Download - Problemas Aritméticos
IntroducciónLos problemas aritméticos están presentes en los currículos escolares debido a las siguientes razones:
-En nuestra vida cotidiana encontramos situaciones en donde tenemos que aplicar modelos matemáticos para resolverlas.
-La resolución de problemas es un medio de aprendizaje y refuerzo de contenidos, considerada como el mejor método para aprender matemáticas.
-La resolución de problemas requiere un alto grado de comprensión, de razonamiento y de memoria, así como la integración de destrezas cognitivas.
Introducción
Para la mayor parte de los alumnos, éste va a ser el único contacto que en su vida futura tendrán con los
conocimientos futuros.
Se han de trabajar todas las categorías y tipos de problemas respetando las secuencias de progresión en conocimientos y conceptos, para que el rendimiento de los alumnos mejore de forma positiva en el ámbito de la
resolución de problemas aritméticos.
IntroducciónLos problemas se clasifican según el número de operaciones que se necesitan para resolverlos, pero no tiene porqué, puestos que pueden haber problemas en donde solamente se tengan que hacer una sola operación pero que el planteamiento del enunciado sea más complejo de entender.
Ej: Yo tengo 8 cromos. Si tengo 5 más que tú, ¿cuántos tienes tú?Ej: Tenía 12 cromos, jugando gané 7 cromos y luego perdí 4. ¿Cuántos cromos me quedan?
El primer problema es de una sola operación, pero más confuso porque la palabra “más” en dicho enunciado indica que se ha de restar, cuando normalmente al ver
esa expresión nos viene la palabra “sumar”. En el segundo, aunque sean dos operaciones, los verbos se entienden a qué operación pertenece con seguridad y
por eso es más fácil que el primero.
Introducción
TIPOS DE PROBLEMAS
CONSISTENTES INCONSISTENTES
Los datos y preguntas se presentan en el orden que corresponde a la operación requerida para su solución.
Los datos y preguntas se presentan en el orden
inverso al que corresponde a la operación requerida
para su solución.
IntroducciónPROBLEMAS CONSISTENTES
Ej: Tengo 12 caramelos y regalo 4 a mi hermano. ¿Cuántos caramelos me quedan?En este caso, vemos como primero nos dan la cantidad inicial, luego la transformación y nos pregunta por la cantidad final tras las transformación. Es decir, el problema se
presenta en el orden que corresponde a la operación aritmética ( es una resta y poco a poco se van sucediendo las acciones que conlleva a dicha resta ).
Estos problemas sirven para que los alumnos ejerciten las operaciones aritméticas y se familiaricen con la tarea. La pregunta del problema siempre va al final del texto y se pregunta por la cantidad final, como hemos podido comprobar en el ejemplo.
IntroducciónPROBLEMAS INCONSISTENTES
Ej: ¿Cuántas canicas tenía cuando empecé a jugar, si gané 5 y ahora tengo 12?
En este caso, vemos como se pregunta por la cantidad inicial. Se les da la transformación y la cantidad final, pero vemos que no sigue el orden de cómo deben
hacerse las operaciones, puesto que el dato principal para poder operar ( 12 ) se da al final y el de la transformación al principio, lo cual puede provocar confusiones.
Estos problemas sirven para desarrollar las estrategias de resolución y suele preguntarse sobre un dato que se formula al comienzo o en medio del enunciado o que aparezca un concepto verbal con significado contrario a la operación requerida, como el ejemplo que pusimos de “más” cuando en realidad pedía una operación de restar.
IntroducciónOTROS
EJEMPLOS
¿Cuánto dinero le falta a Juan, que tiene 12 euros, para tener la misma cantidad que Andrés, que tiene 18 euros?
Andrés tiene 18 euros. Le da 12 a Juan. ¿Cuánto dinero le queda a Andrés?
Este es un problema INCONSISTENTE, ya que el dato que representa la cantidad inicial a tomar se encuentra al final del problema y la que representa la cantidad
final se encuentra al principio del problema.
Este es un problema CONSISTENTE, ya que los datos vienen ordenados de cantidad inicial a la transformación de forma secuenciada, no vienen
desordenados, sino que paso por paso se van dando los datos diciendo lo que se opera con ellos.
IntroducciónSe deben trabajar de forma equitativa todas las categorías y tipos de problemas. Por desgracia, muchos libros de texto no lo hacen así.
En este trabajo hemos puesto nombre y apellidos a cada problema y seguidamente lo hemos clasificado atendiendo a la categoría, al tipo y a la adecuación del nivel de dificultad, pasando a analizar el material didáctico a utilizar en el aula.
IntroducciónCRITERIOS USADOS PARA EL ANÁLISIS
-Identificación de la categoría y tipo de problema.
-La secuenciación de acuerdo a la lógica interna de la Aritmética.
-Estar bien secuenciados de acuerdo con el desarrollo evolutivo del niño y con el nivel académico ( curso-ciclo y edad ).
-Conocer los prerrequisitos, las ayudas, la didáctica y el variado uso del vocabulario matemático.
IntroducciónCRITERIOS USADOS PARA EL ANÁLISIS
-Coincidir con el estilo de procesamiento mental que hace el alumno de la información (secuencial-simultáneo), aunque en la resolución de problemas es necesaria la integración de ambos procesos.
-Trabajar la variabilidad perceptiva o pensamiento divergente para favorecer la flexibilidad mental del niño.
IntroducciónFINALIDADES DEL ANÁLISIS
PREVENTIVA
CORRECTIVA
OPTIMIZADORA
Evitar las dificultades que puedan aparecer mediante el desarrollo de un repertorio de habilidades bien secuenciadas
Propuesta de recursos para solucionar dificultades concretas en la resolución de problemas: clasificación, secuenciación,...
Adaptarse al ritmo de aprendizaje de los alumnos, trabajando las categorías y tipos de forma contextual, sistemática y coherente a lo largo de la etapa de Educación Primaria, respetando el nivel de dificultad correspondiente
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
¿CÓMO SE HA REALIZADO?
J.Luis LuceñoY Jaime Martínez
Lozano
EstructuraAditiva
EstructuraMultiplicativa
Cambio
Combinación
Comparación
Igualación
Razón
Escalares
Combinación
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
¿CÓMO SE HA REALIZADO?
-Categoría y tipo
-Nivel de dificultad por edades, ciclo y curso académico
-Enunciado modelo
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIO
Se trata de problemas en los que se parte de una cantidad y hacemos con ella una transformación de
adición o de sustracción de una cantidad que es de la misma naturaleza
TIPOS
UNIÓN
SEPARACIÓN
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIO
1ºCiclo: Se aumenta una cantidad inicial conocida y se pregunta la cantidad final que ha salido
UNIÓN
2ºCiclo: Se conoce la cantidad inicial y la cantidad final mayor que la inicial y se pregunta el aumento que ha realizado la cantidad inicial para llegar a la cantidad final
3ºCiclo: Se conoce la cantidad final y el aumento y se pregunta cuál era la cantidad inicial antes de habérsele realizado el susodicho aumento.
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIO
UNIÓN
1ºCiclo: Antonio tenía en su hucha 8 euros. Después de su comunión, metió otros 12 euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?Como vemos, tenemos una cantidad inicial (8) y un aumento (12). Nos piden la cantidad final tras dicho aumento, que consiste en la suma de la inicial con la transformación.
EJEMPLOS
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIO
UNIÓN
2ºCiclo: Andrés tenía 14 tazos. Después de jugar ha reunido 18. ¿Cuántos ha ganado?Como vemos, se nos da la cantidad inicial (14) y la cantidad final (18) y tenemos que hallar el aumento, que se consigue mediante la diferencia entre la cantidad final y la cantidad inicial.
EJEMPLOS
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIO
UNIÓN
3ºCiclo: Jugando he ganado 7 canicas, y ahora tengo 11. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?Como vemos, se nos da la transformación (7) y la cantidad final (11). Tenemos que hallar la cantidad inicial mediante la diferencia entre la cantidad final y la transformación.
EJEMPLOS
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIO
1ºCiclo: Se conoce una cantidad inicial a la que se le disminuye su valor y nos interesa saber la cantidad final que hemos obtenido tras dicha disminución.
SEPARACIÓN
2ºCiclo: Se conoce una cantidad inicial a la que se le ha disminuido su valor pero no sabemos cómo, solamente conocemos de este proceso la cantidad final que ha salido.
3ºCiclo: Se conoce una cantidad final y la disminución que se ha realizado para llegar a dicha cantidad final, pero no conocemos la cantidad inicial del suceso.
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIOSEPARACIÓN
1ºCiclo: Antonio tenía en su hucha 8 euros. En su cumpleaños se ha gastado 5 euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?Como vemos, se da la cantidad inicial (8) y la transformación realizada a dicha cantidad (5) y nos piden lo que nos queda ( la final ), que se obtiene mediante la diferencia entre la cantidad inicial y la transformación.
EJEMPLOS
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIOSEPARACIÓN
2ºCiclo: Andrés tenía 14 tazos. Después de jugar le quedan sólo 8 tazos. ¿Cuántos ha perdido?Como vemos, nos dan la cantidad inicial (14) y la cantidad final del suceso (8) y queremos saber la transformación realizada entre ambas cantidades. Se obtiene mediante la diferencia entre la cantidad inicial y la cantidad final.
EJEMPLOS
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE CAMBIOSEPARACIÓN
3ºCiclo: Jugando he perdido 7 canicas, y ahora me quedan 4. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?Como vemos, sabemos la cantidad final del suceso (4) y la transformación (7) pero queremos saber qué teníamos al principio del suceso. Para obtenerlo, se obtiene mediante la suma de la cantidad final con la transformación.
EJEMPLOS
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMBINACIÓN
Se trata de problemas en los que se tienen dos cantidades, las cuales se diferencian en alguna característica, y se quiere saber la cantidad total que se obtiene o teniendo la total y una de las cantidades y se
quiere saber la otra cantidad.
TIPOS
CO1
CO2
1ºciclo
2-3ºciclo
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMBINACIÓN
CO 1: Dos partes se unen para formar un todo.Es un problema de sumar. Se emplea tantoen el 1º ciclo de primaria como en el 2ºciclode primaria.
A
B
?
EJEMPLOS
CO 1: “Luisa tiene 12 bombones rellenos y 5 normales. ¿Cuántos bombones tiene Luisaen total?”
12
5
?
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMBINACIÓN
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMBINACIÓNCO 2: Conocidos el todo y una de las partes se pregunta por la otra. Es un problema inverso al anterior. Es un problema conmutativo y derestar. Se emplea tanto en el 1º como en el 2ºciclo de primaria.
A
?B
CO 2: “Luisa tiene 12 bombones contando los rellenos y los normales. Si tiene 10 rellenos,¿cuántos bombones normales tiene Luisa?”
EJEMPLOS
1712
?
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMBINACIÓN
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
Se trata de aquellos problemas en los que se comparan dos cantidades. Los datos del problema son dichas cantidades y la
diferencia que existe entre ellas.
TIPOS
CM1
CM2CM3
CM4
CM5
CM6
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
CM 1: Se expresan dos cantidades y se preguntala diferencia en el sentido del que más tiene.Es un problema de restar. Se trabaja fundamentalmente en 2º ciclo.
AB
¿+?
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS
CM 1: “Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5.¿Cuántos euros más que Raquel tieneCarlos?”
85
¿+?
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
BA
¿-?
CM 2: Se expresan dos cantidades y se preguntala diferencia en el sentido del que menostiene. Es un problema de restar. Se trabaja fundamentalmente en 2º ciclo.
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS
CM 2: “Marcos tiene 37 euros. Raquel tiene 12.¿Cuántos euros menos que Marcos tieneRaquel?”
1237
¿-?
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
CM 3: Situación en la que se quiere averiguar la la cantidad comparada conociendo la referente y la diferencia en más de ésta.Es un problema de sumar.Se emplea fundamentalmente en 2º ciclo.
?A
x +
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS
CM 3: “Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5euros más que él.¿Cuánto dinero tieneRaquel?”
?8
5 +
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓNCM 4: Situación en la que se quiere averiguar la la cantidad comparada conociendo la referente y la diferencia en más de ésta. Es un problema de restar.Se emplea fundamentalmente en 2º ciclo.
?A
x -
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS
CM 4: “Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5euros menos que él.¿Cuánto dinero tieneRaquel?”
?8
5 -
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
CM 5: Situación en la que se quiere averiguar lacantidad referente conociendo la comparaday la diferencia en más de ésta. Es unproblema de restar.Se empleafundamentalmente en 2º y 3º ciclo.
A?
x +
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS
CM 5: “Marcos tiene 17 euros, y tiene 5 euros más que Raquel.¿Cuánto dinero tieneMarcos?”
17 ?
5 +
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓNCM 6: Situación en la que se quiere averiguar lacantidad referente conociendo la comparaday la diferencia en menos de ésta. Es unproblema de sumar.Se empleafundamentalmente en 2º y 3º ciclo.
A?
x -
CM 6: “Marcos tiene 17 euros, y tiene 5 euros menos que Raquel.¿Cuánto dinero tieneRaquel?”
17?
5 -
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
Comprende los problemas que contienen dos cantidades diferentes, sobre una de
las cuales se actúa aumentándola o disminuyéndola hasta hacerla igual a la
otra.
- Cantidad a igualar - Cantidad referente
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
Cuenta con seis tipos de problemas derivados de si se pregunta por:
• La cantidad a igualar• La cantidad referente
• La cantidad de igualación
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semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
Plantea una situación en la que se conocen las cantidades a igualar y la referente, y se pregunta cuánto hay que añadir
(igualación) a la primera para alcanzar la segunda. Es un problema de restar.
IGUALACIÓN 1
Ejemplo: Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5 euros. ¿Cuántos euros le tienen que dar a Raquel para que
tenga los mismos que Marcos?.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
IGUALACIÓN 2
Plantea una situación en que se conocen las cantidades a igualar y la referente, y se pregunta cuánto hay que detraer (igualación) a la
primera para alcanzar la segunda.Es un problema de restar.
Ejemplo: Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5 euros. ¿Cuántos euros tiene que perder Marcos para tener igual
que Raquel?.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
IGUALACIÓN 3
Plantea una situación en la que se conoce la cantidad referente y la igualación (añadiendo) que debe sufrir la cantidad a igualar, que es
la que se desconoce.Es un problema de restar muy difícil.
Ejemplo: Juan tiene 17 euros. Si Rebeca ganara 6 euros, tendría los mismos que Juan. ¿Cuántos euros tiene
Rebeca?
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
IGUALACIÓN 4
Plantea una situación en la que se conoce la cantidad referente y la igualación (detrayendo o quitando) que debe sufrir la cantidad a
igualar, la cual se desconoce. Es un problema de sumar muy difícil.
Ejemplo: Juan tiene 17 euros. Si Rebeca perdiera 6 euros tendría los mismos que Juan. ¿Cuántos euros tiene
Rebeca?.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
IGUALACIÓN 5
Plantea una situación en la que se conoce la cantidad a igualar y la igualación (añadiendo o en más), debiendo averiguar la cantidad
que sirve de referente.Es un problema de sumar.
Ejemplo: Marcos tiene 8 euros. Si le dieran 5 euros más tendría los mismos que tiene Rafael. ¿ Cuántos euros tiene
Rafael?.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
IGUALACIÓN 6
Plantea una situación en la que se conoce la cantidad a igualar y la igualación (quitando o en menos), debiendo averiguar la cantidad
que sirve de referente. Es un problema de restar.
Ejemplo: Marcos tiene 8 euros. Si perdiera 5 euros más tendría los mismos que Rafael. ¿Cuántos tiene Rafael?.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA ADITIVA
PROBLEMAS DE IGUALACIÓNNIVEL ACADÉMICO
IG1Ciclo II
9-10 años
IG2Ciclo II
9-10 años
IG3Ciclo II
9-10 años
IG4Ciclo II
9-10 años
IG5Ciclo II-III9-11 años
IG6Ciclo II-III9-11 años
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
Los problemas con esta estructura requieren tener en cuenta:
-La naturaleza del multiplicador-La distinción entre cantidades intensivas y
extensivas-Y las combinaciones entre los elementos
que las componen.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
Es una unidad flexible, es decir, hay que determinarla en cada situación problemática.
También se entiende como un mecanismo que permite economizar tiempo y esfuerzo
sustituyendo varias sumas por una sola operación.
MULTIPLICADOR
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
MULTIPLICADORcaracterísticas
* El multiplicador puede ser el número que indica cuántas veces se repite una cantidad de la misma naturaleza.
Ejemplo: Si un número de naranjas se repite una determinada serie de veces el resultado sigue siendo
naranjas,no existe transformación del referente.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
MULTIPLICADORcaracterísticas
* Puede indicar una cantidad de diferente naturaleza a la representada por el multiplicando.
Ejemplo: Si queremos saber el precio de 30 kg de naranjas a 2 euros
el kg, el resultado ya no son naranjas sino euros, cambia el referente.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
MULTIPLICADORcaracterísticas
* Puede representar una proporción/razón que seestablece entre dos cantidades.* En el producto cartesiano combinamos las canti-dades del multiplicando y el multiplicador para obtener una tercera (producto) diferente.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
Cantidades extensivas e intensivasCantidades extensivasAquellas que tienen una
extensión y pertenecen al mundo real.Pueden ser:
Continuas (longitud, peso) o discontinuas
(naranjas, dinero, caramelos,… )
Cantidades intensivasAquellas que se forman por
combinación o razón de cantidades extensivas.-Discontinuas/discretas
(bombones por caja)-Discontinuas/continuas (índice de natalidad)-Continuas/continuas (kilómetros por hora)
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
LAS COMBINACIONES: PRODUCTO CARTESIANO
La multiplicación es una operación que permite resolver las combinaciones que se pueden establecer entre los
elementos de dos conjuntos.Ejemplo: Se contratan 4 autobuses para realizar una
excursión. Cada autobús transporta 60 pasajeros. ¿Cuántos pasajeros viajan en los cuatro autobuses?
A partir de una multiplicación dada se originan dos posibles divisiones en función de la cantidad que se tome por divisor:
ParticiónCuotación
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
División partitivaAquella en la que el
dividendo (pasajeros) y el divisor (autobuses)
son de distinta naturaleza.
Ejemplo: Se reparten por igual 240 pasajeros entre 4
autobuses ¿cuántos pasajeros viajan en cada uno?
División cuotativa o por agrupamiento
Aquella en la que el dividendo (pasajeros) y el divisor
(pasajeros por autobús) son de la misma naturaleza.
Ejemplo: Se reparte por igual 240 pasajeros entre varios
autobuses. Si cada autobús transporta 60 pasajeros ¿cuántos autobuses se
necesitan?
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
Multiplicación Razón 1 Ciclo I-II 7-8 años
Dada una cantidad de determinada naturaleza (multiplicando) y el “número de
veces” que se repite (multiplicador-razón 1), se pregunta por la cantidad resultante
(producto), que es de la misma naturaleza que el multiplicando.
Ejemplo: Agustín lleva al contenedor 8 envases vacíos de vidrio, va cuatro veces en el día, y siempre que va lleva el mismo número de envases, ¿cuántos envases ha llevado
en total durante el día?
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
Multiplicación Razón 2 Ciclo I-II 7-8 años
Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (multiplicando y multiplicador), se
pregunta por la cantidad resultante (producto) que es de la misma naturaleza.
Ejemplo: Hay 4 montones de manzanas, cada montón tiene 32 manzanas. ¿Cuántas manzanas hay en total en los 4
montones?
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
Multiplicación Razón 3 Ciclo I-II 7-8 años
Dada una cantidad de naturaleza “A” (multiplicando) y otra de naturaleza “B”
(multiplicador-razón 3), se pregunta por la cantidad resultante (producto) de la misma
naturaleza que el multiplicando.
Ejemplo: Jaime compra 5 cuentos. Cada cuento cuesta 3 euros. ¿cuántos euros pagó?
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
División Partición / Razón Ciclo I-II 7-8 años
Dada una cantidad de naturaleza “A” (dividendo) y otra de naturaleza “B” (divisor),
se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturaleza que el
dividendo.
Ejemplo: Una colección consta de 96 cromos. Su álbum tiene 12 páginas. En todas ellas se pega el mismo número de cromos. ¿Cuántos cromos se pegan en cada página?.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
División Cuotación / Razón Ciclo I-II 7-8años
Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor), se pregunta
por la cantidad resultante (cociente) de distinta naturaleza que las anteriores.
Ejemplo: Una colección consta de 96 cromos. Si en cada página del álbum pegamos 8 cromos. ¿Cuántas páginas
tendrá el álbum?.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALAR
• 1- Comparación: Utilizan los términos “veces más”, “veces menos”, “doble”, “triple”, etc.
• 2- Formula: Son los que dependen de una fórmula. Por ejemplo los que ligan velocidad, tiempo y espacio recorrido.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN
• Multiplicación comparación en más• Ej: Juan tiene 8 euros. Luisa tiene cuatro veces más
dinero que él.¿Cuánto dinero tiene Luisa?• Como podemos observar es un problemas de
proporción en más.• Nivel académico: Ciclo II – III (9 y 11 años)
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN
• División/partitiva comparación en más• Ej: Luisa tiene 32 euros, que es cuatro veces
más que el dinero que tiene Juan.¿Cuántos euros tiene Juan?
• Para resolver este problemas tiene que darse cuenta de la división en comparación de más.
• Nivel académico: Ciclo II – III
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN
• División Cuotitiva o por agrupamiento/ Comparación en más
• Ej: Begoña tiene 32 euros. Paco tiene 8 euros. ¿cuántas veces más dinero tiene Begoña que
Paco?• Estos problemas se resuelven con una división
Cuotitiva• Nivel académico: Ciclo II – III
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN
• Multiplicación comparación en menos• Ej: Aurelio tiene 8 euros. Tiene tres veces menos
dinero que Ana. ¿Cuántos dinero tiene Ana?• Este problema es complicado por su vocabulario
porque puede confundir al niño y se confunda de tipo de operación si multiplicación o división
• Nivel académico: Ciclo III
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN
• División partitiva/ Comparación en menos• Ej: Andrés tiene 36 euros. Marta tiene cuatro veces menos dinero que Andrés. ¿ cuántos euros tiene Marta?
• Este problema debe resolverse con una división partitiva como su nombre indica.
• Nivel académico: Ciclo III
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN
• División Cuotitiva o por agrupamiento/ comparación en menos
• Ej: Pepa tiene 45 euros. Félix tiene 9 euros ¿Cuántas veces menos dinero tiene Félix que Pepa?
• Para resolver este problema utilizaremos una división cuotitiva, porque el dividendo y divisor son de la misma
naturaleza.• Nivel académico: Ciclo III aunque se puede iniciar a
finales de II ciclo.
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE FÓRMULA
• Multiplicación Formula • Ej: Un señor recorre 45 km en una hora. ¿ cuántos km.
Recorrerá en 3 horas? • Equivale a un problema de razón por parte de niño
• NIVEL ACADÉMICO: Tercer ciclo
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE FÓRMULA
• División cuotitiva o por agrupamiento Fórmula• Ej: Si caminas a una velocidad de 5 km por hora.
¿cuántas horas tardarás en recorrer 25km?• Equivale a problema de división de razón
• NIVEL ACADÉMICO: Tercer ciclo
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE FÓRMULA
• División Partitiva Fórmula• Ej; ¿A que velocidad irá un coche, si en 5 horas recorre
650?• Utilización de división partición, utilizando concepto de
espacio tiempo• NIVEL ACADÉMICO: Tercer ciclo
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA DE COMBINACIÓN O PRODUCTO CARTESIANO
• Estos problemas implican la combinación de dos cantidades determinadas para formar una tercera cantidad
• Son problemas muy difíciles para los niños.• Utilizan cantidades simétricas, y ambas juegan el
mismo papel.
• Multiplicación Combinación o producto cartesiano • Ej: En un baile hay 3 chicos y 2 chicas. ¿Cuántas
parejas distintas se pueden formar?• Se pueden confundir entre la operación de
multiplicación o suma.• NIVEL CICLO: Tercer ciclo
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA DE COMBINACIÓN O PRODUCTO CARTESIANO
Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura
semántica
ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
CATEGORÍA DE COMBINACIÓN O PRODUCTO CARTESIANO
• División Combinación o producto cartesiano 2• Ej: En un baile hay 3 chicos y algunas chicas. Se
pueden formar 6 parejas distintas entre ellos. ¿cuántas chicas hay en el baile?
• Problema de dividir con cantidades intercambiables que puede crear muchos problemas para resolverlo al niño.
Dificultades que se derivan de la práctica escolar
• No ubicar al alumno en la situación problema.
• Se presentan de forma muy variada, son monótonos y redundantes, la presencia de ellos a veces es casi nula. Se centran en la operación.
• Olvido de representaciones lingüísticas y gráficas del mismo.
• Nivel de dificultad no es adecuado.
Dificultades Implícitas que se derivan de la tarea de resolver
problemas• Estrategias para el enunciado.• Situación de la pregunta en el
texto• Tamaño de los números.• Tipos de nº: naturales,
fraccionarios, decimales…• Tipo de operación:+, -, x, /• Números de operaciones.
Ayudas para la resolución de un problema
• Reenunciación oral o escrita se pretende explicitar la estructura del problema ya sea de:
Cambio Combinación Comparación
Problemas de combinación
• Presentación normalPaco y Aurelio tienen 9 caramelos entre los dos. Paco tiene 3 caramelos. ¿ Cuántos tiene Aurelio?• Presentación reescritaPaco y Aurelio tienen 9 caramelos entre los dos. 3 de estos caramelos pertenecen a Paco. El resto pertenece a Aurelio. ¿Cuántos tiene Aurelio?
Problemas de cambio
• Presentación normalAntonio gana 5 tazos en una partida. Ahora tienen 8 tazos. ¿ Cuántos tazos tenía al principio?• Presentación reescritaAl principio, Antonio tenía algunos tazos. Después gana 5 tazos. Al final tiene 8 tazos.¿ Cuántos tenía al principio?* ( empleo de expresiones temporales).
Problemas de comparación
• Presentación normalRosa tiene 8 pinturas. Ella tiene 8 más que Laura. ¿Cuántas pinturas tiene Laura?• Presentación reescritaRosa tiene más pinturas que Laura. Rosa tiene 8 pinturas. Ella tiene 5 más que Laura. ¿Cuántas pinturas tiene Laura?
Ayudas para la resolución de un problema
• Representación lingüística del problema consiste articular el enunciado en función de lo que se conoce (datos) y de lo que no se conoce (pregunta).
Problema
• Antonio tenía algunos tazos, después gana 5 tazos en una partida y al final tiene 8 tazos. ¿Cuántos tazos tenia al principio?
• LO QUE SÉAl principio Antonio tenía algunos tazos, después gana 5, y al final tiene 8.• LO QUE NO SÉ
¿Cuántos tazos tenía al principio?
Ayudas para la resolución de un problema
• Representación figurativa. Se pretende que el alumno dibuje gráficamente el problemas mediante figuras geométricas y de este modo también aprende a discriminar las categorías de problemas
PROBLEMAS DE COMBINACIÓN
PARTE
PARTE
TODO
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
MAYOR
MENOR DIFERENCIA
IINICIO TRANSFORMACIÓN FINAL
PROBLEMAS DE CAMBIO
Pasos para trabajar sistemáticamente
• Familiarización con las figuras• Dramatización del significado• Dibujos• Presentación como situación problemática• Elementos simbólicos y números• Oral y escrito• Adecuado nivel de dificultad
JUSTIFICACIÓN DE LAS AYUDAS
• Representación del enunciado• Descubrir donde comete los errores, esto
marca la necesidad del alumno y lo que debe hacer el profesor
• Diversidad de los alumnos• Desarrollo del conocimiento conceptual
CONCLUSIONES
FINALES
Conclusiones
¿Qué se trabaja?• Problemas de combinación, cambio, etc. En
cuadernillos rubio, Santillana, SM y Anaya.( son consistentes).
¿Qué no se trabaja?• Problemas inconsistentes• Dificultad del problema
FIN
Bibliografía
Bibliografía
Bibliografía