grundbegriffe der (deskriptiven) statistik der wahrscheinlichkeitstheorie
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Grundbegriffe
der (deskriptiven) Statistik
der Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel „Haushaltsgröße“
Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)
Verteilungsfunktion
Zufallsvariablen
VerteilungVerteilungsfunktion
WahrscheinlichkeitsfunktionWahrscheinlichkeitsdichte
Verteilung
Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr-scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen
diskret stetig
diskret
f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion
von X
stetig
f nennt man Dichtefunktion
von X
Verteilungsfunktion
diskret stetig
diskret
stetig
Erwartungswert und Varianz I
Der endliche Fall
Erwartungswert
Varianz
Gegeben seien n Zufallsvariablen
Dann gilt immer:
Wenn gilt
dann hat man auch
Gleichheit von Bienaymé
Beispiel „Haushaltsgröße“
Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)
Der diskrete unendliche Fall
Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz II
Der stetige Fall
f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz III
Gegeben seien n Zufallsvariablen
Dann gilt immer:
Wenn gilt
dann hat man auch
Gleichheit von Bienaymé
Die Binomialverteilung
Erwartungswert
Varianz
Die Poisson-Verteilung
Erwartungswert
Varianz
Die Normalverteilung(Gauß-Verteilung)
(Gaußsche Glockenkurve)
Dichte
Verteilung
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz
Die hypergeometrische Verteilung
Notation
Erwartungswert
Varianz
Die geometrische Verteilung
Erwartungswert
Varianz
Die Exponential-Verteilung
Dichte
Verteilung
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz
InsekteneierN : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legtM : Anzahl der Eier, die sich entwickelnN - M : Anzahl der Eier, die unentwickeltbleibenAnnahmen
Die Wahrscheinlichkeit, dass dasInsekt genau n Eier legt, beträgt
d. h.
Jedes Ei entwickelt sich mit dergleichen Wahrscheinlichkeit p
Die Eier beeinflussen sich nichtin ihrer Entwicklung
Dann gilt:
1
2
3
Bäckerei BröselBröselX : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr
n : Anzahl der betrachteten Haushalte
Annahmen
Die Wahrscheinlichkeit p, dassein Haushalt zu der Zeit bei Bröseleinkauft, ist bei allen Haushaltengleich
Die Haushalte entscheiden unab-hängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht
Dann gilt:
d. h.
Nun wird die Anzahl n der betrachtetenHaushalte vergrößert.
Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“p hänge dabei so von n ab, dass gilt:
Dann konvergiert die Verteilung von X gegeneine Poisson-Verteilung.Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich: