barisan dan deret tak hingga · pdf filebarisan bilangan . 4 1, 3 1, 2 1 1, dinamakan barisan...
TRANSCRIPT
Disusun oleh :
Markus Yuniarto, S.Si
Tahun Pelajaran 2016 – 2017
SMA Santa Angela
Jl. Merdeka No. 24 Bandung
Barisan Dan Deret
Tak Hingga
Matematika Wajib
Kelas XI
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal 2
Pengantar:
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat
dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini
berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika
akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
Tujuan Pembelajaran :
1. Memahami notasi sigma dengan baik.
2. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada
pengertian barisan dan deret tak hingga dengan tekun.
3. Mengingat kembali konsep barisan dan deret .
4. Menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan barisan dan
deret dengan tekun.
5. Memahami deret konvergen dan tak konvergen.
Peta Konsep :
Barisan dan deret Tak Hingga
Notasi Sigma
Konsep Barisan
Dan Deret
Menghitung Barisan
Dan Deret Tak Hingga
Konvergensi
Deret
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal 3
A. Prasyarat 1. Misal diketahui pola :
B, U, R, S, A, B, U, R, S, A, B, ...
Berdasarkan barisan tersebut, Tentukan :
a. Suku ke – 15
b. Suku ke – 18
c. Suku ke – 20
d. Suku ke – 1.000
e. Suku ke – 1.009
2. Suku-suku suatu barisan bilangan memenuhi rumus : n57Un .
Tentukan :
a. Suku ke – 100
b. Jumlah 100 suku pertama
3. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah 4n3S 2n .
Tentukan suku ke – 200.
Ingat :
Barisan Aritmatika :
1. Barisan U1, U2, U3, ..., Un, .... disebut barisan aritmatika jika Un
- Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut
disebut beda, yang dinotasikan dengan b.
2. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka
dengan beda b dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari
barisan itu adalah Un = a + (n - 1)b
3. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka,
maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmatika. Un disebut suku
ke n dari deret itu.
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal 4
4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a
adalah Sn = )(2
1nUan atau Sn = ))1(2(
2
1bnan .
Barisan Geometri :
1. Barisan U1, U2, U3,..., Un,...disebut barisan geometri jika 1n
n
U
U konstan
dengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.
2. Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan
U1 = a dan rasio r adalah: Un = arn-1
3. Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan
unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka
U1 + U2 + U3 + ... + Un + ....disebut deret geometri dengan
Un = arn-1
4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio
r adalah:
r
raS
n
n
1
)1( untuk r < 1 atau
1
)1(
r
raS
n
n untuk r > 1
Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret divergen.
5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r
adalah Sn = r
a
1
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal 5
B. Notasi Sigma
Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3. 27
1
9
1
3
1 .
4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola
dapat dituliskan dengan notasi (dibaca: sigma), sehingga jumlahan bilangan
diatas dapat ditulis kembali :
1.
7
1
7654321n
n
2.
6
1
212108642n
n
3.
3
1 3
1
27
1
9
1
3
1
nn
4.
5
1
)12(97531n
n
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal 6
Beberapa sifat notasi sigma
Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c R ,maka berlaku:
1.
n
mkk
n
mkk
n
mkkk ba)ba(
2.
n
mkk
n
mkk acca
3.
n
mk
p
1nk
p
mkkkk aaa
4. c)1mn(cn
mk
, c Є R, c = konstanta
5.
pn
pmkpk
n
mkk aa atau
pn
pmkpk
n
mkk aa
6.
n
mk
2k
n
mkkk
n
mk
2k
n
mk
2kk bb.a2a)ba(
Ex. 1 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan
5
1k1kk
30201262
6554433221
1551441331221111kk5
1k
Ex. 2 Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma:
a. 2+ 4 + 6 + 8 + 10
= 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5
=2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)
=
5
1kk2
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal 7
b. 5
4
4
3
3
2
2
1
1k
kk1
14
41
13
31
12
21
11
11
4
1k
432
c. 2433425 bababaab
4
1k
k6k
464363262161
ba
babababa
Ex. 3 Tentukan nilai dari :
a.
10
1pp
b.
6
3n
2n2
c.
5
1k1k2
d.
5
1n 1n
3n22n3
e.
4
2k
2 4k3
Ex. 4 Buktikan :
n
1k
n
1k
n
1k
22 n16k16k44k2
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal 8
Ex. 5 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut:
a.
4
2k
64
62k
10
4k 13k2
6k
16k2
6k
1k2
k
b.
10
6k
2 1k
C. Deret Khusus dalam Notasi Sigma
Deret Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, 4, 5,....,n}
Suku ke- n adalah nUn
n1n2
1Sn , sehingga dapat ditulis :
n
1in1n
2
1i
Deret Kuadrat Bilangan Asli
Himpunan kuadrat bilangan asli 2222 n,....,3,2,1
Suku ke-n adalah 2n nU
1n21nn2
1Sn ,sehingga dapat ditulis :
1n21nn2
1i
n
1i
2
Deret Kubik Bilangan Asli
Himpunan kuadrat bilangan asli 3333 n,....,3,2,1
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal 9
Suku ke-n adalah 3n nU
2
n 1nn2
1S
, sehingga dapat ditulis :
2
n
1i
3 1nn2
1i
Ex. 6 Diketahui barisan : 1, 4, 9,16, 25, 36, ...., n2. Tentukan jumlah dari
suku ke-50 sampai suku ke-60.
Ex. 7 Berapakan nilai dari 22222222 1234....23242526
Jawab :
22222222 1234....23242526
= 22222222 13....232524....2426
2222
22222
112122....1122132
12....12132
=
13
1i
213
1i
2 1i2i4
=
13
1i
213
1i
2 1i4i4i4
=
13
1i
13
1i
13
1i
213
1i
2 1i4i4i4
= 131i413
1i
= 131312
134
=351
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
10
D. Barisan dan Deret Tak Hingga
Misal :
Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 100 dinamakan barisan berhingga.
Barisan bilangan ,....4
1,
3
1,
2
1,1 dinamakan barisan tak hingga.
Bagaimana dengan deret??
Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku barisan.
Misal : barisan ...u,u,u,u 4321
Deret : ...uuuu 4321
Ex. 8 Tentukan suku ke-2, suku ke-5, dan suku ke 12 jika diketahui 1n
1u
2n
E. Limit dari Suatu Barisan
Suatu bilangan L dikatakan sebagai limit dari sebuah barisan tak
berhingga ...u,u,u,u 4321 apabila untuk setiap bilangan Є > 0 yang
diberikan (berapa pun kecilnya), dapat ditemukan sebuah bilangan N
sedemikian sehingga Lun ,untuk semua bilangan bulat n > N.
Misalnya : n
1n3
n
13un
. Barisannya adalah 4.
Teorema Limit Pusat
Jika diketahui nn
nn
blimdanalim
ada maka :
1. nn
nn
nnn
blimalimbalim
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
11
2. nn
nn
nnn
blimalimbalim
3. 0blimasal,blim
alim
b
alim n
nn
n
nn
n
n
n
4. p
nn
pn
nalimalim
Ex. 9 Diketahui sebuah barisan dengan rumus suku ke-n adalah
n
1nun
. Tentukan nilai limitnya.
Jawab :
101n
1lim1lim
n
11lim
n
1nlimulim
nnnnn
n
F. Barisan Konvergen dan Divergen
1. Konvergen
Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.
a. 1 + 2 + 4 + 8 + ....
b. 5 – 10 + 20 – 40 + ....
c. ....4
1
2
11
d. ....3
1139
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
12
Dalam contoh a dan b rasionya 2 dan -2,jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tak terbatas.
Deret yang demikian disebut deret divergen,dengan 1r .
Dalam contoh c dan drasionya 3
1dan
2
1 , dapat dihitung
jumlahnya,deret ini disebut deret konvergen dengan 1r .
r1
r1alimSlimS
n
nn
n
Karena deret konvergen 1r ,untuk n → ∞ maka
0rn ,sehingga :
r1
a
r1
0a
r1
aralim
r1
r1alimSlimS
n
n
n
nn
n
Jadi rumus jumlah deret geometri tak hingga :
1rdengan,r1
aS
Ex. 10 Tentukan jumlah deret tak berhingga suku dari deret berikut :
a. ....8
1
4
1
2
11
Deret ini konvergen,
Dengan a = 1 dan r = 2
12
2
1
1
2
11
1
r1
aS
b. ....
4
1
2
112
2
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
13
Deret ini konvergen,
Dengan a = 2 dan r = 2
1, 4
2
11
2
r1
aS
Ex. 11 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m danmemantul kembali dengan
ketinggian 4
3kali tinggi sebelumnya.pemantulan berlangsung terus
menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola.
4
3r;m10u0
m4
30m10
4
3u1
m70
4
31
4
3
210r1
u210S210S 1
Cara lain :
Suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H secara vertikal dan memantul
ke atas dengan tinggi pantulan b
a kali dari ketinggian semulamaka
panjang lintasan pantulan S hingga berhenti adalah :
Hab
abS
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
14
Soal Latihan
Kerjakan soal –soal berikut ini pada buku tugasmu!
1. Hitunglah jumlah deret geometri takhngga berikut!
a. 3 + 1 + 3
1 + … c. -3 + 1 -
3
1 + …
b. 8 – 4 + 2 – 1 + … d. 4 + ...9
4
3
4
2. Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 6 dan rasio sama dengan 3
2.
Hitunglah jumlah tak hingga sukunya!
3. Jika suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlahnya 3 dan suku pertama sama dengan 4, hitunglah besar rasio deret tersebut!
4. Mobil bergerak lurus dengan kecepatan 60 km/jam selama jam pertama. Pada jam
kedua kecepetannya berkurang menjadi dua pertiganya.Demikian seterusnya, setap
jam kecepatannya menjadi 3
2 kecepatan sebelumnya.Berapa km jarak trjauh yang
dapat dicapai oleh mobil trsebut?
5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketnggian 18 m, saat mengenai lantai , bola memantul
mencapai ketinggian 3
2 dari aktinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola
sampai berhenti
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
15
Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, d, atau e sesuaia pilihan yang paling tepat
1. Nilai dari 11 25
1
nn
n adalah …
a. -16 b. -14 c. -12
d. 14 e. 12
2. Notasi sigma dari 3 + 10 + 21 + … + 300 adlah : …
a.
12
1
12k
k b.
12
1
2 2k
k c.
12
1
1k
kk
d.
12
1
23k
k e.
12
1
12k
kk
3. Suku ke – 15 dari barisan 3, 5, 7, 9, …adalah …
a. 27 b. 12 c. 35
d. 29 e. 33
4. Suatu deret aritmatika mempunyai suku ke- 1 sama dengan 4 dan beda 2. Jika
jumlah n suku pertama adalah 180, maka n = …
a. 6 b. 9 c. 12
d. 15 e. 18
5. Rumus suku ke- n dari barisan bilangan : 2, 4, 8, 16, 32 adalah :
a. 2n d. n2
b. 2n + 2 e. 2n – 2
c. 2n
6. Lima suku pertama dari barisan dengan rumus Un = n2 + 1 adalah …
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
16
a. 2, 5, 7, 11 d. 3, 6, 9, 15, 21
b. 2, 5, 10, 17, 26 e. 3, 7, 9, 12, 15
c. 3, 5, 7, 9, 11
7. Suatu deret aritmatika suku pertama sama dengan 5 dan bedanya 3 , maka suku
ke seratus adalah …
a. 300 d. 309
b. 302 e. 312
c. 306
8. Diketahui barisan aritmatika dengan U3 = 3 dan U8 = 13. Suku ke – 100 adalah..
a. 199 d. 196
b. 198 e. 195
c. 197
9. Suku tengah dari barisan aritmatika yang suku pertamanya = 3, bedanya lima,
dan banyaknya suku 99, adalah …
a. 245 d. 248
b. 246 e. 249
c. 247
10. U5 deret aritmatika adalah 21 dan U17 deret tersebut adalah 81, maka jumlah 25
suku pertama adalah ….
a. 1.495 d. 1.520
b. 1.500 e. 1.525
c. 1.515
11. Jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 kurang dari 100 adalah …
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
17
a. 166.833 d. 166.533
b. 166.733 e. 166.433
c. 166.633
12. Diketahui suatu barisan bilangan 5, 9, 13, 17, … suku ke-n barisan bilangan
tersebut adalah …
a. Un = 4 + n d. Un = 1 + 4n
b. Un = 3 + 2n e. Un = -1 + 6n
c. Un = 2 + 3n
13. Perusahaan “ ASIA JAYA” pada tahun pertama mempruduksi sepatu sebanyak
2.000 buah. Jika setiap tahun produksinya bertambah sebanyak 25 buah, jumlah
produksi sepatu pada tahun ke-21 adalah …
a. 2.045 buah d. 3.975 buah
b. 2.500 buah e. 5.500 buah
c. 2.550 buah
14. Pada barisan arit matika suku keempat sama dengan 8 dan suku kedua belas
sama dengan 16. Suku kesepuluh adalah …
a. 34 d. 44
b. 38 e. 48
c. 40
15. Sebuah perusahaan mobil pad tahun ke tiga memproduksi sebanyak 550 unit.
Tiap – tiap tahun berikunya meningkat 5 % dari tahun pertama. Jumlah produksi
selama sepuluh tahu adalh :…
a. 700 unit d. 6.125 unit
b. 725 unit e. 6.250 unit
c. 1.125 unit
=====================================================Matematika XI Wajib
Marcoes hal
18
16. Suku kedua dan kelima pad barisan geometri berturut – turut adalah 6 dan 162.
Jumlah empat suku pertam adalah : …
a. 60 d. 90
b 70 e. 106
c. 80
17. Fitri mendapat gaji Rp 7.500.000,00 tiap tahun berikutnya bertambah Rp
200.000,00 tiap tahun. Total gaji Fitri selama 6 tahun adalah :
a. Rp 49.000.000,00 d. Rp 44.000.000,00
b. Rp 48.000.000,00 e. Rp 43.000.000,00
c. Rp 46.000.000,00
18. Suatu deret geometri diketahui suku kedua adalah 24 dan suku kelima adalah 81,
maka jumlah lima suku yang pertama adalah : …
a. 112 d. 224
b. 121 e. 242
c. 211