Download - Didaktik der Grundschulmathematik - Universität Koblenz · Jürgen Roth Didaktik der Grundschulmathematik 3.15 Klassifikation von + und – Situationen Addition Vereinigen (statisch)

Didaktik der Grundschulmathematik 3.1 Jürgen Roth

Didaktik der

Grundschulmathematik


Inhaltsverzeichnis

Didaktik der Grundschulmathematik

1 Anschauungsmittel

2 Aufbau des Zahlbegriffs

3 Addition und Subtraktion

4 Multiplikation und Division

5 Schriftliche Rechenverfahren


Kapitel 3:

Addition und Subtraktion

Didaktik der Grundschulmathematik


Inhaltsverzeichnis

Kapitel 3: Addition und Subtraktion

3.1 Addition und Subtraktion

im Zwanzigerraum


im Hunderterraum

Homepage zur Veranstaltung

http://www.juergen-roth.de Lehre



im Zwanzigerraum



Rechnen

Jahrgangsstufe

1

Jahrgangsstufe

2

Jahrgangsstufe

3

Jahrgangsstufe

4

Addition und

Subtraktion verstehen

Einspluseinssätze

und Umkehrung • bis 20 automatisieren

Einspluseinssätze

und Umkehrung • bis 10 automatisieren

Addition & Subtraktion • bis 100

Addition & Subtraktion • bis 1000 halbschriftlich

• Schriftl. Verfahren

Addition & Subtraktion • schriftl. Verfahren üben

Im zweiten Zehner ad-

dieren & subtrahieren

Multiplikation und

Division verstehen

Mit Zehnerüber-

schreitung addieren

und subtrahieren

Multiplikationssätze • Strategien entwickeln

und anwenden

• Kernaufgaben und

Quadratsätze des

Einmaleins

• Dividieren mit Rest

Multiplikation und

Division • Strategien wiederholen

• Einmaleinssätze und

ihre Umkehrung

automatisieren

• Multiplikation & Divisi-

on mit Zehnerzahlen

Multiplikation und

Division • Einmaleinssätze

wiederholen

• Halbschriftliches

Rechnen

• schriftliche Verfahren

Divisionssätze • Strategien entwickeln

und anwenden

• Dividieren mit Rest

Grundrechenarten mit-

einander verbinden

KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4). Luchterhand, München, 2005

http://www.kmk.org/bildung-schule/qualitaetssicherung-in-schulen/bildungsstandards/dokumente.html


Lösungsstrategien der Schüler:

1. Zählstrategien

Addition

Vollständiges Auszählen

mit Material

ohne Material

Weiterzählen vom

ersten Summanden aus

größeren Summanden aus

größeren Summanden aus

in Schritten

Subtraktion

Wegnehmen

mit Material

Ergänzen

mit Material

Zuordnen

Vorwärtszählen

Rückwärtszählen

um eine geg. Zahl von

Schritten

bis zu einer geg. Zahl Fehler

um (– 1) beim Addieren bzw.

um (+ 1) beim Subtrahieren

Fehler beim Zählen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/hunderterfeld/



2. Heuristische Strategien

Heuristische Strategien anwenden,

um Lösungen aus bekanntem abzuleiten.

Anbahnung durch operatives Üben (vgl. Einspluseinstafel)

Voraussetzung

Kenntnis wichtiger Grundaufgaben, z. B.

1 + 1; 2 + 2; … 9 + 9; 10 + 10

5 + 0; 5 + 1; … 5 + 4; 5 + 5

Einsichten in Eigenschaften der Rechenoperationen, z. B.

Konstanz der Summe beim gegensinnigen Verändern

8 + 5 = 13 (8 – 3) + (5 + 3) = 13

Konstanz der Differenz beim gleichsinnigen Verändern

13 – 5 = 8 (13 – 3) – (5 – 3) = 8

Kommutativität der Addition (Vertauschen) …



2. Heuristische Strategien

Addition

Tauschaufgabe

3 + 7 = 7 + 3

Zehnerergänzung

8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4

Gegensinniges Verändern

8 + 6 = (8 + 2) + (6 – 2) = 10 + 4

Nachbaraufgabe

9 + 7 = 10 + 7 – 1 = 17 – 1

Fastverdopplung

7 + 9 = 7 + 7 + 2 = 14 + 2

Zerlegung mittels 5

7 + 9 = 5 + 2 + 5 + 4 = 10 + 6

Subtraktion

Zerlegung des Subtrahenden

mit Zehnerübergang

25 – 7 = 25 – 5 – 2 = 20 – 2 = 18

Analogieaufgabe

9 – 8 = 1 also 19 – 8 = 11

Nachbaraufgabe

19 – 8 = 19 – 9 + 1 = 10 + 1 = 11

Zurückführen auf Addition

Zerlegung in leichtere

Teilaufgaben




3. Kennen der Grundaufgaben

Addition Subtraktion

Nach und nach prägen sich die Grundaufgaben ein

und werden nicht mehr gerechnet, sondern gewusst.


Modelle zur Addition

bzw. Subtraktion

Kardinal-

zahl

Addition: 4 + 3 = 7 Subtraktion: 7 – 3 = 4

A B =

|A B| = |A| + |B|

B C

|C \ B| = |C| – |B|

Zählzahl 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 6, 5, 4

Maßzahl


Operator-

zahl

Modelle zur Addition

bzw. Subtraktion

+ 4 + 3

+ 7

+ 4 – 3

+ 7

4 7 + 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

+ 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

– 3

7 4 – 3

+3

7

10

14

?

4 7

7 10

11 14

+3

4

7

11

–3

4

7

11

?

7 4

10 7

14 11

–3

7

10

14

Addition: 4 + 3 = 7 Subtraktion: 7 – 3 = 4


Erarbeitung des kleinen 1+1

Aspektreich

Breites Spektrum von Additions- situationen im täglichen Leben

Strategien

Weiterzählen um 1 bzw. 2

Tauschaufgaben (Betrachtungsrichtung wechseln)

Verdoppeln

Fastverdoppeln

Nachbaraufgabe

Analogieaufgabe

Gegensinniges Verändern

Zerlegen einer Aufgabe in leichtere Teilaufgaben (vor allem beim Zehnerübergang)


Erarbeitung des kleinen 1–1

Aspektreich

Breites Spektrum von Additionssituationen im täglichen Leben.

Strategien

Rückwärtszählen um 1 bzw. 2

Halbieren

Fasthalbieren

Nachbaraufgabe

Analogieaufgabe

Subtrahenden zerlegen

Zusammenhang von

Addition und Subtraktion


Klassifikation von +

und – Situationen

Addition

Vereinigen (statisch) Vereinigungsmenge unbek.

Teilmenge unbekannt

Hinzufügen (Operator; dyn.) Ergebnis/Ausgabe unbekannt

Veränderung/Operator

unbekannt

Start/Eingabe unbekannt

Ausgleichen (dynamisch) Anja hat 4 Bonbons. Pia hat 8

Bonbons. Wie viele Bonbons muss

Anja bekommen, um genauso viele

Bonbons wie Pia zu haben?

Vergleichen (statisch) Unterschied unbekannt

Vergleichsgröße unbekannt

Subtraktion

Vereinigen (statisch) Anja hat 8 Bonbons. 5 sind

Karamellbonbons, der Rest

saure Bonbons. Wie viele

saure Bonbons hat sie?

Abziehen/Wegnehmen (dyn.) Anja hat 8 Bonbons. Sie gibt

ihrer Freundin Pia 5 Bonbons. Wie

viele Bonbons bleiben ihr noch?

Ergänzen (dynamisch) Pia hat 5 Bonbons. Wie viele

Bonbons muss Pia bekommen, um

insgesamt 8 Bonbons zu haben?

Vergleichen (statisch) Anja hat 8 Bonbons. Ihre Freundin

Pia hat 5 Bonbons. Wie viele

Bonbons hat Anja mehr?


Räuber und Goldschatz


Räuber und Goldschatz

+

+

–

– 16 – 3 = 13 18 – 3 = 15 19 – 6 = 13 16 – 5 = 11 16 – 6 = 10 11 – 6 = 5 6 – 3 = 3


Zwanzigerfeld

Einführende Additionsaufgabe (z. B. 7 + 7)

legen lassen (3 Darstellungsmöglichkeiten)

mündliche Besprechung

Notation

(Operative) Abwandlung der Aufgabe

Legen und Rechen von Additionsaufgaben

(vgl. Arbeitsblatt)

Wittmann, Müller: Übungen zum Einspluseins. In: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1: Vom Einspluseins zum

Einmaleins. Ernst Klett Grundschulverlag, Leipzig, 1993, S. 33 – 41 h


Plusaufgaben

+



Zwanzigerreihe

Ergänzungsaufgaben

Beispiel: 7 + = 11

Auch mit Zwanzigerfeld, aber

besser mit Zwanzigerreihe

(Operative) Abwandlung

der Aufgabe

Einführende

Subtraktionsaufgabe

von vorne wegnehmen

von hinten wegnehmen

(Operative) Abwandlung

der Aufgabe

Legen und Rechnen von

Subtraktionsaufgaben

Übergang zum

denkenden Rechnen

Verdopplungsaufgabe legen

Nachbaraufgaben im Kopf

Ergänzungsaufgaben

Ersten Summand legen,

Rest im Kopf

Später: Keine Plättchen, aber

Sicht auf leeres Material

Wittmann, Müller: Übungen zum Einspluseins. In: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1. Ernst Klett

Grundschulverlag, Leipzig, 1993, S. 33-41 http://www.juergen-roth.de/dynageo/zwanzigerfeld/zwanzigerreihe.html


Minusaufgaben

–

http://www.juergen-roth.de/dynageo/zwanzigerfeld/zwanzigerreihe.html



im Hunderterraum



Schwierigkeitsstufen

bei „+100“ und „–100“

Z + (–) Z

30 + 60 = 90 60 – 20 = 40

ZE + (–) E ohne Zehnerübergang

23 + 6 = 29 69 – 7 = 62

ZE + (–) E mit Zehnerübergang

25 + 8 = 33 67 – 9 = 58

ZE + (–) Z

23 + 60 = 83 69 – 40 = 29

Z + (–) ZE

20 + 65 = 85 60 – 42 = 18

ZE + (–) ZE ohne Zehnerübergang

32 + 25 = 57 69 – 42 = 27

ZE + (–) ZE mit Zehnerübergang

27 + 48 = 75 67 – 49 = 18

E: Einer

Z: Zehnerzahl

ZE: Gemischte

Zehnerzahl


Grundsätzliche Methoden

beim „+100“

1. „Zehner extra, Einer extra“

38 + 45 30 + 40

8 + 5 70 + 13

2. „Schrittweise“

38 + 45 38 + 40 + 5 78 + 5

38 + 45 38 + 5 + 40 43 + 40

38 + 45 38 + 2 + 43 40 + 43

3. „Aufgabe vereinfachen“ (gegensinniges Verändern)

38 + 45 40 + 43

Methoden benennen

Nutzung bewusster

Austausch darüber leichter




beim „+100“



beim „–100“

1. „Zehner extra, Einer extra“

96 – 57 90 – 50

6 – 7 40 – 1

2. „Schrittweise“

96 – 57 96 – 50 – 7 46 – 7

96 – 57 96 – 7 – 50 89 – 50

96 – 57 96 – 56 – 1 40 – 1

3. „Aufgabe vereinfachen“ (gleichsinniges Verändern)

96 – 57 99 – 60

4. „Ergänzen“

96 – 57 60; 96 3 + 36

96 – 57 66; 96 9 + 30



Rechne aus!

Wie hängen die Aufgaben zusammen?


Addition am Kalender


Magische (Zahlen-)Quadrate

1 14 15 4

12 7 6 9

8 11 10 5

13 2 3 16

34 34 34 34

34

34

34

34

34

34

4 MS

= 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16

= 8 17 = 136

MS = 136 : 4 = 34



1 14 15 4

12 7 6 9

8 11 10 5

13 2 3 16

1

12

8

13

15 14 4

6 7 9

10 11 5

3 2 16

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16



Bilde schöne Muster, indem du immer vier

Zahlenfelder mit der magischen Summe 34

gleich einfärbst.


Hexen-Einmaleins

Du musst versteh‘n,

aus Eins mach Zehn.

Die Zwei lass geh‘n.

Die Drei mach gleich,

So bist du reich.

Verlier die Vier!

Aus Fünf und Sechs,

So sagt die Hex,

Mach Sieben und Acht,

So ist's vollbracht:

Und Neun ist Eins,

Und Zehn ist keins.

Das ist das Hexen-Einmaleins! Goethe: Faust

Szene in der Hexenküche

9 8 7 6 5 4 3 2 1

4 6 5 8 7 0 3 2 10 = 15

?


Streichquadrate „+“

22 27 31 19

16 21 25 13

14 19 23 11

3 8 12 +

+ + + +

14 27 25 + +

+ 3 11 8 19 12 13


Streichquadrate „–“


Zahlenmauern


Zahlenmauer


Rechenwege und

Darstellungsweisen

38 + 25

Wie

rechnest

du?

Verschiedene

Rechenwege

aufzeigen & zu

eigenen Wegen

ermutigen!


Rechenwege und

Darstellungsweisen

57 – 23

Wie rechnest du?


Hunderterfeld mit Zahlenwinkel (Blitzrechnen)

Wie viele?

Zehnerergänzung

Zählen bis 100

(in Schritten)

Ergänzen bis 100

100 teilen

Verdoppeln von

5er und 10er

Halbieren von

10er Zahlen

Leichte Plus- und

Minusaufgaben

Reine Zehnerzahlen in

zwei Summanden zerlegen



Schülerfehler

bei der Addition

82 + 7 = 88 Verrechnen um -1, durch falsches

Zählen 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88

62 + 6 = 32 Störung der Richtung beim

Zahlenlesen 26 + 6

82 + 7 = 90 Verrechnen um +1, bedingt durch

falsche Zählstrategie 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89 ergibt 90

54 + 8 = 58 Falsche Richtung einer Teilopera-

tion 54+6=60,60-2= 58

680 + 130 = 550 Verwechseln bzw. Vertauschen der

Operation

27 = 13 + Unzureichendes Verständnis von

Platzhaltern und Gleichungen 27 = 13 + 40

501 + 125 = 606 Fehlerhafter Gebrauch und

Operieren mit der Null

78 + 8 = 88 Perseverationsfehler,

d. h. dominierende Ziffern bzw. Zahlen wirken nach

622 + 31 = 923 Falsche Stellenzuordnung beim

halbschriftlichen Rechnen 622 + 30 = 922 und 922 + 1 = 923

76 + 8 = 74 Zehnerüberschreitung

wird nicht berücksichtigt

34 + 0 + 7 = 0 0 + 0 = 2 Verständnis der Null nicht

ausreichend; Operieren mit Null ungeklärt


Schülerfehler

bei der Subtraktion

96 – 8 = 89

Verrechnen um +1 durch

falsches Rückwärtszählen

96, 95, 94, 93, 92, 91, 90, 89

87 – 5 = 73

Störung der Lese- und

Schreibrichtung von Zahlen

78 – 5

96 – 8 = 87

missverstandenes Rückwärts-

zählen führt zu einer Fehllösung

um –1

95, 94, 93, 92, 91, 90, 89, 88

Es bleiben 87 übrig.

85 – 14 = 99

Addition statt Subtraktion

52 – 7 = 55

Fehlerhafte Richtung

einer Teiloperation

52 – 2 = 50, 50 + 5 = 55

80 – 21 = 60

Subtraktion von der Null

für viele Schüler nicht lösbar

92 – 28 = 76

Differenz zwischen den Ziffern

gleichen Stellenwerts gebildet

8590 – 280 = 8390

8590 – 280 = 8510

Unvollständiges (halbschriftl.)

Subtrahieren, Zwischenlösung wird

als Lösung angeboten

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