Download - Razon Matematico
SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA
SÍLABO DESARROLLADO
DE
RAZONAMIENTO MATEMATICO
PROGRAMA REGULAR
2008
SILABORAZONAMIENTO-MATEMÁTICO
(PROCESO REGULAR)
I. DATOS GENERALES
EJE CURRICULAR : Formación GeneralAREA EDUCATIVA : Formación Científica BásicaAREA COGNITIVA : Ciencias Lógico - MatemáticasAÑO DE ESTUDIO : PRIMER AÑOHORAS SEMESTRALES : 80 horas académicasHORAS SEMANALES : 05CRÉDITOS : 3.5PERIODO ACADEMICO : I Semestre
II. SUMILLA
La Asignatura forma parte del Área de Formación Científica Básica del Currículo de Estudios de las Escuelas Técnico - Superiores de la Policía Nacional del Perú, siendo de naturaleza instrumental y de carácter teórico – práctico, a través de sus Unidades de Aprendizaje imparte conocimientos sobre: Revisión Matemática, Teoría de Conjuntos, Relaciones en el Conjunto de los Números Reales – Contenidos Procedimentales, Geometría Analítica Plana; Relaciones Binarias y Funciones Reales de Variable Real.
III. OBJETIVOS
A. OBJETIVO GENERAL
Posibilitar el desarrollo del razonamiento lógico y estructurado del pensamiento.
B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Conceptuar y aplicar correctamente las operaciones de la Teoría de Conjuntos.
2. Identificar, desarrollar y resolver operaciones, adecuadamente, en el Sistema de los Números Reales (R).
3. Definir, identificar, interpretar y aplicar analítica y gráficamente en el Plano Coordenado Cartesiano Rectangular los conceptos de Relaciones en el Conjunto de los Números Reales (R).
4. Conceptuar, relacionar y operar con Funciones de Variable Real.
ESCUELA DE SUBOFICIALES
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IV. CONTENIDOS
I UNIDADREVISIÓN MATEMÁTICA
PRIMERA SEMANA(05 horas)
03 MARZOAL
08 MARZO
Primera SesiónNivelación – Revisión – Afianzamiento del operativo básico en Q, Z y N. Uso de numerales decimales y su fracción generatriz equivalente. Notación Científica.
Segunda SesiónDespeje de Variable lineal y cuadrática. Factorización: Factor común – Aspa simple – Completación de cuadrados.MCM numérico y algebraico – Intervalo – Notación – Plano coordenado cartesiano rectangular – Par Ordenado. Sus componentes y su representación.Taller: Práctica dirigida
II UNIDAD TEORÍA DE CONJUNTOS
SEGUNDASEMANA(05 horas)10 MARZO
AL15 MARZO
Primera SesiónConjunto. Determinación de Conjuntos. Conjuntos Notables - Pertenencia – Diagrama de Venn – Euler- Relaciones entre conjuntos. Propiedades. Conjuntos Numéricos Notables.Taller: Práctica dirigida
Segunda SesiónOperaciones entre conjuntos. Propiedades. Visualizar sectores característicos en una intersección de conjuntos tipo. Representación gráfica de conjuntos. Operaciones con conjuntos: Unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica, complemento-problemas de conjuntos.
Taller: Práctica dirigida
III UNIDAD RELACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES –
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
TERCERASEMANA(05 horas)17 MARZO
AL22 MARZO
Primera SesiónNúmeros Reales. Axiomas de Adición y Multiplicación – Relación de orden. Ecuaciones racionales enteras lineales con coeficientes enteros y fraccionales. Resolución de inecuaciones lineales usando intervalos.
Segunda SesiónTaller: Práctica dirigida
CUARTA SEMANA(05 horas)24 MARZO
AL29 MARZO
Primera SesiónTaller: Práctica dirigida
Segunda SesiónTaller: Práctica dirigida
QUINTA SEMANA(05 horas)31 MARZO
AL05 ABRIL
Primera SesiónPRÁCTICA CALIFICADA(Comprende Contenidos Temáticos de la 1ª a la 4ª. Semanas y los contenidos de los Talleres).
Segunda SesiónInecuaciones cuadráticas. Puntos críticos. Inecuación de grado superior – Inecuación fraccionaria – Valor absoluto aplicado en ecuaciones e inecuaciones
IV UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
SEXTASEMANA(05 horas)07 ABRIL
AL12 ABRIL
Primera SesiónTópicos de Geometría Analítica – Coordenadas cartesianas rectangulares – Pares Ordenados. Distancia entre dos puntos – Ecuaciones de la recta.
Segunda SesiónTaller: Práctica dirigida
SÉTIMA SEMANA(05 horas)14 ABRIL
AL19 ABRIL
Primera SesiónTaller: Recapitulación para el Examen Parcial
Segunda SesiónTaller: Práctica dirigida
OCTAVA SEMANA(05 horas)21 ABRIL
AL26 ABRIL
Primera SesiónTaller: Práctica dirigida
Segunda SesiónEXAMEN PARCIAL I
(Contenidos silábicos de las 8 semanas - 90 minutos
NOVENA SEMANA(05 horas)28 ABRIL
AL03 MAYO
Primera SesiónLa circunferencia – Ecuaciones canónicas: con centro en el origen de coordenadas y fuera de él. Dominio y Rango – Gráfica.
Segunda SesiónTaller: Práctica dirigida
V UNIDAD RELACIONES BINARIAS Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL. CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
DECIMASEMANA(05 horas)05 MAYO
AL10 MAYO
Primera SesiónRelaciones binarias. Dominio y Rango – Ley de correspondencia. Funciones. Dominio - Rango -Ley de correspondencia. Funciones especiales: Constante – Identidad – Raíz Cuadrada – Valor Absoluto. Álgebra de Funciones.
Segunda SesiónTaller: Práctica dirigida
DÉCIMA PRIMERASEMANA(05 horas)12 MAYO
AL17 MAYO
Primera SesiónSucesiones: Sucesiones Aritméticas (progresiones Aritméticas). Sucesiones Geométricas (Progresiones Geométricas)
Segunda SesiónTaller: Práctica dirigida.
DÉCIMO SEGUNDASEMANA(05 horas)19 MAYO
AL24 MAYO
Primera SesiónInterés Simple (I). Capital (C). Tasa nominal (%). Tanto por uno (i). Tiempo en años (n). Monto simple (M). Capital aumentado en sus intereses.
Segunda SesiónPRACTICA CALIFICA (P2).
DÉCIMO TERCERASEMANA(05 horas)26 MAYO
AL31 MAYO
Primera SesiónRepaso de contenidos de la Asignatura: de la 9ª a la 12ª.
Segunda Sesión EXAMEN PARCIAL.
DÉCIMO CUARTOSEMANA(05 horas)02 JUNIO
AL07 JUNIO
Primera SesiónProbabilidad – Fenómeno y experimento aleatorio – Espacio muestral – Espacio Suceso – Álgebra de sucesos – Aplicaciones tipo.
Segunda Sesión Práctica dirigida.
DÉCIMO QUINTASEMANA(05 horas)09 JUNIO
AL14 JUNIO
Primera y Segunda SesiónTaller: Recapitulación y repaso para el Examen Final.
DÉCIMO SEXTA
SEMANA(05 horas)16 JUNIO
AL21 JUNIO
Primera y Segunda SesiónTaller: Recapitulación para el Examen Final.
DÉCIMO SETIMA
SEMANA23 JUNIO
AL28 JUNIO
EXAMEN FINAL
V. PROCEDIMIENTOS DIDÁCTICOS
A. Las técnicas de enseñanza se orientarán a la interacción permanente docente – educando, enmarcadas en la cultura participativa, el trabajo en equipo y el método de laboratorio.
B. Se promoverá la práctica permanente e intensiva de los contenidos mediante la realización de Talleres, en los que se facilitará la exposición de los conocimientos adquiridos.
VI. EQUIPOS Y MATERIALES
El docente para el desarrollo de la asignatura empleará los siguientes equipos y materiales:
A. EQUIPOS
Retroproyector, video grabadora, computador, proyector multimedia.
B. MATERIALES
Para el desarrollo temático se utilizarán ayudas audiovisuales, fuentes de información; así como Hoja de Práctica para los Talleres. Proveerá Separatas a los educandos, así como transparencias o videos para reforzar las técnicas de enseñanza.
VII. EVALUACIÓN
La asistencia a las sesiones teóricas es obligatoria en un 70% y a los Talleres en el 90%, en caso contrario de no existir justificación alguna por la Sub Dirección Académica de la ETS PNP, el Alumno (a) desaprobará la asignatura.
El proceso de evaluación del aprendizaje será permanente, comprenderá:
A. Evaluación Diagnóstica o de Entrada para valorar el nivel de conocimiento de la asignatura.
B. Evaluación Formativa Interactiva, en relación a la participación activa del Alumno (a) en el aula. El promedio de las intervenciones orales constituirá Nota de Paso Oral.
C. Evaluación Formativa o de Proceso para comprobar el rendimiento académico, pronosticar posibilidades de desarrollo de los Alumnos (a) y reorientar la metodología, para lo cual se aplicará:
1. Prácticas Calificadas
2. Dos exámenes escritos parciales (8ª y 13ª semana), enmarcados en los modelos de las Pruebas que son propias de la naturaleza de la Asignatura.
D. Evaluación Sumativa para comprobar el nivel de desarrollo cognoscitivo, reflexivo y del pensamiento lógico, para lo cual se aplicará un examen final (17ª semana), de similar característica empleada en los exámenes parciales.
E. El Promedio General se calculará en concordancia con las disposiciones establecidas en el Manual de Régimen de Educación de las Escuelas de Formación de la PNP y con la naturaleza de la asignatura, conforme se detalla a continuación:
Promedio General:
PG = PEP (3) + PO (1) + TA (2) +EF (4) 10
PEP = Promedio de Exámenes ParcialesPO = Paso OralTA = Promedio de Prácticas CalificadasEF = Examen Final
VIII. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
A. FIGUEROA GARCÍA, Ricardo. “Matemática Básica I”. Perú. Ed Cosmos.1993.
B. LEITHOLD, Louis, “Matemáticas previas para el Cálculo”. México. Ed.Harla.
C. MOYA CALDERÓN, Rufino. “Probabilidad”. Lima. San Marcos.1988
D. VENERO, Armando. “Matemática Básica”. Perú. Ed. Gemar. 1998.
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ET.S.PNP MATEMATICA UNIDADPUENTE PIEDRA TEMA: REVISION DE MATEMATICA 01
MARZ-2008PRIMERA SEMANA: 03 MARZO AL 08 MARZO
Números Naturales ( N ) N={0;1;2;3;4;5;....}Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; 0; 1 ; 1; 4 ;2;....}
2 3
Números Irracionales ( I ) I={...; ; , 2 , 3 ;....}
Números Reales ( R ) R={...;-2;-1;0 2 ; 3 ; 3 ; ;2;3;....}
Números Complejos ( C ) C={a+bi; ;2+3i;3+2i;....}
Siendo a y b números reales e i numero imaginario.
PotenciaciónLa potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.
Exponente
2x2x2x2= 2 4 =16 Potencia
base
Teoremas
1 Producto de Bases Iguales. Am. A.n = A m+n
En la multiplicación de dos o más factores de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes.
2 Cocientes de Bases Iguales A m = A m-n
A n
La división de dos potencias de igual base , se coloca la misma base y se restan los exponentes.
3 Producto de Bases Diferente e Igual potencia. (A. B)n = An Bn
4 Cocientes de Bases diferentes e igual potencia. A n= An
B Bm
5 Potencia de Potencia. (Am)n = Am.n
Las potencia de una potencia de base A y exponentes m y n es igual a la misma base A y se multiplican los exponentes.
6 Exponente cero. A0 = 1 A RTodo numero elevado a la cero es 1Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
7 Exponente negativo. A-n = 1
n8 Exponente fraccionario. Am/n = n Am
9 Cociente de bases diferentes . A -n = B n De una potencia negativa B A
NUMEROS DECIMALES Y FRACCIONES
Número decimal. Resulta de dividir el numerador entre el denominador de una fracción.
Fracción Generatriz. Es aquella fracción que da origen al número decimal.
CLASES DE FRACCIONES DECIMALES
Fracción Decimal Exacto. Posee cantidad limitada de decimales.
Cálculo de su fracción generatriz:
- En forma general:
Cuando la parte entera no es cero:
0,abcde = abcde 10000
n,abcde = nbcde 10000
Fracción Decimal Periódica Pura. Aquella en la que hay un grupo de cifras decimales, que se repiten
Cálculo de su fracción generatriz:
- En forma general:
- Cuando la parte entera no es cero:
Fracción Decimal Periódica Mixta. Cuando además del periodo existen otras cifras que no se repitan
Cálculo de su fracción generatriz:
- En forma general:
- Cuando la parte entera no es cero:
0,abcde = abcde-0 99999
n,abcde = nabcde-n 99999
n, abcde = nabcde-nab
99900
0, abcde = abcde-ab
99900
NOTACION EXPONENCIAL – NOTACION CIENTIFICA
Es usada para escribir cantidades muy grandes, así como bastantes pequeñas.Forma:
NC= f x 10 N
Donde: f= factor con una sola cifra enteraN: exponente
Ejemplo:
Observación Importante
a) Si la como decimal se desplaza hacia la derecha, el exponente del 10 será igual al número de cifras que se desplaza, acompañado del signo negativo.
Ejemplo:
b) Si la como decimal se desplaza hacia la izquierda, el exponente del 10 será igual al número de cifras que se desplaza, acompañado del signo positivo.
Ejemplo:
EJERCICIOS
1 Indicar verdadero o falso en las expresiones siguientes:
a) 5 -3= 1 125
b) -4 2 = 1 8
c) (-3)2 = -9
d) 1 -2 = 4 2
A)FFFV B) VFFF C) VFVV D) VFFV E) FVVF
2 Simplificar:
2 n+1 +2 n+3 +2 n+5 ; n N2 n
a)40 b)42 c)43 d)45 e)48
3 Simplificar:
2n 80 n +16 n 20n+4n
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
4 Simplificar:
P= 2 n +4 n+1 +8 n+2 2 6n+1
a)128b)32 c)64 d)16 e)256
5 Simplificar: X 2/3 6 1/2 4 X 1/4
a)X2 b) X3 c) X4 d) X5 e) X-1
6 Simplificar:
m+n A m B -n B A
a)A b)B c)A/B d)B/A e)1
7 Simplificar:
3n 36 n+1/2 ; n Z n 19996+ 6n
a)6 b) 6 c) 3 6 d)36 e)6 6
8 Hallar el valor Numérico de la siguiente expresión:
3 X 5 X ; cuando X= 2 60/7 X
a)2 1/7 b) 2 4 c) 25 d) 22 e) 1
9 Simplificar la siguiente expresión:
2n 42 2n+1 /n N 36n+1+62n+1
a)6 b)7 c)4 d)3 e)1
10 Simplificar la siguiente expresión:
n 3 n +1 /n N n 23-n+1
a)0 b)1 c)4 d)5 e)3
11 Resolver:5x-5x-1 =100a)0 b)1 c)2 d)4 e)3
12 Hallar La fracción generatriz de los siguientes decimales:
a) 2,5 b)0,15 c) e) f)
13º Calcular:
a)
b) 3,2-1+0,333..... 2
14° Hallar la fracción generatriz de: a) 25/63 b) 3/5 c) 5/22 d) 5/7 e) 4/9
15º Efectúe: M=1,2222...+1,2444...
a) 33/17 b) 37/15 c) 7/17d35/17e)38/25
16º El valor equivalente de S:
a) 3/5 b) 5/3 c) 2/5 d) 5/2 e) 1/4
17º Expresar en notación científica:a) 0,000035b) 213,5687c) 0,000025468 d) 21,2000000e) 3250000000f) 5500000000
18º Reducir las siguientes expresionesa) b)
c)
d)
19.- El valor de: 0,8333..-0,4545....
0,375 + 0,666....expresado como fracción ordinaria es:a)7/33 b)11/4 c)4/11 d)33/7 e)N.A
20. DIGA SI LAS SIGUIENTES IGUALDADES SON VERDADERAS (V) O FALSAS (F)
2 7 5 24a) x . x . x = x ( )
6 4 x x
0,5 0,33….b) 81 + 27 = 12 ( )
- 1 4 16c) 5 = 5 ( )
3 5 d) 2 . 2 = 16 ( )
16
a) FFFF b) VVVV c) FVFV d) VFVF e) VVFF
21 Conjunto de Números Contestar Verdadero o Falso
i) 30 N ( ) ii) 3/4 Q ( ) iii) Raíz Cuadrada de -1 C ( )iv) 6i Z ( )
a)VVVV b)VFVF c)VVVF d)VFVF e)FFVF
22 Calcular:
a) 0b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
23 Expresar en notación científica:(85000) (0,00004)
a)0,34 b)0,3x10 c)3,4 d)3,04x10-2
e)4,3 x102
24 De la siguiente Afirmación:
(base de los logaritmos neperianos), etc. pertenecen específicamente al conjunto de los números………………………….
25 Expresar en notación científica el numero: 248 000 000 000 000
26 Calcular la fracción generatriz de 0,42555…
27 Reducir:2 n+4 +2 n+3 2 n+3-2 n+2
28 Hallar el valor de a si;
29 Reducir las siguientes expresiones. a) 0,00001 x 0.001 x1011 x 100000
b) (0,0001)2 x (0,1) –3 x (0,01)-1
30 Calcule la suma de los términos de la fracción Q = M / N, si: M = 0,34444….. + 0,31111….
N = 0,02222…. + 1,46666….
a)59/134 b)59/135 c)59/136 d) 60/134
e)56/134
ET.S.PNP MATEMATICA UNIDADPUENTE PIEDRA TEMA: REVISION DE MATEMATICA 01
SEGUNDA: SESION
1. DESPEJE DE VARIABLE LINEAL Y CUADRÁTICA
A. ECUACIÓN LINEALEcuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.
Ejemplos:
5x + 2 = 173x – 5 = 2x – 3
o Con signos de agrupación (5 – 3x) - (- 4x + 6) = (8x + 11)-(3x - 6)o Con productos indicados (x + 1)(x - 2) – (4x - 1)(3x + 5) – 6 = 8x – 11
(x2 + 4x - 21)o Con denominadores 2 – x – 1 = 2x – 1 - 4x - 5
40 4 8
CLASES DE ECUACIONES
1 ECUACION NUMERICA: Es una ecuación que no tiene mas letras que las incógnitas.
Ejemplo: 4x – 5 = x + 4 La única letra es la incógnita x.
2 ECUACION LITERAL: Es una ecuación que además de las incógnitas, tiene otras letras que representan cantidades conocidas.
Ejemplo: 3x + 2 a = 5 b – bx
3 CUACION ENTERA: Cuando ninguno de sus términos tiene denominadores. Ejemplo: 5x – 6 = 3x + 8
4 ECUACION FRACCIONARIA: Cuando alguno o todos sus términos tiene denominadores.
Ejemplo: 3x + 6x = 5 + x 2 5 5
GRADO DE UNA ECUACION
a. CON UNA SOLA INCOGNITA.- Es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.SON DE PRIMER GRADO : 4x – 6 = 3x – 1
SON DE SEGUNDO GRADO: X2 – 5X + 6 = 0
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER ECUACIONES
Eliminamos paréntesis Eliminamos denominadores Agrupamos términos semejantes Despejamos la variable Comprobamos la solución
Ejemplo:
ECUACIONES – PLANTEO DE PROBLEMASTodo problema implica una relación entre los elementos que en el interviene de los cuales a lo menos uno es desconocido. Esta relación se puede expresar en lenguaje algebraico, dando origen generalmente a una ecuación.
Lenguaje Común Lenguaje Algebraico
Lenguaje Común Lenguaje Algebraico
La Mitad de un número X = 1 X 2 2
Las dos quintas partes 2 X de un número 5
El triple de un número, 3 X + 6aumentado en 6
El exceso de un número X - 20sobre 20
El triple de un número 3 ( X + 6 )aumentado en 6
Un número dio disminuido X – 3 Xen sus 3/ 4 partes 4
Un número aumentado X + X2 en su cuadrado
Dos números consecutivos X ; X + 1
El cubo de un número, X3 – 4
disminuido en 4 El cubo de un número (X - 4)3
disminuido en 4
PROBLEMAS RESUELTOS1. Si al triple de la edad que tendré dentro de 3 años, le restas el triple de la edad
que tuve hace tres años, tendrás mi edad actual. ¿Cuál es mi edad?
SOLUCION:Edad actual = x 3 ( x + 3) – 3 ( x - 3) = xEdad dentro de 3 años = x + 3 3x + 9 – 3x + 9 = xEl triple de esta edad = 3(x+3) 18 = xEdad que tuve hace 3 años = x – 3El triple de esta edad = 3 (x-3)
Respuesta: Mi edad actual es 18 años2. El largo de un rectángulo excede al ancho en 8 cm. Si cada lado del rectángulo
aumenta en 2 cm., el área aumenta en 56 cm2. ¿Cuáles son las medidas de los lados del nuevo rectángulo?
SOLUCION:Ancho = x (x + 2) (x + 10) – x (x + 8) = 56Largo = x + 8 x2 + 10x + 2x + 20 – x2 – 8x = 56Área = x (x +8) 4x = 36
x = 36Rectángulo Aumentado 4 Ancho = x + 2 x = 9Largo = x + 8 + 2 = X + 10Área = (x + 2) (x + 10)
Respuesta: El ancho nuevo es 11 cm., y el largo nuevo es 19 cm.
B. ECUACIÓN CUADRÁTICA
Es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.Ejemplo:4x2 + 7x + 6 = 0
Ecuaciones Completas: Son de la forma: ax2 + bx + c = 0
Ecuaciones Incompletas:Son de la forma: ax2 + c = 0
ax2 + bx = 0
RAICES DE UNA ECUACION DE 2º GRADO
Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de 2º grado tiene dos raíces.
Así las raíces de la ecuación: x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3) (x+ 1) = 0
X1 = 3 X2 = -1
Solución de Ecuaciones Cuadráticas Mediante Fórmula
Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar: ()
y se nos hace difícil encontrar sus raíces mediante factorización, podemos utilizar el método de la fórmula cuadrática, que es la siguiente:
Ejemplo:
Reemplazando valores en la fórmula general se tiene:
PROPIEDADES DE LAS RAICES1 SUMA DE RAICES.- Se obtiene dividiendo el cociente del término lineal con
signo cambiado entre el coeficiente del término cuadrático.X1+X2 = -b
a
2 PRODUCTO DE RAÍCES.- Se determina dividiendo el término independiente entre el cociente del término cuadrático.X1 .X2 = c
a
3 DIFERENCIA DE RAÍCES.- Se calcula con la siguiente formula
Donde =b2 – 4ac
X1-X2 = a
Resolución de ecuaciones de 2º grado con denominadoresEjemplo: 1 = 7 - 11
3x 5x2 60mcm = 60x2
20x = 84 – 11x2
11x2 + 20x – 84 = 0
a = 11 b = 20 c = -84
Aplicando la formula general:
X = -20 + (20)2 – 4 (11) (-84)
2 (11)
X = -20 + 400 + 3696
22
X = -20 + 4096
22
X = -20 + 64
22
X1 = -20 + 64
22X1 = 2
X2 = -20 – 64
22
X2 = -84 22
X2 = -42 11
Problemas que se resuelven con ecuaciones de 2º grado
Cuando el planteo de un problema da origen a una ecuación de segundo grado al resolver esta ecuación se obtiene dos valores para la incógnita.Solamente se aceptan como soluciones del problema, los valores de la incógnita que satisfagan las condiciones del problema y se rechazan los que nos las cumplen.
Ejemplos:1.- Ana es dos años mayor que Bertha y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades.Solución:Edad de Ana = xEdad de Bertha = x - 2X2 + (x - 2)2 = 130X2 + (X2 – 4x + 4 ) = 130X2 + X2 – 4x + 4 – 130 = 02 X2 – 4x – 126 = 0X2 – 2x – 63 = 0( x – 9 ) ( x + 7) = 0X – 9 = 0X1 = 9Respuesta:Edad de Ana = 9Edad de Bertha = 9 – 2 = 72.- La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m., y el ancho en 6m., el área se hace el doble. Hallar las dimensiones del terreno.
Solución:Ancho = x 2x2 + 52x + 240 = 4x2 Largo = 2x 2x2 – 4x2 + 52x + 240 = 0 Área = x (2x) = 2 X2 -2x2 + 52x + 240 = 0 2x2 – 52x – 240 = 0Rectángulo Aumentado x2 – 26x – 120 = 0 Ancho = x + 6 (x - 30) (x + 4) = 0 Largo = 2x + 40 x – 30 = 0 x + 4 = 0Área = (x + 6)(2x + 40) x1 = 30 x2 = -4Área = 2x2 + 52x + 240
Respuesta:
Ancho = 30 m Ancho = 36 mLargo = 60 m Largo = 100 m Área = 1800 m2 Área = 3600 m2
Solución de Ecuación Cuadrática por Completación de Cuadrados
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática.
Se supone que la ecuación: ,con a 0 ,es equivalente a la ecuación cuadrática:
(1).
Sumando en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:
ó Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene
sentido solo si ),
se obtiene:
,de donde (2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la
ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación : .
Solución de Ecuaciones Cuadráticas Mediante Factorización:
Si una ecuación cuadrática puede ser factorizada en una multiplicación de factores lineales, entonces puede decirse que es una ecuación factorizable.
Por ejemplo, es una ecuación factorizable porque puede ser factorizada por los factores lineales (3x - 4) y (x + 2).
O sea , = (3x - 4) (x + 2).
Para resolver una ecuación mediante este método primero se escribe la ecuación en la forma . Luego se factoriza la expresión en factores lineales. Y por último se determina el valor de x .
Ejemplo:
3. Factorización
Definición.- Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.
Casos:
A. Factor Común: Tenemos los siguientes casos: Factor común monomio. Factor común polinomio. Factor común por agrupación
A.1. Factor común monomio
ab + ac + ad = a ( b + c + d )
Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.
Procedimiento para factorizar:
Este método busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio. Este factor resultara ser un monomio, el mismo que debemos encontrar.Dado un polinomio cualesquiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común Monomio será encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de la parte numérica de todos los términos.
Ejemplo:Dado el siguiente polinomio: 8x4 -4x2y + 16x5y2
Hallaremos el M.C.D. de la parte numérica: 8x4 -4x2y + 16x5y2
Entonces el M.C.D. de 8, 4 y 16 es: 4 (este numero será la parte numérica del monomio que busco)Ahora observo mi polinomio: 8x4 -4x2y + 16x5y2
Me doy cuenta que la letra x se repite en los tres términos, entonces buscare la que tenga menor exponente, la misma que resulta ser x2 (la tomo como parte literal del monomio que busco)Como no hay otra letra que se repita en todos los términos, empiezo a construir mi monomio. Recuerdo que la parte numérica era 4 y la parte literal era x2, entonces será: 4x2
El monomio que he encontrado dividirá a todos y cada uno de los términos del polinomio, así:8x4 ÷ 4x2 = 2x2
-4x2y ÷ 4x2 = -y16x5y2 ÷ 4x2 = 4x3y2
Construimos el polinomio: (2x2 -y +4x3y2)Ahora el polinomio factorizado será: 4x2(2x2 -y +4x3y2)
A.2. Factor común polinomio:
c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b) ( c + d + e )
Cuando el factor común que aparece es un polinomio.
En este caso también se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio, pero ahora este factor será otro polinomio.Veamos el siguiente ejemplo:
5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7)Finalmente el polinomio factorizado será: (x -y)(5x2 + 3x +7)
En algunos casos debemos "jugar" con el numero 1, por ejemplo en: 5a2(3 +b) +3 +b
Se puede escribir como: 5a2 (3 +b) +1(3 +b)Entonces factorizando será: (3 +b) (5a2 +1)
A.3. Factorización por agrupación de términos
En la factorización por agrupación de términos hacemos una mezcla de las anteriores técnicas de factorización.
Dado un polinomio cualesquiera debemos primero formar grupos de términos con características comunes (de preferencia de dos términos cada
grupo) y a cada uno de estos grupos le sacaremos el Factor Común Monomio.
Veamos el ejemplo: 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2
De acuerdo a las características lo podría agrupar: 5x4y + 3x3y -9y -15xy2
El primer grupo es: 5x4y -15xy2 y su Factor Común Monomio: 5xy (x3 -3y)El segundo grupo es: 3x3y -9y , y su Factor Común Monomio: 3y (x3 -3y)Entonces: 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2 = 5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y) Ahora aplicamos Factor común Polinomio, ya que nos damos cuenta que el polinomio (x3 -3y) se repite.Finalmente tendrá la forma factorizada de: (x3 -3y)(5xy +3y)
B.. Factorización de trinomios por método del aspa simple
El método del aspa simple, se emplea para trinomios (polinomios de tres términos) de la forma siguiente:
Ax2n + Bxn + C o Ax2m + Bxmyn + Cy2n
En ambos casos, A, B, C, m, n son números reales diferentes de cero (0).
Veamos el siguiente ejemplo:8x2 -2x -3 Tenemos un trinomio de la primera forma.
8x2 -2x -3
Ahora jugaremos con los números. Se busca dos números que multiplicados den por resultado 8, y otros dos números que multiplicados den por resultado -3.
8x2 -2x -34x -32x 18x2 -3
Hemos escogido los números 4 y 2, de manera que (4x)(2x) = 8x2, además hemos escogido los números -3 y 1, de manera que (-3)(1) = -3
8x2 -2x -34x -32x 1
Ahora debemos verificar si cumplen una condición adicional. Para esto, primero debemos multiplicar en aspa los números que ya tenemos, es decir, (4x)(1) y (2x)(-3)
8x2 -2x -34x -3 -6x2x 1 +4x8x2 -3 -2x
Una vez obtenidos los resultados parciales: (4x)(1) = 4x, y (2x)(-3) = -6x, procedemos a sumarlos considerando su signo y el resultado de esta operación deberá ser el término de primer grado, en este caso, -2x.
8x2 -2x -3(4x - 3) (2x +1) 8x2-2x -3 =(4x -3)(2x +1)
Como esta cumpliendo con todas las condiciones, procedo a seleccionar los dos factores. Es decir, en este ejercicio en particular:
8x2 -2x -3 = (4x -3)(2x +1)
4. Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.; mcm) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos.
Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200,6936 = 23 · 3 · 172 1200 = 24 · 3 · 52 podemos inferir que su m.c.m. es 24 · 3 · 52 · 172 = 346 800.
Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.
El m.c.m. se emplea para sumar fracciones de distinto denominador, por ejemplo,
Intervalo
Notación
( a, b) ……..Intervalo abierto[ a, b ) ……..Intervalo semiabierto [ a , b ……..Intervalo cerrado
SEGUNDA UNIDADTEORIA DE CONJUNTOS
SEGUNDA SEMANA: 10 MARZO AL 15 MARZO
PRIMERA SESIONTEORIA DE CONJUNTOS
I. IDEA DE CONJUNTO.
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos . El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX.
El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo como una agrupación de cosas hecha con cualquier criterio, así podemos hablar de un conjunto personas, de ciudades, de lapiceros, o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no esta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.
Los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Hay un conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), que es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando, así si hablamos de números enteros, U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en
las mayoría de los casos se da por supuesto, dado el contexto que estemos tratando.
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que no pertenecen a A, que lo representaremos por Ac o A’. El conjunto complemento es respecto al conjunto universal de los conjuntos que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
II. NOTACION DE UN CONJUNTO.
Por lo regular se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto dado.
Por Extensión.
Si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:
para definir a tal conjunto . La notación empleada en para definir al conjunto se llama notación por extensión.
Por Comprensión.
Si todos los elementos de un conjunto satisfacen alguna propiedad,
misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:
A es el conjunto de elementos x, que cumplen p(x), donde el símbolo: se lee
"se cumple que", y puede ser remplazado por una barra "tal que".
Por ejemplo, el conjunto puede definirse por:
.
El símbolo representa al conjunto de los números naturales.
III. RELACION DE PERTENENCIA.
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto , escribimos:
( Pertenece a ).
La negación de se escribe:
( No pertenece a ).
IV. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO.
El número cardinal de un conjunto indica cuántos elementos diferentes tiene dicho conjunto, y se denota por:
Se lee: Cardinal del conjunto A. Se lee: Cardinal de A.
Se lee: Número de elementos del conjunto A.
V. REPRESENTACION GRAFICA DE UN CONJUNTO.
Diagramas de Venn.
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.
Diagrama de dos conjuntos
Observemos el ejemplo a la derecha: Supongamos que el conjunto A (el círculo naranja) representa, por ejemplo, todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices, y el conjunto B (el círculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden volar. El área donde ambos círculos se sobreponen (que recibe el nombre de intersección entre A y B, o intersección A - B) contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen solo dos piernas motrices.
Imaginemos ahora que cada tipo distinto de criatura viva está representado con un punto situado en alguna parte del diagrama. Los humanos y los pingüinos estarían dentro del círculo naranja (el conjunto A) en la parte en la que no se sobrepone al círculo azul (el conjunto B), ya que ambos son bípedos y no pueden volar. Los mosquitos, que tienen seis piernas motrices y pueden volar, estarían representados con un punto dentro del círculo azul fuera de la intersección A - B. Los loros, que tienen dos piernas motrices y pueden volar, estarían representados por un punto dentro de la intersección A - B. Cualquier tipo de criatura que no tuviera solo dos piernas ni pudiera volar (como por ejemplo las ballenas o las serpientes), estaría representado mediante puntos fuera de ambos círculos.
El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la relación entre el conjunto A y el conjunto B. El área combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B. La unión en este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez.El área donde los conjuntos A y B se entrecruzan se define como la intersección de A y B. Contiene todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, que tienen dos piernas Y pueden volar.
Diagrama de Venn mostrando todas las intersecciones posibles entre tres conjuntos A, B y C.Un diagrama de Venn de dos conjuntos define 3 áreas diferentes, que pueden unirse en 6 posibles combinaciones:
A (dos patas) A y B (dos patas y vuelan) A y no B (dos patas y no vuelan) no A y B (más o menos de dos patas, y vuelan) no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan) B (vuelan)
A veces se incluye un rectángulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de conjunto universal. Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definición del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll.
Diagramas de tres conjuntos
Los diagramas de tres conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen ocho areas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales.
Diagramas de Euler
Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Por ejemplo, en el representado a la derecha un conjunto (el A) está totalmente incluido en otro (el B), mientras que otro (el C) no tiene ninguna relación con los dos anteriores.
Supongamos que el conjunto A representa todos los tipos de queso que pueden encontrarse en el mundo, y el B representa a todos los comestibles existentes en el mundo. Según el diagrama, se ve claramente que todos los quesos son comestibles, pero no todos los comestibles son quesos. Si definimos el conjunto C como el de las cosas hechas de metal, el diagrama nos permite representar de forma evidente dos afirmaciones adicionales: los comestibles no están hechos de metal, y las cosas hechas de metal no son comestibles.
Recta Numérica.
Se utiliza para representar a los conjuntos numéricos.
[-3,3]:
VI. CLASES DE CONJUNTOS.
Conjunto Finito.
Un conjunto es finito si al momento de contar sus elementos se puede determinar con exactitud cuántos elementos tiene. Es decir, el proceso de conteo tiene un límite.
A = {x/x es un día de la semana}
B = {2, 4, 5, 6, 9}
Conjunto Infinito.
Un conjunto es infinito si el número de elementos que posee es ilimitado. Es decir, el proceso de conteo no tiene fin.
C =
D = { es un número par}
Conjunto Vacío.
Llamado también conjunto nulo, es aquel conjunto que no tiene elementos, se denota por ø o también por {}
Conjunto Unitario.
Llamado también singletón, es aquel que posee solamente un elemento.
Conjunto Universal.
El Conjunto Universal es un conjunto referencial que se toma para el análisis de una situación, el conjunto universal se denota por U.
Conjunto de Conjuntos.
También recibe el nombre de conjuntos y es aquel conjunto que tiene por elementos a otros conjuntos.
VII. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.
Inclusión (Subconjuntos y Superconjuntos)
Un conjunto se dice subconjunto de otro , si todo elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique:
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla A = B. Si tiene por lo menos un elemento que no
pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por .
Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto
de , lo que se escribe . Así pues
,
Y también que:
Significando:
que es superconjunto propio de .
Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.Vemos que es una relación de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues:
es reflexiva.
es antisimétrica
es transitiva
Igualdad de Conjuntos.
Dos conjuntos son iguales si es que ambos tienen los mismos elementos
Conjuntos Diferentes.
Si un conjunto A no es iguala un conjunto B, entonces el conjunto A es diferente del conjunto B. Es decir, uno de ellos tiene un elemento que no posee el otro conjunto.
Conjuntos Disjuntos.
Dos conjuntos son disjuntos si es que todos sus elementos son diferentes
A y B son disjuntos
Conjuntos Comparables.
Dos conjuntos son comparables si y sólo si uno de ellos está incluido en el otro.
Conjunto Potencia de un Conjunto.
Llamado también conjunto de partes de un conjunto, y es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos de A, se denota por:
El conjunto potencia en A es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos x tal que x es un subconjunto de A.
Si , entonces sus subconjuntos son:
P (F)= [ ]
Como se puede ver:
O sea que si:
En general:
Propiedades:
Si
Si
Si
IX. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
Unión.
Los elementos que pertenecen a o a o a ambos y , forman otro conjunto, llamado unión de y , escrito . Así pues, se tiene que:
.
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces:
Intersección.
Los elementos comunes entre y forman un conjunto denominado intersección de y , representado por :
.
Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dicen conjuntos disjuntos. Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces:
Diferencia.
Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por,
:
.
Vemos que:
,
De manera que
Pero también
,
De modo que
Complemento.
Sea , se define el complemento de un conjunto A al conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, que vienen a ser lo
que le falta al conjunto A para ser igual al conjunto universal U. Se denota por
Algunas propiedades:
Diferencia simétrica.
Llamado también equidiferencia, está formado por los elementos que pertenecen a un conjunto A o B pero no a ambos simultáneamente. Se define la diferencia simétrica de dos conjuntos por:
Algunas propiedades:
X. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS:
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera, entonces:
A ∩ A = A A U A = A A - A = Ø A ∩ B = B ∩ A A U B = B U A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A U B) U C = A U (B U C) C - (A ∩ B) = (C - A) U (C - B) C - (A U B) = (C - A) ∩ (C - B) C - (B - A) = (A ∩ C) U (C - B) (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A) (B - A) U C = (B U C) - (A - C) A B ↔ A ∩ B = A A B ↔ A U B = B A B ↔ A - B = Ø A ∩ B = Ø ↔ B - A = B A ∩ B A A U B A ∩ Ø = Ø A U Ø = A Ø - A = Ø A - Ø = A
Sea U un conjunto tal que A, B, y C son subconjuntos de U (se utiliza la notación A' := U - A). Entonces:
A'' = A B - A = A' ∩ B (B - A)' = A U B' A B ↔ B' A' A ∩ U = A A u U = U
U - A = A' A - U = Ø
XI. DISTRIBUTIVIDAD ENTRE UNIÓN E INTERSECCIÓN.
Sean tres conjuntos A, B y C. Se cumple que:
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, la cual es un caso particular del sistema algebraico conocido como Álgebra de Boole.
XII. PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.
Un par de números se dice ordenado si los pares y son uno mismo si y solo si .
Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de y (en ese orden), representado por , como el conjunto
Ejemplo:
Sean
y .
Así,
Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta
XIII. CUANTIFICADORES.
Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son:
El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe
. (1)
La proposición (1) suele usarse como la equivalente de
El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe
. (2)
La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición
Se definen
Aplicaciones.
Sean y dos conjuntos. Un subconjunto , se dice aplicación de en , lo que se representa por
Siempre que se verifiquen
Si , el elemento se dice imagen de por , y el elemento
se llama antecedente de por .
Sea una aplicación . Se emplea la notación para
representar a la imagen de por , y por tanto .
Sean las aplicaciones
;
Se define
,
Y se dice que es el producto de composición de las aplicaciones y .
Vemos que
Por lo que
SEGUNDA SESION
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.- En la unidad anterior hemos
utilizado la teoría de conjuntos como un lenguaje, nos ha servido como una
simbología adecuada para representar ciertos conceptos y sus relaciones mutuas.
En esta lección se definen operaciones entre conjuntos. Las operaciones
son formas específicas de combinar conjuntos para formar otros conjuntos.
Constituyen un sistema lógico de construcción de nuevos conjuntos en base a
conjuntos dados. Estas operaciones y sus propiedades nos llevan a la teoría de
Conjuntos como un álgebra, o sea como un sistema matemático.
En particular, se tratan las operaciones de reunión, intersección, diferencias
y de complementación.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS : Mediante el diagrama de Venn - Euler1) Unión de Conjuntos:
Cuando no tienen Cuando tienen algunos elementos comunes elementos comunes
Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto
2) Intersección de conjuntos:
Cuando tienen Cuando no tienen
elementos comunes elementos comunes
Cuando todos los elementos de un
conjunto pertenecen a otro conjunto
3) Diferencia de Conjuntos:
Cuando no tienen Cuando tienen elementos comunes elementos comunes
Cuando todos los elementos de unconjunto pertenecen a otro conjunto
Diferencia Simétrica:
A-B y B-A, están sombreadas. A y B , están sombreados.
4) Complemento de un conjunto: A' = { x/x U y x A }
U
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1) Unión o reunión de conjuntos .- La unión o reunión de conjuntos A y B se
define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A “ y a “B” o
a ambos. Se denota por:
AUB ; se lee: “A reunión B”.
Simbólicamente definimos:
A U B = {x / x A v x B}Ejemplo:
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
OBSERVAMOS:
A´A
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
OBSERVAMOS:
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C
OBSERVAMOS:
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
A U B = { , 1, , 3, , 5 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B
PROPIEDADES:
PROPIEDADES UNION1.- Idempotencia A U A = A2.- Conmutativa A U B = B U A3.- Asociativa A U ( BU C ) = ( A U B ) U C4.- Absorción A U ( A U B ) = A5.- Distributiva A U ( B U C ) = ( A U B ) U ( A U C )6.- Complementariedad A U A' = U7.- Elemento Neutro o A U = A8.- Elemento Universal A U U = U9.- Ley de Morgan ( A U B )' = A' U B'
2) Intersección de Conjuntos .- La intersección de conjuntos A y B, se
define como el formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. Es
decir , esta formado por aquellos elementos que pertenecen a “A” y también
pertenecen a “B”. Se denota por:
A∩B y se lee: “A intersección B”.
Simbólicamente lo definimos así:
A ∩ B = {x / x A ^ x B}Ejemplo:
1.- Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
OBSERVAMOS:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C
OBSERVAMOS:
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
B C = { }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C
OBSERVAMOS:
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B
PROPIEDADES:
PROPIEDADES INTERSECCION1.- Idempotencia A A = A2.- Conmutativa A B = B A3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C4.- Absorción A ( A B ) = A5.- Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C )6.- Complementariedad A A' = 7.- Elemento Nulo A = 8.- Elemento universal A U = A9.- Ley de Morgan ( A B )' = A' B'
3) Diferencia de Conjuntos .- Dado los conjuntos “A y B”, se llama
diferencia de “A” menos “B”, al conjunto que queda, luego de quitarle a “A” los
elementos comunes con “B”. Es decir, la diferencia de A-B es el conjunto
formado por los elementos que sólo pertenecen a “A” y no pertenecen a “B”. Se
denota por: A – B; y se lee así: “A menos B”
Simbólicamente definimos:
A - B = {x / x A y x B}
Ejemplo:
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A - C b) B - C c) A - B
Tenemos:
OBSERVAMOS:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
OBSERVAMOS:
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
OBSERVAMOS:
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B
PROPIEDADES:
1.- A – Ø = A 7.- A(B-C) = (AB) – (AB) 2.- A – A = Ø 8.- Si ABA –B = Ø3.- ( A – B ) A 9.- Si AB(A –C)(B – C); C4.- Ø – A = Ø 10.- (A – B) A5.- A – B = (AB)- B = A –(AB) 11.- A-(BC)= (A-B)(A-C)6.- B(A – B) = Ø A-(BC)= (A-B) (A-C)-
4) Diferencia Simétrica .- Dados los conjuntos A y B, la diferencia simétrica
de “A” con “B”, denotado por “ A B “ es la reunión de los conjuntos (A-B) y
(B-A). Es decir:
A B= (A - B) ( B -A) ó
A B= (A B) – ( A B)
Ejemplo:
1.- Sean los conjuntos A=m, n, p, q , B=m, p, r, s, t , hallar y representar Gráficamente: A B.
OBSERVAMOS:
Solución:
Como A B= (A-B)(B-A)A –B = n, q ; B-A = r, s, t Luego: A B = n, q r, s, t = n, q, r, s, t Graficamos mediante el diagrama de Venn-Euler
A B. n q
. rm
p. s.t
PROPIEDADES:
1.- A Ø = A 5.-(A B) C = (A C) (B C) 2.- A A = Ø 6.-(AB)(BC)= (ABC)-(ABC)3.- A B = B A 7.-(A B) = (A B)- (AB)4.- (A B) C = A (B C) 8.-(A B) =(AB´)(BA´)
5) Complemento de un conjunto .- Dado el conjunto Universo “U”, y un
conjunto cualquiera, tal como A, se llama complemento de in conjunto “A” con
respecto a un conjunto referencial (universo), al conjunto formado por los
elementos del conjunto referencial pero que no pertenezcan a “A”.
Se denota por:
A´ o C(A), se lee: “Complemento de A”
Simbólicamente lo definimos:
A´=x/xU^xA
B´=x/xU^xB
Si el conjunto referencial no es el conjunto universo, supongamos que sea otro
tal como “B”, con la condicional AB, entonces se define el complemento de A
con respecto al conjunto “B”, que se denota por:
CB(A), al conjunto formado por los elementos que sólo pertenecen a B y que no
pertenecen a “A”.
Simbólicamente definimos así:
CB(A)= x/xB^xA0 B-A
Ejemplo:
a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e } Su complemento de A es: A' = { m, a, r }
En forma gráfica:
b) Sean U = { letras de la palabra aritmética} y B = { vocales de la palabra vida } Determinado por extensión tenemos U = { a, r, i, t, m, e, c } B = { i, a } Su complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }
En forma gráfica:
PROPIEDADES:
1.- (A´)´= A 5.- Ø´= U 2.- A A´= U 6.- A-B=AB´3.- A A´= Ø 7.- CB(A)B4.- U´= Ø 8.- (A B)´=A´ B´
1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar verdadero (V) o Falso (F), según corresponda:i) 7 A ( ) iii) {10} A ( )ii) 9 A ( ) iv) {15} A ( )
a) VVFF b) VFFV c) VVFFd) VFFF e) N.A.
2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o (F), según corresponda:i) {7} A ( ) iv) {9} A ( )ii) 9 A ( ) v) A ( )iii) 7 A ( ) vi) 10 A ( )
a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFFd) VVFFFV e) N.A.
3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas proposiciones son falsas?i) {b} M iv) {{b}, p} Mii) b M v) {{b}, {m}} Miii) {{m}} M vi) m M
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:A = {x/x N; 6 < x < 12}B = {x + 4/ x Z ; 5 < x < 10}C = {x2 + 1/ x Z; 3 < x < 8}
a) 40; 41 y 50 d) 47; 45 y 129b) 43; 49 y 100 e) N.A.c) 45, 46 y 130
5. Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”: A = {7- a ; b + 4; 5}
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
6. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?
a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 34
7. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2 + b2”
Ejercicios de AplicaciónEjercicios de AplicaciónEjercicios de AplicaciónEjercicios de Aplicación
A = {a + b; 12} ; B = {4; a - b}
a) 79 b) 80 c) 81d) 82 e) 83
8. Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V) o (F) según corresponda:i) {5} A ( ) iii) {9} A ( )ii) {7} A ( ) iv) {5; {2}} A ( )
a) FVVF b) FVFV c) FVVVd) VFFV e) VVFF
9. Dado: A = {x/x N; 5 < x < 12} . Indicar (V) o (F) según corresponda:i) {7; 8; 11} A iii) {8; 10} A ( )ii) 5 A( ) iv) n(A) = 6 ( )
a) VFVF b) VFVV c) VFFVd) FVVF e) FFVV
10. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos?A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {t, r, i, l, c, e}
a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 64d) 32 y 64 e) 128 y 32
11. Hallar la suma de elementos del conjunto:A = {3a2 + 5 / a Z; 1 < a < 6}
a) 172 b) 182 c) 148d) 156 e) 192
12. Dado el conjunto: A = {7; 9; 11; 13; 15; 17}Determinarlo por comprensión:a) A = {x/x N; 6 < x < 18}b) A = {x/x = 2n; n N; 3 < n < 8}c) A = {x/x = n +1; n N; 6 < n < 17}d) A = {x/x = 2n + 1; n N; 2 < n < 9}e) A = {x/x = n + 5; n N; 1 < n < 13}
13. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 12}. Indicar (V) o (F), según corresponda, si P(A) representa el conjunto potencia de A.i) {B} P(A) ( )ii) {10; 12} P(A) ( )iii) 10 P(A) ( )iv) P(A) ( )v) P(A) ( )
a) VVFVF b) FVVFV c) FVFVVd) VFFVV e) VVFVV
14. Dados los conjuntos:A = {x + 1 / x Z ; 4 < x < 12}B = {x/3 Z / x A}
a) 8 b) 6 c) 12d) 15 e) 20
15. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”, siA = { N / x N; 2 < x < 15} ?
a) 8 b) 4 c) 16d) 32 e) 64
III UNIDAD
RELACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
TERCERA SEMANA: 17 MARZO AL 22 MARZO
PRIMERA SESION :
NUMEROS REALES
Recordemos que los números racionales son aquellos que pueden representarse en forma de fracción o de números decimales periódicos, tales como:
½ , 3/5 , -4/3 , -8/9, 0,5 ; -0,25 ; 1,48 ; 0,333....; 0,5444....
Todos los números racionales constituyen el conjunto Q de números racionales.
Los números que no pueden expresarse en forma de fracción o como un número decimal periódico, reciben el nombre de números irracionales, tales como = 3,141 5926535...; = 1,414 213 5 ; = 2,236 0679...
El conjunto de todos los números irracionales forman el conjunto Q` de números irracionales.
La reunión de los conjuntos Q y Q` forman el conjunto R de los números reales, Esto es : R = Q U Q`
Asimismo, si denotamos por +R el conjunto de números reales positivos y por –R, el conjunto de números reales negativos, se tiene:
R = - R U U + R
Frecuentemente se define:
El conjunto R de números reales como el conjunto de números en el que están definidas una relación de igualdad ( = ) y dos operaciones : adición ( + ) y multiplicación ( . ).
La expresión “a = b” que se lee : “ a es igual que b” significa que a y b son dos símbolos que representan el mismo número real .
AXIOMA DE ORDEN
En el conjunto de los números reales existe un subconjunto llamado conjunto de los números reales positivos, denotados por +R tales que:
a) Si a es cualquier número real, se cumple exactamente una de las tres posibilidades : a = 0 ; a es positivo; -a es positivo.
b) La suma de dos números reales positivos es un número real positivo.
c) El producto de dos números reales positivos es un número real positivo.
RELACIONES MAYOR, MENOR, MAYOR IGUAL y MENOR IGUAL
a) a < b si y sólo si b – a es un número positivo.b) a > b si y solo sí a - b es un número positivo.c) a b si y sólo si a < b o a = bd) a b si y sólo si a > b o a = b
PROPIEDADES DE LA RELACION “MENOS O IGUAL” ( )
La relación tiene las siguientes propiedades:
a) Propiedad Reflexiva1 1 ;
b) Propiedad antisimétrica1 2 2 no es menor e igual a 1 ;
no es menor e igual a
c) Propiedad transitiva4 6 y 6 10 4 10
Por cumplir “ “estas tres propiedades, se dice que es de orden total en R.
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DE DESIGUALDAD EN R
Existen propiedades de las relaciones de desigualdad muy usadas en la solución de inecuaciones. A continuación anotamos sólo las propiedades de la relación “menor” ( < ), siendo las mismas o muy similares las de las otras relaciones.
1. Si a < b y b < c , entonces a < c2. Si a < b , entonces a + c < b + c3. Si a + c < b + c , entonces a < b4. Si a < b y c < d , entonces a + c < b + d5. Si a < b y c > 0 , entonces ac < bc6. Si a < b y c < 0 , entonces ac > bc7. Si 0 < a < b y 0 < c < d , entonces ac < bd8. Si ac < bc y c > 0 , entonces a < b9. Si ac < bc y c < 0 , entonces a > b10. Si a < b , entonces -a > -b11. Si 0 < a < b , entonces 1/a > 1/b
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver ecuaciones de primer grado con valor absoluto se tiene en cuenta la propiedad.
= b b 0 y ( a = b o a = -b)
Ejemplos:
1. Resolver = 3Solución:
Según la propiedad antes anotada y como 3 0 se tiene:
= 3 x = 3 ò x = -3
Por tanto, el conjunto solución es:
S = 3, -3
2. Resolver = 5Solución
Como 5 0 , se tiene: = 5 2x + 3 =5 ó 2x + 3 = -5
Resolviendo cada ecuación resultante:2x + 3 = 5 ó 2x+3=-5 2x = 2 2x = -8 x = 1 x = -4
Por tanto, el conjunto solución es :S =
3. Resolver = -3
Solución:
Como -3 < 0 y el valor absoluto es siempre positivo, la igualdad no tiene sentido y la solución es el conjunto vacío, esto es:S =
4. Resolver = x - 1Solución:
Según la propiedad antes referida se tiene: = x - 1 x – 1 0 y (2x –3 = x – 1 ó 2x -3 = -x + 1)
De donde:X 1 y (x =2 ó 3x = 4)X 1 y (x =2 ó 3x = 4/3)
Como la solución debe ser mayor o igual que 1 de x = 2 1 ó x = 4/3 1, el conjunto solución S = 2, 4/3
5. Resolver = 2x - 1Solución
= 2x - 12x - 1 0 y ( 4x - 1 = 2x - 1 ó 4x -1 = -2x + 1)x ½ y ( 2x = 0 ó 6x = 2 )x ½ y ( x = 0 ó x = 1/3
Como los valores de x = 0 y x =1/3
no cumplen con la condición de ser mayores o iguales que 1/2 , el conjunto solución es vacío, esto es S =
6. Resolver =
SoluciónEsta ecuación puede desdoblarse en las cuatro ecuaciones siguientes:
5x - 4 = 5 - 2xo5x -4 = -5 + 2xo-5x + 4 = 5 -2xo-5x + 4 = -5 + 2x
Estas cuatro ecuaciones son equivalentes a las dos primeras. ¿Porqué?
5x - 4 = 5 -2x ó 5x - 4 = -5 + 2x 7x = 9 ó 3x = -1 x = 9/7 ó x = -1/3Por consiguiente, el conjunto solución es -1/3 , 9/7
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Se resuelven teniendo en cuenta las propiedades:
1. < b b > 0 y -b < a < b2. b b 0 y -b a b3. < b y b < 0 a 4 > b a > b ó a < -b5. b a b ó a -b6. b y b < 0 a R
Ejemplos
Resolver 2x – 3 < 7SoluciónComo 7 > 0 se tiene:2x – 3 < 7 -7 < 2x - 3 < 7
-7 +3 < 2x -3 +3 < 7 +3 -4 < 2x < 10 -2 < x < 5 S = x / x R, -2 < x < 5 =
Resolver 5x – 1 3Solución
5x – 1 3 5x -1 3 ó 5x -1 -3 5x 4 ó 5x -2 x 4/5 ó x -2 S = x / x R, x -2 ó x 4/5 = U
= R
SEGUNDA SESION: PRACTICA 1. Dar diez ejemplos de números racionales.2. Poner diez ejemplos de números irracionales 3. Escribir diez números reales.4. Completar:
a) a. . . ab) a b b . . . ac) a < b y b = c a . . . cd) a < b y c < d a + c . . . . b + de) a b y b 8 a . . . 8f) a b y b = c a . . . c
5. Hallar:a) + + - + b) + - +
6. Resolver las siguientes ecuaciones:a) = 3
b) = 2c) = 2x – 5d) = 2 – 3xe) = 2x – 3f) = g) = x – 5h) = x + 0,1
7. Resolver las siguientes inecuaciones:a) < 3b) 5c) < 1d) x – 1e) > x + 2f) g) h) > i) 2
CUARTA SEMANA : 24 MARZO AL 29 MARZO
PRIMERA SESION : PRACTICA DIRIGIDA
SEGUNDA SESION : PRÁCTICA DIRIGIDA
QUINTA : 31 JUL AL 05ABRIL
PRIMERA SESION : PRACTICA CALIFICADA
(Comprende Contenidos Temáticos de la 1º a la 3º semanas y los contenidos
de los talleres.)
SEGUNDA SESION
INECUACIONES CUADRATICAS
Definición .- Una inecuación cuadrática en la variable x es aquella que puede escribirse en las formas : ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ≤ 0 con a ≠ 0 ax2 + bx + c < 0 a , b y c son constantes. ax2 + bx + c ≥ 0
1.- Resolver en IR : ( 2 – 3x ) ( 4 + 5x ) = ≤ 0 ...........................( I)
Igualar a cero cada factor para obtener los puntos referenciales : x = 2 , x = - 4 3 5 dibujar , en la recta real, los puntos referenciales
]-, - 4 ] - 4 [- 4,2 ] 2 [2 , + [ 3 3 3 3 3 3 - + Elegir x = 5 Elegir x = 0 Elegir x = 2 Al reemplazar en (I) se Al reemplazar en (I) se Al reemplazar en (I) se obtiene : obtiene : obtiene: (2 + 15)(4 – 5) ≤ 0 (2) (4) ≤ 0 ( 2 – 6 ) ( 4 + 10 ) ≤ 0 (+) (-) ≤ 0 (+) (+) ≤ 0 ( -) (+)
( - ) ≤ 0 ( + ) ≤ 0 ( - ) ≤ 0 ES VERDADERO ES FALSO ES VERDADERO
El conjunto solución es: Cs = x ε ] - , - 4 ] [ 2, + [ 3 3 2.- Resolver en IR : -3 ( x2 + 3 ) (4 – x2 ) ≤ 0 en : - 3 (x2 + 3) (4 – x2 ) ≤ 0
Multiplicar por - 1 : ( 4 – x2 ) ≥ 0 3 (x2 + 4)
Factorizar : (2 – x ) ( 2 + x ) ≥ 0 ...........(I)
Dibujar en la recta real, los puntos referenciales. ]-, - 2[ -2 [- 2, 2] 2 [ 2,+ ] - + Con x = -3 Con x = 0 Con x = 3 (2 + 3) (2-3) ≥ 0 (2) (2) ≥ 0 (2 – 3)(2 + 3) ≥ 0 ES FALSO ES VERDADERO ES FALSO
El conjunto solución es: Cs = x ε [- 2, 2]3.- Resolver : 7x – 2 – 6x2 ≥ 0
Cambio de signo
Multiplicar por – 1 para que el coeficiente de x2 sea positivo y ordenar los términos del del polinomio cuadrático.
⇒6x2 – 7x + 2 ≤ 0 Cambio de sentido
Factorizar : 6x2 - 7 x + 2 ≤ 0 (3x – 2)( 2x – 1) ≤ 0 ............. (I)
x = 2/3 Dibujar los puntos referenciales en la recta real x = 1/2 ] -, 1/2 1/2 [1/2, 2/3] 2/3 [2/3, + [ - + + Θ +
4.- Resolver : (4 – x)(3-5x) ≥ 0
(4 – x) ( 3 – 5x) ≥ 0
no cambia de sentido porque hemos hecho dos cambios ( x - 4) (5x -3) ≥ 0 de signo
Ahora dibujar los puntos referenciales x = 4 y x = 3/5
3/5 4
+ - + cs = x ε]- , 3/5 ] [4, + [
5.- Resolver: (4 – x ) (5x + 3) ≥ 0 En: : (4 – x ) (5x + 3) ≥ 0
cambio de signo cambiará el sentido
⇒ (x - 4) (5x + 3) ≤ 0
- 3/5 4 +
+ Θ +
Cs = x ε [ - 3/5, 4 ]
PUNTOS CRÍTICOS
6.- Consideremos la expresión: ( x – 5 ) ( x – 2 ) , (*) ( x + 1 ) ( x – 9 )
sus puntos (valores) críticos son: -1 , 2 , 5 , 9 [ en orden creciente ] . trazamos el esquema:
- - 1 2 5 9 + + - + - + ← alternadamente de donde, viendo los signos adecuados, la expresión dada ( *) será:
a) > 0 , x ε - , -1 ∪ 2 , 5 ∪ 9 , = C.S
b) ≥ 0 , x ε - , -1 ∪ 2 , 5 ∪ 9 , = C.S ¡porque?c) < 0 , x ε - 1 , 2 ∪ 5 , 9 = C.S
d) ≤ 0 , x ε - 1 , 2 ] ∪ [ 5 , 9 = C.S
7.- Resolver la inecuación : x3 – 9x2 + 26x – 24 < 0
Factorizando: ( x - ) ( x – 4 ) < 0 (*) Cuyos punos críticos son: 2 , 3 , 4 Pasamos al esquema:
- 2 3 4 + • • •
- + -
Debido a la desigualdad (*) , elegimos los signos (-) , y por lo tantoConjunto solución : x ε - , 2 ∪ 3 , 4 = C.S
8.- Resolver la inecuación : x ≥ 1 x
Pasando todo a uno de los miembros:
x ≥ 1 ⇔ x - 1 ≥ 0 ⇔ x 2 - 1 ≥ 0 x x x
⇔ ( x – 1 ) ( x – 1) ≥ 0 [ factorizando] x
Siendo sus VALORES CRÍTICOS: - 1 , 0 , 1
- 1 0 1 + • • • - + - ⇔ CONJUNTO SOLUCIÓN : x ε [ - 1 , 0 ∪ [ 1 , = C.S
9.- Resolver : - x 3 + x 2 + 22x - 40 ≥ 0 (*) x ( x + 7 )
Multiplicando por ( - 1 ) ambos miembros de (*) cambia el sentido de la desigualdad , x 3 - x 2 - 22x + 40 ≤ 0 x ( x + 7) y factorizando el numerador : ( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x + 5 ) ≤ 0 x ( x + 7 )
valores críticos: - 7 , -5 , 0 , 2 , 4
- - 7 - 5 0 2 4 + - + - + -
⇔ x ε - , - 7 ∪ [ - 5 , 0 ∪ [ 2 , 4 ] = C.S
VALOR ABSOLUTO
10.- De la definición del valor absoluto, tenemos que
I 3 I = 3 , pues 3 > 0 , en ( a ) I - 5 I = - ( - 5 ) = 5 , pues - 5 < 0 , en ( ) I 0 I = 0 , de ( ) I - 2 I = - ( - 2 ) , pues 2 > - 2 < 0 en ( )
11.- Teorema
(1) Para todo x ε IR : I x I ≥ 0(2) I x I = 0 ⇔ x = 0
12.- Si x ε IR , entonces I x I es el número real no-negativo definido
por: x , si x ≥ 0 I x I = -x , si x < 0
13.- Resolvemos las siguientes ecuaciones:
(1) I 2x - 1 I = 0 (2) I 2x2 + 5x - 12 I ( x + 1 ) = 0 (3) I x2 - 2x + 2 I ( x2 - x - 6 ) = 0
Del teorema 1.4 – (2) : (1) I 2x - 1 I = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = ½
(2) Como 2x2 + 5x - 12 = (2x – 3 ) ( x + 4 ) , entonces
I ( 2x - 3 ) (x + 4) I ( x + 1 ) = 0
⇔ I ( 2x - 3 ) (x + 4) I = 0 o x + 1 = 0
⇔ ( 2x - 3 ) (x + 4) = 0 o x + 1 = 0
⇔ [ 2x - 3 = 0 o x + 4 = 0 o x + 1 = 0 ⇔ x = 3/2 o x = -4 o x = -1
14.- Para todo x , ε IR :
Prueba de (a) .- Consideremos los tres casos posibles para x :si x > 0 , entonces ( - x ) < 0 , y por lo tanto:
I - x I = I ( - x ) I = - ( - x ) = x I-x I = I x I
I x I = x I pues x > 0 ]
si x = 0 , entonces - x = 0 , y por lo tanto I-x I = I x I = 0
si x < 0 , entoces ( - x ) > 0 , y por lo tanto: I - x I = I ( - x ) I = ( - x ) = - x [ pues (- x ) > 0 ]
I x I = - x [ pues x < 0 ]
I - x I = I x I
Prueba de (b) : I x y I = I x I I y I Consideremos los cuatro casos posibles
a) I - x I = I x I b) I x I = I x ║ I
utilizando la DEFINICIÓN 1.5 .
b1) Si x ≥ 0 y ≥ 0 entonces (x ) ≥ 0 , y por lo tanto ,
I x y I = I (x ) I = ( x ) = ( x ) ( ) = I x I I I , en este caso.
b2) si x ≥ 0 y < 0 entonces (x y ) 0 , y por lo tanto,
I x I = I (x ) I = - ( x ) = (x) (- ) = I x I I I [ pues 0 ] b3) si x 0 y ≥ 0 entonces (x y ) 0 , y por lo tanto,
I x I = I (x ) I = - ( x ) = ( - x) ( ) = I x I I I [ pues x 0 ]
b4) si x 0 y < 0 , la prueba se deja como ejercicio al lector
15.-Teorema I ( b ≥ 0 ) I x I = b ⇔ y [ x = b ó x = - b ]
NOTA.- Este teorema establece que el UNIVERSO dentro del cual se ha de resolver la ecuación I x I = b está determinado por la condición : b ≥ 0 la cual debe ser resuelta previamente. El conectivo lógico “ y “ que aparece en el Teorema indica intersección, y el conectivo “o “ unión . Una vez encontrado el UNIVERSO de a ecuación se pasa a resolver lasecuaciones x = b así como x = - b , y se comprueba si las respectivas soluciones pertenecen o no a dicho Universo U.
PRUEBA DEL TEOREMA I .-
( ) como I x I ≥ 0 , de b = I x I se sigue que: b ≥ 0 ; además,
x , si x ≥ 0 , ó b = I x I = - x , si x < 0 [ b = x ó b = - x ]
[ x = b ó x = - b ]
( ⇐ ) sabiendo qe b ≥ 0 , consideramos cada igualdad por separado: - Si x = b , y como b qe b ≥ 0 ≥ 0 , entonces x ≥ 0 , luego , I x I = x = b I x I = b .
- Si x = - b , y como b ≥ 0 , entonces x 0 , luego , I x I = - x = b I x I = b , también.
16.- Resolver la ecuación: I x I = 7
Como b = 7 satisface la condición b ≥ 0 para todo x real , entonces el UNIVERSO U es todo IR , es decir : U = ⟨ - , ⟩ dentro del cual resolvemos la ecuación: I x I = 7 ⇔ [ x = 7 o x = - 7 ]
y como ambos valores caen n el UNIVERSO U = ⟨ - , ⟩ entonces el CONJUNTO SOLUCIÖN está constituido po dos elementos: conjunto solución C.S = { 7 , - 7 }
I x I = 7 I x I = 7
. . .
- 7 0 7 IR
17.- Resolver: I x - 4 I = 3x
( 3x ≥ 0 ) y I x - 4 I = 3x ⇔ y [ ( x - 4 = 3x ) ó ( x - 4 = - 3x ) ]
( x ≥ 0 ) y ⇔
y [ ( 2x = - 4 ) ó ( 4 x = 4 ) ]
⇔ ( x ≥ 0 ) y [ x = - 2 ó x = 1 ]
⇔ x ε [ 0 , > ∩ { - 2 , 1 } = { 1 }
Por lo tanto , C.S = { 1 } Aquí vemos que el universo es U = [ 0 , ⟩ y que el único valor de x que essolución de la ecuación dada es x = 1 , pues x = - 2 no pertenece al universo U.
18.- Sean x , a ε IR , entonces
( 1 ) I x I a ⇔ [ ( a ≥ 0 ) ( - a x a ) ]
( 2 ) I x I ≥ a ⇔ [ ( a ≥ a ) ó ( x - a ) ]
Recuerde que: - a x a ⇔ [ ( - a x ) ( x a ) ] ↑ (1) intersección
I x I a - a 0 a IR
( 2 ) I x I ≥ a
I x I - a x ≥ a
x - a 0 a x IR
PRUEBA DEL TEOREMA III .- (1) ( ) Como a ≥ I x I y I x I ≥ 0 entonces a ≥ 0 , y
I x I2 a2 , x2 a2 - a x a .
(⇐ ) Datos: a ≥ 0 , x a y - a x , entonces
x a y - x a I x I a debido a EJERCICIO1.17. (resuelto). ( ) x ε IR : x ≥ 0 ó x 0 , de donde
- Sí x ≥ 0 : I x I = x , y como se cumple : I x I ≥ 0 entonces x ≥ a
ó - Sí x 0 : I x I = - x ; como se cumple: I x I ≥ a entonces - x ≥ a x - a
19.- Resolver la inecuación: I x I 5
Aquí a = 5 ≥ 0
I x I 5 [ ( 5 ≥ 0 ) y ( - 5 x 5 ) ]
Verdadero ( V)
[ -5 x 5 ) ] ( V ^ p p )
X ε [ -5 ,5 ] = C.S.
-5 x 0 x 5
20.- Resolver la inecuación I x I ≥ 4
I x I ≥ 4 [ x ≥ 4 ó x -4 ] X ε [ 4 , ∞ › ó x ε ‹ - ∞ , - 4 ]
X ε [ - ∞ ,-4 ] u [ 4 - ∞ › = c.s.
x - 4 0 4 x IR
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver para x ε IR las siguientes inecuaciones :
1.- 1 › 1 x
2.- x ‹ 3 ‹ 3 x -2
3.- si 1 ‹ a ‹ b, resolver para x ε IR ax – a < b x
4.- Si 1 < a < b resolver para x ε IR x 2 - ax -bx +ab 0 x( x -1 )
5.- Si 0 < a < b resolver para x ε IR x – a b x a x a
6.- Si 0 < a < b resolver para x ε IR 1 1 x 2 - a2 x2 - b 2
7.- ≥ - 2
8.- ≥ 2
9.- ≥ x -1
10.- ≥ 2x + 2
11.- › x + 3
12.- ≥ 13.- 2 ≥ x – 4
14.- x – 2 - < 0 + 3 Respuestas
1) ] -∞ [ U 1 + ∞ [
2) ] -∞ - 1 [
3) ] -∞ , a [ U 0 + ∞ [ a- b
4) ] 0, 1 [ u a , b [
5) [ a 2 , 0] b - a
6) ] - b , -a [ U ] a, b [
7)
8)
9)
10)
11)
12) {1}
13)
14)
problemas
S o l u c i o n e s
7. Resolver las siguientes ecuaciones
2 x - 4 = 6 v 2x - 4 = - 6 x = 5 v x = -1 Rpta: x = 5 , x = -1
8. = 4 v = - 4
x = 5 v x = 3/7
Rpta: x = 5 , x = 3/7
9. Resolver :
Transponiendo – 1 y los denominadores 2 a multiplicar
= 2
= 3
= 7 x = 14
10. Resolver : =
multiplicando en aspa e igualando
2 ( x + 7 ) = 3 ( x - 7 ) 2 x + 14 = 3 x -21
transponiendo términosRpta: x = 35
11. Calcular el valor de x que resulta al resolver la ecuación:
Calculamos el MCM de los denominadores MCM = 10
7 m - 2 ( m –x ) = 5 ( x + m) - 907 m - 2 m +2 x = 5 x + 5m - 90
Rpta: x = 30
12. Resolver :
Calculamos el MCM( 3, 5 10) = 30
Multiplicando por 30 ambos miembros
10 ( x – 1 ) + 6 = 3x 10x - 10 +6 = 3x
Rpta: x = 4/7
13. Resolver :
Multiplicando en aspa
- xb - ab - b 2 = xa - a ² - aba ² - b ² = x ( a + b )
x = ( a - b) ( a + b)
a + b Rpta: x = a - b
14. Resolver :
Transponiendo - 3 y los denominadores 2 a multiplicar :
TALLER DE INECUACIONES CUADRATICAS
1. x2 – 2x – 8 < 0
2. (x – 6)2 25
3. Resolver: x(x - 6) + 28 < 14
4. Resolver: x2 + 2x + 3 > 3x + 15
5. Resolver: -x2 - 2x + 35 > 0
6.
7.
8. Señalar el mayor numero entero positivo de:
9. Señale el menor entero positivo conjunto de solución:
10. Resolver: x3 + x2 9x + 9
11.
12.
13.
14. Hallar el conjunto de solución de , indicar el mayor entero
positivo.
15. Si, <1; hallar el para que se cumple que
16.
17.
18. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto de soluciones de la ecuación
.
19.
20. ¿Entre que limite debe estar comprendido “r” para la inecuación
, se verifique para todo valor real de “x”.
21. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto de solución de la ecuación
IV UNIDAD
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
SEXTA SEMANA : 07 ABRIL AL 12 ABRILPRIMERA SESION:
1. PLANO CARTESIANO ( COORDENADAS CARTESIANAS )
Para determinar la posición de un punto P en un plano se le asocia un par ordenado ( x , y ) de números reales, que constituyen sus coordenadas respecto de un sistema de coordenadas.
Y( -4, 4)( 4,3)
(-5;0) (2;0) X
(0;-3) (7;- 2)
(-3;-5)
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
El Sistema de coordenadas cartesianas que caracteriza a la Geometría Analítica, fue introducido por el matemático francés Rene Descartes ( 1596 – 1650 ) . De manera que la solución de problemas están asociados a dicho sistema .
3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
Teorema : La distancia entre dos puntos P ( X ,Y ) y P ( X , Y ) esta dada por la formula :
d =
Sean P y P dos puntos cualesquiera del plano cartesiano y la distancia d =
d =
Y C - - - - - - - - - - P ( X ,Y )
d B A
0
P ( X , Y ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ D M
Plan : Tracemos P M X Y P M Y y obtenemos el triangulo rectángulo P M P Además : A( X ,0 ), B( X ,0 ), C( 0,Y ) y D ( 0,Y )
4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
TEOREMA : Si P( x , y ) es punto medio de P P , se tiene :
Sea el segmento P P y P el punto medio .
Plan : Tracemos paralelas a los ejes por los puntos P , P, P y consideremos el Triangulo Rectángulo P , M P
Y P ( X , Y ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
P( x , y )P ( X ,Y ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M Q
X 0 X X X
5. ECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO DE ELLA Y SU PENDIENTE
Analíticamente , la ecuación de la recta queda definida si se conoce las coordenadas de un punto y su pendiente , porque se llama ecuación punto pendiente .
Si m = , entonces Y - Y = m ( X - X )
Y - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P ( X ,Y )
- - - - - - - P (X ,Y )
0 X
ECUACIÓN DE LA RECTA DADO SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN
Sea la recta L que interseca al eje Y en P ( 0, b ) , m su pendiente y P ( x , y ) otro punto de la recta . De la ecuación Y - Y = m ( X - X ) , se deduce :
Y - b = m ( X – 0 ) Y - b = mx
Y = mx + b
L
P ( 0 , b )
bP( X ,Y )
0 X
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Analíticamente , una recta L queda determinada si se conocen las coordenadas de dos puntos cualesquiera .
Si Y - Y = m ( X - X ) y m = ,
Y - Y = ( X - X )
Y L
P ( X , Y )
0 X
P ( X , Y )
ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
Sea la recta L cuya intersección con el eje X es P (a,0) y con el eje Y es P ( 0 , b ) .
De la Ecuación Y - Y = ( X - X )
Se deduce : Y - 0 = ( X - a )
ay = - bx + ab bx + ay = ab
Dividiendo por ab : = 1
YL
P ( 0 , b )
P ( a , 0 )
0 X
SEGUNDA SESION : PRACTICA
1.- Hallar la distancia entre los puntos A( -4 ; -2) y B ( 8,3 ) .
2.- Calcular el perímetro del triangulo ABC ,siendo A(-1;3) , B ( 3;6) y C( 2;-1)
3.- Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB , siendo A(-3;4) y B( 5;2 )
4.- Calcular las coordenadas de un punto situado en el eje de las abscisas que equidiste de los puntos A( -3;6) y B(7;4 ) .
5.- Hallar el perímetro del triangulo cuyos vértices son : A(9;9) B(-3;4) y C(9;-5).
6.- Hallar el área de la región del polígono cuyos vértices son : A (1;4 ) B(-3;2) C (-5;0) D( -3;-2) E(2;-2) y F(4;2) .
7.- En un cuadrado ABCD se tiene que A (-3;2 ) y B( 5 ; 8 ) . Hallar las coordenadas de los vértices C y D .
8.- Calcular las coordenadas de un punto “ P “ ubicado en el eje de ordenadas que equidiste de los puntos A ( 12 ;7 ) y B(5 ; -10 ) .
9.- Los vértices de un paralelogramo son : A (-5;-2 ) B(-2 ;3 ) C (10 ;6 ) y D. Hallar las coordenadas del vértice “ D “ . 10.- Los vértices de un triangulo son : A (-2 ;3 ) B(4 ;9 ) C (8;5 ) . Calcular la suma de las pendientes de las rectas que contienen a cada lado .
11.- Los vértices de un triangulo son : A (-4 ;3 ) B(3 ;8 ) C ( 7;6 ) . Calcular la pendiente de la mediana relativa al lado BC .
12 .- Los vértices de un cuadrilátero son : A (-1;6 ) B( 5;10 ) C ( 7;12) y D( 11; 2 ). Calcular el producto de las pendiente de sus diagonales .
13.- Los puntos A( -1;4) y B ( 8 ; -2 ) determinan una recta . Hallar las coordenadas del punto “P” en el cual la recta corta al eje de abscisas .
14.- Hallar la ecuación de la recta que tiene por pendiente –1/3 y que corta al eje “Y” en el punto ( 0;5) .
15.- Hallar la ecuación de la recta que tiene por pendiente 2 y que corta al eje “ Y “ en el punto –3 .
16.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0;-4) y forma un ángulo de 60° con el semieje positivo de abscisas .
17.- Una recta pasa por los puntos ( -5;0) y ( 0 ; 3 ) . Determinar su ecuación . 18.- Encontrar la ecuación de la recta sabiendo que su intersección con el eje x es 2 , y con el eje y es 4 .
19.- Una recta pasa por el punto P(4;3) y tiene un ángulo de inclinación de 60° .Hallar la ecuación de la recta .
20.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (-3; 2) y cuya pendiente es inversa y de signo contrario a la pendiente de la recta : x + 2y = 3 .
SETIMA SEMANA : 14 ABRIL AL 19 ABRILPRIMERA SESION :TALLER RECAPITULACION PARA EL EXAMEN PARCIALSEGUNDA SESION : PRACTICA DIRIGIDA
OCTAVA SEMANA : 21 ABRIL AL 26 ABRILPRIMERA SESION : PRACTICA DIRIGIDASEGUNDA SESION : EXAMEN PARCIAL I
NOVENA SEMANA : 28ABRIL AL 03 MAYOPRIMERA SESION :
Es el conjunto de puntos (x;y) en , tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es siempre igual a una constante llamada radio.
Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano.
Se le conoce a la ecuación de una circunferencia de radio “r”, y centro :
r
k h
LA CIRCUNFERENCIA
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Se le conoce a la circunferencia de centro en el origen (0;0) y radio “r”, donde: h = k = 0
r
Se denomina a la ecuación de cualquier circunferencia que puede expresarse en la forma:
FÓRMULA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA:
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA:
1) Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio 4 y centro (3;2).
Solución:
2) Hallar el radio y el centro de la circunferencia.
Solución:
Agrupamos términos y pasamos el término independiente al otro lado. Completamos trinomios y lo que sumemos (para completar), lo sumamos
también del otro lado. Se pasa a la forma:
Entonces:Centro : C(-3;-9)Radio : r=5
SEGUNDA SESION : Practica
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3; 2) y radio 6. Dibuje la curva.
2) Determine la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro C(5; 3) y radio .
3) Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas:
L1: x – 2y – 1 = 0L2: x + 3y – 6 = 0
4) Encuentre la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de extremos A(-1, -3) y B(7, -1).
En cada uno de los casos siguientes la ecuación representa una circunferencia. Encuentre las coordenadas del centro y el radio. Dibuje la curva
5) x2 + y2 – 10y = 0
6) x2 + y2 – 25 = 0
7) x2 + y2 – 8x = 0
8) x2 + y2 – 12x – 16y = 0
9) 3x2 + 3y2 – 4x + 8y = 0
10) x2 + y2 – 4x – 2y – 5 = 0
11) x2 + y2 + 5x + 6y – 9 = 0
12) x2 + y2 + 6x – 14y – 64 = 0
13) 9x2 + 9y2 – 6x – 12y - 11 = 0
14)Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, por el punto (4, 8) y tiene su centro en la recta:
L: y = 3.
15)Una circunferencia con centro en el origen pasa por el punto A(3; 4) . Halle la ecuación de la circunferencia.
EJERCICIOS PROPUESTOS
16)Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y el centro de la siguiente circunferencia:
x2 + y2 – 2x +6y = 900
17)Hallar el valor de K para que la ecuación:
x2 + y2 – 6x – 4y + k = 0
represente a un punto de plano.
18)Determinar el valor de K para que la ecuación:
x2 + y2 +2x – 8y + K = 0
represente a una circunferencia de radio 3.
19)Encuentra la ecuación general de la circunferencia de radio 3, concéntrica con la circunferencia:
x2 + y2 – 6x + 2y - 5 = 0
20) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y el centro de la siguiente circunferencia:
9x2 + 9y2 – 6x – 12y - 11 = 0
V UNIDAD
RELACIONES BINARIAS Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL,
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
DECIMA SEMANA : 05 MAYO AL 10 MAYO
PRIMERA SESION
RELACIONES BINARIAS
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, un conjunto R de pares ordenados tomados
A x B se llama una relación Binaria del conjunto A en el conjunto B y se denota:
R: A B R A x B
Ejemplo:
Sean A = {2, 3, 5, 7, 4}; B = {-1, 3, 5, -9}
R = {(2, -1); (2, 3); (7, -9)} es una relación de A en B
Ya que cada uno de sus pares ordenadas está en A x B del diagrama sagital.
Al conjunto A se le llama conjunto de partida y al conjunto B, conjunto de
llegada.
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION
El Dominio es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares
ordenados que forman la relación R, y se denota por Dom (R).
El Rango es el conjunto formado por los seguidos componentes de los pares
ordenados que forman la relación R, y se denota por Rang (R)
Ejemplo:
En la relación binaria R:
R: {(3, 5); (3, 6); (4, 5); (4, 6)}
El Dominio de R es:
Dom (R) = {3, 4}
El Rango de R es:
Rang (R) = {5, 6}
NOTA:
Cada elemento del dominio se llama PRE – IMAGEN
Cada elemento del rango se llama IMAGEN.
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Para que una relación sea de equivalencia, es necesario que se cumplan 3
condiciones:
a) Que sea una relación reflexiva.
b) Que sea una relación simétrica.
c) Que sea una relación transitiva.
RELACIÓN REFLEXIVA:
Diremos que R es una relación reflexiva, su a A (a, a) R
Ejemplo:
Sea:
A = {1, 5, 6} y sea R1 relaciones de A en A
R1 = {(1, 1); (5, 5); (6, 6); (5,1)}
Es reflexiva, pues:
1 A (1, 1) R1
5 A (5, 5) R1
6 A (6, 6) R1
Así mismo:
R2 = {(1, 1); (5, 5); (5, 1); (6, 5)}
No es reflexiva por que falta el par (6, 6)
RELACION SIMÉTRICA:
Diremos que es una relación SIMETRICA, si (a, b) R (b, a) R
Ejemplo:
La relación:
R = {(1, 5); (2, 3); (5, 1); (3, 2)}
Es simétrica pues:
(1, 5) A (5, 1) R
(2, 3) A (3, 2) R
RELACIÓN TRANSITIVA
Diremos que R, es una relación transitiva si:
(a, b) R1 (b, c) R1 (a, c) R
Veamos:
Si: A = {1, 2, 3, 4} sea
R relación de A en A
La relación:
R = {(1, 2); (3, 1); (3, 2)}
Es transitiva pues:
(3, 1) R (1, 2) R (3, 2) R
FUNCIONES
Una función es un conjunto de pares ordenados de números reales (x, y) con la
condición de que dos pares distintos no pueden tener iguales los primeros
elementos.
El conjunto de todos los valores que tiene “x” se llama dominio (D) de la función y
el conjunto de todos los valores que pueda tener “y” denominado el rango (R) de la
función.
Si f es una función entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y)
en los números reales cuyas coordenadas cartesianas están dadas por las parejas
ordenadas.
Se tiene el siguiente ejemplo:
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
El Dominio de la función: D = {1, 2, 3, 4}
El Rango de la función: R = {2, 3, 4, 5}
Representación de la función en el gráfico
Forma de representar una función
f = {(x, f (x)) / x D f}
Se lee “la función f cuyo conjunto de (x, f (x)) tal que x pertenece al dominio de la
función.
También puede representarse de la siguiente manera:
f = {(x, y) / y = f (x), x D f}
Ejemplo: Sea D f = {1, 2, 3, 4}, y = f (x) = x + 1
Solución: Reemplazamos el dominio de la función en f (x):
Para x = 1 f (1) = 1 + 1 = 2 .................... (1, 2)
Para x = 2 f (2) = 1 + 1 = 3 .................... (2, 3)
Para x = 3 f (3) = 1 + 1 = 4 .................... (3, 4)
Para x = 4 f (4) = 1 + 1 = 5 .................... (4, 5)
Cuando no nos dan el rango ni el dominio:
Ejemplo: Determinar el dominio y el rango de la función:
f = {(x, y) / x – y = 2}
Solución:
Ahora comenzamos a despejar y en: x – y = 2 quedando: y = f (x) = x – 2
Entonces el criterio que se debe tomar es qué valores tendrá para que y resulte un
número real; por lo tanto cualquier número real que tenga x el dominio resultará un
número también real:
Luego: El Dominio (D) = # R
El Rango (R) = # R
Ejemplo: Analizar el dominio y el rango de f = {(x, y) / y =x2}
Solución: De la función dada en el conjunto se tiene:
y = x2
Observe que cualquier número real puede tomar x, entonces el dominio es un #
real. Pero el rango que se obtiene al dar valores a x siempre resultará positivo por
estar elevado a una potencia par. Luego concluyendo tenemos:
FUNCION RAIZ CUADRADA
Ejemplo: Veamos cuál es el dominio y rango de la función:
f = {(x, y) / y = } y trazan la gráfica?
Solución: En la gráfica demuestra la curva de la función f.
El dominio de la función: [ o, ]
El rango de la función: [ o, ]
FUNCION DE IDENTIDAD
Es una función que tiene como dominio a los números reales. La función identidad
se representa: I(x) = f(x) = x o también como:
I = {(x, I(x)) / x #R}
Para x = 1 I(-1) = -1 ...... (-1, -1)
Para x = 1 I(1) = 1 ...... (1, 1)
Para x = 2 I(2) = 2 ...... (2, 2)
Para x = 3 I(3) = 3 ...... (3, 3)
Observe el gráfico de la función:
FUNCION CONSTANTE:
Es una función cuyo dominio son números reales y su rango es una constante
perteneciente a los números reales.
La función constante se representa como: y = f (x) = c donde c es una cantidad
real.
Luego: f = {(x, c) / x # R}
Si x = -2 f (-2) = c ................ (-2, c)
Si x = -1 f (-1) = c ................ (-1, c)
Si x = 0 f (0) = c ................ (0, c)
Si x = 1 f (1) = c ................ (1, c)
Puede observar cómo ha quedado el gráfico.
FUNCION VALOR ABSOLUTO
En esta función se caracteriza por tener el dominio de (- , + ) y el rango
[ 0, + ).
y = f (x) = l x l = x, si x 0
-x, si x < 0
Por lo tanto la función es f = {(x, l x l) / x # R}
Si x = -2 f (-2) = -2 ................ (-2, 2)
Si x = 1 f (-1) = -1 ................ (-1, 1)
Si x = 0 f (0) = 0 ................ (0, 0)
Si x = 1 f (1) = 1 ................ (1, 1)
FUNCION LINEAL
La función lineal es aquella cuyo dominio y rango resulta números reales.
Ejemplo: Sea la función y = 2x – 1
Para x = 0 f (0) = 2(0) – 1 = -1 ... (0, -1)
Para x = 1 f (1) = 2(1) – 1 = 1 ... (1, 1)
Para x = 2 f (2) = 2(2) – 1 = 3 ... (2, 3)
Ejemplo 1: Sean los conjuntos A = {2, 6, 9, 15} y B = {3, 6, 5} y la relación R
siendo: si X A y Y B entonces esta relación tiene el siguiente diagrama:
¿Qué podemos observar en este gráfico? Veamos:
1) Que el elemento 6 en A le corresponde dos elementos en B, que son 3 y 6.
Esto es, 6 en A tiene dos imágenes en B.
2) Lo mismo sucede con el elemento 15 en A, el que tiene dos imágenes en B
(que son 3y 5):
3) Que el elemento 3 en B es imagen de 6, 9 y 15, así 3 es imagen de más de
un elemento en A.
4) Que 2 en A no tiene ninguna imagen.
De estas observaciones resaltamos las dos primeras; así, que un elemento en A
tiene más de una imagen en B.
Ejemplo 2: Sea la relación definida por el siguiente diagrama:
En este ejemplo observamos que los elementos de A tienen una sola imagen
según R, a diferencia del ejemplo anterior en que podían tener más de una
imagen.
Esta última relación toma el nombre de función: la primera relación (del ejemplo)
no es función.
GRÁFICA DE FUNCIONES
Veamos las relaciones cuyos gráficos son:
¿Cuáles de estas relaciones son funciones?
Solución: Teniendo en cuenta por lo expresado al final del ejemplo 2, decimos
que las relaciones (a), (b), (d) y (f) son funciones y que las relaciones (c) y € no
son funciones. Veamos por qué:
En (a) todo punto en donde la relación está definida tiene una sola imagen.
En (b) todo punto en donde está definida la relación tiene una sola imagen.
En (c) existen puntos en donde la relación esta definida (en este caso todos los
puntos con excepción del cero) tienen dos imágenes.
En (d) todo punto en donde la relación está definida tiene una sola imagen en este
caso todos los puntos (en donde la relación está definida) tienen la misma imagen
(que es 6).
En (e) la relación está definida solo en el punto 2 ¿Cuántas imágenes tiene?
¡Infinitas!.
En (f) la relación está definida en el intervalo [-3, 4] y todo punto sobre este
intervalo tiene una sola imagen.
Con todo lo mencionado estamos en condiciones de dar una definición.
Una relación R entre A y B es llamada función si todo elemento del dominio de R
tiene una y solo una imagen en B. (Rango) ¿Cuál será entonces el dominio y el
rango de las funciones (a), (b), (d) y (f) de las gráficas analizadas anteriormente?
Solución:
Con (a) observamos que la función (o con más exactitud el gráfico de la función)
se extiende infinitamente por la izquierda y por la derecha, además la función está
definida en todo punto de la recta R.
Así el dominio D No. R = (- , ). Observamos también que la función toma
solo valores positivos, desde valores cercanos, a o hasta valores muy grandes que
es el rango de la función R = (o, )
Con (d): en este caso la función está definida en toda la recta y toma un solo valor,
6. Así D = No. Real y R = {6}
Con (f) vemos que la función está definida en el intervalo [-3, 4] y con valores en
el intervalo [ -1, 5]. Por lo tanto queda la función como:
D = [-3, 4] y R = [-1, 5]
SEGUNDA SESION: PRACTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Dados los conjuntos:
A = {2, 3, 4, 5} y B = {3, 6, 7, 10}
Con la relación:
R = {(x, y) A x B / “Y” divide a “X” exactamente}
Los pares ordenados que satisfacen la relación “R” son:
Rpta.: (3, 3); (2, 6); (2, 10); (5, 10)
2. Dada la relación:
R = {(1, 2): (2, 2): (4,6)}
Hallar el dominio y rango de dicha relación.
Rpta.: Dom(R) = {1, 2, 4}
Rang(R) = {2, 6}
3. Dados los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 4, 6, 9} y la relación:
R = {(x, y) A x B / y = x2}
¿Cuántos pares ordenados satisfacen la relación “R”?
Rpta.: Satisfacen la relación “R” 3 pares ordenados R = {(1, 1); (2, 4), (3,9)}
4. Dados los conjuntos P y T, hallar el dominio y el rango de la relación R de P
en T cuya regla de correspondencia es Y – X + 3
Si: P = { x/x Z; -2 ≤ x < 2}
T = { x/x N; 0 < x ≤ 3}
Rpta.: Dom(R) = {0, -1, -2}
Rang(R) = {3, 2, 1}
5. Sean W = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 1); (1, 3); (2, 2); (3, 1); (4, 4}
¿Es reflexiva R?
Rpta.: R es no reflexiva por que 3 W Y (32, 3) R.
6. ¿Hay algún conjunto A en que toda relación en A sea simétrica?
Rpta.: Si A es el conjunto vacío o si A solamente tiene un elemento, entonces
toda relación en A es simétrica.
7. Sean W = {1, 2, 3, 4} y R = {(2, 2); (2, 3); (1, 4) (3, 2)}. ¿Es R transitiva?
Rpta.: R no es transitiva, puesto que (3, 2) R, (2, 3) R pero (3, 3) R.
8. Sea R la relación definida en los números naturales por:
R = {(x, y) N2/ x + 3y =12}
Hallar la suma de los elementos de:
D(R) – R(R)
Rpta.: 23
9. Dado la siguiente relación:
R= {(7, 3); (5, 2); (7, 4); (7, 1)}
¿Cuál es la suma de los elementos del dominio?
Rpta.: 26
10.Dados los conjuntos:
A = {x N / x es impar, x [3, 7] }
B = {x N / x es impar, x ]3, 11[ }
Determinar la relación R definida por Y = x + 2
¿Cuál es la suma de los elementos del dominio?
Rpta.: 15
11.Sea la función y = 3 – x. Encontrar el dominio, el rango y la gráfica de la
función.
Rpta.: D No. R y R No. R
12.Sea la función y = encuentre el dominio, el rango y traze la gráfica de
y.
Rpta. D No. R excepto 2 y R No. Excepto 4.
13.Calcular el dominio, el rango y traze la gráfica de la función: f(x) = sen x.
Rpta.: D No. R y R [-1, 1]
14.Calcular el rango, dominio y traze Ud. la gráfica de la función: y = x2 – 2
Rpta.: D No. Real y R No. Real.
15.Al graficar la función: f (x) = 3 x – 2 diga. ¿Cuál es el dominio y el rango de
esta función?
Rpta.: D No. Real y R No. Real (+)
16.En las siguiente figuras. ¿Qué gráfica representa una función?
Rpta.: Sólo d)
17. i:
F(x) = 2x + 7
G(x) = 12 – 4x
Hallar: F(1) + G(2)
F(0) + G(5)
Rpta.: 13
18.Si:
f (x – 3) = 3x2 – 5x + 6
Calcular: f (-2) + f (1)
Rpta.: 38
19.Si:
f (x – 2) = 3x2 – 6
Halla: f (0) + f (-1)
Rpta.: 3
20.Sean las funciones f: R R y g: R R definidas por f (x) = 2x – 3y,
g(x) = x2 + 5. Hallar: f (g (x + 1))
Rpta.: 2x2 + 4x + 9
DECIMA PRIMERA SEMANA : 12 MAYO AL 17 MAYO
PRIMERA SESIONSUCESIONES
Es un conjunto numérico, literal ó gráfico cuyos términos obedecen a una ley de formación. También se le llama progresiones. Se tiene dos tipos:
PROGRESION ARITMETICA (P.A.): Se forma sumando o restando a cada término una cantidad constante o variable.
Ejem: Determinar “x” en : 10; 13; 16; 19; x; 25
+3 +3 +3 +3 +3
Luego se tiene que X = 19+3 = 22
Al número “3” , se le llamará Razón (r), y se calcula comparando por diferenciados elementos contiguos Ejem.: 16-13 = 3
Clases: cuando r > 0 , es una Progresión aritmética creciente. cuando r < 0 es una Progresión aritmética decreciente. cuando r = 0 , es una Progresión aritmética Trivial.
Propiedades:1. La razón de una P.A. es igual a la diferencia de dos términos consecutivos.
Ejem: Dado : 2; 4; 6; X; 10; 12; 14
La razón “r” = 4 - 2 = 6- 4 = 2
2. La suma de dos términos equidistantes de los extremos en una P.A., nos da el mismo valor.En el Ejem. anterior: 2+14 = 4+12
3. Si la P.A.tiene un número impar de términos, se tendrá que el término central es igual a la semisuma de los términos extremos.En el ejemplo: el término central es= (2 + 14) / 2 = 8
4. Si la P.A. es : a1; a2; a3; ……an y razón “r”, n =No. de términos
Entonces, se cumple que: an = a1 + (n-1) r
5. La suma de términos de una P.A., será:
Sn = { (an+a1) / 2 } x n o Sn = { 2a1 + (n-1) r } (n/2)
PROGRESION GEOMETRICA (P.G.): Se forman multiplicando a cada término cantidades constantes o variables.Ejemplo:
Determinar “x” en: 5; 10; 20; 40; x; 160
x2 x2 x2 x2 x2
Luego, se tiene que X= 40 x 2 = 80
Al número “2” , se le llamará Razón (q), y se calcula comparando por cociente dos elementos contiguos Ejem.: 20 /10 = 2
Clases: cuando q > 0 , es una P.G. creciente. cuando 0 < q < 0 es una P.G. decreciente. cuando q < 0 , es una P.G. Oscilante.
Propiedades:
1. El producto de dos términos equidistantes de los extremos en una P.G., nos da el mismo valor.En el Ejem. anterior: 5 x 160 = 10 x 80
2. Si la P.A.tiene un número impar de términos, se tendrá que el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los términos extremos.En el ejemplo: 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192el término central es= (3 x 192) 1/ 2 = 24
3. Si la P.G. es : t1; t2; t3; ……tn y razón “q”, n =No. términos
Entonces, se cumple que: tn = t1 x q n-1
4. La suma de los infinitos términos de una P.G. decreciente es:Sn = { t1 / (1 - q) } 0<q<1
5. La suma de los “n” primeros términos de una P.G. es:
Sn= { t1 (q n -1) } / (q-1)
Nota:Sucesión de razones geométricas iguales:
Dado: a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 = ……….an/bn = K
Entonces se cumple:
1. (a1 + a2+a3+……..an) / (b1+b2+b3+….bn) = k
2. (a1 . a2. a3. ….an) / (b1 . b2. b3. ….bn) = k n
3. a1 = b1 . Ka2 = b2 . K…………..…………..an = bn . K
PROPORCION: Es la igualdad de dos razones de la misma clase.Proporción aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas
a – b = c - d
Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas.
a / b = c / d
PROMEDIOS
MEDIA ARITMETICA: (M.A)
M.A. de “n” números = (a1+a2+a3+….an) / n
MEDIA GEOMETRICA: (M.G.)
M.G. de “n” números es = ( a1 . a2. a3. …..an) ½
MEDIA ARMONICA (M.H.)
M.H. de “n” números es = [ n / (1/a1 + 1/a2 + 1/a3 + …1/an) ]
OBS.: M.A. > M.G > MH
3.- Fórmulas
Notación:a = primer términou = último término d = diferencia común m = término central r = razón común n= número de términos s = suma de términos
3.1 Progresión Aritmética
1° Término general: TK
TK = a + (k – 1) d
2° Suma de términos
s =
n
3° Último término
Tn = a + (n – 1) d
4° Suma de términos
4 PROPIEDADES:
4.1 Progresión Aritmética
2a + (n – 1) d S = n 2
1° La suma de términos que equidistan de los extremos es igual a la suma de los términos extremos de la progresión.Ej.:
: 4 . 8 . 12 . 16 . 20 . 24
4 + 24 = 8 + 20 = = 12 + 16
: 3 .6 . 9 .12 .15 .18 .24 m
3 +21 = 6+18 = = 9 + 15 = = 12 + 12
Nota.-
2° La suma de términos de una P.A. de un número (n) impar de términos es:
S = mn 4.2 Progresión Geométrica
1° Término general
Tk = a . r (k -1)
2° Suma de términos
u . r - aS =
r - 1
3° Último término
Tn = a . r (n -1)
4° Suma de términos
a + uM =
2
P = (m) n
rn - 1S = a
r - 1
4.3 Progresión Geométrica
1° El producto de términos que equidistan de los extremos es igual al producto de los términos extremos de la progresión.Ej..:
2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64
2 . 64 = 64 4 . 32 = 8 . 16
1 : 4 : 16 : 64 : 256
m
1 . 256 = 4 . 64 = 16 . 16
Nota.-
e
2° El producto de términos de una P.G es:
5. Suma de términos de una progresión geométrica decrecientes
a 1. 0 < r < 1S = Retricciones 1 – r 2. n (Progresión infinita)
6. Interpolación
Interpolar es completar una progresión es completar una progresión a partir de sus elementos extremos.
6.1 Interpolación de “K” medios aritméticos
Datos: ÷ a. . u
k medios
k número de medios a interpolar Nota.- Número de términos (n): n= k + 2
1° Cálculo de la razón o diferencia común.
d = d =
2° Sumando esta razón con cada término obtenemos el siguiente.
Ej.: Interpolar 3 medios aritméticos entre 4 y 16
Datos: a = 4 u = 16 k = 13
Solución: ÷ 4 .16 3 medios
d = = 3 ÷ 4 . 7 . 10 . 13 . 16
6.2 Interpolación de “k” medios geométricos
Dado: a: : u Nota .- n = k + 2
k medios
1° Cálculo de la razón
r = r
2° Multiplicando la razón por cada término se obtendrá el siguiente
Ej.: Interpolar 4 medios geométricos entre 729 y 3,Datos: a = 729 u = 3 k = 4
Solución:
r = = = =
Luego: 729 : 243 : 81 : 27 : 9 : 3
EJERCICIOS1.- La suma de los “n” primeros términos de una P.A. es 117, la razón 2 y el 1° término (a1) es 5. Hallar “n”
A) 3 B)6 C) 9 D) 12
2.-Calcular el término central de una progresión aritmética de 7 términos si la suma de los términos de lugar impar es 77 y la de los de lugar par es 56
A) 13 B) 15 C) 17 D) 19
3.- Hallar la razón de una P.G. de 3 términos, si la suma de ellos es 157 siendo el 1° término: 1 y r > 1
A) 13 B) 12 C) 11 D) 10
4. La suma de los 4 primeros términos de una P.A. es 20, la razón es 6. Hallar el 1° término. A) 2 B) -2 C) 4 D) -4
5. En la siguiente P. Geométrica:
Hallar: t12
A) 26 B) 24 C) 12 D) 16
6. Hallar la razón de una P.G. cuyo 1° término es 7, el último es 567, y la suma de todos términos es 847.A) 1 B) 3 C) 5 D) 7
7. Sabiendo que: a, a+b+2, c+b+4, c+10, se hallan P.A. creciente. Calcular: b+c-3.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
8. Calcular: t210 en la siguiente suma:
S =
A) B) C) D)
9. La suma de los 3 primeros términos de una P.A. es 42. La suma de los 3 últimos es 312, y la suma de todos los términos es 1062. Hallar el número de términos “n”.A) 14 B) 16 C) 18 D) 20
10. La suma de los 6 términos centrales de una P.A. creciente de 16 términos es 141 y el producto de los extremos es 46. ¿Qué lugar ocupa el número 7?A) 3° B) 5° C) 7° D) 9°
CLAVE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C D B D D B B A C A
SEGUNDA SESION : Practica matemática XI (20item)
1. Determinar “x” en: 3; 8; 13; 18; 23; X (Rpta. 28)
2. Determinar “x” en: 13; 14; 16; 19; 23; X (Rpta. 28)
3. Determinar “x” en: 24; 23; 21; 18; 14; X (Rpta. 9)
4. Determinar “x” en : 1; 7; 16; 30; 51; X (Rpta. 81)
5. Determinar “x” en : 23; 24; 26; 29; 30; 32; 35; X (Rpta. 36)
6. Determinar “x” en : 3; 3; 6; 18; 72; 360; X (Rpta. 2160)
7. Determinar (x+y), si se tiene:0; 13; 5; 10; 10; 7; 15; 4; X; y (Rpta. 21)
8. En la siguiente succión hay un número equivocado, identifíquelo y reemplazarlo por el correcto.
2; 5; 10; 12; 26; 29; 58; 61; 122 (Rpta. 13)
9. Cual esa el décimo término de esta sucesión:
1; 3; 7; 15; 31; …..? (Rpta. 1023)
10. Señale el número que completa la sucesión:
7; 13; 24; 45; 86; __ (Rpta. 167)
11.Complete correctamente la sucesión:
5; X ; 32; 68; 140; 284 (Rpta. 14)
12.Calcular el valor del tèrmino 50 en la siguiente sucesión:
¼; 1/5; 3/16; 2/11……. (Rpta. 25/149)
13.Hallar la suma de (x+y+z) se la sucesión:
1; 3; 2; 2; 5; 5; 3; 7; 8; x; y; z (Rpta. 24)
14.Que letra continua en la secuencia:
A; Z; B; Y; C; ----
15.La suma, diferencia y producto de 2 números enteros está en la misma relación que los números 7, 1 y 48. Cual es el cociente de los números. (Rpta. 4/3).
16.Hallar la media aritmética de 1; 2; 3; 4; ……20 (Rpta. 10.5).
17. Si a/2 = b/3 = K y a3 + b3 = 280 . Hallar a+b.. (Rpta. 10).
18. Hallar dos números tales que su media aritmética es 18.5 y su media geométrica sea 17.5. (Rpta. 24.5 y 12.5)..
19. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 176400, el primero de estos términos es 12. Hallar el cuarto término. (Rpta. 35)..
20. Si a/b= 8/3 , además a2 + b2 = 52 . Hallar (a-b). (Rpta. 10)
DECIMO SEGUNDA SEMANA 19 MAYO AL 24 MAYO PRIMERA SESION
INTERES
Por medio de la Regla de Interés se puede encontrar la ganancia o interés que produce una suma de dinero o capital, prestado a un tanto por ciento determinado y durante un tiempo también determinado.
Aquí, el capital se representa por c, el tiempo por t, el % por r y el interés o rédito por I.
El dinero nunca esta inactivo, pues al darse en préstamo debe producir una ganancia para quien lo presta, la cual es un % dado de la cantidad prestada, cuyo % es convenido por las partes que hacen el contrato. Así, prestar dinero al 5% anual significa que por cada S/. 1,000 la persona que recibe el dinero pagará S/. 5 al año; al 1 ½ % mensual significa que se debe pagar S/. 1.50 al mes por cada S/. 100.
INTERES LEGAL Y USURA
Cuando en una operación financiera debe existir un tipo de interés y éste no ha sido estipulado por las partes contratantes, la Ley puede disponer, por ejemplo, que será el 6% anual, A esto se le llama Interés Legal.
Por otra parte, la usura consiste en exigir un interés muy elevado por el dinero que se presta y es penada por las leyes en algunos países.
INTERES SIMPLE Y COMPUESTO
El interés puede ser simple cuando el interés o rédito, es decir, la ganancia que produce el capital prestado, se percibe al final de períodos iguales sin que el capital varíe. Y también puede ser compuesto, cuando los intereses que produce el capital se le suman al final de cada período formando un nuevo capital.
DEDUCCIÓN DE LAS FORMULAS DE INTERES SIMPLE
En las que se deducen a continuación, r representa la tasa ó el tanto por ciento anual, es decir, lo que reditúan S/. 100 al año.
1. Siendo el tiempo 1 año:
S/. 100 producen r al añoS/. c producen IComo el capital y el interés son directamente proporcionales, porque a doble capital, doble interés, formaremos la proporción igualando las razones directas:
100 = r c I
y despejando en esta proporción I, c y r como medios o extremos desconocidos, tendremos:
I = c r c = 100 I r = 100 I 100 r c
2. Siendo el tiempo de varios años:
Es evidente que el interés que produce un capital c durante t años, es igual al interés que produce un capital t veces mayor durante un año, o sea el interés durante un año del capital c t.
Por lo tanto, si: S/. 100 producen r al añoS/. c t producirán I al año
Al formar la proporción tendremos: 100 = rc t I
y despejando:
I = c t r c = 100 I t = 100 I r = 100 I 100 t r c r c t
3. Siendo el tiempo de varios meses:
Cuando el tiempo t represente meses, t representará años, de esa forma 12
estaremos en el caso anterior:
S/. 100 producen r al año.S/. c x t producirán I
12
Formando la proporción tendremos: 100 = rc t I12
Simplificando, queda: 1200 = r c t I
Despejando:
I = c t r c = 1200 I t = 1200 I r = 1200 I 1200 t r c r c t
4. Siendo el tiempo de algunos días:
El año comercial se considera de 360 días.
Cuando el tiempo t representa días, t representará años, luego, diremos: 360
S/. 100 producen r al año
S/. c t producirán I 360
Formando la proporción tendremos: 100 = rc t I360
Simplificando, queda: 36000 = r c t I
y despejando:
I = c t r c = 36000 I t = 36000 I r = 36000 I 36000 t r c r c t
PROBLEMAS CON FORMULAS
Para aplicar estas formulas deben considerarse que, siendo el % anual, cuando el tiempo sea en años se emplean las formulas con 100; cuando sea en meses con 1200, y en días, con 36000.
Estas fórmulas están deducidas bajo la suposición de que el % es anual. Por tanto, si el % que se da es mensual o diario hay que hacerlo anual multiplicándolo, si es mensual por 12, y si es diario por 360, y entonces se podrán aplicar las fórmulas anteriores.
CALCULO DEL INTERES
A. Hallar el interés de S/. 450 al 5% anual en 4 años.Aplicamos la fórmula I con 100, porque el tiempo está dado en años:
I = c t r = 450 x 5 x 4 = S/. 90100 100
B. Un propietario toma S/. 3600 en hipoteca sobre una casa al 5 ¾ % anual. ¿Cuánto pagará de intereses al mes?.
Hay que hallar el interés de 1 mes. Aplicamos la fórmula de I con 1200, porque el tiempo está en meses:
I = c t r = 3600 x 1 x 5.75 = S/. 17.251200 1200
C. Hallar el interés que han producido S/. 6,000 invertidos durante 2 años, 8 meses y 6 días al ½ % mensual.
Hay que reducir 2 años, 8 meses y 6 días a días = 966 días. Entonces se aplica la fórmula de I con 36,000, porque el tiempo está en días, pero para poderla aplicar primero se obtiene el % anual. Como es ½ % mensual se multiplica por 12 y se tiene ½ x 12 = 6% anual.
I = c t r= 6000 x 966 x 6 = S/. 96636000 36000
D. Un empleado toma un préstamo de S/. 480 al 5% anual el 12 de marzo y devuelve el dinero el 15 de mayo. ¿ Cuánto pagará de interés?.
Al calcular el interés entre dos fechas próximas, se calcula el número exacto de días de una fecha a otra. Así, en este problema, del 12 de marzo al 15 de mayo hay 19 días en marzo, 30 en abril y 15 en mayo = 64 días.
I = c t r= 480 x 64 x 5 = S/. 4.2736000 36000
CALCULO DEL CAPITAL
A. ¿Qué suma al 5 1 % produce S/. 104 en 8 meses? 5
Aplicamos la fórmula de capital con 1200, porque el tiempo está en meses: c = 1200 I = 1200 x 104 = S/. 3,000
r t 5.2 x 8 B. Por un dinero que recibí en préstamo al 1/3 % mensual y que devolví a los
80 días pagué S/. 400 de interés. ¿ Cuál fue la suma prestada?.
1 % mensual = 1 x 12 = 4% anual 3 3
Se aplica la fórmula de capital con 36,000 porque el tiempo está en días:
c = 36000 I = 36000 x 400 = S/. 45,000 r t 4 x 80
CALCULO DEL POR CIENTO
A. ¿A qué % anual se invirtieron S/. 75000 que produjeron en 24 días S/. 250 ?
Aplicamos la fórmula de r con 36000 porque el tiempo está en días: r = 36000 I = 36000 x 250 = 5 % anual
c t 75000 x 24
CALCULO DEL TIEMPO
A. Si S/. 6,000 invertidos al 2% producen S/. 600, ¿por cuánto tiempo estuvieron invertidos?
Para tener el tiempo en años se aplica la fórmula de t con 100; en meses, con 1200 y en días con 36000. Aquí se busca en años:
t = 100 I = 100 x 600 = 5 años
c r 6000 x 2
CASOS PARTICULARES DE INTERES SIMPLE
A. Conociendo c, t y r, hallar el monto, M
¿En cuánto se convertirán S/. 7200 al 3 3 % anual en 5 meses?
4
Aquí se pide el monto M, que es la suma del capital con el interés, o sea, M = c + I. Cómo conocemos el capital, S/. 7200, sólo hay que buscar el interés y sumarlo con c.
I = c t r = 7200 x 5 x 3.75 = S/. 112.501200 1200
Como M = c + I, sabiendo que c = S/. 7200 y que I = S/. 112.50, tendremos: M = 7200 + 112.50 = S/. 7,312.50.
B. Conociendo M, c y t, hallar r.
¿A qué % anual se invirtieron S/. 9000 que en 40 días se convirtieron en S/. 9,051.25 ?
Aquí se aplica la fórmula de r con 36000, y para encontrar el interés sólo hay que restar de M el capital con sus intereses acumulados, S/. 9,051.25, el valor de c que es S/. 9000.
Y el interés será:
I = M - c = S/. 9,051.25 - S/. 9,000 = S/. 51.25
Y tendremos:
r = 36000 I = 36000 x 51.25 = 5 1 % c t 9000 x 40 8
C. Conociendo M, c y r, hallar t.
¿Durante cuánto tiempo se invirtieron S/. 500 para que el 7% anual se convirtieran en S/. 570?
Se aplica la fórmula de t, y para hallar el interés I se resta el capital c que es S/. 500, del monto M que es S/. 570 y el interés I = M – c será S/. 570 – S/. 500 = S/. 70, y tendremos:t = 100 I = 100 x 70 = 2 años
c r 500 x 7 PRACTICA
En éste y los siguientes ejercicios sin no se establece uno específico, el % se entiende que es anual.
1. Se toman S/. 4800 en hipoteca al 7%. ¿Cuánto hay que pagar de interés mensual? R: S/. 28
2. Si presto S/. 120 al 1% mensual, ¿Cuánto me pagarán mensualmente de intereses?. R: S/. 1.20
3. Hallar el interés de S/. 600 al 3 1 % en 4 años. R: S/. 84 2
4. Hallar el interés de S/. 4500 al 5 1 % en 8 meses. R: S/. 1652
5. Hallar el interés de S/. 9000 al 12 % en 20 días. R: S/. 60
6. Hallar el interés de S/. 1800 al 5% en 3 años, 8 meses y 10 días. R: S/. 332.50
7. ¿Cuánto producen S/. 8200 prestados al 1 % mensual durante 90 días? 4
R: S/. 61.508. ¿Cuánto producen S/. 750 que se prestan al 1 % diario en 2 meses?
80R: S/. 7.50
9. Hallar el interés de S/. 500 al 6% del 6 de febrero de 2005 al 2 de marzo del mismo año. R: S/. 2
10. Se toman S/. 900 al 5 1/2 % el 29 de abril y se devuelve el capital prestado el 8 de junio. ¿Cuánto se pagará de interés?. R: S/. 5.50
11. Hallar el interés de S/. 400 al 9% del 1 de febrero del 1964 al 30 de julio del mismo año (año bisiesto). R: S/. 18
12. ¿Qué suma al 3% en 2 años produce S/. 60 . R: S/. 1,000
13. ¿Qué suma al 5 1 % en 5 meses produce S/. 110 R: S/. 4,800 2
14. ¿Qué suma al 3 3 % en 60 días produce S/. 72 ? R: S/. 12,000 5
15. ¿Qué capital al 7 1 % produce en 5 meses y 10 días S/. 400 ? 2
R: S/. 12,000
16. ¿A qué % se invirtieron S/. 800 que en 5 años producen S/. 40 ?
R: 1 %
17. ¿A qué % se invirtieron S/. 1,254 que en 6 meses producen S/. 62.70 ?R: 10 %
18. ¿A qué % se invirtieron S/. 8,200 que en 90 días producen S/. 410 ?R: 20 %
19. ¿A qué % se invirtieron S/. 12,000 que en 2 años 9 meses y 18 días producen S/. 2,016 ? R: 6 %
20. ¿Durante cuánto tiempo se invirtieron S/. 960 que al 5 % produjeron S/. 48?R: 1 año
21. Con los intereses de S/. 60,000 al 1 % mensual se adquirió un solar de S/. 9,000, ¿cuánto tiempo estuvo invertido el dinero? R: 1 año 3 meses
22. Se toma al 4 % una suma de S/. 9,000 el 13 de setiembre y al devolver el capital se pagan S/. 74 de intereses. ¿Qué día se hizo la devolución?
R: El 26 de Noviembre
SEGUNDA SESION PRACTICA CALIFICADA (P2)
DECIMA TERCERA SEMANA: 26 MAYO AL 31 MAYO
PRIMERA SESIÓN: REPASO DE CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA DE LA 9º A LA 12º
SEGUNDA SESIÓN: EXAMEN PARCIA II
DECIMA CUARTA SEMANA: 02 JUNIO AL 07 JUNIOPRIMERA SESIÓN:
TEORIA DE PROBABILIDADES
INTRODUCCION
La teoría de probabilidad es una herramienta o modelo matemático no determinístico que analiza principalmente fenómenos que no responden una regla uniforme ni está basada en parámetros fijos. El estudio de Probabilidades nos permite hacer aseveraciones de situaciones de las cuales no estamos absolutamente seguros de lo que va ha ocurrir pero expresan cierto grado de predicción.
CONCEPTOS PREVIOSFENOMENO ALEATORIOCuando estamos en presencia de algún fenómeno del cual conocemos ciertos datos y que en termino general se denominan estados iniciales, muchas veces pueden producirse un estado final.Esos fenómenos se denominan Fenómenos Determinísticos, pero, cuando no pueden producirse el estado final porque existen varios resultados posibles estos fenómenos se denominan No Determinísticos, llamados también Fenómenos Aleatorios.
EXPERIMENTO ALEATORIO (E)Es el conjunto de operaciones destinados a describir, comprobar o demostrar un determinado fenómeno aleatorio.
Ej. :E1 : Soltar un determinado llavero (en que posición cae)E2: Lanzar tres monedas hacia arriba (ver si caen cara o sello)
EXPERIMENTO COMPUESTOMuchas veces un experimento puede descomponerse en otros experimentos componentes.
Ej. :E : Lanzar dos dadosE1: Lanzar el primer dadoE2: Lanzar el segundo dado
Nótese que:Espacio muestral : 1 : 1, 2, 3, 4, 5, 6
2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6
El numero de elementos (n) del espacio muestral será: n() = 6 x 6 = 36
En General:n() = n(1) . n(2)
SUCESOS ELEMENTALES EQUIPOTENCIALESLos sucesos elementales son equiprobables cuando cada suceso elemental, tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Sea: E : un experimento aleatorio : espacio muestral
: a1, a2, a3, a4, ……… ak
Consideremos que los sucesos elementales son equiprobables, es decir:
P1 = P2 = P3 = P4 = ………….= Pk = P
Como : P1 + P2 + P3 + P4 +………….+ Pk = kP
Luego : kp = 1
De donde : p = 1 (DEFINICION DE LAPLACE) k
Sabiendo : k = n ()
Si ahora se considera un solo suceso cualquiera: A
Supongamos que: A = c
Luego: P(A) = p + p + p + p + ……..+ p = rp
Donde : P (A) = _ r__ = n (a) K n ( )
Experimento DeterminísticoEs toda prueba o ensayo cuyo resultado puede predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta de un único resultado posible.
Ejemplo:
Experimento Aleatorio Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta con más de un resultado posible.
Ejemplo:
Espacio MuestralEs el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo:1º Experimento aleatorio: “Lanzamiento de una moneda”
Espacio muestral: Número de elementos del espacio muestral:
2º Experimento aleatorio: “Lanzamiento de un dado”Espacio muestral: Número de elementos del espacio muestral:
3º Experimento aleatorio: “Lanzamiento de una moneda y un dado a la vez”Espacio muestral:
Número de elementos del espacio muestral:
Evento ó Suceso (A, B, C, ….)
Al lanzar un dado se obtiene como único resultado probable 1 punto
No podemos predecir que resultado saldrá ya que podría ser: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 puntos
Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denota con las primeras letras del alfabeto (mayúsculas).
Ejemplo:1º Experimento aleatorio: “Lanzar un dado”
Evento: “obtener un puntaje impar”
Evento Seguro: Si el evento A es igual al espacio muestral
Evento posible: El evento A es posible si es subconjunto del espacio muestral.
Evento Imposible: Si el evento A resulta ser un conjunto vacío.
Ejemplo: Al lanzar un dado sean los eventos:A: De obtener un número par.B: De obtener un número impar.C: De obtener un número mayor que 8.D: De obtener un número mayor que cero.
Resolución:El espacio muestral es:
A= Evento posibleB= Evento posibleC= Evento imposibleD= Evento seguro
DEFINICION DE PROBABILIDAD
Si “A” es un evento de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” se denota por P(A) y está dado por la relación:
EjemploSi se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje par?
Resolución:Experimento aleatorio: “Lanzar un dado”
Espacio muestral:
Evento: “obtener un puntaje par”
Luego:
PROPIEDADES Si “A” es un evento definido es , entonces:
- Si P(A)=0, A evento imposible, nunca va a ocurrir.- Si P(A)=1, A evento seguro, siempre ocurre.
Probabilidad por Complemento
Si A es un evento definido en el espacio muestral , entonces:
Donde: P(A) : Probabilidad que ocurra el evento A
: Probabilidad que no ocurra el evento A
Nota:
Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de 3 monedas.
Resolución:Al lanzar tres monedas, los resultados posibles son: Mediante “el diagrama de árbol”
Como el complemento (lo contrario) de obtener al menos una cara es no obtener ninguna cara (puro sellos). Hallemos la probabilidad de obtener puro sellos.
Luego:
Entonces:
La probabilidad de obtener al menos una cara es 7/8.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Para dos eventos A y B mutuamente excluyentes es decir que ambos no puedan ocurrir a la vez, , se cumple.
Esto es, la probabilidad que ocurra uno u otro evento mutuamente excluyente es la suma de las probabilidades de los eventos por separado.
Gráficamente:
Ejemplo:Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 2 bolas amarillas. Determinar la probabilidad de que sea amarilla o roja.
Resolución:
Como no es posible que la bola sea amarilla y roja a la vez (eventos mutuamente excluyentes), entonces:
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrir uno de ellos cualesquiera, no afecta la ocurrencia del otro evento. En este caso se tiene:
La probabilidad de que ambos eventos ocurran esta dado por el producto de las probabilidades de cada evento por separado.
Ejemplo:
Calcular la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda y un puntaje mayor a 2 al lanzar un dado.
Resolución:
Sea A= sello , B= impar > 2
* Sabemos que al lanzar una moneda:
1An
Entonces:
* Como lanzar un dado los posibles resultados son:
Entonces:
Observaciones: La probabilidad es un número que puede ser desde 0 hasta 1 inclusive pero
frecuentemente se expresa como tanto por ciento, para ello bastará con multiplicar por 100 y colocar el signo de % al producto obtenido.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1º Se lanza un dado y se sabe que el resultado es un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea divisible por 3?a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6
2º En una urna se tiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Se extrae una ficha y se sabe que su número es impar. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisible por 5?a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6
3º Tres cazadores A, B y C están apuntando con unos rifles a un león. La probabilidad de que A acierte el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la de C es 2/3. Si los tres disparan, ¿cuál es la probabilidad de que los tres acierten?a) 27/35 b) 17/35 c) 18/35 d) 8/35 e) 99/105
4º De una caja que contiene tres bolas negras, 4 blancas y 2 amarillas, se extrae al azar una de ellas. Hallar la probabilidad de que la bola extraída no sea negra.a) 1/3 b) 4/7 c) 5/9 d) 2/3 e) 4/9
5º De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis o gastritis.a) 11/25 b) 11/50 c) 17/50 d) 13/50 e) 19/25
6º A una señora embarazada le diagnostican que tendrá trillizos. ¿cuál es la probabilidad que el día del parto nazcan 3 mujeres?a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/16 e) 1/3
7º Se lanzan dos dados al mismo tiempo. Hallar la probabilidad de que la suma de los resultados de los dos dados sea igual a 10 o igual a 7.a) 7/36 b) 1/6 c) 1/12 d) 1/4 e) 7/28
8º Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probabilidad de que ambas sean blancas.a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3 d) 3/4 e) 1/3
9º Si se lanzan tres monedas sobre una mesa, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan dos caras y un sello?a) 1/2 b) 1/4 c) 5/8 d) 1/8 e) 3/8
10º En una caja se tiene 4 bolas azules y 6 bolas blancas. Se extrae 3 bolas al azar, una por una (sin reposición). Hallar la probabilidad de que la primera sea blanca, la segunda azul y la tercera blanca.a) 3/5 b) 1/5 c) 1/6 d) 5/6 e) 2/5
11º Se tiene dos urnas, en la primera hay 3 bolas azules y 6 rojas, en la segunda urna se tiene 4 bolas azules, 3 rojas y 2 blancas. Si se extrae una bola al azar, determine:
a) La probabilidad de que la bola extraída sea azul.b) Si la bola extraída resultó roja, cuál es la probabilidad de que sea de la
primera urna?
a) 7/12 y 1/9 b) 7/24 y 3/4 c) 7/18 y 2/3 d) 3/17 y 4/7 e) 5/18 y 1/5
12º Una urna (I) contiene una bola blanca y 3 negras; la urna (II) contiene 3 bolas blancas y 2 negras y la urna (III) 4 bolas negras y 8 rojas; una urna se escoge aleatoriamente y de ella se extrae una bola. Calcule cuál es la probabilidad que la bola elegida sea de color negro.a) 89/193 b) 89/180 c) 19/180 d) 77/120 e) 15/60
13º Se tiene en una urna 8 bolas rojas y 4 bolas blancas. Se saca una bola y se reemplaza por dos del mismo color, luego se saca otra bola. Hallar la probabilidad de que en la primera y en la segunda extracción las bolas sean del mismo color.a) 23/39 b) 28/37 c) 21/42 d) 7/13 e) 17/39
14º Una caja contiene cuatro monedas: una moneda es corriente, la otra moneda tiene dos caras, la otra dos sellos y la última está cargada de modo que la probabilidad de obtener sello es 1/5. Halle la probabilidad de que al seleccionar una moneda y lanzarla se obtenga cara.a) 17/40 b) 11/20 c) 17/30 d) 23/40 e) 21/40
15º En un salón de clases se encuentran 10 niños y 4 niñas, si se escogen tres estudiantes al azar. ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros sean niños y la última sea niña?a) 15/91 b) 7/15 c) 3/17 d) 5/31 e) 2/5
16º Un artillero dispara a un blanco, se sabe que en un disparo la probabilidad de acertar es 0,01. Se efectúa dos disparos, ¿cuál será la probabilidad de no acertar?a) 0,99 b) 0,9081 c) 0,9801 d) 0,9802 e) 0,0001
17º Las probabilidades que tienen A, B y C de resolver un mismo problema son: 4/5, 2/3, 3/7 respectivamente. Si intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de que se resuelva el problema.a) 101/105 b) 24/105 c) 81/105 d) 90/105 e) 4/105
18º La probabilidad de que Francisco ingrese a la UNFV es 0,7, que ingrese a la UNI es 0,4, si la probabilidad de que no ingrese es 0,12. Hallar la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez.a) 0,42 b) 0,22 c) 0,24 d) 0,48 e) 0,58
19º La probabilidad de que Sonia estudie inglés es 0,75 y la probabilidad de que estudie Francés es 0,50. Si la probabilidad de que estudie inglés o francés es 0,85. ¿Cuál será la probabilidad de que estudie ambos a la vez?a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6
20º Si en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la del segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar ambos premios.a) 1/40 b) 7/40 c) 3/40 d) 5/31 e) 2/31
TABLA DE RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20b d d d a c d b e c c b a d a c a b c a
PROBLEMAS DIDACTICOS
1. Calcular la probabilidad de que al lanzar cuatro monedas :a) Se obtenga cara una vezb) Se obtenga cara a lo mas dos veces
Análisis:Espacio muestral : n ( ) = 16
Cada elemento de tiene la misma probabilidad de ocurrencia :
N() = 16
a) P (c1) = _ r__ = 4 = 1K 16 4
b) Sea S = obtener cara a lo mas 2 veces
S = C0 U C1 U C2
P(S) = P(C0) + P(C1) + P(C2)Vemos que : r = 6
K = 16
P (c1) = _ 1__ + 4 + 6 = 11 16 16 16 16
2. Sea el experimento aleatorio E = Lanzar dos dadosSean los sucesos:A = Obtener suma mayor que 8B = Obtener suma menor que 10Calcular la probabilidad de ocurrencia del suceso A U BAnálisis:Como : E = Lanzar dos dados
Espacio muestral : 1 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Estos sucesos anteriores elementales no son equiprobables.
Pero las combinaciones totales de los suceso si son equiprobables:
N (total) = 36
Luego: A U B =
P (A U B) = P () = 1
Otro Análisis :P (A U B) = P (A) + P(B) - P (A B)
P (A U B) = _ 10__ + 30 - 4 = 36 36 36 36 36
Luego: P (A U B) = 1
DECIMA QUINTA SEMANA: 09 JUNIO AL 14 JUNIO
PRIMERA Y SEGUNDA SESIÓN: RECAPITULACIÓN PARA EL EXAMEN FINAL
DECIMA SEXTA SEMANA: 16 JUNIO AL 21 JUNIO
PRIMERA Y SEGUNDA SESIÓN: RECAPITULACIÓN PARA EL EXAMEN FINAL
DECIMA SETIMA SEMANA: 23 JUNIO AL 28 JUNIO
EXAMEN FINAL
