Download - Transformada Discreta de Fouriercabm/pds/PDS_Aula06_DFT.pdf · Carlos Alexandre Mello – [email protected] Transformada Discreta de Fourier Carlos Alexandre Mello

Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Transformada Discreta de Fourier

Carlos Alexandre Mello

2 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Transformadas

O uso de transformadas serve para observar características de um sinal que já estavam presentes nele, mas que podem não ser observáveis em um domínio

Assim, as transformadas conseguem levar o sinal para outro domínio e trazê-lo de volta ao domínio original. Transformada de Fourier

Transformada Wavelet

Transformada do Cosseno

...

2


Transformada de Fourier

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e-jw: kernel da transformada


Transformada de Fourier Propriedades

Linearidade: a.f(t) + b.g(t) a.F(w) + b.G(w)

Deslocamento no tempo f(t - t0) e-j2wt0.F(w)

Deslocamento na frequência: f(t)ej2w0t F(w – w0)

Escalonamento: f(a.t) (1/|a|)F(w/a)

Convolução no tempo: f(t)*g(t) F(w).G(w)

Convolução na frequência: f(t).g(t) (1/2)F(w)*G(w)

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A Série Discreta de Fourier

Considere uma sequência x[n] que é periódica de período N:

x[n] = x[n + k.N], qualquer k inteiro

Da análise de Fourier, sabemos que funções periódicas podem ser sintetizadas como uma combinação linear de exponenciais complexas cujas frequências são múltiplas (ou harmônicas) da frequência fundamental (no caso 2/N)

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Da periodicidade no domínio da frequência

da transformada de Fourier discreta no

tempo, concluímos que existe um número

finito de harmônicos:

as frequências {(2/N)k, k = 0, 1, 2, ...., N-1}

6



Assim, a sequência periódica x[n] pode ser

expressa como:

onde {X[k], k = 0, 1, ....} são chamados de

coeficientes da série discreta de Fourier:

7

, n = 0, 1, ....

, k = 0, 1, ....



x[n] é a sequência discreta no domínio do tempo

que descreve os valores amostrados da variável

contínua x(t) e N é o número de amostras da

sequência da entrada

Observe que X[k] também é uma sequência

periódica com período fundamental igual a N

Ou seja, X[k + N] = X[k]

As equações anteriores são a representação

discreta em série de Fourier de sequências

periódicas

8



Por conveniência de notação, podemos

chamar:

Assim, temos:

Equação de Análise:

Equação de Síntese:

9



Exemplo:

Encontre a representação em série de Fourier

da sequência:

x[n] = {...0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, ....}

O período fundamental da sequência é N = 4

Assim, W4 = e-j2/4 = e-j/2 = cos(-/2) + j.sen(-

/2) = 0 + j.(-1) = -j

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Exemplo (cont.):

Agora:

Assim:

11



Uma outra forma de ver a transformada discreta

de Fourier é através de uma representação em

matrizes

12

X e x são vetores

coluna



WN é chamada de Matriz DFS

No MatLab:

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function [Xk] = dfs (xn, N)

n = [0:N-1];

k = [0:N-1];

WN = exp(-j*2*pi/N);

nk = n'*k;

WNnk = WN.^nk;

Xk = xn*WNnk; >> xn = [0 1 2 3]; N = 4;

>> Xk = dfs(xn, N)

Xk = 6 -2 + 2i -2 - 0i -2 - 2i



Inversa:

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function [xn] = idfs(Xk, N)

n = [0:N-1];

k = [0:N-1];

WN = exp(-j*2*pi/N);

nk = n'*k;

WNnk = WN.^(-nk);

xn = (Xk*WNnk)/N; Para o Xk anterior, temos:

>> xn = idfs(Xk, N)

xn = 0 - 0i 1 - 0i 2 - 0i 3 + 0i



A DFT de uma sequência de N-pontos é dada por:

X[k] também é uma sequência de N-pontos, ou seja, ela

não é definida fora do intervalo de 0 k N – 1

A IDFT é dada por:

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, 0 k N – 1

, 0 n N – 1



Como antes:

Assim, temos:

Equação de Análise:

Equação de Síntese:

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1) Linearidade

a.x1[n] + b.x2[n] a.X1[k] + b.X2[k]

Obs:

Se x1[n] e x2[n] são sequências de durações

diferentes (N1-pontos e N2-pontos, por exemplo),

escolha N3 = max(N1, N2)

Se, por exemplo, N1 < N2, então X1[k] é a DFT

de x1[n] aumentada de (N2 – N1) zeros

Zero padding

Transformada Discreta de Fourier Propriedades

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2) Deslocamento de uma sequência

x[n – m] WNkmX[m]

3) Dualidade

Se x[n] X[k], então X[n] N.x[-k]

4) Simetria

Quando a sequência do sinal for real, então X[N

− m]* = X[m]

Ou seja basta que calculemos as componentes de

X[m] para 0 ≤ m ≤ N/2


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5) Convolução periódica


19


Exemplo:


20

>> n = 0:99;

>> fs = 200;

>> Ts=1/fs;

>>x=cos(2*pi*20*n*Ts + pi/4) + 3*cos(2*pi*40*n*Ts - 2*pi/5) + 2*cos(2*pi*60*n*Ts + pi/8);

>> X = fft(x);

>> m = 0:length(X) - 1;

>> subplot(3, 1, 1); stem(x); xlabel('n');ylabel('x(n)');title('Sequencia');

>> subplot(3, 1, 2); stem(m*fs/length(X), abs(X), 'b'); ylabel('magnitude');

>> xlabel('frequencia (Hz)'); title('Magnitude da Resposta em Frequencia');

>> subplot(3,1,3); stem(m*fs/length(X), angle(X), 'b'); ylabel('Angulo');

>> xlabel('frequencia (Hz)'); title('Fase');

x é real


Exemplo (cont.):


21


Exemplo (cont.):

Observe que, como o sinal x[n] é real, a magnitude da

resposta em frequência apresenta uma imagem

refletida

Assim, precisamos apenas da primeira metade dela


22


Exemplo (cont.):

Podemos fazer:


23

>> half_m = 0:ceil(length(X)/2);

>> stem(half_m*fs/length(X), abs(X(half_m + 1)), 'b');

>> ylabel('magnitude');

>> xlabel('frequencia (Hz)'); title('Magnitude da Resposta em Frequencia');


Exemplo (cont.):


24


Exemplo (cont.):

Para a fase, o padrão também aparece mas refletido no

eixo da frequência; novamente, só precisamos de

metade da plotagem


25


Transformada Discreta Bi-Dimensional de

Fourier

26

DFT


Transformada Discreta Bi-Dimensional de

Fourier

27


Espectrograma

O espectrograma é uma representação visual

dos harmônicos de um sinal de entrada em

função do tempo

Do ponto de vista de implementação, temos um

janelamento do sinal de entrada tomando a

transformada de Fourier de cada parte e

plotando ela

28 Carlos Alexandre Mello – [email protected] 28


Espectrograma

A forma mais comum de representarmos um

espectrograma é através de um gráfico bi-

dimensional onde a abscissa corresponde ao

tempo e a ordenada à frequência

Uma terceira dimensão indica a amplitude de

cada frequência e é normalmente associada a

uma cor

Com isso, o espectrograma pode ser visto como uma

imagem



Espectrograma: Exemplo (sinal de voz)



Espectrograma

Normalmente, espectrogramas são gerados

através do cálculo do quadrado da magnitude

da STFT (Short-Time Fourier Transform –

Transformada de Fourier de Tempo Curto) do

sinal

Podemos interpretar esse valor como a

densidade espectral de potência



Espectrograma

Sem informação de fase

Não há clara interpretação

Permite analisar sinais não-estacionários,

considerando-os localmente estacionários

Questões relacionadas às janelas:

Que tipo de janela?

Qual o tamanho? (pode implicar em zero padding)

Sobreposição?



Espectrograma

Variação na Janela (Hamming)


>> x = abs(fft(hamming(512).*y2, 1024));

>> z = 10*log10(abs(fft(hamming(512).*y2, 1024)));

>> figure, subplot (2, 1, 1); plot (x);

>> subplot (2, 1, 2); plot (z);

dB


Espectrograma

Variação na Janela (Hanning)


>> x = abs(fft(hanning(512).*y2, 1024));

>> z = 10*log10(abs(fft(hanning(512).*y2, 1024)));


>> subplot (2, 1, 2); plot (z);

dB


Espectrograma

Variação na Janela (Retangular)


>> x = abs(fft(rectwin(512).*y2, 1024));

>> z = 10*log10(abs(fft(rectwin(512).*y2, 1024)));


>> subplot (2, 1, 2); plot (z);

dB


Espectrograma

Sobreposição (em geral 25 a 75%)



Espectrograma

Sobreposição


>> load chirp

>> spectrogram (y, 256, 250, 1e3, 'yaxis');

>> figure, spectrogram (y, 256, 0, 1e3, 'yaxis');


Espectrograma

O tipo da janela afeta a forma do espectro em

cada região analisada

O tamanho da janela afeta a suavidade do

espectro

Janela curta → espectrograma de banda larga

Janela longa → espectrograma de banda estreita



Espectrograma


Janela: 128

Sobreposição: 120


Espectrograma


Janela: 256

Sobreposição: 250


Espectrograma


Janela: 512

Sobreposição: 500


Espectrograma


45 Carlos Alexandre Mello – [email protected] 45 Carlos Alexandre Mello – [email protected]


Referências:

Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle,

J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000

Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim

e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989

Digital Signal Processing Using MatLab and

Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007

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