数学 III Advanced ３章「関数と極限」

1

（教科書 p.92）

項が限りなく続く数列 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛, ⋯ を（① 無限数列 ）という。

𝑎𝑛 をその第 𝑛 項といい，この無限数列を {𝑎𝑛} で表す。また，𝑎𝑛 を 𝑛 の式で表したものを数列 {𝑎𝑛} の

一般項という。

（教科書 p.92）

(1) 数列 �1𝑛�，すなわち，数列

1,12

,13

,14

,15

,16

, ⋯

では，𝑛 が限りなく大きくなるとき，第 𝑛 項は限りなく（ 0 ）

に近づく。

(2) 数列 ��− 12�𝑛−1

�，すなわち，数列

1, −12

,14

, −18

,1

16, −

132

, ⋯

では，𝑛 が限りなく大きくなるとき，第 𝑛 項は限りなく

（ 0 ）に近づく。

一般に，数列 {𝑎𝑛} において，𝑛 が限りなく大きくなるにつれて，𝑎𝑛 が一定の値 𝛼 に限りなく近づ

くとき，数列 {𝑎𝑛} は 𝛼 に（② 収束 ）する，または，数列 {𝑎𝑛} の極限は 𝛼 であるという。そ

の値 𝛼 を数列 {𝑎𝑛} の（③ 極限値 ）という。

数列 {𝑎𝑛} の極限値が 𝛼 であるとき，次のように書く。

（④ 𝐥𝐥𝐥𝒏→∞ 𝒂𝒏 = 𝜶 ） または （⑤ 𝒏 → ∞(∗) のとき 𝒂𝒏 → 𝜶 ）

(1) lim𝑛→∞1𝑛

= 0

(2) lim𝑛→∞ �−12�𝑛−1

= 0

（教科書 p.93）

数列 {𝑎𝑛} が収束しないとき，数列 {𝑎𝑛} は（⑥ 発散 ）するという。

次の数列はいずれも発散する。

(1) 1, 32

, 2, 52

, ⋯ , 𝑛+12

, ⋯

(2) −1, −2, −4, −8, ⋯ , −2𝑛−1, ⋯

一般に，数列 {𝑎𝑛} において，𝑛 を限りなく大きくすると，𝑎𝑛 が限りなく大きくなるとき，数列 {𝑎𝑛}

は（⑦ 正の無限大に発散 ）するといい

（⑧ 𝐥𝐥𝐥𝒏→∞ 𝒂𝒏 = ∞ ） または （⑨ 𝒏 → ∞ のとき 𝒂𝒏 → ∞ ）

と書く。また，数列 {𝑎𝑛} において，𝑛 を限りなく大きくすると，𝑎𝑛 が負でその絶対値 |𝑎𝑛| が限りな

く大きくなるとき，数列 {𝑎𝑛} は（⑩ 負の無限大に発散 ）するといい，次のように書く。

（⑪ 𝐥𝐥𝐥𝒏→∞ 𝒂𝒏 = −∞ ） または （⑫ 𝒏 → ∞ のとき 𝒂𝒏 → −∞ ）

注意 lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = ∞, lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = −∞ のとき，数列 {𝑎𝑛} の極限はそれぞれ正の無限大，負の無限大

であるということがある。

(1) lim𝑛→∞𝑛+12

= ∞

(2) lim𝑛→∞(−2𝑛−1) = −∞

数列 1, −1, 1, −1, ⋯ , (−1)𝑛−1, ⋯

は収束しないから発散する。しかし，正の無限大にも負の無限大にも

発散しない。

このような数列は（⑬ 振動 ）するという。

数列の収束・発散

⎩⎪⎨

⎪⎧収束⋯⋯⋯ lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝛼 �一定の値 𝛼 に収束�

発散

⎩⎪⎨

⎪⎧ lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = ∞ �正の無限大に発散�

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = −∞ �負の無限大に発散�

振動 �極限はない�

次の数列の収束，発散を調べよ。

(1) −5, −2, 1, ⋯ , 3𝑛 − 8, ⋯

２ 節 数列の極限 1 数列の極限

数列の収束

例 1

数列の発散

例 3

例 4

問 1

例 2

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

2

正の無限大に発散する。

(2) 1, 32

, 53

, ⋯ , 2 − 1𝑛

, ⋯

𝟐 に収束する。

(3) −1, −4, −9, ⋯ , −𝑛2, ⋯

負の無限大に発散する。

(4) −3, 9, −27, ⋯ , (−3)𝑛, ⋯

発散（振動）する。

（教科書 p.95）

数列の極限値については，次の性質が成り立つ。

極限値と四則

数列 {𝑎𝑛}, {𝑏𝑛} が収束して，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝛼, lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 𝛽 のとき

□1 lim𝑛→∞ 𝑘𝑎𝑛 = 𝑘𝛼 ただし，𝑘 は定数

□2 lim𝑛→∞(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝛼 + 𝛽, lim𝑛→∞(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝛼 − 𝛽

□3 lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 = 𝛼𝛽

□4 lim𝑛→∞𝑎𝑛𝑏𝑛

= 𝛼𝛽 ただし，𝛽 ≠ 0

lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = −3, lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 4 のとき

(1) lim𝑛→∞(2𝑎𝑛 + 5𝑏𝑛) = lim𝑛→∞ 2𝑎𝑛 + lim𝑛→∞ 5𝑏𝑛 = 2 lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 + 5 lim𝑛→∞ 𝑏𝑛

= 2 ∙ (−3) + 5 ∙ 4 = 14

(2) lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 ∙ lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = (−3) ∙ 4 = −12

(1) lim𝑛→∞3𝑛+2𝑛+1

= lim𝑛→∞

3+2𝑛1+1𝑛

= 3+01+0

= 3

(2) lim𝑛→∞𝑛+1

2𝑛2−𝑛−3= lim𝑛→∞

1𝑛+

1𝑛2

2−1𝑛−3𝑛2

= 0+02−0−0

= 0

次の極限値を求めよ。

(1) lim𝑛→∞𝑛−52𝑛+1

lim𝑛→∞

𝑛 − 52𝑛 + 1

= lim𝑛→∞

1 − 5𝑛

2 + 1𝑛

=1 − 02 + 0

=𝟏𝟐

(2) lim𝑛→∞𝑛+2𝑛2−2

lim𝑛→∞

𝑛 + 2𝑛2 − 2

= lim𝑛→∞

1𝑛

+ 2𝑛2

1 − 2𝑛2

=0 + 01 − 0

= 𝟎

(3) lim𝑛→∞𝑛2+5𝑛+43−2𝑛2

lim𝑛→∞

𝑛2 + 5𝑛 + 43 − 2𝑛2

= lim𝑛→∞

1 + 5𝑛

+ 4𝑛2

3𝑛2− 2

=1 + 0 + 0

0 − 2= −

𝟏𝟐

(4) lim𝑛→∞ �2 − 𝑛+13𝑛−1

�

lim𝑛→∞

�2 −𝑛 + 1

3𝑛 − 1� = lim

𝑛→∞�2 −

1 + 1𝑛

3 − 1𝑛

� = 2 −1 + 03 − 0

=𝟓𝟑

次の極限を調べよ。

(1) lim𝑛→∞(𝑛3 − 10𝑛2) (2) lim𝑛→∞−2𝑛2+3𝑛+4

(3) lim𝑛→∞�√𝑛2 + 𝑛 − 𝑛�

極限値と四則

例 5

例 6

問 2

１

例題

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

3

(1) lim𝑛→∞(𝑛3 − 10𝑛2) = lim𝑛→∞ 𝑛3 �1 − 10𝑛� において

lim𝑛→∞ 𝑛3 = ∞, lim𝑛→∞ �1 − 10𝑛� = 1 であるから

lim𝑛→∞

(𝑛3 − 10𝑛2) = ∞

(2) lim𝑛→∞−2𝑛2+3𝑛+4

= lim𝑛→∞−2𝑛+3𝑛1+4𝑛

において

lim𝑛→∞ �−2𝑛 + 3𝑛� = −∞, lim𝑛→∞ �1 + 4

𝑛� = 1 であるから

lim𝑛→∞

−2𝑛2 + 3𝑛 + 4

= −∞

(3) lim𝑛→∞�√𝑛2 + 𝑛 − 𝑛�

= lim𝑛→∞�√𝑛2+𝑛−𝑛��√𝑛2+𝑛+𝑛�

√𝑛2+𝑛+𝑛

= lim𝑛→∞

𝑛√𝑛2 + 𝑛 + 𝑛

= lim𝑛→∞

𝑛

𝑛 ��1 + 1𝑛

+ 1�

= lim𝑛→∞

1

�1 + 1𝑛

+ 1=

12

次の極限を調べよ。

(1) lim𝑛→∞(4𝑛 − 3𝑛2)

lim𝑛→∞(4𝑛 − 3𝑛2) = lim𝑛→∞𝑛2 �4𝑛− 3� において

lim𝑛→∞𝑛2 = ∞, lim𝑛→∞ �4𝑛− 3� = −3 であるから

lim𝑛→∞

(4𝑛 − 3𝑛2) = −∞

(2) lim𝑛→∞4𝑛2−𝑛−73𝑛−2

lim𝑛→∞4𝑛2−𝑛−73𝑛−2

= lim𝑛→∞4𝑛−1−7𝑛3−2𝑛

において

lim𝑛→∞ �4𝑛 − 1 − 7𝑛� =∞, lim𝑛→∞ �3 − 2

𝑛� = 3 であるから

lim𝑛→∞

4𝑛2 − 𝑛 − 73𝑛 − 2

= ∞

(3) lim𝑛→∞�√𝑛 + 1 − √𝑛�

lim𝑛→∞

�√𝑛 + 1 − √𝑛�

= lim𝑛→∞

�√𝑛 + 1 − √𝑛��√𝑛 + 1 + √𝑛�√𝑛 + 1 + √𝑛

= lim𝑛→∞

(𝑛 + 1) − 𝑛√𝑛 + 1 + √𝑛

= lim𝑛→∞

1√𝑛 + 1 + √𝑛

= 𝟎

(4) lim𝑛→∞�√𝑛2 − 2𝑛 − 𝑛�

lim𝑛→∞

��𝑛2 − 2𝑛 − 𝑛�

= lim𝑛→∞

�√𝑛2 − 2𝑛 − 𝑛��√𝑛2 − 2𝑛 + 𝑛�√𝑛2 − 2𝑛 + 𝑛

= lim𝑛→∞

(𝑛2 − 2𝑛) − 𝑛2

√𝑛2 − 2𝑛 + 𝑛

= lim𝑛→∞

−2𝑛√𝑛2 − 2𝑛 + 𝑛

= lim𝑛→∞

−2

�1 − 2𝑛

+ 1= −𝟏

(5) lim𝑛→∞3

√𝑛2+2𝑛−𝑛

lim𝑛→∞

3√𝑛2 + 2𝑛 − 𝑛

= lim𝑛→∞

3�√𝑛2 + 2𝑛 + 𝑛��√𝑛2 + 2𝑛 − 𝑛��√𝑛2 + 2𝑛 + 𝑛�

解

問 3

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

4

= lim𝑛→∞

3�√𝑛2 + 2𝑛 + 𝑛�(𝑛2 + 2𝑛) − 𝑛2

= lim𝑛→∞

3�√𝑛2 + 2𝑛 + 𝑛�2𝑛

= lim𝑛→∞

3��1 + 2𝑛

+ 1�

2= 𝟑

(6) lim𝑛→∞2𝑛

√𝑛2+2−√𝑛

lim𝑛→∞

2𝑛√𝑛2 + 2 − √𝑛

= lim𝑛→∞

2

�1 + 2𝑛2− �1

𝑛

= 𝟐

（教科書 p.97）

数列の極限と大小関係については，次の性質が成り立つ。

数列の極限と大小関係

□1 数列 {𝑎𝑛}, {𝑏𝑛} において，𝑎𝑛 ≦ 𝑏𝑛 (𝑛 = 1, 2, 3, ⋯ ) のとき

lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝛼, lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 𝛽 ならば 𝛼 ≦ 𝛽

□2 数列 {𝑎𝑛}, {𝑏𝑛} において，𝑎𝑛 ≦ 𝑏𝑛 (𝑛 = 1, 2, 3, ⋯ ) のとき

lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = ∞ ならば lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = ∞

□3 (*) 数列 {𝑎𝑛}, {𝑏𝑛}, {𝑐𝑛} において，𝑎𝑛 ≦ 𝑏𝑛 ≦ 𝑐𝑛 (𝑛 = 1, 2, 3, ⋯ ) のとき，

lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑐𝑛 = 𝛼 ならば，{𝑏𝑛}も収束して lim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 𝛼

(*)性質□3 は（⑭ はさみうちの原理 ）とよばれている。

𝜃 を定数とするとき，lim𝑛→∞1𝑛

sin𝑛𝜃 を求めよ。

−1 ≦ sin𝑛𝜃 ≦ 1 であるから − 1𝑛≦ 1

𝑛sin𝑛𝜃 ≦ 1

𝑛

ここで， lim𝑛→∞ �−1𝑛� = 0, lim𝑛→∞

1𝑛

= 0 であるから

lim𝑛→∞

1𝑛

sin𝑛𝜃 = 0

𝜃 を定数とするとき， lim𝑛→∞1𝑛

sin2 𝑛𝜃 を求めよ。

0 ≦ sin2 𝑛 𝜃 ≦ 1 であるから

0 ≦1𝑛

sin2 𝑛 𝜃 ≦1𝑛

ここで， lim𝑛→∞

1𝑛

= 0 であるから

lim𝑛→∞

1𝑛

sin2 𝑛 𝜃 = 𝟎

（教科書 p.98）

数列 𝑎, 𝑎𝑎, 𝑎𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑎𝑛−1, ⋯ を初項 𝑎，公比 𝑎 の（⑮ 無限等比数列 ）という。

数列 {𝒓𝒏} の極限

1 𝑎 > 1 のとき lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = ∞

2 𝑎 = 1 のとき lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 1

3 |𝑎| < 1 のとき lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0

4 𝑎 ≦ −1 のとき 数列 {𝑎𝑛} は振動し，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 は存在しない。

したがって，次のことがわかる。

数列（⑯ {𝒓𝒏} が収束 ）する ⇔（⑰ −𝟏 < 𝒓 ≦ 𝟏 ）

無限等比数列 6, 12, 24, 48, ⋯ は，一般項が（ 3 ∙ 2𝑛 ）であり，

公比 2 が（ 2 > 1 ）であるから lim𝑛→∞ 3 ∙ 2𝑛 = ∞

次の無限等比数列の極限を調べよ。

(1) 23

, 49

, 827

, 1681

, ⋯

一般項が �23�𝑛

であり，公比 23 が

0 < 23

< 1 であるから

数列の極限と大小関係

問 4

2 無限等比数列

問 5

２ 例題 応 用

解

例 7

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

5

lim𝑛→∞

�23�𝑛

= 𝟎

(2) 2, −4, 8, −16, ⋯

一般項が 2 ⋅ (−2)𝑛−1 であり，公比 −2 が −2 < −1 であるから

数列 {2 ⋅ (−2)𝑛−1} は振動して，極限は存在しない。

(3) 6, − 92

, 278

, −8132

, ⋯

一般項が 6 ⋅ �− 34�𝑛−1

であり，公比 −34 が −1 < −3

4< 0 であるから

lim𝑛→∞

6 ⋅ �−34�𝑛−1

= 𝟎

(4) −2, −2√3, −6, −6√3, ⋯

一般項が −2 ⋅ �√3�𝑛−1

であり，公比 √3 が √3 > 1 であるから

lim𝑛→∞

�−2 ⋅ �√3�𝑛−1

� = −∞

lim𝑛→∞4𝑛−5𝑛

3𝑛+5𝑛 を求めよ。

lim𝑛→∞4𝑛−5𝑛

3𝑛+5𝑛= lim𝑛→∞

�45�𝑛−1

�35�𝑛+1

= 0−10+1

= −1

次の極限値を求めよ。

(1) lim𝑛→∞4𝑛+5𝑛

6𝑛

lim𝑛→∞

4𝑛 + 5𝑛

6𝑛= lim

𝑛→∞��

23�𝑛

+ �56�𝑛

� = 0 + 0 = 𝟎

(2) lim𝑛→∞3𝑛

1+3𝑛

lim𝑛→∞

3𝑛

1 + 3𝑛= lim

𝑛→∞

1

�13�𝑛

+ 1=

10 + 1

= 𝟏

(3) lim𝑛→∞2𝑛+1−4𝑛+1

3𝑛−4𝑛

lim𝑛→∞

2𝑛+1 − 4𝑛+1

3𝑛 − 4𝑛= lim

𝑛→∞

2 ⋅ �12�𝑛− 4

�34�𝑛− 1

=2 ⋅ 0 − 4

0 − 1= 𝟒

数列 �𝑟𝑛+1

1+𝑟𝑛� の極限を調べよ。ただし，𝑎 ≠ −1 とする。

|𝑎| < 1, 𝑎 = 1, |𝑎| > 1 の場合に分けて考える。

(i) |𝒓| < 𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0, lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 = 0 である。

よって lim𝑛→∞𝑟𝑛+1

1+𝑟𝑛= 0

1+0= 0 ⋯⋯□答

(ii) 𝒓 = 𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 1, lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 = 1 である。

よって lim𝑛→∞𝑟𝑛+1

1+𝑟𝑛= 1

1+1= 1

2 ⋯⋯□答

(iii) |𝐫| > 𝟏 のとき，�1𝑟� = 1

|𝑟| < 1 であるから

lim𝑛→∞

1𝑎𝑛

= lim𝑛→∞

�1𝑎�𝑛

= 0

よって lim𝑛→∞𝑟𝑛+1

1+𝑟𝑛= lim𝑛→∞

𝑟1𝑟𝑛+1

= 𝑟0+1

= 𝑎 ⋯⋯□答

次の極限を調べよ。

(1) lim𝑛→∞3𝑟𝑛

2+𝑟𝑛 ただし，𝑎 > 0

𝟎 < 𝒓 < 𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 である。

よって lim𝑛→∞3𝑟𝑛

2+𝑟𝑛= 3⋅0

2+0= 𝟎

𝒓 = 𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 1 である。

３

例題

解

問 6

４ 例題 応 用

考え方

解

問 7

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

6

よって lim𝑛→∞3𝑟𝑛

2+𝑟𝑛= 3⋅1

2+1= 𝟏

𝒓 > 𝟏 のとき，0 < 1𝑟

< 1 であるから

lim𝑛→∞

1𝑎𝑛

= lim𝑛→∞

�1𝑎�𝑛

= 0

よって lim𝑛→∞3𝑟𝑛

2+𝑟𝑛= lim𝑛→∞

32𝑟𝑛+1

= 30+1

= 𝟑

(2) lim𝑛→∞1−𝑟𝑛

1+𝑟𝑛 ただし，𝑎 ≠ −1

|𝒓| < 𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 である。

よって lim𝑛→∞1−𝑟𝑛

1+𝑟𝑛= 1−0

1+0= 𝟏

𝒓 = 𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 1 である。

よって lim𝑛→∞1−𝑟𝑛

1+𝑟𝑛= 1−1

1+1= 𝟎

|𝒓| > 𝟏 のとき，�1𝑟� = 1

|𝑟| < 1 であるから

lim𝑛→∞

1𝑎𝑛

= lim𝑛→∞

�1𝑎�𝑛

= 0

よって

lim𝑛→∞

1 − 𝑎𝑛

1 + 𝑎𝑛= lim

𝑛→∞

1𝑟𝑛− 1

1𝑟𝑛

+ 1=

0 − 10 + 1

= −𝟏

𝑎1 = 3, 𝑎𝑛+1 = 12𝑎𝑛 + 3 (𝑛 = 1, 2, 3, ⋯ ) で定められる数列 {𝑎𝑛} について，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 を求

めよ。

与えられた漸化式を変形すると 𝑎𝑛+1 − 6 = 12

(𝑎𝑛 − 6)

ここで，𝑎1 − 6 = 3 − 6 = −3 であるから，数列 {𝑎𝑛 − 6} は初項 −3，公比 12 の等比数列であ

る。

したがって 𝑎𝑛 − 6 = −3 ∙ �12�𝑛−1

すなわち 𝑎𝑛 = 6 − 3 ∙ �12�𝑛−1

lim𝑛→∞ �12�𝑛−1

= 0 であるから lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 6

𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 13𝑎𝑛 + 1 (𝑛 = 1, 2, 3, ⋯ ) で定められる数列 {𝑎𝑛} について，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 を求め

よ。

与えられた漸化式を変形すると

𝑎𝑛+1 −32

=13�𝑎𝑛 −

32�

ここで，𝑎1 −32

= 1 − 32

= −12 であるから，数列 �𝑎𝑛 −

32� は初項 −1

2，公比 1

3 の等比数列であ

る。

したがって 𝑎𝑛 −32

= −12⋅ �1

3�𝑛−1

すなわち 𝑎𝑛 = 32− 1

2⋅ �1

3�𝑛−1

lim𝑛→∞ �13�𝑛−1

= 0 であるから

𝐥𝐥𝐥𝒏→∞

𝒂𝒏 =𝟑𝟐

（教科書 p.102）

無限数列 {𝑎𝑛} が与えられたとき

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛 + ⋯

の形の式を（⑱ 無限級数 ）といい，𝑎𝑛 をこの無限級数の（⑲ 第 𝒏 項 ）という。

５ 例題 応 用

解

問 8

3 無限級数

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

7

この無限級数を記号 ∑ を用いて（

⑳ �𝒂𝒏

∞

𝒏=𝟏

）とも書く。すなわち

�𝑎𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛 + ⋯

無限級数 �𝑎𝑛

∞

𝑛=1

において，初項から第 𝑛 項までの和

𝑆𝑛 = �𝑎𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛

を，この無限級数の（㉑ 第 𝒏 項までの部分和 ）という。すなわち

𝑆1 = 𝑎1 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3

……

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛 ……

数列 {𝑆𝑛} が収束して，その極限値が 𝑆 であるとき，すなわち

lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = lim𝑛→∞

�𝑎𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝑆

であるとき，無限級数�𝑎𝑛

∞

𝑛=1

は 𝑆 に（

㉒ 収束 ）するといい， 𝑆をこの無限級数の

（㉓ 和 ）という。このとき

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛 + ⋯ = 𝑆 または �𝑎𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑆

と書く。

数列 {𝑆𝑛} が発散するとき，無限級数 �𝑎𝑛

∞

𝑛=1

は（

㉔ 発散 ）するという。

次の無限級数の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ。

(1) 11∙2

+ 12∙3

+ ⋯+ 1𝑛(𝑛+1) + ⋯

(2) 1

√2+1+ 1

√3+√2+ ⋯+ 1

√𝑛+1+√𝑛+ ⋯

(1) 1

𝑛(𝑛+1) = 1𝑛− 1

𝑛+1

と変形できるから，第 𝑛 項までの部分和 𝑆𝑛 は

𝑆𝑛 =1

1 ∙ 2+

12 ∙ 3

+ ⋯+1

𝑛(𝑛 + 1)

= �1 −12� + �

12−

13� + ⋯+ �

1𝑛−

1𝑛 + 1

� = 1 −1

𝑛 + 1

よって lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = lim𝑛→∞ �1 − 1𝑛+1

� = 1

したがって，この無限級数は収束し，その和は 1 である。

(2) 1

√𝑛+1+√𝑛= √𝑛+1−√𝑛

�√𝑛+1+√𝑛��√𝑛+1−√𝑛�

= √𝑛 + 1 − √𝑛 と変形できるから，第 𝑛 項までの部分和 𝑆𝑛 は

𝑆𝑛 = �√2 − 1� + �√3 − √2� + ⋯+ �√𝑛 + 1 − √𝑛�

= √𝑛 + 1 − 1

よって lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = lim𝑛→∞�√𝑛 + 1 − 1� = ∞

したがって，この無限級数は発散する。

次の無限級数の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ。

(1) 11∙3

+ 13∙5

+ ⋯+ 1(2𝑛−1)(2𝑛+1) + ⋯

1(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1) =

12�

12𝑛 − 1

−1

2𝑛 + 1�

６

例題

解

問 9

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

8

と変形できるから，第 𝑛 項までの部分和 𝑆𝑛 は

𝑆𝑛 =1

1 ⋅ 3+

13 ⋅ 5

+ ⋯+1

(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)

=12�

11−

13� +

12�

13−

15� + ⋯+

12�

12𝑛 − 1

−1

2𝑛 + 1�

=12�1 −

12𝑛 + 1

�

よって lim𝑛→∞𝑆𝑛 = lim𝑛→∞12�1 − 1

2𝑛+1� = 1

2

したがって，この無限級数は収束し，その和は 𝟏𝟐 である。

(2) 1

√3+1+ 1

√5+√3+ ⋯+ 1

√2𝑛+1+√2𝑛−1+ ⋯

1√2𝑛 + 1 + √2𝑛 − 1

=√2𝑛 + 1 − √2𝑛 − 1

�√2𝑛 + 1 + √2𝑛 − 1��√2𝑛 + 1 − √2𝑛 − 1�

=√2𝑛 + 1 − √2𝑛 − 1(2𝑛 + 1) − (2𝑛 − 1)

=√2𝑛 + 1 − √2𝑛 − 1

2

と変形できるから，第 𝑛 項までの部分和 𝑆𝑛 は

𝑆𝑛 =1

√3 + 1+

1√5 + √3

+ ⋯+1

√2𝑛 + 1 + √2𝑛 − 1

=√3 − 1

2+√5 − √3

2+ ⋯+

√2𝑛 + 1 − √2𝑛 − 12

=√2𝑛 + 1 − 1

2

よって lim𝑛→∞𝑆𝑛 = lim𝑛→∞√2𝑛+1−1

2= ∞

したがって，この無限級数は発散する。

（教科書 p.104）

初項 𝑎，公比 𝑎 の無限等比数列 {𝑎𝑎𝑛−1} からつくられた無限級数

�𝑎𝑎𝑛−1∞

𝑛=1

= 𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛−1 + ⋯

を初項 𝑎，公比 𝑎 の（㉕ 無限等比級数 ）という。この無限等比級数の収束，発散を調べてみ

よう。

部分和 𝑆𝑛 を考えると，𝑎 ≠ 1 のときは 𝑆𝑛 = 𝑎(1−𝑟𝑛)1−𝑟

𝑎 = 1 のときは 𝑆𝑛 = 𝑛𝑎

教科書 99 ページの数列 {𝑎𝑛} の極限を用いると，無限等比級数は次のようになる。

(i) |𝒓| < 𝟏 のとき

lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 より，lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = lim𝑛→∞𝑎(1−𝑟𝑛)1−𝑟

= 𝑎1−𝑟

よって，この無限等比級数は収束し，その和は（㉖ 𝒂𝟏−𝒓

）である。

(ii) 𝒓 = 𝟏 のとき

𝑆𝑛 = 𝑛𝑎 で，𝑎 ≠ 0 であるから，この無限等比級数は（㉗ 発散 ）する。

(iii) 𝒓 ≦ −𝟏 または 𝟏 < 𝒓 のとき

数列 {𝑎𝑛} は発散するから，{𝑆𝑛} も発散する。

よって，この無限等比級数は（㉘ 発散 ）する。

無限等比級数の収束・発散

無限等比級数 𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛−1 + ⋯

の収束，発散は次のようになる。ただし，𝑎 ≠ 0 とする。

□1 |𝒓| < 𝟏 のとき収束して，その和は 𝒂𝟏−𝒓

□2 |𝒓| ≧ 𝟏 のとき発散する。

次の無限等比級数の収束，発散を調べよ。収束するものについてはその和を求めよ。

(1) 1 − 13

+ 19− 1

27+ ⋯

(2) 2 + 3 + 92

+ 274

+ ⋯

(1) 初項 𝑎 = 1，公比 𝑎 = −13 の無限等比級数である。

|𝑎| < 1 であるから収束し，その和 𝑆 は

4 無限等比級数

７

例題

解

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

9

𝑆 =1

1 − �− 13�

=1

1 + 13

=34

(2) 初項 𝑎 = 2，公比 𝑎 = 32 の無限等比級数である。

|𝑎| ≧ 1 であるから，この無限等比級数は発散する。

次の無限等比級数の収束，発散を調べよ。収束するものについてはその和を求めよ。

(1) 64 + 32 + 16 + 8 + ⋯ 初項 𝑎 = 64，公比 𝑎 = 1

2 の無限等比級数である。

|𝑎| < 1 であるから収束し，その和 𝑆 は

𝑆 =64

1 − 12

= 𝟏𝟐𝟏

(2) 5 − 5 + 5 − 5 + ⋯ 初項 𝑎 = 5，公比 𝑎 = −1 の無限等比級数である。

|𝑎| ≧ 1 であるから，この無限等比級数は発散する。

(3) 1 − 110

+ 1100

− 11000

+ ⋯ 初項 𝑎 = 1，公比 𝑎 = − 1

10 の無限等比級数である。

|𝑎| < 1 であるから収束し，その和 𝑆 は

𝑆 =1

1 − �− 110�

=𝟏𝟎𝟏𝟏

無限等比級数 1 − 2𝑥 + 4𝑥2 − 8𝑥3 + ⋯ が収束するような実数 𝑥 の値の範囲と，そのときの和を

求めてみよう。

初項（ 1 ），公比（ −2𝑥 ）の無限等比級数であるから，収束するのは

（ |−2𝑥| < 1 ），すなわち（ −12

< 𝑥 < 12 ）のときであり，その和 𝑆 は

𝑆 = 1

1−(−2𝑥) = 12𝑥+1

次の無限等比級数が収束するような実数 𝑥 の値の範囲を求めよ。また，収束するときの和を求

めよ。

(1) 1 + 𝑥3

+ 𝑥2

9+ 𝑥3

27+ ⋯

初項 1，公比 𝑥3 の無限等比級数であるから，収束するのは �𝑥

3� < 1，すなわち −𝟑 < 𝒙 < 𝟑 の

ときであり，その和 𝑆 は

𝑆 =1

1 − 𝑥3

=𝟑

𝟑 − 𝒙

(2) 4 + 4(1 − 𝑥) + 4(1 − 𝑥)2 + ⋯

初項 4，公比 1 − 𝑥 の無限等比級数であるから，収束するのは |1 − 𝑥| < 1，すなわち

𝟎 < 𝒙 < 𝟐 のときであり，その和 𝑆 は

𝑆 =4

1 − (1 − 𝑥) =𝟒𝒙

1 辺の長さが 𝑎 の正方形がある。その各辺の中点を順に結んで正方

形をつくる。さらにその正方形の各辺の中点を順に結んで正方形を

つくる。このような操作を無限に続けるとき，これらの正方形の周

の長さの総和を求めよ。

最初の正方形の 1 辺の長さが 𝑎 であるから，2 番目の正方形の 1 辺の長さは 𝑎√2

となる。

一般に，𝑛 番目の正方形の 1 辺の長さを 𝑎𝑛 とすると

𝑎𝑛+1 =1√2

𝑎𝑛

したがって，これらの正方形の周の長さがつくる数列は，初項 4𝑎，公比 1√2

の無限等比数列

となる。

よって，求める周の長さの総和 𝑆 は，初項 4𝑎，公比 1√2

の無限等比級数である。

0 < 1√2

< 1 より，𝑆 は収束して

𝑆 = 4𝑎 +4𝑎√2

+4𝑎2

+4𝑎

2√2+ ⋯

=4𝑎

1 − 1√2

=4√2𝑎√2 − 1

= 4�2 + √2�𝑎

∠A = 30°, ∠B = 90°, AB = 𝑎 の直角三角形 ABC がある。この三角形の

内部に右の図のように正方形 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, ⋯ が限りなく並んでいる。こ

れらの正方形の面積の総和を求めよ。

正方形 𝑆1, 𝑆2, ⋯ の 1 辺の長さをそれぞれ 𝑥1, 𝑥2, ⋯ とする。

問 10

問 11

８ 例題 応 用

解

問 12

例 8

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

10

BC =𝑎√3

よって

�𝑎√3

− 𝑥1� ∶ 𝑥1 = 1 ∶ √3

これを変形して

𝑥1 =𝑎

√3 + 1

また

(𝑥1 − 𝑥2) ∶ 𝑥2 = 1 ∶ √3

これを変形して

𝑥2 =√3

√3 + 1𝑥1

同様にして

𝑥𝑛+1 =√3

√3 + 1𝑥𝑛

したがって，これらの正方形の面積がつくる数列は，初項 𝑎2

�√3+1�2，公比 � √3

√3+1�2

の無限等比

数列となる。

よって，求める正方形の面積の総和 𝑆 は，初項 𝑎2

�√3+1�2，公比 � √3

√3+1�2

の無限等比級数である。

0 < � √3√3+1

�2

< 1 より，𝑆 は収束して

𝑆 =

𝑎2

�√3+1�2

1 − � √3√3+1

�2 =

𝑎2

�√3 + 1�2− �√3�

2 =𝑎2

1 + 2√3=𝟐√𝟑 − 𝟏𝟏𝟏

𝒂𝟐

（教科書 p.107）

次の循環小数を分数で表せ。

(1) 0. 5̇7̇

(2) 3.52̇

(1) 0. 5̇7̇ = 0.575757⋯

= 0.57 + 0.0057 + 0.000057 + ⋯

この右辺は，初項 0.57，公比 0.01 の無限等比級数である。

したがって

0. 5̇7̇ =0.57

1 − 0.01=

5799

=1933

(2) 3.52̇ = 3.5222222⋯

= 3.5 + 0.02 + 0.002 + 0.0002 + ⋯

この右辺の第 2 項以下は，初項 0.02，公比 0.1 の無限等比級数である。

したがって

3.52̇ = 3.5 +0.02

1 − 0.1= 3.5 +

290

=315 + 2

90=

31790

次の循環小数を分数で表せ。

(1) 0. 6̇

0. 6̇ = 0.6 + 0.06 + 0.006 + ⋯

この右辺は，初項 0.6，公比 0.1 の無限等比級数である。

したがって

0. 6̇ =0.6

1 − 0.1=

0.60.9

=𝟐𝟑

(2) 0. 2̇70̇

0. 2̇70̇ = 0.270 + 0.000270 + 0.000000270 + ⋯

この右辺は，初項 0.270，公比 0.001 の無限等比級数である。

したがって

0. 2̇70̇ =0.270

1 − 0.001=

0.2700.999

=𝟏𝟎𝟑𝟑

(3) 4.25̇4̇

4.25̇4̇ = 4.2 + 0.054 + 0.00054 + 0.0000054 + ⋯

この右辺の第 2 項以下は，初項 0.054，公比 0.01 の無限等比級数である。したがって

循環小数

９

例題

解

問 13

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

11

4.25̇4̇ = 4.2 +0.054

1 − 0.01= 4.2 +

54990

=4158 + 54

990=𝟐𝟑𝟒𝟓𝟓

有限小数は有理数を表し，上に示したように循環小数も有理数である。

逆に有理数を小数で表すと，有限小数または循環小数となる。したがって，無理数は循環しない

無限小数である。

（㉙ 有限小数または循環小数…………有理数 ）

（㉚ 循環しない無限小数………………無理数 ）

注意 0. 9̇ = 0.91−0.1

= 1 となるから，1 と循環小数 0. 9̇ とは等しい。同様にして，0.15 = 0.149̇, 6.4 =

6.39̇ などとなる。

（教科書 p.108）

教科書 95 ページの数列の極限値の性質から，無限級数について次のことが成り立つ。

無限級数の和・差・実数倍

無限級数 �𝑎𝑛

∞

𝑛=1

,�𝑏𝑛

∞

𝑛=1

が収束して，その和がそれぞれ 𝑆,𝑇 であるとき，次の

性質が成り立つ。

�𝑘𝑎𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑘𝑆 ただし，𝑘 は定数

�(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)∞

𝑛=1

= 𝑆 + 𝑇

�(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)∞

𝑛=1

= 𝑆 − 𝑇

無限級数 �2𝑛 + 3𝑛

6𝑛

∞

𝑛=1

の和を求めよ。

2𝑛+3𝑛

6𝑛= 1

3𝑛+ 1

2𝑛

無限等比級数�1

3𝑛

∞

𝑛=1

,�1

2𝑛

∞

𝑛=1

の公比はそれぞれ 13

,12

であるから，これらはいずれも収束し

て，その和は

�1

3𝑛

∞

𝑛=1

=13

1 − 13

=12

, �1

2𝑛

∞

𝑛=1

=12

1 − 12

= 1

ゆえに �2𝑛 + 3𝑛

6𝑛

∞

𝑛=1

= �1

3𝑛

∞

𝑛=1

+ �1

2𝑛

∞

𝑛=1

=12

+ 1 =32

次の無限級数の和を求めよ。

(1) �5𝑛 − 2𝑛

10𝑛

∞

𝑛=1

5𝑛 − 2𝑛

10𝑛=

12𝑛

−1

5𝑛

無限等比級数�1

2𝑛

∞

𝑛=1

,�1

5𝑛

∞

𝑛=1

の公比はそれぞれ 12

,15

であるから，これらはいずれも収束し

て，その和は

�1

2𝑛

∞

𝑛=1

=12

1 − 12

= 1,

�1

5𝑛

∞

𝑛=1

=15

1 − 15

=14

ゆえに

�5𝑛 − 2𝑛

10𝑛

∞

𝑛=1

= �1

2𝑛

∞

𝑛=1

−�1

5𝑛

∞

𝑛=1

= 1 −14

=𝟑𝟒

(2) �3 ∙ 2𝑛 + (−3)𝑛

5𝑛

∞

𝑛=1

3 ⋅ 2𝑛 + (−3)𝑛

5𝑛= 3 ⋅ �

25�𝑛

+ �−35�𝑛

5 いろいろな無限級数

10

例題

解

問 14

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

12

無限等比級数 3 ⋅ � �25�𝑛∞

𝑛=1

,��−35�𝑛∞

𝑛=1

の公比はそれぞれ 25

, −35

であるから，これらは

いずれも収束して，その和は

3 ⋅ � �25�𝑛∞

𝑛=1

= 3 ⋅25

1 − 25

= 2,

��−35�𝑛∞

𝑛=1

=−3

5

1 − �− 35�

= −38

ゆえに

�3 ⋅ 2𝑛 + (−3)𝑛

5𝑛

∞

𝑛=1

= 3��25�𝑛∞

𝑛=1

+ ��−35�𝑛∞

𝑛=1

= 2 −38

=𝟏𝟑𝟏

次の命題が成り立つ。

無限級数の収束・発散

□1 無限級数 �𝑎𝑛

∞

𝑛=1

が収束する ⟹ lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0

□2 数列 {𝑎𝑛} が 0 に収束しない ⟹ 無限級数 �𝑎𝑛

∞

𝑛=1

は発散する

注意 □2 は□1 の対偶である。

数列 � 𝑛𝑛+1

� は，（ lim𝑛→∞𝑛

𝑛+1= 1 ）で（ 0 ）に収束しないから，

無限級数�𝑛

𝑛 + 1

∞

𝑛=1

=12

+23

+34

+ ⋯+𝑛

𝑛 + 1+ ⋯ は（ 発散 ）する。

無限級数�1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛

𝑛2

∞

𝑛=1

は発散することを示せ。

数列 �1+2+3+⋯+𝑛𝑛2

� は

lim𝑛→∞

1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛𝑛2

= lim𝑛→∞

12𝑛(𝑛 + 1)𝑛2

= lim𝑛→∞

12�1 +

1𝑛� =

12

で 0 に収束しないから，無限級数

�1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛

𝑛2

∞

𝑛=1

=11

+1 + 2

4+

1 + 2 + 39

+ ⋯+1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛

𝑛2+ ⋯

は発散する。

（教科書 p.110）

問 15 問 題

例 9

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

13

７ 次の極限を調べよ。

(1) lim𝑛→∞5−3𝑛2

(𝑛+1)(𝑛+2)

lim𝑛→∞

5 − 3𝑛2

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) = lim𝑛→∞

−3𝑛2 + 5𝑛2 + 3𝑛 + 2

= lim𝑛→∞

−3 + 5𝑛2

1 + 3𝑛

+ 2𝑛2

=−31

= −𝟑

(2) lim𝑛→∞5−2𝑛3

3𝑛2+4

lim𝑛→∞

5 − 2𝑛3

3𝑛2 + 4= lim

𝑛→∞

5𝑛2− 2𝑛

3 + 4𝑛2

= −∞

(3) lim𝑛→∞ ��(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) − �(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)�

lim𝑛→∞

��(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) −�(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)�

= lim𝑛→∞

��(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) − �(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)� ��(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) + �(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)�

�(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) + �(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

= lim𝑛→∞

(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) − (𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

�(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) + �(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

= lim𝑛→∞

10𝑛√𝑛2 + 5𝑛 + 6 + √𝑛2 − 5𝑛 + 6

= lim𝑛→∞

10

�1 + 5𝑛

+ 6𝑛2

+ �1 − 5𝑛

+ 6𝑛2

=102

= 𝟓

(4) lim𝑛→∞1𝑛2

cos 𝑛𝑛4

−1 ≦ cos 𝑛𝑛4≦ 1 であるから

−1𝑛2

≦1𝑛2

cos𝑛𝑛4≦

1𝑛2

ここで， lim𝑛→∞ �−1𝑛2� = 0, lim𝑛→∞

1𝑛2

= 0 であるから

lim𝑛→∞

1𝑛2

cos𝑛𝑛4

= 𝟎

(5) lim𝑛→∞3𝑛−(−5)𝑛

(−5)𝑛+3𝑛

lim𝑛→∞

3𝑛 − (−5)𝑛

(−5)𝑛 + 3𝑛= lim

𝑛→∞

�− 35�𝑛− 1

1 + �− 35�𝑛 = −𝟏

８ 次の極限を調べよ。

lim𝑛→∞

𝑎2𝑛+1

1 + 𝑎2𝑛

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

14

|𝒓| < 𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎2𝑛 = 0,

lim𝑛→∞ 𝑎2𝑛+1 = 0 である。

よって lim𝑛→∞𝑟2𝑛+1

1+𝑟2𝑛= 0

1+0= 𝟎

𝒓 = −𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎2𝑛 = 1, lim𝑛→∞ 𝑎2𝑛+1 = −1 である。

よって lim𝑛→∞𝑟2𝑛+1

1+𝑟2𝑛= −1

1+1= −𝟏

𝟐

𝒓 = 𝟏 のとき，lim𝑛→∞ 𝑎2𝑛 = 1,

lim𝑛→∞ 𝑎2𝑛+1 = 1 である。

よって lim𝑛→∞𝑟2𝑛+1

1+𝑟2𝑛= 1

1+1= 𝟏

𝟐

|𝒓| > 𝟏 のとき，�1𝑟� = 1

|𝑟| < 1 であるから

lim𝑛→∞

1𝑎2𝑛

= lim𝑛→∞

�1𝑎�2𝑛

= 0

よって

lim𝑛→∞

𝑎2𝑛+1

1 + 𝑎2𝑛= lim

𝑛→∞

𝑎1𝑟2𝑛

+ 1=

𝑎0 + 1

= 𝒓

９ 無限等比数列 3, 6𝑎, 12𝑎2, 24𝑎3, ⋯ が収束するような定数 𝑎 の値の範囲を求めよ。また，その

ときの極限値を求めよ。

初項 3，公比 2𝑎 の無限等比数列であるから，収束するのは −1 < 2𝑎 ≦ 1 すなわち求める 𝒂

の範囲は

−𝟏𝟐

< 𝒂 ≦𝟏𝟐

のときであり，極限値は

−𝟏𝟐

< 𝒂 <𝟏𝟐

のとき 𝟎

𝒂 = 𝟏𝟐 のとき 𝟑

１０ 𝑎1 = 5, 𝑎𝑛+1 = −13𝑎𝑛 + 4 (𝑛 = 1, 2, 3, ⋯ ) で定められる数列 {𝑎𝑛} について，lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 を

求めよ。

与えられた漸化式を変形すると

𝑎𝑛+1 − 3 = −13

(𝑎𝑛 − 3)

ここで，𝑎1 − 3 = 5 − 3 = 2 であるから，数列 {𝑎𝑛 − 3} は初項 2，公比 −13 の等比数列であ

る。

したがって 𝑎𝑛 − 3 = 2 ⋅ �− 13�𝑛−1

すなわち 𝑎𝑛 = 3 + 2 ⋅ �− 13�𝑛−1

lim𝑛→∞ �−13�𝑛−1

= 0 であるから

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝟑

１１ 次の無限級数の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ。

(1) �12

+ 13� + �1

4+ 1

6� + �1

8+ 1

12� + � 1

16+ 1

24� + ⋯

数学 III Advanced ３章「関数と極限」

15

�12

+13� + �

14

+16� + �

18

+1

12� + ⋯ = ���

12�𝑛

+13�

12�𝑛−1

�∞

𝑛=1

=12

1 − 12

+13

1 − 12

=53

したがって，この無限級数は収束し，その和は 𝟓𝟑 である。

(2) �2

√𝑛 + 2 + √𝑛

∞

𝑛=1

2√𝑛 + 2 + √𝑛

=2�√𝑛 + 2 − √𝑛�

�√𝑛 + 2 + √𝑛��√𝑛 + 2 − √𝑛�=

2�√𝑛 + 2 − √𝑛�(𝑛 + 2) − 𝑛

= √𝑛 + 2 − √𝑛

と変形できるから，第 𝑛 項までの部分和 𝑆𝑛 は

𝑆𝑛 = �√3 − 1� + �√4 − √2� + �√5 − √3� + ⋯+ �√𝑛 + 1 − √𝑛 − 1� + �√𝑛 + 2 − √𝑛�

= √𝑛 + 1 + √𝑛 + 2 − 1 − √2

よって lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = ∞

したがって，この無限級数は発散する。

(3) �𝑛2 − 1𝑛2 + 3𝑛

∞

𝑛=1

lim𝑛→∞

𝑛2 − 1𝑛2 + 3𝑛

= lim𝑛→∞

1 − 1𝑛2

1 + 3𝑛

= 1

よって，数列 � 𝑛2−1

𝑛2+3𝑛� が 0 に収束しないから，この無限級数は発散する。

１２ AB = 𝑎, ∠B = 90° の直角二等辺三角形 ABC がある。点 A を中心とし，

辺 AB を半径とする円と辺 AC との交点を P1 とし，扇形 ABP1 をつくる。

次に，P1 から辺 BC に垂線 P1Q1 を引き，同じようにして，扇形 P1Q1P2 を

つくる。このような操作を無限に続けるとき，これらの扇形の弧の長さの総和を求めよ。

BP1� = 𝑎 ⋅𝑛4

=𝑛𝑎4

P1C = √2𝑎 − 𝑎 = �√2 − 1�𝑎

P1Q1

P1C=ABAC

=𝑎√2𝑎

=1√2

であるから

P1Q1 =1√2

P1C =√2 − 1√2

𝑎 =2 − √2

2𝑎

Q1P2� =2 − √2

2𝑎 ⋅

𝑛4

=2 − √2

2⋅𝑛𝑎4

したがって，これらの扇形の弧の長さがつくる数列は，初項 𝑛𝑎4 ，公比 2−√2

2 の無限等比数列

となる。

よって，求める扇形の弧の長さの総和 𝑆 は，初項 𝑛𝑎4 ，公比 2−√2

2 の無限等比級数である。

0 < 2−√22

< 1 より，𝑆 は収束して

𝑆 =𝑛𝑎4

1 − 2−√22

=√𝟐𝝅𝒂𝟒