Download - Mecha Nika 12

13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 1

wyjaśnienie praw Keplera

krzywe rotacji galaktyk – ciemna materia, hipoteza MOND?

związek momentu pędu z prędkością kątową

główne osie bezwładności (tylko I xx, Iyy oraz Izz różne od zera)

POPRZEDNI WYKŁAD

∑=j

jiji ωIL

zmienny moment bezwładności

moment pędu swobodnego ciała (d – odległość najmniejszego zbliżenia)

moment pędu i środek masy

rozpraszanie cząstek

ruch względny – masa zredukowana

εINr

r

≠

*cm LLL

rrr

+=

dtLd

N

r

r

=

pdL z ====

21 m1

m1

µ

1 +=212

2

12 dtrd

µFr

r

=


GŁÓWNE OSIE BEZWŁADNO ŚCI - PRZYKŁAD

⊥+= ωωω | |

rrr

r

αααα

oś obrotu

ω

r

| |ωr⊥ω

r

Lr

| || || | ωILr

r

=⊥⊥⊥ = ωIL

r

r

dla głównych osi bezwładności

==

⇒=⊥⊥⊥ ωIL

ωILωIL | || || |

r

r

r

r

r

r

22||

| || || |

MR41

IMR21

I

ωIωILLL

==

+=+=

⊥

⊥⊥⊥rr

rrr

moment pędu nie jest równoległy do prędkości kątowej


PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE W OBRACAJ ĄCYMSIĘ UKŁADZIE WSPÓŁRZ ĘDNYCH

tttt

tttt

sinωωy'cosωdtdy'

cosωωx'sinωdtdx'

dtdy

cosωωy'sinωdtdy'

sinωωx'cosωdtdx'

dtdx

−++=

−−−=

tttt

cosωy'sinωx'ysinωy'cosωx'x

+=−=

x

y

x’

y’(t)'r(t)r

rr

=

ω

r ωωωωt

(((( )))) (((( ))))'rωω'vω2'a'rωωdt

'rdω2

dt'rd

dtrd

a 2

2

2

2rrrrrrrrr

r

r

rr

r

××××××××++++××××++++====××××××××++++××××++++========

tttttt

tttttt

cosωy'ωsinωdtdy'

2ωcosωdt

y'dsinωx'ωcosω

dtdx'

2ωsinωdt

x'ddt

yd

sinωy'ωcosωdtdy'

2ωsinωdt

y'dcosωx'ωsinω

dtdx'

2ωcosωdt

x'ddt

xd

22

22

2

2

2

2

22

22

2

2

2

2

−−+−+=

+−−−−=

przyspieszenie dośrodkoweprzyspieszenie Coriolisa

'rω'v'rωdt

'rddtrd

vrrrrr

rr

r ××××++++====××××++++========

'vr

'rωrr

××××prędkość w obracającym się układzie

prędkość w układzie spoczynkowym związana z obrotem


POCHODNA PO CZASIE W OBRACAJĄCYMSIĘ UKŁADZIE WSPÓŁRZ ĘDNYCH

(((( )))) (((( ))))'rωω'vω2'a'rωωdt

'rdω2

dt'rd

dtrd

a 2

2

2

2rrrrrrrrr

r

r

rr

r

××××××××++++××××++++====××××××××++++××××++++========

'rω'v'rωdt

'rddtrd

vrrrrr

rr

r ××××++++====××××++++========

wyniki te można uogólnić na liczenie pochodnej po czasie dowolnej wielkości

'Aωdt

'Ad'Aω

dtd

dtAd r

r

r

r

r

××××++++====

××××++++====

sprawdzamy dla przyspieszenia

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))'rωω'vω2'aa

'rωω'vωdt

'rdω

dt'vd

a

'rω'vdtd

'rdtd

dtd

dtrd

a 2

2

rrrrrrr

rrrrr

r

r

r

r

rrrrrrr

r

r

××××××××++++××××++++====

××××××××++++××××++++××××++++====

××××++++

××××ωωωω++++====

××××ωωωω++++

××××ωωωω++++========


RÓWNANIA EULERA

prawdziwe w nieinercjalnym układzie odniesienia'Lωdt

'LdN

r

r

r

r

×+=

współczynniki bezwładności I ij najwygodniej jest obliczać w układzie związanymz obracającym się ciałem – ale jest to układ nieinercjalny

'Lωdt

'LddtLd r

r

rr

×+=

prawdziwe w inercjalnym układzie odniesieniadtLd

N

r

r

=

osie układu współrzędnych w obracającym się układzie są wzdłuż osi głównych

( )

( )

( ) 312123

3

231312

2

123231

1

NωωIIdt

dωI

NωωIIdt

dωI

NωωIIdt

dωI

=−+

=−+

=−+

( ) 12233321

123321

11 NωIωωIω

dtdω

I'Lω'Lωdt

'dL'Lω

dt

'dL =−+=−+=×+r

r


PRECESJA SWOBODNA

1

2

3 bąk symetryczny I1 = I2 ≠≠≠≠ I 3

rozwiązanie równań Eulera (A=const.)

t

t

ΩAsinω

ΩAcosω

2

1

==

oznaczenie: 31

13ω

III

Ω−=

wtedy równania Eulera mają postać

( )

( )

const.ω

0ωω

III

dtdω

0ωω

III

dtdω

0dt

dωI

0ωωIIdt

dωI

0ωωIIdt

dωI

3

311

132

321

131

33

31312

1

23131

1

=

=−−

=−+

⇒

=

=−+

=−+

składowa prędkości kątowej prostopadła do osi 3obraca się ze stałą prędkością kątową ΩΩΩΩ

wektor pr ędkości kątowej podlega precesjidookoła wektora momentu pędu - nutacja

3

ω

r

3ωr

⊥ωr

ω

r

const.L =r

const.ω

Lω =•r

r

Żyroskop - nutacja


PRECESJA WYMUSZONA

CM

gmFr

r

=

ωILr

r

=

αααα

mgRsinαNgmRN =⇒×=r

rr

moment siły jest prostopadły do momentu pędunie zmienia się wartość momentu pędu ale

zmienia się jego kierunektzn. moment pędu (i jednocześnie oś obrotu)

zataczają stożek o kącie 2αααα

dθθθθ

αααα

Lsinαααα

dtNLdrr

=

LrL

r

LmgR

LsinαmgRsinα

LsinαN

dtdθ

Ω ====

dθLsinαNdtdL ⋅==ΩΩΩΩ

częstość precesji ΩΩΩΩ nie zależy od kąta αααα

Żyroskop - precesja

Rr


ŻYROSKOP

ωωωωg

mg

d

Precesja

koła row erow ego

LN

Ω

LΩdtdθ

LdtdL

dtdL

N=⇒

==

=

Iωmgd

ΩIωL

mgdN=⇒

==

L(t)

L(t+dt)dL dθθθθ ( ( ( (

widok z góry


PRECESJA OSI ZIEMIsiły grawitacji Ksi ężyca i Słońca

powodują wymuszoną precesję osi Ziemioś obrotu Ziemi zakreśla stożek

o rozwartości 470 w czasie 25770 lat (rok platoński)biegun północny wskazuje na różne gwiazdy


PRECESJA SPINU PROTONU

precesja spinu wokół osi wyznaczonejprzez kierunek pola magnetycznego

z polem magnetycznym

zBr

x

y

z

bez pola magnetycznego

zγBω =

1Br

ppp 2m

eµgdzieµ

gγ

h

h==

częstość precesji ωωωω – częstość Larmorazależy od współczynnika giromagnetycznego

e – ładunek elementarny

mp – masa protonudla protonu g = 5.585694701

2π=h

stała Planckasłabe pole magnetyczne

o częstości ωωωω


MAGNETYCZNY REZONANS J ĄDROWY (NMR lub MRI)

rejestrowany sygnał w cewce indukowanyprzez zmienne pole magnetyczne

pozycja

pole magnetyczne B0 zależy od pozycjiczęstość precesji zależy od pozycji

częstość

częstość

transformata Fouriera

odpowiednio silne pole magnetyczneustawia spin prostopadle do pola B0


RUCH W NIEINERCJALNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA

( )'rωω'vω2'rεa'aa 0

rrrrrrrrrr

××+×+×++='rωv'vv 0

rrrrr ×++=

x’

y’

z’

'vr

Car

przyspieszenie dośrodkowe( )'rωωad

rrrr

××=

0aω||'v

0'vC =⇒

=

r

rr

r

x’

y’

'rωrr

×dar

z’

przyspieszenie Coriolisa'vω2aC

rrr

×=

( )'rωωm'vω2m'rdtωd

mamFdt

'rdm 02

2rrrrrr

r

r

r

r

××−×−×−−=

– prędkość i przyspieszenie w układzie inercjalnym– prędkość i przyspieszenie w układzie nieinercjalnym– prędkość i przyspieszenie układu nieinercjalnego względem układu inercjalnego– prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe układu nieinercjalnego

względem układu inercjalnego

a,vrr

'' a,vrr

00 a,vrr

ε,ω

rr

siła Coriolisa siła odśrodkowasiła styczna

OFr

CFr

SFr


SIŁA ODŚRODKOWA

M artw a pętla

W irow nica


ZIEMIA JAKO UKŁAD ODNIESIENIAZiemia jest nieinercjalnym układem odniesienia ponieważ obraca się

0F0dtωd

const.ω S =⇒=⇒=r

r

r

przyjmujemy układ współrzędnych znajdujący się w środku Ziemiciało znajdujące się w położeniu i poruszające się z prędkością

w układzie związanym z Ziemią doznaje przyspieszenia Coriolisa i odśrodkowego

( )'rωωm'vω2mFdt

rdm 2

2rrrrr

r

r

××−×−='

obserwowalne efekty związane z obrotem Ziemi

nie ma wpływu siły Coriolisana kierunek wirowania wody

obrót płaszczyzny wahańwahadła Foucault

wpływ sił Coriolisana kierunek wiatrów

'rr

'vr


SIŁA CORIOLISA

K ulka na

obracającej się

tarczy

pasatycyklon

antycyklon

górne warstwyatmosfery

dolne warstwyatmosfery

równik – ni żzwrotnik – wyż


WAHADŁO FOUCAULTA

szybkość obrotu punktu środkowego wahadłavO = ωωωωRcosϕϕϕϕ

szybkości obrotu punktu północnego i południowegovN = ωωωωRcosϕ ϕ ϕ ϕ – ωωωωrsinϕϕϕϕvS = ωωωωRcosϕ ϕ ϕ ϕ + ωωωωrsinϕϕϕϕ

różnica każdej z tych prędkości względempunktu środkowego wahadła wynosi

∆∆∆∆v = ωωωωrsinϕϕϕϕróżnica prędkości ∆∆∆∆v powoduje obracanie się

płaszczyzny wahań z okresem

sinφT

ωsinφ2π

ωrsinφ2π

∆v2π

T ZF ==== rr

ω

2πTZ = okres obrotu Ziemi

M odel w ahadło F oucaulta

na biegunie płaszczyzna wahań obraca się o 360o w ciągu doby (TF=TZ)na równiku płaszczyzna wahań nie zmienia się

w Krakowie w kościele św. Piotra i Pawła (ul. Grodzka 54) – TF ~ 31 godzin

Rrównik

S – biegunpołudniowy

N – biegunpółnocny

oś o

brot

u

Rcosϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕvS

vN

rrsinϕϕϕϕ


CIECZEciecze to substancje nie podlegające odkształceniu postaci

przy odkształcaniu warstwy cieczy ślizgają się po sobiepozwala to cieczy płynąć i zmieniać kształt

dzięki temu ciecz zawsze przyjmuje kształt zbiornikacząsteczki cieczy poruszają się swobodnie

nie ma długo zasięgowych korelacji pomiędzy pozycjami cząsteczekdo opisu cieczy używamy parametrów makroskopowych

∆A∆F

p = T – temperatura∆V∆m

ρ = – gęstość – ciśnienie

zmiany objętości i ciśnienia powiązane są przez moduł ściśliwości∆V/V∆p

κ −=

105 106 107 108 109 1010 1011104

moduł ściśliwości (Pa = N/m2)

wodastal

gaz ołów

gaz – łatwo ulega ściskaniu (gęstość silnie zależy od ciśnienia)ciecz – trudno jest ścisnąć (gęstość prawie stała)


ZALE ŻNOŚĆ CIŚNIENIA OD GŁ ĘBOKOŚCI

y1 y2

A

p1

p2

F1

F2mg

p0 p0 – ciśnienie powietrza nad powierzchnią cieczyp0 ≈≈≈≈ 105 N/m2

wybieramy sześcian ze ścianamio polu powierzchni A

w warunkach równowagi suma sił działających nasześcian musi wynosić zero

na sześcian w kierunku pionowym działają siły:mg – ciężar ciała

F1 – siła od ciśnienia na górną powierzchnięF2 – siła od ciśnienia na dolną powierzchnię

)yρg(ypp)Agyρ(ymg

ApApFF1212

12

1212 −+=⇒

−=−=−

ρgypp 0 +=

na powierzchni cieczy y1=0 mamy ciśnienie p0, więc dla dowolnej głębokości y mamy

12 FmgF +=

dla wody wzrost ciśnienia o jedną atmosferę jest na głębokości2.02⋅⋅⋅⋅105 Pa = 1.01⋅⋅⋅⋅105 Pa + 103 kg/m3 ⋅⋅⋅⋅ 9.8 m/s2 ⋅⋅⋅⋅ d ⇒ d = 10.3 m

Z ależność ciśnienia

od głębokości

P ływ ak K artezjusza

y

y=0


CIŚNIENIE CIECZY W RÓ ŻNYCH WARUNKACHw każdym zbiorniku dla zadanej głębokości

jest takie samo ciśnienie niezależnie od kształtu zbiornikapoziom cieczy we wszystkich zbiornikach jest taki sam

wyobraźmy sobie rurk ę łączącą dwa zbiornikijeżeli ciśnienie byłoby różne to przez rurkę przepływałaby ciecz

ale to oznacza że układ nie jest w równowadze

ρρρρ1

ρρρρ2 dd2

d1

a) ρ ρ ρ ρ 1< ρρρρ2 c) ρρρρ1 > ρρρρ2

jaka jest relacja między gęstościami cieczy

b) ρρρρ1 = ρρρρ2

te same ciecze znajdują się w:rurkach o powierzchni A – różnica poziomów cieczy dI

rurkach o powierzchni 2A – różnica poziomów cieczy dIIjaka jest relacja między różnicą poziomów cieczy dI oraz dII

a) dI < dII c) dI > dIIb) dI = dII

III12

12

22

11

ddρ

1

ρ

1

g

∆pddd

gρ

∆pd

gρ

∆pd

=⇒

−=−=⇒

=

=

b) dI = dII

p

w punkcie styku cieczy ciśnienie musi być takie samoponieważ z lewej strony jest więcej cieczy niż z prawej to ρρρρ1 > ρρρρ2

c) ρρρρ1 > ρρρρ2

p(y)

y


PRAWO ARCHIMEDESAW2?W1

ciało zważone w powietrzu ma ciężar W1ciało zanurzamy w wodzie, jaki jest teraz jego ciężar W2

ciśnienie na dnie ciała jest większe niż na górzewięc na ciało działa wypadkowa siła wyporu

gMVgρF cieczcieczcieczW ==

( ) ( )AyygρAppF 12ciecz12W −=−=

np. aby zanurzyć w wodzie piłkę plażową o promieniu r = 50 cm

musimy użyć siły F = ρρρρciecz g 4ππππr3/3 = 5131 N = 523 kg⋅⋅⋅⋅gFW mg

y

jaka część ciała zanurza się w cieczy?

%90kg/m1024kg/m917

ρ

ρ

VV

3

3

woda

lód

lód

woda ===

ciecz

ciecz

cieczciecz

W

ρ

ρ

VV

ρgVVgρ

mgF=⇒

==

jaka część góry lodowej jest zanurzona?

Praw o A rchim edesa

siła wyporu jest równa ciężarowi cieczy przesuniętej przy zanurzaniu ciała

p2

p1


PRAWO ARCHIMEDESA - PRZYKŁADY

styropian

Pb styropian obciążony ołowiem pływa całkowicie zanurzonyjeżeli ołowiany klocek znajdzie się na dole to:

a) zatonie c)b) styropian

Pbstyropian

Pb

c)

jeżeli ciało pływa to również odwrócone musi pływaćale po odwróceniu ołowiany klocek wypiera wodę, więc styropian musi wypierać mniej wody

I II

poziom wody w szklankach jest taki samale do szklanki II wrzucone są plastikowe piłeczki

która szklanka waży więcej?

a) I c) IIb) tyle samob) tyle samo

piłeczki wypierają tyle wody ile ważąwięc z prawa Archimedesa wynika, że obie szklanki ważą tyle samo

Download - Mecha Nika 12

Top Related