Introduzione alla Meccanica Quantistica II

Fedele Lizzi

Università di Napoli Federico II

Riassunto della puntata precedente

• Abbiamo visto come all’inizio del secolo scorso una serie di esperimenti mettevano in crisi le convinzioni consolidate della fisica classica che aveva funzionato tanto bene per tre secoli

• La fisica Newtoniana che descriveva le particelle e le equazioni di Maxwell che descrivevano l’andamento dei campi elettromagnetici sembrano totalmente inadeguati alla descrizione dei nuovi fenomeni

Corpo Nero

• La fisica classica ne da una descrizione lontanissima dai dati sperimentali, e per giunta internamente inconsistente

• La teoria si sposa perfettamente con id ati se si ipotizza che gli scambi di energia ad una certa frequenza avvengano in multipli di = h

Effetto fotoelettrico e effetto Compton

• La fisica classica non riesce a spiegarli con la natura ondulatoria della luce

• Entrambi i fenomeni si spiegano perfettamente assumendo che la radiazione elettromagnetica sia composta da “quanti”, unità discrete proporzionali alla frequenza e di energia = h

Gli elettroni

• Gli elettroni sono delle particelle, nel senso che hanno una carica ed una massa ben definite, e si comportano come particelle a tutti gli effetti

• Ma si comportano anche come onde, formando figure di interferenza del tutto simili a quelle formate dala luce, a parte la differente lunghezza d’onda

In effetti ancor prima dell’esperimento della diffrazione

degli elettroni:• Nel 1924 il giovane aristocratico francese

Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7eme duc de Broglie ha una buona idea…

• Ipotizza che se la luce ha una natura corpuscolare allora anche le particelle possono avere una natura ondulatoria

• Con una lunghezza d’onda: λ = h/q = h/mv

Un successo della fisica teorica

• L’ipotesi di de Broglie viene fatta prima degli esperimenti di Thomson e Davisson-Germer che provano la diffrazione degli elettroni

• Quella che inizia a farsi strada e’ l’ipotesi che la materia e la radiazione a piccole distanze si comporti in maniera non descrivibile dalla fisica classica

• Il parametro h gioca un ruolo simile (ma non identico) a quello che in relativita’ speciale gioca 1/c, l’inverso della velocita’ della luce.

Il posto in cui guardare sono gli atomi

• Da non molto tempo si era iniziato a guardare “dentro” gli atomi attraverso gli esperimenti di Rutherford

• Gli atomi sembravano quindi composti da un nucleo centrale che conteneva una carica positiva e praticamente tutta la massa dell’atomo

Modello atomico di Rutherford

Il modello planetario

• Il modello sembra riprodurre in piccolo le caratteristiche di un sistema solare, ma ci sono anche molte differenze

• I pianeti non sono tutti uguali, gli elettroni si’

• I pianeti si attraggono fra di loro, gli elettroni si respingono

• Il rapporto fra la massa del nucleo e la massa dell’elettrone e’ di circa 2000 volte il numero atomico, il rapporto fra la massa del sole e la massa di Giove e’ circa mille, ma Sole/Plutone e’ dieci milioni e Sole/Terra e’ un milione

• Il rapporto fra raggio del sole e orbita di Plutone e’ circa 10000, simile al rapporto fra raggio del nucleo e raggio dell’atomo

La differenza fondamentale e’ quella fra forza elettromagnetica e

forza gravitazionale• C’è un fondamentale differenza fra la forza

gravitazionale e la forza elettromagnetica• Una carica in movimento irraggia, ovvero emette

radiazione. Questo e’ dovuto al fatto che non esiste solo la forza elettrostatica, ma anche la componente magnetica

• Emettendo radiazione perde energia, rallenta, l’orbita si fa più stretta…

• Cade sul nucleo! In miliardesimi di miliardesimi di secondo!

Le righe spettrali

• In effetti gli elettroni all’interno degli atomi possono emettere radiazione e cambiare la loro orbita

• Ma non lo fanno in maniera continua (rallentando progressivamente), invece saltano da una orbita all’altra emettendo un “quanto” di energia.

• Quello che si vede sono le righe spettrali

Per un atomo di idrogeno si ha:

Chi non salta un elettrone non è

• Se un gas è riscaldato, emetterà radiazione con un certo “spettro”

• D’altro canto, se mandiamo della radiazione contenente tutte le frequenze su un gas, dall’altra parte vedremo che certe frequenze mancano, sono state assorbite

• Dato che le frequenze sono le stesse, la spiegazione è che gli elettroni saltano da un orbita discreta all’altra.

Gli spettri buoni

• Le righe spettrali identificano in maniera univoca gli elementi

• Le frequenze presenti seguono una certa regolarità, ovvero

• Con

)11

(22 mn

cRh

11.1 mRH

L’atomo di Bohr

• La struttura di atomo proposta da Bohr è simile a quella del suo professore Rutherford

• Ma con una differenza cruciale:• Le orbite degli elettroni sono quantizzate: il

loro momento della quantità di moto deve essere un multiplo di…

• h/2π

La quantizzazione delle onde

• Bohr in effetti stava usando i principi della meccanica ondulatoria dei de Broglie per delle onde che non si propagano ma sono stazionarie

• Se io ho una corda tesa con le estremita’ fisse (come una corda di chitarra) solo certe frequenze sono possibili

Gli elettroni “vibrano”

• Quelle delle corde vibranti e’ solo una analogia, che serve a capire come gli elettroni, che sono al tempo stesso onde e particelle, all’interno dell’atomo possano avere solo delle ben determinate frequenze e lunghezze d’onda

• In particolare l’ ipotesi di Bohr porta, con un semplice calcolo, a spiegare gli spettri delle particelle

Stiamo iniziando a capire qualcosa

• Il fatto che la quantita’

Sia composta tutta da grandezze altrimenti note ci permette di calcolare la costante RH con un ottimo accordo con i dati

20

4

8 h

eme

Ma abbiamo ancora della strada da fare

• Bohr introdusse il principio di complementarieta’ secondo il quale gli aspettti ondulatori e quelli particellari sono complentari, ovvero quendo ne riveliamo uno necessariamente nascondiamo l’altro

• Questa visione e’ in qualche modo superata, gli elettroni si comportano come elettroni il 100% delle volte, obbedendo le loro leggi quantiche

• Siamo noi che per spiegarli talvolta li equipariamo alle palline da tennis e talvolta alle onde del mare o alle onde luminose

Ma che onde sono le particelle?

• Intorno al 1925 si fa un grande passo in avanti con la descrizione dell’equazione che descrive l’andamento ondulatorio della materia

• L’equazione di Schrödinger descrive il comportamento quantistico della materia

Equazioni delle onde

• Una equazione delle onde descrive l’andamento nello spazio e nel tempo di una funzione d’onda Ψ(x,t).

• Se prendiamo le onde su una corda di chitarra la Ψ rappresenta l’altezza della corda rispetto al punto di equilibrio

• Mentre per una particella ci basta dare una posizione (un vettore) ad un istante ben definito

• Per un onda dobbiamo dare una funzione ad un certo istante

Funzione d’onda

• Per esempio l’onda della corda di chitarra e’ descritta dalla funzione

Ψ =A Sen(n x/L) Cos(ω t)

Mentre un’onda che si propaga e’ descritta da

Ψ =A Sen(x/λ + v/λ t)

Equazioni differenziali

• L’equazione che la Ψ della corda di chitarra deve soddisfare e’:

• E i seni e i coseni hanno la caratteristica che la loro derivata seconda e’ uguale a – la funzione originale

2

22

2

2

xv

t

Equazione di Schrödinger

)(

2 2

22

xVxmt

i

L’andamento delle onde di materia descritte da questa equazione ha alcune caratteristiche in comune con le onde di prima, ma anche moltedifferenze

Onde di materia

• Tanto per cominciare la presenza della unita’ immaginaria implica che la funzione di onda Ψ e’ necessariamente una quantita’ complessa

• La presenza della funzione V(x) descrive le forze classiche che agiscono sulla particella/onda

• Anche senza forze la forma delle onde si deforma

La Meccanica quantistica

• Con l’equazione di Schrödinger la meccanica quantistica raggiunge la maturita’ di una teoria compiuta

• In breve tempo si riescono a calcolare gli spettri di vari atomi e di molte molecole

• Si descrivono le interferenze, la diffrazione e i vari esperimenti

• Ci sono ancora alcuni problemi con la radiazione elettromagnetica (particelle senza massa) e la realtivita’, ma i passi in avanti sono clamorosi

Resta da capire una cosa:

• Onde di che?

• Cosa oscilla nell’equazione delle onde di materia?