86 Kurze Mitteilungen - Brief Reports - Communications br&ves ZAMP
A s s u m i n g t h a t Vo(X ) : 0 w h e n x = :k a we shal l h a v e
P '~1 -~ Y2 (g2 _ 2.2) . (3. 5) VO(X) = ~ a 2 )~1 T2E2
F o r t he v a l u e of F"(z) a s s u m e d in (3.1) all s t ress c o m p o n e n t s wil l t e n d to zero as y --> oo. The b o u n d a r y cu rve of t h e i n d e n t a t i o n will be c i r cu la r s ince t h e c u r v a t u r e
I O2Vo R -- Ox 2 -- a c o n s t a n t q u a n t i t y .
R E F E R E N C E S
M. SAI)OWSKY, Z. angew. M a t h . Mech. 8, 107 (1928). B. SEX, Bull . C a l c u t t a m a t h . Soc. 38, 117 (1946). B. SE~r Phi los . Mag. ~7] 27, 596 (1939). I. N. SNEDDON, Fourier Trans/orms (McGraw-Hi l l B o o k C o m p a n y , N e w York ,
1951), Ar t . 49.
Zusammen/assung
E s wi rd e in L S s u n g s v e r f a h r e n b e s p r o c h e n ftir das P r o b l e m der e l a s t i s chen , lgngs ih res R a n d e s d u r c h e inen s t a r r e n S t e m p e l b e l a s t e t e n H a l b e b e n e . Die M e t h o d e w i rd ftir e inen e i n f a c h e n Fa l l y o n A n i so t rop i e a m Beispie l e ines S t e m - pels m i t a n n ~ h e r n d k r e i s b o g e n f 6 r m i g e m R a n d i l lu s t r i e r t .
(Received: August 17, 1953.)
Ein Oszillationssatz ffir algebraische Eigenwertprobleme
V o n FRANK WILLIAM SINDEN, Z t i r i ch ~)
Die vo r l i egende M i t t e i l u n g be f a s s t s ich m i t d e m P r o b l e m , die Oszil lat ionss~ttze, wie sie f l i t D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g s - E i g e n w e r t a u i g a b e n gel ten , s inngem~tss au f ge- wisse a lgeb ra i s che N g h e r u n g s p r o b l e m e zu i i be r t r agen . Die N g h e r u n g w i rd n a c h A r t de r D i f f e r e n z e n r e c h n u n g v o r g e n o m m e n . Die I ~ o m p o n e n t e n des N g h e r u n g s - v e k t o r s sol len also eine Tabe l l e der e n t s p r e c h e n d e n F n n k t i o n da r s t e l l en . A n Stel le y o n A u s s a g e n fiber die A n z a h l de r Nu l l s t e l l en e iner E i g e n f u n k t i o n t r e t e n A u s s a g e n t iber die A n z a h l de r Ze ichenwechse l in der Fo lge der K o m p o n e n t e n eines E i g e n v e k t o r s .
De/inition. E i n e M a t r i x A he i s s t variationsvermindernd2), w e n n ftir j e d e n V e k t o r ar de r t r a n s f o r m i e r t e V e k t o r l) = A X i m m e r wen ige r ode r g le ich viele Ze i chenwechse l wie x se lbs t aufweis t .
Hauptsatz. M a n b e t r a c h t e das E i g e n w e r t p r o b l e m
A ~ = # D ~ , (1)
wo D e ine pos i t i ve D i a g o n a l m a t r i x i s t (alle dei > 0) u n d wo A s y m m e t r i s c h u n d
1) Institut ffir angewandte Mathematik der ETH. ~) I. SCHOENBERG, ~)ber variationsvermindernde lineare Trans/ormationen, Math. Z. 32, 3gl
(1930).
Vol. V, 1954 Kurze Mitteilungen - Brief Reports - Communications br~ves 87
pos i t iv de l in i t ist. A sei noch va r i a t i onsve rminde rnd , und alle ihre kod iagona len E l e m e n t e as, i+1, al, i-1 seien versch ieden yon Null . Es gi l t dann fiir die cha rak te - r i s t i schen Zahlen :
/~1 > ~ 2 > " " > # n ~ 0 .
Sind die E i g e n v e k t o r e n nach der en t sp rechenden 1Reihenfolge geordne t , so h a t der k-te E i g e n v e k t o r genau k - 1 Zeichenwechsel .
Zusalz . I s t A vaviat ionsvermehrend und gel ten alle / ibr igen Vorausse tzungen des Satzes, so h a t der k-te E i g e n v e k t o r genau n -- k Zeichenwechsel .
D a die E igenscha f t ~va r i a t i onsve rminde rnd~ im Grunde g e n o m m e n allge- meiner A r t ist, schein t die V e r m u t u n g plausibel , dass dieser Satz auch auf In t e - g ra lg le i chungen ve ra l l geme ine r t werden k6nnte . E i n e solche Ve ra l l geme ine rung wi rd j edoch in dieser Arbe i t n ich t u n t e r n o m m e n .
Mit Hilfe der Ta tsache , dass die Folge
al Yl, a2 ( y ~ - y ~ ) , a~ (Ya - Y2) . . . . . an ( Y ~ - Y n - t ) , - a ,~+ l y ~
(s/ imtliche a s > O) i m m e r m e h r Zeichenwechsel als die Folge yt, Y2 . . . . . Yn auf- weis t l ) , kann m a n durch I t e r a t i o n und d u t c h W a h l von gee igneten vorzuschre i - benden ( (Randbedingungen~ a l lgemeinere Di f fe renzenopera to ren kons t ru ieren , welche die Vorausse tzungen des Zusatzes erfiillen. Als Beispiel b e t r a c h t e m a n das E i g e n w e r t p r o b l e m des t r ansversa l schwingenden, i n h o m o g e n e n Stabes. I m Inne - t en eines Grund in te rva l l s (a, b) gelte
( p y " ) " = 2 q y , p ( x ) > 0 , q ( x ) > 0 ,
und an j edem E n d e seien genau zwei yon den v ier F u n k t i o n e n y, y ' , p y", (p y")" gleich Null. I s t dieses P r o b l e m auch noch se lbs t ad jung ie r t und pos i t i v def ini t , so kann m a n es nach der eben angedeu t e t en lViethode du t ch ein Diffe- r e n z e n e i g e n w e r t p r o b l e m approx imie ren , welches ein oszi l la tor isches E i g e n v e k - t o r e n s y s t e m besi tzt .
I s t eine Mat r ix A va r i a t i onsve rminde rnd , so ist die Mat r ix A*, die m a n aus A durch Mul t ip l ika t ion aller ge radzah l igen Zeilen und al ler ge radzah l igen Spa l t en mi t (--1) erh/~lt, variaXionsvermehrend. A und A* bes i tzen dieselben charak te r i - s t ischen Zahlen. Diese (c Schachb re t t -T rans fo rma t ion~ kann zum Beweis des Zu- satzes und zur H e r s t e l l u n g wei te re r Beispiele b e n u t z t werden.
Zur numer i schen Be rechnung yon E i g e n w e r t e n s tehen versch iedene c(Ein- ~chliessungss~itze~ zur Verf / igung. Diese geben Schranken an, die mindes tens ~inen E i g e n w e r t e ingrenzen . Es wird j edoch nichts dar i iber ausgesagt , der wie- vielte E i g e n w e r t durch diese Sehranken e ingegrenz t ist. Der folgende Satz, der dne Modi f ika t ion des Col la tzschen Einschl iessungssa tzes 2) dars te l l t , l iefer t i m ~egensa tz dazu S c h r a n k e n f/Jr e inen be s t immten , du tch seine N u m m e r gekenn- ~eichneten E igenwer t ,
Ft i r das E i g e n w e r t p r o b l e m (1) seien die Vorausse tzungen des I-Iauptsatzes ~zw. des Zusatzes giiltig. Der Ver suchsvek to r u = (ut . . . . . un) habe genau k -- 1 ~zw. ~ -- k Zeichenwechsel . Aus u und dem t r ans fo rmie r t en Vek to r
= A u = (v~ . . . . . vn)
1) G. PSL,ZA und G. SzEa~, Au/gaben und Lehrsdtze aus der Analysis, Bd. II (Springer, Berlin 925 IGrundlehren der mathematischen Wissenschaften]), siehe Abschnitt V, Kapitel 1, Aufgaben 7 md 15. (Siehe aueh Aufgabe 13.)
u) L. COLLATZ, Eigenwertau/gaben mittechnischen Anwendungen (Geest und Portig KG., Leipzig 949), S. 289.
88 Varia- Miscellaneous - Divers zx.~iP
bilde m a n die Quo t i en ten
vi q i - Ui d i i "
Sind s~mtl iche qi posi t iv , so l iegt die k-re charak ter i s t i sche Zahl zwischen Max(qi) und Min(ql).
Auch den Col la tzschen Einschl iessungssa tz fiir Di f fe ren t i a lg le ichungen l) kann man mi t Hilfe der klassischen ana ly t i schen Oszi l la t ionss~tze in analoger \Veise modif iz ieren. Bet den anderen bekann t e s t en Einsch l iessungsver fahren , n a m e n t - l ich bet denen, die sich anf den Ray le ighschen Quo t i en t en beziehen, is t j edoch eine so!che Modi f ika t ion n ich t ohne weiteres m6glich.
S u m m a r y
Condi t ions on a l inear a lgebraic e igenva lue p rob lem are given, under which the re are exac t ly k -- 1 changes of sign in the sequence of componen t s of the k-th e igenvector . This is analogous to the osci l la t ion theo rems of d i f ferent ia l equat ions . A class of difference equa t ions which satisfies these condi t ions is defined. F ina l ly a mod i f i ca t ion of a m e t h o d of COLLaTZ is given, by means of Which upper and lower bounds for the k- th e igenva lue m a y be der ived f rom a t r ia l vec to r h a v i n g k -- I sign changes in t he sequence of its components . This paper is mere ly a s u m m a r y of resul ts ; no proofs are given.
(Eingegangen: 29. September 1953.)
Var ia - Miscel laneous - Divers
J a h r e s t a g u n ~ der G e s e l l s c h a f t f i ir a n g e w a n d t e M a t h e m a t i k u n d M e c h a n i k y o r e 20. b i s 24. A p r i l 1954, in M i i n c h e n
Die Gesel lschaft fiir angewand te M a t h e m a t i k und Mechanik (GaMM) wird ihre ngchs te J a h r e s t a g u n g in Miinchen in der Zei t yore 20. bis 24. Apr i l 1954 ve rans ta l t en . Die 6r t l iche Tagungs le i tung wird in H~tnden yon Prof. Dr. J. HEIN- ttOLD (Technische Hochschu le Miinchen) liegen. H. GORTLER
I n t e r n a t i o n a l e T a g u n g f iber H a l b l e i t e r in A m s t e r d a m v o m 29. J u n i b i s 3. J u l i 1954
Die Niederl~ndische Physikalische Gesellschaft, mit Unterstiitzuug der Union internationale de Physique pure et appliqu6e und der Unesco, hat die Absicht, yore 29. J u n i bis 3. Ju l i 1954 in A m s t e r d a m eine In ternat ionale T a g u n g fiber Halblei ter durchzuf i ihren .
Die fo lgenden Forscher (yon denen zwei un te r Vorbehal t ) haben zugesagt , H a u p t v o r t r g g e zu t ibe rnehmen: J . BA•DEEX, W. H. BRATTAI~', H . B . G . CA- SIMIR, F. A. KR6GER, D. POLDER, ~ . SCH6N, W. SHOCKLtgY, R. A. SMITH, H. J. VINK, H. WELKER. H a u p t t h e m e n der T a g u n g sind: V o l u m e n r e k o m b i n a t i o n ;
1) L. COLLATZ, a. a. O., S. 128.
