Download - Laporan Modul 2a
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Statistika merupakan alat dan juga metode analisis yang dipakai untuk
mengevaluasi data yang pada akhirnya akan diperoleh suatu kesimpulan dari
data penarikan contoh yang ada. Dari semua alat analisis , konep peluang
merupakan salah satu alat analisis yang sangat penting, karena dalam ilmu
statistik teori peluang banyak digunakan untuk memecahkan masalah.
Jika seseorang mengunjungi supernmarket dan membeli sepuluh kaleng
minuman segar yang harganya Rp. 3.300,00 per kaleng ia dapat memastikan
dengan mudah bahwa ia harus membayar sebesar Rp. 33.000,00 untuk
kesepuluh minuman kaleng tersebut. Akan tetapi sebaliknya , seorang manager
department store dihadapkan pada masalah ketidakpastian yakni ia tidak dapat
menentukan dengan pasti berapa kaleng minuman segar terjual pada hari itu.
Berapakah pendapatan yang akan diperoleh dari hasil penjualan barang, tidak
dapat ia nyatakan dengan tepat.
Teori peluang merupakan teori yang banyak digunakan dalam kehidupan
sehari hari seperti memilih buah dalam tumpukan buah, dalam kondisi itu ada
puluang terambilnya buah yang bagus maupun yang kurang bagus. Contoh lain
adalah dalam saat kita mengerjakan soal pilihan ganda, diberikan 4 pilihan
jawaban, kemungkinan terpilihnya jawaban yang bener adalah 1 : 5.
Kasus seperti diatas merupakan bentuk ketidakpastian, Ketidakpastian
ini hanya bisa diukur , digeneralisir atau dikuantisasi dengan konsep peluang.
Setiap peristiwa dan peluang dapat ditabulasi. Jika daftar tabulasi setiap
peristiwa yang mungkin terjadi dan memberikan kemungkinan pada setiap
peristiwanya maka daftar itu disebut distribusi kemungkinan. Dengan demikian
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 1
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
distribusi kemungkinan adalah daftar dari semua kemungkinan hasil atau
peristiwa yang mungkin terjadi , disertai kemungkinan terjadinya peristiwa
tersebut.
.
Dalam hal ini, akan dipelajari mengenai peluang yang berbicara
mengenai bagaimana suatu kejadian dapat diperkirakan hasilnya. Pembuatan
laporan ini ditujukan untuk mengasah kompetnsi mahasiswa dalam hal peluang.
Diharapkan pembuatan laporan ini dapat membantu mahasiswa dalam
memahami aplikasi peluang pada data – data yang sudah tersedia.
Pada praktikum teori peluang kita dihadapkan dalam suatu skenario yang
diharuskan dapat mengetahui dan menganalisa kondisi yang terjadi dalam
skenario tersebut. Dalam praktikum teori peluang ini mengenalkan bagaimana
cara menerapkan rumus kombinasi, permutasi, dan variansi dalam aplikasi
dalam kehidupan sehari hari.
1.2 TUJUAN PRAKTIKUM
Tujuan praktikum modul 2A Teori Peluang adalah:
1. Mampu memahami konsep teori peluang.
2. Memahami konsep teori distribusi peluang
3. Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial
4. Memahami konsep harapan matematik, variansi dan kovariansi, serta
teorema Chebysev
5. Mampu menyelesaikan permasalahan dengan konsep ilmu peluang.
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 2
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
1.3 PEMBATASAN MASALAH
Pada praktikum teori peluang dimana kelompok kami mendapat permasalahan
pada skenario 13 yaitu dalam skenario tersebut ada suatu kejadian dimana praktikan di
tuntut untuk menganalisis kondisi kondisi yang terjadi dalam skenario tersebut. Pada
skenario 13 menceritakan tentang pengujian kualitas pensil kayu oleh Rani dimana
terdapat 7 buah pensil kayu dalam 1 kemasan dan alat penguji pensil kayu hanya dapat
memuat 2 pensil kayu dalam 1 kali pengujian.
1.4 METODOLOGI PRAKTIKUM
Metodologi Praktikum Modul 2A Teori Peluang adalah sebagai berikut :
Gambar 1.1 Flowchart Metodologi Praktikum
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 3
Kesimpulan dan saran
Analisa
Pengolahan Data
Pengumpulan
Studi Pustaka
Identifikasi
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
1.5 SISTEMATIKA PENULISAN
Sistematika Penulisan Laporan Modul 2A Teori Peluang adalah sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN
Berisi tentang latar belakang, tujuan praktikum, pembatasan
masalah,metodologi praktikum dan sistematika penulisan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Berisi tentang dasar teori peluang dan formula yang digunakan dalam
pengolahan data antara lain adalah Peluang, Permutasi, Kombinasi,
Distribusi Peluang, dan Harapan Matematis.
BAB III PENGUMPULAN DATA DAN PENGOLAHAN DATA
Berisi data – data yang diperoleh pada saat praktikum pengambilan
kartu Bridge dan dilanjutkan dengan pengolahan data sehingga
mendapatkan output yang dituju.
BAB IV ANALISIS DATA
Berisi tentang analisis dari hasil pengolahan data.
BAB V PENUTUP
Berisi tentang kesimpulan dan saran.
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 4
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 PELUANG
Probabilitas adalah proporsi yang muncul dalam jangka panjang bila
percobaaan ini diulang secara terus menerus dalam arti kataukuran contoh
bertambah besar .
(Wonnacott,1989)
Sedangkan Papoulis menyatakan bahwa probabilitas mempelajari rata-
rata gejala massa yang terjadi secara berurutan atau bersamaan seperti pancaran
electron, hubungan telefon, deteksi radar, pengendalian kualitas, kegagalan
system, mekanikan statistika, turbulen gangguan, laju natalitas dan mortalitas
serta teori antrian.
(Papoulis,1984)
Tujuan dari teori probabilitas itu sendiri adalah untuk menggambarkan
dan menaksir rata-rata sedemikian itu dalam bentuk probabilitas peristiwa.
Probabilitas peristiwa A adalah bilangan P(A) yang ditetapkan bagi peristiwa
tersebut. Bila suatu kejadian dapat terjadi melalui n cara yang saling terputus
dan jika n hasil percobaan memiliki suatu cirri tertentu A, maka peluang
kejadian A adalah m/n.
(Steell,1995)
Probabilitas didefinisikan sebagai bagian dimana pembilangnya adalah
jumlah kejadian yang diharapkan dan penyebutnya adalah jumlah kejadian yang
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 5
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
diharapkan dan penyebutnya adalah jumlah kejadian yang mungkin terjadi atau
digunakan jika dua kejadian terkait yang mana jika suatu kejadian telah terjadi
maka kejadian yang lain dapat terjadi. Teori probabilitas berkembang dari
permainan peluang yang dilakukan oleh penjual untuk memperkirakan peluang
untuk kemenangannya dan mungkin merupakan dasar untuk menentukan nisbah
yang diharapkan dari tipe-tipe persilangan genotip yang berbeda. Penggunaan
teori ini memungkinkan kita untuk menduga kemungkinan diperolehnya suatu
hasil tertentu dari persilangan tersebut .
(Dwijoseputro,1977)
Secara sederhana, Peluang adalah hasil perbandingan antara nilai
percobaan dengan seluruh ruang sampel. Percobaan adalah suatu proses yang
menghasilkan data, sedangkan Ruang Sampel adalah suatu himpunan yang
mencakup seluruh kemungkinan hasil dari suatu percobaan
Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu
percobaan,dan untuk ruang sampel dilambangkan dengan huruf S. Setiap
kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel disebut unsure atau anggota ruang
sampel.
(Walpole,1995)
Kejadian adalah suatu himpanan bagian dari ruang contoh. Bila diketahui
ruang contoh S = {tlt ≥ 0},sedangkan t adalah umur(tahun) komponen elektronik
tertentu,maka kejadian A yaitu komponen tersebut rusak sebelum akhir tahun
kelima dapat dinyatakan sebagai himpunan A = {tl0 ≤ t < 5}.Himpunan A
merupakan himpunan bagian ruang cotoh S.
Kesimpulan yang dibuat mengenai sesuatu hal umumnya diharapkan
berlaku untuk hal itu secara keseluruhan dan bukan hanya untuk sebagian saja.
Jika dikatakan: 20 % mahasiswa di Indonesia berasal dari keluarga
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 6
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
berpenghasilan rendah, maka pernyataan ini berlaku umum untuk seluruh
mahasiswa di Indonesia ditinjau dari segi ekonomi keluarganya dan bukan
hanya untuk sekelompok mahasiswa saja. Untuk sampai kepada pernyataan
demikian, diperlkan data mentah yang bisa dikumpulkan dengan dua jalan:
Semua orang tua mahasiswa beserta karakteristiknya yang
diperlukan (dalam hal inikeadaan ekonomi keluarga), diteliti atau
dijadikan obyek penelitian.
Sebagian saja dari semua orang tua mahasiswa yang dikenai
penelitian.
Dalam hal pertama, sensus telah dilakukan sedangkan dalam hal kedua,
penelitian telah dilakukan secara sampling. Totalitas semua nilai yang mungkin,
hasil menghitung ataupun pengukuran, kuantitatif maupun kualitatifmengebai
karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang
ingin dipelajari sifat-sifatnya, dinamakan populasi. Adapun sebagian yang
diambil dari populasi disebut sampel.
(Sujana, 2002)
Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatansama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil
yang merupakan kejadian A, makapeluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus :
P ( A )= kn
. . . . . .. . . . . . . .(1)
Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan
peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah
n x P( A ).
Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 7
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian
pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A,
maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
P ( Ac )=n−kn
=1− kn=1−P ( A ) ↔ P ( A )+P ( Ac )=1 . . . . . .. . . . . . . .(2)
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang
hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peubah Acak dan Distribusi Peluang
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika
X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan
berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah
acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y
disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan
bilangan real R, untuk setiap a ,b , c ∊ Rdan setiapA⊂R maka:
(i)P(x=a) merupakan P ({x∨x∈S dan X ( x )=a })
(ii) P(x ≤ a)merupakan P ({x∨x∈S dan X ( x )≤ a })
(iii)P(x>a) menyatakan P ({x∨x∈S dan X ( x )>a })(iv)P(b<x<c)menyatakanP ¿
(v)P(x∈a)menyatakanP ({x∨x∈S dan X ( x )∈a })
Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi
masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang
ditentukan dengan rumus berikut :
{f ( X )=P (x=x ) , untuk x∈ XCSf ( x )=0untuk x∉ XCS
. . . . . .. . . . . . . .(3)
Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 8
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
P ( A∪B )=P ( A )+P(B)P( A ∩ B) . . . . . .. . . . . . . .(4)
Catatan :P( A∪B) dibaca “ Kejadian A atau B dan P( A ∩ B)dibaca
“Kejadian A dan B”
Kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku
P ( A∪B )=P ( A )+P (B )−P( A ∩ B) . . . . . .. . . . . . . .(5)
JikaA ∩ B=∅ , .P ( A ∩B )=0.Sehingga
P ( A∪B )=P ( A )+P(B) . . . . . .. . . . . . . .(6)
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan
sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika P( A ∩ B)adalah
peluang terjadinya A dan B, maka
P ( A ∩B )=P(B)× P (A∨B) . . . . . .. . . . . . . .(7)
Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
Diagram Venn
Diagram Venn adalah diagram yang ditetapkan menampilkan semua
hubungan logisyang mungkin antara koleksi terbatas set(agregasi hal). Diagram
Vennyang dikandung sekitar tahun 1880oleh JohnVenn, dalam tulisannya yang
berjudul On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions
and Reasonings yang diterbitkan pada Philosophical Magazine and Journal of
Science S. 5. Vol. 9. No. 59. Juli 1880.nMereka digunakanuntuk
mengajarmenetapkan teoridasar,sertamenggambarkanhubungandiatursederhana
dalamprobabilitas, logika, statistik, linguistik dan ilmu komputer.
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 9
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Gambar 2.1 Diagram Venn
Dalam Ruang sampel ada 2 kejadian yang dapar terjadi, yaitu irisan dan
gabungan. Irisan kejadian A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya
merupakan anggota kejadian A dan sekaligus merupakan anggota kejadian B.
sedangkan, Gabungan kejadian A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-
anggotanya merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota
persekutuan A dan B.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram)
2.2 PERMUTASI
Permutasi merupakan penyusunan obyek-obyek yang ada ke dalam suatu
urutan tertentu. Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa
obyek-obyek yang ada harus dapat “dibedakan” antara yang satu dengan lain.
Permutasi dapat dirumuskan : nPx = (n!)/(n-x)! ; dimana n = banyaknya
seluruh obyek, dan x = banyaknya obyek yang dipermutasikan.
Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol. Jika nilai x < n disebut
dengan Permutasi Sebagian Obyek. Jika nilai x = n, maka disebut Permutasi
Seluruh Obyek, sehingga rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi : nPx =
n! .
(Santoso,2009)
Kaidah 1 :
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 10
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda adalah n ! (baca n faktorial)
adalah :
n ! = n × (n-1) × (n-2) …. × (2) × (1) . . . . . . . . . . . . . .(8)
Kaidah 2 :
Banyaknya permutasi akibat pengambilan r objek dari n objek yang berbeda
adalah :
n Pr=n!
(n−r )! . . . . . . . . . . . . . . (9)
Kaidah 3 :
Banyaknya permutasi yang berbeda dari n objek yang n1 diantaranya berjenis
pertama, n2 berjenis kedua, ... , nk berjenis ke-k adalah :
n !n1 !n2 ! . . .nk ! . . . . . . . . . . . . . . (10)
Kaidah 4 :
Banyaknya cara menyekat sekumpulan objek ke dalam r sel, dengan n1 dalam
sel pertama, n2 unsur dalam sel kedua demikian seetrusnya adalah :
(n1 , n2 ,. . . , nr
n )= n!n1 !n2 ! .. . nr !
. . . . . . . . . . . . . . . (11)
(http://id.wikipedia.org)
2.3 KOMBINASI
Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi terletak pada masalah
“urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok obyek. Dalam permutasi
masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting, sedangkan dalam
kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan dari sekelompok obyek
tersebut.
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 11
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi
untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi
merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak
memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil
kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n :
banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang
dikombinasikan. Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1.
(Santoso,2009)
Dari sebuah himpunan yang memiliki n elemen, banyaknya kombinasi
yang berukuran (kombinasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai C(n,r) atau
nCr atau nCr.
Rumusnya adalah :
C(n,r) = nCr = nCr = n!
r! (n - r)! . . . . . . . . . . . . . .(12)
dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1
Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian perkalian antara
banyaknya kombinasi suatu kumpulan obyek dengan banyaknya kombinasi dari
obyek lainnya. Formulasi untuk mencari kombinasi dari kombinasi adalah
sebagai berikut : nCx . mCy = (n!)/(x!(n-x)!) . (m!)/(y!(m-y)!).
Koefisien binomial dan multinomial
Nilai ( nr ) atau (
nr , n−r
) sebetulnya merupakan koefisien binomial.
Secara aljabar, (p + q)2 = (p + q) (p + q) = p2 + 2pq + q2. Koefisien tiap suku
dalam penguraian binomial demikian dapat diperoleh dengan cara menghitung
tiap kombinasinya. Koefisien p2 = ( 22
) = ( 20
) = 1, koefisien pq = ( 21
) = 2 dan
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 12
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
koefisien q2 = ( 20
) = ( 22
) = 1. Alhasil, secara keseluruhan (p+q)2 dapat diuraikan
dengan koefisiennya sebagai kombinasi ( nr ) atau (
nr , n−r
).
( Simbolon,, 2009)
2.4 HARAPAN MATEMATIS
Jika X menyatakan suatu variabel acak diskrit yang dapat mengambil
nilai x1, x2, x3, …,xn yang masing-masing mempunyai probabilitas f(x1), f(x2) ,
f(x3)…., f(xn), maka nilai harapan dari X yang dinyatakan sebagai E(X)
didefinisikan sebagai:
E( X )=∑x
x f (x ) . . . . . .. . . . . . . .(13)
Untuk suatu variabel acak kontinu X yang dapat mengambil setiap nilai
x yang memiliki probabilitas f(x) dx, nilai harapan dinyatakan sebagai
E( X )=∫ ∞−∞
x. f ( x ) dx . . . . . .. . . . . . . .(14)
Dari kedua persamaan di atas maka dapat dipahami bahwa nilai harapan
E(x) merupakan mean aritmatika dari variabel X.
( Walpole, 1995)
Variansi
Rataan atau nilai harapan suatu peubah acak X mempunyai peran khusus
dalam statistika karena menggambarkan letak pusat distribusi peluang. Akan
tetapi, rataan itu sendiri tidaklah memberikan keterangan cukup mengenai
bentuk distribusinya. Keragaman distribusi perlu dicirikan.
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 13
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang f(x) dan rataan
µ.Variansi X adalah :
σ2 = E[(X - µ)2] = ∑x
(x−µ )2 f (x) . . . . . . . . . . . . . .(15)
bila X diskret,
σ 2=E [ ( X−µ )2 ]=∫−∞
∞
( x−µ )2 f ( x ) dx . . . . . . . . . . . . .(16)
bila X kontinu.
Akar positif variansi, σ, disebut simpangan baku X.
Rumus σ2 lain, yang sering digunakan dan lebih mudah, adalah:
σ 2=E ( x2 )−µ2 . . . . . . . . . . . . . .(17)
(Walpole, 1995)
Kovariansi
Kovariansi antara dua peubah acak adalah ukuran sifat asosiasi
(hubungan) antara keduanya.
Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan
gabungan f(x,y). Kovariansi X dan Y adalah :
σ xy=E [ ( X−µx ) ( Y−µy ) ]=∑x∑
y( x−µx ) ( y−µ y) f (x , y ) . . . . . . . .(18)
bila X dan Y diskret,
σ xy=E [ ( X−µx ) ( Y−µy ) ]=∫−∞
∞
∫−∞
∞
( x−µx) ( y−µ y) f (x , y ) dxdy. . ..(19)
bila X dan Y kontinu.
Rumus lain untuk σ xy yang lebih berguna yaitu :
Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataan, masing-masing, µx
dan µydiberikan oleh
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 14
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
σ XY=E ( XY )−µx µy . . . . . . . . . . .(20)
(Walpole, 1995)
2.5 TEOREMA CHEBYSEV
Telah kita ketahui bahwa variansi suatu peubah acak memberikan
gambaran mengenai penyebaran pengamatan disekitar nilai tengahnya. Bila
variansi ataupun simpangan baku suatu peubah acak kecil nilainya maka
umumnya pengamatan mengelompokkan dekat disekitar nilai
tengahnya,sebaliknya jika variansi ataupun simpangan bakunya semakin besar
nilainya maka umumnya pengamatan lebih menyebar /jauh dari nilai
tengahnya. Keadaan ini berlaku pada sebaran diskret maupun kontinu.
Perbandingan tersebut dapat digambarkan dengan kurva berikut :
Gambar 2.2 Gambar penyebaran pengamatan peubah acak kontinu disekitar
nilai tengah disini αx<αy
Chebyshev,seorang matematikawan berkebangsan rusia menemukan
bahwa bagian paling luas dua nilai tengahnya berkaitan denagn simpangan
bakunya. Karena luas dibawah sebaran peluang peubah acak sama denagn 1
maka luas antara bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang
bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut .
Teorema Chebyshev menyatakan bahwa peluang setiap peubah acak X
mendapat nilai k simpangan baku dari nilai rata-rata adalah paling sedikit
(11/k2) yaitu :
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 15
y1 y y2μx1 x x2μ
yαxα
YX
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
P(μ – kα <X<μ+kα≥1-1/k2 . . . . . . . . . . . . . .(21)
Teorema tersebut memberikan taksiran yang berhati-hati (konservatif)
tentang peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak kesimpangan
baku dari harga rata-rata.
(Sampurna, 2007)
BAB III
PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA
3.1 PENGUMPULAN DATA
Skenario yang digunakan oleh kelompok 34 adalah skenario 13
3.1.1 Kasus 1
Pengambilan 4 pensil kayu dari sebuah kotak yang berisi 7 pensil kayu
yang diberi label 1 hingga 7. Pensil yang terambil adalah pensil kayu
yang berlabel 5, 2, 6, dan 7. Dimana banyak pilihan yang dilakukan oleh
Rani tersebut dari 4 pensil kayu yang ada dengan memperhatikan
prioritas pemasangan pensil kayu pada alat penguji (permutasi).
3.1.2 Kasus 2
Pengambilan 4 pensil kayu dari sebuah kotak yang berisi 7 pensil kayu
yang diberi label 1 hingga 7. Pensil kayu yang terambil adalah pensil
berlabel 5,2,6,7. Dimana banyak pilihan yang dilakukan oleh Rani
tersebut dari 4 pensil kayu yang ada tanpa memperhatikan prioritas
pemasangan pensil kayu pada alat penguji (kombinasi).
3.1.3 Kasus 3
Terdapat 7 pensil kayu didalam kemasan. Didalam kemasan tersebut
terdapat 3 buah pensil yang tidak dalam keadaan baik.
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 16
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
a) Peluang terambilnya pensil yang pertama rusak atau yang rusak
keduanya
b) Kemungkinan terjadi dua pensil cacat terambil berurutan
c) Peluang jika salah satu pensil yang terambil adalah pensil yang
berlabel 2 dan jika diketahui pensil yang terambil lainnya
berlabel 5
3.1.4 Kasus 4
Diketahui bahwa pada 7 buah pensil dalam kemasan terdiri dari 3 pensil
dalam keadaan buruk dan 4 pensil lainnya dalam keadaan baik.
a) Dari kejadian pengambilan tersebut dapat dicari distribusi
peluang pensil yang dalam keadaan baik.
b) Nilai harapan mengambil pensil yang cacat
c) Besar keragaman dari kondisi atau kejadian tersebut
d) Sifat hubungan antara terambilnya pensil-pensil tersebut
e) Dengan distribusi yang belum diketahui hitunglah pula P (0<x<2)
dari nilai rataan 1 dan variansi 0,7 pensil kayu tersebut
3.2 PENGOLAHAN DATA
3.2.1 Kasus 1
Minitab
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 17
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Gambar 3.1 Perhitungan Permutasi dengan Software Minitab 15
SSP
Gambar 3.2 Perhitungan Permutasi dengan Software SSP
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 18
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Excel
Gambar 3.3 Perhitungan Permutasi dengan Excel
Manual
P24 =
4 !(4−2 ) ! =
4 !2 !
= 4.3 .2!
2! = 12
3.2.2 Kasus 2
Minitab
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 19
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Gambar 3.4 Perhitungan Kombinasi dengan Software Minitab 15
SSP
Gambar 3.5 Perhitungan Kombinasi dengan Software SSP
Excel
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 20
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Gambar 3.6 Perhitungan Kombinasi dengan Excel
Manual
C24 =
4 !(4−2 ) !2!
= 5 !
2! .2 ! =
4.3 .2!2 ! .2 !
=122.1
=6
3.2.3 Kasus 3
Tabel 3.1 Ruang Sampel dari Pengambilan 2 Pensil Kayu
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
3.1 3.2 3.4 3.5 3.6 3.7
4.1 4.2 4.3 4.5 4.6 4.7
5.1 5.2 5.3 5.4 5.6 5.7
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.7
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
N= 42 kejadian
a) A= Pensil yang pertama cacat
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 21
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
P(A) =P ( A )= kn
= 1242
B= Pensil yang keduanya cacat
P(B) =P (B )= kn
= 6
42
P( A∪B )=P ( A )+P (B )=¿ 1242
+¿ 6
42 =
1842
b) Peluang terambilnya dua pensil cacat berurutan
Minitab
Gambar 3.7 Perhitungan Permutasi dengan Minitab
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 22
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
SSP
Gambar 3.8 Perhitungan Permutasi dengan SSP
Excel
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 23
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
Gambar 3.9 Perhitungan Permutasi dengan Excel
Manual
P24 =
4 !(4−2 ) ! =
4 !2 !
= 4.3 .2!
2! = 12
c) A = Pensil yang terambil berlabel 2
B = Pensil yang terambil berlabel 5
P ( A|B )= P(B ∩ A )P(B)
=
242642
=26
3.2.4 Kasus 4
a) Distribusi peluang pensil kayu dalam keadaan buruk yang
diambil 2 dari 7 pensil kayu didapatkan 3 pensil dalam keadaan
buruk. Sedangkan pensil yang dalam keadaan baik ada 4 buah
pensil kayu. Misalkan x peubah acak dengan nilai x kemungkinan
banyaknya mata yang cacat, maka x dapat memperoleh setiap
nilai 0,1, dan 2.
f(0) = P (x=0) = (30)(4
2)(72)
= 1× 12
21 =
621
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 24
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
f(1) = P (x=1) = (31)(4
1)(72)
= 3× 421
= 1221
f(2) = P (x=2) = (32)(4
0)(72)
= 3× 121
= 3
21
Tabel 3.2 Hasil Distribusi Peluang
x f(x) fk
0 621
621
1 1221
1821
2 321
2121
b) Harapan matematis terambilnya bohlam yang rusakNilai harapan:
μ=Ex=∑x
xf ( x )
¿0. f (0 )+ (1 ) . f (1 )+(2 ) . f (2 )
= 0 ×6
21+1×
1221
+2×3
21
= 1821
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 25
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
c) Variansi dalam pengambilan bohlam
σ 2= ∑x=2
2
(x−μ)2 f (x)
= (0−1821
)2
( 621 )+(1−18
21)
2
( 1221 )+(2−18
21)
2
( 321 )
σ=√ 2049
d) Sifat hubungan antara terambilnya pensil-pensil tersebut
σ xy=E ¿
Tabel 3.2 Kovariansi
f (x , y ) x=¿
0
x=¿
1
x=¿
2
y=¿0 - - 621
y=¿1 - 1221
-
y=¿2 321
- -
E ( x , y )=∑x=0
2
∑y=0
2
xy f ( x )
¿ (0 ) (2 ) f (0,2 )+(1 ) (1 ) f (1,1 )+ (2 ) (0 ) f (2,0)
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 26
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
¿ (0 ) (2 )( 321 )+(1 ) (1 )( 12
21 )+(2 ) (0 )( 621 )
¿1221
E ( x )=∑x=0
2
(x )(g (x))
¿ (0 ) ( f (0 ) )+(1 ) (f (1 ) )+(2 ) ( f (2 ))
¿ (0 )( 621 )+ (1 )( 12
21 )+ (2 )( 321 )
¿1221
E ( x )=∑x=0
2
( y )(g( y ))
¿ (2 ) (f (0 ) )+ (1 ) ( f (1 ) )+(0 ) ( f (2 ))
¿ (2 )( 621 )+(1 )( 12
21 )+(0 )( 321 )
¿2421
σxy¿ E ( x , y )−E (x ) E ( y )
¿ 1221
−( 1821 )( 24
21 ) ¿ −2049
e) Dengan distribusi yang belum diketahui hitunglah pula P (0<x<2)
dari nilai rataan 1 dan variansi 0,7 pensil kayu tersebut adalah :
P ( μ−kσ<x<μ+kσ )≥ 1− 1
k 2
P ¿
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 27
Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang
Kelompok 34
BAB V
PENUTUP
5.1 KESIMPULAN
5.2 SARAN
Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 28