FUNGSI SIRKULARFungsi sirkular adalah fungsi trigonometri dengan domain bilangan real dan memiliki range berupa sudut.

Fungsi ini disebut sebagai fungsi sirkular karena ukuran sudutnya ditentukan dari panjang busur lingkaran.

Secara umum kita mendefinisikan fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (unit circle).

Lingkaran SatuanLingkaran satuan adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik 0,0 dan memiliki jari-jari 1 satuan.

Jika kita menempatkan sebuah lingkaran satuan pada sistem koordinat kartesius sedemikan rupa hingga berpusat di titik asal (0,0) maka ia akan mempunyai persamaan x2+y2 = 1

1.Titik P ( , y) ada pada kuadran IV di lingkaran satuan. Tentukan koordinat-y nya!Jawab :X2 + Y2 = 1( )2 + y2 = 1 y2 = 1 y2 = y = Karena P ada pada kuadran IV, maka y = -

Contoh :

Titik Terminal pada Lingkaran SatuanTitik A (1,0) terletak di pertemuan antara lingkaran satuan dengan sumbu-x. Biarkan t menjadi bilangan real dengan mengukurnya mulai dari titik A sepanjang lingkaran satuan (dengan arah berlawanan jarum jam jika t > 0, dan searah jarum jam jika t < 0 ) hingga berakhir di titik P. Jadi, untuk setiap bilangan real t, terdapat titik P (x,y) pada lingkaran satuan.

Contoh :Untuk t = /2 (yaitu sudut 90 0) atau keliling lingkaran, maka P(t) = P(/2) dan titik trigonometri adalah P (0, 1)

Jika t adalah sebuah bilangan real dan P(x,y) adalah sebuah titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan t, maka :

Contoh :Jika panjang busur U adalah 2/3, tentukan koordinat (x,y)! Jawab :Ingat bahwa (x,y) = (cos u , sin u).X = Cos U = Cos 2/3 = -1/2Y = Sin U = Sin 2/3 =

Maka, (x,y) = (-1/2, )

SIFAT-SIFAT DASAR TRIGONOMETRISin ( t+2 ) = Sin tCos ( t+2 ) = Cos t

Sin (-t) = - Sin tCos (-t) = Cos t

Sin (/2-t) = Cos tCos (/2-t) = Sin t

Sin2 t + Cos2 t = 1

4. Beda fase = 3. Tentukan interval2. Tentukan periode = . Tentukan amplitudo = .

FUNGSI SINUSBentuk umum: y = f(x) = sin xdengan x adalah satuan ukuran sudut. (x dalam radian)Domain = Seluruh bilangan realRange = [-1.1]Nilai maksimum = 1Nilai minimum = -1Grafik berupa kurva lengkung mulusGrafik berulang sepanjang 2 Grafik fungsi y = sin x

Nyatakan x sebagai bilangan real.Buat tabel dengan menentukan nilai x dan mencari nilai y.Letakkan titik-titik tersebut pada sistem koordinat.Gambar kurvanya.

01-1900180027003600Grafik y = sin xamplitudo1 periode

FUNGSI KOSINUSBentuk umum: y = f(x) = cos xdengan x adalah satuan ukuran sudut. (x dalam radian)Domain = Bilangan realRange = [-1,1]Nilai maksimum = 1Nilai minimum = -1Grafik berupa kurva lengkung mulusGrafik y = cos x sama dengan y = sin x, tetapi digeser /2 satuan ke kanan.

Grafik fungsi y = cos x

Nyatakan x sebagai bilangan real.Buat tabel dengan menentukan nilai x dan mencari nilai y.Letakkan titik-titik tersebut pada sistem koordinat.Gambar kurvanya.

-9001-10090018002700Grafik y = cos xamplitudo1 periode-900

CONTOH :

Gambar grafik dari y = 2 sin x .

Jawab :Amplitudo = = 2Periode = = 2

Beda fase tidak ada

01-1900180027003600Grafik y = 2 sin x2-2Periode 3600Amplitudo 2Y=sin x

CONTOH : Gambar grafik dari y = 2 cos x .

Jawab :Amplitudo = = 2Periode = = 2

Beda fase tidak ada

x0/3/24/33/22 Cos x210-1-20

Grafik y = 2cos x2-2Y=cos xamplitudoperiode

FUNGSI TANGENUntuk menggambar grafik y = tan x, gunakan identitas tan x = sin x/cos x.

Dimana pada nilai cos x = 0, fungsi tangen tidak terdefinisikan dan grafiknya memiliki asimtot vertikal pada /2, 3/2, dst .

Bentuk Umumy = tan x, dimana tan x = sinx/cosxDomain : semua bilangan real,

Range : (, +) Periode : Memiliki asimtot vertikal

Langkah-langkah dalam membuat grafik y = a tan bx.1. Tentukan periodenya .2. Tentukan dua asimtot vertikal yang berdekatan dengan mencari nilai x3. Gambar dua asimtot vertikal tersebut4. Bagi interval menjadi empat bagian yang sama5. Tentukan nilai x dan cari nilai y.6. Gabungkan titik tadi menjadi sebuah kurva lengkung mulus yang mendekati asimtot vertikal.

y = tan x

y = tan(x)Jeff Bivin -- LZHS

y = tan(x)Amplitude = 1Period = Phase shift = 0Jeff Bivin -- LZHS

FUNGSI COTANGENUntuk menggambar grafik y = cot x, gunakan identitas cot x = cos x/sin x.

Dimana pada nilai sin x = 0, fungsi cotangen tidak terdefinisikan dan grafiknya memliki asimtot vertikal.

Bentuk Umumy = cot x, dimana cot x = cosx/sinxDomain : semua bilangan real,

Range : (, +) Periode : Memiliki asimtot vertikal

y = cot x

y = cot(x)Jeff Bivin -- LZHS

y = cot(x)Amplitude = 1Period = Phase shift = 0Jeff Bivin -- LZHS

2. Asimtot vertikal4. Gambar grafiknya.3. Bagi selang antara - ke dalam empat bagian yang sama

FUNGSI SECANUntuk menggambar grafik y = sec x, gunakan identitas sec x = 1 x/cos x.

Dimana pada nilai cos x = 0, fungsi secan tidak terdefinisikan dan grafiknya memliki asimtot vertikal.

Bentuk Umumy = sec x, dimana sec x = 1/cosxDomain : semua bilangan real,

Range : (,1] [1, +) Periode : 2Memiliki asimtot vertikal

y = sec x

y = sec(x)Jeff Bivin -- LZHS

y = sec(x)Amplitude = 1Period = 2Phase shift = 0Jeff Bivin -- LZHS

FUNGSI COSECANUntuk menggambar grafik y = csc x, gunakan identitas csc x = 1/sin x.

Dimana pada nilai sin x = 0, fungsi cosecan tidak terdefinisikan dan grafiknya memliki asimtot vertikal.

Bentuk Umumy = csc x, dimana csc x = 1/sinxDomain : semua bilangan real,

Range : (,1] [1, +) Periode : 2Memiliki asimtot vertikal

Dimana sin adalah nol

y = csc x

y = csc(x)Jeff Bivin -- LZHS

y = csc(x)Amplitude = 1Period = 2Phase shift = 0Jeff Bivin -- LZHS

AMPLITUDO

Jika |A| > 1, amplitudo akan semakin meregang secara vertikalJika 0 < |A| < 1, amplitudo akan semakin menyusut secara vertikalJika A < 0, grafik direfleksikan pada sumbu-x

Amplitudo adalah setengah dari jarak antara nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.

Amplitudo = |A| , nilai amplitudo akan selalu positif.

Secara UmumC + A Sin (a(t + b)), danC + A Cos (a(t + b))Periode = 2/aAmplitudo = A

Contoh : Sin 2t memiliki amplitudo = 1Penjelasan : Range dari fungsi sin (2t) = [-1,1]Maka, |a| = (1-(-1)) = x 2 = 1Soal :Tentukan amplitudo dari fungsi periodik berikut!a. Sin (2t/12)

Jawab :a. Range fungsi sin (2t/12) adalah [-1,1], maka |a| = 1

PERIODEPeriode pada fungsi adalah selang pada x yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu siklus.Untuk b 0, Periode ada y= a sin bx atau y= a cos bx adalah .Jika b > 1, grafik fungsinya akan menyusut secara horizontal.Jika 0 < b < 1, grafik fungsinya akan meregang secara horizontal.

Sebuah fungsi f dikatakan fungsi periodik jika terdapat bilangan P, sehingga

Untuk semua bilangan real x pada domain f.Periode didefinisikan sebagai bilangan P terkecil.Fungsi sinus dan cosinus, bilangan positif P terkecil adalah 2, karena :1) Sin (x+ 2) = sin x, dan2) Cos (x+ 2) = cos x

f(x+p) = f(x)

Contoh Soal :Berapakah periode fungsi-fungsi berikut :

Sin (4t)

2) Cos (4t)

Jawab :Sin (4t)P = = 2/ 4 = 2) Cos (4t)P = = 2/4 = 1/2

TERIMAKASIHGAMSAHAMNIDA

*****