Przypomnijmy, dla równanie Bernoulliego.

Dla dowolnie wybranego przekroju poprzecznego strugi zachodzi równanie

UOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLIEGOUOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLIEGO

(1a)

lub

(1b)

Podczas przepływu równanie (1a,b) jest nieprawdziwe ze względu na istnienie strat energii. Energia rozporządzalna strugi w przekroju początkowym przedstawia się równaniem

(2a)

211

1 1 1,2

śrpe zg g

Wskutek istnienia strat hydraulicznych

(3)

(4)

stąd po uwzględnieniu strat energii otrzymujemy równanie

hs jest na drodze pomiędzy przekrojami 1-2.

222

2 2 2 ,2

śrpe zg g

a w przekroju końcowym

(2b)

Podstawiając równania (2a,b) do (4) otrzymamy

(5)

Mnożąc równanie (5) stronami przez g otrzymamy inną postać uogólnionego równania Bernoulliego

(6)

Nazwy członów / wielkości i jednostkiNazwy członów / wielkości i jednostki

Człon / Wielkość Nazwa Jednostka

shsp

współczynnik Coriolisa

wysokość strat ciśnienia

strata ciśnienia

-

Rys.1. Interpretacja graficzna uogólnionego równania Bernoulliego

Występujące we wzorze (6) współczynniki 1 i 2, nazywane współczynnikami Coriolisa, korygują sposób wyznaczania energii kinetycznej cieczy za pomocą średnich prędkości przepływu

(7)

Współczynnik Coriolisa zdefiniowany jest wzorem

(8)

(9)

Energia kinetyczna obliczona za pomocą średniej prędkości przepływu wynosi

2 2 3

,2 2 2

śr śr śr śrk m śrE q t A t A t

Współczynnik CoriolisaWspółczynnik Coriolisa

Energia kinetyczna rzeczywista strugi elementarnej

3

,2

rzkE t dA

(10)

czyli:

(10a)

2 3

2 2rzkdE dA t dA t

(11).13

3

śr

A

dA

A

Podstawiając (9) i (10a) do (8) współczynnik Coriolisa wyraża się wzorem

(12)

Dla przepływu laminarnego osiowo-symetrycznego rozkład prędkości ma postać

2 2

2 2 2 1 2 1 .4 4 śr

p p r rR r Rl l R R

Po podstawieniu (12) do (11) otrzymamy

(13)

32

332

0

3 2 3 20

2 1 21 1 16 1

R

śr RA

śr śr

r rdrdA R r rdrA R R R

Dla przepływów turbulentnych

Rzeczywistą energię kinetyczną strugi można wyznaczyć jako

(13a)

Czyli w przypadku przepływu laminarnego rzeczywista energia kinetyczna strugi jest dwa razy większa od energii wyznaczonej na podstawie prędkości średniej, natomiast dla przepływów turbulentnych rzeczywista energia kinetyczna zbliżona do wyznaczonej na podstawie prędkości średniej.

Rodzaje strat hydraulicznych:Rodzaje strat hydraulicznych:

1. 1. - straty liniowe powstające na prostych odcinkach przewodów o stałej średnicy dd i długości l.l.

2. - straty miejscowe powstające na przeszkodach lokalnych typu zawory, kolanka, nagła zmiana pola przekroju, itp.

Liniowe straty hydrauliczneLiniowe straty hydrauliczne

(14)

- współczynnik strat liniowych (bezwymiarowy).

Wysokość strat liniowych obliczamy ze wzoru Darcy-Weisbacha

(14a)

lub liniowa strata ciśnienia:

(14b)

W ogólnym przypadku współczynnik jest funkcją liczby Reynoldsa i chropowatości przewodu = k/d =>

Z prawa Hagena-Poiseuille’a strata ciśnienia w rurze o wymiarach l, d

(15)2 2

32 32 ,sl l v lpd d 2

32 .sl vlhgd

Przepływ laminarny

Po porównaniu wzorów Darcy-Weisbacha (14) i (15) otrzymamy

(16)

2

2

322

sl vl lhgd d g

(17)

Dla przepływu laminarnego

W ruchu turbulentnym =f(Re, ).

Chropowatość bezwzględna: a) naturalna, b) sztuczna

Przepływ turbulentny

Materiał Stan powierzchni k, mm

Rury walcowane:miedź, mosiądz, brąz gładkie 0,0015÷0,100

Rury walcowane:aluminium gładkie 0,015÷0,06

Rury stalowe walcowane

nowe 0,02÷0,10

nieznacznie skorodowane 0,4

z większymi osadami kamienia ~ 3,0

Rury żeliwnenowe 0,25÷1,0

z osadami 1,0÷1,5

Rury betonowe średnia gładkość 2,5

Bezwzględny współczynnik chropowatości dla wybranych materiałów:

Współczynnik chropowatości bezwzględnej może przyjmować wartości od k=0,005 mm dla przewodów szklanych do k=9mm dla przewodów betonowych chropowatych.

k>lam

78

*

8 2 2Re

25Re

lamv v d

d

k<lam

Formuła Blasiusa

(18)

(19)

Rekr<Re < 105

Formuła Schillera

0,30,054 0,396 Re Rekr<Re < 106

Formuła Altsula

Wykres Colebrooka-White’a

(20)

Formuła Nikuradsego (w strefie kwadratowej zależności oporów)

(21)74,1lg21 kr

Re > Regr

Formuła Colebrooka-Whita (w strefie kwadratowej zależności oporów)

22,512lg

3,72Rek

d

Wykres Nikuradsego

Strefy przepływu:

Liniowe straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.Liniowe straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.

- w przepływie laminarnym Re < Rekr

slh

2 2

2

64 64 32 ,Re 2 2

sl l l lhd g d d g d g

2

2 4

432 128 ,v

slv

ql ldh qd g d g

i

Straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.Straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.

- w strefie kwadratowej zależności oporów Re>Regr

slh

2

( ) ,2

sl lh f kd g

2

22

5

48( ) ( ) ,

2

v

slv

ql ldh f k f k qd g d g

i

MIEJSCOWE STRATY HYDRAULICZNE

(22a)

w którym:υ – średnia prędkość przepływu , z wyjątkiem szczególnych przypadków, wyraźnie zaznaczonych np. wlot do zbiornika;ς – współczynnik oporu miejscowego zależny od geometrii oporu miejscowego i liczby Reynoldsa. Przy dużych liczbach Re, zwykle dla Re>104, współczynnik ς nie zależy od Re.

Wysokość miejscowych strat hydraulicznych / miejscową stratę ciśnienia obliczamy ze wzoru:

(22b)

Nagłe rozszerzenie przewodu

22

1

2 13500Re

dd

1

2Re,3500Re10ddf

Re3010Re

11Re d

gdzie:

Wylot ze zbiornika

a) o ostrych krawędziach

410Re5,0 dla

b) o zaokrąglonych krawędziach

Wlot do zbiornika

Nagłe zmniejszenie średnicy przewodu

2

2

1

0,5 1 dd

Kolano gięte

Zasuwa

DS

0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0

ς 30 22 12 5,3 2,8 1,5 0,8 0,3 0,1

DS

Zawór motylkowy

181

91

61

92

185

31

187

21

° 10 20 30 40 50 60 70 80

rad

0,52 1,54 3,91 10,8 32,6 118 751 ∞

90

Kurek gazowy

181

91

61

92

105 96,0 17,1

° 10 20 30 40 50 55 67

rad

0,31 1,84 6,15 20,7 95 275 ∞

Zawór grzybkowy normalny

D

D, mm 20 40 80 100 150 200 250 300

8,0 4,9 4,0 4,1 4,4 4,7 5,1 5,4

Wzór Bordy-Carnota

Na podstawie równania ilości ruchu otrzymamy:

Z równania Bernoulliego dla przekrojów 1 – 1 i 2 – 2 otrzymamy:

skąd po przekształceniu:

2 1 1 2 2Vq p p A

12221

pp

shgpp 21

22

21

21

Po porównaniu obu powyższych równań:

shg 21

22122 2

1

Wzór ten nosi nazwę wzoru Bordy-Carnota.

Z równania ciągłości A11=A22 wyznaczamy 1 i po podstawieniu

stąd:

22 22 1

2sh

g

1

21

2

1

2

22

1

222

AA

gAA

ghs