
NotationM Anzahl der verschiedenen Bilder einer Serie:
{1,…,M}
n Anzahl der gekauften Duplo: {1,...,n}
unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen
Realisierungen der Zufallsvariablen
Zufallsvariable ist gleichverteilt zum Parameter M
nXX ,...,1
nyy ,...,1
Beispiele für Schätzer
{nächste ganze Zahl zu }
3 SAMMELBILDERPROBLEM
},...,max{)1( 1)(
1 nn XXM
5)2( 1)(
2
MM n
)(3)3( nM 12
1
n
iiXn
121
n
iiXn
3 SAMMELBILDERPROBLEMo Qualität der Schätzer überprüfen
nicht erwartungstreu konsistent
nicht erwartungstreu nicht konsistent
{nächste ganze Zahl zu } ungefähr erwartungstreukonsistent
},...,max{)1( 1)(
1 nn XXM
5)2( 1)(
2
MM n
)(3)3( nM 12
1
n
iiXn
121
n
iiXn
4 ZÄHLUNG VON AUTOUNFÄLLEN (POISSONVERTEILUNG) In dieser Zählung werden Autounfälle in einem
bestimmten Zeitintervall (pro Tag) erfasst.
Notationn Anzahl der Tage: {1,…n}
entspricht der mittleren Unfallanzahl pro Tag
Anzahl der Autounfälle am i-ten Tag(unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariable)
Realisierungen der Zufallsvariablen
Zufallsvariable ist poissonverteilt zum Parameter
iX
)(~ PoissX i
nyy ,...,1
Beispiel eines Schätzers
erwartungstreukonsistent
4 VERKEHRSZÄHLUNG (POISSONVERTEILUNG)
n
ii
n Xn 1
)(1
1)1(
5 ZUSAMMENFASSUNG Ziel der Statistik: Aussagen über einen
unbekannten Parameter treffendazu erforderlich: Schätzer
Gute Qualität der Schätzer!?Gütekriterien nutzen, wie z.B.
Erwartungstreue: für alle
Konsistenz: für alle
ppEn
p
)()(
]1,0[p
]1,0[p
6 QUELLEN Knöpfel, H. & Löwe, M. (2007). Stochastik – Struktur im
Zufall. München: Oldenburg-Verlag
Georgii, H.-O. (2009). Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. De Gruyter-Verlag.
Bourier, G. (2011). Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik: Praxisorientierte Einführung mit Aufgaben und Lösungen. Wiesbaden: Gabler-Verlag.
Kunze, S. (2010). Das Sammelbilderproblem. Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Online abrufbar unter http://opus.kobv.de/ubp/volltexte/2011/5164/pdf/Preprint_2010_12.pdf