Dvostruki integral ima dvije granice jedna za fi druga za ro, rješava se preko polarnih koordinata i koristi se za izračunavanje površine nekih krivulja.

Zadatak1.

Izračunaj dvostruki integral

gdje je P područje omeđeno kružnicom

u polarnim koordinatama je:

mora biti veće ili jednako 0, kosinus je veće ili jednako 0 ako se kut fi nalazi između:

granice za fi

granice za ro

Sada pod integralnu funkciju napišemo u polarnim koordinatama pa imamo:

Zadatak2.

Izračunaj dvostruki integral

ako je P dio ravnine omeđen sa u 3

kvadrantu

u polarnim koordinatama je:

Pošto je ro svakako veći od nule (nalazi se između 1 i 3) onda su granice za fi maksimalne vrijednosti koje fi može imati u 3 kvadrantu, pa granice za ro i fi su:

granice za ro

granice za fi

Sada pod integralnu funkciju napišemo u polarnim koordinatama pa imamo:

Dvostruki integral29. prosinca 2014. 13:08

Matematika 3 Stranica 1

Zadatak3.

Izračunaj dvostruki integral

gdje je P omeđen sa

u polarnim koordinatama je:

Pošto je ro svakako pozitivan (nalazi se između π i 2π) onda su granice za fi maksimalne vrijednosti koje fi može imati u kružnici, pa granice za ro i fi su:

granice za ro

granice za fi

Sada pod integralnu funkciju prebacimo u polarne koordinate pa imamo:

Integral

se rješava parcijalnom integracijom pa imamo:

Dobiveni rezultat uvrštavamo u dvostruki integral:

Izračunaj površinu leminiskale danu formulom 4.

Leminiskala u polarnim koordinatama je:

Ro mora biti veći ili jednak 0 a bit će ako kosinus veći ili jednak 0 odnosno ako se fi nalazi između:

Matematika 3 Stranica 2

Ro mora biti veći ili jednak 0 a bit će ako kosinus veći ili jednak 0 odnosno ako se fi nalazi između:

Pošto se luk kojeg ja koristim u ovom zadatku nalazi u prvom kvadrantu onda granica za fi kreće od 0:

granice za ro

granice za fi

Leminiskala ima 4 luka, pa ću konačnu površinu dobiti tako što izračunam površinu jednog luka i pomnožim je sa 4 pa imamo:

Zadatak5.Izračunaj površinu lika omeđenog kružnicom i pravcima

u polarnim koordinatama je:

Ro mora biti veći ili jednak 0, a biti će ako je kosinus veći ili jednak 0 odnosno ako se kut fi nalazi:

u polarnim koordinatama je:

u polarnim koordinatama je:

Tangens je jednak 1 za vrijednost kuta:

Granice za fi ćemo dobiti ako napravimo presjek tih kutova tj. granica od 0 do

je preciznija jer sužava

područje od one koja ide od

do

pa konačne granice su:

granice za ro

granice za fi

Površina lika je:

Matematika 3 Stranica 3

Zadatak6.Izračunaj površinu lika omeđenog sa i

u polarnim koordinatama je:

u polarnim koordinatama je:

Iz ove dvije nejednađbe imamo granice za ro a granice za fi ćemo dobiti ako izjednačimo te dvije vrijednosti pa imamo:

Kosinus je jednak

ako se kut fi nalazi između:

Granice integracije su:

granice za ro

granice za fi

Površina lika je:

Zadatak7.

Izračunaj dvostruki integral

ako je P omeđen sa i

Matematika 3 Stranica 4

Izračunaj dvostruki integral

ako je P omeđen sa i

u polarnim koordinatama je:

u polarnim koordinatama je:

Iz ove dvije nejednađbe dobili smo granice za ro, a granice za fi ćemo dobiti kada izjednačimo te dvije vrijednosti pa imamo:

Sinus je jednak

za vrijednosti kuta

i

Granice integracije su:

granice za ro

granice za fi

Sada pod integralnu funkciju prebacimo u polarne koordinate pa imamo:

Zadatak8.

Izračunaj površinu lika omeđenog krivuljom

Za ovaj zadatak nam trebaju eliptične polarne koordinate koje glase:

i

u polarnim koordinatama je:

Matematika 3 Stranica 5

Pošto je ro svakako veće ili jednako 0 jer pod korijenom su kvadrati, onda su granice za fi maksimalne vrijednosti koje kut fi može imati na nekoj kružnici, pa granice integracije su:

granice za ro

granice za fi

Površina lika je:

Zadatak 9.

Izračunaj dvostruki integral

ako je P područje omeđeno kružnicama

i i nalazi se u drugom kvadrantu

u polarnim koordinatama je:

u polarnim koordinatama je:

Pošto je ro svakako pozitivan jer nalazi se između i onda su granice za fi maksimalne vrijednosti koje kut fi može imati u drugom kvadrantu, pa granice integracije su:

granice za ro

granice za fi

Sada pod integralnu funkciju prebacimo u polarne koordinate pa imamo:

Matematika 3 Stranica 6

Sada pod integralnu funkciju prebacimo u polarne koordinate pa imamo:

Integral

se rješava preko parcijalne integracije pa imamo:

Zadatak10.Naći površinu lika omeđenog kružnicom i pravcima

u polarnim koordinatama je:

Ro mora biti veći ili jednak 0 a to će biti ako je kosinus veći ili jednak 0 odnosno ako se fi nalazi između:

u polarnim koordinatama je:

u polarnim koordinatama je:

Tangens je jednako 1 ako je kut fi jednak

i

Granice za fi ćemo dobiti ako napravimo presjek tih kutova, a pošto je interval od 0 do

najprecizniji u

zadanoj domeni njega uzimamo kao granicu, pa konačne granice integracije su:

granice za ro

granice za fi

Matematika 3 Stranica 7

Površina lika je:

Matematika 3 Stranica 8