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7/21/2019 Estructuras Cristalinas. Problemas Resueltos

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Problemas de cristalografía

PROBLEMA 1

El Wolframio cristaliza en el sistema cúbico centrado con un parámetro de reda=316,48 pm y densidad teórica DT=19300 Kg/m

3. Calcular:

a) Masa atómica.

b) Volumen atómico.

c) Radio atómico.

d) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 1>, <1 1 0> y <1 0 0>.

e) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 1), (1 1 0) y (1 0 0).

f) Número de átomos en 1 m3.

a) Masa atómica

La densidad teórica de un cristal es:c A

a

T V N

M n D

⋅

⋅=

Donde n es el número de átomos de W por celdilla (C.C): celd at n /28

181 =⋅+=

Ma es la masa atómica del W, Na el número de Avogadro y Vc el volumen de la celdilla ( a3

).

Despejando Ma:

( )

molgr molKg M

celd at

celd mmolat mKg

n

a N D =

n

V N D = M

a

3 AT c AT

a

/24.184/18424.0

/2

/1048.316/10023.6/19300312233

==

⋅⋅⋅⋅=

−

b) Volumen atómico

La densidad teórica puede ser también expresada como la relación entre masa atómica y

volumen atómico, de donde:

molmmKg

molKg

D

M =V

T

aa /10546.9

/19300

/1024.184 36

3

3−

−

⋅=⋅

=

1




c) Radio atómico

En el sistema C.C. el radio atómico es 1/4 de la diagonal del cubo, por tanto:

pm pma

r a 04.1374

348.3164

3 =⋅=⋅=

d) Densidad atómica lineal

L

atomos N = D > z y x<

º

Dirección <1 1 1>

mat m

átomos

a D /106486.3

31048.316

2

3

2

121

9

12111 ⋅=⋅⋅

=⋅

⋅+=

−><

Dirección <1 0 0>

mat m

átomos

a D /101598.3

1048.316

12

12

9

12100 ⋅=⋅

=⋅

=−><

Dirección <1 1 0>

mat m

átomos

a D /102343.2

21048.316

1

2

2

12

9

12110 ⋅=⋅⋅

=⋅

⋅=

−><

e) Densidad atómica superficial

S

atomos N = D z) y(x

º

2




Plano (1 1 1)

2

ha =S

2

Donde h es la altura del triángulo de este plano que queda dentro de la celdilla.

2

3260sen2 ⋅== aah

La densidad superficial será:

( )

( )218

212111 /107643.5

1048.31632

12

1

2

322

2

1

6

13

mat

m

átomos

aa

D ⋅=

⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

⋅=

−

Plano (1 0 0)

( )( )

218

2122100 /109841.91048.316

14

14

mat m

átomo

a D ⋅=

⋅=

⋅=

−

Plano (1 1 0)

( ) ( )219

212110 /10412.11048.3162

2

24

141

mat m

átomos

aa D ⋅=⋅⋅=⋅

⋅+

= −

f) Número de átomos por m 3

328233

/103094.6/18424.0

/10023.6/19300º mat

molKg

molat mKg

M

N D =matomos/ N

a

aT 3 ⋅=⋅⋅

=

3




PROBLEMA 2

La celdilla elemental del Aluminio es cúbica centrada en las caras. Su masaatómica es 26.97 gr/mol y su densidad 2699 Kg/m

3. Calcular:

a) Masa de un átomo.

b) Número de átomos en 1 mg

c) Número de átomos y moles por m3.

d) Masa de una celdilla unidad.

e) Número de celdillas en 1 gr de metal.

f) Volumen y arista de la celdilla unidad.g) Radio atómico.

h) Factor de empaquetamiento.

i) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 0> y <1 1 1>.

j) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 0) y (1 1 1).

a) Masa de un átomo

Dividiendo la masa atómica por el número de Avogadro:

at gr molat

molgr M a /10478.4/10023.6

/97.26 23

231−⋅=

⋅=

b) Número de átomos en un mg.

mgat at gr

mggr = atomos/mg N /10233.2

/10478.4

/10º 19

23

3

⋅=⋅ −

−

4




c) Número de átomos y moles en un m 3

3283

/10027.6/8.

/º mat

at gr 1047 4

mgr 102.699 =

M

D =matomos/ N

23-

6

1a

T 3 =

molesmolat 106.023

mat 106.0 =

N

matomos/ =mmoles/

23

28

A

33 5

3

10/

/27=

d) Masa de una celdilla unidad

El número de átomos por celdilla es: n = 4.

Masa de la celdilla = n·M1a = 4 x 4,478·10-23

gr=1,791·10-22

gre) Número de celdillas por gr.

gr celd celd gr

gr celdillas /10583.5/10791.1

1/ 21

22 ⋅=

⋅=

−

f) Volumen y arista de la celdilla

3329

362310636.6

/10699.2/10023.6

/97.26/4am

mgr molat

molgr celd at

D N

M nV

T a

ac =⋅=

⋅⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=

pmmma 9.40410049.410636.6 103 329 =⋅=⋅= −

g) Radio atómico

pma

Ra 2.1434

2==El radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara.

h) Factor de empaquetamiento

( )74.0

2/4

3443443

3

3

3

=⋅

=⋅

=

a

aa

R

R

a

RF

π π

i) Densidad atómica lineal

5




Dirección <1 1 0>

mat m

átomos

a D /10494.3

2109.404

2

22121 9

12110 ⋅=⋅⋅

=⋅

⋅+=

−><

Dirección <1 1 1>

mat m

átomos

a D /10426.1

3109.404

1

3

2

12

9

12111 ⋅=⋅⋅

=⋅

⋅=

−><

j) Densidad atómica superficial

S

atomos N = D z) y(x

º

Plano (1 1 0)

( )( )

218212

110 /10626.8109.4042

22

4

14

2

12

mat m

átomosaa

D ⋅=⋅⋅

=⋅

⋅+⋅

=−

Plano (1 1 1)

( )

( )219

212111 /10409.1

109.40432

1

2

2

322

2

1

2

13

6

13

mat

m

átomos

aa

D ⋅=

⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

⋅+⋅=

−

6




PROBLEMA 3

Calcúlense los átomos que existen en 1 mg y en 1 m 3 de los siguientes metales:

Nota: La estructura H.C. del Cobalto c = 1,118 x 10-9 m.

a) Plomo

Número de átomos en un mg:

mgat molgr

molat mggr = atomos/mg N /10907.2

/19.207

/10023.6/10º 18

233

⋅=⋅−

Número de átomos en un m3

328

31033/10298.3

2

1075.14

4

2

4

4º mat

m

at

R

at =

a

n =matomos/ N

a

3 ⋅=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅ −

b) Hierro

Número de átomos en un mg.

mgat molgr


/847.55

/10023.6/10º 19

233

⋅=⋅−

Número de átomos en un m3

328

31033/10117.8

3

1026.14

2

3

4

2º mat

m

at

R

at =

a

n =matomos/ N

a

3 ⋅=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅ −

7




c) Cobalto

Número de átomos en un mgr.

mgat molgr


/933.58

/10023.6/10º 19

233

⋅=⋅−

El nº átomos por celdilla es 6. y el volumen de la celdilla será:2

ha6cVc

⋅⋅⋅=

Donde c es la altura del prisma, a el lado del hexágono a = 2R a y h la apotema:

2

3asen60ah =⋅=

El número de átomos en un m

3

será:

( ) ( )328

210922/10957.4

31025.1210118.1

6

32

4

4

36

6mat

mm

at

Rc

at =

ac

at

a

⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

⋅⋅−−

PROBLEMA 4

La densidad del Hierro a temperatura ambiente es de 7,87 gr/cm 3. Calcular:

a) ¿Cuántos átomos hay por cm3?

b) ¿Cuál es el tanto por ciento de espacio ocupado?

c) ¿Qué red cristalográfica presenta? ¿Por qué?

DATOS: Peso atómico del Fe = 55.85 gr/mol ; Radio atómico del Fe a 20 ºC = 0,1241 nm.

a) Atomos por cm 3

322

233

/10487.8/85.55 /10023.6/87.7º cmat molgr

molat cmgr =matomos/c N 3⋅=

⋅

b) Porcentaje de espacio ocupado

( )6789.0

1

101241.03

410487.8

totalvolumen

esferas por ocupadovolumen3

3722

=⋅⋅

=

−

cm

cmat π

El porcentaje de volumen ocupado es el 67,9 %

8




c) Sistema cristalográfico

Calculemos la densidad teórica del Fe con estructura C.C. y C.C.C. y comparemos con el valor

real, dato del problema.

Sistema C.C. 3

3723

/878.7

3

101241.04/10023.6

/85.55/2cmgr

cmmolat

molgr celd at

V N

M n D

ca

a

T =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=

−

Sistema C.C.C. 3

3723

/577.8

2

101241.04/10023.6

/85.55/4cmgr

cmmolat

molgr celd at

V N

M n D

ca

aT =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=

−

El sistema es C.C. cuya densidad teórica coincide con la real.

PROBLEMA 5

El Cadmio cristaliza en el sistema hexagonal compacto con a = 297,8 pm. y c = 561,7 pm, lamasa atómica del Cd es 112,4 gr/mol . Calcular:

a) Indice de coordinación.

b) Factor de empaquetamiento.

c) Densidad teórica.

d) Densidad atómica superficial en los planos (1 0 -1 0) y (1 1 -2 0)

e) Densidad atómica lineal en la dirección <2 -1 -1 0>.

a) Indice de coordinación

633.1886.18.297

7.561>==

pm

pm

a

c

Indice de coordinación = 6

9




b) Factor de empaquetamiento

( )641.0

8.2972

3

2

167.561

2

8.297

3

46

2

3

2

16

3

4

62

3

3

=

⋅⋅⋅

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

pm pm

pm

aac

RF

π π

c) Densidad teórica

( )

3

2101023

/651.8

108.2972

3

2

16107.561/10023.6

/4.112/6cmgr

cmcmmolat

molgr celd at

V N

M n D

ca

a

T =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=

−−

d) Densidad superficial

Plano (1 0 -1 0 )Los puntos de corte con los ejes son (1,∞,-1,∞)

( )218

12121010 /10978.5107.561108.297

14

14

mat mm

at

ca

at

D =⋅

=⋅

⋅=

−−−

Plano (1 1 -2 0)Los puntos de corte con los ejes son: (1,1, -1/2,∞)

( )

218

12121010/10903.6

107.5613108.297

2

3

14

14

mat mm

at

ca

at

D =⋅⋅

=⋅

+⋅=

−−−

e) Densidad lineal en la dirección <2 -1 -1 0>

mat m

at

a

at

D /10358.3108.297

12

12

9

121012 ==⋅

=−>−−<

10




PROBLEMA 6

Durante el calentamiento, el hierro puro cambia su estructura cristalina de C.C. aC.C.C. a 912 ºC. Calcular:

a) ¿Sufrirá el hierro una expansión o una contracción en este cambio?

b) Calcular la relación de densidades entre ambas estructuras.

DATOS: A 912 ºC el radio atómico es de 1,258 Å.(C.C.) y de 1,292 Å.(C.C.C.).

a) Efecto del aumento de temperatura.

Al pasar la temperatura por 912 ºC el hierro sufrirá una contracción por ser la estructura C.C.C.

la de máxima compacidad, aunque esta contracción se verá compensada en parte por el

aumento del radio atómico. Esta contracción implica un aumento de la densidad como

calcularemos ahora.

Calcularemos la variación relativa de volumen que sufrirán N átomos al cambiar de estructura.

393.4

3

1258.0

2

1292.0

211

3

4

2

4

211

2

423

3

3

3

3

33

−=Δ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

−=⋅−⋅=−=Δ

E V

V

nm

nm

R

R

a N

a

N

a

N

V

V V

V

V

CC

CCC

CC

CCC CC

CC

CCC CC

El hierro se contrae un 0.493 %.

b) Relación de densidades

=⋅

⋅

= 3a N

M n D

a

aT

005.1

2

12920

3

1258.0

2

2

4

3

4

22

4

2

4

3

3

3

3

3

3

3

3

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

⋅=⋅

⋅=

⋅

⋅

⋅

⋅

=nm

nm

R

R

a

a

a N

M

a N

M

D

D

CCC

CC

CCC

CC

CC a

a

CCC a

a

CC

CCC

11




PROBLEMA 7

Se sabe que cierto metal A ocupa las posiciones principales del sistema cúbicocentrado en las caras cuando se forma cierto compuesto. Otro metal B se sitúa en los

centros de las aristas y en el centro del cristal. Se pide:

a) Calcular la fórmula estequiométrica del compuesto.

b) Radio atómico del metal A.

c) Radio máximo admisible del metal B.

d) Compacidad del cristal.

e) Densidad del compuesto.DATOS: Constante reticular a = 4,26 Å ; PA = 65 gr/mol ; PB = 32 gr/mol .

a) Fórmula estequiométrica

Por cristalizar el metal A en el sistema C.C.C. el número de átomos de A por celdilla será 4. El

metal B ocupa los huecos octaédricos del cristal que son: uno en el centro y uno en cada arista

compartido por 4 celdillas que son otros 3, en total 4 huecos por celdilla. La fórmula sería:A4BB4

Simplificando quedaría: AB

b) Radio atómico del metal A

Por ser el sistema C.C.C. el radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara. Por tanto, sabiendo

que la diagonal de la cara es 2a , nos quedará:

Α=⋅Α

=⋅

= 51.14

226.4

4

2a Ra

c) Radio máximo del metal B

La relación máxima de radios debe ser r/R = 0,41

Por lo tanto: R B = 0,41 · R A = 0,619 D

12




d) Compacidad del cristal

Compacidad = 79.8 %

798.03

44

3

44

totalvolumen

ocupadoVolumenCompacidad

3

33

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅

==a

R R B A π π

e) Densidad del compuesto

( )3

3823/33.8

1026.4/10023.6

/32/4/65/4cmgr

cmmolat

molgr cel Bat molgr celd Aat

V N

M n D

ca

a

T =⋅⋅

⋅+⋅=

⋅

⋅=

−

PROBLEMA 8

La densidad experimental de un cristal simple de aluminio, que cristaliza en el

sistema C.C.C., es 2,697 gr/cm 3. La constante reticular es 4,049 Å Si la discrepancia entre

el valor teórico y el experimental de la densidad es una medida de los huecos de la malla

(vacantes), calcular:

a) Fracción de átomos ausentes.

b) Huecos por cm3

DATOS: PAl = 27 gr/mol

a) Fracción de átomos ausentes

Comparemos el número de átomos, teóricos y reales, por unidad de volumen:

t

r

t

r

Al

At t

Al

Ar r

D

D

n

n

P

N D

V

n

P

N D

V

n=⇒== ;

Calculamos la densidad teórica del aluminio

( )3

3823 /701,210049,4/10023,6

/27/4 cmgr cmmolat

molgr celd at Dt =⋅⋅

⋅= −

9985,0/701,2

/697,23

3

===cmgr

cmgr

D

D

n

n

t

r

t

r

Por tanto la fracción de átomos ausentes será: 1- nr /nt=0,0015, es decir la fracción de átomos

ausentes es del 0,15%.

13




b) Huecos por cm 3

Conociendo el número de átomos teóricos por cm3, y habiendo calculado la fracción de átomos

ausentes, podemos saber el número de huecos por cm3. Nº atm. teóricos por cm3:

322233

/10025,6/27

/10023,6/701,2cmteóricoat

molgr

molat cmgr

P

N D

V

n

Al

At t ⋅=⋅⋅

==

El número de huecos será:

3

2022

33

huecos Nº10904,010025,60015,0ausentesatfracción

teóricosatnºhuecos Nº

cmcmcm⋅=⋅×=×=

PROBLEMA 9

El silicio cristaliza en el sistema C.C.C. de tal forma que no sólo ocupa las

posiciones principales de la malla sino también el 50 % de los intersticios tetraédricos.

Sabiendo que el parámetro de malla es 5,43 Å y que el peso atómico del silicio es 28,06

gr/mol . Calcular:

a) Densidad teórica del Si.

b) Atomos de Si por m3

.Para aumentar la concentración de huecos y mejorar, por tanto, sus características

semiconductoras se dopa el Si con una cantidad controlada de aluminio, de forma que

sustituye parcialmente al Si de sus posiciones originales.

c) Calcular el nº de átomos de Al por m3 con que es preciso dopar al Si para que se

produzca una disminución de la densidad del 0,5 % con respecto a la teórica del Si.

DATOS: PAl = 26,97 gr/mol

a) Densidad teórica del Si

En el sistema C.C.C.:

Nº at./celd. : n = 4

Nº huecos tetraédricos./celd. : h = 8

Nº total at. Si/celd.: N = n + h/2 = 8 at/celd.

El volumen de la celdilla:

14




V = a3 =(5,43·10-8cm)3= 1,601 x 10-22 cm3

La densidad teórica será:

3

32223/33,2

10601,1/10023,6

/06,28/8cmgr

cmmolat

molgr celat

V N

Pn D

A

A =⋅⋅⋅

⋅=

⋅=

−

b) Atomos de Si por m 3

328322

322/105/105

/10601,1

/8mat cmat

celd cm

celd at

V

n⋅=⋅=

⋅=

−

c) Nº de átomos de Al

Al disminuir la densidad un 0,5 %, la densidad resultante será:

3/3185,2995,0' cmgr D D =⋅=

r r

A

P

molat cmgr cmat

P

N D

V

n /10023,6/31835,2/105

' 233322 ⋅⋅=⋅==

donde Pr es el peso atómico medio o resultante, se obtiene: Pr = 27,927gr/cm3.Por otra parte:

f Si x 28,06 + f Al x 26,97 = Pr

f Si + f Al = 1

(f indica fracción de átomos)

Resolviendo el sistema:

f Si = 0,87798 f Al = 0,12202 Nº at Al/m3 = 5 x 1028 x f Al

Nº at Al/m3 =6,101 x 1027

PROBLEMA 10

15




Un carburo de wolframio cristaliza en el sistema hexagonal, de forma que los

átomos de wolframio se sitúan en las bases del prisma y los de carbono en la sección recta

media. Determinar:a) Fórmula y densidad del carburo.

b) Radios atómicos de W y C.

DATOS: a = 2,84 Å ; c = 2,9 Å ; PC = 12 gr/mol ; PW = 184 gr/mol

a) Fórmula y densidad

C: 3 at./celd.

tre átomos en una celdilla es 3:3, por tanto, la fórmula será: C W

W: 1/2 x 2 bases + 1/6x12 vértices = 3 at./celd.

La relación en

Para calcular la densidad calcularemos primero el volumen de la celdilla:

323288 1008,6)1084,2(2222

316109,2

316 cmcmcm

aacV −−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

3

32323/06,16

1008,6/10023,6/184/3/12/3 cmgr

cmmolat

molgr celd W at molgr celd C at

V N

PnPn D A

wwcc =⋅⋅⋅

⋅+⋅=+=−

b) Radios atómicos de C y W

=> r = a/2 = 1,42 Å ⇒ a2 + c2 = (2 r W + 2r C)2 ⇒ 16,5 = (2,84 + 2 r C)2

r C = 0,613 Å

a = 2 r W W

16




PROBLEMA 11

Un cierto metal cristaliza en un sistema hexagonal sin planos intermedios y conigual disposición atómica en las caras basales. Existen átomos en todos los vértices y en el

centro de los hexágonos, así como en los centros de los 6 triángulos equiláteros en que se

descomponen dichos hexágonos, siendo estos últimos tangentes a los anteriores y a su vez

entre sí. Los átomos correspondientes de las dos caras basales son tangentes uno a otro.

Calcular:

a) Número de átomos por celdilla.

b) Indice de coordinación.c) Compacidad del sistema así definido.

d) Comparar la compacidad de este sistema con la del hexagonal compacto.

a) Nº de átomos por celdilla

1/6 x 12 (vértices) + l /2 x 14 (caras) = 9 at/celd

b)

Indice de coordinación

Un átomo está rodeado en un mismo plano por otros 6,

además se encuentra con un átomo encima y otro debajo

tangentes a él. Por tanto son ocho los átomos que lo rodean

y que son tangentes, el índice de coordinación es pues 8.

c) Compacidad del sistema

Volumen de la celdilla: 32 312)2(23

2162

23

216 r r r

aacV

c ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

Volumen ocupado por los átomos: 33 123

4/9 r r celd at V at π π =⋅⋅=

577,0312

123

3

===r

r

V

V compacidad

c

at π

17




d) Comparación

En el sistema H.C. el espacio hueco supone el 26 % lo que supone una compacidad de 0,74;

esta es superior a la del sistema bajo estudio (0,577).

PROBLEMA 12

Calcular la densidad del bronce (Cu - Sn) de 3% en átomos de Sn, suponiendo que

la constante de la red varía linealmente con la fracción de átomos.DATOS: rCu = 0,1278 nm; rSn = 0,151 nm, MCu = 63,54 gr/mol ; MSn = 118,69 gr/mol

Como el parámetro de la red varia con el porcentaje de elementos, el radio atómico medio será

también función de las cantidades relativas de cada uno:

0,97 · 0,1278 nm+ 0,03 · 0,151 nm = 0,1285 nm

cm

gr

9,02=)10(0,3634106,023

118,69)0,03(4+63,54)0,97 (4

=mm0,3634=2

0,12854

=2

r 4

=a 3323 7−⋅

⋅⋅⋅⋅

⇒

⋅ ρ

PROBLEMA 13

La estructura del latón es cúbica centrada, colocándose un átomo de Cu en el centro del

cubo y los de Zn en los vértices. Calcular la densidad de la aleación.

Datos: rzn = 0,14 nm; rcu = 0,13 nm; Mat(Cu) = 63,54 gr/mol ; Mat(Zn) = 63,38 gr/mol

Para calcular la densidad necesitamos conocer el parámetro

de la red en función de los radios atómicos de los átomos que

forman la estructura. Dado que es c.c. la diagonal del cubo es

una dirección compacta, por tanto :

18




3

8

oZnCu

ZnCu

/08.7

12.3.

.1

.1

A12.3312.0r r r r

cmgr =

cm)10(mol

at 100236

mol

gr 38 65

celd

Cuat +

mol

gr 5463

celd

Cuat

=d

nm=3

2+2 =a2+2=3a

- 323

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅

=

PROBLEMA 14

Determinar los índices de Miller para los planos que cortan a los ejes en

a) a = -2, b = 2/3, c = 3/2b) a = 1/2, b = -3/2, c = 1/3

c) a = -3, b = 5, c = 2.

15)6, ,10( 2

1 ,

5

1 ,

3

1- 25,3,-

9) ,2(6, 3 ,3

2-2,

3

1 ,

2

3- ,

2

1

4)9, ,3( 3

2 ,

2

3 ,

2

1-

2

3 ,

3

2 2,-

I.MILLER INVERSOS P.DECORTE

→→

→→

→→

PROBLEMA 15

Un cierto plano cristalográfico contiene las posiciones (0,0,0), (1/2,1/4,0) y

(1/2,0,1/2). ¿Cuáles son sus índices de Miller?

El esquema de las posiciones y el plano cristalográfico que las contiene, se representa en la

19




figura. Como el plano pasa por el origen de coordenadas lo desplazamos, por ejemplo, una

unidad en la dirección x. Entonces los puntos de corte del plano con los ejes coordenados son –

1, ½, 1 y los índices de Miller vienen dados por los valores inversos de estos puntos de corte:

)121(−

Si hubiésemos desplazado el origen una unidad hacia arriba, los cortes en los ejes estaría en +1,

-1/2, -1, para dar unos índices de Miller , este plano es paralelo al anterior y por tanto

equivalente.

)121(−−

PROBLEMA 16

Calcular la densidad atómica superficial ( átomos/mm 2) en:

a) El plano (1,1,1) en le hierro. rFe= 0,124 nm.b) En el plano (2,1,0) en la plata. rAg = 0,144 nm

a) En el hierro C.C.

Calculamos el nº de átomos en el plano (1 1 1) limitado

por la celdilla unitaria

atomos0,5=6

1 3 ⋅

La densidad superficial será el nº de átomos por unidad de superficie. Habrá que determinar el

área del plano delimitado por la celdilla unitaria.

2222

3322

1º60sen22

1triángulodelSuperficie 2 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ aaaaa=

mm100,28 =0,28 =3

r 4 =a

107,36 =

a

0,5 =d

6 -

12(111)

2

2

3

Α

⋅

20




b) En la plata C.C.C

El nº de atomos que pertenecen al plano (2 1 0) será:

1=2

1 +

4

1 2=atomosden”

Se calcula previamente el valor de a para determinar la

superficie del plano. Esta será:

mm109,41=è9,41=2

r 4 =a 6 -

Conociendo la superficie se puede determinar la densidad superficial igual que en el caso

anterior.

105,32=

45 a

1

4

5a=

4

a +a

12

2

22

21




PROBLEMAS PROPUESTOS.

Calcular la densidad del compuesto intermetálico FeTi, que cristaliza en el sistema c.c..DATOS: Fe r at = 0,124 nm, Mat = 55,85; Ti r at = 0,146 nm Mat = 47,90

El volumen de la celdilla unidad del Ti (hc) es 0,106 nm3. La relación c/a es 1,59. Calcular:a) Cuales son los valores de c y a, b) Cual es el radio atómico del Ti y c) Cual es el factor deempaquetamiento

El circonio es c.c. a alta temperatura. El radio atómico se incrementa en 1,5 % cuando al enfriar pasa a h.c.. Cual es el % de cambio de volumen en esta transformación.

Calcular el tamaño de los huecos octaédricos en la estructura hexagonal compacta, cúbicacentrada y cúbica centrada en las caras. (problema 4 colección antigua)

Considerar una estructura cúbica centrada. Calcular: a) ¿Cuáles son los índices de Miller deun plano que corta al eje X y al eje Y a una unidad del origen y es, además, paralelo al eje Z?

b) Suponga que un metal que cristaliza en dicha estructura tiene un radio atómico de 1,3 Å.¿Cuál será la densidad atómica del plano anterior? c) Indicar los índices de Miller de ladirección perpendicular a dicho plano. Solución: a) (1 1 0) b) 1.569 E+19 at/m2 c)<110>

Dibujar una celdilla cúbica centrada en las caras y señalar sobre ella el plano (1 1 1) y lasdirecciones <1 1 0> y <1 1 -2>. Calcular también la densidad superficial de un plano (1 1 0) del

Cobre (C.C.C.), cuyo radio atómico es de 1,278 Å. Solución: D(110)= 1.08 · 1019

at/m2

Sabiendo que el radio atómico del plomo es 0,175 nm. y que cristaliza en el sistema C.C.C.calcular el número de átomos por mm2 en los planos ( 1 0 0 ) y (1 1 1).Solución: D(1 0 0)=8.16 1012 at/mm2 D(1 1 1)=9.44 1012 at/mm2.

Calcular la variación relativa de volumen al pasar el hierro de estructura c.c. a c.c.c. a)Suponiendo que el radio atómico no varía. b) tomando r=0.1258nm para índice de coordinación8 y r=0.1292 nm para índice de coordinación 12. Solución: a) 8.14 % b) 0.49 %

¿Cual sera el espaciado interplanar para los planos (2 0 0), (2 2 0) y (1 1 1) en el niquel?.

Sabiendo que en una estructura c.c la distancia entre planos (1 1 0) es de 2,03 A, determinar elvalor de la constante reticular y el radio atómico.

El Al es c.c.c. Si en el plano (2 2 0) su densidad atómica vale 1,431 A. ¿Cual es su constantereticular?.

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