- 156 -

Podstawiając (6.38) do (6.37), znaleziono

j<J t r \

i ° • xQ cos(wot) + jsin(w Q t)l,

3S(u t ) - jsinfw t) .0 0 1

J

- x o e

( 6 . 3 9 )

Obydwa rozwiązania (6.39) są zespolone. Jeżel i teraz przyjmie

s i ę , że x=(x+x)/2, to z (6.39) otrzyma się odpowiedź rzeczy-1 2

wista (i zgodną z intuicją)x = x cos (wQ

(6.40)

6.3.2. Kryterium Routha-Hurwitza

Równanie charakterystyczne układu liniowego (6.31) lub

(6.35) można przedstawić w postaci4)

aQsn + a^""1 + + a sn-l

a = 0 . (6.41)

Warunkiem koniecznym globalnej stabilności asymptotycznej

układu o równaniu charakterystycznym (6.41) jest wymóg aby

wszystkie współczynniki a równania (6.41) spełniały warunek

Warunkiem dostatecznym - aby wszystkie podwyznaczniki Ai

( i=2,3, . . . ,n-l) wyznacznika An o budowie:

i=2: A i-3l A3 = itd aż do i=n-l

(6.42)były większe od zera.

Jeżeli jeden lub więcej niż jeden podwyznacznik (6.42) jestrówny zeru, to układ jest stabilny globalnie ale nie asympto-tycznie (w układzie występują niegasnące drgania o stałej am-plitudzie) .

4)Spotyka się również inną postać tego równania: współczynnikprzy najwyższej potędze s, a więc iT jest a , a nie a . Czy-telnik za chwilę sprawdzi, ze postać (6.41) prowadzi do ł a t -wiejszych do zapamiętania algorytmów badania stabilności.

- 157 -

Przykład 6.6Równanie charakterystyczne układu ma postać 2s3+4s2+10s+3=0.

Sprawdzić stabilność układu.Warunek konieczny jest tu spełniony, bo wszystkie współ-

czynniki wielomianu są dodatnie i różne od zera. Dla sprawdze-nia warunku dostatecznego wprowadza się oznaczenia: a =2, a =4,a =10 oraz a =3. Stopień n wielomianu charakterystycznego jesttu równy 3. Wystarczy więc sprawdzić jeden podwyznacznik:

= 40-6 = 34 > 0.4 3

2 10

Układ jest więc stabilny globalnie i asymptotycznie.

Przykład 6.7

Ponawia się zadanie przykładu 6.6 dla równania charakterys-tycznego: 3s4+2s3+5sz+3s+4=0.

Warunek konieczny jest tu spełniony. Badania podwyznaczni-ków dają

2 3 03 5 4 = -13 < 0.0 2 3

A =2

= 10-9 = 1 > 0;

0.

Badany układ jest niestabilny.

Przykład 6.8

W tym przykładzie równanie charakterystyczne ma postać

4s3+2s2+4 , 5s+2 , 25=0 .

Warunek konieczny jest tu spełniony, ale

2 2,25

2 4 4,5

Tym samym układ jest stabilny globalnie ale nie asymptotycznie.

Przykład 6.9

Rozpatruje się podobne równanie charakterystyczne jak w

przykładzie 6.7 ale dla aa=0: 3s4+2s3+3s+4=0.

Układ jest niestabilny ponieważ nie jest spełniony warunek

konieczny (a =0).

Przykład 6.10

Dla utrzymania stałości prędkości kątowej u śmigła samolotu

niezbędne jest przestawianie kąta natarcia <p śmigła w zależnoś-

- 158 -

ci od wysokości lotu.

Na rys.6.4a pokazano układ automatycznej regulacji prędkoś-

ci w przez zmianę kąta <p (schemat aparaturowy) . Schemat blokowy

tego układu pokazano na rys.6.4b.

a) % J

Nastawienie

b)

AM, fs) łx-v AM/s)O

AM IsJ

(moment)

CZŁONNASTAW.

SILNIK = OBIEKT

ńw(s)CZtONWYKON. Auls)

m

(s)

(s)

G2(s) =

REGULATORtOOOk

0,12sz+3s*1000

Ryr.6.4. Układ automatycznej regulacji kąta <p natarcia śmigłasamolotu: a) schemat aparaturowy; b) schemat blokowy

- 159 -

Transmitancja operatorowa układu otwartego

G (s) = 1 0 0 Q k .0 (s+1)(0,12s2+3s+1000)S

Należy określić wartość k, dla której układ z ujemnym sprzęże-

niem zwrotnym jest jeszcze stabilny.

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego otrzymuje się

po uwzględnieniu (6.45): (s+1) (0,12sz+3s+1000) s+1000k=0, czyli

0,12s*+3,12s3+1003s2+1000s+1000k=0. Ponieważ A 2 = | Q ' ^ |

to należy określić A i znaleźć taką wartość k, dla której

A =0, czyli zachodzi stabilność obojętna3

3,12 1000 0

0,12 1003 lOOOk

0 3,12 1000

= 3,12(1003-1000-3,12-1000k) +

- 1000'0,12-1000 = 0.

Po rozwiązanniu równania A =0 względem k otrzymano k=309,15.

Układ jest więc stabilny asymptotycznie gdy k<309,15.

6.3.3. Kryterium Nyąuista

Kryterium Nyąuista pozwala na określenie stabilności układu

zamkniętego na podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej

układu otwartego, wyznaczonej analitycznie lub doświadczalnie.

Ma ono duże znaczenie praktyczne, szczególnie w przypadku ukła-

dów rzeczywistych, które może być trudno opisać analitycznie.

Na rys.6.5 pokazano, jak z układu zamkniętego uzyskuje się

układ otwarty (przerwanie pętli sprzężenia zwrotnego przed węz-

łem sumacyjnym). Transmitancje operatorowe układów zamkniętych

G (s) oraz G (s) dla przypadku a) i b) sa_ różne ale trans-z,a ztb

mitancje obydwu układów otwartych są takie same

L («)L (a)

Warto tu wyjaśnić, że równania charakterystyczne układów otwar-tych

<pQ(s) - M^sJM^s) = 0 (6.44)

oraz zamkniętych

są w obydwu przypadkach również identyczne

+M i(s)M z(s), (6.45)

- 160 -

a)

Ljts!

Mi'S>

02!s)

Li(s,

G2(s) =L2(s)

M2(s)

L2(s)

M2(s)

Y/s!

Yts)

Rys.6.5. Pojęcie układu otwartego i zamkniętego

Przed sformułowaniem kryterium Nyquista rozpatruje się

wstępnie równanie charakterystyczne dowolnego układu (zamknię-

tego lub otwartego), wykorzystując (6.31), zakładając występo-

wanie tylko pierwiastków jednokrotnych oraz podstawiając s=jw

<p(jw) = (ju-Sj) (ju-sz) ... (ju-sj = 0. (6.46)

W równaniu tym n jest stopniem równania charakterystycznego a

s są jego pierwiastkami.

Równanie (6.46) jest iloczynem liczb zespolonych, tym samym

n- TT l(J«-s.)l oraz arg £ arg(jw-s ). (6.47)

i

Na rys.6.6 przedstawiono poglądowo na płaszczyźnie zmiennejzespolonej s różnicę dwóch wektorów j(j i s , umieszczając przy-kładowo dwa pierwiastki w lewej i prawej półpłaszczyźnie. Jeże-li pulsacja u zmienia się od -co do +a> to wektor jw-s dokonujeobrotu o +71 dla pierwiastka s znajdującego się w lewej pół-

płaszczyźnie s

płaszczyźnie.i obrotu o -TT dla pierwiastka s w prawej pół-

- 161 -

Im

jej - s

(u < 01

Rys.6.6. Obroty wektorów jto-s przy zmianie

pulsacji w od -co do -h»

Jeżeli wszystkie pierwiastki (6.46) leżą w lewej półpłasz-

czyźnie (jest to warunek stabilności asymptotycznej badanego

układu) to dla w zmieniającego się od -« do +oo wektor p(jw)

powinien obrócić się o kąt równy mr. Po przedstawieniu (6.46)

ponownie w postaci (6.41) i podstawieniu s=ju można wykazać,

że <p (jw)=P(u) +jQ(w) . Łatwo udowodnić, że P((o)=P(-u) oraz

Q(w)=-Q(-a>) . Wystarczy tu więc rozpatrzyć zmianę pulsacji u od

0 do +oo, ponieważ hodografs) (p(jw) jest symetryczny na płasz-

czyźnie s względem osi rzeczywistej. Tym samym dla u zmieniają-

cego się od 0 do +» wektor p(jw) powinien obrócić się o kąt TT^,

jeżeli układ ma być stabilny asymptotycznie. Jest to dowodem

poprawności kryterium stabilności Michajłowa: układ dynamiczny

jest stabilny asymptotycznie, gdy hodograf weHtora p(jw) na

płaszczyźnie zmiennej zespolonej s, przy zmianie pulsacji ca od

0 do oo, zakreśla drogę kątową, n1—.

B) Krzywa zakreślona na płaszczyźnie s przez koniec wektora

- 162 -

Z braku miejsca kryterium to nie będzie w dalszym ciągu

ilustrowane przykładami.

Dla obydwu schematów na rys.6.5 mianownik transmitancji

Gz(s) układu zamkniętego jest równy l+GQ(s). Po podstawieniu

s=jw można napisać

(jw)L (jw)+M (ju)M (jw) ip (ju>)( 6 - 4 8 )

Tym samym zmianę argumentu funkcji l+GQ(jw) przedstawia się w

postaci

A arg [l+G (jw)] = A arg [ip (ju)] - A arg |>0(ju)]. (6.49)

Jeżeli układ otwarty jest stabilny asymptotycznie i ma po-

zostać tak samo stabilny po zamknięciu, to przyrost argumentu

1+G (ju) dla oswsco powinien być równy zeru, zgodnie z kryteriumG

Michajłowa, ponieważ wielomiany ¥>0(s) i ł>z(s) są tego samego

stopnia n. Warunek ten jest spełniony, gdy dla hodografu

1+G (jw) na płaszczyźnie s rozpoczynającego się na osi rzeczy-

wistej (w=0) i na niej kończącego (w=«), punkt (-l,jO) znajduje

się na zewnątrz hodografu.

Wykres G (ju) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s jest

charakterystyką amplitudowo-fazową układu otwartego- Jeżeli

charakterystyka ta dla O^wsm nie obejmuje punktu (-l,jO), to

punkt ten znajduje się na zewnątrz hodografu 1+G (ju) . Tym sa-

mym układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, jeżeli odpo-

wiadający mu układ otwarty jest również stabilny, a wykres

Go(jw) nie obejmuje punktu (-l,jO).

Kryterium Nyąuista dla tego przypadku można ująć następują-

co.

Jeżeli układ otvarty jest stabilny asymptotycznie, to pozo-

staje tak samo stabilny po zamknięciu, gdy charakterystyka

Go(jw) dla oswsm nie obejmuje punktu (-l,jO). Gdy charakterys-

tyka GQ(JCJ) przechodzi przez punkt (-l,jo), to układ zamknięty

jest na granicy stabilności (stabilny ale nie asymptotycznie).

Przykład 6.11

-ST

Zbadać stabilność układu, dla którego G (s)= ~ .

Po podstawieniu s=jw otrzymuje się po przekształceniach

- 163 -

l+(TzU)'cos (Tu) - T wsin(T w) +

- j sin(Tu) + T wcos(T u) 11. (6.50)

Z zależności tej wynika, że dla w=0 G (ju)=k.

Punkt przecięcia charakterystyki amplitudowo-fazowej z osią

rzeczywistą znajduje się po przyrównaniu do zera części urojo-

nej (6.50). Daje to równanie

Tu + tq(T u ) = 0 .2 k ^ v 1 k'

(6.51)

Można je rozwiązać względem u wykreślnie lub numerycznie (np.

metodą Newtona). Po podstawieniu znalezionej w ten sposób war-

tości u^ do części rzeczywistej (6.50) sprawdza się, czy jest

ona większa lub mniejsza od -i, co w tym przypadku wystarcza do

oceny stabilności badanego układu po jego zamknięciu. (Na tym

etapie można wyznaczyć również tzw. zapas modułu, o którym jest

mowa w dalszym ciągu tego punktu)._

Niech dane liczbowe przykładu wynoszą T =n s, T 2=2TT S oraz

k=l. Numerycznie znaleziono z (6.51) w =0,585 rd/s. WykresG (Jw) pokazano na rys.6.7. Z analizy przebiegu wykresu na tym

rysunku wynika, 2e przy danych liczbowych zadania, badany układ

jest stabilny po zamknięciu, ponieważ charakterystyka G Q

nie obejmuje punktu (-l,jO), a układ otwarty jest stabilny.

* Im

Rys.6.7. Ilustracja do przykładu 6.11.Charakterystyka amplitudowo-fazowa ukła-du, który po zamknięciu jest stabilny

- 164 -

Jeżeli dla tych samych stałych: T^n s i T2=27T S przyjmie

się inną niż 1 wartość k, to początkiem charakterystyki GQ(ju)

będzie punkt k na osi Re, a punktem jej przecięcia z tą osią -

punkt -0,267k. Łatwo stąd wyznaczyć wartość graniczną kgr=3,75,

powyżej której badany układ po zamknięciu staje się niestabil-

ny.

Na rys.6.8 pokazano charakterystykę, którą dla tego samego

układu uzyskano dla k=2, 0̂ =4 s i T2=2 s. Tym razem układ po

zamknięciu będzie niestabilny, bo charakterystyka obejmuje

punkt (-1,jO).

kim

Re

Rys.6.8. Charakterystyka układu niestabil-nego po zamknięciu

Ważną zaletą kryterium Nyąuista, której nie mają inne kry-teria, jest łatwość określenia zapasu stabilności badanegoukładu.

W pobliżu granicy stabilności stany nieustalone są oscyla-cyjne o tym mniejszym tłumieniu, im bliżej tej granicy znajdujesię układ. Wynika stąd wymóg zapewnienia układowi odpowiedniegozapasu stabilności.

Operując pojęciami charakterystyk częstotliwościowych ukła-dów stabilnych, określa się dla nich dwie wielkości:- zapas modułuoraz

- zapas fazy.

Zapas modułu jest współczynnikiem a, przez jaki należy

przemnożyć wzmocnienie układu, przy nie zmienionym argumencie

transmitancji widmowej układu otwartego, aby doprowadzić układ

- 165 -

do granicy stabilności. Zapas fazy kip, mierzony w stopniach,określa wartość zmiany argumentu transmitancji widmowej układuotwartego przy nie zmienionym wzmocnieniu, która przynosi tensam skutek.

Na rys.6.9 pokazano przypadek charakterystyki G (ju) ukła-du, dla którego obydwie wielkości wyznacza się w łatwy sposóbwykreślnie. Jeżeli podziałki osi Im i Re są jednakowe, to punktA przecięcia okręgu jednostkowego zakreślonego z początku ukła-du współrzędnych z charakterystyką G (ju) wyznacza kąt A». Za-

bpas modułu a wyznacza się z zależności a= —. Dla układu z rys.' • II f\

6.9 znaleziono w ten sposób Ap=75° oraz a=2,43.

Rys.6.9. Wyznaczanie zapasu modułu i fazy

Zapasy stabilności można również określić analitycznie

(por. przykład 6.11). Wymaga to określenia pulsacji IÓ , dla

której część urojona G (ju) ma wartość zerową, a następnie wy-

znaczenia dla tej pulsacji części rzeczywistej G (jw). W tensposób określa się zapas modułu a. Określenie zapasu fazy hęwymaga znalezienia wartości w , dla której |Go(jcj)|=l. Po pod-stawieniu u do G (jw) oblicza się P(w ) oraz Q(<-O i wyznaczaAy z zależności: ' Ap=1800-arctg(Q(c<> )/P(u ))^ W praktyce stosujesię zapas modułu O<Ł2 (odpowiada "to~"wzmocnieniu 201og 2=6 dB)

oraz zapas fazy

Kryterium Nyquista w przypadku astatycznych układów otwartych

Wiele układów regulacji automatycznej zawiera człony całku-

jące, które są źródłem astatyzmu odpowiadających im układów ot-

wartych. Liczba takich członów, połączonych szeregowo z innymi

- 166 -

członami elementarnymi nie przekracza w praktyce dwóch. Rozpat-

ruje się więc zwykle tylko układy z jednym członem całkującym

(układy astatyczne pierwszego rzędu) i z dwoma takimi członami

(układy astatyczne drugiego rzędu).

Wykreślenie pełnej charakterystyki amplitudowo-fazowej

G (jw) dla OSŁfcsra w obydwu przypadkach jest utrudnione nieogra-

niczonym wzrostem modułu \G (ju)I dla pulsacji zbliżonej do ze-

ra. Nie jest to zresztą potrzebne, bo istotne dla badania sta-

bilności układu informacje zawarte są w tych fragmentach, które

przebiegają w okolicach punktu krytycznego (-l,jO) i kończą się

dla w=« - w początku układu współrzędnych.

Metoda Nyąuista badania stabilności układów, które po ot-

warciu sa astatyczne, jest podobna do omawianej już metody ba-

dania układów statycznych. Różnica polega tylko na tym, że cha-

rakterystykę amplitudowo-fazową astatycznego układu otwartego

uzupełnia się fragmentem umownego okręgu o nieskończenie dużym

promieniu, tak aby rozpoczynała się ona na dodatnim odcinku osi

Re. Metoda ta, której uzasadnienie teoretyczne jest podane

m.in. w pracach [2] i [7], zostanie zilustrowana prostym przy-

kładem.

Przykład £.12

Rozpatruje się otwarty układ astatyczny pierwszego rzędu o

transmitancji Gp(s>~s(T s+1) (/s+1) (T s+l) ' Jest to dość ogólny

1 2 3

przypadek członu całkującego połączonego szeregowo z trzema

członami inercyjnymi pierwszego rzędu, które łącznie odpowiada-

ją jednemu członowi inercyjnemu trzeciego rzędu. Przy zerowej

wartości jednej ze stałych czasowych otrzymuje się człon iner-

cyjny drugiego rzędu, a gdy tylko jedna stała różni się od zera

- pierwszego rzędu.

Po podstawieniu s=jw do GQ(s) i odpowiednich przekształce-

niach otrzymano

arg

Re

Im

c

G c

Go

( j

.(ju)

(jw)

to) ==

P(U)

= Q(w) . -k(lCt)

- arctg

"i

-</c)N '

2

oifau2

c- b )

( 6 .

( 6 .

( 6 .

52)

53)

54)

- 167 -

przy oznaczeniach: a=T T T : b=T +T +T ; c=T T +T T +T T oraz1 2 3 1 2 3 ' 1 2 1 3 2 3

N = (j2(awz-b)2 + ( i - w 2 c ) 2 . (6.55)

Po przyrównaniu Q(u) do zera znaleziono pulsację w , dlaktórej charakterystyka G (ju) przecina oś Re

1u =k

(6.56)

Jeżeli wartości tej odpowiada P(w)=-l, to układ otwarty pozamknięciu znajdzie się na granicy stabilności.

Po podstawieniu (6.56) do (6.52) i przyrównaniu do -1otrzymano graniczną wartość k=kk, dla której układ po zamknię-ciu przestaje być stabilny

\ = ^ - (6.57)

Z postaci wzorów (6.56) i (6.57) wynika, że obydwie wartoś-ci krytyczne: u i k zależą od wartości stałych T , T i T .

k K 1 2 3

Po przyjęciu k=l uzyskano przykładowy wykres fragmentu

charakterystyki układu otwartego dla T =1 s, T =2 s oraz T =3 s1 2 3

(rys.6.10a). Dla tych danych układ po zamknięciu będzie niesta-bilny, ponieważ punkt krytyczny -l,jo jest objęty przez charak-terystykę układu otwartego (uzupełnioną ćwierćokręgiem o nie-skończenie dużym promieniu). Wynik ten potwierdza uzyskana war-tość z (6.57) kk=0,4959, ponieważ k=l > kk=0,4959. Układ tenbędzie stabilny po zamknięciu jeżeli wzmocnienie k zostaniezmniejszone do wartości mniejszej od k̂ .

m

7

b)

s—•—<

ImT1 = 9,25

T2= 9,5

T3= 1

= 2

^ \

/

Re

I

1

Rys.6.10. Badanie stabilności układów otwartych z astatyzmempierwszego rzędu: a) układ, który po zamknięciu jest niestabil-

ny; b) układ, który po zamknięciu jest stabilny

- 168 -

Po zmianie wartości stałych na 1^=0,25, T2=0,5 oraz T3=luzyskano przebieg charakterystyki, która dla k=l nie obejmujejuż punktu krytycznego (rys.6.l0b), a więc dotyczy układu,który po zamknięciu będzie stabilny.

Ze wzorów (6.52), (6.53) oraz (6.55) wynika, że dla w—>+0P(u)—>-kb oraz Q(w)—»-«. Charakterystyka układu otwartego dlaw—H-0 zbliża się do półprostej leżącej w trzeciej ćwiartce,równoległej do osi Im i odległej od niej o kb.

W przykładzie 6.12 omówiono przypadek, w którym przy odpo-wiednim doborze parametrów można było uzyskać stabilność układuzamkniętego, mimo że układ otwarty był astatyczny. Istniejąjednakże układy, w których żadne zmiany parametrów nie zapew-niają stabilności. Na przykład, jeżeli układ otwarty jest sze-regowym połączeniem co najmniej dwóch członów całkujących orazczłonu inercyjnego dowolnego rzędu, to jego charakterystyka am-plitudowo-fazowa (uzupełniona odpowiednim fragmentem okręgu onieskończenie dużym promieniu) obejmuje punkt krytyczny przydowolnych (ale dodatnich) wartościach współczynnika wzmocnie-nia oraz stałych czasowych. Dla zapewnienia stabilności układujest w tym przypadku niezbędna zmiana jego struktury. Dlatego otakich układach mówi się, że są niestabilne strukturalnie.

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Po zastąpieniu modułu |G (ju) | transmitancji układu otwar-tego przez M=201og|Go(jw) I (w decybelach) i wykreśleniu zależ-ności M(*>), gdzie- ̂ =arg GQ(jo>), otrzymuje się logarytmicznącharakterystykę amplitudowo-fazową (Nicholsa) , na której odpo-wiednikiem punktu krytycznego (-l,jO) jest punkt (0 dB,-180°).Kryterium Nyquista można wtedy, z pewnym uproszczeniem, sformu-łować następująco:

Jeżeli punkt (0 dB,-180°) pozostaje stale po prawej stroniedla obserwatora przemieszczającego się wzdłuż amplitudowo--fazowej charakterystyki logarytmicznej układu otwartego, dlapulsacji u dążących od 0 do <*>, to układ po zamknięciu będziestabilny. Jeżeli punkt ten jest stale po stronie lewej, toukład jest niestabilny, a gdy charakterystyka przechodzi przezpunkt krytyczny, to układ jest na granicy stabilności.

Wszystkie te trzy przypadki ilustruje rys.6.11.

- 169 -

...na granicystabilności

Rys.6.11. Charakterystyki Nicholsa

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowe i fazowe wykreś-lane w funkcji logarytmu pulsacji we) są wygodniejsze w zasto-sowaniach praktycznych od charakterystyk VL(<p) . Przyrosty u po-daje się wtedy zwykle w dekadach, które w skali logarytmicznejsą odwzorowane odcinkami o stałej długości. Na charakterysty-kach takich łatwo jest odczytać ewentualne zapasy stabilnościbadanego układu, a gdy układ jest niestabilny - podjąć odpo-wiednie działania, które zapewnią jego stabilność (np. przezwprowadzenie członów korekcyjnych - por. p.7.3).

Na rys.6.12a, b i c podano fragmenty trzech charakterystyklogarytmicznych (tylko dla jednej, najistotniejszej dekady)układu przebadanego w przykładzie 6.11. Ukiad po zamknięciujest: stabilny - a/ na granicy stabilności - b oraz niestabilny- c . Zastosowano tu takie same stałe czasowe jak w przypadkurys. 6.7 (T^TT S, T =2n s) .

Na rys.6.l2a można odczytać, że zapas modułu wynosi około6,4 dB, a zapas fazy - Ay=74°.

W przypadku układu niestabilnego z rys.6.12c dla ^=-180°wartość modułu jest dodatnia i wynosi ok. 3 dB.

6) W literaturze anglosaskiej nazywają je wykresami Bodę' go.

- 170 -

a)20

10

b) c)

-10

-20

dB

t = 2

-90"

-130c

-270c

dB

-270c

dB

Mlu)

0

-10

>)

ł . s

- 90

-270°

0,1 co, rad/s 1 0,1 1 0,1

Rys.6.12. Logarytmiczne charakterystyki amplitudowe i fazowe:a) układ po zamknięciu stabilny; b) układ na granicy stabilnoś-

ci; c) układ niestabilny

Na zakończenie tego przykładu warto zanotować ogólne spo-

strzeżenie:

Układ otwarty jest po zamknięciu stabilny, gdy:

dla <p(w)=-180° M((j)<0,

dla M(w)=0 dB °

Wykreślanie dokładnych charakterystyk logarytmicznych wyma-ga żmudnych obliczeń, jeżeli wykonuje się je na kalkulatorze.Stosowana jest więc powszechnie pewna uproszczona metoda, wktórej charakterystyki M(w) zastępuje się odcinkami linii pros-tych (asymptot przebiegów dokładnych), a przebiegi <p(u)) - szki-cuje wg pewnych punktów charakterystycznych dla poszczególnychczłonów. Sposób postępowania wyjaśniony już był w rozdziale 4.Przykłady różnych, rozwiązanych w ten sposób zadań, Czytelnikznajdzie w pracach [2], [5] i [7]. Obecnie znacznie dokładnieji szybciej rozwiązuje się takie zadania przy użyciu komputera.W rozdziale 7 zamieszczono opis programu LOG4, który jest mię-dzy innymi przeznaczony do tych celów.

Bibliografia

1. Gibson J.E.: Nieliniowe układy sterowania automatycznego.(INT, Warszawa 1968.

2. Kaczorek T. : Teoria układów regulacji automatycznej. CzęśćII, zeszyt 2. WPW, Warszawa 1974.

- 171 -

Mazurek J., Vogt H. , Żydanowicz W.: Podstawy automatyki.WPW, Warszawa 1983.

P.A. ( p e a . ) : MeToflw wcc/ieaoBaHMfl He/iMHeŃHbixaBTOMaTMHecKoro ynpaB/ieHMfl. Itofl. HayKa, MocKBa 1 9 7 5 .

5. Pełczewski W.: Teoria sterowania. WNT, Warszawa 1980.

6. Thaler G.J., Pastel M.P.: Nieliniowe układy automatycznegosterowania. WNT, Warszawa 1965.

7. Żelazny M.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1967.