mecha nika 12

Download Mecha Nika 12

Post on 09-Jul-2016

218 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 1

    wyjanienie praw Keplerakrzywe rotacji galaktyk ciemna materia, hipoteza MOND?zwizek momentu pdu z prdkoci ktow

    gwne osie bezwadnoci (tylko Ixx, Iyy oraz Izz rne od zera)

    POPRZEDNI WYKAD

    =j

    jiji IL

    zmienny moment bezwadnoci

    moment pdu swobodnego ciaa (d odlego najmniejszego zblienia)moment pdu i rodek masy

    rozpraszanie czstek

    ruch wzgldny masa zredukowana

    IN rr

    *

    cm LLLrrr

    +=

    dtLdNr

    r

    =

    pdLz ====

    21 m

    1m

    1

    1+=

    212

    2

    12 dtrd

    Fr

    r

    =

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 2

    GWNE OSIE BEZWADNOCI - PRZYKAD

    += | |rrr

    r

    o obrotu

    r

    | |r

    r

    Lr

    | || || | ILr

    r

    =

    = ILr

    r

    dla gwnych osi bezwadnoci

    =

    =

    = ILIL

    IL | || || |r

    r

    r

    r

    r

    r

    22| |

    | || || |

    MR41IMR

    21I

    IILLL

    ==

    +=+=

    rr

    rrr

    moment pdu nie jest rwnolegy do prdkoci ktowej

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 3

    PRDKO I PRZYSPIESZENIE W OBRACAJCYMSI UKADZIE WSPRZDNYCH

    tttt

    tttt

    siny'cosdtdy'

    cosx'sindtdx'

    dtdy

    cosy'sindtdy'

    sinx'cosdtdx'

    dtdx

    ++=

    =

    tttt

    cosy'sinx'ysiny'cosx'x

    +=

    =

    x

    y

    x

    y (t)'r(t)r rr =

    r t

    (((( )))) (((( ))))'r'v2'a'rdt

    'rd2

    dt'rd

    dtrd

    a 2

    2

    2

    2rrrrrrrrr

    r

    r

    rr

    r

    ++++++++====++++++++========

    tttttt

    tttttt

    cosy'sindtdy'2cos

    dty'd

    sinx'cosdtdx'2sin

    dtx'd

    dtyd

    siny'cosdtdy'2sin

    dty'd

    cosx'sindtdx'2cos

    dtx'd

    dtxd

    22

    22

    2

    2

    2

    2

    22

    22

    2

    2

    2

    2

    ++=

    +=

    przyspieszenie dorodkoweprzyspieszenie Coriolisa

    'r'v'rdt

    'rddt

    rdv

    rrrrr

    rr

    r

    ++++====++++========

    'vr

    'rrr

    prdko w obracajcym si ukadzieprdko w ukadzie spoczynkowym zwizana z obrotem

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 4

    POCHODNA PO CZASIE W OBRACAJCYMSI UKADZIE WSPRZDNYCH

    (((( )))) (((( ))))'r'v2'a'rdt

    'rd2

    dt'rd

    dtrd

    a 2

    2

    2

    2rrrrrrrrr

    r

    r

    rr

    r

    ++++++++====++++++++========

    'r'v'rdt

    'rddt

    rdv

    rrrrr

    rr

    r

    ++++====++++========

    wyniki te mona uoglni na liczenie pochodnej po czasie dowolnej wielkoci

    'Adt

    'Ad'A

    dtd

    dtAd rr

    r

    r

    r

    ++++====

    ++++====

    sprawdzamy dla przyspieszenia

    (((( ))))

    (((( ))))(((( ))))'r'v2'aa

    'r'vdt

    'rd

    dt'vd

    a

    'r'vdtd

    'rdtd

    dtd

    dtrd

    a 2

    2

    rrrrrrr

    rrrrr

    r

    r

    r

    r

    rrrrrrr

    r

    r

    ++++++++====

    ++++++++++++====

    ++++

    ++++====

    ++++

    ++++========

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 5

    RWNANIA EULERA

    prawdziwe w nieinercjalnym ukadzie odniesienia'Ldt

    'LdNr

    r

    r

    r

    +=

    wspczynniki bezwadnoci Iij najwygodniej jest oblicza w ukadzie zwizanymz obracajcym si ciaem ale jest to ukad nieinercjalny

    'Ldt

    'LddtLd rr

    rr

    +=

    prawdziwe w inercjalnym ukadzie odniesieniadtLdNr

    r

    =

    osie ukadu wsprzdnych w obracajcym si ukadzie s wzdu osi gwnych

    ( )( )( ) 3121233

    231312

    2

    123231

    1

    NIIdt

    dI

    NIIdt

    dI

    NIIdt

    dI

    =+

    =+

    =+

    ( ) 1223332112332111 NIIdtdI'L'Ldt'dL

    'Ldt

    'dL=+=+=+

    r

    r

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 6

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 7

    PRECESJA SWOBODNA

    1

    2

    3 bk symetryczny I1 = I2 I3

    rozwizanie rwna Eulera (A=const.)

    tt

    AsinAcos

    2

    1

    =

    =

    oznaczenie: 31

    13

    III

    =

    wtedy rwnania Eulera maj posta

    ( )( )

    const.

    0I

    IIdt

    d

    0I

    IIdt

    d

    0dt

    dI

    0IIdt

    dI

    0IIdt

    dI

    3

    311

    132

    321

    131

    33

    31312

    1

    23131

    1

    =

    =

    =

    +

    =

    =+

    =+

    skadowa prdkoci ktowej prostopada do osi 3obraca si ze sta prdkoci ktow

    wektor prdkoci ktowej podlega precesjidookoa wektora momentu pdu - nutacja

    3

    r

    3r

    r

    r

    const.L =r

    const.

    L=

    r

    r

    yroskop - nutacja

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 8

    PRECESJA WYMUSZONA

    CM

    gmF rr

    =

    IL rr

    =

    mgRsinNgmRN == rrr

    moment siy jest prostopady do momentu pdunie zmienia si warto momentu pdu ale

    zmienia si jego kierunektzn. moment pdu (i jednoczenie o obrotu)

    zataczaj stoek o kcie 2

    d

    Lsin

    dtNLdrr

    =

    LrL

    r

    LmgR

    LsinmgRsin

    LsinN

    dtd

    ====

    dLsinNdtdL ==

    czsto precesji nie zaley od kta

    yroskop - precesja

    Rr

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 9

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 10

    YROSKOP

    gmg

    d

    Precesja

    koa row erow ego

    LN

    LdtdL

    dtdL

    dtdLN

    =

    ==

    =

    Imgd

    ILmgdN

    =

    =

    =

    L(t)

    L(t+dt)dL d ( ( ( (

    widok z gry

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 11

    PRECESJA OSI ZIEMIsiy grawitacji Ksiyca i Soca

    powoduj wymuszon precesj osi Ziemio obrotu Ziemi zakrela stoek

    o rozwartoci 470 w czasie 25770 lat (rok platoski)biegun pnocny wskazuje na rne gwiazdy

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 12

    PRECESJA SPINU PROTONU

    precesja spinu wok osi wyznaczonejprzez kierunek pola magnetycznego

    z polem magnetycznym

    zBr

    x

    y

    z

    bez pola magnetycznego

    zB =

    1Br

    ppp 2m

    egdzieg h

    h==

    czsto precesji czsto Larmorazaley od wspczynnika giromagnetycznego

    e adunek elementarny

    mp masa protonudla protonu g = 5.585694701

    2pi=h

    staa Planckasabe pole magnetyczne

    o czstoci

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 13

    MAGNETYCZNY REZONANS JDROWY (NMR lub MRI)

    rejestrowany sygna w cewce indukowanyprzez zmienne pole magnetyczne

    pozycja

    pole magnetyczne B0 zaley od pozycjiczsto precesji zaley od pozycji

    czsto

    czsto

    transformata Fouriera

    odpowiednio silne pole magnetyczneustawia spin prostopadle do pola B0

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 14

    RUCH W NIEINERCJALNYM UKADZIE ODNIESIENIA

    ( )'r'v2'ra'aa 0 rrrrrrrrrr ++++='rv'vv 0 rrrrr ++=

    x

    y

    z

    'vr

    Car

    przyspieszenie dorodkowe( )'rad rrrr =

    0a||'v0'v

    C == r

    rr

    r

    x

    y

    'rrr

    dar

    z

    przyspieszenie Coriolisa'v2aC

    rrr

    =

    ( )'rm'v2m'rdtd

    mamFdt

    'rdm 02

    2rrrrrr

    r

    r

    r

    r

    =

    prdko i przyspieszenie w ukadzie inercjalnym prdko i przyspieszenie w ukadzie nieinercjalnym prdko i przyspieszenie ukadu nieinercjalnego wzgldem ukadu inercjalnego prdko ktowa i przyspieszenie ktowe ukadu nieinercjalnego

    wzgldem ukadu inercjalnego

    a,vrr

    '' a,vrr

    00 a,vrr

    ,rr

    sia Coriolisa sia odrodkowasia styczna

    OFr

    CFr

    SFr

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 15

    SIA ODRODKOWA

    M artw a ptla

    W irow nica

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 16

    ZIEMIA JAKO UKAD ODNIESIENIAZiemia jest nieinercjalnym ukadem odniesienia poniewa obraca si

    0F0dtd

    const. S ===r

    r

    r

    przyjmujemy ukad wsprzdnych znajdujcy si w rodku Ziemiciao znajdujce si w pooeniu i poruszajce si z prdkoci

    w ukadzie zwizanym z Ziemi doznaje przyspieszenia Coriolisa i odrodkowego( )'rm'v2mF

    dtrd

    m 2

    2rrrrr

    r

    r

    ='

    obserwowalne efekty zwizane z obrotem Ziemi

    nie ma wpywu siy Coriolisana kierunek wirowania wody

    obrt paszczyzny wahawahada Foucault

    wpyw si Coriolisana kierunek wiatrw

    'rr

    'vr

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 17

    SIA CORIOLISA

    K ulka na

    obracajcej si

    tarczy

    pasatycyklon

    antycyklon

    grne warstwyatmosfery

    dolne warstwyatmosfery

    rwnik nizwrotnik wy

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 18

    WAHADO FOUCAULTA

    szybko obrotu punktu rodkowego wahadavO = Rcos

    szybkoci obrotu punktu pnocnego i poudniowegovN = Rcos rsinvS = Rcos + rsin

    rnica kadej z tych prdkoci wzgldempunktu rodkowego wahada wynosi

    v = rsinrnica prdkoci v powoduje obracanie si

    paszczyzny waha z okresem

    sinT

    sin2pi

    rsin2pi

    v

    2piT ZF ====rr

    2piTZ = okres obrotu Ziemi

    M odel w ahado F oucaulta

    na biegunie paszczyzna waha obraca si o 360o w cigu doby (TF=TZ)na rwniku paszczyzna waha nie zmienia si

    w Krakowie w kociele w. Piotra i Pawa (ul. Grodzka 54) TF ~ 31 godzin

    Rrwnik

    S biegunpoudniowy

    N biegunpnocny

    o

    o

    b

    r

    o

    t

    u

    Rcos

    vS

    vN

    rrsin

  • 13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 19

    CIECZEciecze to substancje nie podlegajce odksztaceniu postaci

    przy odksztac