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1.PoliedrosInúmeros objetos utilizados pela humanidade podem representar sólidos geo-
métricos; um dado, uma borracha, uma roda, um livro, etc.Entre os sólidos, os poliedros podem ser intuitivamente descritos como “sóli-
dos limitados por superfícies planas”. Para escrever uma definição mais formal,deve ser apresentado primeiramente o conceito de conjunto convexo.
Um conjunto A de pontos é convexo quando qualquer segmento de reta de
extremos pertencentes a A está inteiramente contido em A.
Definição
Poliedro é a união de um número finito de polígonos, denominados faces,
com a região do espaço limitada por eles, em que são válidas as seguintes
afirmações.
Cada lado de um desses polígonos é também lado de um único outro
polígono.
A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um
vértice, ou é vazia.
Definição
Abaixo são representados alguns objetos do cotidiano, que aparentam es-tar totalmente preenchidos, e que dão ideia de figuras convexas.
Enuncia-se, então, a seguinte definição, mais formal, de poliedro.
Se a afirmação “Qualquer segmento de reta de extremos pertencentes aopoliedro está inteiramente contido nele” for acrescentada à definição acima,então se tem um poliedro convexo, que será o objeto de estudo deste mó-dulo. Caso essa terceira afirmação não seja satisfeita, diz-se que o poliedro énão convexo.
Cada lado de um polígono, que é comum aexatamente duas faces, é denominado aresta do poliedro, e cada vértice de uma face é deno-minado vértice do poliedro.
ExemplosPoliedro convexo Poliedro não convexo
face aresta vértice
Nomenclatura para
poliedros convexosOs poliedros convexos`
são nomeados de acordo
com o número de faces
que apresentam. A seguir,
apresentam-se alguns
exemplos.
Númerode faces
Nome dopoliedro
4 tetraedro
5 pentaedro
6 hexaedro
7 heptaedro
8 octaedro
9 eneaedro
10 decaedro
11 undecaedro
12 dodecaedro
20 icosaedro
Saiba mais
hexaedro heptaedro
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Sólidos8
Relação de Euler
São dados dois poliedros convexos em que são conhecidos o número defaces F, o número de vértices V e o número de arestas A de cada um deles.
F 5 8V 5 12 Æ F 1 V 5 8 1 12 5 20
A 1 2 5 18 1 2 5 20 A 5 18
A quantidade de vértices, de arestas e de faces pode ser diferente para doispoliedros convexos distintos. Há uma relação entre essas quantidades paracada poliedro. Trata-se da relação de Euler, enunciada abaixo e admitidaneste livro sem demonstração.
Em todo poliedro convexo, o número de faces adicionado ao número devértices é igual ao número de arestas adicionado de duas unidades.
Teorema
F 1 V 5 A 1 2
Verifica-se essa relação para os dois poliedros convexos representadosacima.
Poliedro I:F 1 V 5 6 1 6 5 12
A 1 2 5 10 1 2 5 12 Poliedro II:F 1 V 5 7 1 10 5 17
A 1 2 5 15 1 2 5 17
De acordo com o teorema, todo poliedro convexo satisfaz à relação de Eu-ler. Nem todo poliedro que satisfaz a relação de Euler, porém, é um poliedroconvexo. É o que ocorre, por exemplo, com o poliedro representado abaixo,que satisfaz a relação de Euler, mas não é um poliedro convexo.
F 5 6V 5 6
A 5 10
F 5 7V 5 10
A 5 15
I II
Leonhard Paul Euler
(1707-1783)
Leonhard Euler.
Leonhard Euler [1707-1783]nasceu na Basileia, na Suíça,onde frequentou a universida-de. [...]
Na Academia de Berlim, eleaplicou a matemática a diversosassuntos, como órbitas planetá-rias, balística, construção naval,
navegação, óptica e acústica.Aperfeiçoou também a nomen-clatura (conjunto de nomes etermos) matemática, introduzin-do a letra grega S (sigma) parasignificar soma; p (pi) para a ra-zão entre a circunferência de umcírculo e seu raio; a letra e comobase para os logaritmos natu-rais; i, para representar a raizquadrada de21 (números imagi-nários); e ƒ( x) para função. [...]
Durante toda a vida, Eu-ler produziu mais de 800 dis-sertações. Após sua morte, aAcademia de São Petersburgocontinuou a imprimir trabalhosinéditos por cerca de 50 anos.
Tiner, John Hudson. 100 cientistas quemudaram a história do mundo. Tradução:Marise Chinetti. Rio de Janeiro: Ediouro,2004. p. 69-70.
Um pouco de história
Exercício resolvido
Conhecendo-se as faces de um poliedro convexo, determinar o número de arestas.1.
ResoluçãoCaso geralSuponha que as faces do poliedro são organizadas em grupos; o grupo dos triângulos, o dos
quadriláteros, o dos pentágonos, etc. Sejam F 3 a quantidade de triângulos, F 4 a de quadriláte-
ros, ..., F n a de polígonos de n lados.
Cada polígono tem tantos lados comuns a outros polígonos quantos são seus lados. Então,
inicialmente, é preciso multiplicar o número de triângulos por 3, o de quadriláteros por 4 eassim por diante. Depois, calcula-se a soma 3F 3 + 4F 4 + ... + nF n.
Como cada aresta é comuma exatamente duas faces, a
soma obtida na etapa anterior
representa o dobro do número de
arestas, A, do poliedro. Logo
A 5 3F 3 1 4F 4 1 ... 1 nF n ___________________
2
Exemplo
Determinar o número de arestas de um poliedro convexoque tem 6 faces quadradas, 2 faces hexagonais e 24 faces
triangulares.
3 ? 241 4 ? 6 1 6 ? 2 5 54
Portanto,
A 5 54 ___ 2
5 27
Um poliedro queatende às condições
é representado ao
lado.
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Poliedros regulares
Entre os poliedros convexos, há os que são denominados poliedros regu-lares, cuja definição é dada a seguir.
Um poliedro convexo é regular caso satisfaça às seguintes condições.
Todas as suas faces são polígonos regulares e congruentes.
Em todos os seus vértices concorrem o mesmo número de arestas.
Definição
De acordo com a definição acima, enuncia-se o seguinte teorema, que seráadmitido sem demonstração.
Existem apenas cinco poliedros convexos regulares.
Teorema
Os cinco poliedros a que se refere o teorema estão representados abaixo.
Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular
O tetraedro regular tem 4 faces,4 vértices e 6 arestas.
Todas as faces são triângulos
equiláteros congruentes.Em todos os vértices concorrem
três arestas.
O hexaedro regular (ou cubo)tem 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.
Todas as faces são quadrados
congruentes.Em todos os vértices concorrem
três arestas.
O octaedro regular tem 8 faces,6 vértices e 12 arestas.
Todas as faces são triângulos
equiláteros congruentes.Em todos os vértices concorrem
quatro arestas.
Dodecaedro regular Icosaedro regular
O dodecaedro regular tem 12 faces, 20 vértices e 30arestas.
Todas as faces são pentágonos regulares congruentes.
Em todos os vértices concorrem três arestas.
O icosaedro regular tem 20 faces, 12 vértices e 30arestas.
Todas as faces são triângulos equiláteros congruentes.
Em todos os vértices concorrem cinco arestas.
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Sólidos8
Um poliedro convexo tem seis arestas, e o núme-2.
ro de faces é igual ao número de vértices. Deter-
minar o número de faces desse poliedro e dese-
nhar um poliedro que satisfaça essas condições.
Resolução
De acordo com o enunciado, tem-se que F 5 V 5 n
e A 5 6. Como o poliedro é convexo, satisfaz a
relação de Euler.
F 1 V 5 A 1 2Æ n 1 n 5 6 1 2Æ
Æ 2n 5 8Æ n 5 4
Portanto, esse poliedro tem 4 faces.
O poliedro desenhado de-
ve satisfazer às seguintes
condições: ser convexo,
ter 4 faces, 4 vértices e 6
arestas.
Um possível poliedro érepresentado ao lado.
Calcular o número de vértices de um poliedro3.convexo que tem seis faces quadrangulares equatro faces triangulares.
Resolução
Como são conhecidas as faces do poliedro, é pos-sível determinar seu número A de arestas utili-zando-se a seguinte relação.
A 5 3F 3 1 4F 4 1 ... 1 nF n ___________________
2
De acordo com o enunciado e a notação estabeleci-da na teoria, tem-se que F 4 5 6 e F 3 5 4.
A 5 3F 3 1 4F 4 _________
2 5
3 ? 4 1 4 ? 6 ____________ 2
5
5 12 1 24 _______
2 5
36 ___ 2
5 18
Como o poliedro é convexo, satisfaz a relação deEuler.
F 1
V
5
A
1
2Æ
(61
4)1
V
5
181
2Æ
V
5
10Portanto, esse poliedro tem 10 vértices.
Validação.4. O poliedro abaixo é convexo.
Determine o número de faces, vértices e arestasdesse poliedro e verifique se os números obtidossatisfazem a relação de Euler.
Um poliedro tem duas faces hexagonais e seis fa-5.ces quadrangulares. Determine o número de ares-tas e vértices desse poliedro.
Em um poliedro convexo, o número de faces é6.igual ao número de vértices, e o número de ares-tas excede em três o número de faces. Determineo número de vértices desse poliedro.
Em um poliedro convexo, de cada um dos seis vér-7.
tices saem quatro arestas. Determine o número dearestas e de faces desse poliedro.
Analise a veracidade da seguinte afirmação.8.
Se em todos os vértices concorrem o mesmo nú-
mero de arestas, então todas as faces têm o mes-
mo número de arestas.
Investigação e pesquisa.9. Dados três números na-turais não nulos, representados porV , F e A, que sa-tisfazem a relação de Euler, é possível afirmar queexiste um poliedro que tenha V vértices, A arestase F faces? Justifique sua resposta.
A bola de futebol utilizada na10.
Copa do Mundo de 1970 foi ins-
pirada em um poliedro convexo,
formado por doze faces penta-
gonais e vinte faces hexagonais.
Determine o número de vértices
e arestas desse poliedro.
Validação.11. Desenhe um poliedro convexo que te-
nha mais que doze arestas e verifique se ele satis-
faz a relação de Euler.
Um poliedro convexo tem vinte faces triangulares e12.
em todas elas concorrem cinco arestas. Determine
o número de vértices desse poliedro.
Considere as características de um poliedro convexo.13.
Alguns triângulos e alguns quadrados formam
suas faces.
O número de faces triangulares e o número de
faces quadrangulares são diretamente propor-
cionais a 2 e 3, respectivamente.
O número de arestas desse poliedro é o dobro
do número de vértices.
Quantas faces tem esse poliedro?
Um poliedro convexo tem apenas faces hexagonais14.
e quadrangulares. Sabendo que ele tem trinta ares-
tas e dezoito vértices, determine o número de fa-
ces hexagonais e o número de faces quadrangula-
res desse poliedro.
Exercícios propostosResponda a todas as questões em seu caderno.
Exercícios resolvidos