W-3 Dyskretne

Transformatory wybranych ciągów:

delta Kroneckera tzn.

operator przesunięcia opóźnienia o k w czasie z własności o opóźnieniami

ciągu liczbowego

dyskretny skok jednostki tzn.

funkcja wielomianowa a – liczba, n = 0, 1, 2, 3, ...

W szczególności:

oraz

Jeszcze raz przykłady;

Przykład 1.

Znaleźć dyskretny oryginał (czyli ciąg liczbowy) funkcji o transformace Z równej:

(zrobić sami)

Przykład 2.

Parę wyrazów tego ciągu:

Obliczenie w MATLABie:

Potraktujemy obliczenia jako odpowiedź systemu dyskretnego o transmitancji Y(z) na -

Kroneckera, która jak wiadomo .

num = [1 20];

den = [1 21];

x = [1 zeros (1 30)]; % wprowadzenie na wejście delty Kroneckerak = 0 : 30;

wyspecyfikowana oś czasu

y = filter (num, den, x);

plot (k, y, ’ro’);

grid

Przypomnijmy:

z l. r. różnic. i reguły o ciągach opóźnionych

+ WP = 0 o założenie, że

otrzymamy:

a WP wynoszą:

Stąd:

Czyli rozwiązanie l. r. różnic. z dodatkowymi założeniami: oraz WP = 0 prowadzi do

dyskretnej transmitancji operatorowej:

Możemy to przedstawić jako:

n

nx

nx

30

K(s)T

Jest to abstrakcja matematyczna powstała w wyniku ’zabiegu próbkowania’:

Przykład

Obliczyć K(z) mając dane

W wyniku procesu próbkowania:

otrzymam: i obliczam K(z):

Transmitancje dyskretne systemów złożonych – także same jak ciągłych, np.:

)(ˆ}{ zuun }{ˆ)( nyzY )()()(zMzLzK

zegar

K(z)u(t) u*(t)y*(t)T

T- impulsator

Transmitancja widmowa

Def. Transmitancja widmową nazywamy następującą funkcję argumentu co;

Z uwagi na wzór Eulera: transmitancja widmowa jest funkcją okresowo o

okresie np.

Odpowiedź na standardowe pobudzenia:

Odpowiedź impulsowa – odpowiedź na pobudzenie impulsem dyskretnym

Wł. przyjmujemy, że

{ }

Np. system dyskretny o transmitancji ma odpowiedź impulsową

Odpowiedź skokowa – jest to reakcja systemu na pobudzenie dyskretnym skokiem

jednostkowym (dla WP = 0) i wynosi:

{yn}

}{ n

}{ nK(z)

{yn}

Im K(ej)

Re K(ej)

gdzie .

Stabilność systemów dyskretnych

Przypomnijmy;

System dyskretny (liniowy) ma transmitancję dyskretną:

,

przy założeniu (żeby nie było zerowego bieguna)

(żeby ustalić rząd transmitancji)

oraz WP = y-1, y-2, ... , y-m = 0.

Przez z1, z2, ... , zm oznaczymy pierwiastki jego wielomianu charakterystycznego (czyli bieguny

transmitancji):

DEF. Jeśli, przy zerowym pobudzeniu i każdym WP , to dyskretny system

nazywamy stabilnym.

(”niepraktyczna”)DEF. ”BIBO” – ograniczone wejście – ograniczone wyjście.

System jest stabilny jeśli;

TW. (o stabilności systemów dyskretnych)

System o transmitancji jest stabilny

iff .

Czyli, system dyskretny jest stabilny iff wszystkie bieguny jego dyskretnej transmitancji leżą

wewnątrz koła jednostkowego (tzn. koła o promieniu 1 i środku z = 0)

Skąd się bierze to podstawowe kryterium?

Przypomnijmy, że z = eST (tą zależność wyprowadzimy później).

Jeśli , to (liczba zespolna)

.

Z równania otrzymamy:

O stabilności układów ciągłych decyduje: , - obojętne, ale wprowadza oscylacje

Czyli: , a stąd - powstaje warunek stabilności systemów dyskretnych

Oraz = 0 w systemach ciągłych – granica stabilności,

Czyli: - granica stabilności systemu dyskretnego

- jako moduł liczby zespolonej z - wyraża okrąg o promieniu na płaszczyźnie liczb

zespolonych.

Natomiast drugi człon - wprowadza okresowość , ale jest

ograniczone, więc nie zagraża stabilności!!

A teraz wyjaśnijmy, skąd się bierze zależność .

Ona musi się wziąć z DYSKRETYZACJI (próbkowania impulsami sygnału ciągłego).

1

1-1

-1

Im z

Re z

Obszar stabilności systemu dyskretnego

Matematyczny impulsator (wyidealizowany) zapisany jako ciąg:

Ma on taką własność, że wszędzie poza punktem t = kT.

Spróbkowany sygnał x* (t) jest nieskończonym ciągiem impulsów o amplitudach x(t = kT) i

może być opisany sumą nieskończoną:

Jak to matematycznie powstaje?

Sygnał x* (t) jest równy iloczynowi ciągłego wejścia x(t) i matematycznego impulsatora

:

Jeśli podstawimy , to otrzymamy:

- transformatę Z.

x(t)

t

x*(t)

t

sygnałspróbkowany

X(s) Tx*(t)

X*(s)

x(t)

tT 2T 4T 6T

T

WNIOSEK: Jeśli ciągły sygnał x(t) jest okresowo próbkowany (impulsami ), to uzyskany

matematyczny zapis: - transformaty Z,

przy czym pomiędzy zmienną zespoloną a zmienna zespoloną istnieje

wzajemna jednoznaczna zależność: czyli .

Kryteria stabilności systemów dyskretnych

Aby zbadać, czy dyskretny UAR jest stabilny, trzeba rozstrzygnąć, czy wszystkie

pierwiastki z1, z2, ... , zm jego równania ch-nego Mz(z) = 0 leżą w kole jednostkowym, tzn. czy

spełniają nierówności

Można to wykazać na dwa, zasadniczo różne, sposoby.

1. Dokonać odwzorowania płaszczyzny zmiennej zespolonej na płaszczyznę innej zmiennej

zespolonej, powiedzmy . Odwzorowanie to przekształca okrąg jednostkowy w oś liczb

urojonych, a jego wnętrze w lewą półpłaszczyznę.

Teraz; badanie czy pierwiastki równania ch-nego zmiennej zespolonej leżą w kole

jednostkowym sprowadza się do pytania: czy pierwiastki równania ch-nego powstałego

przez odpowiednią zamianę zmiennej zespolonej na zmienną zespolona leżą w lewej

półpłaszczyźnie. Ten problem można rozwiązać stosując znane kryteria stabilności z

analizy systemów ciągłych.

2. Druga klasa metod to wykorzystanie kryteriów opracowanych specjalnie dla systemów

dyskretnych (np. kryterium Jury’ego). Niektóre z nich sa po prostu dyskretnymi

odpwiednikami kryteriów dla systemów ciągłych; Nyquist, Hurwitz, Michajłow.

Ad. 1. przekształcenie półpłaszczyzny w koło.

Posłużmy się odwzorowaniem (tzw. homograficznym, które przekształca całą

płaszczyznę domkniętą z pktem w nią samą):

Odwzorowanie z = T (w) przekształca:

Oś Im w w okrąg (granica stabilności);

Lewą półpłaszczyznę we wnętrze koła jednostkowego, czyli w zbiór punktów

dla których ;

Prawą półpłaszczyznę w zewnętrze koła jednostkowego, czyli w zbiór

punktów z takich, że .

Te własności (i inne dodatkowe mniej istotne) pozwalają sprawdzić stabilność DUAR za

pomocą obliczenia, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego

leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej w.

Zastosujemy najprostsze obliczeniowo kryterium Hurwitza.

Przykład 1

Dany jest DUAR o równaniu ch-nym: . Sprawdzić stabilność

. Czyli są dwa bieguny transmitancji K(z), które wynoszą:

. Z podstawowego kryterium stabilności DUAR widać, że jest stabilny, bo

, .

Ale sprawdzimy, dokonując podstawienia . Otrzymamy inne równanie

-1 1

Im z

Re z

Im w

Re w

Z=T (w), takie że

T

T -1

Układu zamkniętego

jest równaniem ch-nym o pierwiastkach w1 = -3,

w2. Jest przy tym oczywiste, że zachodzą zależności:

, . Bieguny (pierwiastki równania ch-nego M(w) = 0) leżą w lewej

półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej w, natomiast pierwiastki z1, z2 leżą wewnątrz koła

jednostkowego. DUAR jest stabilny.

Przykład 2

- to równanie ma dwa pierwiastki , .

Podstawienie daje rozwiązania w1 = -3, .

Pierwiastek z1 leży w kole jednostkowym, a odpowiadający mu w1 = -3 w lewej

półpłaszczyźnie. Drugi pierwiastek z2 leży poza kołem jednostkowym, a związany z nim w2 w

prawej półpłaszczyźnie DUAR jest niestabilny.

Przykład 3

W dotychczasowym postępowaniu ukryte jest pewne niebezpieczeństwo, co pokazuje

poniższy przykład.

, co oznacza , . Podstawienie daje

równanie o jednym rozwiązaniu w1 = -3 (dobrym). Rozwiązanie

z2 = 1 (granica stabilności układu dyskretnego) nie ma swojego odpowiednika!!

Okazuje się, że p-ktowi z2 = 1 odpowiada . Pierwiastek z2 = 1 jest przyczyną

niestabilności (albo granicy stabilności).

Spróbujmy to pokazać:

Obliczenia:

Kiedy (?) prawdą jest, że:

Tylko wtedy, gdy , bo:

0 = -0

TW. System dyskretny o transmitancji

jest na granicy stabilności iff

, przy czym bieguny transmitancji, dla których zachodzą

równości są co najwyżej jednokrotne.

Wróćmy do zapisu M(z) = 0 (układ dyskretny otwarty lub DUAR).

Sprawdzanie stabilności przy pomocy przekształcenia może zawieść, gdy

równanie M(z) = 0 ma pierwiastek zk = 1.

Zabezpieczenie przed grożącym błędem („zgubienia” pierwiastka).

Zauważmy, że M(1) = 0 iff zk = 1 jest pierwiastkiem równania M(z) = 0. dochodzimy do

ostatecznego związku:

. System dyskretny o równaniu charakterystycznym M(z) = 0 jest stabilny iff

1.

2. wszystkie rozwiązania równania leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej

zespolonej .

Kryterium Hurwitza

Sprawdzić stabilność dyskretnego systemu o równanie ch-nym

Sprawdzamy 1 warunek:

Podstawiamy i obliczamy

Równanie M(w) = 0 sprawdzamy Hurwitzem.

1. warunek konieczny - spełniony

2. warunek wystarczający, tworzymy macierz Hurwitza 3-go rzędu

Sprawdzamy tylko drugi podwyznacznik:

System stabilny

Istnieje specjalne kryterium stabilności systemów dyskretnych (tylko dla nich!) – zwane

kryterium Jury (podamy jego uproszczoną wersję wg książki: W. Greblicki „Teoretyczne

podstawy automatyki”).

Trzeba wprowadzić pojęcie macierzy wewnętrznej wobec macierzy kwadratowej.

Niech A będzie macierzą kwadratową. Jego kolejne macierze wewnętrzne otrzymuje się

przez:

skreślenie z macierzy A pierwszego i ostatniego wiersza oraz pierwszej i ostatniej

kolumny, itd. Aż do otrzymania macierzy stopnia 1 lub 2.

Wyznaczniki macierzy wewnętrznych macierzy A nazywamy jej wyznacznikiem

wewnętrznym.

Dla wielomianu charakterystycznego:

Definiujemy dwie trójkątne macierze: oraz

TW (Jury)

Niech . System dyskretny jest stabilny

iff: - M(1) > 0;

- ;

- wyznacznik oraz wszystkie podwyznaczniki wewnętrzne macierzy oraz

są dodatnie.

Jeśli mamy - stopień 3 to macierze są następujące:

- (i jest najmniejsza wewnętrzna)

- (i jest wewnętrznie najmniejsza)

Przykład 1

;

Sprawdzamy warunki kryterium Jury:

niestabilny, nie ma sensu

sprawdzać trzeciego warunku.

Potwierdzimy niestabilność systemu przy pomocy kryterium Hurwitza.

am am-1 a2

am am-1 a3

am

am

Aa0 a1

a0a0 a1 am-2am-3

a0

A

;

brak wyrazu wolnego (a0=0)system niestabilny z warunku koniecznego kryterium Hurwitza.

Przykład

sprawdzam stabilność wg kryterium Jury.

stabilny

Przykład

sprawdzić stabilność wg Jury1.2.3. Tworzą macierze oraz i wszystkie wewnętrzne!

stabilny

Kryterium stabilności Nyquista dla DUAR

Tak jak dla UAR ciągłych bada ono stabilność układów ze sprzężeniem zwrotnym na

podstawie ch-tyki a-f układu otwartego.

Przypomnijmy dyskretną transmisję widmową:

K(z)y0n n

(-1,j0)

)](1arg[ jeK65

45

)(Re jeK),0[

)( jm eKI

Imz

Re zz1z2

Ze względu na wzór Eulera : , dyskretna transmitancja widmowa jest

funkcją okresową o okresie , czyli .

Opiszemy tylko przypadek 1-szy, gdy układ otwarty jest stabilny.

TW. (Nyquist)

Niech . Niech dyskretny system otwarty będzie stabilny. DUAR jest stabilny

iff

oraz wykres , gdzie nie przechodzi przez punkt (-1, j0).

Przykład

Niech

otwarty (widać, że stabilny)

Dyskretna regulacja automatyczna

Transmitancja układu zamkniętego, tzn. układu o wejściu i wyjściu jest równa;

; gdzie .

- uchyb dyskretny.

Regulator powinien zapewnić, aby sygnał wyjściowy obiektu był możliwie bliski

sygnałowi wartości zadanej , czyli aby (lub był możliwie mały).

Podstawowa własnością DUAR jest stabilność, czyli niezależnie od wejścia {yn}0,

Interesuje nas transmitancja uchybowa:

, stąd:

- transmitancja układu otwartego

O obiekcie założymy tylko, że jego transmitancja nie ma bieguna w punkcie z = 1

(pamiętamy, że powodowało to trudności przy badaniu stabilności!!).

Regulacja statyczna, czyli P

KR(z) = kp, regulator jest proporcjonalny, typu P. zakładamy, że system zamknięty jest stabilny

(czyli istnieje granica ) oraz ustalimy, że , czyli:

. Zatem:

.

Ponieważ DUAR jest stabilny, to możemy obliczyć:

KR(z) K0(z) {yn}{yn}0

{yn}

n

TW. graniczne 1 dla ciągów liczbowych:

(jeśli ta granica istnieje, to tyle wynosi)

Wykazaliśmy następującą własność:

WŁ.1.

Niech . W stabilnym, statycznym, dyskretnym systemie regulacji automatycznej:

błąd w stanie ustalonym statycznego DUAR.

TW. (graniczne z)

Dla każdego ograniczonego ciągu {xn} prawdziwa jest zależność:

, gdzie (przypomnienie):

.

Regulacja astatyczna

Regulacja typu I

Podobnie jak przy regulacji statycznej zakładamy, że {yn}0 = {1n}. niech teraz:

będzie dyskretną transmitancją regulatora typu I

(o własnościach sumacyjnych)

Regulator I

1

1 2 3n

- jest to ’1impuls’ przesunięta dyskretna jedynka i zsumowana. W

związku z tym ta transmisja jest dyskretnym odpowiednikiem

całkującego regulatora I.

Przy pobudzeniu sygnałem , wyjście regulatora w chwili n jest

równe .

Odpowiedź impulsowa jest równa 0 dla n = 0 oraz kI dla n = 1, 2, ..., i są

sumowane wraz ze wzorem n. Jeśli DUAR jest stabilny, to z TW. granicznego wynika, że:

WŁ. 2

Niech . W stabilnym systemie automatycznej regulacji astatycznej:

Regulacja PI

Regulator o transmitancji , czyli typu PI zapewni typ regulacji astatycznej,

oraz szybszej niż sam regulator typu I.

Obiekt ciągły sterowany dyskretnie

Instalując w ciągłym systemie automatycznej regulacji impulsator zamienia się go w

system dyskretny (z czasem dyskretnym). Drugim urządzeniem stosowanym w takich

systemach jest ekstrapolator, który zamienia ciąg impulsów Diraca w funkcję schodkową

(zero-order hold).

Impulsator

Impulsator zamienia funkcję czasu w ciąg impulsów DIRACA modulowanych przez jej

wartości w chwilach 0, T, 2T, 3T, ... . liczba T jest okresem impulsowania.

Współpraca impulsatora z ekstrapolatorem (‘hold’).

Wyjściem ekstrapolatora jest funkcja stała na odcinkach [0, T), [T, 2T), ... .na odcinku [0, T)

przyjmuje ona wartość u(0), na [T, 2T) wartość u(T)... czyli:

dla .

Zauważmy, że:

h(t) = 1(t) =1(t-T), na jednym odcinku okresu T tak zachowuje

się schodkowy

ekstrapolator

h(t) = 1(0) - 1(0-T)/L

Jak możemy otrzymać transmitancję dyskretną?

u(t) u*(t)T

u(t) u*(t)T

E)(tu

t

0 T

1(t) 1(t-T)

(**)

Przykład

Mamy układ ciągły o równaniu y(t) = u(t-T) (jest to r.r. zerowego rzędu z opóźnieniem o T).

jego odpowiednia impulsowa jest a transmitancją .

Zauważmy, że {kn} ma teraz postać {0, 1, 0, 0, ...}. stąd wynika, że .

Obiekt ciągły, impulsator i ekstrapolator

Impulsatorowi znajdującemu się na wejściu obiektu ciągłego o transmitancji K(s) może

towarzyszyć ekstrapolator:

Sygnały u*(t) i y*(t) są ciągami impulsów Diraca, z którymi można w sposób jednoznaczny

skojarzyć ciągi liczbowe u(0), u(T), u(2T), ... oraz y(0), y(T), y(2T), ... . Oznaczając

i możemy stwierdzić, że ciąg liczbowy jest

przez system dynamiczny przetwarzany na ciąg liczbowy i że system,

który wykonuje te operację jest natury dyskretnej, czyli na transmitancję K(z).

Możemy zapisać (na podstawie poprzedniego rysunku):

,

.

Dyskretny UAR

Zegar

u(t)T

u*(t)E K(s)

y(t)Ty*(t))(tu

K(z) {yn}{un}

Wykorzystując impulsator i ekstrapolator można budować systemy automatycznej regulacji,

w których obiekty ciągłe sterowane są w sposób dyskretny .

UAR z impulsatorami i odpowiadający mu schemat DUAR

Sygnały oraz można utożsamiać z ciągami liczbowymi

.

Należy zaznaczyć, że o ile system ciągły z impulsatorami realnie istnieje, to system

dyskretny jest jedynie pewną abstrakcją matematyczną, ułatwiającą obliczenia.

KR(z), K0(z) obliczamy z procedurą (**).

KR(s) K0(s) y*(t)

y0(t) )(*0 ty )(* t u(t) u*(t) y(t)

y*(t)

KR(z) K0(z) }{ n {un}{yn}0 {yn}

{yn}