Calculus Purcell

𝑝 > 0: lim𝑛→∞

1

𝑛𝑝= ⋯

lim𝑛→∞ 7𝑛2

2𝑛2+1= ⋯

Apakah {(ln 𝑛)/𝑒𝑛} konvergen?

Buktikan bahwa lim𝑛→∞

sin5 𝑛

2𝑛= 0.

Buktikan bahwa lim𝑛→∞ 𝑟𝑛 = 0 untuk −1 < 𝑟 < 1.

Barisan tak Hingga:

𝑓 𝑖 = 𝑎𝑖 , 𝑖 ∈ ℕ, 𝑎𝑖∈ ℝ

Notasi:

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …

𝑎𝑛 𝑛=1∞

𝑎𝑛

pola suku-suku awal

1, 4, 7, 10,…

formula eksplisit

𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2, 𝑛 ≥ 1

formula rekursi

𝑎1 = 1, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 3, 𝑛 ≥ 2

Untuk 𝑛 ≥ 1:

𝑎𝑛 = 1 −1

𝑛

𝑏𝑛 = 1 + −1𝑛 1

𝑛

𝑐𝑛 = −1𝑛 +1

𝑛

𝑑𝑛 = 0.999

Jika

∀𝜀 > 0, ∃ 0 < 𝑁 𝜀 < ∞: 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀

Maka

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿

( barisan 𝑎𝑛 konvergen ke 𝐿).

Otherwise, 𝑎𝑛 divergen.

Misal {𝑎𝑛} dan 𝑏𝑛 barisan yang konvergen, dan 𝑘 kontanta. Maka berlaku:

a) lim𝑛→∞𝑘 = 𝑘

b) lim𝑛→∞𝑘𝑎𝑛 = 𝑘 lim

𝑛→∞𝑎𝑛

c) lim𝑛→∞𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 = lim

𝑛→∞𝑎𝑛 ± lim

𝑛→∞𝑏𝑛

d) lim𝑛→∞𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = lim

𝑛→∞𝑎𝑛 ∙ lim𝑛→∞𝑏𝑛

e) lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛=lim𝑛→∞𝑎𝑛

lim𝑛→∞𝑏𝑛

, jika lim𝑛→∞𝑏𝑛 ≠ 0

lim𝑥→∞𝑓 𝑥 = 𝐿 → lim

𝑛→∞𝑓 𝑛 = 𝐿

Contoh:

lim𝑛→∞

ln 𝑛

𝑒𝑛 ?

Karena lim𝑥→∞ln 𝑥/𝑒𝑥 = lim

𝑥→∞

1/𝑥

𝑒𝑥= 0, maka

lim𝑛→∞

ln 𝑛

𝑒𝑛= 0.

Misal barisan {𝑎𝑛} dan 𝑐𝑛 konvergen ke 𝐿, dan

𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 untuk 𝑛 ≥ 𝐾,𝐾 ∈ ℕ.

Maka 𝑏𝑛 juga konvergen ke 𝐿.

• lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞𝑐𝑛 = 𝐿

• 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛, 𝑛 ≥ 𝐾, 𝐾 ∈ ℕ lim𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝐿

lim𝑛→∞|𝑎𝑛| = 0 lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

Contoh:

lim𝑛→∞−1 𝑛

2𝑛

𝑛2 + 1

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞

2𝑛

𝑛2 + 1= 0

Maka, menurut teorema C

lim𝑛→∞−1 𝑛

2𝑛

𝑛2 + 1= 0

Jika 𝑈 batas atas dari barisan tak turun 𝑎𝑛 , maka barisan tsb konvergen ke limit 𝐴 ≤ 𝑈.

• Jika 𝐿 batas bawah dari barisan tak naik 𝑏𝑛 , maka

barisan tsb konvergen ke limit 𝐵 ≥ 𝐿.

Infinite Series (Deret tak Hingga):

𝑎𝑘

∞

𝑘=1

= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯

𝑛th Partial Sum:

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑘

𝑛

𝑘=1

lim𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑆 𝑎𝑘

∞𝑘=1 = 𝑆, (𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛)

( 𝑆𝑛 konvergen )

{𝑆𝑛} divergen deretnya ( 𝑎𝑘∞𝑘=1 ) divergen

𝑎𝑟𝑘−1∞

𝑘=1

= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯ , 𝑎 ≠ 0

𝑛th partial sum:

𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 − 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛

Maka

𝑆𝑛 =𝑎 − 𝑎𝑟𝑛

1 − 𝑟=𝑎

1 − 𝑟−𝑎

1 − 𝑟𝑟𝑛

Jika 𝑟 < 1 Maka lim

𝑛→∞𝑟𝑛 = 0, sehingga

lim𝑛→∞𝑆𝑛 =

𝑎

1 − 𝑟= 𝑆

Jadi deret geometri konvergen. Jika 𝑟 > 1 atau 𝑟 = −1 Maka deretnya divergen karena barisan {𝑟𝑛} divergen. Jika 𝑟 = 1 Maka 𝑆𝑛 = 𝑛𝑎, sehingga deretnya divergen karena lim𝑛→∞𝑆𝑛 =∞.

𝑎𝑛

∞

𝑛=1

konvergen → lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 atau tidak ada → 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

divergen

Proof:

Karena deret konvergen maka: 𝑆 = lim𝑛→∞𝑆𝑛. Fakta bahwa 𝑎𝑛 = 𝑆𝑛 −

𝑆𝑛−1. Maka

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞𝑆𝑛 − lim

𝑛→∞𝑆𝑛−1 = 𝑆 − 𝑆 = 0

Apakah 2𝑛4

4𝑛4+𝑛2∞𝑛=1 konvergen?

Karena

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞

2𝑛4

4𝑛4 + 𝑛2= lim𝑛→∞

2

4 + 1/𝑛2=1

2

maka, dengan uji suku ke-n, deretnya divergen.

1

𝑛

∞

𝑛=1

= 1 +1

2+1

3+⋯+

1

𝑛+⋯

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞

1

𝑛= 0

Apakah lim𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑆 (deretnya konvergen) ?

𝑆𝑛 = 1 +1

2+1

3+1

4+1

5+⋯+

1

8+⋯+

1

𝑛

> 1 +1

2+2

4+4

8+⋯+

1

𝑛

Jadi 𝑆𝑛 divergen, sehingga deret harmonik divergen.

Please read it by yourself. See 9.2 example 7 page

458. Contoh:

1

(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

∞

𝑘=`1

= 1

(𝑘 + 2) −1

(𝑘 + 3)

∞

𝑘=1

Sn =1

3−1

4+1

4−1

5+1

5−1

6+⋯

1

𝑛 + 2−1

𝑛 + 3

=1

3−1

𝑛 + 3

lim𝑛→∞𝑆𝑛 = lim

𝑛→∞

1

3−1

𝑛 + 3=1

3

Jika 𝑎𝑘∞𝑘=1 dan 𝑏𝑘

∞𝑘=1 keduanya konvergen,

dan 𝑐 adalah suatu konstanta, maka

𝑐𝑎𝑘∞𝑘=1 dan 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘

∞𝑘=1 konvergen.

𝑐𝑎𝑘∞𝑘=1 = 𝑐 𝑎𝑘

∞𝑘=1

𝑎𝑘 + 𝑏𝑘∞𝑘=1 = 𝑎𝑘

∞𝑘=1 + 𝑏𝑘

∞𝑘=1

𝑎𝑘∞𝑘=1 divergen 𝑐𝑎𝑘

∞𝑘=1 divergen

dan 𝑐 ≠ 0

Contoh:

1

3𝑘

∞

𝑘=1

= 1

3⋅1

𝑘

∞

𝑘=1

Suku-suku dari sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokan secara bebas.

Deret yang baru akan konvergen ke nilai yang sama.

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … ; 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 ; 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑎𝑛−1) 𝑎𝑛 konvergen ke 𝐿 jika lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿

lim𝑥→∞𝑓 𝑥 = 𝐿 → lim

𝑛→∞𝑓 𝑛 = 𝐿

Teorema Apit: 𝐿 = lim

𝑛→∞𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ lim

𝑛→∞𝑐𝑛 = 𝐿

lim𝑛→∞|𝑎𝑛| = 0 ⟹ lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

Jika 𝑈 batas atas dari barisan tak turun 𝑎𝑛 ,

maka barisan tsb konvergen ke limit 𝐴 ≤ 𝑈.

𝑎𝑘∞𝑘=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ ; (deret)

𝑆1, 𝑆2 , 𝑆3 , … ; (barisan)

lim𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑆 𝑎𝑘

∞𝑘=1 = 𝑆, (konvergen)

𝑎𝑟𝑘−1∞𝑘=1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯ , 𝑎 ≠ 0

(deret geometri)

lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 atau tidak ada → 𝑎𝑛

∞𝑛=1 divergen

(Uji suku ke-n)

1

𝑛∞𝑛=1 = 1 +

1

2+1

3+⋯+

1

𝑛+⋯ , (Deret Harmonik)

𝑎𝑘 ≥ 0 dan 𝑆𝑛 ≤ 𝑈 ⇔ 𝑎𝑘∞𝑘=1 = 𝑆 ≤ 𝑈

Buktinya silahkan baca sendiri di buku.

Bertanyalah kalau ada yg tidak dipahami.

Misal, pada interval [1,∞), 𝑓 suatu fungsi yang kontinu,

positif,

tidak naik dan

𝑎𝑘 = 𝑓(𝑘), utk setiap bilangan bulat 𝑘. Maka

𝑓(𝑥)

∞

1

𝑑𝑥 konvergen ⟺ 𝑎𝑘

∞

𝑘=1

konvergen

1

𝑘𝑝

∞

𝑘=1

= 1 +1

2𝑝+1

3𝑝+⋯ , 𝑝 ∈ ℝ

Jika 𝑝 > 1, maka deret-𝑝 konvergen

Jika 𝑝 ≤ 1, maka deret-𝑝 divergen

Buktikan!

𝐸𝑛 = 𝑆 − 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 +⋯

Jika, pada interval [1,∞), 𝑓 suatu fungsi yang kontinu,

positif,

tidak naik dan

𝑎𝑘 = 𝑓(𝑘), utk setiap bilangan bulat 𝑘. Maka

𝐸𝑛 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 +⋯ = 𝑎𝑘

∞

𝑘=𝑛+1

< 𝑓(𝑥)

∞

𝑛

𝑑𝑥

Deret Geometri

𝑟𝑛∞

𝑛=1

konvergen jika − 1 < 𝑟 < 1

Deret-𝑝

1

𝑛𝑝

∞

𝑛=1

konvergen jika 𝑝 > 1

𝑛

5𝑛2 − 4

∞

𝑛=1

𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 atau 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛?

𝑛

2𝑛(𝑛 + 1)

∞

𝑛=1

𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 atau 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛?

Misal 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 untuk 𝑛 ≥ 𝑁.

𝑏𝑛 konvergen 𝑎𝑛 konvergen

𝑎𝑛 divergen 𝑏𝑛 divergen

Proof ? Please refer to the book of Purcell..

Misal 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑏𝑛> 0, dan

lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑏𝑛= 𝐿.

0 < 𝐿 < ∞ 𝑎𝑛 dan 𝑏𝑛 konvergen/divergen

𝐿 = 0 & 𝑏𝑛 konvergen 𝑎𝑛 konvergen

Misal 𝑎𝑛 suatu deret positif, dan

lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1𝑎𝑛= 𝜌.

𝜌 < 1 deretnya konvergen

𝜌 > 1 atau ∞ deretnya divergen

𝜌 = 1 tidak ada kesimpulan

Untuk menguji kekonvergenan suatu deret positif 𝑎𝑛, maka

perhatikan suku 𝑎𝑛 nya.

1. Jika lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0, maka deret divergen. (Uji Suku ke-n)

2. Jika 𝑎𝑛 mengandung bentuk 𝑛!, 𝑟𝑛, 𝑛𝑛, coba uji rasio.

3. Jika 𝑎𝑛 hanya melibatkan pangkat konstan 𝑛, coba Uji Banding Limit.

Khususnya jika 𝑎𝑛 berupa ekspresi rasional dalam 𝑛, gunakan uji ini

dengan 𝑏𝑛 sbg rasio suku2 awal dr pembilang&penyebut.

4. Jika uji2 diatas tidak berhasil, coba Uji Banding Biasa, Uji Integral, atau

Uji Jumlah Terbatas.

5. Beberapa deret memerlukan manipulasi cerdik untuk menentukan

konvergensi atau divergensinya.

Deret ganti tanda

𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯

Deret harmonik ganti tanda

1 −1

2+1

3−1

4+1

5−⋯

Misal sebuah deret ganti tanda

𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯

Dengan kondisi

𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 > 0.

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0 ⟹ deret ganti tanda konvergen

Error = |𝑆 − 𝑆𝑛| ≤ 𝑎𝑛+1

Misal kita punya suatu deret 𝑢𝑛.

𝑢𝑛 konvergen ⟹ 𝑢𝑛 konvergen

Deret 𝑢𝑛 disebut konvergen mutlak jika

|𝑢𝑛| konvergen. Dengan demikian:

𝑢𝑛 konvergen mutlak ⟹ 𝑢𝑛 konvergen

Deret 𝑢𝑛 disebut konvergen bersyarat jika

𝑢𝑛 konvergen tetapi |𝑢𝑛| divergen.

Jadi

𝑢𝑛 konvergen mutlak ⇍ 𝑢𝑛 konvergen

Misal 𝑢𝑛 dengan 𝑢𝑛 ≠ 0, dan

lim𝑛→∞

|𝑢𝑛+1|

𝑢𝑛= 𝜌

𝜌 < 1 ⟹ deretnya konvergen mutlak

𝜌 > 1 ⟹ deretnya divergen

𝜌 = 1 ⟹ tidak ada kesimpulan

Suku-suku dari suatu deret konvergen mutlak

dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi

kekonvergenan dan jumlah deretnya.

Ingat! Anda harus bisa membedakan apa yang ditulis

dibuku pada subbab ini:

𝑢𝑛

∞

𝑛=1

= −1 𝑛∞

𝑛=1

𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯

Yakni 𝑢𝑛 = −1𝑛 𝑎𝑛. Bedakan dengan di subbab

sebelumnya yang selalu ditulis 𝑎𝑛∞𝑛=1 atau 𝑏𝑛

∞𝑛=1

yang selalu positif.

Langkah mengecek kekonvergenan untuk suatu deret ganti tanda 𝑢𝑛∞𝑛=1 .

1. Cek dengan Uji Rasio Mutlak (teorema C 9.5)

a. Jika 𝜌 ≠ 1, jelas 𝑢𝑛∞𝑛=1 divergen (𝜌 > 1) atau konvergen mutlak (𝜌 < 1).

b. Jika 𝜌 = 1, lihat langkah 2.

2. Ubah 𝑢𝑛∞𝑛=1 ke deret positif |𝑢𝑛|

∞𝑛=1 .

a. Kemudian cek dengan semua uji yang kita punya untuk deret positif (subbab 9.2-9.4, lihat

rangkuman di 9.4). Termasuk uji rasio (mutlak), teorema C di 9.5.

b. Jika konvergen ( 𝑢𝑛∞𝑛=1 konvergen), maka deret 𝑢𝑛

∞𝑛=1 konvergen mutlak menurut teorema B

di 9.5.

c. Jika divergen ( 𝑢𝑛∞𝑛=1 divergen), maka harus dicek deret 𝑢𝑛

∞𝑛=1 (lihat langkah 3).

3. Cek deret ganti tanda 𝑢𝑛∞𝑛=1 .

a. Gunakan satu2nya uji kekonvergenan deret ganti tanda yaitu Uji Deret Ganti Tanda, teorema A

9.5, jika kondisinya dipenuhi. Jika tidak,

b. Gunakan Uji Suku ke-n di 9.2 untuk menunjukkan deret tsb divergen. Jika tidak,

c. Gunakan definisi di 9.2: lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑆 konvergen. Jika tidak, maka divergen.