MEDIDASDEPOSICIÓNLas medidas de tendencia central son en realidad, un caso particular de un tipo demedidasmásamplias,llamadas“deposición“.Estasmedidasdeposición,tienentambiénla propiedad de ubicarse entre los dos extremos de variación de los datos, pero ya nonecesariamente hacia el centro del intervalo como las de tendencia central. Se utilizanprincipalmenteparaindicarlaposiciónrelativadeundatodentrodelconjunto.Asíporejemplo,sialguiennosinformaqueenlapruebadeadmisiónaunaUniversidad,un determinado alumno obtuvo 453 puntos; esta información es insuficiente, si noconocemoslaescalautilizada,ylascalificacionesobtenidasporlosdemásalumnos.En un caso como el anterior, una información mucho más precisa , sería que nosinformaranqueestealumnoocupóel tercer lugardentrodedosmilaspirantes,puesdeestamanera,tendríamoslaposiciónrelativaelalumnodentrodelgrupo,ysabríamosquelacalificaciónobtenidaporél,essignificativamentealtaencomparaciónconladelrestodelosaspirantes.Lasmedidas a estudiar, buscan justamente este objetivo, demedir o indicar la posiciónrelativadeundatodentrodelconjunto.CUARTILES.Sedefinencomolosintervalosdentrodeloscualesquedanproporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,encuatropartesiguales.SetienentrescuartilesquesesimbolizanporQ1(primercuartil),Q2(segundocuartil)yQ3(tercercuartil), en donde cada uno contendrá elmismo número de datos, es decir, el 25%deltotal.Elprimercuartil(Q1)eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedanel25%ouncuartodetodoslosdatos.Elsegundocuartil(Q2)eslamedidaigualalamediana,esdecir,eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedael50%ólamitaddetodoslosdatos.Eltercercuartil(Q3)eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedael75%olastrescuartaspartesdetodoslosdatos.Formasdecalcularloscuartiles:
𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4
Enelcálculodeloscuartilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:
𝑄! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁4 − 𝑓!𝑓!
∙ 𝐶
Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimocuartil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordelcuartilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraelcuartil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraelcuartil.C=Amplituddeclase.DECILES.Se definen como todos los intervalos dentro de los cuales quedan proporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,endiezpartesiguales.Se tienen nueve deciles que se simbolizan por D1(primer decil), D2(segundo decil), D3(tercer decil),…, D9(noveno decil), en donde cada uno contendrá elmismo número dedatos,esdecir,el10%deltotal.Formasdecalcularlosdeciles:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10
Enelcálculodelosdecilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:
𝐷! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁10 − 𝑓!𝑓!
∙ 𝐶
Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimodecil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordeldecilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraeldecil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraeldecil.C=Amplituddeclase.PERCENTILES.Se definen como todos los intervalos dentro de los cuales quedan proporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,encienpartesiguales.Se tienen noventa y nueve percentiles que se simbolizan por P1 (primer percentil), P2(segundo percentil), P3(tercer percentil),…, P99(noventa y nueve percentil), en dondecadaunocontendráelmismonúmerodedatos,esdecir,el1%deltotal.Formasdecalcularlospercentiles:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁100
Enelcálculodelosdecilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:
𝑃! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁100 − 𝑓!
𝑓!∙ 𝐶
Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimopercentil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordelpercentilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraelpercentil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraelpercentil.C=Amplituddeclase.EJEMPLO1Unaempresadetransportesreportaloskilómetrosrecorridosporsuscamionescuandotieneneltanquellenodecombustible:200,201,198,205,199,201,197,203,201,205,202,199,198,201,202,198,197,197.Determina:a) CuartilesQ1,Q2yQ3b) DecilesD4,D5yD7c) PercentilesP40,P50yP88
SoluciónOrdenamoslosdatos:197,197,197,198,198,198,199,199,200,201,201,201,201,202,202,203,205,205123456789101112131415161718NúmerodedatosN=18a)Cuartiles:Utilizamoslafórmula𝑄! =
!∙!!paraencontrarlaposición.
Cuartil1
𝑄! =1 ∙ 18
4=184= 4.5 ≈ 5
Elnúmero4.5esunnúmerodecimalquenos indicaráqueelvaloren laposición4.5 lodebemosderedondeara5.Porlotantoelvalorenlaposición5es:𝑄! = 198
Cuartil2
𝑄! =2 ∙ 18
4=364= 9
El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.
𝑄! =200 + 201
2= 200.5
𝑄! = 200.5Cuartil3
𝑄! =3 ∙ 18
4=544= 13.5 ≈ 14
Elnúmero13.5esunnúmerodecimalquenosindicaráqueelvalorenlaposición13.5lodebemosderedondeara14.Porlotantoelvalorenlaposición14es:𝑄! = 202b)Deciles:Utilizamoslafórmula𝐷! =
!∙!!"paraencontrarlaposición.
Decil4
𝐷! =4 ∙ 1810
=7210
= 7.2 ≈ 7Elnúmero7.2esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición7.2lodebemosderedondeara7.Porlotantoelvalorenlaposición7es:𝐷! = 199Decil5
𝐷! =5 ∙ 1810
=9010
= 9El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.
𝐷! =200 + 201
2= 200.5
𝐷! = 200.5Decil7
𝐷! =7 ∙ 1810
=12610
= 12.6 ≈ 13Elnúmero12.6esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición12.6lodebemosderedondeara13.Porlotantoelvalorenlaposición13es:𝐷! = 201c)Percentiles:Utilizamoslafórmula𝐷! =
!∙!!""paraencontrarlaposición.
Percentil40
𝑃!" =40 ∙ 18100
=720100
= 7.2 ≈ 7Elnúmero7.2esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición7.2lodebemosderedondeara7.Porlotantoelvalorenlaposición7es:𝑃!" = 199
Percentil50
𝑃!" =50 ∙ 18100
=900100
= 9El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.
𝑃!" =200 + 201
2= 200.5
𝑃!" = 200.5Percentil88
𝑃!! =88 ∙ 18100
=1584100
= 15.84 ≈ 16El número15.84 es unnúmerodecimal, lo quenos indicaráque el valor en la posición15.84lodebemosderedondeara16.Porlotantoelvalorenlaposición16es:𝑃!! = 203
EJEMPLO2Lasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralossalariossemanalesenmilesdepesosde75empleadosdelacompañía“FestoDidactic”;determinar:a) CuartilesQ1,Q2yQ3b) DecilesD2,D7yD9c) PercentilesP15,P50yP75
Intervalos(Salarios)
Frecuencia(Familias)
110–119120–129130–139140–149150–159160–169170–179180–189190–199
591915117432
N=75SoluciónAgregamoscolumnadefrecuenciaacumuladafa.
Intervalos(Salarios)
Frecuencia(Familias)
FrecuenciaAcumulada(fa)
110–119120–129130–139140–149150–159160–169170–179180–189190–199
591915117432
51433485966707375
N=75
a)CuartilesCuartil1(Q1)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil1(Q1),utilizandolafórmula:
𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4
𝑄! =1 ∙ 754
= 18.75Entonceselcuartil1quedaubicadoeneltercerintervalodeclasedebidoaquelaposición18.75estáenlafrecuenciaacumuladadel15al33.Li=130–0.5=129.5fa=14fc=19C=10
Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!
∙ 𝐶
𝑄! = 129.5 +18.75 − 14
19∙ 10 = 129.5 + 0.25 ∙ 10 = 129.5 + 2.5 = 132
𝑄! = 132
Cuartil2(Q2)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil2(Q2),utilizandolafórmula:
𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4
𝑄! =2 ∙ 754
= 37.5Entonceselcuartil2quedaubicadoenelcuartointervalodeclasedebidoaquelaposición37.5estáenlafrecuenciaacumuladadel34al48.Li=140–0.5=139.5fa=33fc=15C=10
Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!
∙ 𝐶
𝑄! = 139.5 +37.5 − 33
15∙ 10 = 139.5 + 0.3 ∙ 10 = 139.5 + 3 = 142.5
𝑄! = 142.5
Cuartil3(Q3)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil3(Q3),utilizandolafórmula:
𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4
𝑄! =3 ∙ 754
= 56.25Entonces el cuartil 3 queda ubicado en el quinto intervalo de clase debido a que laposición56.25estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10
Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!
∙ 𝐶
𝑄! = 149.5 +56.25 − 48
11∙ 10 = 149.5 + 0.75 ∙ 10 = 149.5 + 7.5 = 157
𝑄! = 157b)DecilesDecil2(D2)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil2(D2),utilizandolafórmula:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10
𝐷! =2 ∙ 7510
= 15Entonceseldecil2quedaubicadoeneltercerintervalodeclasedebidoaquelaposición15estáenlafrecuenciaacumuladadel15al33.Li=130–0.5=129.5fa=14fc=19C=10
Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!
∙ 𝐶
𝐷! = 129.5 +15 − 1419
∙ 10 = 129.5 + 0.0526 ∙ 10 = 129.5 + 0.526 = 130.026
𝐷! = 130.026Decil7(D7)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil7(D7),utilizandolafórmula:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10
𝐷! =7 ∙ 7510
= 52.5Entonceseldecil7quedaubicadoenelquintointervalodeclasedebidoaquelaposición52.5estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10
Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!
∙ 𝐶
𝐷! = 149.5 +52.5 − 48
11∙ 10 = 149.5 + 0.4090 ∙ 10 = 149.5 + 4.09 = 153.59
𝐷! = 153.59Decil9(D9)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil9(D9),utilizandolafórmula:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10
𝐷! =9 ∙ 7510
= 67.5
Entonceseldecil9quedaubicadoenelséptimointervalodeclasedebidoaquelaposición67.5estáenlafrecuenciaacumuladadel67al70.Li=170–0.5=169.5fa=66fc=4C=10
Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!
∙ 𝐶
𝐷! = 169.5 +67.5 − 66
4∙ 10 = 169.5 + 0.375 ∙ 10 = 169.5 + 3.75 = 173.25
𝐷! = 173.25c)PercentilesPercentil15(P15)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 15 (P15), utilizando lafórmula:
𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100
𝑃!" =15 ∙ 75100
= 11.25Entonceselpercentil15quedaubicadoenelsegundointervalodeclasedebidoaque laposición11.25estáenlafrecuenciaacumuladadel6al14.Li=120–0.5=119.5fa=5fc=9C=10
Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!"!!!!!!
∙ 𝐶
𝑃!" = 119.5 +11.25 − 5
9∙ 10 = 119.5 + 0.6944 ∙ 10 = 119.5 + 6.944 = 126.44
𝑃!" = 126.44
Percentil50(P50)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 50 (P50), utilizando lafórmula:
𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100
𝑃!" =50 ∙ 75100
= 37.5Entonces el percentil 50 queda ubicado en el cuarto intervalo de clase debido a que laposición37.5estáenlafrecuenciaacumuladadel34al48.Li=140–0.5=139.5fa=33fc=15C=10
Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!""!!!!!
∙ 𝐶
𝑃!" = 139.5 +37.5 − 33
15∙ 10 = 139.5 + 0.3 ∙ 10 = 139.5 + 3 = 142.5
𝑃!" = 142.5Percentil75(P75)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 75 (P75), utilizando lafórmula:
𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100
𝑃!" =75 ∙ 75100
= 56.25Entonces el percentil 75 queda ubicado en el quinto intervalo de clase debido a que laposición56.25estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10
Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!""!!!!!
∙ 𝐶
𝑃!" = 149.5 +56.25 − 48
11∙ 10 = 149.5 + 0.75 ∙ 10 = 149.5 + 7.5 = 157
𝑃!! = 157
ACTIVIDAD6
1.Treintafallasdeenergíaduraron23,130,49,100,36,31,85,54,123,67,44,38,93,17,97,75,42,81,62,128,19,39,96,26,80,53,85,77,29y86minutos,determinar:a) LoscuartilesQ1,Q2yQ3
b) LosdecilesD3,D7yD9
c) LospercentilesP45,P65yP85
2.Dieciséistraductoresdeinglés-español,enunahoralograrontraducir92,107,123,90,78,81,76,94,105,88,109,121,95,101,90y89páginasdeunmismolibrodecontroldecalidad;determina:a) LoscuartilesQ1,Q2yQ3
b) LosdecilesD4,D6yD8
c) LospercentilesP30,P70yP90
ACTIVIDAD71.LasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralossalariosanualesenmilesdedólaresdecincuentafamiliasquetrabajaneneldepartamentodeagriculturadeCalifornia.Determina:LoscuartilesQ1,Q2yQ3.LosdecilesD2,D6yD9.LospercentilesP35,P65yP80
Intervalos(Salarios)
Frecuencia(Familias)
9500–999910000–1049910500–1099911000–1149911500–1199912000–1249912500–1299913000–13499
3813107531
N=50
2.Lasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralostiemposensegundosque35atletasvaronestardanenrecorrerunaprueba.Determina:LoscuartilesQ1,Q2yQ3.LosdecilesD3,D6yD9.LospercentilesP35,P70yP90
Intervalos(Segundos)
Frecuencia(Atletas)
88–9293–9798–102103–107108–112
251396
N=35
