Luento 2: Tilastollisen tutkimuksen peruskäsitteet ja menetelmät
Petri Nokelainen
Kasvatustieteiden yksikköTampereen yliopisto
[email protected]://www.uta.fi/~petri.nokelainen
Sisältö
1. Tilastollisia käsitteitä 1.1 Sijaintiluvut 1.2 Hajontaluvut 1.3 Todennäköisyysjakaumat 1.4 Hypoteesien testaaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys2.3 Ryhmäjäsenyyden ennustaminen2.4 Muuttujarakenteen mallintaminen
Tilastollisia käsitteitä1.1 Sijaintiluvut
• Mediaani– Järjestettyjen arvojen
keskimmäisin arvo (n+1)/2
• Moodi– Tyypillisin arvo, esiintyy
useimmin– Multimodaalinen
Tilastollisia käsitteitä1.1 Sijaintiluvut
• Keskiarvo (k.a., M)– Generalized mean
• k = 1 aritmeettinen keskiarvo• k = -1 harmoninen keskiarvo• k -> 0 geometrinen keskiarvo
Tilastollisia käsitteitä1.1 Sijaintiluvut
Tilastollisia käsitteitä1.1 Sijaintiluvut
(FSD, http://www.fsd.uta.fi/menetelmaopetus/keskiluvut/keskiluvut.html.)
Tilastollisia käsitteitä1.1 Sijaintiluvut
Tilastollisia käsitteitä1.1 Sijaintiluvut
• Tynnyrikuvaaja (Boxplot)– Laatikon ääripäät kuvaavat
kvartiileja (quartiles)• Ensimmäinen kvartiili on mediaania
pienempien arvojen mediaani, toinen kvartiili on itse mediaani ja kolmas kvartiili on mediaania korkeampien arvojen mediaani.
– Mediaani on merkitty laatikon keskellä kulkevalla viivalla
– Laatikon ulkopuolella olevat viivat (whiskers) kuvaavat pienintä ja suurinta havaintoa.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Sisältö
1. Tilastollisia käsitteitä 1.1 Sijaintiluvut 1.2 Hajontaluvut 1.3 Todennäköisyysjakaumat 1.4 Hypoteesien testaaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys2.3 Ryhmäjäsenyyden ennustaminen2.4 Muuttujarakenteen mallintaminen
Tilastollisia käsitteitä1.2 Hajontaluvut
Tilastollisia käsitteitä1.2 Hajontaluvut
• Keskihajonta s (k.h., SD, standard deviation)– Varianssin s2 neliöjuuri:
– Edellyttää välimatka-asteikollista muuttujaa.– Kuvaa havaintojen keskimääräistä etäisyyttä
keskiarvosta.– Keskihajonta säilyttää alkuperäisen mitta-asteikon
tulkinnassa.
Tilastollisia käsitteitä1.2 Hajontaluvut
Tilastollisia käsitteitä1.2 Hajontaluvut
(FSD, http://www.fsd.uta.fi/menetelmaopetus/hajontaluvut/hajontaluvut.html.)
• Normaalijakauman oletukseen perustuvissa testeissä on syytä tarkastella otosjakauman symmetrisyyttä.– Vinous g1 (skewness) kuvaa
jakauman vaakapoikkeamaa oikealle tai vasemmalle verrattuna normaalijakaumaan.
– Huipukkuus g2 (kurtosis) kuvaa jakauman huipun muotoa.
g1: oikealle ja vasemmalle vinot jakaumat
g2: huipukas ja tasainen jakauma
Tilastollisia käsitteitä1.2 Hajontaluvut
234 vastaajaa ovat käyttäneet kaikkia 7-portaisen vastausasteikon vastausvaihtoehtoja. Keskiarvon keskivirheen (n = /√n = 1.253/ √234 ≈ .082) avulla voidaan arvioida 95% luottamusväli annetuille vastauksille: 5.28 - 5.60 (5.44 ± 1.96*.082). Kaksi kertaa keskivirhettä (.159) suuremman ja itseisarvoltaan 1 lähestyvän skewness (g1) arvon (-.956) perusteella voidaan päätellä että vastausjakauma on vasemmalle vino (”negatiivinen”). Kurtosis (g2) saa positiivisen, kaksi kertaa keskivirhettään (.317) suuremman arvon (.923), joten jakauman voidaan todeta olevan huipukas.
234 vastaajaa ovat käyttäneet kaikkia 5-portaisen vastausasteikon vastausvaihtoehtoja. Keskiarvon keskivirheen (n = /√n = 1.099/ √234 ≈ .072) avulla voidaan arvioida 95% luottamusväli annetuille vastauksille: 3.03 – 3.31 (3.17 ± 1.96*.072). Jakauma muistuttaa vaakavinoumaltaan normaalijakaumaa, koska skewness arvo (-.122) on pienempi kuin sen keskivirhe (.160). Jakauma on muodoltaan hieman tasainen, koska kurtosis saa negatiivisen arvon (-.578), mutta ei poikkea normaalista koska tuo arvo jaettuna sen keskivirheellä (.320) on pienempi kuin kaksi (-.578/.320 = 1.81).
Esimerkki vasemmalle vinosta (negatiivisesta) ja huipukkaasta vastausjakaumasta
Esimerkki normaalista vastausjakaumasta
Sisältö
1. Tilastollisia käsitteitä 1.1 Sijaintiluvut 1.2 Hajontaluvut 1.3 Todennäköisyysjakaumat 1.4 Hypoteesien testaaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys2.3 Ryhmäjäsenyyden ennustaminen2.4 Muuttujarakenteen mallintaminen
Tilastollisia käsitteitä1.3 Todennäköisyysjakaumat
• Empiiriset frekvenssijakaumat kuvaavat havaittujen mittaustulosten jakautumista.– Diskreeteille muuttujille pylväsdiagrammi
tai viivadiagrammi.
Tilastollisia käsitteitä1.3 Todennäköisyysjakaumat
• Empiiriset frekvenssijakaumat kuvaavat havaittujen mittaustulosten jakautumista.– Jatkuville muuttujille histogrammi
tai tynnyrikaavio (boxplot, laatikko-jana).
Tilastollisia käsitteitä1.3 Todennäköisyysjakaumat
• Tilastolliset todennäköisyysjakaumat ovat matemaattisia malleja ilmiöiden esiintymistodennäköisyyksistä, ts. empiirisesti havaittuja ilmiöitä voidaan kuvata matemaattisten mallien avulla.
• Lähes kaikki tilastolliset testit perustuvat erilaisten todennäköisyysjakaumien käyttöön.
• Diskreettejä jakaumia: binomijakauma, Poisson –jakauma.
• Jatkuvia jakaumia: Normaalijakauma, Studentin t-jakauma, 2 –jakauma, F –jakauma.
Populaatio Otos
s
xHajontaOdotusarvo
Tilastollisia käsitteitä1.3 Todennäköisyysjakaumat
Normaalijakauma
Tilastollisessa päättelyssä yleisimminkäytetty jakauma (ns. Gaussin käyrä).Odotusarvo () ja hajonta () määrittävät jakauman muodon.
Standardoidun normaalijakauman odotusarvo on 0 ja keskihajonta 1. X-akselin mittayksikkönä on keskihajonta, joten voimme esim. päätellä että 68.2% havainnoista on +/- yhden keskihajonnan mitan päässä keskiarvosta.
Tilastollisia käsitteitä1.3 Todennäköisyysjakaumat
-3 –2 -1 0 1 2 3
2.3%2.3%
WAIS-R –testillä mitattujen älykkyysosamäärien keskiarvo Suomessa on 100 ja keskihajonta 15. Älykkyys on normaalisti jakautunut ominaisuus, joten testipistemäärien jakauma noudattelee normaalijakaumaan parametrein = 100 ja = 15. Saat MENSAn järjestämästä testistä pistemääräksesi 131 – miten menee?!
Tilastollisia käsitteitä1.3 Todennäköisyysjakaumat
-3 –2 -1 0 1 2 3
2.3%2.3%
Tilastollisia käsitteitä1.3 Todennäköisyysjakaumat
-3 –2 -1 0 1 2 3
2.3%2.3%
06.215
100131
X
z
Älykkyysosamäärä 131 sijaitsee yli kahden keskihajonnan mitan päässä keskiarvosta. Vain 2.3 prosenttia ihmisistä saa vastaavia tai korkeampia älykkyysosamääräpisteitä.
Sisältö
1. Tilastollisia käsitteitä 1.1 Sijaintiluvut 1.2 Hajontaluvut 1.3 Todennäköisyysjakaumat 1.4 Hypoteesien testaaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys2.3 Ryhmäjäsenyyden ennustaminen2.4 Muuttujarakenteen mallintaminen
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Hypoteesi sisältää tutkijan ”valistuneen arvauksen” aineiston tutkimuskysymykseen antamasta vastauksesta.
• Hypoteesin testaamisen avulla arvioidaan, voidaanko otoksen perusteella tehdä populaatiota koskevia luotettavia päätelmiä.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Nollahypoteesi (H0) tarkoittaa sitä, että aineiston antama tulos ei esiinny populaatiossa, se on syntynyt esim. epäedustavan otoksen vaikutuksesta.
• Vastahypoteesi (H1), tai vaihtoehtoinen hypoteesi, olettaa päinvastaista: Aineistossa esiintynyt ilmiö on löydettävissä myös populaatiosta.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Otannalla on suuri merkitys tilastollisen tutkimuksen tulosten yleistettävyydelle: otos määrittelee sen populaation johon tulokset voidaan yleistää.– Mihin populaatioon yliopisto-opiskelijoiden silmien
väriä koskevat tulokset voidaan yleistää?– Entäpä jos tutkitaan loogista ajattelua?
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Tutkimuskysymyksissä esitettyjä hypoteeseja testataan aineistosta tilastollisten testien avulla.
• Testit laskevat todennäköisyyden (ns. ”p-arvo”) aineistolle jos nollahypoteesi pitää paikkansa: P(D|H0).
• P-arvot vaihtelevat välillä 0 = epätosi .. 1 = tosi.
• Nollahypoteesin hylkäämistä silloin kun se oikeasti pitääkin paikkansa kutsutaan tyypin yksi virheeksi (Type I error, ).
• Nollahypoteesin virheellinen hyväksyminen johtaa tyypin kaksi virheeseen (Type II error, ).
1.4 Hypoteesien testaaminen
• P-arvoille on asetettu yleisiä raja-arvoja (kriittinen -arvo), joita käytetään apuvälineinä tulkittaessa tutkimuslöydösten tilastollista merkitsevyyttä:p < .05 tilastollisesti melkein merkitsevä
Tämä on yleisin merkitsevyysraja (5%).p < .01 tilastollisesti merkitseväp < .001 tilastollisesti erittäin merkitsevä.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Esim. jos t-testi tuottaa tulokseksi t(49)=3.4, p=.04, voidaan todeta että on olemassa vain neljän prosentin todennäköisyys saada vastaavan suuruinen ero kahden verrattavan ryhmän välille, jos otos edustaa populaatiota jossa nollahypoteesi on tosi.
• Vaikka kahden ryhmän välinen ero on tilastollisesti merkitsevä, se ei automaattisesti tarkoita tieteellisessä mielessä merkityksellistä eroa.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Hypoteesintestaukseen liittyy kaksi virhetyyppiä:– Tyypin I virhe (Type I error, error)
• Oikeasti paikkansa pitävä H0 hylätään ja H1 astuu virheellisesti voimaan.
• Löydetään tutkimustulos jota ei oikeasti ole olemassakaan.
– Tyypin II virhe (Type II error, error)• Oikeasti paikkansa pitävä H1 hylätään ja H0 jää
virheellisesti voimaan.• Tämä on ns. ”nollatutkimusta” josta usein puuttuu voima
(power), mutta ei hätää – myöhempi tutkimus kyllä ennemmin tai myöhemmin löytää asioiden oikean laidan!
1.4 Hypoteesien testaaminen
Sisältö
1. Tilastollisia käsitteitä 1.1 Sijaintiluvut 1.2 Hajontaluvut 1.3 Todennäköisyysjakaumat 1.4 Hypoteesien testaaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys2.3 Ryhmäjäsenyyden ennustaminen2.4 Muuttujarakenteen mallintaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
1. Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus– Korreloiko vastaajien ikä työhön sitoutumista mittaavan
muuttujan arvojen kanssa, ja jos korreloi, niin minkä suuntaisesti?
2. Ryhmien välisten erojen merkitsevyys– Onko eri ikäryhmien välillä eroja työhön sitoutumisessa?
3. Ryhmäjäsenyyden ennustaminen– Mitkä työhön sitoutumista mittaavat muuttujat ennustavat
parhaiten mihin ikäryhmään vastaajat kuuluvat?4. Muuttujarakenteen mallintaminen
– Millaisiin ulottuvuuksiin (”faktoreihin”) käsite ”työhön sitoutuminen” on jaettavissa?
– Selittävätkö esimiehen johtamistaidot ja työn psyykkinen rasittavuus työhön sitoutumista?
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
1. Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus– Khiin neliötesti (2), korrelaatioanalyysi (r), regressioanalyysi (R),
kanoninen korrelaatioanalyysi2. Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
– t-testi, varianssianalyysi (ANOVA), monimuuttujavarianssianalyysi (MANOVA), kovarianssianalyysi (ANCOVA)
3. Ryhmäjäsenyyden ennustaminen– Erotteluanalyysi (DA), logistinen regressioanalyysi (LOGIT),
ryhmittely eli klusterianalyysi4. Muuttujarakenteen mallintaminen
– Eksploratiivinen faktorianalyysi (EFA), pääkomponenttianalyysi (PCA), rakenneyhtälömallinnus (SEM, alalajina polkuanalyysi PATH ANALYSIS ja konfirmatorinen faktorianalyysi CFA)
(Nokelainen, 2008.)
SPSS
AMOS
SPSS Extension
MPlus
SPSS
Sisältö
1. Tilastollisia käsitteitä 1.1 Sijaintiluvut 1.2 Hajontaluvut 1.3 Todennäköisyysjakaumat 1.4 Hypoteesien testaaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys2.3 Ryhmäjäsenyyden ennustaminen2.4 Muuttujarakenteen mallintaminen
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Khiin neliötesti (Chi square test, 2)– Millainen riippuvuussuhde on iän ja työhön sitoutumisen
välillä?• 1 nominaali/järjestysasteikollinen riippumaton (IV)
muuttuja (ikä luokiteltuna kolmeen luokkaan)• 1 nominaali/järjestysasteikollinen riippuva (DV) muuttuja
(työhön sitoutuminen asteikolla 1 - 5)
Olemme kiinnostuneita kuhunkin luokkaan X {X1, X2, X3} kuuluvien ihmisten vastauksista {Y1, Y2, Y3, Y4,Y5} kysymykseen Y.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
N
ffF ji
ij
oo
e
Taulukosta näemme, että tulos2(1)=20.822 on tilastollisesti merkitsevä yhden promillen riskitasolla (p < .001).
• Khiin neliön suhteellinen tulkitseminen on vaikeaa, koska sillä ei ole ylärajaa – riippuvuuslukuna käytetään usein
kontingenssikerrointa (C)
48.822.2070
822.202
2
n
C
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Cmax ei ole 1, vaan se riippuu taulukon rivien (h) ja sarakkeiden (g) lukumäärästä seuraavan kaavan mukaisesti:
, jossa k = min(g,h)
k 2 3 4 5 6
0.71 0.82 0.87 0.89 0.91
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Khiin neliötestin tulos– Khiin neliötestin perusteella miesten ja naisten
hiihto ja luistelutottumukset poikkesivat toisistaan tilastollisesti merkitsevästi, 2(1) = 20.822, p < .001, C = .48 (Cmax = 0.71).
– Naiset raportoivat tasaisempaa kiinnostusta kahteen edellä mainittuun talviurheilulajiin kuin miehet, jotka selvästi suosivat hiihtämistä.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Raportointiesimerkkejä:– Khiin neliötestin perusteella tytöt saavat poikia
parempia kouluarvosanoja: 2(1) = 5.432, p = .031. 2 = Khiin neliö, (1) = vapausasteet (df, degrees of
freedom), 5.432 = Khiin neliötestin arvo, ei kerro muuta kuin sen, että sukupuolten välillä on eroa (poikkeaa nollasta), p = 0.31 tarkoittaa sitä, että sukupuolten välillä on tilastollisesti melkein merkitsevä ero 5 prosentin riskitasolla.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Raportointiesimerkkejä:– Khiin neliötestin perusteella tytöt saavat poikia
parempia kouluarvosanoja: C(1) = 0.39, p = .031 (Cmax = 0.71).
• C = Kontingenssikerroin, (1) = vapausasteet, 0.39 kertoo ryhmien välisen eron merkitsevyyden, p = .031 tarkoittaa sitä, että sukupuolten välillä on tilastollisesti merkitsevä ero 5 prosentin riskitasolla (.031 < .05), Cmax = 0.71 on tässä taulukossa ryhmien välisen eron yläraja.
• Kun C = 0.39, voidaan todeta, että ero ei ole tieteellisesti kovin merkittävä, vaikka onkin sitä tilastollisesti.
• Jos arvo olisi esim. 0.60, voisimme olla enemmän riemuissamme sukupuolten välisestä erosta (koska tällöin ollaan lähempänä ryhmien välisen eron ylärajaa 0.71).
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Korrelaatioanalyysi (rp tai rs)– Onko iän ja työhön sitoutumisen välillä riippuvuussuhde? Jos
on, niin minkä suuntainen?
• 2 jatkuvaa muuttujaa (rp) (ikä vuosina, työhön sitoutumista mittaavan testin pistemäärä)
• 2 järjestysasteikollista muuttujaa (rs) (ikä luokkina, työhön sitoutuminen asteikolla 1 – 5)
Olemme kiinnostuneita kunkin vastaajan antamista vastauksista kahteen muuttujaan X ja Y.
=KORRELAATIO(E7:E10,F7:F10)
• Testin nollahypoteesi (H0) = muuttujien korrelaatio perusjoukossa on 0.
• Tietokoneohjelmat laskevat korrelaation yhteydessä merkitsevyysluvun (p, significance) olettaen että normaalijakauman ehto täyttyy,
• p -arvo– ilmoittaa todennäköisyyden sille että otoksesta laskettu
korrelaatio on vähintään saadun suuruinen mikäli H0 pitää paikkansa
– ilmoittaa kuinka paljon on ”todisteita” nollahypoteesia vastaan, mitä pienempi p (0 < p < .05), sitä enemmän todisteita
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Yleinen merkitsevyystaso on 5 prosenttiap < 0.05 (5%) * tilastollisesti melkein merkitseväp < 0.01 (1%) ** tilastollisesti merkitseväp < 0.001 (0,1%) *** tilastollisesti erittäin merkitsevä
• Jos luku jää etukäteen sovitun merkitsevyystason alapuolelle, H0 hylätään ja vaihtoehtoinen hypoteesi H1 hyväksytään.
– Ongelmana on se, että H1 ei ole ollut mukana analyyseissa eikä siten ole välttämättä H0:n vastakohta ..
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Korrelaation yhteydessä on syytä kommentoida muuttujien välistä yhteistä varianssia (coefficient of determination), joka lasketaan korottamalla korrelaatiokertoimen arvo toiseen potenssiin.– Esim. jos muuttujien välillä on r = .3 suuruinen
korrelaatio, niillä on 9 prosenttia (.3*.3=.09) yhteistä vaihtelua (total variance).
– Onko se paljon vai vähän, riippuu tutkimustehtävän luonteesta eli analyysin tuloksille asetetuista tieteellisistä oletuksista.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Cohen (1988) on lisäksi määritellyt korrelaatioille tieteellisen vaikuttavuuden (effect size) arvot:– Small effect size r > 0.1 – Medium effect size r > 0.3– Large effect size r > 0.5– Much larger than typical r > 0.7
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Pearsonin (tulomomentti) korrelaatiokerroin (rp) on tarkoitettu välimatka- ja suhdeasteikollisille muuttujille.
• Mittaa muuttujien välistä lineaarista yhteyttä (correlation).
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
x:n ja y:n kovarianssi:
Korrelaatiokerroin saadaan jakamalla kovarianssi x:n keskihajonnan ja y:n keskihajonnan tulolla:
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Pearsonin tulomomenttikorrelaatio (rP)
SPSS –ohjelman tuloste:
SPSS –ohjelman tuloste:
• Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin (rs)– Spearman´s Rank Order Correlation (rho)
• Vaatii muuttujilta vähintään järjestysasteikollista mittaustasoa -> perustuu järjestyksen vertaamiseen.
• Mittaa muuttujien välistä yhteyttä (association), joka voi olla lineaarista tai epälineaarista.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
SPSS-ohjelmantuloste:
Korrelaatio (rp) Varianssi (%)
+/- .10 - +/- .29 1.0 - 8.4
+/- .30 - +/- .49 9.0 - 24.0
+/- .50 - +/- 1.00 25.0 - 100.0
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Sisältö
1. Tilastollisia käsitteitä 1.1 Sijaintiluvut 1.2 Hajontaluvut 1.3 Todennäköisyysjakaumat 1.4 Hypoteesien testaaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien päätyypit
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys2.3 Ryhmäjäsenyyden ennustaminen2.4 Muuttujarakenteen mallintaminen
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
• t-testi (t)– Vertaillaan kahden ryhmän keskiarvoja.– Voidaan käyttää sekä saman että
erisuuruisten varianssien tapauksessa.– Muuttujien tulee olla normaalisti
jakautuneita.
William ”Student” Gosset1876-1937
• Riippumattomien otosten t-testi– Independent-samples
H0: nainen = mies
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
• Riippuvien otosten t-testi– Dependent-samples, paired test
H0: ennen = jälkeen H0: ennen - jälkeen = 0
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
• Yhden otoksen t-testi– One-sample
H0: = 100
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
s Otoskeskihajontan Lukumäärä0 Odotusarvox Otoskeskiarvo
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
H0 Naiset ja miehet kokevat esimiehen arvostavan työtään yhtä paljon.
H1a Sukupuolet kokevat esimiehen arvostuksen eritavoin.
H1b Miehet kokevat esimiehen arvostavan työtään enemmän.
H1a Kaksisuuntainen
H1b Yksisuuntainen
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysRiippumattomien otosten t-testi
• Levenen testin avulla selvitetään ryhmien varianssien samankaltaisuutta (H0: V1 = V2)– Jakaumilla on sama muoto = pooled-variance t test
• Levenen testin Sig. > .05 = Equal variances assumed– Jakaumilla on eri muoto = separate-variance t test
• Levenen testin Sig. < .05 = Equal variances not assumed• Vapausasteet pienenevät (=laskennassa käytetty
otoskoko pienenee) erisuuruisten varianssien vuoksi. • Vapausasteet pienenevät sitä enemmän mitä
suuremmasta varianssien erosta on kysymys.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysRiippumattomien otosten t-testi
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysRiippumattomien otosten t-testi
Sig. = p-arvo
• Esimiehen arvostusta eri sukupuolten välillä vertailtiin riippumattomien otosten t-testillä. Tutkimukseen osallistui 233 miestä ja 126 naista. Tulokset osoittivat että miesten (M = 4.2, SD = .67) ja naisten (M = 3.9, SD=1.02) välillä on tilastollisesti merkitsevä ero sen suhteen, kuinka esimiehen arvostus omaa työtä kohtaan koetaan, t(357) = -2.26, p = .03.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysRiippumattomien otosten t-testi
• Effect size (efektikoko)– Tuloksilla on tilastollinen ja tieteellinen
merkitsevyys.– Cohen (1988) ehdottaa tieteellisen
merkitsevyyden arviointia seuraavien tilastollisten arvojen perusteella:
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysTieteellinen merkitsevyys
• Effect size (efektikoko)– Koska edellä suoritettiin t-testi, tieteellisen
merkitsevyyden arviointi voidaan suorittaa etan neliön (2) avulla:
2 =t2
t2 + (N1+N2-2)
.01 = small effect
.06 = moderate effect
.14 = large effect
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysTieteellinen merkitsevyys
2 =-2.262
-2.262 + (233+126-2)
.01 = small effect
.06 = moderate effect
.14 = large effect
= .01
t(357) = -2.26, p = .03
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysTieteellinen merkitsevyys
• Esimiehen arvostusta eri sukupuolten välillä vertailtiin riippumattomien otosten t-testillä. Tutkimukseen osallistui 233 miestä ja 126 naista. Tulokset osoittivat että miesten (M = 4.22, SD = .67) ja naisten (M = 3.87, SD=1.02) välillä on tilastollisesti merkitsevä ero sen suhteen, kuinka esimiehen arvostus omaa työtä kohtaan koetaan, t(357) = -2.26, p = .03. Tulos on kuitenkin tilastollisesta merkitsevyydestä huolimatta Cohenin (1988) mukaan efektikooltaan pieni, 2 = .01.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysRiippumattomien otosten t-testi
• Perustuvat järjestykseen (rank), testaavat kahden mediaanin eron tilastollista merkitsevyyttä.– Mittaustasovaatimuksena järjestysasteikko.– Testattavien jakaumien tulee olla saman muotoisia
(mutta ei normaalijakautuneita).
• Käytetään kun t-testin edellytykset eivät ole voimassa muuttujamuunnoksenkaan jälkeen.– Epäparametriset testit sopivat t-testiä paremmin
pienelle otoskoolle (esim. alle 50 havaintoa).
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysMann-Whitney U, Wilcoxon W
• Mann-Whitney U– Lasketaan kuinka monta kertaa pienemmän
otoskoon havainto on järjestyksessä suurempi kuin suuremman otoskoon havainto.
• Wilcoxon W– Lasketaan järjestämällä kahden otoksen
yhteen liitetyt havainnot ja selvittämällä pienemmän otoksen järjestyslukujen summa.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysMann-Whitney U, Wilcoxon W
• Erityispiirteitä:– Summaavat vakioon
– Samat z arvot
U + W =m(m + 2n + 1)
2
m pienemmänryhmän havainnot
n suuremman ryhmän havainnot
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysMann-Whitney U, Wilcoxon W
SEX, v21,1,2,2,2,4,4,5 (0 = _ )
0= = = 2,75
1= = = 6,25
114
254
1,5+1,5+4+44
4+6,5+6,5+84
U = N1N2+ -T1= 26-25=1 N1(N1+1)
2
• Onko naisten ja miesten välillä eroa esimiehen arvostuksen suhteen?
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysMann-Whitney U, Wilcoxon W
• Paired-samples t-test, repeated measures– Samasta otoksesta kerätään dataa useita
kertoja (eri olosuhteissa, eri aikoina).
• Pre-test – post-test –asetelmat– Mittaus 1 – KOE – mittaus 2
• Matched pairs –asetelmat– Testataan uutta opetusmenetelmää kahdessa
ryhmässä (toinen on kontrolli- ja toinen koeryhmä).– Ryhmien jäsenet on valittu ”pareittain”
koulumenestyksen ja sukupuolen perusteella.– Jakson lopussa molemmat ryhmät tekevät saman
testin, suorituksia verrataan pareittain.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysRiippuvien otosten t-testi
t(6)=.733, p=.491t = 3.29 11.856
7
t(6)=-2.52, p=.045t = -3.42863.59894
7
Matched pairs -asetelma
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysRiippuvien otosten t-testi
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysWilcoxon signed rank -test
• Testaa nollahypoteesina sitä, että ryhmien välillä ei ole eroja = kunkin vastaajan arvot ovat sattumanvaraisia.
• Testin arvot jakautuvat 2 –jakauman tavoin.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysFriedmanin testi
• Kuutta opiskelijaa pyydettiin asettamaan kolme eri karkkilajiketta paremmuusjärjestykseen (1,2,3).
• Onko karkkilajikkeiden välillä eroja?
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysFriedmanin testi
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysFriedmanin testi
• Testataan yhden näytteen poikkeamaa populaation oletetusta arvosta:– Kahden kontrolliryhmän (peruskoulun 5 lk.)
keskiarvo tietokoneenkäyttötaitoa mittaavassa testissä on 32 pistettä. Sama testi suoritetaan tietokoneiden opetuskäytön mahdollisuuksia tutkivan kokeilukoulun viidesluokkalaisille. Tutkija haluaa selvittää poikkeaako kokeilukoulun 39 pisteen keskiarvo merkittävästi kontrollikoulujen keskiarvosta.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysYhden otoksen t-testi
H0: = 100
Keskimääräinen älykkyysosamäärä on tutkimustulosten mukaan 100. Tämän kurssin keskiarvo on 120,7. Ovatko kurssilaisetkeskimääräistä älykkäämpiä?
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysYhden otoksen t-testi
• Tilastokurssin opiskelijoiden standardoidun älykkyystestin pistemäärää verrattiin yliopisto-opiskelijoiden keskimääräiseen älykkyystestin pistemäärään. Tulokset osoittivat että kurssin opiskelijoiden testin mittaama älykkyys (M = 120.7, SD = 23.77) on keskimääräistä (M = 100.0) korkeampi, mutta ero ei ole tilastollisesti merkitsevä, t(6) = 2.31, p = .06.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyysYhden otoksen t-testi
Lähteet
Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences. Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Cronbach, L. J. (1951). Coefficient alpha and the internal structure of tests. Psychometrika, 16, 297-334.
Gulliksen, H. (1950). Theory of Mental Tests. New York: John Wiley & Sons.
Howell, D. (1997). Statistical Methods for Psychology. Belmont, CA: Wadsworth Publishing Company.
Lähteet
Kuder, G. F., & Richardson, M. W. (1937). The theory of the estimation of test reliability. Psychometrika, 2, 151-160.
Metsämuuronen, J. (2003). Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä. Helsinki: International Methelp Ky.
Nummenmaa, L. (2009). Käyttäytymistieteiden tilastolliset
menetelmät. Ensimmäinen painos, uudistettu laitos. Helsinki:
Tammi.Pierce, C. A., Block, R., & Aguinis, H. (2004). Cautionary note on
reporting Eta-squared values from multifactor ANOVA designs. Educational and Psychological Measurement, 64(6), 916-924.
Tabachnick, B ., & Fidell, L. (1996). Using Multivariate Statistics. Third Edition. New York: HarperCollins.