PrefacioEl controlador PID es la solucin ms comn a los problemas prcticos de control. Aunque controladores con accin proporcional e integral han sido utilizados desde la poca en que los molinos de viento y las mquinas de vapor eran las tecnologas dominantes, la forma actual del controlador PID emergi con los controladores neumticos en los aos 30 del siglo pasado. Una razn fue que las realizaciones con computadores hizo posible aadir caractersticas tales como capacidad de autosintona y diagnstico, que son muy beneciosas para los usuarios. Desde una perspectiva de ingeniera, resulta particularmente interesante analizar lo que sucedi con las sucesivas tecnologas que se fueron incorporando, que hicieron que algunas funcionalidades importantes fueran redescubiertas y otras fueran aadidas. Este libro se ha elaborado durante ms de 25 aos de desarrollo de los auto sintonizadores para los controladores PID en estrecha colaboracin con la industria. A travs de este trabajo hemos abordado un gran nmero de problemas reales de control industrial. Nos hemos beneciado mucho de haber podido participar en el desarrollo, puesta en marcha y problemas de los controladores industriales. El trabajo prctico ha inspirado tambin la investigacin. Este texto es la ltima parte de una triloga. El primero de ellos, Automatic Tuning of PID Controllers, 1988, que tena 6 captulos, daba una breve descripcin de nuestras primeras experiencias en el desarrollo de controladores autosintonizados basados en el mtodo del rel. El segundo, PID Controllers: Theory, Design, and Tuning, 1995, que tiene 7 captulos, surgi de la necesidad de tratar de forma ms amplia muchos aspectos del control PID. En particular, revisa muchos mtodos de diseo para controladores PID que investigamos en conexin con nuestro trabajo sobre los controladores autosintonizados. El conocimiento que se tena en 1995 del control PID todava no era satisfactorio para el diseo de los controladores autosintonizados. Una desventaja era que el usuario tena que proporcionar al controlador con ciertas elecciones de diseo. Resulta particularmente difcil para un usuario evaluar si la dinmica est dominada por el retardo o por la constante de tiempo. Esta cuestin estimul ms investigacin sobre el tema. Debido al aumento drstico en la potencia de clculo, fue tambin posible emplear algoritmos de diseo que requieren ms computacin. La sintona y diseo de controladores PID se ha basado tradicionalmente en tcnicas especiales. El control robusto fue un gran desarrollo de la teora de con-

V

Prefacio trol que madur a nales de los 90, y que di como resultado potentes mtodos de diseo basados en la deformacin robusta de la funcin de transferencia en lazo abierto. Esto nos estimul a iniciar un programa de investigacin para adaptar estos mtodos al control PID . Al mismo tiempo pareca natural acercar el control PID a la corriente principal de ideas en control. Cuando trabajamos con auto sintonizadores industriales, tambin vimos que haba una gran necesidad de incluir diagnosticos en el controlador, ya que no se suele sintonizar un controlador si el proceso tiene activas alarmas graves. El presente libro, Control PID Avanzado, es el resultado de este esfuerzo. Con un total de 13 captulos, este nuevo libro amplia sustancialmente algunos de los temas cubiertos en las versiones previas y proporciona algunos nuevos captulos que tratan del diseo del controlador, diseo por anticipacin (feedforward), sustitucin de las reglas de sintona de Ziegler-Nichols, control predictivo, evaluacin del comportamiento del lazo e interaccin. En este punto en nuestra triloga de libros, asumimos que el lector est familiarizado con la teora del control. Nuestra investigacin ha dado como resultado una comprensin ms profunda de los compromisos entre atenuacin de la perturbacin en la carga, inyeccin de ruido en la medida y respuesta a cambios en el punto de consigna. Hemos sido tambin capaces de responder a cuestiones tales como: Debera un controlador sintonizarse para dar respuesta a perturbaciones en la carga o a cambios en el punto de consigna?, Qu informacin se requiere para disear un controlador PID?, Cundo puede la accin derivativa dar unas mejoras signicativas?, Cundo se justica el empleo de controladores ms sosticados? Con el conocimiento desarrollado, ahora es posible disear controladores autosintonizados que pueden hacer estas evaluaciones autnomamente. Adems, hemos desarrollado nuevos mtodos sencillos para disear controladores PID. Como un ejemplo del conocimiento que se ha ganado podemos mencionar que la teora de control dice que no es necesario efectuar un compromiso entre sintona para respuesta a perturbaciones en la carga y respuesta a cambios en el punto de consigna. Ambos requisitos se pueden cumplir utilizando un controlador con dos grados de libertad, que combina realimentacin y accin feedforward. Las ganancias de la realimentacin se deberan escoger de forma que se satiscieran los requerimientos sobre la atenuacin de la perturbacin y la robustez. La respuesta deseada a cambios en el punto de consigna se puede entonces obtener mediante un uso apropiado de la accin feedforward. La ponderacin del punto de consigna es una forma sencilla de accin feedforward para control PID. En algunos casos, est justicado utilizar acciones feedforward ms elaboradas. Por esta razn, hemos incluido un captulo sobre diseo del controlador y otro captulo sobre feedforward en el nuevo libro. El anlisis de robustez tambin muestra la ventaja de tener una baja ganancia del controlador en altas frecuencias y una gran disminucin de la ganancia en altas frecuencias. Esto se puede conseguir ltrando la salida del proceso con un ltro de segundo orden. Basndonos en el conocimiento obtenido, se recomienda un uso generalizado de la ponderacin del punto de consigna o una accin feedforward ms avanzada. Tambin recomendamos que se ltre la salida del proceso utilizando un ltro de segundo orden. Nos gustara agradecer a muchas personas que han compartido con nosotrosVI

sus conocimientos, ideas e inspiracin. Nuestro inters en el control PID tuvo su motivacin a comienzos de los 80 en nuestros encuentros con Axel Westrenius y Mike Somerville de Eurotherm. Hemos aprendido mucho del trabajo con nuestros estudiantes; en particular damos las gracias a Lars Gran Elfgren (Eurotherm), Gran Grnhammar (LTH), Ari Ingimundarson (UPC), Oskar Nordin (Volvo), Helene Panagopoulos (Volvo), Per Persson (Volvo), Mikael Petersson (ABB), Ola Slttke (ABB), and Anders Walln (Ericsson Mobile Platforms), quienes continan proporcionndonos ideas muy valiosas aunque ahora prosiguen sus carreras en la industria. Estamos muy agradecidos a Sune Larsson y Lars Bth, anteriormente en NAF Controls, con quienes desarrollamos el primer controlador autosintonizado industrial basado en el mtodo del rel. La compaa NAF Controls se fusion algunas veces y ahora forma parte de ABB, donde hemos disfrutado de interacciones con Gran Arinder, Alf Isaksson, Per Erik Modn, Lars Pernebo, y Thomas Vonheim. Hemos compartido el placer y los retos de transferir tcnicas de auto sintona y diagnstico a un amplio abanico de productos industriales, Muchas conversaciones estimulantes con nuestros colegas Anton Cervin (LTH), Sebastin Dormido (UNED), Guy Dumont (UBC), Chang Chieh Hang (NUS), Karl Henrik Johansson (KTH), Birgitta Kristiansson (CTH), Bengt Lennartsson (CTH), Manfred Morari (ETH), Dale Seborg (UCSB), Sigurd Skogestad (NTNU), Bjrn Wittenmark (LTH), and Karl-Erik rzn (LTH) del mundo acadmico son tambin muy apreciadas. Nuestros amigos en la industria Bill Bialkowski, Terry Blevins, Greg McMillan, y Willy Wojsznis de Emerson, Edgar Bristol, Sigifredo Nio, y Greg Shinskey de Foxboro, Brje Eriksson (M-real), Krister Forsman (Perstorp), Ken Goff (Leeds and Northrup), Niklas Karlsson (Evolution Robotics), Joseph Lu (Honeywell), Tor Steinar Schei (Cybernetica), Stefan Rnnbck (Optimation), han compartido generosamente sus conocimientos e ideas con nosotros. Estamos particularmente agradecidos a Peter Hansen, anteriormente en Foxboro, quien ley el manuscrito completo y nos proporcion muy buena realimentacin Estamos muy agradecidos a Leif Andersson quien hizo el formateado del texto y nos ayud mucho con TEX, a Agneta Tuszynski que tradujo una gran parte A del texto a L TEX, y a Eva Dagnegrd que dibuj algunas de las guras. Finalmente, nos gustara agradecer al Consejo de Investigacin Sueco (VR), a la Agencia Sueca para la Innovacn de Sistemas (VINNOVA), y a la Fundacin Sueca para la Investigacin Estratgica (SSF) quienes han nanciado nuestra investigacin durante muchos aos. K ARL J OHAN STRM T ORE H GGLUND Departamento de Control Automtico Instituto de Tecnologa de Lund Box 118, SE-221 00 Lund, Suecia

0VII

ndice general

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formas simples de realimentacin . . . . . . . . . . . . . 1.4 Cmo se desarroll el controlador PID . . . . . . . . . . 1.5 Cambios de tecnologa y transferencia de conocimiento 1.6 Perl del contenido del libro . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos de procesos . . . . . . . . . . . . 2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modelos estticos . . . . . . . . . . 2.3 Modelos dinmicos . . . . . . . . . 2.4 Modelos basados en caractersticas 2.5 Modelos de procesos tpicos . . . . 2.6 Modelos para perturbaciones . . . . 2.7 Cmo obtener los modelos . . . . . 2.8 Reduccin del modelo . . . . . . . . 2.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 3 4 6 7 9 11 11 13 13 14 15 24 30 47 50 60 64 65 67 67 67 76 77 80 91 97 97 101 101 102IX

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Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 El controlador PID . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Filtraje de la accin derivativa . . . . . . . 3.4 Ponderacin del punto de consigna . . . . 3.5 Integrador windup . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Cundo se puede utilizar el control PID? 3.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . .

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Diseo del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Una rica variedad de problemas de control . . . . . . . . . . . .

ndice general 4.3 Fundamentos de la realimentacin . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Polos y ceros en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Las funciones de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Robustez frente a variaciones del proceso . . . . . . . . . . . 4.8 Cuanticando los requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Especicaciones clsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diseo feedforward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Respuesta mejorada del punto de consigna . . . . . . . . . . 5.3 Ponderacin del punto de consigna . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Feedforward neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Respuesta rpida del punto de consigna . . . . . . . . . . . 5.6 Atenuacin de la perturbacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diseo PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Mtodo de Ziegler-Nichols y procedimientos relacionados . 6.3 Sintona emprica basada en reglas . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Asignacin de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Sintona lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Diseo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Mtodos de optimizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Deformacin robusta del lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una sustitucin a Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 El conjunto de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Control PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Mtodos de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . 7.6 Control PID basado en un modelo de segundo orden 7.7 Comparacin de los mtodos . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Ruido de medida y ltrado . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Desintona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Control predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 El predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Anlisis del control del predictor de Smith . . . . . . 8.4 El controlador PPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Predictores para procesos integradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 108 116 118 125 129 135 144 145 147 147 147 152 154 158 162 165 166 167 167 168 179 184 197 200 207 219 234 235 239 239 241 242 244 253 257 262 267 269 278 282 283 283 284 289 296 301

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ndice general 8.6 Control predictivo basado en modelo . . . . 8.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . Sintona automtica y adaptacin . . . . . . . . . . 9.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Conocimiento del proceso . . . . . . . . . . 9.3 Tcnicas adaptativas . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Mtodos basados en modelo . . . . . . . . . 9.5 Mtodos basados en reglas . . . . . . . . . . 9.6 Supervisin de controladores adaptativos . 9.7 Sintona de realimentacin iterativa . . . . . 9.8 Productos comerciales . . . . . . . . . . . . . 9.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . Evaluacin del lazo y del rendimiento . . . . . . . 10.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Vlvulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Evaluacin del lazo . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Evaluacin del rendimiento . . . . . . . . . 10.5 Sintona y diagnosis integradas . . . . . . . 10.6 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . Interaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Interaccin de lazos sencillos . . . . . . . . . 11.3 Desacoplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Sistemas paralelos . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . Paradigmas de control . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Enfoques ascendente y descendente . . . . . 12.3 Control repetitivo . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Control en cascada . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Control de rango medio y de rango partido 12.6 Elementos no lineales . . . . . . . . . . . . . 12.7 Control de red neuronal . . . . . . . . . . . . 12.8 Control borroso . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Estructurando el sistema . . . . . . . . . . . 12.10 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . Implementacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Implementaciones analgicas . . . . . . . . 13.3 Implementaciones en computador . . . . . . 13.4 Algoritmos de velocidad . . . . . . . . . . . 13.5 Aspectos operacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 310 310 313 313 314 315 319 322 325 334 337 349 350 353 353 353 359 360 370 370 371 373 373 374 380 387 391 392 393 393 394 395 399 406 409 417 421 427 434 435 436 436 437 442 450 452XI

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ndice general 13.6 Salidas del controlador 13.7 Resumen . . . . . . . . 13.8 Notas y referencias . . . Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 462 462 464

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1Introduccin

1.1 IntroduccinLa idea de la realimentacin es engaosamente simple y sin embargo extremadamente potente. La realimentacin puede reducir los efectos de las perturbaciones, puede hacer que un sistema sea insensible a las variaciones del proceso y puede lograr que un sistema siga elmente a sus seales de entrada. La realimentacin ha tenido tambin una inuencia profunda sobre la tecnologa. La aplicacin del principio de realimentacin ha producido grandes avances en los campos del control, comunicacin e instrumentacin. Muchas patentes han sido concedidas a esta idea. El controlador PID es una implementacin simple de la idea de realimentacin. Tiene la capacidad de eliminar errores en estado estacionario mediante la accin integral, y puede anticipar el futuro con la accin derivativa. Los controladores PID, o incluso los controladores PI, son sucientes para muchos problemas de control, particularmente cuando las dinmicas del proceso son benignas y los requisitos de comportamiento son modestos. Los controladores PID se encuentran en un gran nmero en todas las industrias y se presentan de muchas formas diferentes. Hay sistemas integrados en un dispositivo aptos para uno o unos pocos lazos de control. El controlador PID es un elemento clave de los sistemas para control de motores. El controlador PID es un ingrediente importante de los sistemas distribuidos para control de procesos. Los controladores estn tambin embebidos en muchos sistemas de control de propsito especial. Se encuentran en sistemas tan diversos como los reproductores de CD y DVD, el control de velocidad de los coches, y los microscopios de fuerza atmica. En control de procesos, ms del 95 por ciento de los lazos de control son del tipo PID; la mayora de los lazos son realmente control PI. Muchas caractersticas tiles del control PID no han sido ampliamente diseminadas porque han sido consideradas secretos comerciales. Ejemplos tpicos son las tcnicas para conmutacin de modos y la desaturacin del trmino integral (anti windup). El control PID se combina a menudo con cierta capacidad lgica, funciones secuenciales, selectores y bloques de funciones sencillos para construir as los complicados sistemas de automatizacin utilizados en la produccin de energa, transporte y procesos de fabricacin. Muchas estrategias de control sosticadas,

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Captulo 1.

Introduccin

tales como el control predictivo, se organizan tambin jerrquicamente. El control PID se emplea en el nivel inferior de la jerarqua; el controlador multivariable da los puntos de consigna a los controladores en el nivel inferior. Se puede decir pues que el controlador PID es el pan y mantequilla de la ingeniera de control. Es un componente importante en la caja de herramientas de todo ingeniero de control. Los controladores PID han sobrevivido a muchos cambios de tecnologa, que van desde la neumtica a los microprocesadores pasando por los tubos de vaco, los transistores, y los circuitos integrados. El microprocesador ha tenido una inuencia crucial sobre el controlador PID. Prcticamente todos los controladores PID fabricados hoy da se basan en microprocesadores. Esto ha creado oportunidades para proporcionar caractersticas adicionales tales como sintona automtica, planicacin de ganancia, adaptacin continua y diagnstico. La mayora de los nuevos controladores PID que se producen en la actualidad tienen alguna capacidad para la sintona automtica. Sintona y adaptacin se pueden hacer de muchas formas diferentes. El controlador PID se ha convertido de hecho en un banco de pruebas para muchas nuevas ideas en control. Ha habido tambin un renacimiento de la implementacin analgica en sistemas micro-mecnicos ya que requieren menos supercie de silicio que las realizaciones digitales. El controlador PID se realiza tambin utilizando FPGA (eld programmable gate arrays) en aplicaciones donde se precisa una accin de control muy rpida. Un gran nmero de ingenieros de instrumentacin y proceso estn familiarizados con el control PID. Hay una prctica bien establecida de instalar, sintonizar y utilizar estos controladores. A pesar de esto existe an un potencial sustancial para mejorar el control PID. Una prueba de esto se puede encontrar en las salas de control de cualquier industria. Muchos controladores se ponen en modo manual, y entre los controladores que estn operando en modo automtico, la accin derivativa se desconecta frecuentemente por la simple razn de que es difcil de sintonizar adecuadamente. Las razones claves para un pobre comportamiento son problemas en la vlvula y los sensores del equipo, restricciones en el proceso y una mala sintona. Los problemas de la vlvula incluyen un dimensionamiento inadecuado, histresis y friccin. Los problemas en la medida se deben a utilizar un ltro anti aliasing mal diseado o incluso a no emplearlo; a una excesiva accin de ltrado en sensores inteligentes, a la existencia de mucho ruido, o a una mala calibracin. Es posible conseguir mejoras sustanciales. El incentivo para seguir progresando se incrementa por las demandas de mejora en la calidad, que se impone por estndares tales como ISO 9000. Entendimiento y comprensin son los elementos claves para un comportamiento ptimo del lazo de control. Se requiere un conocimiento especco del proceso as como del control PID. Basndonos en nuestra experiencia creemos que est emergiendo una nueva era del control PID. Este libro tendr en cuenta el desarrollo realizado, evaluar su potencial, e intentar acelerarlo al compartir nuestras experiencias en este excitante y til campo del control automtico. El objetivo del libro es proporcionar el fundamento tcnico necesario para comprender el control PID.

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1.2y sp e u y Proceso

Realimentacin

Controlador

- 1 Figura 1.1 Diagrama de bloques de un proceso con un controlador por realimentacin.

1.2 RealimentacinEn la Figura 1.1 se muestra un sistema de realimentacin sencillo mediante un diagrama de bloques. El sistema tiene dos grandes componentes, el proceso y el controlador, representados como cajas con echas que denotan la relacin causal entre entradas y salidas. El proceso tiene una entrada, la variable manipulada (MV), tambin llamada variable de control. Se denota por u. La variable de control inuye sobre el proceso va un actuador, que suele ser una vlvula o un motor. La salida del proceso se llama la variable de proceso (PV) y se representa por y. Esta variable se mide con un sensor. En la Figura 1.1 el actuador y el sensor se consideran parte del bloque etiquetado Proceso. El valor deseado de la variable de proceso se llama el punto de consigna (SP) o valor de referencia. Se denota por ysp . El error de control e es la diferencia entre el punto de consigna y la variable de proceso, i.e., e = ysp y. Supngase por simplicidad que el proceso es tal que la variable de proceso aumenta cuando se incrementa la variable manipulada. El principio de realimentacin se puede expresar como sigue: Aumentar la variable manipulada cuando el error es positivo, y disminuirla cuando el error es negativo. Este tipo de realimentacin se llama realimentacin negativa porque la variable manipulada se mueve en direccin opuesta a la variable de proceso e = ysp y. El controlador PID es con diferencia la forma ms comn de realimentacin. Este tipo de controlador ha sido desarrollado a lo largo de un gran perodo de tiempo y ha sobrevivido a muchos cambios de tecnologa, de la mecnica y la neumtica a la basada en la electrnica y en los computadores. Conocer algo de esto es til con el n de comprender sus propiedades bsicas tal como se analiza en la Seccin 1.4. Algunas propiedades de la realimentacin se pueden comprender intuitivamente a partir de la Figura 1.1. Si la realimentacin funciona bien el error ser pequeo, e idealmente ser cero. Cuando el error es pequeo la variable de proceso est tambin prxima al punto de consigna independientemente de las propiedades del proceso. Para conseguir realimentacin es necesario tener sensores y actuadores apropiados que efecten las acciones de control. La realimentacin tiene algunas propiedades interesantes y tiles. La realimentacin puede reducir los efectos de las perturbaciones La realimentacin puede hacer que un sistema sea insensible a las varia3

Captulo 1.A

Introduccinu B u C u

e

e

e

Figura 1.2 Caractersticas del controlador para control on-off ideal (A),y modicaciones con zona muerta (B) e histresis (C).

ciones del proceso La realimentacin puede crear relaciones bien denidas entre variables en un sistema

1.3 Formas simples de realimentacinMuchas de las propiedades agradables de la realimentacin se pueden lograr con controladores simples. En esta seccin presentaremos algunas formas simples de realimentacin, es decir, control on-off, control proporcional, control integral, y control PID. Control on-off La realimentacin se puede realizar de muchas formas diferentes. Un mecanismo de realimentacin simple se puede describir como u= um x , a umn , if e > 0 if e < 0, (1.1)

donde e = ysp y es el error de control. Esta ley de control implica que siempre se utiliza una accin correctora mxima. Este tipo de realimentacin se llama control on-off. Es simple y no hay parmetros que elegir. El control on-off a menudo funciona al mantener la variable de proceso prxima al punto de consigna, pero generalmente resultar en un sistema donde las variables oscilan. Obsrvese que en la Ecuacin 1.1 la variable de control no est denida cuando el error es cero. Es comn realizar algunas modicaciones bien introduciendo una histresis o una zona muerta (ver Figura 1.2). Control proporcional La razn de por qu el control on-off a menudo da lugar a oscilaciones es que el sistema sobreacta, ya que un pequeo cambio en el error har que la variable manipulada vare entre los valores mximos. Este efecto se evita en el control proporcional, donde la caracterstica del controlador es proporcional al error de 4

1.3

Formas simples de realimentacin

control para pequeos errores. Esto se puede conseguir haciendo la seal de control proporcional al error (1.2) u = K(ysp y) = Ke, donde K es la ganancia del controlador. Control integral El control proporcional tiene la desventaja de que la variable de proceso a menudo se desva del punto de consigna. esto se puede evitar haciendo la accin de control proporcional a la integral del error u(t) = k i t0

e()d,

(1.3)

donde k i es la ganancia integral. Esta estrategia se llama control integral. El control integral tiene una propiedad sorprendente. Supngase que hay un estado estacionario con un error constante e0 y una seal de control constante u0 . Se sigue de la ecuacin anterior que u0 = k i e0 t. Como u0 es una constante se sigue que e0 debe ser cero. Encontramos as que si hay un estado estacionario y un controlador tiene accin integral, el error en estado estacionario es siempre cero. Esto es tambin cierto para el controlador PI u(t) = Ke(t) + k i t0

e()d.

(1.4)

Esta es una de las razones de por qu los controladores PI son tan comunes. Control PID Un renamiento adicional consiste en dotar al controlador de una capacidad anticipativa utilizando una prediccin de la salida basada en una extrapolacin lineal. Ver Figura 1.3. Esto se puede expresar matemticamente como 1 u(t) = K e(t) + Ti t0

de(t) . e()d + Td dt

(1.5)

La accin de control es as una suma de tres trminos que representan el pasado por la accin integral del error (el trmino-I), el presente (el trmino-P) y el futuro por una extrapolacin lineal del error (el trmino-D). El trmino e + Td de es una dt prediccin lineal del error Td unidades de tiempo en el futuro. Los parmetros del controlador se llaman: ganancia proporcional K, tiempo integral Ti , y tiempo derivativo Td . Se ha comprobado empricamente que el controlador PID es capaz de resolver un amplio espectro de problemas de control. Hay controladores ms complejos que dieren del controlador PID porque utilizan mtodos ms sosticados para la prediccin. 5

Captulo 1.Error

IntroduccinPresente Pasado Futuro

t

t + Td

Tiempo

Figura 1.3 Un controlador PID calcula su accin de control basndose en los errores de control pasados, presentes, y futuros.

1.4 Cmo se desarroll el controlador PIDEl controlador PID se ha desarrollado a lo largo de un perodo de tiempo que se extiende al menos 250 aos. Es til tener alguna perspectiva de este desarrollo en orden a comprender muchos de los temas. La tecnologa utilizada para implementarlos, naturalmente, ha cambiado signicativamente a lo largo de los aos. Los primeros controladores fueron dispositivos mecnicos (reguladores centrfugos) empleados para controlar molinos de viento y mquinas de vapor. La medida de la velocidad angular se combinaba con la actuacin de las vlvulas. Una gran dosis de inteligencia se emple en idear la accin integral. Un cambio importante ocurri en conexin con el desarrollo del control de procesos industriales. Las funciones de medida, control, y actuacin fueron entonces separadas y se construyeron dispositivos especiales que efectuaban las acciones de control representadas por la Ecuacin 1.5. Una caracterstica interesante era que la transmisin de seal y el clculo se hacan neumticamente. Un gran avance ocurri cuando los tubos utilizados para transmitir la presin y los niveles de presin se normalizaron a 315 PSI. Esto permiti combinar sensores, controladores, y actuadores de diferentes fabricantes. Tambin hizo posible concentrar los controladores en salas de control que estn localizadas lejos de los sensores y actuadores. Mucho ingenio se utiliz otra vez para desarrollar estos controladores. El uso de la realimentacin en los propios controladores fue un gran logro. De esta forma era posible obtener accin lineal fuera del rango de los componentes que tenan unas caractersticas fuertemente no lineales. Comenzando en los aos 50, pronto estuvieron disponibles las versiones electrnicas de los controladores PID. Las acciones de control representadas por la Ecuacin 1.5 se obtuvieron mediante un simple computador analgico basado en amplicadores operacionales. La transmisin de seal se normaliz tambin en el rango de 420 mA. Representar el cero mediante una corriente no nula era til para realizar diagnsticos. Todava sucedi otro avance cuando se utilizaron computadores digitales para implementar los controladores. En primer lugar cuando emergi el control por computador se emplearon sistemas fuertemente centralizados, ya que el clculo digital est justicado desde un punto de vista de coste econmico en grandes 6

1.5

Cambios de tecnologa y transferencia de conocimiento

sistemas. Con la aparicin de los microprocesadores en los aos 70 incluso los controladores simples se implementaron utilizando computadores. Cuando se emplea un computador digital es tambin factible aadir muchas funciones tales como sintona automtica, adaptacin y diagnstico. Esta es un rea de un desarrollo muy activo. Hoy da estamos experimentando otro desplazamiento en tecnologa. Las realizaciones analgicas estn volviendo a reaparecer en sistemas elctricos micromecnicos (MEMS), y los controladores digitales se implementan tambin usando FPGA (eld programmable gate arrays), que admiten perodos de muestreo muy cortos. Las FPGA dieren signicativamente de los computadores digitales ya que son altamente paralelas. En la actualidad encontramos controladores PID en muchos formatos. Hay controladores dedicados que pueden controlar uno o unos pocos lazos. Las funciones PID se encuentran en los automtas programables que fueron originalmente diseados para sustituir a los rels. Hay sistemas que contienen muchos controladores PID implementados en computadores que van desde pequeos sistemas para unas pocas docenas de lazos a grandes sistemas distribuidos para control de procesos. Los controladores PID se usan normalmente en sistemas dedicados para control de movimiento. Hay tambin un abanico de controladores especiales tales como autopilotos y sistemas de control para los reproductores de CD y DVD y memorias pticas que se basan en el control PID.

1.5 Cambios de tecnologa y transferencia de conocimientoEl controlador PID es un caso de estudio interesante para el control de la tecnologa, debido a su larga historia y por los muchos cambios que ha experimentado. Puesto que hemos tenido experiencias personales de algunos de estos cambios de tecnologa, presentaremos algunas reexiones personales donde analizamos la creacin y destruccin de conocimiento y el papel de personas y documentos que han sido claves. Las transferencias de tecnologa son a menudo abruptas y no planicadas, La razn de por qu una empresa decide cambiar de tecnologa puede ser una reduccin drstica en los costos de los equipos o la presin de la competencia y de los clientes. Un cambio en la tecnologa con frecuencia signica que el grupo de I+D tiene que ser sustituido por nuevas personas que son familiares con la nueva tecnologa, pero que no suelen serlo con la antigua. Esto signica que se corre un alto riesgo de que durante la transicin se pierda informacin. Como la transferencia de tecnologa debe hacerse con rapidez, hay tambin un riesgo elevado de no utilizar todo el potencial de la nueva tecnologa. Los primeros controladores de temperatura fueron del tipo on-off. Los controladores on-off eran sencillos y baratos, pero tienen oscilaciones que son inevitables. La amplitud de las oscilaciones se puede mantener en niveles razonables, ya que la dinmica de muchos sistemas trmicos est dominada por la constante de tiempo del proceso. Cuando la electrnica tuvo precios competitivos, hubo una transicin del control on-off al control PID continuo. El desarrollo de los controladores PID analgicos est bien documentado en material pblico accesible de Eurotherm, que fue comenzado por investigadores de la universidad de 7

Captulo 1.

Introduccin

Manchester. Los controladores se desarrollaron basndose en un conocimiento slido de modelado y control. La teora ayuda, porque muchas aplicaciones de temperatura admiten ganancias elevadas y la accin derivativa puede ser muy beneciosa. Se proporcionaron tambin reglas de sintona y se desarrollaron esquemas de proteccin para el windup con el nombre de desaturacin del integrador y constantes de tiempo cruzadas. El resultado del desarrollo fue una mejora drstica del comportamiento de los controladores de temperatura. Es interesante observar que pas mucho tiempo antes de que el fenmeno interesante e importante de la saturacin del integrador recibiese alguna atencin por parte del mundo acadmico. Cuando emergi el control de procesos basado en computador a comienzos de los aos 60, el foco de inters estaba inicialmente en las funciones de control del nivel superior. Los controladores PID analgicos se utilizaban en el nivel de base y el computador suministraba los puntos de consigna a los controladores. Cuando se desarrollaron los sistemas, la atencin se centr otra vez en el control PID donde muchos lazos PID se implementaban en un nico computador, lo que se denomin control digital directo. El desarrollo tcnico se dedic a la discretizacin del algoritmo PID, una razn fue que los recursos de clculo eran un cuello de botella. Sin embargo se prest escasa atencin al problema de la saturacin del integrador y se dedic alguna al ltraje de las seales de los sensores. La aparicin del microprocesador hizo que el clculo digital estuviese disponible de forma muy barata para sistemas pequeos, un desarrollo que tuvo un gran impacto sobre el controlador PID. Esto dio como resultado controladores de un solo lazo, controladores para unos pocos lazos, y grandes sistemas distribuidos. El desarrollo fue lento por dos razones. Muchas personas nuevas sin experiencia previa del control analgico entraron en la escena, y muchos de los antiguos no estaban interesados en aprender la nueva tecnologa. Aspectos importantes como la saturacin del integrador y el ltrado no se documentaron de forma que estuviesen fcilmente accesibles. Por lo tanto, pas algn tiempo antes de que se volviese a recuperar el conocimiento y la experiencia apropiada. Hubo tambin una tendencia a simplemente implementar viejas ideas en la nueva tecnologa sin considerar las oportunidades que esta ltima ofreca. Gradualmente, la capacidades potenciales del computador digital fueron explotadas al incorporar caractersticas tales como, autosintona, adaptacin y diagnstico en los sistemas. Cuando los sistemas de control distribuido (DCS) sustituyeron a los sistemas analgicos, se retuvo la arquitectura distribuida. Los controladores analgicos y los mdulos de funcin fueron representados como bloques en los programas DCS. Esto fue probablemente una buena idea, pero no se utilizaban las oportunidades que se tenan por el hecho de que todas las seales estaban disponibles en un computador. Se tard una dcada para que se presentasen los sistemas DCS que manejaban la saturacin del trmino integral. Un par de conclusiones que se pueden sacar son que es muy importante la documentacin de los sistemas y tener personas de mentes abiertas que puedan reducir la brecha entre diferentes tecnologas. Cuando las nuevas tecnologas estn ya disponibles es tambin til parar y pensar para analizar cmo la nueva tecnologa se puede explotar en lugar de rpidamente implementar viejas ideas con la nueva tecnologa. Es tambin bueno ltrar la esencia de los sistemas an8

1.6

Perl del contenido del libro

tiguos de forma que no se pierdan buenas caractersticas. Finalmente, es importante documentar las ideas, escribir libros, y asegurar que la informacin no slo se transere de persona a persona, sino que tiene una amplia diseminacin.

1.6 Perl del contenido del libroSe aconseja al lector que examine la tabla de contenido para ver la estructura global del libro. La dinmica del proceso es clave para comprender cualquier problema de control. El Captulo 2 presenta conceptos que son tiles para describir el comportamiento de los procesos. Se mencionan brevemente los modelos estticos, pero el inters principal del captulo es sobre la dinmica de los procesos. Se dan representaciones en trminos de la respuesta en el tiempo y en la frecuencia. estas visiones duales son muy tiles para lograr una buena comprensin de la dinmica. A lo largo del texto se utilizan las nociones de respuesta en escaln y funciones de transferencia. Se analizan con detalle una serie de modelos tpicos que se usan en el control PID. Tambin se tratan los modelos para las perturbaciones as como las tcnicas para la determinacin experimental de los modelos. En el Captulo 3 se da una presentacin en profundidad del controlador PID. Esto incluye, los fundamentos as como muchos detalles de su implementacin, tales como el ltrado para proporcionar una atenuacin rpida en altas frecuencias, la desaturacin del trmino integral (anti windup), la mejora en la respuesta del punto de consigna, etc. El controlador PID se puede estructurar de diferentes formas. Las formas comnmente utilizadas son las estructuras serie y paralelo. Se analizan con detalle las diferencias entre estas y los parmetros del controlador empleados. Se describen tambin las limitaciones del control PID. Casos tpicos donde tienen inters controladores ms complejos son los sistemas con gran retardo y los sistemas oscilatorios. Se exponen de forma breve las extensiones del control PID para tratar con tales sistemas. El Captulo 4 trata el diseo del controlador en general. Hay una rica variedad de problemas de control con objetivos muy diversos. El captulo muestra una revisin de ideas y conceptos que son relevantes para el control PID. Se intenta as llevar el diseo de los controladores PID dentro de la corriente principal de diseo de sistemas de control. Se tratan temas tales como limitaciones fundamentales, estabilidad, robustez y especicaciones. En el Captulo 5 se trata el control feedforward, una tcnica simple y potente que complementa a la realimentacin. Se da un diseo sistemtico de control feedforward para mejorar las respuestas a cambios en el punto de consigna as como una presentacin del diseo de sistemas que siguen a un modelo. Se analiza con detalle el caso especial de la ponderacin del punto de consigna y mtodos para determinar los pesos del punto de consigna. El captulo tambin muestra cmo se puede emplear el control feedforward para reducir el efecto de las perturbaciones que se pueden medir. El Captulo 6 describe mtodos para el diseo de controladores PID. Se presentan muchos mtodos diferentes para la sintona de controladores PID que se han desarrollado a lo largo de los aos. Se ha intentado mantener un equilibrio al proporcionar una perspectiva histrica y presentar mtodos potentes. Un mtodo de diseo razonable debera considerar las perturbaciones de la 9

Captulo 1.

Introduccin

carga, las incertidumbres del modelo, el ruido en la medida y la respuesta frente a cambios en el punto de consigna. Una desventaja de muchas de las reglas de sintona tradicionales para el control PID es que tales reglas no consideran todos estos aspectos de una forma equilibrada. En el Captulo 7 se estudian nuevas tcnicas de sintona que s consideran todos estos criterios. El Captulo 8 trata los controladores predictivos basados en modelos. En primer lugar se presenta y analiza el predictor de Smith, y modicaciones al mismo para tratar el caso de procesos con integrador. A continuacin se analizan otros tipos de controladores predictivos basados en modelos, tales como el controlador MPC, el controlador de Dahlin-Higham, el controlador dinmico matricial y el control de varianza mnima. En el Captulo 9 discutimos algunas tcnicas para la adaptacin y la sintona automtica de controladores PID. Esto incluye mtodos basados en modelos paramtricos y tcnicas no paramtricas. Tambin se exponen la supervisin de controladores adaptativos y la sintona por realimentacin iterativa. Se describen una serie de controladores comerciales para ilustrar las diferentes tcnicas. El Captulo 10 trata de los mtodos para la puesta en marcha, supervisin y diagnstico de los lazos de control. Procedimientos para evaluar los lazos se emplean para investigar las propiedades del lazo de control, e.g. niveles de seales, no linealidades, y condiciones del equipo. Procedimientos de evaluacin del comportamiento se usan para supervisar los lazos de control durante la operacin y asegurar que cumplen las especicaciones. El controlador PID se emplea normalmente como un controlador de lazo simple. En la prctica hay a menudo interacciones entre los lazos. En el Captulo 11 se estudian algunas cuestiones claves acerca de lazos que interactuan que son de particular relevancia para el control. En particular se muestra que los parmetros del controlador en un lazo pueden tener un comportamiento signicativo sobre la dinmica de otros lazos. Se introduce tambin el array de ganancias relativas de Bristol que es una forma sencilla de caracterizar las interacciones. Se expone el problema del emparejamiento de entradas y salidas y un mtodo de diseo basado en el desacoplo, que es una extensin natural de los mtodos de sintona para sistemas de una entrada y una salida. En el Captulo 12 se muestra cmo se pueden resolver problemas de control complejos combinando diferentes formas controladores sencillos. Se analizan los paradigmas de control repetitivo, control en cascada, control de rango medio y de rango partido, control de relacin y control con selectores. Tambin se cubren de forma breve el uso de tcnicas actualmente populares como las redes neuronales y el control borroso. El Captulo 13 presenta cuestiones de implementacin relacionadas con el control PID. En primer lugar se da una breve revisin de las implementaciones neumticas y con electrnica analgica. A continuacin se expone una presentacin detallada de aspectos de la implementacin en un computador tales como muestreo, preltrado y discretizacin del algoritmo PID. Aspectos operacionales tales como la transferencia sin salto entre los modos manual y automtico. El captulo naliza con un anlisis acerca de las diferentes salidas del controlador que se tienen que usar dependiendo de cul es el dispositivo de actuacin que se emplea.

10

1.7

Resumen

1.7 ResumenEn esta seccin se ha dado una breve descripcin del concepto de realimentacin. La aplicacin de la realimentacin ha tenido un impacto muy interesante y algunas veces revolucionario. Se han expuesto algunas de sus propiedades tiles, su capacidad para reducir las perturbaciones, su insensibilidad a las variaciones del proceso, la linealidad entre el punto de consigna y la variable del proceso. Hemos descrito tambin brevemente algunas formas simples de realimentacin tales como el control on-off y el control PID. Se ha analizado de forma sucinta el desarrollo de los controladores y nalmente se ha reseado el contenido del libro.

1.8 Notas y referenciasLos controladores PID se utilizaron ampliamente en los primeros desarrollos del control desde 1870 hasta 1920. La forma moderna del controlador PID emergi con el desarrollo del control de procesos en los aos 30 y 40, tal como se analiza en [45] y [46]. El controlador PID es todava la herramienta estndar para resolver problemas de control industrial. En un estudio detallado del estado del arte en control de procesos industriales llevado a cabo por Electric Measuring Instrument Manufacturer en Japn en 1989 se encontr que ms del 90 por ciento de los lazos de control eran del tipo PID; ver [365]. El trabajo [94] revis la industria en EE.UU. Se ha descubierto que hay ms de 8 millones de instalaciones en las industrias petroqumicas, papelera, energa, y del metal. Cada instalacin tiene entre 500 y 5.000 lazos de control regulatorios, el 97 por ciento de ellos son del tipo PID. Los controladores PID se utilizan tambin en grandes cantidades en otras industrias. Las memorias pticas para los reproductores de CD y DVD contienen tres lazos PID para el control de la velocidad de rotacin, la focalizacin y el seguimiento de la pista. En el ao 2002 se fabricaron cerca de 140 millones de unidades; ver [3]. Adems, hay un gran nmero de controladores PID en el control de motores y en los sistemas de posicionamiento. Se puede pues decir con absoluta seguridad que el controlador PID es una de las herramientas ms comunes en control. El Control PID se estudia en la mayora de los libros de texto sobre control de procesos tales como [221, 313, 229, 48, 302], y hay tambin libros que se focalizan sobre el control PID [239, 90, 329, 354, 287, 356, 257, 242]. La teora de los controladores PID se bas durante mucho tiempo en tcnicas especiales. ltimamente han habido esfuerzos para traer el control PID dentro de la corriente principal de la teora de control. Un esfuerzo notable fue hecho en el ao 2000 cuando la International Federation of Automatic Control (IFAC) prepar una reunin cientca sobre el pasado, presente, y futuro del control PID; ver [287]. Una seleccin de trabajos de esta reunin se public tambin como un nmero especial de la revista Control Engineering and Practice. Los trabajos [47] y [21] dan una perspectiva del desarrollo del control PID. Debido al gran nmero de controladores PID y a su uso extendido hay todava benecios signicativos en mejorar la prctica del control PID. Tal mejora requiere prestar atencin al lazo de control completo y no simplemente al propio controlador tal como se demuestra en el trabajo [50] que describe las auditoras de papeleras en Canad. Una papelera tpica tiene ms de 2.000 lazos de control, 11

Captulo 1.

Introduccin

el 97 por ciento de los lazos se basan en control PI. Se encontr que slamente el 20 por ciento de los lazos de control operaban bien y disminuan la variabilidad del proceso. Las razones de por qu el comportamiento es pobre son una mala sintona (30 por ciento) y problemas en las vlvulas (30 por ciento). El restante 20 por ciento de los controladores no funcionaban correctamente a causa de una serie de razones tales como; problemas con el sensor, mala eleccin del perodo de muestreo, y pobre o incluso no utilizacin de ltros de anti aliasing. Observaciones similares se dan en [107], donde se estima que el 30 por ciento de los controladores de proceso operan en modo manual, que el 20 por ciento de los lazos utilizan los parmetros por defecto jados por el fabricante del controlador (la denominada sintona de fbrica), y que el 30 por ciento de los lazos funcionan pobremente a causa de problemas con el equipo en las vlvulas y los sensores.

12

2Modelos de procesos

2.1 IntroduccinPara describir la conducta de los procesos se suelen utilizar modelos matemticos. Los modelos proporcionan una forma unicada para tratar con sistemas de tipos muy diferentes, que hacen posible introducir una serie de conceptos tiles. Los modelos son tambin esenciales para la simulacin y el diseo del control. En este captulo revisaremos algunos de los modelos que se emplean normalmente en el control PID. Los modelos intentan capturar algunos aspectos del proceso que son relevantes para el control. Se usan muchos tipos diferentes de modelos. La conducta en estado estacionario de un proceso se puede obtener mediante una funcin que proporciona el valor en estado estacionario de la variable de proceso para valores dados de la variable manipulada. Tales modelos se analizan en la Seccin 2.2. Para controlar un sistema es necesario conocer la dinmica del proceso. Para la nalidad del control es a menudo suciente describir pequeas desviaciones respecto de un estado de equilibrio. En este caso la conducta se puede modelar como un sistema dinmico lineal. Este es un campo muy rico con muchos conceptos y herramientas tiles, que forman el nucleo de la teora de control. En la Seccin 2.3 se exponen diferentes formas de describir la dinmica de un proceso. Se introducen las ideas de respuesta transitoria y respuesta en frecuencia as como los conceptos importantes de respuesta escaln, respuesta impulsional y funcin de transferencia. En el control PID han sido utilizadas tradicionalmente tcnicas especiales para modelar la dinmica del proceso. La idea es representar la dinmica del proceso mediante unas pocas caractersticas. Esto se analiza en la Seccin 2.4, donde se introducen caractersticas tales como tiempo de residencia medio, retardo aparente, constante de tiempo aparente, retardo normalizado, ganancia ltima, frecuencia ltima y razn de ganancia. En la Seccin 2.5 estudiamos algunos modelos particulares que son ampliamente utilizados en el control PID. Estos modelos se introducen en trminos de sus funciones de transferencia. En esa seccin se analiza tambin el concepto importante de normalizacin, as como las no linealidades. Los ejemplos tratados en la Seccin 2.5 sern ampliamente usados en el libro.

13

Captulo 2.Salida y

Modelos de procesos

Entrada u Figura 2.1 Caracterstica de proceso esttica, que muestra la salida del proceso y como funcin de la entrada del proceso u bajo condiciones de estado estacionario.

Las perturbaciones son un aspecto importante de un problema de control. En la Seccin 2.6 presentamos algunos modelos que se emplean para describir perturbaciones. La Seccin 2.7 describe mtodos simples para obtener modelos, y la Seccin 2.8 expone algunas tcnicas usadas para simplicar un modelo complicado. En la Seccin 2.9 se resume el contenido del captulo, y en la Seccin 2.10 se dan las referencias.

2.2 Modelos estticosEs natural comenzar describiendo la conducta estacionaria del proceso. Esto se puede hacer mediante una curva que muestra el valor en estado estacionario de la variable del proceso y (la salida) para diferentes valores de la variable manipulada u (la entrada); ver Figura 2.1. Esta curva se llama un modelo esttico o una caracterstica de proceso esttica. Todas las investigaciones del proceso deberan comenzar con una determinacin del modelo del proceso esttico. Puede emplearse para determinar el rango de seales de control requeridas para cambiar la salida del proceso en el rango deseado, para dimensionar los actuadores y para seleccionar la resolucin del sensor. La pendiente de la curva en la Figura 2.1 nos dice cunto cambia la variable de proceso para pequeos cambios en la variable manipulada. Esta pendiente se llama la ganancia esttica del proceso. Grandes variaciones en la ganancia indican que el problema de control puede ser difcil. El modelo esttico se puede obtener experimentalmente de algunas formas. Una manera natural es mantener la entrada en un valor constante y medir la salida en estado estacionario. Esto da un punto de la caracterstica del proceso. El experimento se repite para cubrir el rango completo de entradas. Un procedimiento alternativo es hacer un experimento en lazo cerrado donde la salida del sistema se mantiene constante mediante realimentacin y se mide el valor en estado estacionario de la entrada. Los experimentos requeridos para determinar el modelo del proceso esttico a menudo dan una buena idea intuitiva acerca de cuan fcil es el control de un proceso y si hay muchas perturbaciones. Los datos para los modelos en estado estacionario se pueden obtener de medidas tomadas en lnea. 14

2.3

Modelos dinmicos

Algunas veces las operaciones del proceso no permiten que los experimentos puedan hacerse tal como hemos descrito. Normalmente se permiten pequeas perturbaciones, pero puede no ser posible mover el proceso a lo largo de su rango completo de operacin. En tales casos el experimento se debe hacer durante un largo perodo de tiempo. Es posible proporcionar un sistema de control con capacidades para automticamente determinar el modelo esttico del proceso durante su operacin normal; ver Captulo 10.

2.3 Modelos dinmicosUn modelo de proceso esttico como el analizado en la seccin anterior nos da la relacin en estado estacionario entre las seales de entrada y salida. Un modelo dinmico debera proporcionar la relacin entre la entrada y la salida durante el transitorio. Es obviamente mucho ms difcil capturar la conducta dinmica. Sin embargo, esto es, esencial cuando se trata con problemas de control. Caracterizacin cualitativa de dinmicas de procesos Antes de intentar modelar un sistema con frecuencia es til obtener una caracterizacin cruda de su conducta dinmica. Para describir la conducta dinmica simplemente mostraremos la respuesta del sistema a un cambio en escaln en la variable manipulada. Esto se llama la respuesta en escaln del sistema o la curva de reaccin del proceso, Hay que hacer una distincin entre sistemas estables e inestables, La respuesta en escaln de un sistema estable va a un valor constante. Un sistema inestable no alcanzar un estado estacionario despues de un cambio en escaln. Los sistemas que tienen un integrador son un ejemplo tpico de un sistema inestable. En los primeros textos y trabajos sobre control de procesos, los sistemas estables se llamaban sistemas auto regulados. A partir de la respuesta en escaln se pueden obtener muchas propiedades de un sistema. La Figura 2.2 muestra las respuestas en escaln que se encuentran tpicamente en control de procesos. En la Figura 2.2a, la salida del proceso se cambia monotnicamente a un nuevo valor estacionario. ste es el tipo ms comn de respuesta en escaln que se encuentra en control de procesos. En la Figura 2.2b, la salida del proceso oscila alrededor de su valor nal estacionario. Este tipo de proceso es poco comn en control de procesos. Un caso donde ocurre es en el control de la concentracin de uidos en recirculacin. En diseos mecnicos, sin embargo, son usuales los procesos oscilantes cuando se usan materiales elsticos, e.g., ejes exibles en servos, construcciones con muelles, etc. Los sistemas de las Figuras 2.2a y 2.2b son estables, mientras que los sistemas que se muestran en las Figuras 2.2c y 2.2d son inestables. El sistema de la Figura 2.2c es un proceso integrador. Ejemplos de procesos integradores son el control de nivel, control de presin en un recipiente cerrado, control de concentracin en procesos por lotes y el control de temperatura en cmaras bien aisladas. El factor comn en todos estos procesos es que en ellos ocurre alguna clase de almacenamiento. En el control de nivel, presin y concentracin se produce un almacenamiento de masa, mientras que en el caso 15

Captulo 2. a)0,8 0,4 0

Modelos de procesos b)1

0 0 2 4 6 8

c)0,4 0

d)2 0

0

2

4

6

8

e)0,8 0,4 0

0

2

4

6

8

f)0,5

0

2

4

6

8

0

2

4

6 Figura 2.2

8

0, 5

0

2

4

6

8

Respuestas en escaln en lazo abierto.

del control de temperatura hay un almacenamiento de energa. El sistema de la Figura 2.2e tiene un gran retardo de tiempo. El retardo de tiempo ocurre cuando hay retardo de transporte en el proceso. El sistema en la Figura 2.2f es un sistema de fase no mnima. Obsrvese que la salida inicialmente se mueve en la direccin equivocada. El nivel de agua en las calderas a menudo reacciona de esta forma despues de un cambio en escaln en el caudal del agua de alimentacin. Sistemas lineales invariantes en el tiempo Hay una clase restringida de modelos, llamados sistemas lineales invariantes en el tiempo, que se pueden usar a menudo. Tales modelos describen la conducta de sistemas para pequeas desviaciones del equilibrio. Invariante en el tiempo signica que la conducta del sistema no cambia con el tiempo. Linealidad quiere decir que se cumple el principio de superposicin. Esto signica que si la entrada u1 da la salida y1 y la entrada u2 da la salida y2 entonces se sigue que la entrada au1 + bu2 da la salida ay1 + by2 . Una propiedad agradable de los sistemas lineales invariantes en el tiempo es que su respuesta a una entrada arbitraria se puede caracterizar completamente en trminos de la respuesta a una seal simple. Se pueden emplear muchas seales diferentes para caracterizar a un sistema. En trminos generales, podemos diferenciar entre las respuestas transitoria y en frecuencia. En un sistema de control tpicamente nos concentramos solamente sobre dos seales, la seal de control y la variable medida. La dinmica de procesos trata de la relacin entre estas seales. Esto signica que se incluye dinmica en los actuadores, proceso y sensores. Estas dinmicas estn con frecuencia dominadas 16

2.3q c1 q + qc qc c2 q

Modelos dinmicos

Figura 2.3 Diagrama esquemtico de un sistema consistente en dos tanques.

por la dinmica del proceso. En algunos caso, sin embargo, son los sensores y los actuadores los que dan la mayor contribucin a la dinmica. Por ejemplo, es muy comn que existan ltros con grandes constantes de tiempo en los sensores de temperatura. Tambin pueden haber ruido de medida y otras imperfecciones. Puede haber tambin una dinmica signicativa en los actuadores. Para realizar una buena tarea de control, es necesario tener conocimiento del origen fsico de la dinmica del proceso para juzgar si una buena respuesta en la variable medida realmente se corresponde con una buena respuesta de la variable fsica del proceso. Incluso si la atencin se centra sobre la variable medida conviene siempre tener presente que la variable de proceso es la seal que realmente importa. Modelado fsico Ecuaciones diferenciales Una forma tradicional de obtener un modelo del proceso es usar las leyes fsicas bsicas tales como balances de masa, momentos y energa. Tales descripciones tpicamente conducen a un modelo matemtico en trminos de ecuaciones diferenciales. Ilustramos esto con dos ejemplos. E JEMPLO 2.1TANQUE AGITADO Considrese un reactor de un tanque agitado ideal. Sea V el volumen del reactor y q el caudal volumtrico a travs del reactor. La variable manipulada es la concentracin u del caudal de entrada, y la variable de proceso y es la concentracin en el reactor. Un balance de masas para el reactor da V dy = q(u y). dt

El parmetro T = V/q, que tiene dimensiones de tiempo, es el tiempo de residencia medio de las partculas que entran al reactor. Se llama tambin la constante de tiempo del sistema. El sistema del Ejemplo 2.1 es de primer orden porque slo se necesita una variable para dar cuenta del almacenamiento en el tanque. Esto es posible porque el tanque est bien agitado de forma que la concentracin se puede suponer constante en todo el volumen. En casos ms complicados se requieren muchas variables para tomar en cuenta el almacenamiento de masa, energa y momento. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente. E JEMPLO 2.2TANQUES ACOPLADOS Sea el sistema que se muestra en la Figura 2.3, que est compuesto de dos tanques bien agitados. Suponga que cada tanque tiene un volumen V, que los caudales de entrada y de salida son q, y que el caudal de recirculacin es qc . Ms an, sea la concentracin del caudal de entrada la entrada u = cin , y la concentracin del 17

Captulo 2.

Modelos de procesos

caudal de salida la salida, y = cout . Cuando los tanques estn bien agitados el balance de masa se puede caracterizar por las concentraciones en los tanques. Dicho balance para el tanque es dc1 = (q + qc )c1 + qc c2 + qu dt dc2 = (q + qc )c1 (q + qc )c2 V dt y = c2 . V El modelo en el ejemplo consiste en dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Hay dos ecuaciones diferenciales porque el sistema se describe completamente mediante balances de masas y el almacenamiento de las masas se puede denir mediante dos variables. Se obtienen descripciones similares para sistemas ms complicados, pero el nmero de ecuaciones aumenta con la complejidad del sistema. La ecuacin diferencial puede ser tambin no lineal si hay fenmenos de transporte no lineales. El modelo en el Ejemplo 2.2 consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Si slo estamos interesados en las relaciones entre la entrada u y tambin se puede describir la salida y un modelo lineal por una ecuacin diferencial de orden ms alto, i.e., dn1 y dn1 u dn y + a1 n1 + . . . + an y = b1 n1 + . . . + bn u. dtn dt dt (2.1)

El nmero n es igual al nmero de variables necesitadas para dar cuenta del almacenamiento. ste es uno de los modelos estndar utilizados en control automtico. La ecuacin diferencial (2.1) se caracteriza por dos polinomios b(s) = b1 sn1 + + bn , a(s) = sn + a1 sn1 + + an (2.2)

donde el polinomio a(s) se llama el polinomio caracterstico. Los ceros del polinomio a(s) se llaman los polos del sistema, y los ceros del polinomio b(s) se llaman los ceros del sistema. La ecuacin diferencial (2.1) tiene una solucin de la forma t k t g(t )u()d, (2.3) y(t) = kCk (t)e +0

donde k son los polos del sistema y Ck (t) son polinomios (constantes si los polos son distintos). El primer trmino de la ecuacin anterior depende de las condiciones iniciales y el segundo de la entrada. La funcin g tiene la misma forma que el primer trmino del lado derecho de (2.3). Los polos proporcionan as una idea cualitativa til de las propiedades del sistema. En situaciones ms complicadas puede ser ms difcil tener en cuenta el almacenamiento de masa, momento y energa. Ilustramos esto con un ejemplo sencillo. 18

2.3

Modelos dinmicos

donde L es el tiempo que tarda una partcula en recorrer la cinta. Para tomar en cuenta el almacenamiento de masa en la cinta es necesario especicar la distribucin de masa en la cinta. La salida es as simplemente la entrada retardada. Este sistema se llama por lo tanto un retardo de tiempo o un retardo de transporte. Un retardo de tiempo se llama tambin un tiempo muerto. El modelo (2.4) tambin describe la concentracin en una tubera cuando no hay mezcla. Otros sistemas fsicos tales como la conduccin de calor y la difusin dan lugar a modelos en trminos de ecuaciones en derivadas parciales; en la Seccin 2.5 se dan ejemplos de tales modelos. Una caracterstica atractiva de los modelos fsicos es que los parmetros de la ecuacin pueden estar relacionados con magnitudes fsicas tales como volmenes, caudales, y constantes de los materiales. Se pueden construir tambin modelos complicados dividiendo un sistema en subsistemas, deduciendo modelos simples para cada subsistema y combinando estos modelos. Modelos de estado La nocin de estado es un concepto importante en dinmica de sistemas. El estado es un conjunto de variables que resumen la conducta pasada del sistema y admite una prediccin del futuro bajo la hiptesis de que se conocen las entradas futuras. Para el sistema en el Ejemplo 2.2, que consiste en dos tanques, el estado es simplemente las concentraciones c1 y c2 en los tanques. En general, el estado es la variable requerida para describir el almacenamiento de masa, momento y energa en un sistema. Para el sistema en el Ejemplo 2.3 el estado en el tiempo t son las entradas a lo largo de un intervalo de longitud L, i.e., {u(), t L < t}. Respuesta transitoria Una alternativa a describir modelos por ecuaciones diferenciales es concentrarse directamente sobre la conducta de entrada-salida. La dinmica puede en principio expresarse mediante una gran tabla de seales de entrada y sus correspondientes seales de salida. Este enfoque, que se llama respuesta transitoria, es quiz la forma ms intuitiva de caracterizar dinmicas de procesos. Una propiedad muy agradable de los sistemas lineales invariantes en el tiempo es que la tabla se puede describir por un par de seales. La seal de entrada particular se escoge a menudo de forma que es fcil de generar experimentalmente. Ejemplos tpicos son escalones, pulsos e impulsos. Recuerde que en la Figura 2.2 se mostraron respuestas en escaln tpicas. Debido al principio de superposicin se pueden normalizar las amplitudes de las seales de entrada. Por simplicidad es prctica normal normalizar dividiendo la salida por la magnitud del escaln de entrada. Es tambin usual trasladar la curva de forma que el escaln comience en el tiempo t = 0. Es entonces suciente 19

E JEMPLO 2.3R ETARDO DE TIEMPO Sea un sistema donde la masa se transporta a lo largo de una cinta transportadora. Sea la entrada u(t) el caudal msico de entrada en la cinta, y sea la salida y(t) el caudal msico de salida en la cinta. La relacin entrada-salida para el sistema es entonces y(t) = u(t L), (2.4)

Captulo 2.4

Modelos de procesos

2

y

0 1

0

5

10

15

20

0,50

u

0

5

10

15

20

Figura 2.4 La curva inferior muestra una seal de entrada en la forma de un escaln y la curva superior la respuesta del sistema al escaln.

mostrar slo la salida. En este libro seguiremos esta prctica. Por ejemplo, en la Figura 2.4 la salida se debera dividir por 0, 8 y trasladarla una unidad a la izquierda. En las primeras publicaciones sobre control de procesos la respuesta a un escaln se llam tambin la curva de reaccin. La salida generada por una entrada arbitraria se puede calcular a partir de la respuesta a un escaln. Sea h(t) la respuesta a un escaln unitario. La salida y(t) a una seal de entrada arbitraria u(t) viene dada por y(t) = t 0

u()

dh(t ) d = dt

t 0

u()g(t )d,

(2.5)

donde hemos introducido g(t) como la derivada de la respuesta a un escaln h(t). La funcin g(t) se llama la respuesta impulsional del sistema ya que se puede interpretar como la respuesta del sistema para un impulso muy corto con rea unidad. La funcin de transferencia La frmula (2.5) se puede simplicar bastante al introducir la transformada de Laplace. La transformada de Laplace F(s) de una funcin del tiempo f (t) se dene como est f (t)dt. (2.6) F(s) =0

Suponiendo que el sistema est inicialmente en reposo, i.e., y(t) = 0 y u(t) = 0 para t 0, y utilizando la transformada de Laplace, la Ecuacin 2.5 se puede escribir como Y(s) = G(s)U(s), (2.7)

donde U(s), Y(s), y G(s) son la transformada de Laplace de u(t), y(t), y g(t), respectivamente. La funcin G(s) se llama la funcin de transferencia del sistema. 20

2.3

Modelos dinmicos

La funcin de transferencia G(s) es tambin la transformada de Laplace de la respuesta impulsional g(t). La frmula dada por (2.7) tiene una fuerte interpretacin intuitiva. La transformada de Laplace de la salida es simplemente la transformada de Laplace de la entrada multiplicada por la funcin de transferencia del sistema. sta es una de las razones principales para utilizar la transformada de Laplace cuando se analizan sistemas lineales. El anlisis de sistemas lineales se reduce a pura lgebra. Una caracterstica agradable es que procesos, controladores, y seales se describen de la misma forma. Se puede utilizar tambin la Ecuacin 2.7 para denir la funcin de transferencia como la razn de las transformadas de Laplace de la entrada y la salida de un sistema. Como ilustraciones daremos la funcin de transferencia de algunos sistemas. E JEMPLO 2.4TANQUE AGITADO El tanque agitado en el Ejemplo 2.1 tiene la funcin de transferencia G(s) = 1 1 = sV/q + 1 sT + 1 (2.8)

donde la cantidad T = V/q, que tiene dimensiones de tiempo, se llama la constante de tiempo del sistema.

E JEMPLO 2.5R ETARDO DE TIEMPO Considrese el sistema que describe un retardo de transporte en el Ejemplo 2.3. Suponiendo que u(t) = 0 para L t 0 encontramos Y(s) = 0

e

st

y(t)dt =

0

est u(t L)dt = esL U(s).

La funcin de transferencia de un retardo de transporte es as G(s) = esL . (2.9)

La Ecuacin 2.7 implica que es fcil obtener la funcin de transferencia de un sistema interconectado. Esto se ilustra por el ejemplo siguiente. E JEMPLO 2.6S ISTEMA DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE TIEMPO (FOTD) Sea un sistema que es un tanque agitado sin mezcla que se alimenta por una tubera. Multiplicando la funcin de transferencia del tanque en el Ejemplo 2.4 por la funcin de transferencia de un retardo de tiempo en el Ejemplo 2.5 encontramos que el sistema tiene la funcin de transferencia G(s) = 1 esL . 1 + sT (2.10) 21

Captulo 2.

Modelos de procesos

Este modelo es muy comn en control de procesos. Se llama sistema de primer orden con un retardo de tiempo o sistema FOTD. Otra buena propiedad de la transformada de Laplace es que la transformada de una derivada est dada por la frmula 0

est f (t)dt = s

0

est f (t)dt f (0) = sF(s) f (0).

Si el valor inicial de la funcin del tiempo es cero, se sigue que la derivada de una funcin temporal corresponde a la multiplicacin de la transformada de Laplace por s. Anlogamente, se puede demostrar que la integracin de una seal corresponde a dividir la transformada de Laplace por s. Esto da una regla muy simple para manipular ecuaciones diferenciales donde los valores iniciales son ceros. Simplemente hay que sustituir las funciones por sus correspondientes transformadas de Laplace y las derivadas por s. La relacin entre seales se obtien entonces mediante simple lgebra. E JEMPLO 2.7E CUACIN DIFERENCIAL GENERAL Sea el sistema descrito por la ecuacin diferencial (2.1). Suponiendo que el sistema est inicialmente en reposo y tomando la transformada de Laplace de (2.1) obtenemos (sn + a1 sn1 + . . . + an )Y(s) = (b1 sn1 + b2 sn2 + . . . + bn )U(s), donde Y(s) es la transformada de Laplace de la salida, y U(s) la transformada de Laplace de la entrada. La funcin de transferencia del sistema es la razn de las transformadas de Laplace de la salida y la entrada, i.e., G(s) = b sn1 + b2 sn2 + . . . + bn Y(s) = 1 n . U(s) s + a1 sn1 + . . . + an (2.11)

E JEMPLO 2.8C ONTROLADOR PID El contolador PID dado por la Ecuacin 1.5 es un sistema dinmico con la funcin de transferencia 1 U(s) = K 1+ (2.12) + sTd . C(s) = E(s) sTi Los ltimos dos ejemplos ilustran que las funciones de transferencia se pueden obtener directamente por inspeccin a partir de las ecuaciones diferenciales. La regla es simplemente sustituir derivadas por s, integrales por 1/s, y funciones del tiempo por sus transformadas. Las funciones de transferencia se obtienen entonces como la razn entre seales. 22

2.30,2 0,1 y0

Modelos dinmicos

0, 11

0

5

10

15

0,50

u

0, 51 0 5 10 15

Figura 2.5 Ilustracin de la respuesta en frecuencia. La seal de entrada u es una sinusoide, y la seal de salida y se hace sinusoidal despues de un transitorio. La lnea a trazos muestra la respuesta en estado estacionario a la entrada sinusoidal.

Respuesta en frecuencia Otra forma de caracterizar la dinmica de un sistema lineal e invariante en el tiempo es investigar la respuesta del sistema a seales de entradas sinusoidales, una idea que se retrotrae al matemtico francs Fourier. La respuesta en frecuencia es menos intuitiva que la respuesta transitoria pero da otras perspectivas. Sea un sistema lineal estable. Si la seal de entrada al sistema es una sinusoide, entonces la seal de salida ser tambin una sinusoide despues de un cierto transitorio (ver Figura 2.5). La salida tendr la misma frequencia que la seal de entrada. Slo la fase y la amplitud son diferentes. Si la seal de entrada es u(t) = u0 sin t la salida en estado estacionario es y(t) = a()u0 sin t + () .

Las relaciones en estado estacionario entre la salida y una entrada sinusoidal con frequencia se puede describir por dos nmeros: la razn entre las amplitudes y la fase. La razn entre las amplitudes es la amplitud de salida dividida por la amplitud de entrada, y la fase es el desfase de la salida en relacin a la entrada. Las funciones a() y () dan la razn entre las amplitudes y la fase para todas las frecuencias. Las funciones a() y () se relacionan con la funcin de transferencia de la forma siguiente. G(i) = a()ei() . (2.13)

Los valores de la funcin de transferencia para argumentos imaginarios describen as la transmisin en estado estacionario de seales sinusoidales, y G(i) se llama la funcin de respuesta en frecuencia del sistema. El diagrama de Nyquist Hay muchas ilustraciones grcas tiles de la respuesta en frecuencia. El nmero complejo G(i) se puede representar por un vector de longitud a() que forma 23

Captulo 2.

Modelos de procesosIm G(i)

a

Re G(i)

Figura 2.6 El diagrama de Nyquist de un sistema es el lugar del nmero complejo G(i) cuando va desde 0 a .

un ngulo () con el eje real (ver Figura 2.6). Cuando la frecuencia va desde 0 a , el vector describe una curva en el plano, que se llama la curva de frecuencia o el diagrama de Nyquist. El diagrama de Nyquist da una descripcin completa del sistema. Se puede determinar experimentalmente enviando sinusoides de diferentes frecuencias al sistema. Esto, sin embargo, puede llevar mucho tiempo. Tambin se puede determinar a partir de otras seales. El diagrama de Bode El diagrama de Bode es otra representacin grca de la funcin de transferencia. El diagrama de Bode de una funcin de transferencia consiste en dos curvas, la curva de ganancia y la curva de fase; ver Figura 2.7. La curva de amplitud o ganancia muestra la razn de amplitudes a() = |G(i)| en funcin de la frecuencia . La curva de fase muestra la fase () = arg G(i) en funcin de la frecuencia . La frecuencia, en ambas curvas, se representa en escalas logartmicas en rad/s o Hz. La ganancia tambin se expresa en escalas logartmicas. El ngulo se da en escala lineal. El diagrama de Bode da una buena panormica de las propiedades de un sistema a lo largo de un amplio rango de frecuencias. Debido a que las escalas de la curva de ganancia tambin tienen asntotas lineales.

2.4 Modelos basados en caractersticasAlgunas veces es deseable tener una caracterizacin aproximada de un proceso basndose solamente en unas pocas caractersticas. Estas deberan de escogerse de forma que sean signicativas y con una buena interpretacin fsica. Deberan tambin ser fciles de determinar experimentalmente. Esta forma de describir la dinmica tiene una larga tradicin en control de procesos. Es til comenzar 24

2.4102

Modelos basados en caractersticas

Ganancia

10

1

10 1 10 90

0

10

0

10

1

Fase

0

90 101

Frecuencia

10

0

10

1

Figura 2.7 El diagrama de Bode de un controlador PID ideal (lnea continua) y un controlador con un ltro (lnea a tramos). La curva superior muestra la curva de ganancia |G(i)|, y el diagrama inferior la curva de fase arg G(i). El controlador tiene una ganancia elevada para bajas frecuencias, y la fase es 90 . El controlador ideal tiene tambin una elevada ganancia en altas frecuencias y la fase es 90 . El controlador con un ltro tiene ganancia constante en altas frecuencias.

con una clasicacin cruda de la respuesta a un escaln tal como se ilustra en la Figura 2.2. Ganancia del proceso Para procesos estables se puede describir la conducta en estado estacionario mediante un parmetro, la ganancia del proceso K p . Para procesos con integracin una entrada constante da en estado estacionario una salida que cambia con una velocidad constante. Esta conducta se puede expresar haciendo uso de la constante de velocidad Kv . Tiempo de residenca medio Es tambin til encontrar unos pocos parmetros para caracterizar la dinmica del proceso. La conducta temporal de un sistema estable con respuesta impulsional positiva se puede caracterizar por el parmetro Tar = 00

tg(t)dt g(t)dt

,

(2.14)

que se llama el tiempo de residencia medio. El tiempo de residencia medio es una medida aproximada de cunto tarda la entrada en tener una inuencia signica tiva sobre la salida. Obsrvese que la funcin g(t)/ g(t)dt se puede interpretar como una densidad de probabilidad si g(t) 0. El tiempo de residencia medio se puede calcular a partir de la respuesta a un 25

Captulo 2.y

Modelos de procesos

Kp

A0

t Figura 2.8 Ilustra el mtodo del rea para determinar el tiempo de residencia medio.

escalon de la forma siguiente (h() h(t))dt 0

Tar =

Kp

=

A0 , Kp

(2.15)

donde h(t) es la respuesta a un escaln y K p = G(0) es la ganancia esttica del proceso. Obsrvese que K p = h() y que A0 es el rea sombreada en la Figura 2.8.

Tiempo de residencia medio y funciones de transferencia El tiempo de residencia medio se puede calcular de forma muy conveniente a partir de la funcin de transferencia. Como la funcin de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta impulsional tenemos G(s) = 0

est g(t)dt.

Derivando esta expresin con respecto a s da G (s) =

0

est tg(t)dt.

Haciendo s = 0 en estas expresiones se sigue entonces de la denicin del tiempo de residencia medio (2.14) que Tar = G (0) . G(0) (2.16)

Esta frmula se ilustrar ahora mediante unos pocos ejemplos. 26

2.4

Modelos basados en caractersticas

E JEMPLO 2.9T IEMPO DE RESIDENCIA MEDIO PARA EL TANQUE AGITADO La funcin de transferencia para el tanque agitado en el Ejemplo 2.4 es G(s) = Tenemos G (s) = 1 . 1 + sT T , (1 + sT)2

y de (2.16) se sigue que el tiempo de residencia medio es Tar = T = V . q

El tiempo de residencia medio es as la razn entre el volumen y el caudal a travs del tanque.

E JEMPLO 2.10T IEMPO DE RESIDENCIA MEDIO PARA EL RETARDO DE TIEMPO La funcin de transferencia para el retardo de tiempo en el Ejemplo 2.5 es G(s) = esL . tenemos G (s) = LesL , Tar = L. El tiempo de residencia medio es as igual al retardo de tiempo.

y de (2.16) se sigue que el tiempo de residencia medio es

E JEMPLO 2.11T IEMPO DE RESIDENCIA MEDIO PARA SISTEMAS EN CASCADA Un sistema que es la combinacin en cascada de dos sistemas lineales estables con funciones de transferencia G1 (s) y G2 (s) tiene la funcin de transferencia G(s) = G1 (s)G2 (s). Tomando la derivada da G (s) = G1 (s)G2 (s) + G1 (s)G2 (s).

Se sigue de (2.16) que el tiempo de residencia medio es Tar = G (0) G2 (0) G1 (0)G2 (0) + G1 (0)G2 (0) = 1 . G1 (0)G2 (0) G1 (0) G2 (0)

27

Captulo 2.

Modelos de procesos

El tiempo de residencia medio es la suma de los tiempos de residencia de cada sistema. Este ejemplo muestra que el tiempo de residencia medio para el modelo FOTD del Ejemplo 2.6 es Tar = L + T. Un sistema con la funcin de transferencia G(s) = K p (1 + sT1 )(1 + sT2 ) esL . (1 + sT3 )(1 + sT4 )(1 + sT5 )

tiene el tiempo de residencia medio Tar = T3 + T4 + T5 + L T1 T2 . Modelos con dos parmetros Una forma muy simple de caracterizar la dinmica de un proceso estable es utilizar la ganancia K p y el tiempo de residencia medio Tar . Esto da el modelo siguiente Kp G(s) = 1 + sTar (2.17) G(s) = K p esTar , donde la dinmica se representa por una constante de tiempo o un retardo de tiempo. Retardo de tiempo aparente y constante de tiempo aparente Los sistemas con respuestas a un escaln que son esencialmente montonas son muy comunes en control de procesos. Tales sistemas se pueden modelar como sistemas de primer orden con retardo de tiempo mediante la funcin de transferencia Kp esL . (2.18) G(s) = 1 + sT Para poner de maniesto que los parmetros L y T son aproximados nos referimos a ellos como el retardo de tiempo aparente y la constante de tiempo aparente, o el retardo aparente, respectivamente. El tiempo de residencia medio es Tar = L + T. El parmetro L L , (2.19) = = Tar L+T que tiene la propiedad 0 1, se llama el retardo de tiempo normalizado o el tiempo muerto normalizado. Este parmetro se puede usar para caracterizar la dicultad de controlar un proceso. Se llama algunas veces la razn de controlabilidad. En trminos generales se puede decir que procesos con pequea son fciles de controlar, y la dicultad en controlar el sistema aumenta cuando aumenta. Sistemas con = 1 corresponden a procesos con retardo de tiempo puro, que son tambin difciles de controlar. Ganancia ltima y perodo ltimo Hasta aqu hemos utilizado caractersticas que se basan en la respuesta transitoria. Es tambin posible emplear caractersticas de la respuesta en frecuencia. Los 28

2.4Im P(i)

Modelos basados en caractersticas

180 b a

0 = 0 Re P(i)

90

Figura 2.9 Diagrama de Nyquist con los puntos 0 , 90 y 180 . La razn de ganancia es la relacin entre las distancias a y b.

modelos se pueden expresar en trminos de sus retardos de fases y la frecuencia, donde los sistemas tienen un retardo de fase dado. Para este objetivo, introducimos para denotar la frecuencia donde el retardo de fase es de grados, e introducimos K = |G(i )| para denotar la ganancia del proceso en . Las frecuencias 90 y 180 y las correspondientes ganancias del proceso K90 y K180 son de inters particular para el control PID. Estas frecuencias corresponden a las intersecciones del diagrama de Nyquist con los ejes reales e imaginarios negativos; ver Figura 2.9. Tambin tienen interpretaciones fsicas agradables. Considrese un proceso con control proporcional puro. Si se aumenta la ganancia del controlador el proceso comenzar a oscilar, y alcanzar el lmite de estabilidad cuando la ganancia del controlador es Ku = 1/K180 . La oscilacin tendr la frecuencia 180 . Esta frecuencia se llama la frecuencia ltima. El parmetro Ku se llama la ganancia ltima o la ganancia crtica. Los parmetros K90 y 90 tienen interpretaciones similares para un proceso con control integral puro. La razn de ganancia La razn de ganancia es un parmetro adicional que da una informacin til acerca del sistema. Este parmetro se dene como K180 |G(i180 )| . = Kp G(0) (2.20)

=

Es un indicador de cun difcil es controlar el proceso. Procesos con un pequeo son fciles de controlar. La dicultad aumenta cuando aumenta. El parmetro es tambin la razn entre las distancias a y b en el diagrama de Nyquist; ver Figura 2.9. El parmetro est tambin relacionado con el retardo de tiempo normalizado . Para el modelo FOTD dado por la Ecuacin 2.18 los parmetros y estn 29

Captulo 2.1

Modelos de procesos

0,8 0,6 0,4 0,20 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Figura 2.10 El retardo de tiempo normalizado como funcin de la razn de ganancia para el sistema (2.18). La lnea a tramos muestra la aproximacin de lnea recta = .

relacionados de la forma siguiente: arctan 1/ 2 1 . = arctan 1/ 2 1 + 1/ 2 1 (2.21)

Esta relacin es casi lineal tal como se muestra en la Figura 2.10, y se mantiene aproximadamente para muchos otros sistemas. Como una aproximacin bruta podemos igualar y . Para valores pequeos se obtiene una mejor aproximacin con = 1,6. Para el modelo FOTD es posible tambin encontrar los parmetros L y T de y 180 utilizando las siguientes ecuaciones 1 2 1 180 1 L= ( arctan 2 1) 180 |G(i180 )| . K= T=

(2.22)

2.5 Modelos de procesos tpicosGran parte de la conducta dinmica encontrada en control es relativamente simple. Los procesos se disean de tal forma que sean fciles de controlar. Si se utiliza control PID es natural que se empleen modelos de procesos sencillos. En esta seccin presentaremos algunos de los modelos que se suelen utilizar en conexin con el control PID. La mayora de estos modelos vienen caracterizados solamente por unos pocos parmetros. El modelo FOTD Un modelo de proceso que se suele utilizar en control de procesos tiene la funcin de transferencia (2.18). Es simple y describe aproximadamente la dinmica de muchos procesos industriales. Una comparacin con los Ejemplos 2.3 y 2.4 30

2.51

Modelos de procesos tpicos

0,8 y/K p 0,6 0,4 0,20 0

0,5

1

1.5

t/Tar

2

2.5

3

3.5

4

Figura 2.11 Respuesta a un escaln normalizado del modelo FOTD (2.18) para diferentes valores del retardo de tiempo normalizado. El retardo de tiempo normalizado es = 0 (punteada), 0,25, 0,5, 0,75 y 0,99 (a tramos).

muestra que pueden representar la dinmica de un tanque agitado sin mezcla con una tubera. El modelo se caracteriza por tres parmetros: la ganancia (esttica) K p , la constante de tiempo T, y el retardo de tiempo L. La constante de tiempo T se llama tambin el retardo. La respuesta en escaln del modelo (2.18) es h(t) = K p 1 e(tL)/T . Como el tiempo de residencia medio es Tar = L + T, el valor de la respuesta en escaln en este tiempo es h(Tar ) = K p 1 e1 0,63K p .

El tiempo de residencia medio se puede as determinar como el tiempo en el que la respuesta a un escaln ha alcanzado el 63 por ciento de su valor en estado estacionario. Dos parmetros del modelo (2.18) corresponden al escalado de los ejes que se puede reducir por normalizacin. Se pueden escoger como