abcpw.bg.pw.edu.pl/content/767/12zdau_kryterium.pdf · kryterium routha-hurwitza równanie...

of 16/16
156 Podstawiaj c (6.38) do (6.37), znaleziono j<J t r \ i ° • x Q cos(w o t) + jsin(w Q t)l, 3S(u t) jsinfw t) . 0 0 1 J - x o e (6.39) Obydwa rozwi zania (6.39) s zespolone. Jeżeli teraz przyjmie si , że x=(x+x)/2, to z (6.39) otrzyma si odpowiedź rzeczy 1 2 wista (i zgodn z intuicj ) x = x cos (w Q (6.40) 6.3.2. Kryterium Routha Hurwitza Równanie charakterystyczne układu liniowego (6.31) lub (6.35) można przedstawić w postaci 4) a Q s n + a^"" 1 + + a s nl a=0. (6.41) Warunkiem koniecznym globalnej stabilności asymptotycznej układu o równaniu charakterystycznym (6.41) jest wymóg aby wszystkie współczynniki a równania (6.41) spełniały warunek Warunkiem dostatecznym aby wszystkie podwyznaczniki Ai (i=2,3,. . . ,n l) wyznacznika An o budowie: i=2: A i-3l A 3 = itd aż do i=n l (6.42) były wi ksze od zera. Jeżeli jeden lub wi cej niż jeden podwyznacznik (6.42) jest równy zeru, to układ jest stabilny globalnie ale nie asympto tycznie (w układzie wyst puj niegasn ce drgania o stałej am plitudzie) . 4) Spotyka si również inn postać tego równania: współczynnik przy najwyższej pot dze s, a wi c iT jest a , a nie a . Czy telnik za chwil sprawdzi, ze postać (6.41) prowadzi do łat wiejszych do zapami tania algorytmów badania stabilności.

Post on 27-Feb-2019

213 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

- 156 -

Podstawiajc (6.38) do (6.37), znaleziono

j

- 157 -

Przykad 6.6Rwnanie charakterystyczne ukadu ma posta 2s3+4s2+10s+3=0.

Sprawdzi stabilno ukadu.Warunek konieczny jest tu speniony, bo wszystkie wsp-

czynniki wielomianu s dodatnie i rne od zera. Dla sprawdze-nia warunku dostatecznego wprowadza si oznaczenia: a =2, a =4,a =10 oraz a =3. Stopie n wielomianu charakterystycznego jesttu rwny 3. Wystarczy wic sprawdzi jeden podwyznacznik:

= 40-6 = 34 > 0.4 3

2 10

Ukad jest wic stabilny globalnie i asymptotycznie.

Przykad 6.7

Ponawia si zadanie przykadu 6.6 dla rwnania charakterys-tycznego: 3s4+2s3+5sz+3s+4=0.

Warunek konieczny jest tu speniony. Badania podwyznaczni-kw daj

2 3 03 5 4 = -13 < 0.0 2 3

A =2

= 10-9 = 1 > 0;

0.

Badany ukad jest niestabilny.

Przykad 6.8

W tym przykadzie rwnanie charakterystyczne ma posta

4s3+2s2+4 , 5s+2 , 25=0 .

Warunek konieczny jest tu speniony, ale

2 2,25

2 4 4,5

Tym samym ukad jest stabilny globalnie ale nie asymptotycznie.

Przykad 6.9

Rozpatruje si podobne rwnanie charakterystyczne jak w

przykadzie 6.7 ale dla aa=0: 3s4+2s3+3s+4=0.

Ukad jest niestabilny poniewa nie jest speniony warunek

konieczny (a =0).

Przykad 6.10

Dla utrzymania staoci prdkoci ktowej u miga samolotu

niezbdne jest przestawianie kta natarcia

- 158 -

ci od wysokoci lotu.

Na rys.6.4a pokazano ukad automatycznej regulacji prdko-

ci w przez zmian kta

- 159 -

Transmitancja operatorowa ukadu otwartego

G (s) = 1 0 0 Q k .0 (s+1)(0,12s2+3s+1000)S

Naley okreli warto k, dla ktrej ukad z ujemnym sprze-

niem zwrotnym jest jeszcze stabilny.

Rwnanie charakterystyczne ukadu zamknitego otrzymuje si

po uwzgldnieniu (6.45): (s+1) (0,12sz+3s+1000) s+1000k=0, czyli

0,12s*+3,12s3+1003s2+1000s+1000k=0. Poniewa A 2 = | Q ' ^ |

to naley okreli A i znale tak warto k, dla ktrej

A =0, czyli zachodzi stabilno obojtna3

3,12 1000 0

0,12 1003 lOOOk

0 3,12 1000

= 3,12(1003-1000-3,12-1000k) +

- 1000'0,12-1000 = 0.

Po rozwizanniu rwnania A =0 wzgldem k otrzymano k=309,15.

Ukad jest wic stabilny asymptotycznie gdy k

- 160 -

a)

Ljts!

Mi'S>02!s)

Li(s,

G2(s) =L2(s)

M2(s)

L2(s)

M2(s)

Y/s!

Yts)

Rys.6.5. Pojcie ukadu otwartego i zamknitego

Przed sformuowaniem kryterium Nyquista rozpatruje si

wstpnie rwnanie charakterystyczne dowolnego ukadu (zamkni-

tego lub otwartego), wykorzystujc (6.31), zakadajc wystpo-

wanie tylko pierwiastkw jednokrotnych oraz podstawiajc s=jw

to wektor jw-s dokonujeobrotu o +71 dla pierwiastka s znajdujcego si w lewej p-

paszczynie s

paszczynie.i obrotu o -TT dla pierwiastka s w prawej p-

- 161 -

Im

jej - s

(u < 01

Rys.6.6. Obroty wektorw jto-s przy zmianie

pulsacji w od -co do -h

Jeeli wszystkie pierwiastki (6.46) le w lewej ppasz-

czynie (jest to warunek stabilnoci asymptotycznej badanego

ukadu) to dla w zmieniajcego si od - do +oo wektor p(jw)

powinien obrci si o kt rwny mr. Po przedstawieniu (6.46)

ponownie w postaci (6.41) i podstawieniu s=ju mona wykaza,

e

) . Wystarczy tu wic rozpatrzy zmian pulsacji u od

0 do +oo, poniewa hodografs) (p(jw) jest symetryczny na pasz-

czynie s wzgldem osi rzeczywistej. Tym samym dla u zmieniaj-

cego si od 0 do + wektor p(jw) powinien obrci si o kt TT^,

jeeli ukad ma by stabilny asymptotycznie. Jest to dowodem

poprawnoci kryterium stabilnoci Michajowa: ukad dynamiczny

jest stabilny asymptotycznie, gdy hodograf weHtora p(jw) na

paszczynie zmiennej zespolonej s, przy zmianie pulsacji ca od

0 do oo, zakrela drog ktow, n1.

B) Krzywa zakrelona na paszczynie s przez koniec wektora

- 162 -

Z braku miejsca kryterium to nie bdzie w dalszym cigu

ilustrowane przykadami.

Dla obydwu schematw na rys.6.5 mianownik transmitancji

Gz(s) ukadu zamknitego jest rwny l+GQ(s). Po podstawieniu

s=jw mona napisa

(jw)L (jw)+M (ju)M (jw) ip (ju>)( 6 - 4 8 )

Tym samym zmian argumentu funkcji l+GQ(jw) przedstawia si w

postaci

A arg [l+G (jw)] = A arg [ip (ju)] - A arg |>0(ju)]. (6.49)

Jeeli ukad otwarty jest stabilny asymptotycznie i ma po-

zosta tak samo stabilny po zamkniciu, to przyrost argumentu

1+G (ju) dla oswsco powinien by rwny zeru, zgodnie z kryteriumG

Michajowa, poniewa wielomiany >0(s) i >z(s) s tego samego

stopnia n. Warunek ten jest speniony, gdy dla hodografu

1+G (jw) na paszczynie s rozpoczynajcego si na osi rzeczy-

wistej (w=0) i na niej koczcego (w=), punkt (-l,jO) znajduje

si na zewntrz hodografu.

Wykres G (ju) na paszczynie zmiennej zespolonej s jest

charakterystyk amplitudowo-fazow ukadu otwartego- Jeeli

charakterystyka ta dla O^wsm nie obejmuje punktu (-l,jO), to

punkt ten znajduje si na zewntrz hodografu 1+G (ju) . Tym sa-

mym ukad zamknity jest stabilny asymptotycznie, jeeli odpo-

wiadajcy mu ukad otwarty jest rwnie stabilny, a wykres

Go(jw) nie obejmuje punktu (-l,jO).

Kryterium Nyuista dla tego przypadku mona uj nastpuj-

co.

Jeeli ukad otvarty jest stabilny asymptotycznie, to pozo-

staje tak samo stabilny po zamkniciu, gdy charakterystyka

Go(jw) dla oswsm nie obejmuje punktu (-l,jO). Gdy charakterys-

tyka GQ(JCJ) przechodzi przez punkt (-l,jo), to ukad zamknity

jest na granicy stabilnoci (stabilny ale nie asymptotycznie).

Przykad 6.11

-ST

Zbada stabilno ukadu, dla ktrego G (s)= ~ .

Po podstawieniu s=jw otrzymuje si po przeksztaceniach

- 163 -

l+(TzU)'cos (Tu) - T wsin(T w) +

- j sin(Tu) + T wcos(T u) 11. (6.50)

Z zalenoci tej wynika, e dla w=0 G (ju)=k.

Punkt przecicia charakterystyki amplitudowo-fazowej z osi

rzeczywist znajduje si po przyrwnaniu do zera czci urojo-

nej (6.50). Daje to rwnanie

Tu + tq(T u ) = 0 .2 k ^ v 1 k'

(6.51)

Mona je rozwiza wzgldem u wykrelnie lub numerycznie (np.

metod Newtona). Po podstawieniu znalezionej w ten sposb war-

toci u^ do czci rzeczywistej (6.50) sprawdza si, czy jest

ona wiksza lub mniejsza od -i, co w tym przypadku wystarcza do

oceny stabilnoci badanego ukadu po jego zamkniciu. (Na tym

etapie mona wyznaczy rwnie tzw. zapas moduu, o ktrym jest

mowa w dalszym cigu tego punktu)._

Niech dane liczbowe przykadu wynosz T =n s, T 2=2TT S oraz

k=l. Numerycznie znaleziono z (6.51) w =0,585 rd/s. WykresG (Jw) pokazano na rys.6.7. Z analizy przebiegu wykresu na tym

rysunku wynika, 2e przy danych liczbowych zadania, badany ukad

jest stabilny po zamkniciu, poniewa charakterystyka G Qnie obejmuje punktu (-l,jO), a ukad otwarty jest stabilny.

* Im

Rys.6.7. Ilustracja do przykadu 6.11.Charakterystyka amplitudowo-fazowa uka-du, ktry po zamkniciu jest stabilny

- 164 -

Jeeli dla tych samych staych: T^n s i T2=27T S przyjmie

si inn ni 1 warto k, to pocztkiem charakterystyki GQ(ju)

bdzie punkt k na osi Re, a punktem jej przecicia z t osi -

punkt -0,267k. atwo std wyznaczy warto graniczn kgr=3,75,

powyej ktrej badany ukad po zamkniciu staje si niestabil-

ny.

Na rys.6.8 pokazano charakterystyk, ktr dla tego samego

ukadu uzyskano dla k=2, 0 =4 s i T2=2 s. Tym razem ukad po

zamkniciu bdzie niestabilny, bo charakterystyka obejmuje

punkt (-1,jO).

kim

Re

Rys.6.8. Charakterystyka ukadu niestabil-nego po zamkniciu

Wan zalet kryterium Nyuista, ktrej nie maj inne kry-teria, jest atwo okrelenia zapasu stabilnoci badanegoukadu.

W pobliu granicy stabilnoci stany nieustalone s oscyla-cyjne o tym mniejszym tumieniu, im bliej tej granicy znajdujesi ukad. Wynika std wymg zapewnienia ukadowi odpowiedniegozapasu stabilnoci.

Operujc pojciami charakterystyk czstotliwociowych uka-dw stabilnych, okrela si dla nich dwie wielkoci:- zapas moduuoraz

- zapas fazy.

Zapas moduu jest wspczynnikiem a, przez jaki naley

przemnoy wzmocnienie ukadu, przy nie zmienionym argumencie

transmitancji widmowej ukadu otwartego, aby doprowadzi ukad

- 165 -

do granicy stabilnoci. Zapas fazy kip, mierzony w stopniach,okrela warto zmiany argumentu transmitancji widmowej ukaduotwartego przy nie zmienionym wzmocnieniu, ktra przynosi tensam skutek.

Na rys.6.9 pokazano przypadek charakterystyki G (ju) uka-du, dla ktrego obydwie wielkoci wyznacza si w atwy sposbwykrelnie. Jeeli podziaki osi Im i Re s jednakowe, to punktA przecicia okrgu jednostkowego zakrelonego z pocztku uka-du wsprzdnych z charakterystyk G (ju) wyznacza kt A. Za-

bpas moduu a wyznacza si z zalenoci a= . Dla ukadu z rys.' II f\

6.9 znaleziono w ten sposb Ap=75 oraz a=2,43.

Rys.6.9. Wyznaczanie zapasu moduu i fazy

Zapasy stabilnoci mona rwnie okreli analitycznie

(por. przykad 6.11). Wymaga to okrelenia pulsacji I , dla

ktrej cz urojona G (ju) ma warto zerow, a nastpnie wy-

znaczenia dla tej pulsacji czci rzeczywistej G (jw). W tensposb okrela si zapas moduu a. Okrelenie zapasu fazy hwymaga znalezienia wartoci w , dla ktrej |Go(jcj)|=l. Po pod-stawieniu u do G (jw) oblicza si P(w ) oraz Q(

- 166 -

czonami elementarnymi nie przekracza w praktyce dwch. Rozpat-

ruje si wic zwykle tylko ukady z jednym czonem cakujcym

(ukady astatyczne pierwszego rzdu) i z dwoma takimi czonami

(ukady astatyczne drugiego rzdu).

Wykrelenie penej charakterystyki amplitudowo-fazowej

G (jw) dla OSfcsra w obydwu przypadkach jest utrudnione nieogra-

niczonym wzrostem moduu \G (ju)I dla pulsacji zblionej do ze-

ra. Nie jest to zreszt potrzebne, bo istotne dla badania sta-

bilnoci ukadu informacje zawarte s w tych fragmentach, ktre

przebiegaj w okolicach punktu krytycznego (-l,jO) i kocz si

dla w= - w pocztku ukadu wsprzdnych.

Metoda Nyuista badania stabilnoci ukadw, ktre po ot-

warciu sa astatyczne, jest podobna do omawianej ju metody ba-

dania ukadw statycznych. Rnica polega tylko na tym, e cha-

rakterystyk amplitudowo-fazow astatycznego ukadu otwartego

uzupenia si fragmentem umownego okrgu o nieskoczenie duym

promieniu, tak aby rozpoczynaa si ona na dodatnim odcinku osi

Re. Metoda ta, ktrej uzasadnienie teoretyczne jest podane

m.in. w pracach [2] i [7], zostanie zilustrowana prostym przy-

kadem.

Przykad .12

Rozpatruje si otwarty ukad astatyczny pierwszego rzdu o

transmitancji Gp(s>~s(T s+1) (/s+1) (T s+l) ' Jest to do oglny

1 2 3

przypadek czonu cakujcego poczonego szeregowo z trzema

czonami inercyjnymi pierwszego rzdu, ktre cznie odpowiada-

j jednemu czonowi inercyjnemu trzeciego rzdu. Przy zerowej

wartoci jednej ze staych czasowych otrzymuje si czon iner-

cyjny drugiego rzdu, a gdy tylko jedna staa rni si od zera

- pierwszego rzdu.

Po podstawieniu s=jw do GQ(s) i odpowiednich przeksztace-

niach otrzymano

arg

Re

Im

c

G c

Go

( j

.(ju)

(jw)

to) ==

P(U)

= Q(w) . -k(lCt)

- arctg

"i

-

- 167 -

przy oznaczeniach: a=T T T : b=T +T +T ; c=T T +T T +T T oraz1 2 3 1 2 3 ' 1 2 1 3 2 3

N = (j2(awz-b)2 + ( i - w 2 c ) 2 . (6.55)

Po przyrwnaniu Q(u) do zera znaleziono pulsacj w , dlaktrej charakterystyka G (ju) przecina o Re

1u =k

(6.56)

Jeeli wartoci tej odpowiada P(w)=-l, to ukad otwarty pozamkniciu znajdzie si na granicy stabilnoci.

Po podstawieniu (6.56) do (6.52) i przyrwnaniu do -1otrzymano graniczn warto k=kk, dla ktrej ukad po zamkni-ciu przestaje by stabilny

\ = ^ - (6.57)

Z postaci wzorw (6.56) i (6.57) wynika, e obydwie warto-ci krytyczne: u i k zale od wartoci staych T , T i T .

k K 1 2 3

Po przyjciu k=l uzyskano przykadowy wykres fragmentu

charakterystyki ukadu otwartego dla T =1 s, T =2 s oraz T =3 s1 2 3

(rys.6.10a). Dla tych danych ukad po zamkniciu bdzie niesta-bilny, poniewa punkt krytyczny -l,jo jest objty przez charak-terystyk ukadu otwartego (uzupenion wierokrgiem o nie-skoczenie duym promieniu). Wynik ten potwierdza uzyskana war-to z (6.57) kk=0,4959, poniewa k=l > kk=0,4959. Ukad tenbdzie stabilny po zamkniciu jeeli wzmocnienie k zostaniezmniejszone do wartoci mniejszej od k .

m

7

b)

s+0P(u)>-kb oraz Q(w)-. Charakterystyka ukadu otwartego dlawH-0 zblia si do pprostej lecej w trzeciej wiartce,rwnolegej do osi Im i odlegej od niej o kb.

W przykadzie 6.12 omwiono przypadek, w ktrym przy odpo-wiednim doborze parametrw mona byo uzyska stabilno ukaduzamknitego, mimo e ukad otwarty by astatyczny. Istniejjednake ukady, w ktrych adne zmiany parametrw nie zapew-niaj stabilnoci. Na przykad, jeeli ukad otwarty jest sze-regowym poczeniem co najmniej dwch czonw cakujcych orazczonu inercyjnego dowolnego rzdu, to jego charakterystyka am-plitudowo-fazowa (uzupeniona odpowiednim fragmentem okrgu onieskoczenie duym promieniu) obejmuje punkt krytyczny przydowolnych (ale dodatnich) wartociach wspczynnika wzmocnie-nia oraz staych czasowych. Dla zapewnienia stabilnoci ukadujest w tym przypadku niezbdna zmiana jego struktury. Dlatego otakich ukadach mwi si, e s niestabilne strukturalnie.

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Po zastpieniu moduu |G (ju) | transmitancji ukadu otwar-tego przez M=201og|Go(jw) I (w decybelach) i wykreleniu zale-noci M(*>), gdzie- =arg GQ(jo>), otrzymuje si logarytmiczncharakterystyk amplitudowo-fazow (Nicholsa) , na ktrej odpo-wiednikiem punktu krytycznego (-l,jO) jest punkt (0 dB,-180).Kryterium Nyquista mona wtedy, z pewnym uproszczeniem, sformu-owa nastpujco:

Jeeli punkt (0 dB,-180) pozostaje stale po prawej stroniedla obserwatora przemieszczajcego si wzdu amplitudowo--fazowej charakterystyki logarytmicznej ukadu otwartego, dlapulsacji u dcych od 0 do , to ukad po zamkniciu bdziestabilny. Jeeli punkt ten jest stale po stronie lewej, toukad jest niestabilny, a gdy charakterystyka przechodzi przezpunkt krytyczny, to ukad jest na granicy stabilnoci.

Wszystkie te trzy przypadki ilustruje rys.6.11.

- 169 -

...na granicystabilnoci

Rys.6.11. Charakterystyki Nicholsa

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowe i fazowe wykre-lane w funkcji logarytmu pulsacji we) s wygodniejsze w zasto-sowaniach praktycznych od charakterystyk VL(

- 170 -

a)20

10

b) c)

-10

-20

dB

t = 2

-90"

-130c

-270c

dB

-270c

dB

Mlu)

0

-10

>)

. s

- 90

-270

0,1 co, rad/s 1 0,1 1 0,1

Rys.6.12. Logarytmiczne charakterystyki amplitudowe i fazowe:a) ukad po zamkniciu stabilny; b) ukad na granicy stabilno-

ci; c) ukad niestabilny

Na zakoczenie tego przykadu warto zanotowa oglne spo-

strzeenie:

Ukad otwarty jest po zamkniciu stabilny, gdy:

dla

- 171 -

Mazurek J., Vogt H. , ydanowicz W.: Podstawy automatyki.WPW, Warszawa 1983.

P.A. ( p e a . ) : MeToflw wcc/ieaoBaHMfl He/iMHeHbixaBTOMaTMHecKoro ynpaB/ieHMfl. Itofl. HayKa, MocKBa 1 9 7 5 .

5. Peczewski W.: Teoria sterowania. WNT, Warszawa 1980.

6. Thaler G.J., Pastel M.P.: Nieliniowe ukady automatycznegosterowania. WNT, Warszawa 1965.

7. elazny M.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1967.