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8/17/2019 Teoria de Errores Nuevo
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METODOS NUMERICOS I
Ing. William Chauca Nolasco
2016-I
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REPRESENTACIÓN BINARIA
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htt!""num#$icalm#tho%s.#ng.us&.#%u'
Cómo se representa un número decimal
21012 10610710710510276.257 −−
×+×+×+×+×=
-
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(
)as# 2
1875.11
)21212020(
)21212021()0011.1011(
104321
0123
2
=
×+×+×+×+
×+×+×+×=
−−−−
-
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*
Table 1 Con+#$ting a ,as#-10 int#g#$ to ,ina$ $#$#s#ntation.
Cociente Resto
11"2 *
*"2 2
2"2 1
1"2 0
o$ lo tanto
CONERSION !E "N ENTERO EN BASE 1# ABINARIA
01 a=11 a=
20 a=
31 a=
2
2012310
)1011(
)()11(
=
= aaaa
-
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6
Sta$t
Inut /N10
i 0
Di+i%# N , 2 to g#t uoti#nt 3 4$#main%#$ R
ai R
Is 3 05
n i/N
10 /a
n. . .a
0
2
STO
Int#g#$ N to ,# con+#$t#% to,ina$ &o$mat
ii17N3
No
8#s
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N$%ERO !ECI%A& 'RACCIONARIO ABINARIO
Num,#$Num,#$%#su#s%#cimal
Num,#$ ant#s%#cimal
0.'9* 0.'9*
0.9* 0.9*
1.* 0.*
1.0 0.0
Table (. Con+#$ting a ,as#-10 &$action to ,ina$ $#$#s#ntation.
o$ lo tanto
10 −= a
20 −= a
31 −= a
41 −= a
2
2432110
)0011.0(
)()1875.0(
=
=−−−−
aaaa
21875.0 ×
2375.0 ×
275.0 ×
25.0 ×
-
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Sta$t
Inut /;10
Multil ; , 2 to g#tnum,#$ ,#&o$# %#cimal7 San% a&t#$ %#cimal7 T
ai R
Is T 05
n i/;
10 /a
-1. . .a
-n
2
STO
;$action ; to ,# con+#$t#%to ,ina$ &o$mat
No
8#s
T =−= F1,ii
1i −=
-
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N$%ERO !ECI%A& A BINARIO
t#n#mos
Entonc#s
( ) ( )210
?.?1875.11 =
210 )1011()11( =
210 )0011.0()1875.0( =
210 )0011.1011()1875.11( =
-
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Todos los números decimales )raccionarios no sepueden representar e*actamente
NumberNumber a)ter
decimal
Number be)ore!ecimal
0.6 0.6
1.2 0.2
0.( 0.(
0.: 0.:
1.6 0.6
Table +, Con-ertin. a base/1# )raction to appro*imate binar0representation,
23.0 ×26.0 ×22.0 ×24.0 ×28.0 ×
10 −= a
21 −= a
3
0−
= a
40 −= a51 −= a
28125.0)01001.0()()3.0( 225432110 ==≈ −−−−− aaaaa
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Otra manera de -er lacon-ersión
Con+#$t to ,as# 2( )101875.11
( )
( ) 2
0123
013
13
3
10
1011
21212021
222
122
3211
=×+×+×+×=
++=
++=+=
-
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( )
( ) 2
4321
43
3
10
0011.
21212020
22
0625.021875.0
=
×+×+×+×=
+=
+=
−−−−
−−
−
( ) ( )210
0011.10111875.11 =
-
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1(
REPRESENTACIÓN !E& P"NTO'&OTANTE
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Punto fotante decimal: FormaCientíca
2
3
2
10.56782aswrittenis78.256
10678.3aswrittenis003678.0
105678.2aswrittenis78.256
×−−
×+
×+−
-
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E=#mlo
E=#mlo! a$a
>a &o$ma #s!
o
exponent10mantissasign ××em 10××σ
2105678.2 ×−
2
5678.2
1
==−=
e
m
σ
-
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'ormato de la coma otante para losnúmeros binarios
1 no s# almac#na mi#nt$as u# s# %a si#m$# a$a s#$ 1.
( )
( ) ( )[ ] mm
m y e
22 101mantissa
ve-or1ve,or0n!m"ero sign
2
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E2emploPalabra hipotetica de 9 bits
th# ?$st ,it is us#% &o$ th# sign o& th# num,#$7 th# s#con% ,it &o$ th# sign o& th# #@on#nt7 th# n#@t &ou$ ,its &o$ th# mantissa7 an% th# n#@t th$## ,its &o$ th# #@on#nt
3e 4a-e t4e representation as
0 0 1 0 1 1 1 0 1
Sign o& th#num,#$
mantissaSign o& th##@on#nt
#@on#nt
( ) ( ) ( )
( ) ( )22
5
2210
1011011.1
21011011.111.11011075.54
×≅
×==
-
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#psi$on %e $a &a'!ina
D#?ni%o como la m#%i%a %# #@actitu%
calcula%o o$ %i$#ncia #nt$# 1 #l nAm#$osigui#nt# u# u#%#n s#$ $#$#s#nta%os
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E@aml#
Di#B ,it o$%
Signo %#l num#$oSigno %#l #@on#nt#
Sigui#nt# cuat$o ,its a$a #l #@on#nt#Sigui#nt# cuat$o ,its a$a la mantissa
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1N#@tnum,#$
4210625.1 −=−=∈mach
( )101=
( ) ( )102 0625.10001.1 ==
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Error relati-o 0 epsilon de la ma5uina
E@aml#
1# bit 6ord 7si.n8 si.n o) e*ponent8 9 )or e*ponent8 9 )or mantissa:
0 1 0 1 1 0 1 1 0 0
Sign o& th#num,#$
mantissa
Sign o& th##@on#nt
#@on#nt
El error verdadero relativo absoluto en la representación
de un número será menor entonces el épsilon de lamáuina
( ) ( )
( ) ( )20110
2
5
210
21100.1
21100.102832.0
−
−
×=
×≅
( ) ( )
0625.02034472.0
02832.0
0274375.002832.0
0274375.021100.1
4
0110
22
=
-
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IEEE ;
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IEEE-9*( ;loating oint
Stan%a$%Estandari>a la representación de los números depunto otante en di-ersas computadoras ensimple 0 doble precisión
Estandari>a la representación de las operacionesde punto otante en di-ersas computadoras,
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RE'ERENCIA I%PORTANTE
Ca%a $osional #n ci#ncia # ing#ni#$a /#incluso si ust#% no lo #s %#,# sa,#$ so,$#a$itmtica %# unto Fotant#G
-
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2*
IEEE-9*( ;o$mat Singl#$#cision
+( bits )or sin.le precision
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Sign/s
)ias#%E@on#nt /#H
Mantissa /m
( ) 1272 21)1(a$!e . −××−= e s m
-
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26
E@aml#11 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Sign/s
)ias#%E@on#nt /#H
Mantissa /m
( ) ( ) 1272 2.11a$!e −××−= e s m
( ) ( ) 127)10100010(21
2210100000.11 −××−=
( ) ( ) 127162
2625.11
−
××−= ( ) ( ) 1035 105834.52625.11 ×−=××−=
E l 2
-
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29
E@aml#2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Sign/s
)ias#%E@on#nt /#H
Mantissa /m
R#$#s#nt -*.*:'(@1010 as a singl#$#cision Foating oint num,#$.
( ) ( ) ?110 2?.11105834.5 ±××−=×−
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2:
E*ponent )or +( Bit IEEE/;
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Casos especiales de e#ponentes
Kctual $ang# o&
an%
are reserved $or special numbers
Kctual $ang# o&
e′2541 ≤′≤ e
0=′e 255=′e
127126 ≤≤− e
e
-
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S#cial E@on#nts an% Num,#$s
all B#$os
all on#s
s m Represents
0 all zeros all zeros 0
1 all zeros all zeros -0
0 all ones all zeros
1 all ones all zeros
0 or 1 all ones non-zero NaN
0=′e255=′e
e′
∞∞−
-
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'1
IEEE-9*( ;o$mat
Th# la$g#st num,#$ , magnitu%#
Th# small#st num,#$ , magnitu%#
Machin# #silon
( ) 381272 1040.321........1.1 ×=×
( ) 381262 1018.220......00.1 −− ×=×
723 101*.12 −− ×==machε
-
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'2
-
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''
'uentes de ERROR
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'(
%os son las Fuentes de errores en
calculo numérico
1 Roun% oL #$$o$
2 T$uncation #$$o$
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'*
Roun% oL E$$o$
Causa%o o$ $#$#s#nta$a$o@ima%am#nt# un num#$o.
333333.03
1≅
...4142.12 ≅
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'6
$o,l#mas c$#a%os o$ #$$o$ %#$#%on%#o
(? americanos son asesinados en )ebrero el (<de 1@@1 por un misil Scud ira5u en !4a4ran8Arabia saudi,
El sistema de de$ensa P&'()*' no pudo rastreare interceptar el +cud, Por ué-
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'9
$o,l#ma con #l Misil at$iotEl ciclo de relo2 de 11# de se.undos )uerepresentado en re.istro de punto 2o (9/bitcreó un error de @8< * 1# /? se.undos,
>a ,at#$a #$a #nc#n%i%o o$ 100 ho$ascons#cuti+as7 as causan%o una in#@actitu%%#
1+r
3600s100+r 0.1s
s10*.5 8
×××= −
s342.0=
-
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':
El $ango calcula%o #n #l sist#ma u# s#alcanBa,a #l misil #$a 6:9 m#t$os
El ,lanco consi%#$a%o #$a a$a una %istanciamao$ %# 1'9 m#t$os
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(0
Th#$mal E@ansion Co#ci#nt +s T#m#$atu$#
/(
o
F) , (inin
o
F)
-340 2.45
-300 3.07
-220 4.08
-160 4.72
-80 5.43
0 6.00
40 6.24
80 6.47
T D D ∆=∆ α
-
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(1
R#g$#ssing Data in E@c#l/g#n#$al &o$mat
α = -1E-05T2 + 0.0062T + 6.0234
-
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(2
O,s#$+#% an% $#%ict#% alu#s
/(oF) , (ininoF)iven
, (ininoF)re%ite%
-340 2.45 2.76
-300 3.07 3.26
-220 4.08 4.18
-160 4.72 4.78
-80 5.43 5.46
0 6.00 6.02
40 6.24 6.26
80 6.47 6.46
α = -1E-05T2 + 0.0062T + 6.0234
-
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('
R#g$#ssing Data in E@c#l
/sci#nti?c &o$mat
α = -1.2360E-05T2 + 6.2714E-03T + 6.0234
-
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((
Obser-ed and Predicted alues
/(oF) , (ininoF)iven
, (ininoF)re%ite%
-340 2.45 2.46
-300 3.07 3.03
-220 4.08 4.05
-160 4.72 4.70
-80 5.43 5.44
0 6.00 6.02
40 6.24 6.25
80 6.47 6.45
α = -1.2360E-05T2 + 6.2714E-03T + 6.0234
-
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(*
Obser-ed and Predicted alues
T(oF) , (in/in/oF)
Given
, (in/in/oF)Predicted
, (in/in/oF)
Predicted
-340 !4" !4# !$#
-300 3!0$ 3!03 3!#
-0 4!0% 4!0" 4!1%
-1#0 4!$ 4!$0 4!$%
-%0 "!43 "!44 "!4#
0 #!00 #!0 #!0
40 #!4 #!" #!#
%0 #!4$ #!4" #!4#
α = -1.2360E-05T2 + 6.2714E-03T + 6.0234
α = -1E-05T2 + 0.0062T + 6.0234
-
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(6
Error de Truncamieno
-
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(9
Truncation errorError Causado por Truncamiento o apro*imadoen un procedimiento matem=tico,
-
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(:
E*ample o) Truncation Error
TaPing onl a t#$ms o& a Maclau$in s#$i#s to
a$o@imat#
I& onl ' t#$ms a$# us#%7
....................32
132
++++= x x
xe x
xe
++−=
21
2
x xe Error Truncation x
-
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(<
Anot4er E*ample o) Truncation Error
Using a ?nit# to a$o@imat#
P
Q
secant line
tangent line
'i.ure 1, K$o@imat# %#$i+ati+# using ?nit# Q@
x∆ )( x f ′
x
x f x x f x f
∆−∆+
≈′ )()(
)(
-
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*0
Anot4er E*ample o) Truncation
Error"sin. nite rectan.les to appro*imate an inte.ral,
-
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*1
Example 1 —Maclaurin seriesCalculat# th# +alu# o& ith an a,solut#
$#lati+# a$o@imat# #$$o$ o& l#ss than 1.
n
1 1
2 2.2 1.2 54.545
3 2.*2 0.72 24.658
4 3.208 0.288 8.*776
5 3.2*44 0.0864 2.6226
6 3.3151 0.020736 0.62550
6 t#$ms a$# $#ui$#%. o man a$# $#ui$#% to g#t at l#ast 1 signi?cant%igit co$$#ct in ou$ ans#$5
2.1e
...................3
2.1
2
2.12.11
322.1
++++=e
a E a∈2.1e
-
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*2
E*ample ( D!ierentiation
;in% &o$ using
an%
Th# actual +alu# is
T$uncation #$$o$ is th#n7
Can ou ?n% th# t$uncation #$$o$ ith
)3( f ′ 2)( x x f = x
x f x x f x f
∆
−∆+≈′
)()()(
2.0=∆ x
2.0
)3()2.03()3(
f f f
−+=
2.0
)3()2.3( f f
−= 2.0 32.3 22
−= 2.0*24.10 −
= 2.024.1
= 2.6=
,2)( x x f = 632)3( =×= f
2.02.66 −=−
1.0=∆ x
-
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*'
E*ample + D Inte.rationUs# to $#ctangl#s o& #ual i%th to a$o@imat# th# a$#a un%#$ th#cu$+# &o$
o+#$ th# int#$+al2)( x x f = *,39
∫ *
3
2dx x
-
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*(
Choosing a i%th o& '7 # ha+#
Kctual +alu# is gi+#n ,
T$uncation #$$o$ is th#n
Can ou ?n% th# t$uncation #$$o$ ith ( $#ctangl#s5
)6*()()36()(6
2
3
2
*
3
2−+−=
==∫ x x
x xdx x
3)6(3)3( 22 +=
13510827 =+=
∫
*
3
2dx x
*
3
3
3
= x 234
3
3* 33=
−=
**135234 =−
-
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**
%edicion de Errores
P*(./E 0E%)(
-
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*6
P*(./E 0E%)(E((*(E+-
Para determinar la e*actitud del resultadosnumFrico,
Para desarrollar los criterios de al.oritmositerati-os,
-
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*9
ERROR ER!A!ERO
D#?ni%o como la %i$#ncia #nt$# #l +alo$ +#$%a%#$oo,t#ni%o #n un clculo #l +alo$ a$o@ima%o#ncont$a%o con un mto%o num$ico #tc.
True Error G True alue H Appro*imate alue
-
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*:
E@aml#T$u# E$$o$
Th# %#$i+ati+#7 o& a &unction
can ,# a$o@imat#% , th# #uation7
I& an%
a ;in% th# a$o@imat# +alu# o&
, T$u# +alu# o&
c T$u# #$$o$ &o$ a$t /a
)( x f ′ )( x f
h
x f h x f x f
)()()(
−+≈
xe x f 5.07)( = 3.0=h
)2( f
)2( f
Solution
-
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*<
Solution!
a ;o$ an%2= x 3.0=h
3.0
)2()3.02()2(
f f f
−+≈
3.0
)2()3.2( f f −=
3.0
77 )2(5.0)3.2(5.0 ee −=
3.0
028.1*107.22 −= 263.10=
-
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60
Solution!
, Th# #@act +alu# o& can ,# &oun% , using
ou$ Pnol#%g# o& %iL#$#ntial calculus.
So th# t$u# +alu# o& is
T$u# #$$o$ is calculat#% as
T$u# alu# V K$o@imat# alu#
)2( f
xe x f 5.07)( =
xe x f 5.05.07)( ××=
xe 5.05.3=
)2(5.05.3)2( e f =
)2( f
5140.*=
=t E 722.0263.105140.* −=−=
-
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61
Error (elativo 1erdadero
D#?ni%o como #l coci#nt# #nt$# #l #$$o$ +#$%a%#$o7 #l +alo$+#$%a%#$o.
.
.r
Error Verdadero
Valor Verdaderoε =
-
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62
E*ampleDRelati-e True Error
;olloing &$om th# $#+ious #@aml# &o$ t$u# #$$o$7
?n% th# $#lati+# t$u# #$$o$ &o$
at ith
;$om th# $#+ious #@aml#7
R#lati+# T$u# E$$o$ is %#?n#% as
as a #$c#ntag#7
xe x f 5.07)( =)2( f 3.0=h
722.0−=t E
a$!e/r!e
#rror /r!e=∈t
5140.*
722.0−= 075888.0−=
100075888.0 ×−=∈t 5888.7−=
E$$o$ %# a$o imacion
-
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6'
E$$o$ %# a$o@imacion 3u o%#mos hac#$ si los +alo$#s +#$%a%#$os no s#
sa,#n o son mu %i&cil %# o,t#n#$5 El #$$o$ a$o@ima%o s# %#?n# como la %i$#ncia
#nt$# la a$o@imacion actual la a$o@imacinant#$io$.
. .a E Aprox Actual Aprox Anterior = −
E l A i t E
-
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6(
E*ampleDAppro*imate Error
;o$ at ?n% th# &olloing7
a using
, using
c a$o@imat# #$$o$ &o$ th# +alu# o& &o$ a$t ,
Solution!
a ;o$ an%
xe x f 5.07)( = 2= x
)2( f ′ 3.0=h
)2( f ′ 15.0=h
)2( f ′
h
x f h x f x f
)()()(
−+≈
2= x 3.0=h
3.0
)2()3.02()2(
f f f
−+≈
/cont )2()32( ff
-
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6*
/cont.
, ;o$ an%
3.0
)2()3.2( f f −=
3.0
77 )2(5.0)3.2(5.0 ee −=
3.0
028.1*107.22 −= 263.10=
2= x 15.0=h
15.0
)2()15.02()2(
f f f
−+≈
15.0
)2()15.2( f f −=
/cont.
-
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66
/cont.
c So th# a$o@imat# #$$o$7 is
Present &ppro#imation 2 Previous &ppro#imation
15.0
77 )2(5.0)15.2(5.0 ee −=
15.0
028.1*50.20 −= 8800.*=
a E
=a E
263.108800.* −=
38300.0−=
E$$o$ R#lati+o a$o@ima%o
-
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69
E$$o$ R#lati+o a$o@ima%o
D#?ni%o como #l coci#nt# #nt$# #l #$$o$
a$o@ima%o la actual a$o@imacin.
.
.a
Error Aproximado
Aproximacion acual ε =
E l R l ti K i t E
-
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6:
E@aml#R#lati+# K$o@imat# E$$o$
;o$ at 7 ?n% th# $#lati+# a$o@imat#
#$$o$ using +alu#s &$om an%
Solution!
;$om E@aml# '7 th# a$o@imat# +alu# o&
usingan%
using
$#s#nt K$o@imation V $#+ious K$o@imation
xe x f 5.07)( = 2= x
3.0=h 15.0=h
263.10)2( =′ f
3.0=h 8800.*)2( =′ f 15.0=h
=a E
263.108800.* −=
38300.0−=
cont.
-
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6<
K$o@imat# E$$o$
$#s#nt K$o@imation
as a #$c#ntag#7
K,solut# $#lati+# a$o@imat# #$$o$s ma also n##% to ,#calculat#%7
=∈a
8800.*
38300.0−= 038765.0−=
8765.3100038765.0 −=×−=∈a
:038765.0: −=∈a 8765.3or 038765.0=
Cómo utili3ar el error relativo absoluto como
-
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90
I& h#$# is a $#-s#ci?#% tol#$anc#7 th#n
no &u$th#$ it#$ations a$# n#c#ssa$ an% th# $oc#ss is sto#%.
I& at l#ast m signi?cant %igits a$# $#ui$#% to ,# co$$#ct in th# ?nalans#$7 th#n
Cómo utili3ar el error relativo absoluto comocriterio de paro-
sa ∈≤∈ :: s∈
105.0:: 2 ma−×≤∈
Ta,l# o& alu#s
-
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91
Ta,l# o& alu#s
;o$ at ith +a$ing st# siB#7
0.' 10.26' N"K 0
0.1*
-
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92
-
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9'
REPASO !E &A SERIE !ETA&OR
WIWIDKTK INX.
-
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9(
JuF es la serie de Ta0lorKAl.unos de los e2emplos de la serie de Ta0lor 5ue "d, debe4aber -isto
WIWIDKTK INX.
+−+−=
642
1)os(642 x x x
x
+−+−=753
)sin(753 x x x
x x
++++=32
132 x x
xe x
X l T l S i
-
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9*
X#n#$al Talo$ S#$i#s Th# g#n#$al &o$m o& th# Talo$ s#$i#s is gi+#n ,
Con la con%icin %# u# to%as sus %#$i+a%as %# &/@ son continuas #@ista #n #l int#$+alo Y@7@hZ
Como 4abra dic4o Ar5umedes8 L dame el valor de la $unción enun solo punto4 5 al valor de todos los 6primero4 se7undo4etcétera8 de sus derivados en ese solo punto4 puedo darle el
valor de la $unción en cualuier otro punto
WIWIDKTK INX.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+′′′
+′′
+′+=+ 3232
h x f
h x f
h x f x f h x f
E@aml#Talo$ S#$i#s
-
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96
a # a o S# #s
;in% th# +alu# o& gi+#n that
an% all oth#$ high#$ o$%#$ %#$i+ati+#s
o& at a$# B#$o.
Solution!
WIWIDKTK INX.
( )6 f ( ) ,1254 = f ( ) ,744 =′ f
( ) ,304 =′′ f ( ) 64 =′′′ f ( ) x f 4= x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +′′′+′′+′+=+32
32 h x f
h x f h x f x f h x f
4= x
246 =−=h
Solution! /cont.
-
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99
Sinc# th# high#$ o$%#$ %#$i+ati+#s a$# B#$o7
Not# that to ?n% #@actl7 # onl n##% th# +alu#
o& th# &unction an% all its %#$i+ati+#s at som# oth#$ oint7 in this cas#
WIWIDKTK INX.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
2
42
2
424424
32
f f f f f ′′′+′′+′+=+
( ) ( )
+
++=
3
26
2
2302741256
32
f
860148125 +++= 341=( )6 f
4= x
!eri-ation )or %aclaurin Series )or
-
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9:
e*
D#$i+# th# Maclau$in s#$i#s
Th# Maclau$in s#$i#s is siml th# Talo$ s#$i#s a,out th# oint@0
WIWIDKTK INX.
++++= 321
32 x x
xe x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +′′′′′+′′′′+′′′+′′+′+=+5432
5432 h x f h x f h x f h x f h x f x f h x f
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +′′′′′+′′′′+′′′+′′+′+=+
5
0
4
0
3
0
2
00005432 h
f h
f h
f h
f h f f h f
Sinc# an% xn x x x e x f e x f e x f e x f ==′′=′= )(,...,)( ,)(,)( 1)0( 0 == e f n
-
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9<
th# Maclau$in s#$i#s is th#n
So7
WIWIDKTK INX.
ffff )(,,)(,)(,)( )(f
...53
)(
52
)()()()( 3
02
000 h
eh
eheeh f +++=
...3
1
2
11 32 hhh +++=
...32
1)(32
++++= x x
x x f
E$$o$ in Talo$ S#$i#s
-
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:0
E$$o$ in Talo$ S#$i#s
h#$# th# $#main%#$ is gi+#n ,
h#$#
that is7 c is som# oint in th# %omain Y@7@hZ
Th# Talo$ olnomial o& o$%#$ n o& a &unction f(x) ith
(n+1) continuous %#$i+ati+#s in th# %omain Y x,x+h] isgi+#n ,
WIWIDKTK INX.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x Rn
h x f
h x f h x f x f h x f n
nn ++++′+=+
2
2
( ) ( ) ( ) ( )c f
n
h x x R n
n
n
1
1
)1(
++
+−=
h xc x +
-
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:1
Th# Talo$ s#$i#s &o$ at oint is gi+#n ,
WIWIDKTK INX.
!e la serie cuantos mas tFrminos se tome el error disminu0e 0
por lo tanto se tendr= una me2or estimación de la )unción a sercalculada,
Cu=ntos tFrminos se re5ueriran para conse.uir unaapro*imación de e1 dentro de una ma.nitud del error -erdaderode menos de 1#/M,
xe 0= x
++++++=5432
15432 x x x x
xe x
Solution!
-
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:2
Using t#$ms o& Talo$ s#$i#s gi+#s #$$o$ ,oun% o&
Sinc#
WIWIDKTK INX.
( )1+n
( )
( )
( )( )
( )c f n
h x
x R n
n
n
1
1
1
++
+
−
=
xe x f h x === )(,1,0
( ) ( )
( )( ) ( )c f
n R n
n
n
1
1
1
100 +
+
+
−=
( )( )
cn
en 1
1 1
+−=
+
h xc x +
-
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:'
So i& # ant to ?n% out ho man t#$ms it oul%
$#ui$# to g#t an a$o@imation o& ithin a
magnitu%# o& t$u# #$$o$ o& l#ss than 7
So < t#$ms o$ mo$# a$# n##%#% to g#t a t$u# #$$o$
l#ss than
WIWIDKTK INX.
1e
610−
610)1(
−<+ne
en 6
10)1( >+
310)1( 6 ×>+n
*≥n
610−
-
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:(
-
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:*
PROPAACION !E
ERRORES
-
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:6
Propa.acion de errores
En mFtodos numFricos8 los c=lculos nose 4acen con números e*actos, Cómoestas ine*actitudes se propa.an en losc=lculosK
E@aml# 1!
-
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:9
Encontrar los limites de Propagacion en la suma de dos numeros. Ejemplo si
uno esta calculando X +Y donde
X = 1.5 ± 0.05Y = 3.4 ± 0.04
Solution
Maximum possile !alue o" X = 1.55 # Y = 3.44
Maximum possile !alue o" X +Y =1.55+3.44=4.$$
Minimum possile !alue o" X =1.45 # Y = 3.3%.
Minimum possile !alue o" X +Y =1.45+3.3%=4.&1
Por lo tanto
4.&1 ' ( + ) '4.$$.
Propa.ación de errores en
-
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::
p .)órmulas
SI $ #s una &uncin %# +a$ias +a$ia,l#s @17 @27 @'7 [.@n-17@n
#ntonc#s #l +alo$ m@imo osi,l# %#l #$$o$ #n $ #sta%a%o!
n
n
n
n
X X
f X
X
f X
X
f X
X
f f ∆
∂∂
+∆∂
∂++∆
∂∂
+∆∂∂
≈∆ −−
1
1
2
2
1
1
.......
E@aml# 2!
-
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:<
>a t#nsin #n un mi#m,$o a@ial %# una s#ccin$#$#s#ntati+a cua%$a%a #sta %a%o!
Encu#nt$# #l #$$o$ m@imo osi,l# m@imo #n la
m#%i%a %# lala t#nsion.
E h
F 2
∈=
;*.072 ±= F
mm1.04 ±=h
a5.170 ±= E
Solucion
-
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-
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-
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SolutionS#a!
Entonc#s!
El cam,io $#lati+o #sta %a%o o$!
a su,st$accin %# los nAm#$os u# son mu c#$canos o casi igual#s c$#ain#@actitu%#s in%#s#a%as. Usa$#mos la &$mula a$a la $oagacin %##$$o$7 #l cual s# %#mu#st$a u# #sto #s +#$%a%.
y x z −=
y y
z x
x
z z ∆
∂∂
+∆∂∂
=∆
y x ∆−+∆= )1()1(
y x ∆+∆=
y x
y x
z
z
−
∆+∆=
∆
o$ #=#mlo si!
-
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=
0.6667
66.67
001.02 ±= x
001.0003.2 ±= y
:003.22:
001.0001.0
−
+
=
∆ z
z