développement d'éléments finis de coque pour le calcul des

HAL Id: tel-00529363https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00529363

Submitted on 25 Oct 2010

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Développement d’éléments finis de coque pour le calculdes ouvrages d’art

L’Houcine Ait-Ali

To cite this version:L’Houcine Ait-Ali. Développement d’éléments finis de coque pour le calcul des ouvrages d’art. Matéri-aux. Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 1984. Français. �tel-00529363�

https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00529363

https://hal.archives-ouvertes.fr

ieM Ni J b Ml >

T H E S E

PRÉSENTÉE A

L'ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES

POUR OBTENIR LE TITRE DE

DOCTEUR-INGENIEUR EN G É N I E - C I V I L

PAR

L'HOUCINE A I T - A L I

SUJET DE THESE : DEVELOPPE^IT D'ELFENTS FINIS DE CHUE POUR LE CALCUL

DES OUVRAGES D'ART

LE 27 JUIN 1984- A L'ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES

Devant le Jury composé de MM. B. HALPHEN

J . L . BATOZ

J . 3ROZETTI G. FEZANS •P. HUMBERT ? . LAD EVEZE

Président Rapporteur

\ Examinateurs

J . C . PARRIAUD I n v i t é

E.N.P.C.

REMERCIEMENTS

J'exprime ma profonde reconnaissance à Messieurs HUMBERT et FEZANS qui m'ont i n i t i é à la méthode des éléments f i n i s et m'ont guidé tout au long de ce t r a v a i l .

Je t iens à exprimer toute ma grat i tude à Monsieur HALPHEN qui a suivi avec i n t é rê t l ' é labora t ion de ce t r a v a i l et me f a i t l 'honneur de présider ce Jury.

Je remercie Messieurs 3AT0Z, BROZETTI et LADEVEZE pour l ' i n t é r ê t q u ' i l s ont apporté à ce t rava i l en acceptant de f a i r e par t ie du Jury.

J'adresse tous mes remerciements à Madame DOH et Monsieur BOURAI pour avoir réa l isé la dactylographie et la présentation de cet te thèse avec tant de gent i l lesse.

Je remercie tous les membres de la section Modèles Numériques où j ' a i effectué ce t rava i l et les camarades thésards pour leur agréable compagnie.

Cette étude a été effectuée au Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, section Modèles Numériques, je remercie Monsieur PARRIAUD, son d i recteur , qui a mis à ma disposi t ion tous les moyens nécessaires au bon déroulement de ce t r a v a i l .

RESUME

L ' o b j e c t i f de ce t rava i l est la mise au point et le tes t d'une sér ie d'éléments f i n i s de coque permettant de prendre en compte l ' essen t i e l des s i tuat ions rencontrées dans le calcul des ouvrages d ' a r t .

Pour ce f a i r e , nous avons ainsi considéré t r o i s catégories d'éléments :

- Mous avons tout d'abord étudié les éléments de plaque en f l ex ion à 3 et 4 noeuds (DKT et DKQ) basés sur les hypothèses de love-Kirchhoff sous forme d iscrè te . Après avoir étendu leur formulation pour permettre le calcul de coques de forme quelconque et d'épaisseur var iable, nous avons effectué une série de tests numériques (plaque, coque cy l indr ique, structure de type caisson, barrage-voûte) qui permettent d'évaluer leurs performances.

- Nous avons par la suite étudié le comportement des éléments de coque épaisse à 8 noeuds basés sur les hypothèses cinématiques de Mind l in . Les tests nunériques effectués nous ont permis de v é r i f i e r que ces éléments sont très adaptés au calcul des structures épaisses et des structures dans lesquelles les ef fets de membrane sont importants.

- Pour permettre l 'é tude de structures coaues comportant des part ies massives devant être mode! isées par des éléments tr idimensionnels nous avons également étudié des éléments de coque épaisse de type t r i d i mensionnel à 16 ou 12 noeuds permettant grâce à des éléments de t r ans i t i on une connection fac i le avec les éléments massifs.

PLAN DE LA THESE

I - INTRODUCTION.

II - FORMULATION DES ELEMENTS CONSIDERES

1 - ELEMENTS DE COQUE EPAISSE A 12 ET 16 NOEUDS.


3 - ELEMENTS DE COQUE MINCE A 3 ET 4 NOEUDS.

III - COMPORTEMENT DE CES ELEMENTS DANS LE DOMAINE STATIQUE.

IV - COMPORTEMENT DE CES ELEMENTS DANS LE DOMAINE DYNAMIQUE.

V - CONCLUSION.

BIBLIOGRAPHIE.

ANNEXES.

TABLEAUX DES RESULTATS.

I - INTRODUCTION :

Dans le domaine du génie c i v i l on a souvent besoin de calculer des structures de type "coque" qui peuvent être relativement complexes (ponts à caisson, da l les , barrages . . . ) . Pour de te ls ouvrages i l est très rare que l ' on puisse--obtenir une solut ion analytique du problème en u t i l i s a n t les théories classiques des plaques et des coques. De ce f a i t , on est la pi upart du temps obligé d 'avoir recours à des méthodes numériques comme la méthode des éléments f i n i s .

Les éléments de poutre permettent souvent d 'avo i r une première approximation du comportement de nombreux ouvrages simples. Néanmoins, i l s se révèlent insuf f i sants pour l 'é tude d'ouvrages plus complexes. Dans ces derniers cas, i l faut donc u t i l i s e r des éléments plus performants comme les éléments f i n i s de coque ou les éléments f i n i s tr idimensionnels.

L 'objet de ce t rava i l est la mise au point et le test d'une série d'éléments f i n i s de coque permettant de prendre en compte l ' essent ie l des s i tuat ions rencontrées dans le calcul des ouvrages d ' a r t .

Une étude bibl iographique complète de tous les travaux portant sur l 'analyse des coques par éléments f i n i s const i tue un t rava i l considérable et n'est pas l ' o b j e t de notre étude. Pour s i tuer notre t rava i l par rapport aux recherches déjà effectuées dans ce domaine, nous nous contentons i c i d'esquisser les quatre approches les plus fréquemment u t i l i sées en renvoyant le lecteur aux références 1 19 à 23 j pour une analyse bibl iographique plus d é t a i l l é e .

L ' u t i l i s a t i o n d'éléments plats | 25 | (éléments t r iangu la i res à 3 noeuds et quadrilétères à 4 noeuds) pour d i sc ré t i se r les structures coaues est la première des approches que nous pouvons considérer. L'avantage essentiel des éléments appartenant à cette catégorie est leur s imp l ic i té r e l a t i v e .

En e f f e t leur formulat ion repose sur les théories classiques des plaques. De ce f a i t on év i te toutes les complexités dues à la prise en compte des courbures dans les théories des coques. Ces éléments ont néanmoins certains inconvénients. Basées la plupart du temps sur des hypothèses cinématiques de type love-Ki rchhof f , i l s ne prennent pas en compte l 'énerg ie de déformation due au c isa i l lement t ransversal . I l s sont donc relat ivement peu adaptés au calcul des structures épaisses où cet te énergie est non négl igeable.

De plus l e couplage flexion-membrane ex is tant dans une structure coque courbe n 'est pas pr ise en compte au niveau de chaque élément. I l n 'est pr is en compte que par l'assemblage de plusieurs éléments non coplanaires. On conçoit donc faci lement que pour les calculs de coque où les e f f o r t s de membnane sont importants,- i l f a i l l e avec des éléments de cet te catégor ie, concevoir des mai 11 ages relativement f i n s .

Les éléments de ce type sont cependant t rès u t i l i sés dans les programmes i ndus t r i e l s de calcu ls de st ructure car leur emploi est relat ivement simple e t leur coût de calcul reste raisonnable (largeur de bande peu élevée par rapport à des mai 11 ages consti tués d'éléments isoparamétriques, t r id imens ionne ls ) .

Une seconde approche consiste à d isc ré t i se r la structure considérée à l ' a ide d'éléments dérivés des théories bidimensionnelles classiques des coques a double courbure. Si ces éléments ont des performances souvent très sa t i s fa i san tes , i l s sont néanmoins assez rarement u t i l i sés dans la pratique i n d u s t r i e l l e . Ceci est certainement dû à leur formulat ion et à leur mise en oeuvre relativement complexe.

L'analyse des coques par l ' i n te rméd ia i re d'éléments dérivés des éléments isoparamétri aues tr idimensionnels consti tue la troisième approche que nous pouvons considérer. Dérivés des hypothèses cinématiques de Mindl in ces éléments permettent la prise en compte de l 'énergie de déformation due au c isa i l lement t ransversa l . De ce f a i t , ces éléments sont souvent appelés éléments de coque épaisse ! l | , |17 | , |24| .

Basés sur le concept d'élément isoparamétrique, i l s peuvent être courbes et donc bien représenter la géométrie rée l le de la structure considérée tout en év i tan t les théories des coques.

La dernière"" approche que nous pouvons dist inguer est l ' u t i l i s a t i o n --—-d'éléments: isoparamétri ques tr idimensionnels classiques pour modél i se r les structures coques étudiées. Cette approche entraîne malheureusement des coûts de calcul qui restent encore souvent d issuasi fs. - -

Si les éléments de poutre sont souvent insuf f isants pour permettre une analyse assez f ine du problème considéré, i l est néanmoins courant que l ' on puisse se contenter d'une étude effectuée à l ' a i d e d'éléments de •• coque "s imples". Ces éléments doivent donc appartenir naturellement à la - -première des approches que nous avons considérée ci-dessus. Néanmoins on peut d is t inguer de nombreux types d'éléments appartenant à cet te catégor ie. A l 'heure actuel le un cer ta in consensus semble cependant se dessiner dans la l i t t é r a t u r e pour reconnaître que les éléments de plaque : .• en f lex ion ( t r i ang le à 3 noeuds (DKT) et quat r i la tè re à 4 noeuds (DKQ)) basés sur les hypothèses de Love-Kirchhoff sous forme discrète sont à ce jour parmi les plus performants. Ces éléments ont été essentiel lement développés par Batoz I l 9 | , I 20l , I 211 .

Une par t ie de notre étude portera ainsi sur ces éléments. La pi upart des --- •• a r t i c l e s actuellement publiés sont consacrés à l 'é tude du comportement de-.'-. ; . : ces éléments dans le calcul des plaques en f lex ion pure. Notre t rava i l étend ces études à l 'analyse des coques ; les coques considérées pouvant avoir une épaisseur var iable à chaque noeud. Pour évaluer la performance de ces éléments, nous avons effectué de nombreux tes ts numériques sur des structures classiques (plaque, coque cyl indr ique) e t sur des structures de. types ouvrages d 'a r t (pont à caisson, barrage).

0' une manière générale, les éléments appartenant à la première des catégories d'éléments que nous avons dé f in ie , sont bien adaptés au calcul des structures minces ayant un comportement dominant de f l e x i o n . Dans la pratique de nombreux ouvrages d 'ar t ne répondent pas à ces c r i t è r e s . Les dal les const i tuant les ouvrages (ponts) sont en e f f e t souvent relativement épaisses ; de mêmes les ames de ponts à caisson ont essentiellement un comportement en membrane. Pour ces structures les éléments de type coque épaisse peuvent alors sembler plus adaptés aue les éléments de coaue mince à 3 et 4 noeuds. C'est pourquoi une autre part ie de notre t r a v a i l sera consacrée à l 'é tude du comportement de ce type d'éléments. Leurs performances seront alors comparées à cel les des éléments de coques minces (DKT et DKQ) précédemment dé f i n i s .

Les éléments de coques épaisses que nous avons étudiés sont de deux "formes" d i f fé ren tes . Nous avons ainsi d'abord considéré des éléments de coque épaisse d i t s de "type surface moyenne". Ces éléments sont so i t des t r iang les à 6 noeuds, so i t des quadri latères à 8 noeuds. I l s peuvent avoir une épaisseur var iant au niveau de chaque noeud. .

Chanue noeud possède les 6 degrés de l ibe r tés classiques des éléments ae coque ( t ro i s déplacements, t r o i s ro ta t ions ) .

/

Ces éléments ont déjà f a i t l ' ob je publ icat ions 1 à 18 . Néanmoin principalement leur a t ten t ion sur u t i l i s e r ( in tégrat ion normale, ré matrices de r i g i d i t é élémentaires portent souvent que sur les résul complète ces études en examinant de tests numériaues les performan qu'en cont ra in tes.

t ces dernières années de nombreuses s, la plupart de ces dernières portent le type d ' in tégra t ion numérique à

dui te ou sélect ive) pour le calcul des . De ce f a i t les tests considérés ne ta t s en déplacement. Le présent t rava i l grâce à une série relat ivement complète ces de ces éléments tant en déplacement

Quand les structures à é tud ier sont constituées localement de parties massives dont on souhaite connaître le comportement avec préc is ion, i l est u t i l e de pouvoir r e l i e r des éléments de coques à des éléments purement t r id imensionnels. A cet e f f e t nous avons ainsi considéré deux éléments de coque épaisse de type t r id imensionnels ; un pentaèdre à 12 noeuds et un hexaèdre à 16 noeuds.

16 noeuds 12 noeuds

Chacun des noeuds de ces éléments ne comporte atette fo is que t ro i s degrés de l i b e r t é (3 déplacements).

Ces éléments peuvent être u t i l i sés en l i a i son avec des "éléments de t r ans i t i on " qui permettent leur connection à des éléments purement t r i d i mensionnels.

êl . coque épa i sse él. coque épaisse

é1. transition él. transition

é1 . volume

Parallèlement aux tests effectués dans Te domaine statique pour évaluer la performance des éléments considérés, nous avons également effectué une série de tests pour étudier leur comportement dans le domaine dynamique.

Notre" travai l comporte trois chapitres principaux. Dans le premier de ces chapitres nous décrivons la formulation de chacun des éléments considérés.

Nous parlerons ainsi tour à tour :

- des éléments de coque épaisse.de."type tridimensionnel", - des éléments de coque épaisse- de "type surface moyenne", - des éléments de coque mince à 3 et 4 noeuds basés sur les

hypothèses de Love-Kirchhoff sous forme discrète.

A travers une série de tests numériques, nous effectuerons dans le chapitre suivant une évaluation des performances des éléments considérés dans le domaine statique.

Le troisième de ces chapitres sera consacré au comportement de ces éléments dans le domaine dynamique.

II - FORMULATION DES ELEMENTS CONSIDERES



3 - ELEMENTS DE COQUE MINCE A 3 ET 4 NOEUDS.

1. ELEMENTS DE COQUE EPAISSE A 12 ET 16 NOEUDS.

INTRODUCTION.

1.1. DEFINITION GEOMETRIQUE DES ELEMENTS.

1.2. CHAMP DE DEPLACEMENT.

1.3. LOI DE COMPORTEMENT.

1.4. CALCUL DE LA MATRICE DE RIGIDITE ELEMENTAIRE.

1.5. CALCUL DES CONTRAINTES.

INTRODUCTION

Dans ce paragraphe noua'rf|Tl*ötis décrire la formulation des" éléments de coque épaisse de type tridimensionnel à 12 et à 16 noeuds.

Ce sont des éléments isoparamétriques tr idimensionnels à in te rpo la t ion 1 i néai re s ui vant 1 ' épaf Sse ur.

De plus, conformément à ce qui est couramment adopté dans le calcul des coques, la l o i de comportement u t i l i sée sera établ ie en considérant l 'hypothèse suivant laquel le la contrainte normale à la surface moyenne de l 'élément (033) est négligeable.

1.1. DEFINITION GEOMETRIQUE DES ELEMENTS

La géométrie de ces éléments peut se d é f i n i r de la manière suivante :

k n

k U n \ X l ( 1 ) j x 2 > = l HK ( r . s . t ) x^

k=l f k

avec :

N ' : Nombre de noeuds de Vêlements considéré (N = 12 ou 16)

x. ( i = l , 3 ) : Coordonnées Cartésiennes d'un point courant de l 'é lément.

r , s , t : Coordonnées curv i l ignes de ce même point .

H : Fonction d ' in te rpo la t ion du noeud K (vo i r Annexe 1 ) . k

x. ( i = l , 3 ) : Coordonnées Cartésiennes du noeud K.

1.2. CHAMP DE DEPLACEMENT

Les éléments considérés sont isoparamétriques. De ce f a i t , le déplacement d'un point courant de ces éléments s'exprimera à l ' a i de des fonctions d ' i n te rpo la t i on u t i l i sées pour d é f i n i r leur géométrie.

Nous aurons ainsi :

"1 M u l

(2) ¡ u 2 = l HK ( r , s , t ) u^ K=l k

"3 u 3

u. ( i = l , 3 ) : Composantes du déplacement d'un point de l 'élément de coordonnées curv i l ignes r , s , t .

k u. ( i = l , 3 ) : Composantes du déplacement du noeud K.

Nous pouvons noter que la prise en compte d'une in te rpo la t ion l i néa i re suivant l 'épaisseur des éléments est équivalente à la pr ise en compte des hypothèses cinématiques de Mindl in [26, 1951J u t i l i sées de manière classique dans le calcul des coques""épaisses".

.3. LOI DE COMPORTEMENT

En é l a s t i c i t é t r id imensionnel le la re la t ion contrainte-déformation peut se mettre sous la forme suivante :

(3) {a} - [ETJ {e}

avec

{a} = {cr l l 5 a22> cr33, O 1 2 , a23, a 1 3 }

{e} = { e n , e22» e33» 2 E 1 2 » 2 E 2 3 > 2 E 1 3 1

(4) 1 ETJ =

[X+2G X X 0 0 0

X X+2G

X 0 0 0

X X

X+2G 0 0 0

0 0 0 G 0 0

0 0 0 0 G 0

0 0 0 0 0 G

X,G : Coeff ic ients de Lamé.

(5) x = Ev

: i + v ) d - 2 v : G = irnr:

: Module Young.

: Coef f ic ient de Poisson.

Conformément,.irce qui est couramment adopté: pour le calcul des coques, nous modifierons cette re la t i on (4) pour ten i r compte du f a i t que la contra inte normale à la surface moyenne de l 'élément (o3 3) est négl igeai b le .

Dans un repère local ^ , ^2» ^3 orthonormé et te l que ^3 so i t perpendi cul a i re à la surface t = est nous pouvons ainsi écr i re d'après (4)

(6) a 3 3 = \(c[i + z{12) + (X + 2G) e 3 3 = 0

d 'où

(7) i _ A- / i , _ i \ £ 3 3 ". " X+2G n 22

Compte-tenu de cette équation (7) nous avons d'après (4)

(8) i . vE i . i e + e ; a vE , . E

e + e 11 2 11 2 22 22 2 11 2 22 1-v 1-v 1-v 1-v

Compte-tenu de l 'hypothèse a33 = 0 la l o i de comportement (3) peut a insi s ' éc r i r e :

(9)

a 22

a{2

a23

^13 i

1-v2

v

0

0

0

0

v

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 1-v

0

0

0

0

0

0

1-v

0 "

0

0

0

0 1-v

£ 1 1

e 2 2

^33

2z{2

2 £ 2 3

- 2 e 1 3 _

:'• .•. e'-n- : Composantes des tenseurs de contraintes et de déformations

exprimées dans le repère local VL, V2, V3

La matrice intervenant dans cette re la t ion n'est malheureusement pas appl icable sous cette forme, car e l l e n'est pas invers ib le . Comme les forces extér ieures correspondant au pincement suivant l 'axe 3 sont en général trè's f a i b l e s , on ne crée qu'une erreur négligeable dans la condi t ion a33 = 0 en in t rodu isant une valeur non nul le pour le troisième

terme diagonal. On cho i s i t arbi t rairement de orandre ce terme égal à E pour conserver le même ordre de grandeur aue les autres termes diagonaux 1271.

Dans le repère local la l o i finalement adoptée s'écrira

(10) {a1} - {EL} (e

avec

i E J -E

2 1-v

1 V

0 0

0

- 0

V

1

0 0

0

0

0 0

2 1-v

0

0

0

0 0

0 1-v

0

0

0 0

0 0

1-v

l2-v

0 0

0 0

0 0

Nous pouvons obtenir les composantes de ces tenseurs a' et e1 dans le repère global par l ' intermédiaire d'une matrice de passage [RJ 16 te l l e que

(11) {a} = LRj {a '} U ' l - LRJT U }

Compte-tenu des relations (10) et (11), nous pourrons re l ier les composantes de s aux composantes de e par la relation :

(12) {a} = [E j {s}

(13) où [Ej = LRJ l \ \ LRJ

avec

14) LRJ

2 Ci

2

c2 2

c3

CiC2

C2C3

C3C1

d i 2

d2

2

d3

d l d 2

d 2 d 3

d i d 3

2

2

e2 2

e3

2Clál 2d 1 e 1 26^!

2C2CI2 2d2e2 2e2C2

2C3d3 2d3e3 2e3c3

e i e 2 c1d2+c2d1 d1e2+d2e1 e ^ - ^ C !

e2Ê3 c2d3+C3d2 d2e3+d3e2 e2 c3+ e3 c2

e ie 3 c3d1+c1d3 d3e1+d1e3 e^cl+e1z3

avec :wl{l) = cL

v2(l) = dL

v3(l) = e{

vL(2) = c2

v2(2) = d2

v3(2) = e3

vL(3) = c3

v2{3) = d3

v3(3) = e3

1.4. CALCUL DE LA MATRICE DE RIGIDITE ELEMENTAIRE

Nous u t i l i serons le pr incipe des travaux v i r t u e l s pour exprimer l ' é q u i l i b r e de l 'é lément. Ce principe peut s 'éc r i re :

(15) / a - . 6 E.. d V = 6 WÊ

: Vol urne de l 'é lément.

6W , : t r a v a i l v i r t u e l des e f fo r t s extér ieurs appliqués à l 'é lément .

Sous forme ma t r i c i e l l e nous pouvons écr i re

i i i

(16) / o . . 5 z.. dVe = / / f {6 e}T {a} w J '« _ 1 _ 1 - 1

det J drdsdt

det J Valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne.

(17) [JJ =

X X X l > r 2 > r 3 » r

X X X 1 » s 2 ' s 3»S

1>t 1 j t 3 , t

D'après les hypothèses effectuées sur le champ de déplacement nous pouvons écr i re d'autre part :

(19) {t} = [Bj {U}

6x1 6x3N 3Nxl

[6 e} ' [Bj {6U}

avec :

, , T 1 1 1 2 2 2 { U } 1 = { U l s U 2 , U 3 , U l 5 U 2 , U 3 , .. u » . uN

2, u?}

B| : Matrice reliant les comDOsantes de tenseur des déformations nodaux (voir annexe 3)

De manière classique nous pouvons aussi éc r i r e que :

(20) / a . , ô z.. dV = {OUÏ [KeJ {U}

[K j : Matrice de r i g i d i t é élémentaire t e l l e que

LKeJ - / / / ' i LBJT LE'J LB J Idet j | dr ds dt

Les termes de ces matrices de r i g i d i t é élémentaires sont évalués par in tégrat ion numérique.

Pour les 2 types d'éléments considérés, l ' i n t é g r a t i o n suivant l 'épaisseur (coordonnée t ) sera effectuée à l ' a i de de 2 points de Gauss.

Six points de Hammer seront u t i l i sés dans le plan r,s pour l 'élément à 12 noeuds.

Une in tégrat ion numérique réduite à 4 points de Gauss ou une in tégrat ion complète à 9 points de Gauss sera u t i l i s é e dans le plan r,s pour les éléments à 16 noeuds (vo i r annexe 4) .

1.5. CALCUL DES CONTRAINTES

D'après les équations (12) et (19), nous pouvons exprimer les composantes du tenseur des contraintes dans le repère global en un point ouelconaue de l'élément comme suit :

I V . s . t ) ! • l E ( r . s . t ) J l B ( r , , . t ) J M 6x1 6x6 6x3N 3Nxl

{a} : Composantes du tenseur des contraintes au point de coordonnées curviligne r, s, t .

- 2 - ELEMENTS DE COQUE A 6 ET 8 NOEUDS

INTRODUCTION

2.1 CALCUL DE LA. MATRICE DE RIGIDITE ELEMENTAIRE. - CAS LINEAIRE

2.2 CALCUL DES CONTRAINTES

2.3 - CALCUL DES FORCES NODALES

2.4 - CALCUL DES MATRICES MASSE

2 1 - CALCUL DE LA MATRICE DE RIGIDITE ELEMENTAIRE - CAS LINEAIRE,

2.1.1. Définition géométrique.

2.1.2. Définition du champ de déplacement.

2.1.3. Loi de comportement utilisée.

2.1.4. Expression de la matrice de rigidité élémentaire.

In t roduct ion

Le présent paragraphe rappel le la formulat ion des éléments de coque épaisse ("type surface moyenne") t r i angu la i res à 6 noeuds et quadrangulaires à 8 noeuds. Ces éléments peuvent être courbes et d'épaisseur variable à chaque noeud.

Ces éléments et en p a r t i c u l i e r l 'élément à 8 noeuds ont f a i t l ' o b j e t ces dernières années de nombreuses publ icat ions 1 1 à 181 et sont de plus en plus employés dans les programmes indus t r ie l s de calcul de s t ructures.

Basés sur les hypothèses cinémati quefs de Mind l in , ces éléments prennent en compte les ef fets de c isa i l lement transverse.

Conformément à ce qui a été montré par de nombreux auteurs | Z\ , | 3| , |4| , 118| , une in tégrat ion numérique d i te " rédui te" est u t i l i sée pour le

calcul de la matrice de r i g i d i t é élémentaire de l 'é lément à 8 noeuds.

Cette in tégrat ion améliore notablement les performances de cet élément et autorise son u t i l i s a t i o n pour le calcul de structures relativement minces.

2.1.1. Définition géométrique

La géométrie des éléments de coque à 6 et 8 noeuds peut se d é f i n i r comme su i t [17J :

(1) x . ( r . s . t ) = z HK(r ,s) x* + * z HK(r ,s) eK VK

1 K = l 1 ¿ K=l 3 i

avec :

x.¡ ( i 1,3) : Coordonnées cartésiennes d'un point quelconque de l 'élément de coordonnées curv i l ignes r, s, t .

Les re la t ions (1) déf in issent pour un élément, la correspondance entre les coordonnées cartésiennes X i , X2» X3 e t les coordonnées curv i l ignes r , s , t .

H k ( r , s ) Fonction d ' in te rpo la t ion du noeud K (vo i r Annexe 2)

x ^ ( i = l , 3 ) : Coordonnées cartésiennes du noeud K.

: Epaisseur de la coque au niveau du noeud K.

Nombre de noeuds de l 'élément (N=6 pour l 'é lément t r i angu la i r e , N=8 pour l 'élément quadrangulaire).

V^d-1 ,3 ) Composantes dans le repère global d'un vecteur un i ta i re

t . normal à la surface moyenne de l 'élément au niveau

du noeud K.

2.1.2. Définition du champ de déplacement

Hypothese :

Toute normale a la surface moyenne veste droite après déformation mais n'est plus forcement normale à la surface moyenne déformée- (Hypothèses ainématiques de Mindlin) .

Compte-tenu de cette hypothèse, nous pouvons exprimer le déplacement d'un point quelconque M( r , s , t ) de l 'é lément comme su i t [17J :

u 1 ( r , s , t )

u 2 ( r , s , t )

u 3 ( r , s , t )

N •K,

E l T ( r , s ) K = l

Repère global

u K

Z H V . S ) e* K - l

r.vK V 2 1 v22

v23

V l l

VK

VK

V 1 3

(y

{<à

' K

' K i2 )

r e p è r e l o c a l (v normal à la

s u r f a c e moyenne)

u. j ( r ,s , t ) { i = l , 3 ) : Composantes dans le repère global du vecteur déplacement d'un point M ( r , s , t ) .

K U i

Composantes dans le repère global du vecteur déplacement du noeud K.

V ^ . , V ^ ( T = l , 3 ) Composantes dans le repère global des vecteurs

locaux ^ et ^l~ tangents à la surface moyenne au

niveau du noeud K.

Oí » 3 o Rotation autour des vecteurs v\ et v"_.

Nous pouvons écr i re d 'autre part que :

(3) G

'K '1 'K

' i l

'21

' l2

'22

'13

'23

s l

avec : ^ K ^ K n K

: Rotations au noeud K par rapport aux axes x^, x 2 , x3 du repère g loba l .

Compte-tenu des re la t ions (3) les équations (2) peuvent s ' éc r i r e :

u ^ r . s . t )

(4) Ju 2 ( r , s , t )

u 3 ( r , s , t )

N ,K, 1 H (r,s)

K=l

u l K

U2 •I N K K 1 f T ( r , s ) e*

K=l [•"]

'1

avec

[*K]

0

K 33

K L- '32

-V

'33

0

-YK v31

-V K -, 32

r31

0

Les équations (4) expriment le vecteur déplacement d'un point quelconque de l 'élément en fonct ion des paramètres nodaux :

( i ^ , u2 , u3 , ex , e2 , 03 ; K = 1,N)

2.1-3. - Loi de comportement utilisée :

Hypothèse : Conformément à ce qui est couramment adopté pour le calcul des

coques, nous considérerons que la contrainte normale à la surface moyenne de l'élément ^ 3 3 ' sst négligeable.

Compte-tenu de cette hypothèse nous pouvons r e l i e r les composantes du tenseur des contraintes en un point M à cel le du tenseur des déformations de la manière suivante :

(5) {a } = L \ J U }

s o i t

(6) «

< ">

aii a22 a12 a23

j

! - v 2

1

V

0

0

0

v 0 0

1 0 0

0 ( l - v ) / 2 0

0 0 8 ( l - v ) / 2

0 0 0

0

0

0

0

3 ( l - v ) / 2

/ •

' I l :22 :12 :23 :13

E, v : Module d'Young et coe f f i c ien t de Poisson du matériau u t i l i s é .

ß : Facteur c o r r e c t i f de c isai l lement t ransversal . ß=5/6.

Les composantes de g' et de g' (point M ( r , s , t ) ) sont exprimées dans un

repère local dont un des vecteurs V- est normal à surface moyenne au point % ( r , s , o ) . J

Mous pouvons obtenir les composantes de ces mêmes tenseurs dans l e repère

global par l ' i n te rméd ia i re de deux matrices R et R (Annexe 5) t e l l e s que :

(7) {0}

6x1 L R J M

6x5 5x1

1= I 5x1

R

5x6 6x1

(a}^ = ( a u , a 2 2 , 033, a^, a ^ , a ^ )

a. , e t e . . ( i = 1,3 ; j = 1,3) sont les composantes des tenseurs des 1 J 1 J

contraintes et des déformations, au point M, dans le repère global.

Compte-tenu de (5) et (7), nous avons alors

(8) {c} = [ E ] U) avec

(9) [ E ] - [ R ] [ E L ] [R*] -

2.1 .4. - Expression de la matrice de rigidité élémentaire :

Nous u t i l i serons le principe des travaux v i r t u e l s pour exprimer l ' é q u i l i b r e de l 'élément. Ce pr incipe peut s ' éc r i re :

(10) / a,. 5 e . . dV = ôW6

M "" **

5WC


: Travai l v i r tue l des e f f o r t s extér ieurs appliqués à l 'é lément.

0e manière classique nous pouvons écr i re

+1 (11) / a., ôe.. dV = /// {ôe} [E] [z] \ det J| dr ds dt

v J J -1

avec :

det J : Déterminant de la matrice jacobienne [ j ] de la transformation entre coordonnées cartésiennes et coordonnées cu rv i l i gnes .

M k l , r *2,r %r

l l , s *2,s *3,s

c l , t X 2, t X 3 , t

Soit {u} le vecteur dont les composantes sont les paramètres nodaux de 1'élément :

u} = ( U p U2, u 3 , Ql, 9 2 , 9 3 , H H N N N M,

U-i j U o , Uo » 9 i » 9 p > 9 T /

Nous al lons exprimer l e vecteur {e} en fonct ion du vecteur {u} par l ' i n te rméd ia i re d'une matrice [B] t e l l e que :

(12) [z] = [ B ] { u } .

Pour déterminer l 'expression de cette matrice, nous procéderons en t r o i s étapes :

a) Nous exprimerons tout d'abord le vecteur déformation {e} en fonct ion des dérivées des déplacements par rapport aux coordonnées ca r té siennes. Nous avons en e f f e t :

: i j = \ ( u i , X j + "jixi

)

d'où

(13)

6x1

[ A ] { % } K ) T = ( u l j X i , u1>;

6x9 9x1

»3.x, '

[ A ] : Voir Annexe 6

b) Nous exprimerons ensuite les dérivées des déplacements par rapport aux coordonnées cartésiennes en fonct ion des dérivées des déplacements par rapports aux coordonnées curv i l ignes r, s, t .

Si la correspondance entre coordonnées cartésiennes et coordonnées curv i l ignes (1) est b i j e c t i v e , nous pouvons écr i re :

(14)

i ,xx

u i , x 2

J i , x 3

u

w\w s

U i , t

i = 1 , 3

ou J est l ' i nverse de la matrice J

Nous aurons alors

(15) K , r1

0

0

0 ,-1

! J > , M u..

avec { u , r } = ( u 1 > r , ^ ^ u 3 , t )

c) Mous u t i l i se rons enf in les équations (4) pour exprimer les dérivées des déplacements par rapport aux coordonnées curv i l ignes en fonct ion des paramètres nodaux de l 'é lément .

(16)

Nous aurons ainsi

%} N S

K=l

Ul

e

[L j : Voir Annexe 7.

D'après les re la t ions (13), (15) et (16) le vecteur {e} peut maintenant s 'écr i re :

(17) {e} = [ B ] {u} = [ A ] [ T ] [ L ] {u}

Avec

[L ] 9x6N

[ il L H ]

La matrice de r i g i d i t é élémentaire sera donc t e l l e que :

(18) Ke = / / / [ B ] T [ E ] [ B ] det J dr ds dt

El le sera calculée par in tégra t ion numérique. Pour l 'élément à 8 noeuds on u t i l i s e r a une in tégra t ion numériaue d i te réduite (2x2 points de Gauss pour les termes en r, s et 2 points de Gauss pour les termes en t ) .

Pour l 'élément à 6 noeuds nous u t i l i serons 5 points de Hammer pour les termes en r, s et 2 points de Gauss pour les termes en t .

Remarque

Prise en compte d'une rigidité fictive relative a la rotation autour d'un

axe perpendiculaire à la surface moyenne (©3) •

Une r i g i d i t é f i c t i v e r e l a t i v e aux ro ta t ions e3 autour des vecteurs ^3

est prise en compte pour év i te r les s ingu la r i tés éventuelles après assemblage.

La voleur de ce terme de r i g i d i t é f i c t i f est prise égale à :

3

R-, = 1 0 " 4 x — — — 2 - avec 0 3 12 ( 1 - v )

E, v : Module Young et coe f f i c i en t de Poisson de l 'élément considéré.

h : Plus f a i b l e épaisseur de l 'é lément considéré.

'K La part de r i g i d i t é af fectée au paramètre local e3 const i tuera une

matrice [K ., J t e l l e que : e 3

LK K J - [ r T J LK . K J [r J 63 e 3

N

i

2.2 - CALCUL DES CONTRAINTES

2.2.1. Calcul des contraintes en un point quelconque de l'élément.

2.2.2. Calcul des contraintes généralisées.

2 . 2 . 2 . Calcul des contraintes sn un point quelconque de l'élément.

En un point donné les contraintes seront toujours exprimées dans un repère

local ^ i , ^ 2 ' ^3 > te l Q^ " I e vecteur ?3 so i t normal à la surface moyenne

de l 'é lément au point considéré.

D'après (5 ) , (7) nous aurons ainsi :

{a1} = [EJ {£ ' } = LEL.J I**] U l

De même d'après (17) nous pouvons écr i re :

(19) [a'} - [EJ | / j [BJ {U}

La r e l a t i o n (19) nous permet ainsi de déterminer les contraintes axx ' ^yy5 axy , a x z ' avz e n m poin* 9 u e 1 c o n c 1 u e d e l 'élément.

Un trai tement p a r t i c u l i e r sera néanmoins effectué pour les contraintes de c isa i l lement a' e t a' dans le cas de l 'élément à 8 noeuds.

Comme nous le verrons dans le Chapitre 3 en examinant les tests Amér i ques, ces contra intes peuvent être très erronées si on ne l e s . cale ule pas aux points de Gauss (2x2).

Compte-tenu du peu de précision obtenu sur ces contraintes de c isa i l lement transverse, nous nous contenterons dans le programme de donner une seule valeur par élément de a' e t a' calculée en moyennant les contraintes

v xz yz J

trouvées aux 4 points de Gauss.


Les contraintes généralisées Nxx, Nyy , Nxy, Nyz, Nx z , Mxx, Myy, Mxy sont

définies de la manière suivante :

,2 ,2 ,2 N = / Ä a' dz ; N = f Ä o' dz ; NI = a' dz

xx J -e xx yy J -e yy xy - -e xy 120) 2

N = / a' dz ; N = / a1 dz yz J-e_ yz ' xz J_=e_

x z

2 2

1 1 .î

M = f z a' dz ; M = f z a' dz ; M = f z a' dz .xx J -e_ xx ' yy J -e_ yy xy J -e xy 2 2 2

avec :

c' , a' , a1 , a' , c' : Composantes du tenseur des contraintes dans le xx' yy' xy' yz ' xz p e p ? r e l o c a l >

z : Coordonnée suivant un axe normal à la surface moyenne,

e : Epaisseur de la coque au point considéré.

Les valeurs de N et M seront calculées en u t i l i s a n t une intégration numérique avec deux points de Gauss suivant l ' axe z.

Comme pour les contraintes a' e t a' , un trai tement pa r t i cu l i e r sera

u t i l i s é pour calculer les contraintes généralisées N et N dans le cas

de l 'élément à 8 noeuds. Nous ne définirons en effe t qu'une seule valeur de N et N par élément

yz xz K

4 points de Gauss (2 x 2)

de N et N par élément obtenue en moyennant les valeurs calculées aux

2.3 - CALCUL DES FORCES NODALES

2.3.1. Forces nodales dues au poids.

2.3.2. Forces nodales dues a une pression uniforme.

2.3.3. Forces nodales dues à une pression non uniforme.

2.3.4. Forces nodales dues à un chargement de surface quelconque.

2.3.1. Forces nodales dues au poids

Le travai l vir tuel des efforts extérieurs correspondant à l 'act ion du poids peut s'écrire :

(21) ôW = / P (a ôuj, + b ôu2 + c ôu3) dV v

a, b, c : Composantes dans le repère global du vecteur unitaire indiquant • la direction suivant laquelle s'applique le poids.

: Poids vol uni que.

: Vol une de l'élément.

ÔU]., 5u2, ôu3 : Composantes du champ de déplacement virtuel

Sous forme matr ic ie l le, le travail virtuel ôW peut s'écrire

(22) 5We = / {ôu}T b P dV v ( c )

D'après l'équation (4), nous pouvons exprimer {ou} de la manière suivante

( ô u i ) n v Y

( 2 3 ) {ou} = ô u 2 = L H \ { ôll } = S L N J i ô U

(ÔU3) , . .*_ *_„, K=l 3x6n 6nxl 3x6 6x1

avec :

(U } = { U! , U2 , U3 , Ql , 9 2 , 0 3

rHK

0 H'

Lo 0 H'

t _K LA \/K - 7 6 H V 3 3

t -K u^ w' -2 e H V 3 2

\ eK HK v?3

\ 9K HK V ^

| e'< H* T¡2

| e;< H:< V§!

Le travail virtuel des efforts extérieurs correspondant à l 'action du poids peut alors s 'écrire :

(24] 6Wer {6u}T { F }

{F} Vecteur des forces nodales correspondant à l 'action du poids.

Ce vecteur est tel que :

{F} = / L N j T

6nx3 l\ Pv ^

i

avec :

( c ; dV

Soit

(25) in - ! r , s , t

H K a

HK b

H c

| e K HK (c V$2 - b V*3)

* eK HK (a V K3 3 - c V$x)

det J dr ds d t

\ eK HK (b V$! - a V^2)

2.3.2. Forces nodales dues a une pression uniforme

Le t rava i l v i r t u e l des e f f o r t s extér ieurs correspondant à l ' a c t i o n d'une pression uniforme sur la surface de l 'élément peut s 'éc r i re :

T ( n i ( r ' s ) ) ( 26 ) ôWa = f { o u } 1 n 2 ( r , s ) P dS

e S ( n 3 ( r , s ) )

Valeur de la pression appliquée sur la surface.

r\i, n 2 , n3 : Composantes dans le repère global d'un vecteur un i ta i re normal à la surface moyenne en un point de coordonnées r ,s .

S : Surface moyenne (t=0) de l 'é lément.

Mous avons :

(27) n"( - n 2 ( r , s ) = ^ ^ -u * ' ( n3 ir,s) ) ux . A x ,

avec

28)

S X l > r i - ( X l , s ) T = x 2 , r s x ' s = x 2 , s

( X-J ' ) ( Xq ' ) 3 , r y 3 , s

x. = S H \ r x ; x. = E H \ x^ ( i = l , 3 ) i , r K = 1 i i , s K = 1 si

29) dS = : ix , A x , 3 d r ds

Comme nous l 'avons vu dans le paragraphe précédent, nous pouvons éc r i re d'autre part :

(30) {ou} = L N J {6U} = z [ NK j {SUK} K=l

Pour ca lcu ler le t r a v a i l v i r tue l des e f fo r t s extér ieurs, nous considérerons que la pression uniforme s'exerce sur la surface moyenne de 1'élément.

K De ce f a i t nous avons t = 0. La matrice [N J s ' é c r i t alors simplement :

[NK j = 0

0

0 0

H'

0 H

0 0 K

0 0

0 0

0 0

Compte-tenu des équations (27), (29) et (30) le t r ava i l ôW peut ainsi s écr i re :

6We = {ôU}T {F}

[F} : Vecteur des forces nodales dues à une pression uniformément r é p a r t i e .

avec

-> ->• (31) (FK1 = !? INKJT j n 2 [ ilx, x, a dr ds

fn ,

so i t :

(32) If r ,s

H n }

HK n3 0 0 0

P il x x, il dr ds

1

2.3.3. Forées nodales dues a une pression non uniforme.

Le vecteur des forces nodales dues à une pression non uniforme s ' é c r i t d'après (32)

HK nL

HK n2

-K, _ r ) .,K r,s

[H - / r . s i ^ n3 \ P il x \ r / N î , s il dr ds

0 0

Mous ferons i c i l 'hypothèse que P peut s'exprimer en fonct ion de ses valeurs aux noeuds, comme su i t :

(33) P = z HK ( r , s ) PK

P : Valeur de la pression au noeud K.

2.3.4. Forces nodales dues à des forces de surface "auelconau.es"

Le t r a v a i l v i r t u e l des e f f o r t s extér ieurs correspondant à l ' a c t i on de forces de surfaces "quelconques" peut s ' éc r i r e :

e T f l ( r ' s )

(34) 6We = J ç {ou}1 \ f 2 ( r , s ) \ dS f 3 ( r , s )

f ^ r ' . s ) , f 2 ( r , s ) , f 3 ( r , s ) : Composantes dans le repère global du vecteur

force de surface au point de coordonnées r , s .

Nous supposerons que flt f 2 , f3 peuvent s'exprimer en fonction de leur

valeur aux noeuds comme su i t :

n (35) f . = E HK(r ,s) fK;

1 K=l n ( i = 1,3)

fy : Valeur de f i au noeud K.

Compte-tenu des équations (30), (34) et (35) nous pouvons ainsi écr i re

avec

6We = {ôU}T {F}

:36)

{FK} Í ^ H"

0

0

0

n 1 l

Z H* fo

I H1 fi i x , -v x , il dr ds r s

auelconau.es

2.4. CALCUL DE LA MATRICE MASSE

2.4. CALCUL DE LA MATRICE DE MASSE CONSISTANTE

L'expression de la matrice masse élémentaire s 'obt ient en considérant le t r a v a i l v i r t ue l des forces d ' i ne r t i es ôW . .

a

(37) ôW = / p ï i . ou . dV a i l

v avec :

p : masse vol umi que.

l i j ( i = l , 3 ) : Composantes du vecteur accélération dans le repère global

D'après l 'équat ion (4 ) , nous pouvons écr i re :

(38) { ù ( t ) } u l u2

l u3

N I f U N

= E UK

N : Nombre de noeuds de l 'élément considéré (N = 6 ou 8)

{ U \ = [Ui , u2 , u3 , Ql , 92 , 93 } : Vecteur contenant les

paramètres du noeud K.

D'après (4) , [NI J est d 'autre part une matrice qui s ' é c r i t comme sui t

(39) 0

,0

H*

0

0

0

t „K K „K

iH e V t UK K WK -i

33 • i H e V 32

t ,,K K v;< H e V33 1

t 2

— H^ o'^ V' J M e v 3 1

11 HK eK V^2 t „K .K „K jH-, 31

Le t rava i l v i r t ue l des e f fo r t s d ' i n e r t i e peut alors s ' éc r i r e sous la forme m a t r i c i e l l e suivante :

(40) ôWa = {ôUJ [MeJ {U}

[M J : Matrice de masse élémentaire.

dt

La matrice de masse élémentaire [M J est t e l l e que

(41) [ M l = / p [NJT [Nj dV e

v

E l le sera calculée par in tégra t ion numérique en u t i l i s a n t 3x3x2 points de Gauss pour 1 'élément à 8 noeuds et 6 points de Hammer x 2 points de Gauss pour l 'é lément à 6 noeuds.

3 - ELEMENTS DE COQUE A 3 ET 4 NOEUDS

INTRODUCTION

3.1. CALCUL DE LA MATRICE DE RIGIDITE ELEMENTAIRE - CAS LINEAIRE.

3.2. CALCUL DES CONTRAINTES.

3.3. CALCUL DES FORCES NODALES.

3.4. CALCUL DES MATRICES MASSE.

INTRODUCTION

Les éléments de coque mince à 3 et 4 noeuds basés sur les hypothèses de Love-Kirchhoff sous forme discrète (DKT, DKQ) connaissent à l 'heure ac tue l le un cer ta in engouement grâce aux publ icat ions de Batoz j 19 à 211 .

Ces publ icat ions ont en e f f e t montré l ' e f f i c a c i t é de ces éléments dans le calcul des plaaues en f lex ion pure.

Dans ce paragraphe nous a l lons développer la formulat ion d'éléments de coque à 3 et 4 noeuds dont les matrices de r i g i d i t é élémentaires sont obtenues en superposant la matrice prenant en compte les ef fets de f lex ion et développée par Batoz, à une matrice prenant en compte les e f fe ts de membrane.

CALCUL DE LA MATRICE DE RIGIDITE ELEMENTAIRE

1. Définition géométrique.

2. Hypothèses cinématiques. Champ de déplacement. Champ de " déformation. u. "

3. Loi de comportement.

4. Travail virtuel de déformation.

5. Construction des matrices de rigidité élémentaires.,

A) Termes de flexrion. 3) Termes de membrane. C) Expression de la matrice de rigidité dans le repère global D) Prise en compte d'une rigidité fictive suivant Q

3.1-1. Définition géométrique

La géométrie des éléments de coque à 3 et 4 noeuds peut se définir comme suit :

M H (1) x.(r,s,t) = l NK(r,s) x* + 4 £ N K(r,s) e K V$.

1 K=l 1 L K=l n

N = 3

Repère g l o b a l

N = 4

avec

x. (1-1,3)

,K

: Coordonnées cartésiennes d'un point quelconque de l 'élément de coordonnées curv i l ignes r, s, t .

N ( r , s ) : Fonction d ' i n te rpo la t i on du noeud K. (Voir Annexe 1)

x^ ( r , s ) : Coordonnées cartésiennes du noeud K.

Epaisseur de la coque au niveau du noeud K.

M : Nombre de noeuds de l 'élément (M = 3 pour l 'élément t r i angu la i re , M = 4 pour l 'élément quadr i la tère) .

V3. ( i = l , 3 ) : Composantes dans le reoère global d'un vecteur un i ta i re

V3 normal à la surface moyenne de l 'élément au niveau

du noeud K.

Un repère local sera défini pour chaque élément. Pour l'élément triangulaire, il sera défini comme suit :

e1 : Vecteur unitaire porté par les côtés 1-2 de l'élément.

e3 : Vecteur unitaire normal au plan de l'élément.

e2 = e3 e : .

Pour l'élément quadrilatère ce repère local sera défini comme suit

C : Point de coordonnées curvilignes r = o, s = o, t = o.

t1 = x , r / iix.rn

&2 ~ el X , S / ! i e x X, S tl

e2 = e3 ex

3.1.2. Hypothèses cinématiques. Champ de déplacement. Champ de déformation

Dans les repères locaux précédemment d é f i n i s , nous ferons l 'hypothèse que le déplacement d'un point quelconque de l 'élément peut s'exprimer comme su i t :

A z ( w )

I ¿L

xi»

y 00

u ( x , y , z ) = "• u (x ,y ) + z 9 (x ,y )

(2) bi ix,y,z) = VQ (x ,y) - z 9^ (x ,y )

w ix,y,z) = WQ (x ,y )

u, v, w : Composantes dans le repère local du vecteur déplacement d'un point de l 'é lément.

u , v , w : Composantes darvs le repère local du vecteur déplacement 0 ° d'un point de la surface moyenne de l 'é lément.

9 , 9 x y : Rotations de la normale à la surface moyenne au point

considéré autour des axes x et y.

x, y , z Coordonnées du point considéré dans le repère local

Compte-tenu des équations (2 ) , les composantes du tenseur des déformations s 'éc r i ron t comme su i t : '

3)

\ < 2

/ 2

v 2

XX

£yy

~xv

~~yz

~xz

= U + Z 9 o,x y , x

= v - Z 9 o,y x , y

= u + v + z ( 9 o,y o,x . y ,y

= w - 9 o,y x

= W +3 o,x y

- 9. x,x

Nous noterons

(4 ) { E f } =

y,x

- e x,y

y .y

»• i«.)

U

o,x

o,y

U + V ^ o,y o . x j

M - { °'y

w + © o,x u y

{e-} : tennes de flexion.

{e„} : termes de membrane. 1 mJ

(e } : termes de cisaillement.

J.l.J. Loi de comportement

Hypothèse :

Conformément a ce qui est couramment adopté pour le calcul des coques, nous considérerons que la contrainte normale à la surface moyenne de l'élément (<^7_) est négligeable.

Compte-tenu de cet te hypothèse, nous pouvons r e l i e r les composantes du tenseur des contraintes en un point à ce l les du tenseurrdes déformations de la manière suivante :

(5) > } - LEJ U l soi t

(6)

XX

yy •y

xy

xz

1 V

0

0 0

V

1

0

0 0

0 0

1-v 2 0 0

0 0

0

3 ( l - v ) / 2 0

0 0

ß ( l - v ) / 2 _

XX £yy 2 £xy

¡> xy

E, v : Module Young et coeff icient de Poisson du matériau u t i l i s é .

ß : Facteur correct i f de cisail lement transversal (ß = 5/6) .

3.1.4. Travail virtuel de déformation - 5Wd

Pour un élément le t r a v a i l v i r tue l de déformation peut d'une manière générale s 'éc r i re :

( 7 ) ôWd = J v o . , 6 E i . dV

Vol urne de l 'é lément.

Compte-£enu de l 'équat ion (5) , ôWd pourra s'exprimer sous forme ma t r i c i e l l e de la manière suivante :

( 8 ) ÔWd = J v { ô e } T LEJ {e} dV

D'après (3) , (4) et (6) nous pouvons également écr i re : 2

(9)

ôWd = JY 2 {ô E f }T [EfJ { e f H V

' + h K > T LEf J (s) dV

+ / Y {àtc} LECJ {t} dV

(flexion)

(membrane)

(cisaillement)

avec

(10) .EfJ • - L T T 1-v V

0

V

1

0

0 1-v 2 J

LEJ

BE 2(l+v)

2{l+v)

3.1.5. Construction des matrices de rigidité élémentaires

Pour la construct ion des matrices de r i g i d i t é élémentaires, nous négligerons l 'énerg ie de déformation due aux termes de c isai l lement. Dans le calcul de structures minces, c e l l e - c i est en e f fe t la plupart du temps négligeable devant l 'énerg ie due aux e f fe ts de f l ex i on .

Dans ce qui su i t nous déf in i rons successivement les termes de r i g i d i t é dûs aux e f fe ts de f l ex ion et les termes de r i g i d i t é dûs aux ef fets de membrane.

A) Termes de flesrion

Le t rava i l v i r t ue l des e f f o r t s i n té r ieu rs dû aux e f fe ts de f lex ion peut d'après l 'équat ion (9) s ' éc r i r e de la manière suivante :

(11) 6Wdf = / Z (ôe f }T | E fJ { £ f } dV

D'après les re la t ions (4) nous voyons que l 'équat ion (11) ne cont ient que les dérivées premières des fonct ions ex et ey . I l nous s u f f i t donc d'assurer la con t inu i té Co de ces fonct ions.

Nous ferons l 'hypothèse suivante :

a) ex et ey var ient de la manière quadratique sur l 'élément.

Mous écrirons ainsi :

(12) e = l HK (p,s) e* ; e = \ HK ( r , s ) e j X K = l X y K = l y

1/

HN ( r , s ) : fonct ion d ' i n te rpo la t i on auadratiaue du noeud K (vo i r Annexe 2 ) .

n : n = 6 pour Vêlement t r i ang le ; n = 8 pour l 'é lément auadran-gu la i re .

K K 9 , 6 : rotat ions au noeud K. x ' y

K K Pour r e l i e r les rotat ions e et e au déplacement w, nous ferons d'autre

x y part les hypothèses suivantes :

b) Les hypothèses de Kirchhoff sont in t rodu i tes :

t^ ) aux noeuds coins (1,2,3 pour t r i a n g l e ) , (1,2,3,4 pour quadr i la tè re) .

'n

w - e 0 \ =

'c-(13) U J = { ° 'y X} • { } Vx + 0y °

b2) aux noeuds mil ieux (4,5,6 pour t r i a n g l e ) , (5 ,6,7,8 pour quadr i la tè re) .

/ , A \ m m „ (14) en - w, s = o

Vecteur un i ta i re appartenant au plan de l 'élément et normal au côté contenant le noeud m i l i eu considéré.

: Rotation de la normale à la surface moyenne de l 'élément au

noeud m autour de n .

s : Coordonnée curv i l igne le long du côté considéré.

:) Les variations de w le_]long_des_côtés_sont_cubi ques.

i a m

Nous aurons ainsi :

2 3 w , N = a + bs + es + ds

(s)

d'où l 'on t i r e :

(15) w . J . ^ - í w 1 -wJ ') - Í ( w ! s + w^s) 3 CA...

m w : déplacement w du noeud milieu m.

w1', wJ : déplacements w des noeuds sommets i et j .

i . . : longueur du côté i - j .

d) On impose une variation l inéaire de 0$ le long des côtés.

(16) e™ » ? (e* + ejsî

8™

O l »

m

n

Les hypothèses a, b, c, d vont nous permettre d'exprimer les ro ta t ions

G , © en fonct ion des variables nodales w , 0 , e • x y x y

( i = 1,2,3 pour l 'élément t r i a n g l e ) , ( i = 1,2,3,4 pour l 'é lément quadri latère) .

Pour ce f a i r e nous aurons besoin des re la t ions suivantes

(17) { eX } -y

c - s

s c 1 e s '

(18) { K r c s

s c

®x l Q

y

w,s r-s c-i w,x

'19' I „.„ ) Le sJ I w,y )

avec :

c = Cos

v t 1J

s = Sin y. .

*• x

TO Angle entre l 'axe x du repère local et la normale n au côté i - j -

Dans l'expression (12), nous avons introduit les variables intermédiaires

9m , 9m (m = 4,5,6 pour le tr iangle), (m = 5,6,7 8 pour'1'élément x y quadrilatère).

A l 'aide des relations b, c,.d nous allons exprimer ces^ variables en fonction des paramètres nodaux, w1, 9 , 9 (déplacements et rotations des noeuds sommets). x x

Soit 9 , la rotation autour de l'axe local x du noeud m, milieu du

côté i - j .

Mous avons :

9x = c9n ' s 8s (d'après (17))

- cV?s- sem [d'après (14))

= c i - 3 ••* 1 • • i • 3

U w 1 " Í w ' s ^lï^ï " 1 ^9s + 9 ^ (d'après (15),(16))

- 4 [SQ] + c&l - S9J' + cgj) (d'après (13) ,(18) ,(19)) c x y x y

SOit

, „ , o ^ ^ c w ' ^ c J

M . l c2

+ l s2

) e i . 3 e , e 1

+ ( . i c2

t i s2 , 9 J - | c s e j

D'après les équations (12) e t (20), nous pouvons ainsi écr i re

(2D ex . t Hx )T ! u f )

avec :

y 1 1 1 2 2 2 3 3 3 {U f } = fw , © x , 0 , w , e x , © , w , 0 X , 0 y } pour l ' é l é m e n t t r i a n g l e .

, 7 , 1 1 1 H 4 H {U f} = {w , G , 0 , w , © , 0 } pour Vêlement quadri latère

T x y x y {H }T = {H , H , — , H } N = 9 pour Télément t r i ang le

X l 2 XN 12 pour Télément quadri latère

Soient :

x . . = x. -x . ; y . . = y . -y . ; c . . = - y. . Il.. ; s . . = x. . Il. .

»m / n2 Km 3 , „ 2 m ,1 2 i 2 2

(22) a = " x i j / j e - i j ; b = *X i j V * i j ; C = ( * X i j - ? ^ T j ) / X i j

dm = - v / o 2 • e"1 = (_ I x

2 + 1 y2 ) / ,2 a y i j / X i j ' e ; 2 x i j 4 y i j J 7 *ij

avec m mi l ieu de i - j .

Mous avons a i n s i , compte-tenu des re la t ions (20) , (21) et (22)

- p o u r l 'élément t r i ang le . 1+1+ 6 6

H = 1 . 5 ( - H d + H d ) x l

1 1+1+ 6 6 H = ( H - H e - H e )

x 2 1+1+ 6 6

H = (H b + H b ) x 3

5 5 1+1+ H = 1 . 5 ( - H d + H d )

Xi+ 2 5 5 1+1+

H « ( H - H e - H e ) x 5

5 5 1+1+ H = (H b + H b )

6 6 6 5 5 H = 1 . 5 (-H d + H d )

x / 3 6 6 5 5

H = H - H e - H e X 8

6 6 5 5 H = H b + H b x9

- pour l 'élément quadri latère

5 5 8 3 H = 1 . 5 ( - H d + H d )

X L 1 5 S 8 3

H = H - H e - H e x 2

5 5 3 8 H = H b + H b

x3 6 6 5 5

H = 1 . 5 ( - H d + H d ) x i+

2 6 6 5 5 H = H - H e - H e

x 5 6 6 5 5

H = H b + H b x 6

7 7 6 6 H = 1 . 5 (-H d + H d )

x / 3 7 7- 5 5

H = H - H e - H e x 8

7 7 5 6 H = H b + H b x9

3 3 7 7 H = 1 . 5 ( -H d + H d )

x 1 0 i+ 3 3 7 7

H = H - H e - H e x n 3 3 7 7

H = H b + H b *L2

Par un raisonnement analogue à celui f a i t pour e on trouve pour e :

(23) 0 = { H }T {U f l

avec pour l 'é lément t r i ang le :

1+1+ 6 6 H = 1.5 (H a - H a ) yi

<+ i+ 6 6 H = H b + H b

2 1 1+1+ 6 6 H = H - H c - H c

y 3 Î-5 5 1+1+

H = 1.5 (H a - H a ) yi+

5 5 1+1+ H = H b + H b ys

2 5 5 1+1+ H, = H - H e - H e ye

6 6 5 5 H = 1 . 5 (H a - H a )

6 6 5 5 H = H b + H b

8 3 6 6 5 5 H = H - H c - H c y9

et pour l 'é lément quadri latère :

5 5 8 8 H = 1 . 5 (H a - H a yi

5 5 8 8 H = H b + H b

2 1 5 5 8 8 H = H - H c - H c

y3 6 6 5 5

H = 1.5 (H a - H a ) yi+

6 6 5 5 H = H b + H b ys

2 6 6 5 5 H = H - H c - H c y6

7 7 6 6 H = 1 . 5 (H a - H a ) y /

7 7 6 6 H = H b + H b ys

3 7 .7 6 6 H = H - H c - H c

8 8 7 7 H = 1.5 (H a - H a )

y 10 8 8 7 7

H = H b + H b y n

k 8 8 7 7 H , = H - H C - H C y¡2

Mous pouvons maintenant exprimer la part de r i g i d i t é due .aux ef fe ts de f l ex i on .

D'après l 'équat ion (11) , nous avons en e f fe t

6Wdf = / (ôe f}T [EfJ U f } z2 dV

avec

r i ) y ' X { £ f } = 1 * 9x,y

9 - 0

y,y *>*

Mous avons la re la t i on suivante

(24) <z,x

5* ,y L r,

r ,x y

s,x s,y

a, r 3a,S

-1 [J'1]

Dans le cas du t r i a n g l e , nous avons :

( 2 5 ) I J I -I x ' r * ' r I - I X l 3 y i 3 | • ¡ J " 1 ! - 1 I * " ' y i 3 I x,s y,s x23 y23J ' > 2 3 * 1 3

avec

2A = x i 3 y23 - x23 y n

Dans le cas du quadr i la tère, nous avons :

1 x 2 1 + x3l t + s ( x 1 2 + x 3 J y 2 1 + y2k + s ( y 1 2 + y 3 4 ) J n

( 2 6 ) ^ J = 4" U 3 2 + x u l + r ( x 1 2 + x31+) y 3 2 + y u l + r ( y 1 2 + y2i,)^ J 2 1

Nous aurons ainsi :

_1 J n Jl2

Û22" avec

{27)hi = deT-j J22 . J i2 " SôTl J i 2 ' J 2 1 = "SeTT J 2 i • j22 = deTT

avec

det J = -s ^ 2 X31- y3i x„ 2 ) + i (Y3U X21- y 2 i x3 i+) + | ( y k l x 3 2 - y 3 2 x H 1

Nous avons ainsi

(28)

y ,x

fJ ï x,y 0 9

y,y - x,x

LBfJ {u f }

3 x 9 9 x 1

3 x 12 12 x 1

( t r i ang le )

(quadr i la tère)

avec

i . ? l l { « y i r } T + J l 2 { H y i S } T

(29) LB fJ = - J21 i Hx , r } T - ¿22 { H X j S } T

• ( ¿21 {H v r } T + J 2 2 { H V _ J T - j n ' { H 5 1 T

y,r> y , s j x , r J » < H x ,s l T '

La matrice de r i g i d i t é due aux e f fe ts de f lex ion peut a insi s 'écr i re

(30) [K fJ = ; [B f JT LEfJ LBfJ z dx dy dz

Nous avons

. 3 ou 4 „ „ j , 2

z = 7 ¿ N e = t -*- ; z = t

(31)

avec :

¿ K-1

dz - - dt

e : épaisseur de la coque au niveau du noeud K

e : épaisseur de la coque au point considéré.

D'après (30) [K-J peut alors s ' éc r i r e :

3

( 3 2 ) LKfJ - / A ( r , s ) LB f jT LEfJ [B fJ [ det J J fg- ( r . s î dr ds

La matrice Kf sera calculée par in tégrat ion nunérique.

Pour l 'é lément t r iangu la i re nous u t i l i s e r o n t 6 points de Hammer, tandis que pour l 'élément quadri latère nous u t i l i se rons 3x3 points de Gauss.

3) Termes de membrane

Le t r ava i l v i r tue l des e f fo r t s in té r ieurs dû aux e f fe ts de membrane peut d'après l 'équat ion (9) s ' éc r i re de la manière suivante :

(33) 5 W dm = / ^ y lEfJ Um} dV

avec :

o,x íe l =N • mj ) o , y

u + v o,y o,x

Les termes de r i g i d i t é de membrane seront déf in is de manière cl a

Nous écr i rons :

(34) u = l NK ( r ,s) uK

0 K= l l N K v K

K=l

n : Nombre de noeuds de l 'élément (3 pour t r i a n g l e , 4 pour quadr i la tè re ) .

NK i: Fonction d ' i n te rpo la t i on du noeud K. (vo i r Annexe 2 ) .

{e } peut se mettre sous la forme suivante : 1 mJ

(35) {z m'

r i 0

. 0

0 0 1

0 0 1

0 -i 1 o J

o,x 1 o,y

i o,x I

A J

o,x u o,y

'o,x

(36)

o , x J o,y

i o , x

I o,y

o,r Uo,s

' o , r

'o,s

L T Uo,s

' o , r

'o .s

D'après les re la t ions (33), nous pouvons ainsi écr i re :

u

(37) u o,r

J o , s

o , r r o , s

L J I Um )

avec :

i : 2 3 3 4 4 'Um} = { u", v , u , v" , u , v " , (u , v )}

pour quadri latère

La matrice de r i g i d i t é due aux ef fets de membrane peut ainsi s ' éc r i r e

I KmJ = / LBJ T [E f j I Bm I dx dy dz L m J j

v L m J L f J " m j

(38) = / [BmJT [E fJ LBJ [det J j e ( r , s ) dr ds

avec :

LBNJ = L A j L T j L L j

e(r,s) = l MK ( r , s ) eK

K-l

Dans le cas p a r t i c u l i e r de l 'élément t r i a n g l e , la matrice [K J s ' é c r i t comme su i t : m

L K J -1 2 3

(e +e +e ) 12A

- 2

ay23

+ ex

2 (b+c)y23X32 32

2 cy23

+ax 32

ay3iy23 bxi3y23 *yi2y23 bx21y23

+cx 3 1 x 3 2 +cy 3 1 x 3 2 + c x 2 1 x 3 2 + c y 1 2 x 3 2

c x i 3y23 cy 3 1 y 2 3 cx2ïy22 c y 1 2 y 2 3

+ by31x32 + a x 13 x 32 + b y i 2 x 3 2 + a x 2 1 X 3 2

ay312 (b+c)y31x13 ^I2y3i bx12y13

+cx13 2

cy31

+ax 13

+cx21x13 +cy12x13

«2^31 cy12y31

+by12x13 +ax21x13

2

ay^2

+cx12

(b+c)x21y]

2 cyI2

+ax 12

avec a = b = vE

1-v' 2{l+v)

C) Expression de la matrice de -rigidité dans le repère global

Pour un noeud K, nous pouvons écrire

39)

K u 2

K u3

eï

avec

K K K K K u , v , w , e' , e' } : paramètres du noeud K dans le repère local x y

K : ro ta t ion f i c t i v e autour de l 'axe z du repère local

K K K K K K (u^, u2 , u3 , ç>\, 02, 83} : paramètres du noeud K dans le repère global

K K K {9]_, 92» 93} : rotat ions autour des axes x L , x 2 , x3 du repère g loba l .

M ¿1

*2

mi

l . , m., n. : composantes dans le repère global du vecteur du repère

local e. .

La matrice de r i g i d i t é des éléments de coque à 3 ou 4- noeuds s 'éc r i ra alors dans le repère global comme su i t :

- e 1 _ 1

J - L J L K e

\ matrice de r i g i d i t é dans le repère local

Matrice de 6 ou 8 sous matrices [r\ suivant que l 'élément est à 3 ou 4 noeuds.

D) Prise en compte d'une rigidité fictive suivant 6

Dans le paragraphe précédent nous avons exprimé la matrice de r i g i d i t é élémentaire dans le repère g loba l .

Pour ce f a i r e , nous avons été amenés à in t rodu i re pour chaque noeud le

paramètre de ro ta t ion e .

Ce paramètre de ro ta t i on est un paramètre f i c t i f car i l ne l u i correspond aucun terme de r i g i d i t é .

Ceci peut entraîner l ' ob ten t i on d'une matrice de r i g i d i t é globale s ingul ière quand, en p a r t i c u l i e r , certa ins éléments sont coplanaires dans le mai 11 age considéré.

s i n q u l a r i t é

pas de s i n g u l a r i t é

él éments cop l a n a i res s i n g u l a r i t é

Pour lever cette d i f f i c u l t é on peut en tous les noeuds posant problème effectuer un changement de repère te l que 1 ' un des axes du nouveau repère so i t normal à la face t te de l 'é lément.

I l s u f f i t alors d'imposer que la ro ta t ion autour de cet axe so i t nu l le ,

Si cette procédure est théoriquement sa t i s fa isan te , e l l e est néanmoins pénible à mettre en oeuvre et prête le f lan à de nombreuses erreurs.

Compte-tenu de ces considérat ions, nous préférons lever la d i f f i c u l t é décrite ci-dessus en in t roduisant au niveau élémentaire une r i g i d i t é f i c t i v e correspondant à chacune de ces ro ta t ions © .

Ce terme de r i g i d i t é f i c t i v e a été pr is égal à 10 fo is le plus p e t i t terme diagonal de la matrice de r i g i d i t é en f lex ion de l 'élément considéré.

3.2. CALCUL DES CONTRAINTES

3.2.1. Calcul des contraintes en un point quelconque de l'élément.

A) Contraintes o , a , a .

B) Contraintes de cisaillement a , a . A ¿ y ¿*


3.2.1. Calcul des aontvaintes en un voint quelconque de l'élément

A) Cont-raintes axx>

ayy 5 ax y

D'après les équations (9 ) , (10) nous avons

(40) xx

yy Jxy

0 0

1-v

xx eyy 2exy

= [EfJ { = }

D'après 3 et 4, nous avons également

y,x (41) {£} = z {e f } + { e j ; { s f } = - e X )

y 9 - 9

y,y x,x

• (•«i = <v o,x

'o,y U + V o,y o

D'après (28) et (37) nous avons également

(42) { £ f } = [8 f J {U f} 'z } = IB I (U j

Les contraintes a , a , a seront ainsi obtenues comme su i t xx yy xy

xx (43) < * y y f - L EfJ (z [B f j {Uf} + [BJ {Um})

xy

B) Calcul des contraintes a et a

a) Calcul de a

Les contraintes de c isa i l lement transverse a et a seront obtenues par l ' i n te rméd ia i re des équations d ' équ i l i b re . x z y z

Nous écrirons

(44) ' a + a + a = 0 xx,x xy,y uxz,z

d 'où

a = -a - a xz,z xx,x xy,y

D'après l 'équat ion (6) nous pouvons écr i re

axz,z " " exx,x " £yy,x ' c exy,y

avec :

A _ 7 ^ » B - 7 - 2 - ' c - 2(1 + v! 1-v i - v

D'après (25) nous pouvons également écr i re

(45) axz,z = _A ( j n c x x , r + j i 2 e x x > s )

-B ( J n e y y > r + J i2 £ y y j S )

-C (021 2 e x y > r + J22 2 s x y j S )

D'après (28) et (29) nous pourrons alors écr i re

<«> o*z,z • 2 , H , z t T ''Uf> 9 x 1 pour l 'élément t r i a n g l e .

12 x 1 pour l 'élément quadr i la tère.

{H } : Vecteur dont les composantes sont indépendantes de z.

Après intégration suivant z et prise en compte des conditions aux limites

Nous obtenons :

(47) aX2 - (il - ¿) (H x/ {Uf}

-A ( j î i ( H y > r r } T + J i i J i 2 { H y ) S r } T + J l 2 J l l ( H y > r s } T + J-n{W y f S S } T )

-B ( - J l l J 2 2 { Hx > r r } T * J l l J 2 2 { H

X j S r } - J l 2 J 2 l ( HX j r s } T * J ' l 2 J22{ H

X j S S ï )

~C ( J 2 l i H y > r r } + J 2 l J 2 2 { H y j S r } - J 2 1 J l l { HX ) P r } - J 2 l J l 2 Í H

X ) S r }

+ J 2 2 J 2 l { Hy > r s } + J22 Í H y ) S S } - J 2 2 J * n { H X j r s } T - j 2 2 J 21 (H

x> S S } T )

avec :

X2J - {H fi =

(48)

b) Calcul de a

Nous déf in i rons a par un procédé analogue à celui que nous avons u t i l i s é

pour d é f i n i r c en partant de l 'équat ion d 'équ i l ib re suivante :

(49) a + a + a = 0 yx ,x yy ,y y z , z

d'où

a = - a - a yz,z yy.y yx,x

B e - A e - 2C e xx.y yy.y xy,x

B ( J 2 1 e xx, r + j22 e X X j S )

- A ( j 2 1 t y y > r + j 2 2 e y y > s )

(50) - C ( j H 2 Exy,r + jl2 2 e ^ )

Comme nous l 'avons f a i t pour la contrainte a , nous pourrons alors

éc r i re c sous la forme :

(51) v • (f- - f-î IV ' 1 (uf>

avec :

{ H y 2 } T = . - B f j 2 1 J 1 1 { H y ) r r } T+ j 2 1 j 1 2 { H y j S r } T

+ j 2 2 J 1 1 { H y > r s } T+ J 2 2 ! i _ 1 2 iH y 5 S s } T )

(52.) - - A Î - J 22 1 f H X s r r } - J 2 l J 2 2 { H X 5 S r ' T - J 2 2 3 2 1 f H X ) r s ! T - j 2 2 {H,- S S ] T )

-• - 2 C ( j n 0 2 l { H y ) r r } T+ J l l J 2 2 ' H y j S r ) T - J n { H X ) r r } T - J l l J l 2 Í H X s S r ) T

+ J l 2 J 2 l { H y > r r ! T + j 1 2 . Í 2 2 ^ y j S S l T - J 1 2 J n í H X 5 r s ) T - i\2 ' H ^ / l

.2.2. Caloul des contraintes généralisées.

Les contraintes généralisées N . N , N , N . M , M , M sont 3 xx yy ' xy ' yz ' xx ' yy ' xy

déf in ies de la manière suivante :

N - i e // 2 a dz M = i e / , o a dz N | e /

/ 9 a dz xx J - e / 2 xx yy J - e / 2 yy xy J - e / 2 xy

V • / ! e / 2 -yz d z Mxy = / !& *xz d z

^56^ , e / 2 ,e/2 ,+e/2

M = r ' ,o Z a dz M = / 7 ,o z a dz M = f % z a dz xx J - e / 2 xx yy ' - e / 2 yy xy W 2 xy

avec

a , a , a . a , a : Composantes du tenseur des contraintes dans le xx yy xy yz xz r e p è r e l o c a l .

: Coordonnée suivant un axe normal à la surface moyenne.

: Epaisseur de la coque au point considéré.

Les valeurs de M et de M seront calculées en u t i l i s a n t une in tégrat ion numérique avec deux points de Gauss suivant l 'axe z.

3.3. CALCUL DES FORCES NODALES

3.3.1. Forces nodales dues au poids.

3.3.2. Forces nodales dues à une pression uniforme.

3.3.3. Forces nodales dues à une pression non uniforme.

3.3.4. Forces nodales dues a un chargement de surface quelconque.

3.3.1. Forces nodalss dues au poids

Le t r a v a i l v i r t ue l des e f f o r t s extérieurs correspondant à l ' a c t i o n du poids peut s ' éc r i r e :

(57) ôW = L P (a âru + bôv + côw) dV e ' v v

a, b, c : Composantes dans le repère local l i é à l 'é lément d'un vecteur indiquant la d i rect ion suivant laque l le s 'appl ique le poids.

Pv : Poids vol unique.


5u, ôv, ôw : Composantes dans le repère local du champ de déplacement v i r t u e l .

La formulat ion des éléments à 3 et 4 noeuds est t e l l e que l 'on ne connaît pas la forme e x p l i c i t e de w en un point quelconque de l 'élément (On ne la connaît que sur les côtés). De ce f a i t , nous allons f a i r e les hypothèses suivantes pour ca lcu ler les forces nodales équivalentes à l ' a c t i o n du poids :

w = y VT ( r , s ) w* K=l

(58) n 9x = l H ( r > s ) ®x

* K=l *

e - l NK ( r , s ) 9* y K = l y

n : Nombre de noeuds de l'élément considéré (3 ou 4)

N : Fonction d ' in te rpo la t ion associée au noeud K.

Sous forme ma t r i c i e l l e le t rava i l 5W peut s 'éc r i re

T Í a ) 59) ôW = r,, fôul b P dV

e ' v •• ; ) \ v ( c )

D'après les équations (2), (34) et (58) nous pouvons exprimer {ou} de la manière suivante :

(60) {óu} = ou ôv 6w L K=l L

3x6n 3x6

avec

{UL} = {u , v , w , e x , e , e2}

( 6 1 ) LN J = 0

L o

N

0

0 .K

•zN

0

0 +zN K

K 0

0 0

0 0

Le t rava i l v i r t u e l correspondant à l ' a c t i o n du poids peut alors s 'éc r i re

(62) 6We = {ôUL}T {FL}

{F.} : Vecteur (dans le repère l oca l ) des forces nodales correspondant à 1 'act ion du poids.

Ce vecteur est t e l que :

: « ) {F L } « j v L N r b PV dv ( c )

< F L 1 I

{FLK}

I

fFLn}

avec

(64) {F*} - / v L NK ! b ( c

P dV v

5oit :

MK a e(r,s)

NK b e(r,s)

(65) (F.K! = / Pv ! NK c e(r,s) J | det J| dr ds L • r,s / 0 \

0 0

Dans le. cas particulier du triangle nous avons :

[det JJ = 2S 1 1 1 2 3

/r s M e(r,s) dr ds = -^ (2e + e + e ) (66) f M2 e(r,s) dr ds = -L (eL+ 2e2 + e3)

3 1 L 2 3

¡r N e(r,s) dr ds = -^ (e + e + 2e )

Le vecteur {F.} s 'écr i t ainsi :

SP T ->r L 2 3 i 2 3 1 2 3 (Fi 1 = TT- ((2e + e + e 1 a, (2e + e + e 1 b, (2e + e + e ) c, 0, 0, 0,

L l ¿ 1 2 3 ' , 1 2 3 1 2 3 fe + 2e + e 1 a, fe + 2e + e 1 b, fe + 2e + e ) c, 0, 0, 0,

1 2 3 1 2 3 1 2 3 '

(e + e + 2e ) a, (e + e + 2e ) b, fe + e + 2e ) c, 0, 0, 0

Dans le quadrilatère, nous avons d'après (27) :

J SM det J e(r,s) dr ds = j (j el + -j (Ke3+ie4-je3-Ke1-jei+-Ae1:

+-g (ie2-Ke2+Je2+Ke1++ie3)) = AL

2 1 1

/ SN det J e(r,s) dr ds = j ( je! + -y (Ke3+iel++je3+Ke1-je^-jie1 )

+-g- (jie2-Ke2-je2-!<el+-jie3)) = A2

3 M det J e(r,s) dr ds = j (Jel + ^ (Ke3+¿eu+je3+Ka1+jeLt+¿e1

g (jte2+Ke2+Je2+Ke^+ie3)) = A3 + -o (Ae7+Ke2+Je2+Ke^+ie3)) = A

i+ 1 1

/ SM det J e(r,s) dr ds = j ( j e ^ -j (Ke3+jiel+-je3-Ke1+jeu+5.e1

+-g (-£e2+Ke2-je2-Ke4-jie3)] = A4

avec :

1 2 3 4

e 1 = e + e + e + e 2 3 1 4

e 3 = e + e - e - e

e? = e + e 2 u

> - p

3 4 1 2 e + e - e - e

ïï (y^2 *3i

K = - j (y3H x 2 i

A = -g (y«»l x 32

y 3 i XH2^

y32 * m )

Le vecteur (F. } s ' é c r i t a insi pour le quadri latère :

i FL } T = p

v { A l a> A i b> A i c> °» 0. ° . A2a» A2b> A2C> 0. 0» ° A3a, A3b, A3c, 0, 0, 0, A^a, A^b, A^c, 0, 0, 0}

Dans le repère g loba l , nous écr i rons :

{FK} = L r J 1 T

L r j {**}

[ r J : Matrice déf in ie par l ' équat ion (39).

3.3.2. Forces nodales dues a une pression uniforme.

Le t rava i l v i r t ue l des e f f o r t s extér ieurs correspondant à l ' a c t i on d'une pression uniforme sur la surface moyenne de l 'élément peut s 'écr i re :

(68) ôWg = / s ôw p dS

p : Valeur de la pression appliquée sur la surface.

Si nous u t i l i sons l 'hypothèse formulée par l 'équat ion (58) nous avons :

(69) ôw = l NK(r,s) ôwK

K=l

Sous forme natricielle nous avons ainsi :

5We • {6UL}' {FL}

avec :

(70) (FLK} . /r>s

Oans le cas du triangle, nous avons ainsi :

0 0

MK

0 0 0

det J dr ds

(71) {FL}' = (0, 0, , 0, 0, 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 0, 0, 1§, 0, 0, 0 }

Dans l e cas du quad r i l a t è re nous avons :

/ N Idet J Idr ds r ' S 2

/ ,. N Idet J Idr ds •" r , s ' ' / „ N Idet J Idr ds ; r , s

j „ N |det J Idr ds

Le vecteur {F. } s'

j - j K - %X - B!

j + ^ K - ^ X - B2

j + j K + ^ = B3

J - 7 K + I *• = B"

i ra ainsi :

(72) {FL}T = {0,0, pB l t 0,0,0,0,0, pB2, 0,0,0,0,0, pB3, 0,0,0,0,0, pB,, , O.O'.O}

qr

3.3.3. Forces nodales dues a une pression non uniforme.

Dans ce cas nous écrirons que

n V

K=l (72) p(r,s) = l NK (r,s) PK

1/ P : Pression sur le noeud K.

D'après ce que nous avons vu dans le paragraphe 1.3.2. , nous pouvons écr i re dans ce cas :

0 0

(73) K\ - ' r . s V . s ) J0K | l d e t J l d rdS

0 0

Dans le cas du t r iang le nous aurons ainsi :

(74){F L }T = 1 ^ {0,0,(2p +p +p ) , 0 ,0 ,0 ,0 ,0 , (p +2p +p ) ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 , (p L +p 2 +2p 3 ) ,0 ,0 ,0}

Dans le cas du quadri latère, nous pouvons écr i re :

¡r s N det J p(r ,s) dr ds = j (JPi+ - j (Kp3+Ap^-jp3-KpL- jpu- j ip1 )

+-g (- lp2-Kp2+jp2+Kp^+*p3)) = d

2 i l ¡r SM det J p(r ,s) dr ds = j fj 'Pi + - j (Kp3+jî.pl++jP3+Kp1-jp,4-j!.p1 )

+ -g ( l p 2 -Kp 2 - j p 2 -Kp 4 - i p 3 ) ) = C2

3 \

r

3 1 1

sM det J p(r ,s) dr ds = ^ ( j p 1 + y (KPa+APit+jPa+Kpi+jpuHP!

+ -g (¿p2+Kp2+jp2+Kp4+ip3)) = C3

r ^ . . . , _/.- -x ,_ , . _ 1 ,.-_ , 1 , r s>. det J p(r ,s) dr ds = j ( j p L + -j (Kp 3 np ( + - jp 3 -Kp 1 +jp l + np 1 )

+ -g ( - ip 2 +Kp 2 - jp 2 -Kp^- ip 3 ) ) = C4

avec

j, K, i : définis au paragraphe 1.3.1.

1 2 3 4 1 3 2 4 P i = p + p + p + p ; p 2 = p + p - p - p

2 3 1 4 3 4 1 2 P3 = P + P _ P _ P ; pu = p + p _ p _ p

Le vecteur {F. } s ' é c r i t ainsi pour le quadri latère :

(75) {F L } T = { 0 , 0 , C l f 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , C 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , C 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , ^ , 0 , 0 , 0 }

3.3.4. Forées nodales dues a des forces .de surface "quelconques"

Le t r ava i l v i r t ue l des e f f o r t s extérieurs correspondant à l ' a c t i on de forces de surface quelconques peut s 'écr i re :

/ f ^ r . s )

(76) ôWe = / s { ô u j 1 J f 2 ( r , s ) [ dS

( f 3 ( r , s )

{ôuL }T = {ou, ôv, ôw}

f ^ r . ^ s ) , f 2 ( r , s ) , f 3 ( r , s ) : Composantes dans l e repère local l i é à l 'élément du vecteur force de surface au point de coordonnées r , s .

Nous supposerons que fi} f2, f$ peuvent s'exprimer en fonction-de leur

valeur aux noeuds comme su i t :

(77) f . ( r , s ) = l / ( r , s ) f .K

1 K = l } (i = 1,3)

f . : Valeur de la fonct ion f.¡ au noeud K.

D'après l 'équat ion (60) nous pouvons écr i re

M S [ N J (ôU. } = y | NKj fôuf} L K = l L

avec dans notre cas

78) LN K J =

M K

0

0

0

MK

0

0

0

N*

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Compte-tenu des équations (76), (77) et (78) nous pouvons écr i re

6We = {6UL)T {FL}

avec :

(79) .F , J - r ; r , s

[N K J det J dr ds

so i t

(80)

( N f1 ( r , s ) |det J|

NK f2 ( r , s ) |det J|

K * '•- - 'det Jl {FL*} = J s ^ N f3 ( r ,s) 0

0

0

dr ds

J Dans le cas p a r t i c u l i e r du t r i a n g l e , nous aurons :

(81)

K , T S r i 2 1 1 2 3 1 2 3 {FL } ' if {2fi + fi + f3, 2f2 + f2 + f2, 2f3 + f3 + f3, 0, 0, 0

1 2 3 1 2 3 1 2 3 fi + 2 V fi, f2 + 2f2 + f2, f3 + 2f3 + f3, 0, 0, 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3

fi + fX + 2fl5 f2 + f2 + 2f2, f3 + f3 + 2f3, 0, 0, 0}

Dans le cas du quadr i la tère , nous avons

(82) / NK f ^ d e t j | d r ds = D* (K = 1,4), ( i = 1,3)

D. s'exprime de la même manière que CK (1.3.3) sous réserve de remplacer p

par f r

Compte-tenu de (81), nous avons dans le cas du quadri latère :

(83) fFL)

1 1 1 2 2 2 D l 5 D 2 , D 3 , 0 , 0 , 0 , D l 5 D 2 , D 3 , 0, 0 , 0 ,

D15 D2, D3, 0, 0, 0, D J , D J , D3, 0, 0, 0

3.4. CALCUL DE LA MATRICE MASSE

L'expression de la matrice masse élémentaire s'obtient en considérant le travail virtuel des forces d' inert ie ôWa .

(84) ôW = / p u. ou. dV a V \ \

avec :

p : Masse vol unique.

ï i . (1=1,3)" r : Composantes du vecteur accelerat ion dans un repère loçaJ0o<; Y l i é à l'élément.

Nous ferons également ici les hypothèses exprimées par les équations (58)

De ce f a i t nous pouvons écrire :

(85) {ïï } = { î } - L M J {ÜL} - I [MKj {u[} L vi L K = l L

L NI J : Matr ice donnée par l ' express ion (61)

••y -i» " y " y "y

(u£}T = { uK , vK , wK , ex , ey , ez}

Le travail virtuel des efforts d' inert ie peut alors se mettre sous la forme matricielle suivante :

(86) 6Wa = (5UL}T L M j {UL}

La matrice de masse élémentaire [M. J est t e l l e que :

(87) [MLJ = / v p | MjT [Mj dV

Elle est obtenue par in tégra t ion analytique suivant l 'épaisseur (axe t ) et par in tégrat ion nimériaue dans le plan r , s .

Dans le repère global cette matrice de masse élémentaire s'"écrit :

(88) [Mej = [RjT [MLJ LRJ

[Rj : Matrice définie dans le paragraphe 3.1.5-C.

Ill - COMPORTEMENT DE CES ELEMENTS DANS LE DOMAINE STATIQUE

1. STRUCTURE DE TYPE POUTRE.

2. PLAQUES CARREES 'SIMPLEMENT APPUYEES

3. PORTION DE PLAQUE CIRCULAIRE.

4. COQUE CYLINDRIQUE PINCEE.

5. STRUCTURE DE TYPE CAISSON CIRCULAIRE.

S. STRUCTURE DE TYPE BARRAGE-VOUTE.

1. STRUCTURE DE TYPE POUTRE

Nous avons noté dans le chapi t re I1-2 que dans le cas des éléments de coque épaisse à 8 noeuds les contraintes de c isa i l lement a , a et les

e f fo r t s résultants NI , N devaient ê t re calculés aux points de Gauss.

Les premiers tests que nous al lons décr i re ci-dessous vont i l l u s t r e r cet te nécessité.

Considérons la st ructure de type poutre dé f in ie par la planche 1.

Pour un mai 11 age de 5 éléments à 8 noeuds, les f igures 1 et 2 montrent les résu l ta ts obtenus pour le déplacement w e t le moment M

Mous constatons que les résu l ta ts sont i c i en par fa i te concordance avec les solutions analyt iques.

La f igure 3 indique les résu l ta ts obtenus pour l ' e f f o r t tranchant NX2 sur

une l igne de points inc luant les points de Gauss. El le montre que les valeurs de l ' e f f o r t tranchant sont rigoureusement exactes aux points de Gauss et deviennent rapidement très mauvaises et tout à f a i t i n u t i l i s a b l e s dès que Ton s'en éloigne.

Ces résul tats surprenants sont assez s im i la i res à ceux décri ts par Zienkiewicz | 24, page 2831 pour des éléments plans de type Serendip à 3

noeuds (voir f igure 4) .

Parish H | 29 ! avai t également noté que pour les éléments de coaue épaisse les e f f o r t s résu l tan t MX2 et H é ta ient meil leurs quand i l s

é ta in t évalués aux points de Gauss.

La f igure 5 montre les résu l ta ts obtenus aux points de Gauss pour Mxz

quand les éléments sont d is tordus. Dans ce cas également les résu l ta ts sont bien mei l leurs aux points de Gauss que sur la l igne des noeuds. Néanmoins, nous voyons sur cette f igure que les résul ta ts obtenus sur l ' e f f o r t tranchant My7 sont relativement sensibles à la d is tors ion des

éléments. I l s montrent également que dans ce cas le ca lcu l , consei l lé par certains auteurs, des contraintes de c isa i l lement transverse par extrapol a t i on l i néa i re à pa r t i r des résu l ta ts aux points de Gauss peut dans ce cas entraîner aussi l ' ob tent ion de résu l ta ts pas très s i g n i f i c a t i f s .

Cette étude nous a i nc i t é à ne donner qu'un seul résu l ta t par élément pour les contraintes de c isa i l lement transverse a , a et les e f fo r t s

xz y z résul tants Nxz e t N ; r ésu l t a t obtenu en moyennant les valeurs trouvées

aux 4 points de Gauss. Nous pouvons constater sur la f igure 5 que les résu l ta ts calculés en ef fectuant cette moyenne restent proches de la so lu t ion analyt ique quand les éléments sont distordus.

Les f igures 6 et 7 montrent l ' e f f e t de cette d is tors ion sur les résu l ta ts en f lèche W et en moment M x x . Elles nous permettent de constater que ces

deux grandeurs sont beaucoup moins sensibles à la d is tors ion que l ' e f f o r t tranchants N x z .

Les f igures 8 et 9 montrent les résu l ta ts obtenus avec les éléments à 3 e t 4 noeuds pour respectivement le déplacement w et le moment M . Nous

pouvons constater que les résu l ta ts sont en par fa i te concordance avec la._ sol ution analy t i que.

Les f igures 10 et 11 représentent les mêmes grandeurs obtenues cet te fo is avec le maillage d is tordu (d is tors ion 2) précédemment d é f i n i .

Quand les éléments sont d r o i t s , les résu l ta ts obtenus pour l ' e f f o r t tranchant Nxz coïncident exactement avec la solut ion analyt ique.

La f igure 12 montre les résu l ta ts obtenus au centre des éléments quand ces derniers sont d is tordus.

Planche 1

Poutre encastrée soumise à un chargement uniforme sur son extrémité,

encastrement

Module Young E = 1.

Coef f ic ient de Poisson \J = 0.

Epaisseur de la poutre h = 0,05

iô5.wik

40

30

20

10

solut ion analyt ique 5 éléments à 8 noeuds

/

r /

/ /

y /

/ /

y

Fig. 1 : Poutre encastrée. Déplacement w

/

5 X

Mxx

\

\

solu t ion analyt ique

5 éléments à 8 noeuds

V \

V

X

- • TT*

Fig. 2 : Poutre encastrée. Moment Mxx

points de Gauss

N

A* -Q-A—G- -•-©— H — e — 0 - , + —e- — o - -t-—©•--

N

B

Nxz5

Fig. 3 : Poutre encastrée Ef for t tranchant Nxz suivant la l igne AB

p = 0,24

Li-U_U_ai01Xlil4

2 x 2 points de Gauss

—: so lu t ion analyt ique

so lu t ion elements f i n i s

Fig. 4 : Poutre Cantilever modélisée à l ' a i de de 4 éléments bidimensionnels à S noeuds. Ex t ra i t de |24| page 283

Nxz 5 •

_á O o---a

•-^r--Q3- --A- -Q-

X

O

A

a

distorsion 2

moyenne au centre de l'élément (distorsion 2] distorsion 1

-5

Fig.. 5 : Influence de la d is tors ion des éléments à 3 noeuds sur le calcul de l ' e f f o r t tranchant Nxz

10 W4 45

35

25

i l 5

so lu t ion analytique

d is to rs ion 1 (C8)

d i s to rs ion 2 (C8)

A

/ /

•+X

Fig. 6 : Poutre encastrée Effet de distorsion sur le déplacement

i

lVLxx 5

4

3

2

1

k

v D

•

• X

- : solution analytique

: distorsion 1 (C8)

: distorsion 2 (C8)

X

^ "

-

*X

Fig. 7 : Poutre encastrée Effet de distorsion sur le moment

iô5.w

4 • solut ion analytique



/ /

/

X

/

s

Fig. 8 : Poutre encastrée - Déplacement w avec DKT et OKQ

Mxx

5

1

A

X D

Y.

- : solut ion analyt ique

: 10'éléments à 3 noeuds

: 5 éléments à 4 noeuds

N

\

B \ N

V.

\

X * , , i a —

— •

Fig. 9 : Poutre encastrée - Moment Mxx avec DKT et OKQ

iö5.w

4 [ o : 5 elements à 4 noeuds /*

so lu t ion analytique

5 éléments â 4 ( d i s t o r t i o n 2)

/

J3T-

Fig. 10 : Poutre encastrée - Déplacement Effet de distorsion (DKQ)

-•X

Mxx J

5

4

3

2

1

i

x %

• • . solut ion anaiynque

G : 5 éléments à 4 noeuds•-', (d i s to r t i on 2)

X X.

X

X X

' • • > *x

Fig. 11 : Poutre encastrée - Moment Mxx Effet de distorsion (DKQ)

\ . — —a- / a— A— — a -/• s -ir a

5 •

: so lut ion de analyt ique

: 5 éléments à 4 noeuds(Rosalie 30 )

: 5 éléments à 4 noeuds(DKQ)

Fig. 12 : Infuence de la d i s t o r t i o n des éléments à 4 noeuds

(DKQ) sur le calcul de l ' e f f o r t tranchant

2. PLAQUES CARREES SIMPLEMENT APPUYEES

La f igure 13 montre les résul tats obtenus pour la flèche W dans le cas d'une plaque carrée simplement appoyée, relativement épaisse (1/h = 10) soumise à une charge concentrée.

Conformément à ce que l ' on pouvait attendre les éléments à 8 noeuds d'une par t , les éléments à 3 et 4 noeuds d'autre part ne convergent pas vers la même so lu t ion .

En e f f e t , basés sur les hypothèses cinématiques de MindVin, les éléments à 8 noeuds convergent vers la solut ion analytique obtenue en considérant ces hypothèses (so lu t ion plaque épaisse). Les éléments à 3 et 4 noeuds convergent eux vers la solut ion analytique obtenue en considérant les hypothèses de Love-Kirchhoff (so lut ion plaque mince).

Ce simple tes t montre déjà l ' i n t é r ê t de l ' u t i l i s a t i o n des éléments à 8 noeuds pour le calcul des s t r x t u r e s épaisses.

Dans la f igure 14, on considère la même plaque, mais soumise cette fo i s à un chargement uniforme. Nous constatons que dans ce cas l à , les éléments convergent beaucoup plus rapidement vers leurs solutions respect ives.

Les f igures 15 et 16 considèrent cette fo is une plaque mince d'élancement 1/h = 100. Dans ce cas l à , la di f férence entre les solut ions analytiques obtenues en considérant les hypothèses de Mindlin ou les hypothèses de Love-Kirchhoff est négligeable. De ce f a i t , nous pouvons constater que les éléments à 3, 4 et 8 noeuds convergent vers la même so lu t ion .

Nous pouvons également voi r dans ce cas que les éléments à 3 et 4 noeuds permettent d 'obten i r de bons résul tats à un moindre coût aue les éléments à 8 noeuds. En e f f e t , ces derniers entraînent l ' u t i l i s a t i o n de maillages te l s que la largeur de bande est plus importante que pour les éléments à 3 et 4 noeuds. De plus le calcul des matrices de r i g i d i t é élémentaires est plus onéreux pour les éléments à 8 noeuds que pour les éléments à 3 et 4 noeuds. -,

En considérant toujours une plaque carrée simplement appuyée soumise à un chargement uniforme (1/h = 100), nous pouvons sur la f igure 17 comparer les performances des t r o i s éléments considérés (c 3 , c^, c3) avec les éléments

de coque u t i l i s é s dans le programme SAPIY |28 | , STRUDL ¡28 \ et ROSALIE 130 i . Mous pouvons ainsi constater en pa r t i cu l i e r que la convergence des éléments c3 et Ci+ est remarquable.

La f igure 18 représente les résu l ta ts obtenus pour les moments M , M au

centre de cette plaque. Mous remar citions nue les t r o i s types d'éléments considérés convergent de manière t rès sat is fa isante vers la so lut ion analyt ique.

Les f igures 19 et 20 représentent la va r ia t ion des moments Mxx et M sur l ' a rê te A-B de la plaque considérée. Mous pouvons observer la encore une très bonne concordance des résu l ta ts obtenus avec la so lu t ion analyt ique.

La f igure 21 indique les résu l ta ts obtenus pour l ' e f f o r t tranchant Nxz

suivant la l igne A-C. Nous pouvons noter que pour les éléments à 8 noeuds (c8) les valeurs de Nx2 calculées aux points de Gauss concordent t rès bien

avec la solut ion de référence. Comme nous l 'avons déjà indiqué dans le paragraphe précédent, les valeurs de N calculées directement aux noeuds

de l 'élément sont par contre t rès mauvaises.

Cet exemple confirme donc bien la nécessité pour les éléments à 8 noeuds de fa i re le calcul des e f fo r t s de c isa i l lement transverse aux points de Gauss (2 x 2) .

Cette f igure montre également que si les résu l ta ts obtenus pour les éléments à 4 noeuds ( c j sont moins bons que ceux obtenus pour les

éléments à 8 noeuds, i l s restent néanmoins t rès sa t i s fa i san ts .

I o Dé f i n i t i on

Planche 2

Plaque carrée simplement appuyée

1 = longueur de la plaque

h ~ épaisseur

E : Module Young

v : coe f f i c ien t de Poisson

w : f lèche au centre de la plaque

D : Eh3/ 12(1 - vz)

1

h

E

\>

a

=

=

=

=

=

1

0,1

105

0,3 w.D pT2-

ou

X

0

10'

01

>

2° Conditions aux limites et conditions de symétrie

w=9x=9z-0

w=9v=9z_0

9v=9z=0

u=v=0 partout

a

16

'9

1.388

1.2

1.16

I.I

• : elements à 8 noeuds

A : éléments à 3 noeuds

o : éléments à 4 noeuds

solution analytique des plaques épaisses

solution analytique des plaques minces

-// 43

Coût (F)

a 0.435

0.427

Fig. 13 : Plaque carrée simplement appuyée soumise à une charge concentrée (1/ h = 10) Déplacement w

solution analytique des plaques épaisses • — • -9 16

0 406

0.385

0.38

0.375 ,

1.

solut ion analyt ique des plaques minces « '• cta

• : éléments à 8 noeuds

¿ : éléments à 3 noeuds

o : éléments à 4 noeuds

Hh

Coût (F)

Fig. 14 • Plaque carrée simplement appuyée soumise à un chargement uniforme (l/n = 10) Déplacement w

éléments à 8 noeuds



solution analytique

Fig. 15

Erreur

/o

-4

CoOt (F)

Plaque carrée simplement appuyée soumise à une charge concentrée (l/h = 100) Déplacementw

A

a




solution analytique

iÛ

43

Coût (F',

Fig. 16 : Plaque carrée simplement appuyée soumise à un chargement uniforme (l/h = 100) Déplacement w

Erreur

-5 •

10

15

a

•

O

solut ion analyt ique


éléments à 4 noeuds (DKQ)

éléments à 3 noeuds (DKT)

Rosalie

STRUDL

SAP IV

20

Erreur 0

/o

Fig. 17

50 100 150

Nombre d'équations

Plaque carrée simplement appuyée soumise à un chargement uniforme (!/}, = 100)

w au centre de la plaque

solut ion analyt ique éléments à 8 noeuds

Rosalie

éléments à 3 noeuds éléments à 4 noeuds

10 50 100 150

-/h 200

Nombre d 'équations

Fig. 18 : Plaque carrée simplement appuyée soumise à un chargement uniforme (l/n = 100)

Mxx et Myy au centre de la plaque

2

: analytique

• : 9 éléments à 8 noeuds

Mxx

S

Mvv

A-

F i g . 19

MxxiMyy

V ~ \

a

a. •y

solution analytique 32 éléments à 3 noeuds


a

Fig. 20

Fig. 19, 20 : Plaque carrée simplement appuyée soumise à un chargement uniforme 1/L'= 100

Variation de Mxx et Myy sur l'arrête D C

solution analytique

calcul aux points de Gauss (C8)

moyenne sur les points de Gauss (C8]

calcul au noeuds (C8)


/

\

Q^ ^ O -

/

• % .

L 0.666 1.333 \ 2. C

\

Fig. 21 : Plaque carrée simplement appuyée soumise à un chargement uniforme ( 1 / ^ = 100)

L ' e f f o r t tranchant suivant la l igne A-C

3. PORTION DE PLAQUE CIRCULAIRE

Dans ce paragraphe, nous considérons une portion de plaque c i rcula i re simplement appuyée sur ces 2 arêtes extrémités.

Trois chargements correspondant respectivement à des charges concentrées appliquées aux points A, B, C sont étudiés (voir planche 3). Cet exemple a déjà été analysé par de nombreux auteurs |19 à 221

Les figures 22 à 24 montrent les résultats obtenus pour le déplacement w le long de la ligne A, B, C pour les 3 cas de chargement considérés et pour chacun des 3 types d'éléments étudiés (c3 , c4, c8 ) .

La f igure 25 représente les résultats obtenus pour le moment fléchissant M pour les 3 types de chargement.

Sur chacune de ces figures, nous pouvons là encore constater que les résultats sont en bonne concordance avec la solution de référence.

Planche 3

Portion de plaque c i r c u l a i r e

Déf in i t ion géométrique

6&°

\ /

- • x

Type de mail läge

E = 4.6 x 105 1

h = 0.168 p-

v = 0.35

PA = h = pC = 1

n : nombre d'éléments suivant AC

m : nombre d'éléments suivant AE

n x m

2 x 1

4 x 3

G x 5

2 x 3 2 x 5

: so lu t ion analytique

• : mail lage 4x3

o : mail lage 2x3

A. : mail lage 2x5

A : mail lage 2x1

I 1 i -i"

13

Eléments à 8 noeuds

o •

A

:. solution analytique

: maillage 4x3

: mail läge 2x3

: maillage 2x5

: maillage 2x1 A

r~

—»• 13


: so lut ion analytique

• : mail lage 4x3

o : mail lage 2x3

A : mail läge 2x5

A : mail läge 2x1

-fr — o A

• •ê

13


F i g . 22 : P o r t i o n de p laque c i r c u l a i r e soumise au chargement A Déplacement suivant la l igne A B C

o

5

: solution analytique

: mail läge 4x3

: maillage 2x3

: maillage 2x5

: maillage 2x1

^ r

13


5


• : maillage 4x3

o : maillage 2x3

A : maillage 2x5

A : maillage 2x1 Jk

13


o


: maillage 4x3

: maillage 2x3

: maillage 2x5

: maillage 2x1

•h-

13


F i g . 23 : P o r t i o n de p laque c i r c u l a i r e soumise au chargement B Déplacement suivant la l igne A B C


• : maillage 4x3

o : maillage 2x3

A : maillage 2x5

A : maillage 2x1

J*'

^&

„e-"

13


: solut ion analyt ique

# : maillage 4x3

0 : mail lage 2x3

A : maillage 2x5

A : maillage 2x1

o

Element's à 4 noeuds

solut ion analyt ique

maillage 4x3

maillage 2x3

maillage 2x5

mail lage 2x1

E léments à 3 noeuds

' i g . 24 : P o r t i o n de p laque c i r c u l a i r e soumise au chargement C

Déplacement suivant la l igne A B C

0.6

0.4

0.2

'yy -A

V ^Ä.

solution analytique

6x5 elements à 3 noeuds

6x5 elements à 8 noeuds

6x5 éléments à 4 noeuds

Chargement A 13

o.«t 'yy

solution analytique




A

. A

0.3

Chargement B 13

1.2 'yy

i

solution analytique



6x5 éléments à 4 noeds

M

A

-i

0.4

Chargement C

Fig. 25 : Evaluation du moment Myy le long de AC

13

4. COQUE CYLINDRIQUE PINCEE

Après avoir examiné le comportement des éléments DKT, DKQ et C8 dans le calcul de plaques, nous allons nous intéresser i c i à leurs performances dans le calcul d'une coque cyl indr ique pincée possédant un diaphragme r ig ide à chacune de ces extrémités.

La planche 4 d é f i n i t de manière déta i l lée cet te s t ruc ture . Ce tes t a déjà été u t i l i s é par certa ins auteurs I 31 I 1 331 pour évaTuer la performance d'éléments de coque.

I l s ' a g i t là d'un exemple rendu relativement sévère par les condit ions aux l im i tes considérées (diaphragmes r ig ides , charges concentrées).

La f igure 26 représentant la déformée de la coque suivant l ' a rc BC permet de s'en convaincre aisément.

La f igure 27 indique le pourcentage d'erreur en flèche sous la charge en fonction du coût de calcul pour divers maillages consti tués à l ' a i d e des 3 types d'éléments considérés. Les maillages u t i l i sés sont " r égu l i e r s " . Les nombres d'éléments d iv isent en côtés égaux les côtés AB et BC sont ainsi toujours ident iques.

L ' u t i l i s a t i o n en abscisse du coût de calcul n'est pas très hab i tue l l e . Néanmoins, la pr ise de ce facteur nous apparaît plus adaptée que l 'emploi plus classique du nombre d'équations ou du nombre d'éléments pour comparer des éléments aussi d i f fé rents que les éléments DKT, DKQ et C8.

Cette f igure 27 nous permet de comparer la vitesse de convergence vers la solut ion des t r o i s types d'éléments considérés.

Mous pouvons ainsi constater que dans ce cas pa r t i cu l i e r ces derniers ont sensiblement les mêmes performances.

Les f igures 28, 29, 30 indiquent les résu l ta ts obtenus pour le déplacement Vi le long de l ' a r c BC. Mous pouvons ainsi noter aue les solut ions

trouvées sont pour les t ro i s types d'éléments considérés en excel lente concordance avec la solut ion de référence ¡32| . Mise à part dans le très proche voisinage de la charge, les résu l ta ts obtenus avec un fa ib le nombre d'éléments (exemple : 9 éléments à 8 noeuds) peuvent même être considérés comme très sa t is fa isants .

Les f igures 31, 32, 33 indiquent les résu l ta ts trouvés pour le déplacement u le long de l ' a r c AD, tandis que les f igures 34, 35, 36 indiquent les solut ions obtenues pour le déplacement w sur le côté DC. Mous pouvons encore constater i c i que les résu l ta ts obtenus sont en bon accord avec la solut ion de référence.

Si l ' on peut obtenir des résul ta ts en déplacement sa t is fa isan ts avec des maillages consti tués de relativement peu d'éléments, i l n'en va pas de même pour les contraintes. En e f f e t ces dernières var ient brutalement au voisinage de la charge et entraînent donc la nécessité de mail lages plus f i n s .

La f igure 37 présente les valeurs obtenus pour le moment M le long de

l ' a r c BC. Les t r o i s types d'éléments considérés ayant comme nous l 'avons vu dans l 'é tude des plaques un très bon comportement en f l e x i o n , nous pouvons constater sur cette f igure que les résul ta ts trouvés pour le moment M sont sa t is fa isants .

Les f igures 38 et 39 montrent les résul ta ts trouvés pour les e f f o r t s résul tants N et N le long de l ' a r c BC

Pour ces deux types de résu l ta ts , i l semble i c i que le comportement des éléments à 4 noeuds (DKT) soi t légèrement plus sa t i s fa i san t que celu i des éléments à 3 noeuds (DKT).

Planche 4

Coque cylindrique pincée avec diaphragme rigide

Io Définition géométrique

E* 1

R= 1

P= 1

L= 2

t= 0.01

v= 0.3

2° Conditions aux limites

v,ex,9z

u,9y,9z

w,9x,9v

-- B

\\

Fig. 26 : Déformée de la section médiane de la coque cylindrique

pincée.

o Erreur

10

60

éléments à 8 noeuds (C8)

éléments à 4 noeuds (OKQ)

éléments à 3 noeuds (DKT)

200 éléments à 3 noeuds (Rosalie)

100 éléments à 4 noeuds (Rosalie)

12 Co

F-i ig. 27 Déplacement sous la charge

Convergence des trois types d'éléments

jr-

s /

\

\

\

\

< é

c l 3 1 +-> LiJ

C -

*

\

Ó

I I •

1

1 1

;

i

i

l P i

i

réfé

ren

ce



c Sä S

vO)

'0>

o o CO

•

l/l 4->

c CD c

i d ;

Ml)

O O O J

<

(/I -M C <D E

«U

\

c re > • 3 V I

C 3

4->

C CD E 

re 3

r—

re > L U

CO <NJ

^—« h -: * £

Q

U l TD 3 CU O c

CO

»re

i / i - M

C

a; E

|<D r—

>a>

en

À

O

1 31

« è

41

U

c OJ

s_ KU

<+-X U S_

 4->

C

eu

111

KU

KU

O o 1 — 1

l/)

+-> c 0) £ , c cu s

K U

K U

> 3 < — 1

(/I 4->

e • r -

3 1/1

C 3

+ J £Z

cu = cu o fO

r—

C KU T 3

3

" O

c o

• r -

+•>

r<3 3

r—

« >

'—s

o-i ¿

o

• " to

- 3 3



c cu

111

KU 1—

'CU

o í CNJ

o < •

« /

\

Ï

f

í

0) u £ CU s_

«i> 4 -¡ty S_

CD T3

c o •!— +-> 3

— O l / l

1/1 +J c CD E

vCD f —

v<D

*a-iX )

to + j

c ai S

\QJ I

*OJ

V£> t—H

CÎ

•+J

c CD E

ICD f —

«D

O í

LO •>->

C CD ?

>CD r—

iCD

"

O <

o CD

O S_

re

— +J e « > • * =3 t i l

c • ^

+ J c CD E cu o re ~ a.

><D • o

3 "O

C O

• i—

+J re 3

r—

re >

Lü

O ro

—* CO

!_>

l/l

•o 3 CD O e

00

/re

LO

+-> c aj E

>0J i —

«cu ^ • " " '

à <

\

'N.

o c d) i_ «u t ->

S=

cu £ >cu

>a>

CM r--

t o _4->

e cu £

«U

«U

CM

m

>< / /

*0

< o*»

a < o S_

ÍT3

» • —

-1-1

C <a >

•r—

3 Ul

3

+ J C 0) £ 0) o rö

r—

O . »cu • a

3 T3

C O

• r -+J (O 3

i —

(O

>

1— i ¿ a

CO

• o 3 ai o c

CO

« 0

</) 4-> c 0)

s »cu r—

'CU

o

.jfcCJ

^

X o

u c 3

r— O to

 c (1) c=

i d ) r—™

v(U

o o 1—1

l/l +J E a; c

>0> r ™ -

><D

"3" *£>

in •4-J

e QJ

><D

— >0J

U2 r—(

0«'

. /

/

c (0

> •^ 3

(/) 3

4-J

C 0)

c <D O (O

r—

c «D

-o

3 -o

c o

• I -

4-> (O 3

i —

fO

>

_^ Cr i ¿ Q

• • t/>

-a 3 sr

«0

in -M C QJ E

«U

^ >(D

\

V \

 e 

c Ol

e KU 1 — »

KU

• « -

< 4

é

a

Vo

/

J

<C

u

(T3

> • p -

3 l/)

3

+J e <T3 3

i —

fO

> LU

ro m

co <_> ,. i/i

TD 3 <U O c

CO

ins

;/) +J C 0)

!= KU r—

KU

cn

- «L

r

-40

i <m

l

/

o/

< • /

o

/'

/

7

cu o c O) S-

«D M->cu s_

0) T5

c o

- p 3

r—

O 10

i / i 4->

E QJ E

«<D

«D

O O 00

(/I +J c cu E »cu

«D

O O C\J

( / I +J £ CU E

IQJ

1QJ

C\J

r~

i / i

+-> ¡= <1J E

«CU

«D

CM

ro

O O

U S_ «3

--4->

c o >

• 1 —

3 i / l

3

+J c cu E 0) u re ^ o.

«D T3

3 "O

C O

•r~

4 J

(0 3

r—

f 0

>

^ 1— a¿ Q

• • t/1

-o 3 CU o c

ro

'(O

l / l 4 J

e (1) E

1cu

*3-o-)

a

¿

y / '

« -mi /

o ^

/

o

o S-(O

 u Ol i .

> +J

c c X> 0) O)

><D KD 'CU 'Ol

<D

«3 to O

CU

cu - o

-a 01 O

c

•sr

/ta (/i

+ j c cu

>5 +-> 3

O ai

en

i d )

o o "

c ItJ

> • l ™

3

</) 3

+J C 0)

c= O) O fO

P " "

CL vd)

•a 3

"O

c o

• 1 —

+-> ta 3

i —

«3

>

. . C r

^ Q

• • (/) -a 3 0)

o c

«3-

;<a

C/1

+-> c 0)

m

,OI 1 —

<ai

en

o « .

¿

> /

I

6

J

- « * > <

7

t 4

««*<

a; u c 0) s_

<CU

«*-\ c a> E

«U

«D

o o i - H

(/) 4 - )

c CD E <a>

>0J

«a-VO

c/) +J C CU E

'<D

IQ;

I O * - H

</í +J £ CU E >cu

KU

Oí

(/l 4-> c O) E

KU

iOJ

«3-

o o

IT3

£

>

4-> c cu c= 0) u <o

r —

o. «D -o

3 "O

£ o

•r—

+J (O 3

r—

(O

> Lü

VO ro

CO o

l/l -o 3 CU o E

CO

'(O

l/l -u E ai E

*CU r—

KD

X

M ß P o.z

0.1

s o l u t i o n de r é f é r e n c e

100 é léments

64 é léments

16 é léments

B,* •*- à • ât m

0.05 O A«


Mj_ P -0.2 •

O

-0.U A

solution de référence

400 éléments

100 éléments

64 éléments

16 éléments

i

Bu » > » > i " lfi> * » *-*l^ 4" &-*_*'

• — C

0.05 O-

Iléments à 4 noeuds

M ¿? 02


800 é léments

200 é léments

128 é léments

B P • t u « • a * tn% *• • • -

005


Fig. 37 : Evaluatio-n du moment \Aß suivant BC

Na -v>\

B ë-«—•©•-*=* \0

O

800 éléments

200 éléments

128 éléments


O •

\

20

10 N a P


B ~¿*L j * * * - * ^

^

^

•

o A .

-20|

400 éléments

100 éléments

64 éléments

16 éléments



^

4

10 1

B r

o

«

O


100 éléments

64 él ême.nts -

16 éléments

\° -20 Eléments à 8 noeuds

in. 38 : Evaluation de Ha suivant l'arc BC

N ß •10

B< •©*

20

•

O

800 éléments

200 éléments

128 éléments



10

B

O

A

400 é léments

100 é léments

64- é léments

16 éléments



\

\ >

10 P

• ° •

B • t.

A • o

•

o


100 é léments

64 é léments

16 é l é m e n t s


F i g . 39 : E v a l u a t i o n de Nj s u i v a n t l ' a r c BC

5. STRUCTURE DE TYPE CAISSON CIRCULAIRE

La structure considérée i c i est un caisson c i r c u l a i r e simplement appuyé en ses deux extrémités et soumis à une charge concentrée dans la section médiane.

Les deux extrémités de ce caisson sont fermées. Cet exemple a déjà été étudié par quelques auteurs so i t de manière numérique so i t de manière expérimentale | 34 | , | 351 ', |36|

La plupart des auteurs t r a i t a n t ce problème par éléments- f in i ra considèrent des éléments d i f fé rents pour model i ser les hourdis et les âmes. Worsak - Kanok - Nukulchai 1361 propose par exemple de d is t inguer les

•r: - éléments du hourdis et les éléments des âmes par une in tégra t ion numérique d i f f é ren te .

Nous avons i c i considéré que cet e f f o r t n ' é t a i t pas indispensable. De ce f a i t nous avons u t i l i s é les mêmes types d'éléments pour les d i f fé rentes part ies de la s t ructure.

Les planches 6 et 7 déf in issent les d i f fé ren ts types de mail!ages considérés pour calculer cette s t ruc ture .

Pour les éléments à 3 et 4 noeuds nous pouvons ainsi remarquer que nous avons choisi deux types de ma i 11 age se dist inguant par le nombre d'éléments dans l'âme. Ceci a été f a i t pour apprécier l ' i n f l uence du comportement en membrane de ces éléments.

Les f igures 40 et 41 représentent le déplacement W. le long de , l ' a r c IJ pour d i f fé rents mai 11 ages d'éléments à 3 et 4 noeuds.

Ces courbes nous permettent de constater que l e f a i t d'augmenter le nombre d'éléments dans l'âme (mail!age A -• B ) ne modif ie pas les résu l ta ts obtenus et ne semble donc pas nécessaire. Le f a i t d'augmenter l e nombre de "tranches" (5 ->• 10) modif ie par contre de manière sensible les résu l ta ts trouvés. Mous pouvons également noter que dans cet exemple les éléments à 4 noeuds (DKQ) ont des performances supérieures à cel les des éléments à 3 noeuds (DKT). Oe manière générale les résu l ta ts obtenus avec les maillages A x 10 ou 3 x 10 concordent de manière sat is fa isante avec les solut ions de référence.

La f igure 42 montre les résul ta ts trouvés par les éléments à 8 noeuds. Mous pouvons ainsi constater que les 4 types de mail läge étudiés donnent des résul ta ts très sa t i s fa isan ts . Les éléments de coque épaisse à 8 noeuds semblent donc très performants dans cet exemple.

Les f igures 43 et 44 indique les contraintes t angen t i a l es obtenues le long des côtés KL et MN pour d i f fé ren ts mai 11 ages d'éléments à 3 noeuds (DKT). Comme nous l 'avions déjà constaté dans l 'analyse les f igures précédentes nous obtenons à même nombre de tranches les résu l ta ts sensiblement identiques pour les mail!ages A et B.

Pour les maillages A x 10 et B x 10 nous pouvons également noter que si les résul ta ts obtenus sont légèrement d i f fé ren ts de la solut ion de référence au voisinage de la charge concentrée, i l s deviennent rapidement sa t is fa isan ts dès que l 'on s'en é lo igne.

Les f igures 45 et 46 indiquent les résu l ta ts obtenus avec cet te fo is les éléments a 4 noeuds. De manière générale nous pouvons f a i r e i c i les mêmes commentaires que pour les éléments à 3 noeuds. Nous pouvons quand même noter que les performances des éléments DKQ sont légèrement plus s a t i s f a i sants que cel les des éléments DKT.

La f igure 47 indique les résul ta ts obtenus avec les éléments de coque épaisse. Nous pouvons ainsi constater que quelque so i t le mail lage considéré les résul ta ts obtenus sont i c i t rès sa t i s fa i san ts .

La f igure 48 montre les résu l ta ts obtenus pour les contraintes tangen-t i e l l e s le long de l ' a rc OP. Pour les t r o i s types d'éléments considérés nous pouvons constater la bonne concordance des résul ta ts avec la so lu t ion de référence.

Dans le calcul de ce type les éléments de coque épaisse à 8 noeuds semblent plus performants que les éléments à 3 et 4 noeuds (DKT et DKQ).

Tout d'abord, comme nous l 'avons déjà indiqué, ces structures sont t e l l e s que de nombreux éléments (âme) ont un comportement dominant de membraae. Or, les éléments à 8 noeuds, pour lesquels les termes de r i g i d i t é en membrane sont déterminés à pa r t i r d'une in te rpo la t ion quadratique des déplacements, ont un mei l leur comportement en membrane, que les éléments a 3 et 4 noeuds, pour lesauels ces termes sont calculés à p a r t i r d'une - . in te rpo la t ion l i néa i re des déplacements.

De pi us-"'pour les éléments à 3 et 4 noeuds, la cont inu i té des déplacements n 'est pas assurée le long des arêtes de connection âme-hourdis.

En effet le déplacement cubiaue des arêtes des éléments des hourdis correspond au déplacement l inéaire des éléments des âmes. Ce problème n'est pas rencontré avec les éléments de coque épaisse à 8 noeuds pour lesauels toutes les composantes du déplacement ont le même degré d ' interpolation.

Les avantages présentés par les éléments de coque épaisse pour le calcul de structure de ce type ne condamne pas pour autant l ' u t i l i s a t i o n des éléments à 3 et 4 noeuds. Comme nous l'avons déjà indiqué les résultats obtenus avec ces éléments peuvent être tout à f a i t satisfaisants. De plus i l s présentent l'avantage d'être d'une ut i l i sa t ion plus fac i le .

PI anche 5

Caisson circulaire soumis à une charge concentrée

KV7 Jr—

M T ^ T ^ _ _

°v-Jr 1

E = 4 x l O J

P = 20

v = 0 , 3 6

ps i

1b 0.237

-R=51mch-

18iinch

¡21 inch

1=2^ :0246

02 6 iQf95

PI anche 6

Typesde maillage considéré atfec les éléments à 3 et 4 noeuds

• •—• •- • •—•—»

A

• •

• • • •—•—•

• •

:: B

• •

5 tranches

10 tranches

Planche 7

Typende mailiage considéré avec les éléments à 8 noeuds

• A- i* •

• ¿ • / • ¿ • * »

-• * •-

D

» / » • 1' •

E

• t • / • ¡' • t m >{ #

• noeuds sommets

/ noeuds mil ieux

5 t r a n c h e s

w 0.2

0.1

i n o A

•


expéri ence

mai 11 age lOxB

mai 11 age 5xB

mai 11 age 5xA

mai 11 age lOxA

\

\ \

XX o Sx \

8<V

Xx X

20 o , o 4? e°(

Fig. 40 : Déplacement suivant l'arc IJ

(éléments à 3 noeuds : DKT)

w 0.2

O

A


expéri ence

mai 11 age lOxB

mai 11 age lOxA

mai 11 age 5xB

mai 11 age 5xA

0.1

\ \

^ \ \

» \ \

\

^ \

- \ \

20 45 er

•F ig . 41 : Déplacement s u i v a n t l ' a r c I J

( é l é m e n t s à 4 noeuds : DKQ)

w 0.2 •

•

O


expéri ence

mai 11 age 5xF

mai 11 age 5xE

mai 11 age 5xD

mai 11 age 5xC

O.i

\ \ \

•x \ \

\

K NN

• \ \

^ 20 ¿ s ©

F i g . 42 : Déplacement s u i v a n t l ' a r c IJ

( é l émen ts à 8 noeuds : C8)

-80

• A

/A A

A ' A

-40

A A


mai 11 age lOxA

mai 11 age 5xA

-9

K

130

60

•

A

0

-6

M

solution de reference

mailiage 10 x A

m a i 1 1 a g e 5 x A

N

ig. 43 : Contraintes tangentieVI es-Maillage A


-80

-40 A

A A

*\

A

130

A A

A

mai 11 age lOxB

mai 11 age 5xB


-9

K L

60

A

A

0

solution de reference

mailiage 10x8

ma i 11 age 5xB

-6

M N

Fig. 44 : Contraintes tangentiel 1 es-Ma i 11 age B


-80

•

-20

•

a


mai 11 age lOxA

mai 11 age 5xA

-9

K

130

\

60

•


mai 11 age lOxA

mai 11 age 5xA

o «6

M N

Fig. 45 : Contraintes tangentiel1 es-Ma i 11 age A

(éléments à 4 noeuds : DKQ)

-80

A

-40


mai 11 age lOxB

ma i 11 age 5xB

-9

K

130

60


mai 11 age lOxB

ma i 11 age 5xB

o -6

M N

f i g . 46 : C o n t r a i n t e s t a n g e n t i e l l e s - M a i l liage S

(é lémen ts à 4 noeuds : DKT)

-80

-40 •

S

O

•

•


mai 11 age 5xF

mai 11 age 5xD

mai 11 age 5xE

mai 11 age 5xC

-9

K

130

60

O

D


m a i 11 a g e 5xt

ma i liage 5xF

ma i 1 1 age 5xD

ma i 11aqe 5xC

-6

M N

-Fig. 47 : Contraintes tangenti el 1 es-Mai 11 age C D E F

(éléments à 8 noeuds : C8)

100

50

•

a

0

a

Ù.

solution

mail läge

mail läge

mai 11 age

de référence

5xD

lOxA

lOxA

a

(C8)

(DKT)

(DKQ)

0

20 tí

Fig . 4-8 : Containtes tangentiel les suivant l ' a rc OP

S. STRUCTURE DE TYPE BARRAGE VOUTE

Les planches 8 et 9 déf in issent les caractér is t iques de la structure de type barrage voûte considérée dans ce paragraphe. Cet exemple a déjà été par de nombreux auteurs | 36 j , |39| , | 40 | , I 411

La solut ion de référence que nous u t i l i serons sera basée sur les résu l ta ts obtenus par Ergatoudis e t al 1411 par un calcul éléments f i n i s effectué à l ' a i de d'un maillage d'éléments, isoparanétr i ques tr idimensionnels à 20 noeuds.

Nous comparerons dans ce paragraphe les résu l ta ts obtnus par t ro i s modélisat ions. La première u t i l i s e un maillage const i tué d'éléments de coque épaisse à 8 et 6 noeuds, la deuxième un maillage consti tué d'éléments à 3 et 4 noeuds tandis que la troisième emploie un maillage const i tué d'éléments de coque épaisse de type tridimensionnel à 16 et 12 noeuds.

La f igure 49 indique les résu l ta ts obtenus pour le déplacement radial suivant l 'axe z pour chacune-des t r o i s modélisations effectuées.

Les f igures 50 et 51 montrent les résu l ta ts trouvés pour les contraintes tangent ie l les et les contraintes ver t ica les le long de l 'axe z.

Sur chacune de ces troi-s courbes nous pouvons noter la très bonne concordance de tous les résu l ta ts obtenus avec la solut ion de référence.

Ces très bons résul ta ts peuvent s 'expl iquer i c i par le f a i t que la structure considérée est simple à la fo is par sa géométrie et par le chargement imposé.

Planche 8

Barrage voûte

:2xlOy kgf/m2

R i n t =43,25 m

Rext = 4 6 ' 2 5 m

v =0,15

z

Planche 9

O' STB' 13*13' 22*05' 30*55' 39*45' 48*35' S3*

30i

25

20

15

10

5

OJ •>

»

-f I

Mai 11 age u t i l i s é avec les éléments à 3 et 4 noeuds

30

25

20

15

io r

S"38' 13*15' 22*05' 30*55' 39*45' 48*35' 53*

0^ i-

5i •• / I

Mai 11 age utilisé avec les éléments à 8 et 6 noeuds

(face du maillaae constitué d'éléments à 16 et 12 noeuds'

: so lu t ion de référence

: éléments H16-P12

: éléments C8-C6 : éléments DKQ-DKT

• /

.r

30

75

A 15

• •\

\ ,

^1 - 4 -2

Fig. 49 : Déplacement radial suivant l 'axe z (section médiane)

côté eau /

r

ml

* \

-30 -20

\Q

?

30

côté a i r

20

: so lut ion de référence

: éléments H16-P12

: éléments C8-C6

: éléments DKQ-DKT 10

•Q ^ O

-10 0 10 20 - 6 t

Fig. 50 : Contraintes tangent ie l les suivant l 'axe z (section médiane)


D

éléments H16-P12

éléments C8-C6

éléments DKQ-DKT

côté eau

-UM-

30

;

• \ côté air

20 •

•*£ -60 60

Fig. 51 : Contraintes verticales suivant l'axe z

(section médiane)

IV - COMPORTEMENT OES ELEMENTS OKT - DKQ ET DE COQUE EPAISSE A 8 NOEUDS

DANS LE DOMAINE DYNAMIQUE.

Pour v é r i f i e r l ' ap t i tude des t r o i s types d'éléments considérés à t r a i t e r Tes problèmes dynamiques, nous avons dans ce chapi t re calculé les premières fréquences propres de t r o i s structures pour lesquel les nous disposons de solutions analytiques ou expérimentales.

La première structure considérée est une plaque carrée simplement appuyée dé f in ie par la planche 10. liés tableaux 1 , 2 et 3 indiquent les résul ta ts obtenus pour 1-es modes

~*Cî;i), ( 1 ,3 ) , (3,1) et (3,3) avec d i f fé ren ts maillages d'éléments à 3, 4 ou 8 noeuds.

:Nóüs pouvons remarquer que pour tous ces éléments les résu l ta ts convergent de manière sat is fa isante vers la solut ion de référence j 42rl • r,~ | 211 .

-La seconde structure considérée est une plaque rectangulaire, encastrée (planche 10). Cette plaque a été étudiée expérimentalement au Laboratoire Central des Ponts et Chaussées pour Mesta j 43j .

La troisième structure étudiée est une port ion de coque cy l indr ique (planche 9) pour laquel le i l existe également des résu l ta ts expérimentaux | 291 . Les tableaux 4 à 7 indiquent les résu l ta ts obtenus-dans l 'é tude de

ces deux structures par les t ro i s types d'éléments considérés.

Nous pouvons également constater i c i que les résu l ta ts obtenus concordent bien avec les solut ion de référence.

Planche 10

Plaque carréee simplement appuyée sur tout son contour

a

E

h

a

v

P

10J

0,01

1

0,3

0,91575

a

Plaque rectangulaire encastrée sur tout le contour

L =

1 =

h =

E =

v =

P =

0,18 m

0,13m

6xl0 - 4

m

2 ,07xlO1:L

0,3

7700

Portion de coque cylindrique : Test de Mac Neal

30,48

60,96

0,3048

2 ,06xl09

0,3

0,007876

0 ,5 rad

TABLEAU 1

Analyse dynamique d'une plaque carrée

simplement appuyée


Modes

(1,1)

(1,3)

(3,1)

(3,3)

Nombre d'éléments

8

433,24

14 486

19 182

42 467

18

409,47

12 844

14 654

46 198

32

400,72

11 530

12 414

41 137

Expérience .._

\i. = 389,64

\2 = 9 740,91

X3 = 9 740,91

XM. = 31 560,55

TABLEAU 2


simplement appuyée


Mode

(1,1)

(1,3)

(3,1)

(3,3)

Nombre d'éléments

4

435,36

18 966

18 966

67 522

9

409,43

14 021

14 022

48 205

16

400,6

12 022

12 022

40 336

64

392,30

10 267

10 268

33 551

Solution Analytique

\i = 389,64

X2 = 9 740,91

X3 = 9 740,91

Xk = 31 560,55

TABLEAU 3


simplement appuyée


Mode

(1,1)

(1,3)

(3,1)

(3,3)

Nombre d'éléments

4

395,10

12 828

12 828

77 470

9

389,63

9 983,0

9 983

46 029

16

389,4

9 777,5

9 777,5

32 916

64

389,36

9 709,9

9 710

Solution Analytique

\i =• 389,64

X2 = 9 740,91

X3 = 9 740,91

31 371 \\u » 31 560,55

TABLEAU 4

Analyse dynamique d'une plaque rectangulaire

encastrée sur tout son contour


Mode

(1,1)

(1,3)

(3,1)

(3,3)

Nombre d'éléments

12

249,9

734,05

1 290,04

1 526,2

48

249,7

693,61

1 232,5

1 575,4

108

249,42

680,51

1 172,6

1 533,3

Expérience

248,5

691

1 096,5

1 498

TABLEAU 5




Mode

(1,1)

(1,3)

(3,1)

(3,3)

Nombre d'éléments

6

257,12

772,43

1 357,5

1 836,6

24

251,34

697,64

1 247,0

1 636,7

54

250,11

681,62

1 177,6

1 560,7

Expérience

248,5

691

1 096,5

1 498

TABLEAU 5




Mode

(1,1)

(1,3)

(3,1)

(3,3)

Nombre d'éléments

6

339

929,05

1 318,6

1 870,7

24

250,84

686,29

1 137,7

1 535,7

54

249,16

669,9

1 120,2

1 485,6

Expérience

248,5

691

1 096,5

1 498

TABLEAU 7

Analyse dynamique d'une

por t ion de coque cy l indr ique

(Test de Mac-Neal)

Expérience

16 C 8

64 C 8

16 C OKQ *

36 C4

OKQ

32 C, DKT J

72 C-DKT J

86,6

85,9

85,4

87,6

87,6

101,8

97,69

135,5

139,06

138

138

140

156

153,60

258,9

249,05

246

272

257,6

302

271,04

350,6

346,7

340,8

353

356,8

370

384,55

295,2

403,69

384,27

387

394,8

422

422,46

531,1

547,4

527,4

617

577,1

618

579,39

743,2

754,28

725,08

792

782,7

749

793,02 — . — —

CONCLUSION

Nous avons noté dans l ' i n t r oduc t i on de ce t rava i l que les éléments de plaque en f lex ion à 3 noeuds (DKT) et 4 noeuds (DKQ) basés sur les hypothèses de Love-Kirchhoff sous forme discrète semblaient être à l 'heure actuel le parmi les plus performants. Ce jugement s 'appuyait essen t ie l lement sur les a r t i c l e s de Batoz | 19 | , | 20 | , | 21 | .

Les tests numériques que nous avons effectués dans ce t r a v a i l confirment les très bonnes performances de ces éléments dans le calcul de plaques en f l e x i o n .

En superposant la prise en compte des e f fe ts de membrane aux e f f e t s de f l e x i o n , Bathe et al | 31| ont pu t e s t e r e e comportement des éléments à 3 noeuds (DKT) dans le calcul de structures.-coques. Cet élément a a ins i récemment été implanté dans le programme ADINA. Les tests effectués dans cet a r t i c l e sont néanmoins relativement incomplets.

Nous avons contr ibué à compléter ces travaux en étendant tout d'abord la formulat ion des éléments DKT et DKQ pour 'permettre le calcul de structures coques de forme quelconque et d'épaisseur var iab le . Grâce à une sér ie complète de tests numériques nous avons ainsi val idé la formulat ion effectuée et montré que les résu l ta ts obtenus tant en déplacement qu'en contraintes sont sa t i s fa isan ts .

Le comportement des éléments de coque épaisse à 8 noeuds a déjà été étudié par de nombreux a r t i c l e s I 1 à 181 . L a plupart de ces a r t i c l e s se polar isent néanmoins sur les problèmes d ' in tégra t ion nunérique. De ce f a i t , les tests considérés ne portent souvent que sur les résu l ta ts en déplacement. Grâce à la série complète d'exemples abordés dans ce t r a v a i l , nous avons pu a ins i compléter ces publ icat ions. Nous avons pu a ins i confirmer que ces éléments sont tes adaptés au calcul de structures épaisses. De plus, i l s semblent très performants dans le calcul de structures de type ponts à caisson. Ceci s 'expl ique par leur bon comportement en membrane et par le f a i t qu ' i l s assurent parfaitement la cont inu i té des déplacements l e long des l ignes in tersect ion des hourdis et des James.

Nous avons montré que les éléments de coque épaisse de type t r id imensionnel à 16 noeuds ont également un bon comportement (barrage). Néanmoins leur u t i l i s a t i o n p ra t i aue est plus lourde (génération de mai 11 age . . . ) et leur emploi sera réservé aux calculs de structures coques comportant des part ies massives devant être modélisées par des éléments t r id imensionnels.

Pour compléter ce t r a v a i l , i l nous^sembl e r a i t intéressant d 'e f fec tuer des recherches supplémentaires pour améliorer le comportement en membrane des éléments à 3 et 4 noeuds. De plus comme nous l 'avons noté dans l e paragraphe I I I . 1 , l 'ob tent ion de résul tats sa t is fa isants pour les cont ra in tes de c isai l lement transverse ( " e f f o r t tranchant") est relativement dé l i ca te . Des études semblent également i c i nécessaires pour mieux appréhender ce phénomène.

Bibliographie

L X J AHMAD S . , IRONS B . M . , ZIENKIEWICZ O . C . , "Analysis of thick and thin shell stmxctures by curved finite elements".

I n t . J . f o r Mum. M e t h s . i n E n g n g . , V o l . 2 , 4 1 9 - 4 5 1 , ( 1 9 7 0 ) .

[ 2 J ZIENKIEWICZ O . C . , T A Y L O R R . L . , TOO,J . H . , "Reduced integration technique in general analysis of plates and shells".

I n t . J . for Num. Meths. in Engng., Vol. 3 , 275-290, (1971) .

[3 J PAWSEY S.F., CLOUGH R.^i., "Improved numerical integration of thick shell elements".

Int. J. for Num. Meths. in Engng., Vol. 3, 575-586, (1971).

[4J PUGH E.D.L., HINTON E., ZIENKIEWICZ O.C., "A study of quadrilateral plate pending elements with reduced integration".

Int. J. for Num. Meths. in Engng., Vol. 12, (1059-1079) (1978).

[5J HINTON E., SALONEN E.M., BICANIC N., "A study of locking phenomena in isoparametric elements".

pp. 443-447 or J.R. .Whiteman (Ed.). "The mathematics of finite elements and applications III", MAFELAP 1978, Academic press, LonOon, (1979).

[5 J RAMM E. "A plate/shell element for large deflections and rotations".

in "Formulations and computational algorithms in finite element analysis", Bathe K.J., Oden J.T., Wunder!ick W. (eds), M.I.T. Press (1977).

[7J PARISH H. "A critical sur^jey of the 9 node degenerated shell element vith special emphasis on thin shell apvlica-tion and reduced integration".

Comp. Meths. in Appl. Mechs. and Engng., 20, (1979), pp. 323-350.

[8J BOLOURCHI S., BATHE K.J., "A geometric and material non linear -plate and shell element".

Computers and structures, Vol. 11, pp. 23-48, (1980).

[9J ZIENKIEWICZ O.C., HINTON E., "Reduced integration , function smoothing and non comformity in finite element analysis (with special reference to thick plates)".

Journal of the Franklin Institute, Vol. 302, N° 386, (Nov., Dec. 1976).

[10J HUGHES T.J.R., TAYLOR R.L., KANOK NUKULCHAI W., "A simple and efficient finite element for plate bending".

Int. J. for Num. Meths. in Engng., Vol. 11, 1529-1543, (1977).

[11J HUGHES T.J.R., COHEN M., HAROUN M., "Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis of plates".

Nuclear Engng. and Design, 46, 203-222, (1978).

[12J HUGHES T.J.R., COHEN M., "The 'heterosis' finite element for plate bending".

Computers and Structures, Vol. 9, 445-450, (1978).

[13J MAC NEAL R.H., "A simple quadrilateral shell element"

Computers and structures, Vol. 8, 173-183, (1978).

[14J PARISH H., "Geometrical non linear analysis of shells".

Comp. Meths. in appl. Mechs. and Engng., 3, (1974), pp. 237-253.

L15J

I 16] NOR S. "Etude et réalisation d'un élément de coque d'Ahmad"

Thèse de Docteur-Ingénieur présentée à l'Université de Technologie de Compiègne, (Juin 1978).

[17] ''' FEZANS G. "Analyse linéaire et non linéaire géométrique des • coques par éléments finis isoparamétriques tridimensionnels

dégénérés".

Thèse de Docteur-Ingénieur présentée à'l'Ecole Nationale ,,, : Supérieure de l'Aéronautique et de l'Espace de Toulouse,,,;-(Janvier 1981). ,;-

[18] FEZANS G., VERCHERY G. "Some results on the behaviour of--Degenerated Shell (D.S.) elements".

Nuclear Engng. and Design 70, (1982), 27-35.

[19] BATOZ J.L. "Evaluation of a new quadrilateral thin plate bending element".

Int. J. for Nun. Meths. in Engng, vol. 18 (1655-1677). (1982)

[20] BATOZ J.L. "An explicit formulation for an effec-ient triangular plate bending element".

Int. J. for Num. Meths. in Engng, vol. 18 (1077-1089). (1982)

[21] 3AT0Z J.I., BATHE, LEE-WING HO. "A study of three-node triangular plate bending elements".

Int. J. for Nun. Meths. in Engng, vol. 15 (1771-1812). (1980)

[22] 3AT0Z J.L. "Analyse non linéaire des coaues minces élastiques de fo-^me arbitraire par éléments triangulaires courbes".

Thèse Université de Laval, département de Génie-Civil, Québec, Mars 1977.

[23J GALLAGHER R.H. "Shell elemente",

World Congress on finite methods in structural mechanics, Bournemouth, Dorset, Englend, (1975).

[24J ZIENKIEWICZ O.C. "The finite element method"

Mc. Graw-Hill, 1977.

[25J ZIENKIEWICZ O.C, réf. 24 , p. 239-355.

[26 J MINDLIN R.D., NEW YORK N.Y., "influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plate"

J. Appl. Mech. 18 (1951) 31.

[27 J CARNOY, LASCHET "Element de coque isoparamêtrique"

Rapport LTAS SF-108, Novembre 1982. Laboratoire d'Aéronautique de l 'Un ive rs i té de Liège.

[28J MASSON, BESNIER "Comparaison de différents éléments finis de flexion dont l'élément quadrangülaire de SAPTV".

Docunent de la CISI.

[29J PARISH H. "Thick shell elements".

Rapport ASKA UM 214. I n s t i t u t Fur Stat ik und Dynamik der Luft-und Raumfahrtkonstrunktionen, University of S tu t tg ra t .

[30J GUELLEC P. , HUMBERT P. , RICARD A. "La méthode des éléments finis et le système Rosalie".

B u l l . Liaison Lab. P. et Ch. n° 81 - Ref. 1801.

[31J BATHE and LEE-WING HO. »A simple and effective element for Analysis of general shell structures"

Computer and Structures vol. 13 - pp. 673-681 (1981).

[32J LINDBERG, M.D. 0LS0N~'and COWPER. "New développements in the finite element analysis of shells".

Cité par BATHE 31 .

[33J BOLOURCHI "On-finite element non linear analysis of general shell structures".

P.H.D. Massachusettes Institute of Technology (May 1979).

[34J ADEL R.M. FAM.and C. TURKSTRA "Model study of horizontally Curved box girder"

Journal of the structural division. ASCE, V. 102-: ST5 May 76 pp. 1097-1108.

[35J I.K. ANEJA, And F. ROLL "Model analysis of Curved box-beam highway bridge"

Journal of the structural division. ASCE, V. 97 NO ST12, December 1971, pp. 2861-2878.

[36J WORSAK KANOK-NUKULCHAI "A simple and effecient finite element for general shell analysis".

Int. J. for Num. Meths in Engng., Vol. 14, 179-200 (1979).

L37j B0UBËRGUIG, JIR0USEK "A family of Special purpose elements for analysis of ribbed and reinforced shells".

Computers and Structures, Vol. 12, n° 2, Dp. 253-264 (1980).

[38J 30UBERGUIG "Calcul des aoaues nervurêes st précontraintes par éléments finis avec pré st post-processeur".

Anales de L'ITBTP. n° 422 Fév. 1984.

[39J ERGATOUDIS, IRONS, ZIENKIEWICZ "Three dimensional analysis of arch dams and their foundations".

Proc. Symp. Arch. Dams, Inst. Civ. Engng. London pp. 37-50.

[40J AHMAD S., IRONS B.M., ZIENKIEWICZ O.C., "Analysis of thick and thin shell structures by Curved finite elements"

Int. J. for Nun. Meths. in Engng., Vol. 2, 419-451 (1970).

[41J ERGATOUDIS "Three dimensional analysis of arch dams by the finite elements method".

Report to arch Dam Committee of Instr. Civ. Engrs, AD/1735, 1966 (Nov) and AD/1745, 1966 (Dec).

[42J TIM0SHENK0, W0IN0WSKY-KRIEGER "Theory of plates and shells"

Mc. Graw-Hill book Company.(1959)

[43 J MESTA "Etude du comportement dynamique des plaques avec défauts".

Thèse de Docteur-Ingénieur présentée à l'Ecole des Ponts et Chaussés (Octobre 1983).

[44J DHATT, T0UZ0T "Une présentation de la méthode des éléments finis"

Les Presses de l'Université Laval - QUEBEC Maloine S.A. Editeur Paris.

[45J IMBERT J.F. "Analyse des structures par éléments finis".

CEPADUES Editions," 1979.

ANNEXES

Annexe

Annexe

Annexe

Annexe

Annexe

Annexe

Annexe

1

2

3

4

5

6

7

Element de transition.

Fonctions d'interpolation.

Matrice B.

Points d'intégration 12 et 16 noeuds.

Matrice [Rj et [R*J .

Matrice [AJ .

Matrice |_L j .

Annexe 1

Eléments de t r a n s i t i o n .

Ce sont des éléments isoparamétriques tr idimensionnels dont le nombre de noeuds est compris entre 8 et 20. I l s assurent la connection des éléments massifs et des éléments de coque épaisse.

f ê lëmen t de base u t i l i s é pour construire ces éléments de t rans i t i on est l 'élément à 20 noeuds. :••-•:'-••

1116

A l 'except ion des 8 noeuds sommets on peut supprimer n'importe lequel des noeuds de cet élément de base pour construire un élément de t r a n s i t i o n .

Exemple :

X : indique le noeud que l 'on a supprimé. PEC/i

\ö \DOCl i , - . :L , \ rA7U,V / .

V - A /•:-,

Annexe 2

1) Hexaèdres

Les fonctions d ' in te rpo la t ion (H.¡) d'un élément à 20 noeuds, des éléments

de t rans i t i on et de coque épaisse à 16 noeuds s'obt iennent de la manière suivante :

avec

ou

^ Pour les noeuds mi l ieux d'un élément à 20 noeuds on a

H1 = g1 i = 9,20

g1 = G ( r , r | ) , G (s , s i ) * G ( t , t.¡ )

1 + G ( ß , ß . ) = 7 (1 + ß ß . ) pour ß. = - 1

i . . 2 G ( ß , ß ^ = 1 - ß pour ß . = 0

- Les fonctions d ' i n te rpo la t ion des noeuds sommets de l 'élément à 20

noeuds sont obtenus en retranchant à la fonct ion g1 ( i = 1,8) la demi-somme des fonctions d ' in te rpo la t ion des noeuds adjacents.

Exempl e

1 1 1 9 15 13 H = g - ? (g + g - g )

Pour un element à 20 noeuds les fonctions d'interpolation sont ainsi :

M° Noeuds N° Noeuds

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1/8 (l-r)d-sHl-t)

1/8 (l+r)(l-s)(l-t)

1/8 (l+r)(l+s)(l-t)

1/8 (l-r)(l+s)(l-t)

1/8 (l-r)(l-s)(l+t)

1/8 (l+r)(l-s)(l+t)

1/8 (l+r)(l+s)(l+t)

1/8 (l-r)(l+s) (1+t)

1/4 (l-r2)(l-s)(l-t)

1/4 (l+r)(l-s2)(l-t)

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1/4 (1-r2

1/4 (1-r)

1/4 (1-r)

1/4 (1+r)

1/4 (1+r)

1/4 (1-r)

1/4 (1-r2

1/4 (1+r)

1/4 (1-r2

1/4 (1-r)

( l + s ) ( l - t )

l - s 2 ) ( l - t )

l - s ) ( l - t 2 )

l - s ) ( l - t 2 )

l + s ) ( l - t 2 )

l + s ) ( l - t 2 )

( l - s ) ( l + t )

l - s 2 ) ( l + t )

( l+s) ( l+ t )

l - s 2 ) ( l + t )

Les fonctions d ' in te rpo la t ion des éléments de t rans i t i on et des éléments

de coque épaisse à 16 noeuds s'obtiennent tout simplement en donnant g1=0 si le noeud i n 'existe pas.

2) Pentaèdre à 12 noeuds (coque épaisse) :

H;

1 2 3 4 5 6

- r ( l - 2 r ) a - s ( l -2s )a - \ ( l - 2 \ ) a - r ( l -2 r )b -s ( l -2s)b

-V(l-2\)b

7 8 9 10 11 12

4rsa 4s\a 4r\a 4rsb 4sxb 4rx.b

3) Eléments de coque mince à 3 et 4 noeuds : DKT et DKQ

a) Elément DKT

N 1 = 1

b) Eléments DKQ

Ni =

N, =

1/4 ( l - s ) ( l - r )

1/4 ( l - s ) ( l + r )

1/4 ( l+r) ( l+s)

1/4 ( l + s ) ( l - r )

»s 4 3

r »

4) Eléments de coque épaisse de type surface moyenne à 6 noeuds :

Hr =

Hc =

- r ( l -2r)

- s ( l - 2s )

-\(l-2x)

4rs

4s (1-r-s)

4r (1-r-s)

5) Elements de coque épaisse de type surface moyenne a 8 noeuds :

Hl

H2

H3

H4

H5

H6

H7

H8

=

=

=

=

=

=

=

=

-1/4

-1/4

-1/4

-1/4

1/2

1/2

1/2

1/2

(l-r)(l-s)(l+r+s)

(l+r)(l-s)(l-

(l+r)(l+s)(l-

(l-r)(l+s)(l-

(l-r2)(l-s)

(l+r)(l-s2)

(l-r2)(l+s)

(l-r)(l-s2)

-r+s)

-r-s)

i-r-s) 4

1 8

i

k 5

7 3

* _

1

Annexe 3

Expression de la matrice [BJ pour les éléments de coque épaisse de type tr idimensionnel à 16 et à 12 noeuds.

On a U l - LB ! {u]

Pour déterminer l 'express ion de cette matr ice, nous procéderons en 3 étapes :

a) Nous exprimerons tou t d'abord l e vecteur déformation {e} en fonct ion des dérivées du déplacement par rapport aux coordonnées cartésiennes.

Nous avons en e f f e t :

d'où :

eij 4 ( V W x i ) p

{ * } • LAj

LAj v o i r Annexe 6.

U l 5 x 2

J J i , x 3 J U 2 , X l

l

t

U3 lx3

_Aj {UX}

b) Nous exprimerons ensuite les dérivées des déplacements par rapport aux coordonnées cartésiennes, en fonction des dérivées des déplacements par rapport aux coordonnées curvi l ignes r, s, t nous pouvons écr i re :

U.,x3

Vr

U i ' t

où J " est l ' i nve rse de [J

x^ ,r x2if"

*i 5t x2 ,t

x 3 , r

x 3 , s

x 3 , t

r< ^>Uo * J J Ü > V ) aSbers :

-,±V*3__

-^V X f -

Av x.

v ^ ! , ^ j

T--J-v-

4 • r L -

T - I

l_

tU,r

_fuv^ E

"tu.T ' * >

-J-fl-

'. 3* L _ ~ 1 '""" ~î *.X 1 1 ~<3* "LT

C) N^td ';< H^^'-SU^-i A& Ó/L\fS*.^u^i^v's .'p-F --t" rsJp;£<7fT <*>«-*.

_Ui\ P A .r

u=0~v-^ <2 > o ^ - A tsSi. \J- '-oJU^ l .

U A , r ^ U«, ¿

.".SU: ~ -Uv,VU

w-

t fcC=-jJ=l__

UsJL V

SÄ 3£E

k L _ ^ _

0uA--»7r )kA>t>Xg dp Aidk^~3p ï ôkuJ>.

- /

J5Ü J3TS*_ßZZ3rSOZI

:fo_£Ç-rcltî4

w -*£ •=r

-Sitó4-C 1tfr ±ÜL_J_

;^r:-[:slrtí H'

.—K_

•U-tVt—H^ t- *Vfe V

.tí, r.

^.ut r x _ Í^J

d; (SX-

Si nexe V

J] ,£p ÍM^ ._dt_ _ £a«/A. ¿ t u « ^ L t f r ' f f r .W^ -

^ _

i .

?r

'î i

._.r__.l ñ

À -+• r,—=\* T V3

-^iff-

_ü___ 0 \J •

A.

StrJs- >i. /% \ Sa ) /*•

_ . ... __ . . _ .. . . .

- - . . •. «fc-Jfi .

*"""**""

^

¿ij. _ boudfc d _u/»_l e__W.cckrfw, H<^ÛA<7

X «Jsvdl-- ^ N ^ - - -

.hL_To\ h 5 _¿_-Cwi:g^y^-ka^_<ÍH«^ o*— .Jn.Q.u u cl._-_ :

-c Y-r*'-£- -Vrí-%- 4 ^ £i

Í

ct*>i_C

o.r o , uu r3 tS^ o 5 ^ fir

.3>j-5wvc<iY>.pv.\jîf - fyuLûJ^yjjL ..u'b.iu'scL

- —

_ E . ^ 2 , W J L M J C _ _ . .

XtCMAA¿K-<V\-

Coftui ^täfuStfi. : B ^ T^T

uJë^y\4\itfVt VxOfttaAJÜL Í

_CbauuLÍiPaAM^-i HL& ^ 1 ^ ,

LuJÎe^«^ ÎÙAlÙh

CûSLVJUL-SJûaùAS. <U-_4->Ayj. p^JâJLc^lM.^'îit*

Ca£)\iJ V*.i*vC^-

D < 0 > r i. ~ >~ *"}

"_i_r.„. X

~1Z2~"~

^

1

£>

_ _ _ ^ _ _

1 ^

1-A-

_. _2>I „ _"

3

¿ y

. . . _ ^ . _ _

3

Ttr~~ :

_ J2>L ...

2>

2 / ^

- - * < - -

A> w»íf¿i ji

. - _.. —

.tXß.l4AL*-fe_.

:;::iU2zzz::

.n^_(JU--^r>

"CG

S

£

i

-2/__

¿/

£w--• ^ U ^ u À .

"5 V\ *JL . *4_

R3 «J- LÉ£i

"sr:'"d; 1 r -

t _cb__

i^-

LA,flt

1

icf^Z—Il_^^ £T^~1—^—íí—<U**A4——íîî, zv¿i±^ti-—

clcl 15: Ci^-tC^Ji d^ gj.-fe4.4g. ^.Cj^t^Cg-.

S-L-'fâ^JIIl-'—"

jSifeAJL AA -^fi^Gu .^-( j / iOU

"wr jircx" ÛWM^ —4A

JZtítUii •ggpy^

-OU- _\¿i_^Z^_)__\Zs eX_jfc Es e ^ _ I ^ U ¿ U S L _ —P^-

\L-JJt?.«*J=. 13- _£^*._rr 3C — C^. "E /i^r~y «L Cji jL.—as-yz,^. W

gj.-fe4.4g

Annexe 6

Matrice A

"1 0 0 0 0

.0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 J.

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0" c 1 0 0 0 .

Annexe 7

Matrice L

• r

HÏ.

O

O

O O

o

o

0

0

0

•í,

0

0

0

0

' r

H..

O

O

O

t _K ,,K .y. r 1 e H^r v¿ 3

2 e H , s V 3 3

t K. .K .,K T e H V 3 3

r 7 e H^ r Vr32

7 e M ' S v 3 2

1 K . X ,,K Y e H V 3 2

t K ,,K „IN

2 e H > r v 3 3

"t _K „K wK •5- e H > s

v 33 1 K UK UK y e H Y3 3

t K UK „K e H';_ Y 3 1

"2 e M > r v 3 1

| e K H * p v $ 2

1 K K ..K 7 e H Y 3 2

t K .X .X 7 e H > s V 3 1

I K K K — H Q V - , 2 v ; i

O

O

O

A~r ( . U l i i <. > ¿ u r

i V n i - -

A. JL.6Íh_C& **

.. -xc^ar

zzz x- zz~~_

_ . .1V 3 3 ^

;d7c¿r.".. _Z / 6 > y £6 j "

-5 l f 3?: f

4.

AL r( fctj"

/ / / /

O / .zr ,i.--r T-T u r j

/ \ / \

±

. . T l . .

. ._ Û« . _

4M 2

A1«X

A,Si"i)

vu 3 ^ >iU £*3

3, M 3

" r

1 ' . n

- - - ^ v — t&VU~ - -

loa, .1:1

tó,jr_...ZZZZ

mtur ZZ3.Z¿SZZ

, ? . V l 4 i l

i b , ^

- -

_ ^LM,_3_

.W3,€i*

ái3i_o£r_

Z~~Z,&33l-r~Z

^r^ojf. _

94, If

^'r, i V

Z c i

, i . l .1-5 3--1 :.j

*• / V -/ Y ¿ C ' ^ o r S i" fo "Ü" '

... " ^

_ _ & ..

/\|OXZ

,<toi">

¿KÍZ

4,°IU3

MC ..

Vr>

3y e ) ^ S

l ^ L ?

r

-

. . ^ - . . .

- . ; W i ^ 3

^\lr.

jllfê

Àir^r

_ . _ AtÁLd/——^. __-fa.6,_3r.

. „ „ ^ o i r ^ . x î - ^ - ^ r

Zll,.íi¿

T.ZP^ÇIÎ '.";Z_. Avk-t-U,

A ¿Jot i l

-(oí , S i "

AHC,^

J, c i l

¿So, CS

-

- -

—

— .

.EÄelowJ- * l 'Hio dlj: t ?

A

r"zr~v__ i i .. '..'i^ir~

; < " " "

.....ik

!Oo**.*o'\ß

3

IIS"" II iiü""ri .Àkii _.

IrTjLII Ç Q¿U»A*AI, «C" l^ jU «i-» ¿ 0 > }

J_'___

~k

_Zl3^ZZ

' " "JU «4

3

""TL"

::_^^.i

"~V%Z~ '~

ÀÎV

C W t (Irr

I1I7/7ÍXJ.IIT

J¿LU_

¿ U r A__o

~ " Á, l i ? ' . '

IZZISIö_r IZ_

._ . >i, >9 4 A ^ 0

E K w u ^ s . * 3 VöUd, '. b < T..

fc

?

' ; *

Zl/

3

À i

r T

k %

yl, t ^ ?

. M € 3

À / 3 f

CJUciroLe. Ut***, joC*~<-

Qy_l<_D_ i 0 3 2

7">7¿ÍT-oIvÍzII

_..o,A-2:U 3? o, i^ yi^

\TÓLM.I5ZLTTZZ..

_....o(. i^J-rS " " o, ¿tu urj

Z_o, U^IU. I."

O ^ Û Ê D

0 , ^ 0 ^

.T

o; 4/< & ; r

o¡ k o f r 3

•£?, w C 6 3 ) ' "

O/ wO ¿£f £

- —

—

J¿J.uu2u4 _ CaWuií- W^vû-AuJf CLiôpîO.

- J A - ¿ o o

—

—

—

-

--

—

--

--.

EtoLûJfcs -¿ t <VC!UJJO ¿ a i

_ NJ«*i**Jcrî diéJliuaMis" _

4

ZZIZZZZ .3

:. ::i:rzz ..fi_.ti_..__

_M_O*S.>OAÄ.

3

S_G



ZZÛZZZ

zzcczz ""ÏOZZZ

^ r J L . Q

ALM-I-

ZZZI i ' J i rZ -Z I ZZZZ5EZZZZ

zz ': Z^Q ""-"_"_ E K U J L J * au. 3-.<K<B«.cU_:ÛK*r _

ir

s

J *

3 2.

1

Ab

L'Y

k ?

y», ^ 4 2

AfiG3

Ai A 6 ¡f

C H A I - ^ UucfcA«**^

3 i^ o^-îSît.

0¿J<_CL¿UJÍ

ZZ ISJXQZCO5 7Z

Z _ _ Ü / A O É ^ f__.

û v ^ t «

0 Qk£3

ZZ_ÖIXQ r>(,_Z'_Z.

ZZZôTio~é"pZZ_ ZZZo^ôUa

- • -

o, ¿< /( G i f

'oôrrg

ûôèsr C, k c -i £«. o

• - - -

- - - - • - -

.... —

— —

. . . .

-

*V,LtA

A •öOC CLO^ C < ^ J s¿. ~ i — CÍA.

f>Jowwl&-re.

íli^ u i*>vV«^>

_ 1 C -

3

znx xx~;

j-t.

T_* 4

A_ ._i.

JÜfe.

1 1 -

xc

i-tüi—AJÍ. . M*_LÍJUI « A -

A.^-«_5._xio:fl'

j vU5f i_*X

jojSÎXEcX.

eX^*iX.

X T-JC- e ^ r / o

- S r ^ .

XI X^t

^ " M f i j L i o : - I

-QjCoti^ xJo-

MÜSíJí

._0,it?3Ulo - r

Q¿±Í[yojTD_

JJT_

xs A

AöoL

AX

¿-'•CU-«**"« <*****-Zo

xx:

J).<_Q.

( Ceó¿*"J

t_

XX XX

À Of

3_

XX ; :Œ x «; XX

- i

xxi - i

r "v.t .x^~ X C,«r

. D K T

1

G_fi"

3 0 ( 2.3 x l c T K

~ i

0, U l u l o

cr M to te

,\ 2/, Î3

Í fc

0,?

fccsJà

¿1 AU¿4jÁrf

UJ -3

u | x ¿¿^-ylGvMO.

- -

If

_ _ _ _ _

J_G

fiJi

li

"_ ___ _ :

16

U A h O

S

_ZI*_ZZ •5 t-

La—c?

)<s-o

ï* 0

~TtT

i_l t_

j/urJZ _._i4

ZX_i_Z_

rs S SU

Ci o o

*_.4

ZZÖ__ZI

T í ¿ Z Z " S^.o

. 0 0

i" il Ctf

..< w ¡c L6

¿-UfiJ.1

¿r, K o

J&,MÖ_.___

ihM3.

jLo^tt^

^ W ylfc, A. i

JL,_Qiiô__

.At,JU,""~

J^oi_

,11., ôo3

.£rr«_,r ^0

- - * _ -

_ _ U _ _ _ _ Q

l ? , j / - . -

r.j

__3

ZZ-KZZZ zzszzz ZZATTZ

" ï i Z

- ,13

%Ll

x&S£j¿

__CI ._Ce¿flU"

ZùXQZ ZZ

_ C ¿ U U C L - ._

• -

( v>c_ud-o

! • : • - *

__.

-

. _ ____

développement d'éléments finis de coque pour le calcul des

Documents