3

Động Học Thuận: Qui Tắc Denavit-Hartenberg

Bước 1: Xác định các trục khớp và đặt tên tương ứng .

Bước 2: Xác lập hệ tọa độ nền. Đặt gốc của hệ tọa độ này tại bất kỳ điểm nào trên trục

. Các trục và được chọn thỏa qui tắc tam diện thuận.

Lặp lần thực hiện bước 3 đến bước 5.

Bước 3: Xác định các gốc là giao điểm của đường vuông góc chung giữa và với

. Nếu giao với , đặt tại giao điểm này. Nếu song song với , đặt tại bất

kỳ vị trí nào trên sao cho thuận tiện.

Bước 4: Xác định dọc theo đường vuông góc chung giữa và đi qua , hoặc

theo hướng vuông góc với mặt phẳng tạo bởi và nếu và giao nhau.

Bước 5: Xác định thỏa qui tắc tam diện thuận.

Bước 6: Xác định hệ tọa độ tác động cuối . Giả sử khớp là khớp quay, đặt

dọc theo hướng . Xác định gốc bất kỳ trên sao cho thuận tiện, thường là

tâm của bộ kẹp hay tại đầu dụng cụ mà tay máy phải mang. Đặt theo hướng kẹp và

đặt theo . Nếu dụng cụ kẹp không đơn giản thì đặt và tạo thành tam diện

thuận.

Bước 7: Lập bảng tham số ch các khâu trên robot

1

: khoảng cách theo phương từ đến giao điểm của các trục và .

: khoảng cách theo phương từ đến giao điểm của các trục và , thay

đổi khi khớp là khớp trượt.

: là góc quay quanh trục từ đến .

: là góc quay quanh trục từ đến .

Bước 8: Từ các ma trận biến đổi thuần nhất bằng cách thay các tham số trên vào.

Bước 9: Tính . Ma trận này cho ta biết được vị trí và hướng đối với hệ tọa

độ nền của dụng cụ gắn trên khâu cuối.

Ví dụ 3.1:

Hình 3.1: Tay máy hai khâu phẳng.

Bảng tham số khâu cho robot 2 khâu đồng phẳng

Khâu

2

1 0 02 0 0

Ma trận biến đổi thuần nhất

Lưu ý rằng 2 thành phần đầu của cột cuối cùng của là vị trí x và y của .

Phần quay của cho hướng của đối với hệ tọa độ nền.

Ví dụ 3.2: Cổ tay khớp cầu (Spherical Wrist)

3

Trục đồng quy tại điểm . Tay máy Stanford có cổ tay thuộc dạng này.

Hình 3.2: Gán hệ trục tọa độ cho cổ tay khớp cầu.

Bảng 3.2: Tham số DH cho cổ tay khớp cầu.

Khâu4 0 -90 05 0 90 06 0 0

Ta thấy rằng ba biến khớp cuối là các góc Euler tương ứng đối với hệ

tọa độ . Ta có

; ;

4

So sánh phần ma trận quay của với phép biến đổi góc Euler. Điều đó cho thấy rằng

vai trò hoàn toàn giống với các góc Euler đối với hệ tọa độ .

NL: Các góc Euler

Xét hệ tọa độ cố định và hệ tọa độ quay nhận được bởi việc thực

hiện 3 phép quay sau:

(1) Quay quanh trục một góc ;

(2) Quay quanh trục hiện hành một góc ;

(3) Quay quanh trục hiện hành một góc

Hình 3.3: Sự biểu diễn các góc Euler

Ma trận biến đổi

5

Bây giờ xét bài toán xác định các góc khi cho trước ma trận quay

Giả sử rằng cả hai phần tử đều không bằng 0. Có nghĩa là và vì thế cả

đều không bằng 0. Nếu cả đều không bằng 0 thì và ta có ,

, như vậy ta có

(3.1)

hay (3.2)

Tùy vào dấu của các tham số mà hàm Atan sẽ chọn góc phần tư cho góc . Nếu cả hai

tham số bằng 0, thì hàm Atan không xác định.

Nếu , thì và . Vì vậy có dạng

6

Nếu thì và , kết quả là . Trong trường hợp này trở thành

Có vô số nghiệm trong trường hợp này. Ta có thể lấy , và xác định .

Nếu , thì và , kết quả là . Ta có

Cũng có vô số nghiệm trong trường hợp này.

4

Động học nghịch (Inverse kinematics)

7

Phát biểu bài toán

Cho trước một ma trận biến đổi homogenous 4x4 sau:

(4.1)

Tìm một hay tất cả nghiệm của phương trình sau

(4.2)

trong đó

(4.3)

và biểu diễn vị trí và hướng mong muốn của cơ cấu tác động cuối, và ta phải tìm giá trị

các góc khớp sao cho .

Phương trình (4.2) đưa đến việc giải 12 phương trình phi tuyến với ẩn sau:

, , (4.4)

trong đó tương ứng là 12 phần tử có giá trị của và (vì hàng cuối cùng của cà

và đều là , nên 4 trong số 16 phương trình từ (4.2) sẽ không có giá trị).

Ví dụ 4.1:

Khảo sát tay máy Stanford.

8

Hình 4.1: Tay máy Stanford

Giả sử rằng vị trí và hướng của hệ tọa độ trên cơ cấu tác động cuối được cho trước như

sau:

Để tìm các biến khớp ta phải giải tập phương trình lượng giác phi tuyến

9

sau:

Dĩ nhiên, các phương trình trên rất khó giải trực tiếp, và vấn đề này cũng xảy ra đối với

hầu hết các tay máy robot. Vì thế, ta cẩn phải tìm các kỹ thuật hiệu quả có hệ thống để

khai thát cấu trúc động học đặc biệt của từng tay máy. Trong khi vấn đề động học thuận

luôn có lời giải duy nhất, chỉ đơn giản thay các giá trị biến khớp vào các phương trình

động học thuận, thì vấn đề động học ngược có thể không có lời giải. Ngay cả khi tồn tại

một lời giải, nó cũng có thể không là lời giải duy nhất. Hơn nữa, vì các phương trình

động học thuận nói chung là các hàm phi tuyến phức tạp đối với biến khớp, nghiệm cho

bài toán động học ngược có thể rất khó giải được ngay cả khi nghiệm tồn tại.

Để giải bài toán động học ngược ta quan tâm nhất việc tìm nghiệm dạng đóng hơn là tìm

nghiệm bằng phương pháp số vì hai lý do. Thứ nhất, trong một số ứng dụng, như đi theo

vết đường hàn được cung cấp bởi hệ thống vision, các phương trình động học ngược

phải được giải với tốc độ nhanh, khoảng 20 mili giây, và các biểu thức đóng cho nghiệm

trực tiếp thì thực tế hơn là dùng phương pháp số. Thứ hai, các phương trình động học

nói chung có nhiều nghiệm. Tìm lời giải bằng biểu thức đóng cho phép ta đưa ra các qui

10

tắc chọn nghiệm đặc biệt trong một số nghiệm khả dĩ.

Chọn nghiệm cho bài toán động học ngược phụ thuộc vào yếu tố toán học và công nghệ.

Ví dụ, chuyển động của khớp quay có thể bị giới hạn nhỏ hơn một vòng quay đưa

đến việc không phải tất cả nghiệm của phương trình động học đều có được vị trí vật lý

thật tương ứng trên tay máy.

Ta sẽ giả sử rằng với vị trí và hướng cho trước sao cho phương trình (4.2) tồn tại

nghiệm. Khi một nghiệm được xác định bởi phương trình toán học, nó phải được kiểm

tra thêm xem có thỏa mãn mọi rằng buộc trên khoảng chuyển động khả dĩ của khớp.

4.2 Tách động học

Dù bài toán động học ngược là rất khó, đối với tay máy 6 khớp, có ba khớp cuối đồng

quy tại một điểm, ta có thể tách bài toán động học ngược thành hai bài toán đơn giản

hơn là động học ngược vị trí và động học ngược hướng. Cụ thể, đối với tay máy 6 bậc tự

do với cổ tay khớp cầu, bài toán động học ngược có thể tách thành hai bài toán, đó là tìm

vị trí giao điểm các trục cổ tay (tâm cổ tay), và sau đó tìm hướng của cổ tay.

Ta biểu diễn (4.2) thành hai hệ phương trình như sau:

(4.5)

trong đó và là hướng và vị trí của dụng cụ, được biểu diễn đối với hệ tọa độ cố định

bên ngoài (world coordinate system). Ta phải giải bài toán trên đối với các ẩn .

Giả sử các trục khớp cầu và giao nhau tại và vì vậy gốc và gán theo qui

tắc D-H sẽ luôn ở tâm cổ tay . Thường cũng ở tại , nhưng điều này không nhất

thiết là như vậy đối với phương pháp này. Điểm quan trọng đối với động học ngược là

11

chuyển động của ba khâu quanh 3 trục không làm thay đổi vị trí , và như vậy, vị trí

tâm cổ tay là một hàm của chỉ ba biến khớp đầu tiên.

Giải thuật:

Đối với các tay máy thuộc loại này bài toán động học ngược có thể giải theo giải thuật

sau:

Bước 1: Tìm sao cho tâm cổ tay có tọa độ cho trước như sau:

(4.6)

Bước 2: dùng các biến khớp đã tìm được trong bước 1, thay vào .

Bước 3: Tìm các góc Euler ứng với ma trận quay

(4.7)

4.3 Động học ngược vị trí: giới thiệu một phương pháp hình học

12

Ta giới hạn phương pháp động học ngược vào phương pháp hình học vì hai lý do. Thứ

nhất, hầu hết các thiết kế tay máy hiện hành thì đơn giản về mặt động học, thường năm

loại cơ bản và có cổ tay khớp cầu. Thực tế, một phần là do khó khăn trong việc tìm giải

thuật chung cho bài toán động học ngược; thứ hai, có ít kỹ thuật có thể xử lý bài toán

động học ngược đối với các vị trí tùy ý.

4.3.1 Tay máy 3 khớp bản lề

Hình 4.2: Tay máy 3 khớp quay (khỉu tay)

Hình 4.3: Chiếu tâm cổ tay lên mặt phẳng x0-y0

Từ phép chiếu trên hình 4.2, ta có

(4.8)

13

xác định với mọi và có duy nhất nghiệm sao cho

(4.9)

Nghiệm thứ 2 là , sẽ dẫn đến có nghiệm khác cho

Các nghiệm đều hợp lệ ngoại trừ . Trong trường hợp này, (4.8) không xác

định và tay máy ở vị trí kỳ dị (singular configuration), trên hình 4.3

Hình 4.4: Vị trí kỳ dị (vô số nghiệm)

Nếu khâu được bố trí lệch ( ) , hình 4.5 thì tâm cổ tay không thể giao với . Trong

trường hợp này, thường có 2 nghiệm cho gọi là tay phía trái (left arm) và tay phía

phải (right arm), hình 4.6 và hình 4.7.

14

Hình 4.5: Tay máy 3 khớp quay có vai lệch

Hình 4.6: Vị trí tay phía trái

15

Hình 4.7: Vị trí tay phía phải

Từ hình vẽ ta thấy rằng, nghiệm thứ 1 tương ứng với vị trí tiếp cận phía trái

(4.10)

Trong đó ;

Nghiệm thứ 2 tương ứng với ví trí tay máy tiếp cận phía phải

(4.11)

hay

trong đó

;

Vì và

16

Để tìm khi biết trước , ta xét mặt phẳng tạo bởi khâu 2 và khâu 3 (hình 4.8). Vi

chuyển động của khâu 2 và 3 trong mặt phẳng. (còn tiếp, trình bày sau)

Hình 4.8: Chiếu lên mặt phẳng tạo bởi khâu 2 và 3

Hình 4.9: Bốn lời giải cho động học nghịch vị trí tay máy PUMA

17

Hình 4.2: Các động cơ cổ tay được bố trí cân bằng với hệ thống và truyền động bằng

các ống đồng trục

Hình 4.3: Cơ cấu cổ tay đồng quy tại một điểm (tâm cổ tay)

18

4.4 Động học nghịch hướng

Ta đã dùng phương pháp hình học để giải bài toán vị trí nghịch. Phương pháp này cho ta

giá trị của ba biến khớp đầu tiên và ứng với một vị trí tâm cổ tay cho trước. Bài

toán động học ngược hướng bây giờ trở thành bài toán tìm giá trị của ba biến khớp cuối

cùng ứng với hướng cho trước đối với hệ tọa độ . Đối với cổ tay khớp cầu, bài

toán này trở thành bài toán tìm các góc Euler ứng với ma trận quay cho trước . Cụ thể

là, ta tìm 3 góc Euler dùng các phương trình (3.1)-(3.2), sau đó thay các góc

19