Jozef Kratica, Matematiki Institut SANUZorica Stanimirovi, Duan Toi,Vladimir Filipovi Matematiki fakultet, BeogradDVA GENETSKA ALGORITMA ZA REAVANJE PROBLEMA P-HAB MEDIJANE SA JEDNOSTRUKOM ALOKACIJOM TWO GENETIC ALGORITHMS FOR SOLVING THE UNCAPACITATED SINGLE ALLOCATION P-HUB MEDIAN PROBLEM

Genetski algoritmi osnova 1/2Zasnovani na ideji Darvinove teorije o postanku vrsta i prirodnoj evoluciji Iako su prvi radovi nastali jo 60-tih godina, kao idejni tvorac se zvanino uzima John Holland sa knjigom "Adaptation in natural and artificial systems" 1975.Robusne i adaptivne metode koje se mogu koristiti i za reavanje problema optimizacije Osnovna konstrukcija je populacija jedinki (najee izmeu 10 i 200)Svaka jedinka predstavlja mogue reenje u pretraivakom prostoru za dati probem Svaka jedinka je predstavljena genetskim kodom nad odreenom konanom azbukom Kodiranje moe biti binarno, celobrojno ili realnoSvakoj jedinki se dodeljuje funkcija prilagoenosti (fitness function) koja ocenjuje kvalitet date jedinke

Genetski algoritmi osnova 2/2Primenom genetskih operatora selekcije, ukrtanja i mutacije se tokom generacija dobijaju sve bolje jedinkeMehanizam selekcije favorizuje natproseno prilagoene jedinke i njihove natproseno prilagoene delove (gene) Slabije prilagoene jedinke i geni imaju smanjene anse za reprodukciju pa postepeno izumiru Operator ukrtanja vri rekombinaciju gena jedinki i time doprinosi raznovrsnosti genetskog materijala Viestrukom primenom selekcije i ukrtanja mogue je gubljenje genetskog materijala (neki regioni pretraivakog prostora postaju nedostupni) Mutacija vri sluajnu promenu odreenog gena, sa datom malom verovatnoom pmut, ime je mogue vraanje izgubljenog genetskog materijala u populaciju Time se spreava pojava preuranjene konvergencije GA u lokalnom ekstremu Poetna populacija se generie na sluajan nain ili nekom heuristikom

Shematski prikaz GAUitavanje_Ulaznih_Podataka();Inicijalizacija_Populacije();while (! Kriterijum_Zavretka_GA() ){for (i=0; i< Npop; i++) pi = Vrednosna_Funkcija();Funkcija_Prilagoenosti();Selekcija();Ukrtanje();Mutacija();}tampanje_Rezultata();

Hab lokacijski problemi 1/2Hab se moe prevesti i kao centar za kolekciju i/ili distribucijuOvi problemi su doiveli pravu ekspanziju, najvie zahvaljujui svojoj irokoj primeni u praksiSreemo ih u svim segmentima ivota: izboru lokacija za izgradnju kola, bolnica, skladita, industrijskih postrojenja, pota, autobuskih stanica, aerodroma, trnih centara, itd. Zadovoljenje potreba korisnika uz minimalne trokoveNeki od vorova se proglaavaju za haboveDirektna komunikacija izmeu vorova nije mogua ve samo preko jednog ili vie habovaJedinina komunikacija hab-hab ( - transfer) je jeftinija u odnosu na komunikaciju vor-hab ( - kolekcija) i hab-vor ( - distribucija)

Hab lokacijski problemi 2/2Uglavnom su svi NP-teki, osim vrlo retkih specijalnih sluajevaObino su znatno tei za reavanje u odnosu na odgovarajue ne-hab diskretne lokacijske problemeNe postoji opti matematiki model koji dobro opisuje sve hab lokacijske problemeSvaki model ima specifinu strukturu (funkciju cilja, promenljive, ogranienja)Zbog toga se ak i problemi sa vrlo slinim imenom drastino razlikuju po osobinamaEgzaktne metode u razumnom vremenu izvravanja ne mogu reiti instance veih dimenzija (koji se sreu u praksi)Lokalno pretraivanje obino daje loije rezultate, pa nema puno ni heuristikih naina reavanja, i to su esto ranije bili ba genetski algoritmi

USApHMPU n mesta je potrebno rasporediti tano p pota (habova)Za svaki par mesta (i,j) je dato njihovo rastojanje Cij i broj (koliina) poiljki WijSve poiljke iz odreenog mesta uvek idu (bilo da se alju ili primaju) preko iste poteSvaka poiljka mora ii preko bar jedne ili vie pota Ne postoji ogranienje u broju (koliini) poiljki koji se transportuju preko neke potePotrebno je da ukupni trokovi transporta svih poiljki budu minimalni

USApHMP matematiki modeluz usloven je broj vorova, p je fiksiran broj habovaWij koliina robe izmeu vorova (i, j)Cij rastojanje izmeu vorova (i, j), , jedinini trokovi kolekcije (vor-hab), transfera (hab-hab) i distribucije (hab-vor) ( < , < )Hkk = 1 akko je cvor k izabran za habHik = 1 akko je cvoru i dodeljen hab k

USApHMP - primerNeka je n=4, p=2, Wij=1, =1, =0.25, =1Habovi A i Bvoru C je pridruen hab A, voru D je pridruen hab BTrokovi transporta su: A-A=0, A-B=12*0.25=3, A-C=4, A-B-D=12*0.25+1=4, B-B=0, B-A-C=12*0.25+4=7, B-D=1, C-A-C=4+4=8, C-A-B-D=4+12*0.25+1=8, D-B-D=1+1=2Funkcija cilja je 64

A

B

C

D

12

1

9

4

7

6

A

B

C

D

1

4

12*0.25=3

USApHMP - naini reavanjaKlincewicz 1991 - Local neighbourhood search and clustering of nodes Klincewicz 1992 - Tabu searchSkorin-Kapov 1994 Tabu search (TABUHUB)Smith 1996 - Neural networksErnst 1996,1998 Simulated annealing + Branch and BoundPrez Prez 2000,2004 - Path relinking + TABUHUB Domnguez 2003 Neural networks

GAHUB1Genetski kod je podeljen u dva dela:Prvi deo se sastoji od p indeksa habovaDrugi deo se sastoji od n-p delova, gde se za svaki ne-hab vor odredjuje hab koji mu je dodeljen (0 najblii, 1 sledei najblii, ... p-1 najdalji) Genetski kod 0 1 | 0 0 odgovara prethodnom primeru

Veliina populacije je 150 jedinki, od kojih je 100 elitnihPoetna populacija se generie tako da ima puno nula u drugom deluFino gradirana turnirska selekcija sa prosenom veliinom turnira 5.4Dvostruko jednopoziciono ukrtanje (pc=0.85)U prvom delu se primenjuje prosta mutacija (pmut=0.7/n), a u drugom nivo mutacije je 0.1/n za bitove najmanje teine (svaki sledei bit ima 2 puta manji nivo mutacije)Zaleeni bitovi imaju 2.5 puta vei nivo u prvom delu i 1.5 puta u drugom deluUklanjanje viestruke pojave jedinki u populaciji i ograniavanje broja jedinki sa istom vrednou (najvie 40 u datom sluaju) Dalje poboljanje brzine izvravanja pomou keiranja GA

GAHUB2Genetski kod je podeljen u n blokova od kojih svaki ima dva dela:Prvi bit oznaava da li je dati vor hab ili ne (1 ili 0) Ukoliko vor nije hab, drugi deo odredjuje hab koji mu je dodeljen (0 najblii, 1 sledei najblii, ... p-1 najdalji) Genetski kod 1 0 | 1 0 | 0 0 | 0 0 odgovara prethodnom primeruVeliina populacije je takoe 150 jedinki, od kojih je 100 elitnihPoetna populacija se generie tako da ima puno nula u drugim delovima Fino gradirana turnirska selekcija sa prosenom veliinom turnira 5.4Blokovsko ukrtanje na osnovu prvog bita (pc=0.85)Za prvi bit mutacija je 0.4/n, za drugi 0.1/n a za svaki sledei bit 2 puta manji nivo mutacije u odnosu na prethodniZaleeni bitovi takoe imaju 2.5 puta vei nivo u prvom delu i 1.5 puta u drugom deluUklanjanje viestruke pojave jedinki u populaciji i ograniavanje broja jedinki sa istom vrednou (najvie 40 u datom sluaju) Dalje poboljanje brzine izvravanja pomou keiranja GA

Eksperimentalni rezultati 1/2Obe GA implementacije su u programskom jeziku CAMD Athlon 1.33 GHz sa 256 MB RAM CAB instance (Civil Aeronautics Board) n25, p4 su suvie lake (rezultati GA se mogu videti u [1])AP instance (Australian Post): n200, p20 (=3, =0.75, =2 )Optimalna reenja poznata za n50

Eksperimentalni rezultati 2/2Oba GA su izvravana 20 puta na svakoj instanciKriterijum zavretkaMaksimalni broj generacija Ngen = 500 za manje (n50) i Ngen = 5000 za vee instanceUkoliko najbolja jedinka ostane nepromenjena posle Nrep = 200 (Nrep = 2000) uzastopnih generacija

GAHUB1 rezultati (AP)

GAHUB2 rezultati (AP)

Poreenje sa SA, TABUHUB i PRAlpha 200 MHz je po SPEC_fp2000 proseno oko 7.3 puta sporija od AMD 1.33 GHz i oko 6.9 puta od Intel 1.4 GHz

ZakljuakUmesto prekomernog korienja lokalnog pretraivanja obe GA metode koriste ureenje najbliih suseda nearest neighbour ordering, koje zahteva vrlo malo dodatno vremeZbog toga obe metode rade vrlo efikasnoOvakvo ureenje uspeno vodi oba GA do obeavajuih regiona pretrage (promising search regions)Poetna populacija se generie tako da ima puno nula to doprinosi dobrom startu GA pretrageJedinke u poetnoj populaciji su generisane tako da budu korektne, a genetski operatori uvaju korektnost, tako da se nekorektne jedinke ne mogu pojavitiMutacija uz pomo zaleenih bitova dodatno uva raznovrsnost genetskog materijalaRezultati jasno prikazuju da GAHUB2 daje najbolje rezultate u odnosu na sve prethodne metode i GAHUB1 (dostie sva ranije poznata optimalna reenja na instancama manje dimenzije i dostie ili popravlja sva do sada poznata najbolja reenja na instancama velike dimenzije)

Pravci daljeg istraivanjaParalelizacija i izvravanje na vieprocesorskom raunaruHibridizacija sa nekom egzaktnom metodomReavanje jo nekih hab lokacijskih problemaPrimena slinog pristupa za reavanje nekih drugih problema (koji nisu hab lokacijski ili lokacijski)

Radovi (teze) u kojima su razmatrani hab lokacijski problemiStanimirovi Z., Reavanje nekih diskretnih lokacijskih problema primenom genetskih algoritama, magistarski rad, Univerzitet u Beogradu, Matematiki fakultet, 2004.Filipovi V., Operatori selekcije i migracije i Web servisi kod paralelnih evolutivnih algoritama, doktorska disertacija, Univerzitet u Beogradu, Matematiki fakultet, 2006.

Radovi (SCI) Ovaj problem:[1]Kratica J., Stanimirovi Z., Toi D., Filipovi V., "Two Genetic Algorithms for Solving the Uncapacitated Single Allocation p-Hub Median Problem", Resubmitting after second revision to European Journal of Operational ResearchOstali hab lokacijski problemi:[2] Kratica J., Stanimirovi Z., Toi D., Filipovi V., "Genetic Algorithm for Solving Uncapacitated Multiple Allocation Hub Location Problem", Computing and Informatics, Vol. 24, No. 4, pp. 415-426, 2005.[3] Kratica J., Stanimirovi Z., "Solving the Uncapacitated Multiple Allocation p-Hub Center Problem by Genetic Algorithm", Resubmitted after second revision to Asia-Pacific Journal of Operational Research[4]Stanimirovi Z. "An Efficient Genetic Algorithm for the Uncapacitated Multiple Allocation p-Hub Median Problem", Submitted to Control and Cybernetics