estructuras cristalinas. problemas resueltos

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Problemas resueltos de estructuras cristalinas

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  • Problemas de cristalografa

    PROBLEMA 1

    El Wolframio cristaliza en el sistema cbico centrado con un parmetro de red

    a=316,48 pm y densidad terica DT=19300 Kg/m3. Calcular:

    a) Masa atmica.

    b) Volumen atmico.

    c) Radio atmico.

    d) Densidad atmica lineal en las direcciones , y .

    e) Densidad atmica superficial en los planos (1 1 1), (1 1 0) y (1 0 0).

    f) Nmero de tomos en 1 m3.

    a) Masa atmica

    La densidad terica de un cristal es: cA

    aT VN

    MnD

    =

    Donde n es el nmero de tomos de W por celdilla (C.C): celdatn /28181 =+=

    Ma es la masa atmica del W, Na el nmero de Avogadro y Vc el volumen de la celdilla ( a3).

    Despejando Ma:

    ( )

    molgrmolKgM

    celdatceldmmolatmKg

    na N D =

    n V N D = M

    a

    3ATcAT

    a

    /24.184/18424.0

    /2/1048.316/10023.6/19300 312233

    ==

    =

    b) Volumen atmico

    La densidad terica puede ser tambin expresada como la relacin entre masa atmica y

    volumen atmico, de donde:

    molm

    mKgmolKg

    DM = V

    T

    aa /10546.9/19300

    /1024.184 363

    3

    ==

    1

  • Problemas de cristalografa c) Radio atmico

    En el sistema C.C. el radio atmico es 1/4 de la diagonal del cubo, por tanto:

    pmpmara 04.1374348.316

    43 ===

    d) Densidad atmica lineal

    LatomosN = D >zy x<

    Direccin

    matm

    tomosa

    D /101598.31048.316

    1212

    912100 ==

    = ><

    Direccin

    matm

    tomosa

    D /102343.221048.316

    12

    212

    912110

    ==

    = ><

    e) Densidad atmica superficial

    SatomosN = D z)y (x

    2

  • Problemas de cristalografa

    Plano (1 1 1)

    2h a = S 2

    Donde h es la altura del tringulo de este plano que queda dentro de la celdilla.

    23260sen2 == aah

    La densidad superficial ser:

    ( ) ( )218

    212111 /107643.5

    1048.316321

    21

    2322

    21

    613

    matm

    tomos

    aaD =

    =

    =

    Plano (1 0 0)

    ( ) ( ) 2182122100 /109841.91048.31614

    14mat

    mtomo

    aD ==

    =

    Plano (1 1 0)

    ( ) ( ) 219212110 /10412.11048.31622

    24141

    matm

    tomosaa

    D ==+

    =

    f) Nmero de tomos por m3

    328233 /103094.6/18424.0

    /10023.6/19300 matmolKg

    molatmKgM

    N D = matomos/Na

    aT3 ==

    3

  • Problemas de cristalografa PROBLEMA 2

    La celdilla elemental del Aluminio es cbica centrada en las caras. Su masa

    atmica es 26.97 gr/mol y su densidad 2699 Kg/m3. Calcular:

    a) Masa de un tomo.

    b) Nmero de tomos en 1 mg

    c) Nmero de tomos y moles por m3.

    d) Masa de una celdilla unidad.

    e) Nmero de celdillas en 1 gr de metal.

    f) Volumen y arista de la celdilla unidad.

    g) Radio atmico.

    h) Factor de empaquetamiento.

    i) Densidad atmica lineal en las direcciones y .

    j) Densidad atmica superficial en los planos (1 1 0) y (1 1 1).

    a) Masa de un tomo

    Dividiendo la masa atmica por el nmero de Avogadro:

    atgrmolat

    molgrM a /10478.4/10023.6/97.26 23

    231==

    b) Nmero de tomos en un mg.

    mgat

    atgr mggr = atomos/mgN /10233.2

    /10478.4/10 1923

    3

    =

    4

  • Problemas de cristalografa

    c) Nmero de tomos y moles en un m3

    328

    3

    /10027.6/8.

    / matatgr10 474

    mgr10 2.699 = MD = matomos/N 23-

    6

    1a

    T3 =

    moles

    molat10 6.023mat10 6.0 =

    Nmatomos/ =mmoles/ 23

    28

    A

    33 5

    3

    10//27 =

    d) Masa de una celdilla unidad

    El nmero de tomos por celdilla es: n = 4.

    Masa de la celdilla = nM1a = 4 x 4,47810-23 gr=1,79110-22 gr

    e) Nmero de celdillas por gr.

    grceldceldgr

    grceldillas /10583.5/10791.1

    1/ 2122 ==

    f) Volumen y arista de la celdilla

    33293623 10636.6/10699.2/10023.6

    /97.26/4 ammgrmolat

    molgrceldatDN

    MnVTa

    ac ==

    ==

    pmmma 9.40410049.410636.6 103 329 === g) Radio atmico

    pmaR a 2.1434

    2 ==El radio atmico ser 1/4 de la diagonal de la cara.

    h) Factor de empaquetamiento

    ( ) 74.02/4 344344 33

    3

    3

    ===a

    aa

    R

    Ra

    RF

    i) Densidad atmica lineal

    5

  • Problemas de cristalografa

    Direccin

    matm

    tomosa

    D /10494.32109.404

    222121

    912110 ==

    += ><

    Direccin

    matm

    tomosa

    D /10426.13109.404

    13

    212

    912111

    ==

    = ><

    j) Densidad atmica superficial

    SatomosN = D z)y (x

    Plano (1 1 0)

    ( ) ( ) 218212110 /10626.8109.40422

    2414

    212

    matm

    tomosaa

    D ==+

    =

    Plano (1 1 1)

    ( ) ( )219

    212111 /10409.1

    109.404321

    2

    2322

    21

    213

    613

    matm

    tomos

    aaD =

    =

    +=

    6

  • Problemas de cristalografa

    PROBLEMA 3

    Calclense los tomos que existen en 1 mg y en 1 m3 de los siguientes metales:

    Nota: La estructura H.C. del Cobalto c = 1,118 x 10-9 m.

    a) Plomo

    Nmero de tomos en un mg:

    mgat

    molgrmolat mggr = atomos/mgN /10907.2

    /19.207/10023.6/10 18

    233

    =

    Nmero de tomos en un m3

    32831033

    /10298.3

    21075.14

    4

    244 mat

    mat

    Rat =

    an = matomos/N

    a

    3 =

    =

    b) Hierro

    Nmero de tomos en un mg.

    mgat

    molgrmolat mggr = atomos/mgN /10078.1

    /847.55/10023.6/10 19

    233

    =

    Nmero de tomos en un m3

    328

    31033/10117.8

    31026.14

    2

    342 mat

    mat

    Rat =

    an = matomos/N

    a

    3 =

    =

    7

  • Problemas de cristalografa c) Cobalto

    Nmero de tomos en un mgr.

    mgat

    molgrmolat mggr = atomos/mgN /10022.1

    /933.58/10023.6/10 19

    233

    =

    El n tomos por celdilla es 6. y el volumen de la celdilla ser: 2

    ha6cVc=

    Donde c es la altura del prisma, a el lado del hexgono a = 2Ra y h la apotema:

    23asen60ah ==

    El nmero de tomos en un m3 ser:

    ( ) ( ) 328210922 /10957.431025.1210118.16

    324

    436

    6 matmm

    at Rc

    at = ac

    at

    a

    =

    =

    PROBLEMA 4

    La densidad del Hierro a temperatura ambiente es de 7,87 gr/cm3. Calcular:

    a) Cuntos tomos hay por cm3?

    b) Cul es el tanto por ciento de espacio ocupado?

    c) Qu red cristalogrfica presenta? Por qu?

    DATOS: Peso atmico del Fe = 55.85 gr/mol; Radio atmico del Fe a 20 C = 0,1241 nm.

    a) Atomos por cm3

    322

    233

    /10487.8/85.55

    /10023.6/87.7 cmatmolgr

    molatcmgr = matomos/cN 3 = b) Porcentaje de espacio ocupado

    ( )6789.0

    1

    101241.03410487.8

    totalvolumenesferasporocupadovolumen

    3

    3722

    =

    =

    cm

    cmat

    El porcentaje de volumen ocupado es el 67,9 %

    8

  • Problemas de cristalografa

    c) Sistema cristalogrfico

    Calculemos la densidad terica del Fe con estructura C.C. y C.C.C. y comparemos con el valor

    real, dato del problema.

    Sistema C.C. 33723

    /878.7

    3101241.04/10023.6

    /85.55/2 cmgrcmmolat

    molgrceldatVN

    MnD

    ca

    aT =

    =

    =

    Sistema C.C.C. 33723

    /577.8

    2101241.04/10023.6

    /85.55/4 cmgrcmmolat

    molgrceldatVN

    MnDca

    aT =

    =

    =

    El sistema es C.C. cuya densidad terica coincide con la real.

    PROBLEMA 5

    El Cadmio cristaliza en el sistema hexagonal compacto con a = 297,8 pm. y c = 561,7 pm, la

    masa atmica del Cd es 112,4 gr/mol. Calcular:

    a) Indice de coordinacin.

    b) Factor de empaquetamiento.

    c) Densidad terica.

    d) Densidad atmica superficial en los planos (1 0 -1 0) y (1 1 -2 0)

    e) Densidad atmica lineal en la direccin .

    a) Indice de coordinacin

    633.1886.18.2977.561 >==

    pmpm

    ac

    Indice de coordinacin = 6

    9

  • Problemas de cristalografa b) Factor de empaquetamiento

    ( )641.0

    8.29723

    2167.561

    28.297

    346

    23

    216

    346

    2

    33

    =

    =

    =

    pmpm

    pm

    aac

    RF

    c) Densidad terica

    ( )3

    2101023

    /651.8108.297

    23

    216107.561/10023.6

    /4.112/6 cmgrcmcmmolat

    molgrceldatVN

    MnD

    ca

    aT =

    ==

    d) Densidad superficial

    Plano (1 0 -1 0 ) Los puntos de corte con los ejes son (1,,-1,)

    ( ) 21812121010 /10978.5107.561108.29714

    14mat

    mmat

    ca

    atD ==

    =

    Plano (1 1 -2 0) Los puntos de corte con los ejes son: (1,1, -1/2,)

    ( ) 21812121010 /10903.6107.5613108.2972

    3

    1414

    matmm

    atca

    atD ==

    +=

    e) Densidad lineal en la direccin

    matm

    ata

    atD /10358.3

    108.29712

    129

    121012 ==

    = ><

    10

  • Problemas de cristalografa

    PROBLEMA 6

    Durante el calentamiento, el hierro puro cambia su estructura cristalina de C.C. a

    C.C.C. a 912 C. Calcular:

    a) Sufrir el hierro una expansin o una contraccin en este cambio?

    b) Calcular la relacin de densidades entre ambas estructuras.

    DATOS: A 912 C el radio atmico es de 1,258 .(C.C.) y de 1,292 .(C.C.C.).

    a) Efecto del aumento de temperatura.

    Al pasar la temperatura por 912