dokazi pitagorina teoremamdjumic/uploads/diplomski/Čem03.pdf · standardnih dokaza pitagorina...

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Ruzica Ceme

Dokazi Pitagorina teorema

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Ruzica Ceme

Dokazi Pitagorina teorema

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan MaticKomentor: dr. sc. Ljerka Jukic Matic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

Uvod 2

1 Pitagora i Pitagorejci 2

1.1 Grcka matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Pitagorejska skola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Pitagorejska filozofija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Pitagorejci i matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5.1 Figurativni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.2 Savrseni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3 Pitagorine trojke i Pitagorin teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.4 Zlatni rez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.5 Platonova tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Dokazi Pitagorina teorema 15

3 Pitagorin poucak u skoli 51

Zakljucak 55

Sazetak 56

Summary 57

Literatura 58

Zivotopis 59

1

Uvod

Pitagora je bio prvi covjek koji je potpuno osjetio radost matematickog otkrica.

U prvom poglavlju reci cu nesto o Pitagorinu zivotu te njegovu djelovanju i radu. Pitago-

rejci su sva svoja matematicka otkrica pripisivali Pitagori pa se niti za jedan pitagorejski

teorem ne moze sa sigurnoscu tvrditi da je Pitagorin. Bitni dogadaji iz Pitagorina zivota

vecinom se mogu rekonstruirati, ali oko datuma postoje velika razilazenja (i do dvadeset

godina). Ne postoje sacuvana pisana djela Pitagore ili Pitagorejaca. Sve sto znamo o

njima doznajemo od drugih, ukljucujuci Aristotela, Theona iz Smirne, Platona, Herodota,

Filolaja iz Krotona i drugih. Vecina Pitagorejskih postignuca skupljena je u Euklidovim

Elementima (objavljeni oko 300. godine prije Krista).

Matematika predgrckog razdoblja bila je vecinom aritmeticka, a grcka matematika vecinom

geometrijska. Do geometrizacije matematike doslo je upravo u pitagorejsko vrijeme. To je

posljedica otkrica novog pisanja brojeva. Poceli su slagati kamencice u obliku odredenog

lika: trokuta, kvadrata, pravokutnika i drugih likova. Takva geometrijska interpretacija

broja, koju danas zovemo figurativni brojevi, pridruzila je skupu prirodnih brojeva novu

strukturu. Rasclanila je neke od brojeva kao osobito znacajne, npr. trokutni ili kvadratni

brojevi. Pitagorin teorem vrlo je vazan u geometriji, ali i cjelokupnoj matematici jer ima

velike mogucnosti primjene.

Nakon sto smo upoznali Pitagoru i njegov rad, u drugom poglavlju navodim dokaze Pitago-

rina teorema pocevsi s dokazima iz Euklidovih Elemenata. Tocan broj dokaza Pitagorina

teorema nije odreden jer postoje skice na temelju kojih se razlicitim metodama moze do-

biti vise razlicitih dokaza, ali sigurno je da ih ima nekoliko stotina.

U trecem poglavlju reci cu nesto o Pitagorinu poucku u skoli. Buduci da Pitagorin poucak

ima velike mogucnosti primjene, cesto se upotrebljava u osnovnoj i u srednjim skolama.

U hrvatskom obrazovnom sustavu, dokaz se obraduje u 8. razredu osnovne skole. Osim

standardnih dokaza Pitagorina teorema, u danasnje vrijeme interaktivne geometrije i pro-

grama, ucenicima se na vrlo jednostavan nacin moze zorno prikazati dokaz kako bi sto

jednostavnije shvatili smisao poucka. Potrebno je primjereno odabrati takav dokaz i vizu-

alizirati ga ucenicima.

2

1 Pitagora i Pitagorejci

1.1 Grcka matematika

Geografski, anticka Grcka uz danasnju Grcku obuhvaca i zapadnu Tursku (Jonija), juznu

Italiju sa Sicilijom, a kasnije i Aleksandriju. Pocetci grcke matematike pojavljuju se u

Joniji, pokrajini s najvecim utjecajem starih civilizacija. Razvoj se nastavlja u juznoj

Italiji kamo su stigli brojni politicki emigranti iz Jonije, a poslije rata sa Perzijancima

i poraza Perzije, 490. godine prije Krista, kulturni i znanstveni centar postaje Atena.

Kasniji znanstveni centar je Aleksandrija, osnovana 331. godine prije Krista. Zadrzala je

poziciju znanstvenog centra sve do oko 500. godine nove ere.

Jedan od glavnih izvora o starogrckoj matematici su komentari Euklidovih Elemenata koje

je napisao Proklos, zadnji veliki grcki filozof, koji je zivio u 5. stoljecu nove ere.

1.2 Pitagora

Pitagora iz Samosa (oko 580. - 500. prije Krista), na zapadnoj obali danasnje Turske,

cesto se navodi kao prvi pravi matematicar koji je uvelike doprinio razvoju matematike, ali

se zapravo malo zna o njegovim matematickim postignucima jer niti jedno njegovo djelo

nije sacuvano.

Slika 1: Pitagora

Roditelji su mu bili s otoka Samosa, otac bogati trgovac Mnesarchosa iz Tira s kojim je

Pitagora kao dijete cesto putovao u Tir i Italiju. Na tim se putovanjima mladi Pitagora

susreo s mnogim uciteljima i misliocima iz onog vremena koji su ga poucavali filozofiji i

znanosti. Bio je dobro obrazovan, a na njega su u njegovoj mladosti poseban utjecaj imala

tri filozofa: njegov ucitelj Ferekid te Tales i njegov ucenik Anaksimandar (oba su zivjela u

Miletu), koji su ga upoznali s matematickim idejama. Tales ga je vjerojatno zainteresirao

za matematiku i astronomiju te mu je savjetovao da putuje u Egipat kako bi naucio jos

vise. Anaksimandra su zanimale geometrija i astronomija pa su vjerojatno i njegove ideje

3

utjecale na Pitagoru kojega su cesto opisivali kao osobu koja ima sirok spektar znanja o

brojnim temama, a Heraklit i Empedoklo su tvrdili da posjeduje mudrost.

Oko 535. godine prije Krista, Pitagora odlazi u Egipat koji je u to vrijeme bio u sukobima

sa Samosom. U Egiptu je posjetio brojne hramove i sudjelovao u brojnim filozofskim

raspravama sa svecenicima i misliocima. Nakon ritualne svecanosti i Pitagora je postao

hramski svecenik u Diospolisu (danasnji grad Teba). Brojni obicaji iz Egipta vide se u

njegovoj kasnijoj zajednici, Pitagorejskoj skoli, kao npr. tajnost svecenistva, teznja cistoci,

odbijanje graha kao hrane i vina kao pica, odbijanje nosenja kozne odjece, vegetarijanstvo.

Sve je to kasnije utjecalo na rituale, strogost i tajnost Pitagorejske skole.

Perzijanci osvajaju Egipat 525. godine prije Krista i Pitagora se vraca u Samos (ne

zna se tocno kako je osloboden) gdje osniva skolu “Polukrug” koja je i stoljecima kasnije

stanovnicima otoka sluzila kao okupljaliste mislioca. Medutim, zbog metoda, strogosti i

nacina misljenja koji su bili vrlo slicni onima koje je naucio u Egiptu, stanovnici iz Samosa,

nauceni na drugaciji nacin misljenja, nisu bili zadovoljni Pitagorinim poucavanjem.

Oko 518. godine prije Krista (po nekima i puno ranije) odlazi u juznu Italiju. Ondje je

u gradu Krotonu (danasnji grad Crotona, na “peti talijanske cizme”) osnovao filozofsko

– religioznu skolu koja je danas poznata kao Pitagorejska skola. Ona je oko 508. godine

prije Krista napadnuta, a Pitagora je vjerojatno pobjegao u Metapont (takoder u juznoj

Italiji). Ondje je umro u dobi od oko 80 godina, a po misljenju nekih povjesnicara se ubio.

Neki izvori tvrde da je dozivio oko 100 godina te da se kasnije vratio u Kroton. Sigurno

je da je skola jos dugo opstala, a nakon 500. godine prije Krista se prosirila i u druge

talijanske gradove te je postala vise politicka. Ponovno je napadnuta 460. godine prije

Krista i brojni Pitagorejci su ubijeni.

1.3 Pitagorejska skola

Pitagorejska skola imala je puno sljedbenika koje nazivamo Pitagorejcima. Pitagora je

svoje ucenike podijelio u dva razreda, tzv. kruga. Clanovi njegovog uzeg kruga zvali su

se mathematikoi, sto je prva upotreba rijeci matematika, ali njeno moderno znacenje

dao joj je tek Aristotel. Grcka rijec mathematikoi je bila koristena vrlo opcenito u ranijim

spisima, a oznacavala je predmet bilo kakvih proucavanja. Kako je ucenje napredovalo

bilo je prikladno ograniciti opseg toga pojma na uze podrucje znanja. Tada su Pitagorejci

poceli koristiti rijec mathemata za opisivanje aritmetike i geometrije koje su prethodno

bile nazvane razlicitim imenima, bez povezivanja. Pitagorejska upotreba tog imena bit ce

4

temelj za naziv matematike u klasicnoj Grckoj tijekom 600. - 300. godine prije Krista.

Iako je cak oko 3000 godina ranije, u drevnom Egiptu i Babilonu, postojao dio njihova

proucavanja koji se mogao nazvati matematika, oni to nisu nazivali tim imenom.

Mathematikoi su bili stalni clanovi, ucitelji i matematicari, koji su zivjeli u toj zajednici

bez osobnog vlasnistva i bili su vegetarijanci. Bitna vjerovanja bila su da je stvarnost

u biti matematicka, filozofijom se moze procistiti duh, dusa se moze uzdici do jedinstva

s bozanskim, neki simboli imaju misticno znacenje i svi clanovi reda su morali postivati

strogu odanost i tajnost, a usmena komunikacija bila je pravilo. Iako je u tom razdob-

lju zenama bilo zakonski zabranjeno nazociti javnim okupljanjima, bilo im je dopusteno

dolaziti na Pitagorina predavanja. Jedan izvor tvrdi da je bilo bar 28 zena koje su bile

clanovi uzeg kruga. Mnoge kasnije pripadnice Pitagorejske skole postale su poznati filozofi.

Postoji izvor koji tvrdi da je Pitagora u dobi od oko 60 godina ozenio jednu svoju ucenicu

unutarnjeg kruga, Theano. Ona je bila posebno nadarena matematicarka koju je Pitagora

toliko inspirirao da je i nakon njegove smrti nastavila siriti njegov nacin razmisljanja. Neki

drugi izvori tvrde da je Theano bila Pitagorina kci iako ne navode nista o Pitagorinoj zeni

ili bar zeni koja mu je rodila kcer, dok neki treci izvori tvrde da je Theano bila samo

posebno nadarena ucenica, nikad Pitagorina zena ili kci.

Siri krug zajednice, akousmatikoi, cinili su ljudi koji su zivjeli u svojim kucama, imali

svoje stvari, nisu morali biti vegetarijanci, a u skolu su dolazili preko dana. Clanovi vanj-

skog kruga bili su ucenici. Nakon tri godine poslusnog slusanja Pitagorinih predavanja

“iza zastora”, tj. nisu imali mogucnost vidjeti Pitagoru vec ga samo slusati, ucenici su

mogli prijeci u unutarnji krug za cije je clanove bio organiziran drugaciji nacin ucenja.

Skola je djelovala i politicki, na strani aristokracije. Sto se tice moralnog zivota, Pitago-

rejci su imali odredena pravila. Pitagora se zalagao za prijateljstvo, nesebicnost i iskrenost.

Sebe je smatrao tajanstvenim, cak i polubozanskim. Rekao je: “Postoje ljudi, bogovi i ljudi

poput Pitagore.”. Neovisno o matematickim rezultatima samog Pitagore, skola je svakako

doprinijela daljnjem matematickom razvoju.

Slika 2: Postanska marka

5

Postanska marka prikazuje kovanicu izdanu u Grckoj, 20. kolovoza 1955., u spomen na

2500. obljetnicu osnutka prve Pitagorine filozofske skole.

1.4 Pitagorejska filozofija

Pitagora je bio velik filozof. Bio je duboko uvjeren u ispravnost svojih predodzbi i dosljedno

ih je podrzavao. U skladu sa svojim vjerovanjima o brojevima, geometriji i astronomiji,

imao je filozofske nazore da je cijeli svijet sastavljen od suprotnosti, tj. suprotnih parova,

da su sve postojece stvari sastavljene od oblika, a ne od materijalne tvari, da je dusa broj

koji se samostalno pokrece i ponovno utjelovljuje dok ne dode do potpunog ociscenja (do

kojeg se dolazi kroz intelektualne i obredne vjezbe strogih Pitagorejaca).

Bertrand Russell za Pitagoru je rekao: “Ovaj covjek je zasluzan za razvoj matematike.

Zamislimo ideal – on je posljedica ciste matematike – koja je izvor mnogih korisnih stvari.

Njezin je utjecaj porastao i pokazao uspjeh u tehnologiji, etici i filozofiji.”

Tako je matematika postala temelj drugih znanosti. Misao je postala jaca od osjetila,

intuicija jaca od promatranja. Matematiku i teologiju povezao je upravo Pitagora i to je

karakteriziralo filozofiju religije u Grckoj u Srednjem vijeku. Platonizam je u osnovi bio

pitagorejski.

1.5 Pitagorejci i matematika

Pitagorejce su zanimali osnovni principi matematike kao npr. pojam broja, trokuta ili

drugih geometrijskih likova te apstraktna ideja dokaza. Vjerovali su da je sve broj, tj. da

se sve moze shvatiti preko (prirodnih) brojeva i njihovih omjera, tj. razlomaka. Posljedica

toga ucenja je ocekivanje da je (ako je zadana jedinicna duzina) svaka duzina cjelobrojna

ili racionalna, odnosno: sve duzine su sumjerljive jedinicnoj (dvije duzine su sumjerljive

ako im je omjer racionalan broj).

Razlikovali su parne i neparne brojeve – svi parni brojevi (nakon prvog parnog broja) mogli

su se rastaviti na druge brojeve te su bili smatrani plodnim brojevima koji su zenstveni i

zemaljski te opcenito nesto manje cijenjeni. Kako su Pitagorejci bili dominantno musko

drustvo, sebe su opisali neparnim brojevima koji su zbog toga bili simbol muzevnosti i

bozanstva. Prva matematicka teorija koju su Pitagorejci razradili bila je teorija parnog

i neparnog. Njene rezultate nalazimo u IX knjizi Euklidovih Elemenata u tvrdnjama

21 – 30:

21. Zbroj nekoliko parnih (brojeva) je paran (broj).

6

22. Parni zbroj neparnih je paran.

23. Neparni zbroj neparnih je neparan.

24. Razlika dvaju parnih brojeva je parna.

25. Razlika parnog i neparnog broja je neparna.

26. Razlika dvaju neparnih brojeva je parna.

27. Razlika parnog i neparnog broja je neparna.

28. Umnozak parnog i parnog je paran.

29. Umnozak parnog i neparnog je paran.

30. Ako neparni dijeli parnog, onda dijeli i njegovu polovinu.

(Mozemo primjetiti da su 25. i 27. tvrdnja jednake, ali Pitagorejci su ih ispisivali posebno

za parne, a posebno za neparne brojeve sto je dovelo do ponavljanja tvrdnje.)

Broj 2 nije smatran parnim brojem sve dok Aristotel nije pokazao da je to jedini parni prost

broj. Pitagorejci su ovaj smjer matematike, koji je jedan od ranijih pokusaja faktorizacije,

ubrzo prestali proucavati i proglasili ga beskorisnim iako parni i neparni brojevi, a posebno

prosti brojevi, igraju veliku ulogu u modernoj teoriji brojeva. Proste ili jednostavne i

slozene brojeve definirao je Filolaj, Pitagorejac iz Krotona. Proucavali su razne vrste

prirodnih brojeva: svojstva parnih i neparnih, savrsene i prijateljske brojeve te razne

figurativne brojeve.

Jedinicu nisu odmah smatrali brojem jer mjera nije ono sto su izmjerili vec je mjera

jedinice ono odakle pocinjemo brojati. Pitagora je smatrao da je jedan ili jedinica nacelo

svakog broja i mnozine, a nesto kasnije predstavljala je svemir i savrsenstvo. Broj 10 je

bio najveci od svih brojeva, bio je baza egipatskog i grckog brojenja, a sadrzi i omjere

glazbene harmonije. Osim toga, svaki je pitagorejski broj imao osobnost (vjerovali su u

numerologiju). Pitagorino ucenje bilo je zanimljiva mjesavina astronomije i misticnosti

broja. Svemu materijalnom i duhovnom bio je dodijeljen broj koji ga je opisivao. Npr.

• Broj 1 je oznacavao razlog.

• Broj 2 je prvi parni ili zenski broj, broj koji je oznacavao misljenje.

• Broj 3 je prvi pravi neparni odnosno muski broj, broj koji je oznacavao sklad.

7

• Broj 4 je oznacavao pravdu jer je to prvi broj koji je umnozak dva jednaka broja.

• Broj 5 je oznacavao svadbu, tj. brak jer je bio zbroj brojeva 2 i 3 koji su predstavljali

zene i muskarce. U vezi s brojem 5 je tzv. zlatni rez.

• Broj 6 je oznacavao stvaranje.

• . . .

• Broj 10 je bio broj svemira.

Rastav broja 10 = 1 + 2 + 3 + 4 je oznacavao dimenzije objekata u geometriji:

• broj jedan odreduje tocku,

• dvije tocke odreduju pravac u ravnini,

• tri tocke odreduju trokut u ravnini,

• cetiri tocke odreduju kocku u prostoru.

Pitagorejska postignuca osobito su znacajna u cetiri podrucja: aritmetici (s osnovama te-

orije brojeva), geometriji, astronomiji i glazbi. Ovakva podjela znanja na cetiri podrucja

proucavanja poznata je jos iz Srednjeg vijeka kao “quadrivium”, na sto je kasnije dodano

proucavanje logike, gramatike i retorike. Tih sedam podrucja proucavanja smatralo se

potrebnim i odgovarajucim nacinom stjecanja znanja, tj. potrebnih da bi se postalo obra-

zovana osoba.

U astronomiji su ucili da je Zemlja sfera (vjerojatno jer je sfera “savrsena”) u sredistu

svemira. Uocili su nagib Mjeseceve orbite prema Zemljinom ekvatoru i da je vjetrenjaca

isto sto i jutarnja zvijezda (Venera). Promatrali su zvijezde i zakljucili da svako zvijezde

ima odreden broj zvijezda koje tvore geometrijski lik.

U glazbi je poznato da su Pitagorejci (vjerojatno Pitagora) uocili da vibrirajuce zice daju

harmonicne tonove ako su im omjeri duljina cjelobrojni. Zakljucili su da najljepse glazbene

harmonije odgovaraju omjerima cijelih brojeva 2 : 1, 3 : 2 i 4 : 3.

Primjenjivost matematike za Pitagorejce bila je neupitna sve do otkrica nesumjerljivosti,

tj. iracionalnih brojeva koji su pitagorejsku matematiku doveli do nerjesive krize. Pi-

tagorejci su otkrili postojanje iracionalnih brojeva, iako se to protivi njihovoj filozofiji.

Konkretno, pokazali su da√

2 nije racionalan, tj. da dijagonala kvadrata nije sumjerljiva

stranici kvadrata. Dokaz da postoje nesumjerljive duzine moze se naci kod Aristotela, ali

8

to je pitagorejsko otkrice koje su zbog kontradikcije s vjerovanjem clanovi skole pokusali

zadrzati u tajnosti. Tako je navodno Hippasus iz Metaponta oko 470. godine prije Krista

istjeran iz skole jer svoje otkrice dodekaedra nije pripisao Pitagori, a po predaji utopio se

za kaznu jer je izdao tajnu o nesumjerljivosti duljine stranice i dijagonale kvadrata. Dokaz

te nesumjeljivosti uobicajeni je dokaz iracionalnosti broja√

2 koji koristi svojstva parnih,

neparnih i kvadratnih brojeva.

1.5.1 Figurativni brojevi

Figurativni brojevi prirodni su brojevi koje mozemo prikazati slaganjem kamencica u

geometrijske likove.

Trokutni brojevi su npr. 1, 3, 6, 10, . . . , tj. opcenito su oblika

Tn = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2,

npr. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Slika 3: Trokutni brojevi

Dakle, to su brojevi koji se pomocu tockica mogu prikazati kao jednakostranican trokut.

Pitagorejci su pokazali da je zbroj dva uzastopna trokutna broja jednak zbroju uzastopnih

neparnih brojeva:

Tn + Tn+1 = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n+ 1).

Medu trokutnim brojevima i brojevima uopce, Pitagorejci su posebnu paznju pridavali

broju 10 = 1 + 2 + 3 + 4 koji je predstavljao cetiri elementa – vatra, voda, zrak i zemlja.

Kvadratni brojevi su kvadrati prirodnih brojeva, tj. opcenito su oblika n2 i Pitagorejci su

pokazali da se mogu prikazati kao

n2 = 1 + 3 + · · ·+ (2n− 1).

9

Slika 4: Kvadratni brojevi

Tako su nazvani jer tockice kojima se prikazuju cine kvadrat. Pitagorejci su pokazali:

• da su kvadratni brojevi jednaki zbroju dva uzastopna trokutna broja,

Slika 5: Kvadratni brojevi

• da je parni kvadratni broj cetverostruki kvadratni (tj. ako je kvadratni broj djeljiv

s 2 onda je djeljiv i s 4),

• da je neparni kvadratni broj osmerostruki trokutni uvecan za 1 (tj. ako je broj n

neparan, onda 8 dijeli n2 − 1).

Pravokutni brojevi su oblika n(n + 1) = 2 + 4 + · · · + 2n. Pitagorejci su pokazali da je

pravokutni broj dvostruki trokutni:

n(n+ 1) = 2(1 + 2 + · · ·+ n).

Od figurativnih brojeva spominju se i pentagonalni

1 + 4 + 7 + · · ·+ (3n− 2) =3n2 − n

2

i heksagonalni

1 + 5 + 9 + · · ·+ (4n− 3) = 2n2 − n

te prostorni brojevi

• kockasti, tj. oblika n3,

• piramidalni, tj. zbroj uzastopnih kvadratnih brojeva,

• tetraedalni, tj. zbroj uzastopnih trokutnih brojeva.

Razlikuju se i ravninski brojevi (slozeni) i pravcasti brojevi (prosti).

10

Slika 6: Pentagonalni brojevi Slika 7: Heksagonalni brojevi

1.5.2 Savrseni brojevi

Savrseni brojevi prirodni su brojevi koji su jednaki zbroju svih svojih pravih djelitelja, a

pripisivana su im magicna svojstva. Savrseni brojevi

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

vjerojatno su bili poznati vec puno ranije. Mogu se opisati i kao brojevi koji su prijateljski

sa sobom (prijateljski brojevi parovi su prirodnih brojeva takvi da je svaki jednak zbroju

pravih djelitelja drugog, npr. 220 i 284 – to je vjerojatno jedini takav par kojeg su

Pitagorejci poznavali).

U Euklidovim Elementima (EE IX 36) nalazi se rezultat koji je vjerojatno pitagorejski:

ako je p = 2m − 1 prost broj, onda je n = 2m−1p savrsen. Ovaj rezultat Pitagorejci su i

dokazali.

Prosti brojevi oblika 2m−1 danas su poznati kao Mersenneovi brojevi, nazvani po Marinu

Mersenneu koji je u 17. stoljecu koristeci prethodno navedeni rezultat pronasao prvih

osam savrsenih brojeva (za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31). Do danas nije poznato postoji li

beskonacno mnogo Mersenneovih brojeva.

1.5.3 Pitagorine trojke i Pitagorin teorem

Vezano uz Pitagorin teorem, kojega cu spomenuti nesto kasnije, Pitagorejci su proucavali

pitagorine trojke – trojke prirodnih brojeva k,m, n takve da je k2 +m2 = n2, tj. takve

da su to stranice pravokutnog trokuta.

11

Jedna babilonska matematicka tablica iz razdoblja 1900. - 1600. godine prije Krista sadrzi

neke odgovore o pitagorinim trojkama i smatra se najstarijim poznatim dokumentom o

teoriji brojeva. Jedan od tekstova iz tablice je sljedeci: “4 je duljina i 5 dijagonala. Kolika

je sirina? Nije poznata. 4 puta 4 je 16. 5 puta 5 je 25. Oduzmes 16 od 25 i ostaje 9. Sto

da uzmem da dobijem 9? 3 puta 3 je 9. 3 je sirina.”. Ocigledno se radi o odredivanju

duljine jedne stranice pravokutnika ako su poznate duljine druge stranice i dijagonale, a

pomocu Pitagorina teorema. Bez obzira sto je Pitagora u Egiptu naucio o pravokutnom

trokutu s duljinama stranica 3, 4 i 5, bio je oprezan s tim.

Skup pozitivnih cijelih brojeva (3, 4, 5) pitagorina je trojka ako ispunjava pravilo a2 +b2 =

c2. Jos neki primjeri su: (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17).

Pitagorine trojke poceli su proucavati pomocu kvadratnih brojeva uz pretpostavku da

takva tri uzastopna broja cine pitagorinu trojku. Moze se lako pretpostaviti da ih ima

beskonacno mnogo (za svaki broj n ∈ N brojevi 2n, n2− 1, n2 + 1 cine pitagorinu trojku).

U Euklidovim Elementima nalazi se teorem o pitagorinim trojkama: Ako su a, b, c relativno

prosti brojevi takvi da je

a2 + b2 = c2

a = 2mn

b = m2 − n2

c = m2 + n2

za neke m,n ∈ N, onda je tocno jedan od m i n paran, a drugi neparan. Jedine pitagorine

trojke (a, b, c) s a, b, c relativno prostima su gornjeg oblika.

Ovaj teorem Pitagorejci su i dokazali. Bitna je cinjenica da su Pitagorejci bili svjesni

Pitagorina teorema.

Poznavali su i teoriju omjera te odnos aritmeticke, geometrijske i harmonijske sredine dva

broja. Pokazali su i rjesavanje specijalnih linearnih sustava. Arhita iz Tarenta povezao

je omjere i relativno proste brojeve teoremom: Za bilo koji cijeli broj n, ne postoje cjelo-

brojna rjesenja a od Aa = a

B gdje su A i B u omjeru n : n+ 1. Osim iskaza ovoga teorema,

Pitagorejci su ga i dokazali.

Kada su se Pitagorejci poceli baviti teorijom brojeva i geometrijom, te dvije discipline

pocele su se naglo razvijati. Teorem, danas poznat kao Pitagorin, bio je poznat Babi-

loncima oko 1500 godina ranije, no Pitagora (ili koji drugi Pitagorejac) je prvi koji ga

12

je dokazao te iz tog razloga nosi naziv Pitagorin teorem. Raniji dokazi bili su samo niz

argumenata koji nisu bili potpuni. Po nekima, kada je Pitagora dokazao taj teorem, bo-

govima u cast zrtvovao je vola sto su ga prosvijetlili. Takoder je bitno istaknuti da je

Pitagorejcima bio poznat potpun teorem, ukljucujuci i obrat.

Teorem: (Pitagorin teorem) Zbroj kvadrata nad katetama pravokutnog trokuta jednak je

kvadratu nad hipotenuzom.

Obrat: Ako neki trokut ima svojstvo da je zbroj kvadrata nad dvije njegove stranice jednak

kvadratu nad trecom, onda se radi o pravokutnom trokutu.

Pod kvadratima Pitagorejci, kao i ostali starogrcki matematicari, ne podrazumijevaju po-

tencije brojeva (duljina stranica) nego geometrijske likove. Stoga je izvorno shvacanje te-

orema bilo: u pravokutnom trokutu zbroj povrsina kvadrata nad katetama jednak je povrsini

kvadrata nad hipotenuzom (a povrsine su jednake ako je jednu moguce rastaviti na dijelove

od kojih se moze sastaviti druga).

Ovakvo geometrijsko shvacanje operacija s brojevima poznato je kao geometrijska algebra

koja je karakteristicna za citavo razdoblje klasicne grcke matematike. Tako se npr. line-

arne i kvadratne jednadzbe rjesavaju geometrijski. Geometrijskom algebrom dokazani su

razni algebarski identiteti.

Kepler je izjavio: “Geometrija ima dva blaga: jedno je Pitagorin teorem, a drugo zlatni rez.

Prvo se moze usporediti sa cistim zlatom, a drugo s draguljem neprocjenjive vrijednosti.”

1.5.4 Zlatni rez

Jedan od povijesno najpoznatijih problema geometrijske algebre je konstrukcija dijeljenja

duzine u omjeru zlatnog reza. Ako je zadana duzina duljine a, potrebno je na njoj odrediti

tocku tako da se cijela duzina odnosi prema vecem od dobivena dva dijela duzine, x, kao

taj dio prema manjem dijelu (a− x): a : x = x : (a− x), tj.

Slika 8: Omjer zlatnog reza

13

Ako oznacimo |AP | = x i |AC| = a, onda je zlatni omjer jednak

a

x=

x

a− x.

Suvremenim zapisom vidimo da se radi o rjesavanju kvadratne jednadzbe x2 +ax−a2 = 0

cija su rjesenja

x1,2 =−a±

√5a2

2= a−1±

√5

2.

Od ta dva rjesenja samo pozitivno rjesenje x = a√5−12 ima geometrijski smisao. Dakle,

zlatni omjer je broj

x =

√5− 1

2∼ 0.62.

1.5.5 Platonova tijela

Osim rezultata iz geometrijske algebre postoji i niz drugih geometrijskih rezultata Pita-

gorejaca. Vjerojatno je da su prvi dokazali da je zbroj kutova u trokutu jednak zbroju

dva prava kuta, a pokazali su i generalizaciju tog teorema: zbroj kutova u trokutu iznosi

dva prava kuta. Zbroj kutova u n-terokutu iznosi 2n− 4 prava kuta. Zasluzni su i za neke

teoreme o trokutima, paralelnim pravcima, krugovima, sferama i pravilnim poligonima.

Poznavali su i pet Platonovih tijela, tj. pravilnih poliedara. Sam Pitagora vjerojatno je

znao konstruirati samo prva tri: tetraedar, kocku i oktaedar. Konveksan poliedar pravilan

je ako su mu sve strane medusobno sukladni pravilni poligoni takvi da se u svakom vrhu

sastaje jednak broj tih poligona. Pet Platonovih tijela, nazvanih po filozofu Platonu koji

u dijalogu Timej govori kako je svemir stvoren iz tih tijela, su:

• tetraedar (4 jednakostranicna trokuta i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisan vatri,

• heksaedar ili kocka (6 kvadrata i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisana zemlji,

• oktaedar (8 jednakostranicnih trokuta i po 4 brida kroz svaki vrh) pripisan zraku

(ova tri tijela se pojavljuju u prirodi kao celije kristalnih resetaka),

• dodekaedar (12 pravilnih peterokuta i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisan cjelo-

kupnom svemiru,

• ikozaedar (20 jednakostranicnih trokuta i po 5 bridova kroz svaki vrh) pripisan

vodi.

14

Slika 9: Platonova tijela

Povijesnicari teoriju Timeja pripisuju Pitagori odnosno Pitagorejcima. Dokaz da pravilnih

poliedara ima tocno pet moze se pronaci u Euklidovim Elementima. Vazno je uociti da

su anticki Grci sva osnovna svojstva tih tijela znali dokazati bez primjene trigonometrije

i matematicke analize.

Proucavanje Platonovih tijela u uskoj je vezi s danas razvijenom granom poplocavanja

ravnine i popunjavanja prostora pravilnim ili polupravilnim likovima odnosno tijelima,

a koja ima primjene u kristalografiji i umjetnosti. Pitagorejci su znali da postoje tocno

tri nacina za prekrivanje povrsine (bez preklapanja) pravilnim poligonima: buduci da je

zbroj kutova u n-terokutu 2n − 4 prava kuta, znaci da je u pravilnom n-terokutu svaki

kut jednak α = 2n−4n pravih kutova. Ako se u nekoj tocki ravnine sastaje m pravilnih

n-terokuta (tj. njihovih vrhova), mora biti mα = m · 2n−4n · π2 = 2π. Ispitivanjem raznih

kombinacija za m i n (koji moraju biti prirodni brojevi) dobije se da su jedine mogucnosti

za n = 3 i m = 6, za n = 4 i m = 4 te za n = 6 i m = 3, tj. moguce je prekrivanje samo

pravilnim trokutima, cetverokutima i sesterokutima.

Prema legendi, Pitagora je prvi matematicar kojemu je pao na pamet nacin zapisivanja

slican danasnjem ASCII-kodu.

15

2 Dokazi Pitagorina teorema

Pitagorin teorem jedan je od najpoznatijih matematickih teorema. Teorem tvrdi da je

zbroj povrsina dvaju “malih” kvadrata jednak povrsini “velikog” kvadrata. Algebarski,

a2 + b2 = c2 gdje je c duljina hipotenuze, a a i b su duljine kateta trokuta. To je fun-

damentalni teorem Euklidske geometrije gdje je baza definicije udaljenosti dvaju tocaka.

Svatko tko se ikada, bar i na kratko, susreo s matematikom ne moze zaboraviti ovaj te-

orem. Poznati su mnogobrojni dokazi njegove istinitosti.

Profesor R. Smullyan, americki matematicar, pijanist, filozof i madionicar roden 1919. go-

dine, u svojoj knjizi 5000 B.C. and Other Philosophical Fantasies govori o eksperimentu

koji je proveo na svojim satima geometrije. Na plocu je nacrtao pravokutan trokut i kva-

drate nad hipotenuzom i katetama te razmatrao cinjenicu da kvadrat nad hipotenuzom

ima vecu povrsinu od bilo kojeg kvadrata nad katetama. Zatim je postavio pitanje: “Pret-

postavimo da su sva tri kvadrata napravljena od zlata, a Vi imate pravo izabrati veliki

kvadrat ili dva mala kvadrata. Sto biste izabrali?” Zanimljivo je da je jedna polovina

ucenika izabrala jedan veliki kvadrat, a druga polovina izabrala je dva mala kvadrata.

Obje grupe bile su jednako iznenadene kada su cule da nema razlike.

Euklid je bio prvi koji je objavio dokaze Pitagorina teorema u svojim Elementima. Osim

toga, generalizirao je graficki prikaz dokaza iz svojih Elemenata, zamjenom kvadrata ne-

kim drugim likovima. Pappus (Pap Aleksandrijski) je u djelu Mathematicae Collectiones,

IV zamijenio kvadrate proizvoljnim paralelogramima na stranicama proizvoljno nacrtanog

trokuta. Drugi nacin generalizacije zadrzao je kvadrate na stranicama, ali je trokut mogao

biti proizvoljan, ne nuzno pravokutan.

Dokaz 1. Ovo je prvi Euklidov dokaz i vjerojatno jedan od poznatijih dokaza Pitagorina

teorema.

Prije svega, trokuti 4ABF i 4AEC sukladni su prema SKS teoremu o sukladnosti

(|AB| = |AE|, |AF | = |AC|, ∠BAF = ∠BAC + ∠CAF = ∠BAC + ∠EAB = ∠EAC),

tj. 4ABF ∼= 4AEC.

Promotrimo 4ABF : osnovica 4ABF je stranica AF , a duljina visine iz vrha B na osno-

vicu AF jednaka je duljini stranice AC. Povrsina 4ABF jednaka je

P (4ABF ) =|AF | · |AC|

2=|AC| · |AC|

2=|AC|2

2.

16

Slika 10: Skica uz dokaz 1.

Nadalje, promatramo 4AEC: osnovica tog trokuta je stranica AE, a duljina visine iz

vrha C na osnovicu AE jednaka je duljini duzine AM gdje je tocka M sjeciste pravca AB

i pravca CL koji je paralelan s pravcem AE. Stoga je povrsina 4AEC jednaka polovini

povrsine pravokutnika AELM . Iz toga slijedi da je povrsina kvadrata duljine stranice

|AC| jednaka povrsini pravokutnika AELM . To slijedi iz:

P (4AEC) =1

2P (AELM)

P (4AEC) = P (4ABF )

pa je|AC|2

2=

1

2· |AE| · |AM |

|AC|2 = |AE| · |AM |,

tj. P (ACGF ) = P (AELM).

Slicno dobijemo za |BC|2, tj. povrsina kvadrata duljine stranice |BC| jednaka je povrsini

pravokutnika MLDB.

Konacno, dva pravokutnika AELM i MLDB cine kvadrat nad hipotenuzom AB.

P (AELM) + P (MLDB) = P (AEDB)

|AC|2 + |BC|2 = |AE| · |AM |+ |DB| · |MB|

17

|AC|2 + |BC|2 = |AB| · |AM |+ |AB| · |MB|

|AC|2 + |BC|2 = |AB| · (|AM |+ |MB|)

|AC|2 + |BC|2 = |AB| · |AB|

|AC|2 + |BC|2 = |AB|2.

�

Na skici na kojoj se temelji Euklidov dokaz, temelje se jos neki slicni dokazi Pitagorina

teorema. Pitagorin teorem, ili kako u Hrvatskoj cesto govorimo – poucak, vrlo je poznat

sirom svijeta te u nekim dijelovima ima poseban naziv. Najpoznatiji naziv grafickog

prikaza Pitagorina teorema iz Euklidova dokaza je Bride’s Chair (u slobodnom prijevodu

rekli bismo Mladenkin stolac), a naziva se i Franjevacki plast, paunov rep i vjetrenjaca. U

Rusiji je usvojen naziv Pitagorine hlace. Prema D. E. Smithu Arapi ga nazivaju Figure od

the Bride (Slika zarucnice), a iz E. Lucasova djela, Recreations Mathematiques, saznajemo

da su ga Grci nazivali teoremom udanih zena, dok Bhaskara komentira da su ga nazvali

potjerom mladih udanih zena. Florian Cajori (Am Math Monthly, f 6, no 3, 1899, p.

72 ) kao izvor naziva Bride’s chair smatra pogrjesan prijevod grcke rijeci numfh koja

se pojavila u teoremu bizantinskih pisaca u 13. stoljecu. Grcka rijec numfh ima dva

znacenja – mladenka i krilati kukac. Graficki prikaz pravokutnog trokuta s kvadratima nad

svakom stranicom predocava kukca, ali je pisac Beha Eddınto ipak preveo kao mladenka

iz postovanja prema poznatom matematicaru i njegovu teoremu. Osim tvrdnje Pitagorina

teorema, Bride’s chair ima mnoga zanimljiva svojstva, vecinom elemetarna.

W. Dunham, autor knjige Mathematical Universe, u svom djelu citira The Pythagorean

Proposition, djelo profesora E. S. Loomisa s pocetka 20. stoljeca u kojemu se moze pronaci

367 dokaza Pitagorina teorema, a objavilo ju je Nacionalno vijece profesora matematike

(NCTM - National Council of Teachers of Mathematics), 1968. godine. U predgovoru

autor tvrdi da je broj algebarskih dokaza beskonacan isto kao i broj geometrijskih dokaza,

ali da ne postoji trigonometrijski dokaz.

Racunajuci moguce pogrjeske u izracunima i u geometrijskim dokazima, broj dokaza sve

je vise rastao.

18

Dokaz 2. Slijedi jos jedan dokaz iz Euklidovih Elemenata.

U pravokutnom trokutu 4ABC spustimo visinu na hipotenuzu AB. Noziste visine na

hipotenuzu je tocka D.


Trokuti 4ABC, 4BCD i 4DCA slicni su iz cega dobijemo sljedece omjere

|BC||AB|

=|BD||BC|

&|CA||AB|

=|DA||CA|

.

Unakrsnim mnozenjem iz prethodnih relacija dobijemo

|BC| · |BC| = |AB| · |BD| & |CA| · |CA| = |AB| · |DA|.

Zbrajanjem slijedi

|BC|2 + |CA|2 = |AB| · (|BD|+ |DA|)

|BC|2 + |CA|2 = |AB| · |BA|

|BC|2 + |CA|2 = |AB|2.

�

Dokaz 3. Osim prethodna dva dokaza, u Euklidovim Elementima moze se pronaci jos

jedan dokaz Pitagorina teorema. U hrvatskom obrazovnom sustavu ovaj dokaz obraduje

se u 8. razredu osnovne skole, stoga se moze pronaci u skolskim udzbenicima.

Neka je dan pravokutan trokut cije su duljine kateta a i b, a duljina hipotenuze c. Nacr-

tajmo kvadrat CDFH duljine stranice a+ b i podijelimo ga kao na skici.

|AD| = |BF | = |GH| = |EC| = a

|CA| = |DB| = |FG| = |HE| = b

19


Pravokutni trokuti 4AEC, 4BAD, 4GBF i 4EGH sukladni su jer se podudaraju u

dvjema odgovarajucim stranicama i kutu izmedu tih stranica (pravi kut).

Cetverokut ABGE jest kvadrat duljine stranice c.

Izracunajmo povrsinu kvadrata CDFH (veliki kvadrat) na dva nacina. Povrsina velikog

kvadrata iznosi (a + b)2, malog kvadrata c2, a svakog od cetiri pravokutna trokuta a·b2 .

Buduci da je povrsina velikog kvadrata jednaka zbroju povrsina malog kvadrata i cetiri

sukladna pravokutna trokuta, vrijedi:

(a+ b)2 = c2 + 4 · a · b2

a2 + 2ab+ b2 = c2 + 2ab.

Tako smo dobili a2 + b2 = c2, cime je teorem dokazan.

�

Dokaz 4. Ovaj dokaz temelji se na prethodnim dokazima iz Euklidovih Elemenata. Osim

toga, i ovaj dokaz cesto se moze pronaci u skolskim udzbenicima.

Nacrtamo dva sukladna kvadrata duljine stranice a + b. Jedan podijelimo kao u pret-

hodnom dokazu, a drugi na kvadrate duljina stranica a i b i cetiri pravokutna trokuta sa

duljinama kateta a i b (vidi skicu).

20


Lako je uociti da su pravokutni trokuti s obje skice sukladni (imaju katete jednakih duljina

i pravi kut). Iz svega navedenog slijedi da su obojeni dijelovi velikih kvadrata jednaki,

odnosno vrijedi c2 = a2 + b2, sto je i trebalo dokazati.

�

Dokaz 5. Ako malo prilagodimo Euklidove dokaze dobijemo jos jedan dokaz.


Dokaz zapocinjemo s trokutom 1, a zatim dodamo jos tri trokuta – 2, 3 i 4, kao na skici.

Svi su trokuti medusobno slicni. Izvodeci nekoliko omjera dobivamo duljine stranica kao

na skici.

43 :c

a=b

x&

c

a=a

y

cx = ab & cy = aa

x =ab

c& y =

a2

c

44 :c

b=b

z

cz = bb

z =b2

c

21

Konacan oblik lika na skici mozemo promatrati na dva nacina:

1. pravokutnik (unija trokuta 1, 3 i 4) i trokut 2,

2. pravokutnik (unija trokuta 1 i 2) i dva trokuta 3 i 4.

Povrsine moraju biti jednake pa imamo:

(b2c

+a2

c

)· abc

+ab

2= ab+

abc ·

b2

c

2+

a2

c ·abc

2

ab(2a2 + 2b2 + c2) = ab(2c2 + b2 + a2)

2a2 + 2b2 + c2 = 2c2 + b2 + a2

a2 + b2 = c2.

�

Postoji jednostavniji nacin ovog dokaza. Skicu je predlozio Vladimir Nikolin iz Srbije.

Slika 15: Skica uz jednostavniji dokaz 5.

Trokuti 4ACDb i 4ABC slicni su prema KK teoremu o slicnosti trokuta pa vrijedi

c

b=

a

|DbA|&

c

b=

b

|DbC|

c|DbA| = ab & c|DbC| = b2

|DbA| =ab

c& |DbC| =

b2

c.

22

Trokuti 4CBDa i 4ABC slicni su prema KK teoremu o slicnosti trokuta pa vrijedi

c

a=

a

|CDa|

c|CDa| = a2

|CDa| =a2

c.

Povrsinu lika sa slike mozemo izracunati na dva nacina pa izjednacavanjem dobijemo

P (ABDaDb) + P (ABC ′) = P (AC ′BC) + P (ACDb) + P (CBDa)

ab

c· c+

ab

2= ab+

abc ·

b2

c

2+

abc ·

a2

c

2

abc2 = ab(a2 + b2)

c2 = a2 + b2.

�

Dokaz 6. Zapocinjemo s dva kvadrata s duljinama stranica a i b, kao na skici lijevo.

Povrsina tog lika jednaka je a2 + b2.

Slika 16: Skica uz dokaz 6. Slika 17: Skica uz dokaz 6.

Konstrukciju nismo zapoceli s trokutima, ali sada na skici povucemo dvije duzine tako da

dobijemo dva pravokutna trokuta s duljinama kateta a i b te duljinom hipotenuze c, kao

na skici gore desno.

Nekoliko puta rotiramo trokute dok ne dobijemo zadnji polozaj sa skice. U zadnjem ko-

raku rotiramo trokute za 90◦, svaki trokut oko njegovog najviseg vrha. Desni trokut je

rotiran u smjeru kazaljke na satu, a lijevi trokut suprotno od kazaljke na satu. Ocigledno,

rezultat je kvadrat duljine stranice c i povrsine c2.

23

Slika 18: Skice uz dokaz 6.

Pokazali smo da vrijedi a2 + b2 = c2.

�

Slican dokaz pronaden je u sacuvanom rukopisu Thabit ibn Qurra u knjiznici muzeja Aja

Sofija u Turskoj, registriran pod brojem 4832. Dokaz zapocinje sa cetiri jednaka pravo-

kutna trokuta koja opisuju lik nepravilna (neobicna) oblika. Ta cetiri trokuta odgovaraju

u parovima pocetnim i zavrsnim pozicijama rotiranih trokuta u prethodnom dokazu.

Dokaz 7. Dokaz se pripisuje Leonardu da Vinciju (1459. - 1519.).

Neka je 4ABC pravokutan trokut sa pravim kutom u vrhu C. Nad svakom od stranica

CA, BC i AB konstruirani su kvadrati ACED, BCFG i ABHJ , redom.


Nad stranicom HJ konstruiran je trokut 4HJI koji je sukladan trokutu 4ABC, ali u

24

odnosu na njega rotiran je za 180◦. Sesterokut AJIHBC podijeljen je dijagonalom CI

na dva sukladna dijela. Spajanjem tocaka E i F dobije se sesterokut ABGFED, koji je

podijeljen dijagonalom DG na dva sukladna dijela. Trokuti 4ABC i 4ECF simetricni su

u odnosu na dijagonalu DG, sto znaci da su tocke D, C i G kolinearne. Ako se cetverokut

DABG zarotira oko tocke A za 90◦ (u smjeru kretanja kazaljke na satu na prilozenoj

skici), preklopit ce se sa cetverokutom CAJI, sto znaci da imaju jednake povrsine. To

je posljedica cinjenice da su kutovi ∠DAC i ∠BAJ pravi, sto znaci da vrijedi ∠DAB =

∠CAJ (jer su oba jednaka zbroju pravog kuta i ∠CAB). Slicno, ∠AJI = ∠ABG. To

znaci da vrijedi i |DA| = |AC| = |IH|, |AB| = |AJ | = |AJ | = |JH| te |BG| = |BC| =

|JI|. Kako cetverokuti DABG i CAJI imaju jednake povrsine, i sesterokuti ABGFED i

AJIHBC imaju medusobno jednake povrsine. Ako se iz sesterokuta ABGFED izostave

trokuti4ABC i4ECF , njegova povrsina smanjuje se na zbroj povrsina kvadrata ACED

i BCFG. S druge strane, ako se iz povrsine sesterokuta AJIHBC izostave povrsine

trokuta 4ABC i 4HJI, dobijemo povrsinu kvadrata ABHJ , a iz toga direktno slijedi

jednakost |AC|2 + |BC|2 = |AB|2.�

Dokaz 8. Dana su cetiri sukladna pravokutna trokuta.



Drugi trokut dobiven je rotacijom prvog za 90◦, treci rotacijom prvog za 180◦ i cetvrti

rotacijom prvog za 270◦. Povrsina svakog trokuta je jednaka a·b2 . Poslozimo dane trokute

u kvadrat duljine stranice c. Unutar veceg kvadrata (duljine stranice c) je praznina u

obliku (manjeg) kvadrata duljine stranice a− b.Zbrajanjem povrsina manjeg kvadrata i cetiri pravokutna trokuta s duljinama kateta a i

b dobijemo povrsinu veceg kvadrata duljine stranice c, tj.

(a− b)2 + 4 · a · b2

= c2

25

a2 − 2ab+ b2 + 2ab = c2

a2 + b2 = c2.

�

Dokaz 9. Dana su cetiri sukladna pravokutna trokuta kao u prethodnom dokazu.



Poslozimo dane trokute tako da dobijemo veci kvadrat duljine stranice a+b sa prazninom u

obliku (manjeg) kvadrata duljine stranice c. Povrsinu veceg kvadrata dobijemo zbrajanjem

povrsina cetiri pravokutna trokuta s duljinama kateta a i b i manjeg kvadrata duljine

stranice c.

(a+ b)2 = 4 · ab2

+ c2

a2 + 2ab+ b2 = 2ab+ c2

a2 + b2 = c2.

�

Dokaz 10. Ovaj dokaz, koji je kombinacija prethodnih dvaju, pripisuje se indijskom

matematicaru i astronomu Bhaskari (1114. – 1185.) (poznat kao Bhaskara II.).

Uzmemo polazne jednakosti iz prethodna dva dokaza:

(a− b)2 + 4 · ab2

= c2

(a+ b)2 = 4 · ab2

+ c2

a2 − 2ab+ b2 + 2ab = c2

a2 + 2ab+ b2 = 2ab+ c2.

26


Zbrajanjem dviju prethodno dobivenih jednakosti dobijemo

2a2 + 2b2 = 2c2

a2 + b2 = c2.

�

Prethodni dokaz lako su provjerili na poznatom pravokutnom trokutu s duljinama stranica

3, 4 i 5. Prethodno spomenut, najpoznatiji pravokutan trokut uocen je u gotickoj umjet-

nosti i moze se dobiti savijanjem papira. Pojavljuje se i u nekoliko Sangaku problema.

Mozemo vidjeti skicu dokaza iz Bhaskarina doba.

Slika 25: Pravokutni trokut s duljinama stranica 3, 4 i 5

Dokaz 11. Za ovaj dokaz zasluzan je 20. americki predsjednik J. A. Garfield (1831. -

1881.). Garfield je dokazao Pitagorin teorem pet godina prije no sto je postao predsjedni-

kom, 1876. godine. Ideju za dokaz dobio je tijekom matematickog razgovora s nekim od

clanova Kongresa. Svoj je dokaz objavio u casopisu New England Journal of Education,

a temelji se na racunanju povrsine pravokutnog trapeza na dva razlicita nacina, primje-

njujuci formulu za povrsinu trapeza i zbrajanjem povrsina triju pravokutnih trokuta koji

se mogu konstruirati unutar samoga trapeza. Ovaj dokaz varijacija je prethodnih, ali ov-

dje nemamo kvadrate.

27


Povrsinu trapeza racunamo kao umnozak polovine zbroja duljina baza i visine iz cega

dobijemoa+ b

2· (a+ b).

Ako promotrimo skicu vidimo da je povrsina trapeza jednaka zbroju povrsina triju pra-

vokutnih trokutaa · b

2+c · c2

+a · b

2.

Izjednacavanjem dvaju dobivenih identiteta dobijemo

(a+ b)2

2= ab+

c2

2

a2 + 2ab+ b2 = 2ab+ c2

a2 + b2 = c2.

�

Dva trapeza iz prethodnog dokaza mozemo spojiti duz kose stranice trapeza sto implicira

dokaz 9., a drugi nacin spajanja dvaju takvih trapeza implicira dokaz koji slijedi.

Dokaz 12. Ovaj dokaz usko je povezan sa prethodnim dokazom predsjednika Garfielda,

a za njega je zasluzan srednjoskolac Jamie deLemos.

Po formuli za povrsinu trapeza dobijemo

2a+ 2b

2· (a+ b) = (a+ b)2.

Ako promotrimo skicu i zbrojimo povrsine pravokutnih trokuta dobijemo

2ab

2+

2c2

2+

2ba

2= 2ab+ c2.

28


Izjednacavanjem slijedi

(a+ b)2 = 2ab+ c2

a2 + 2ab+ b2 = 2ab+ c2

a2 + b2 = c2.

�

Dokaz 13. Konstruiramo trokute 4ABC ′, 4BCA′ i 4CAB′ slicne trokutu 4ABC, kao

na skici.


Kako vrijedi |AC| = |BA′|, to znaci da su trokuti 4ABC i 4BCA′ sukladni prema SKS

teoremu o sukladnosti (|AC| = |BA′|, BC je zajednicka stranica i ∠ACB = ∠A′BC =

90◦). Nadalje, kako vrijedi |AB′| = |BC ′|, AB′ ||BC ′ i AB zajednicka stranica, to znaci

da su i trokuti 4AB′B i 4ABC ′ takoder sukladni. Iz slicnosti trokuta dobijemo

|B′C||AC|

=|AC||BC|

&|BC ′||AB|

=|AC||BC|

29

|B′C| · |BC| = |AC| · |AC| & |BC ′| · |BC| = |AC| · |AB|

|B′C| = |AC|2

|BC|& |BC ′| = |AC| · |AB|

|BC|.

Mozemo zakljuciti da vrijedi

P (4BCA′) + P (4CAB′) = P (4ABC ′)

|BC| · |BA′|+ |AC| · |B′C| = |AB| · |BC ′|

|AC| · |BC|+ |AC|2

|BC|· |AC| = |AB| · |AC| · |AB|

|BC|

|BC|2 + |AC|2 = |AB|2.

�

Dokaz 14. Povrsina trokuta jednaka je r · s gdje je r duljina polumjera trokutu upisane

kruznice, a s = a+b+c2 poluopseg trokuta.


Iz skice vidimo da je c = (a− r) + (b− r) iz cega slijedi

c = a+ b− 2r

2r = a+ b− c

2r = a+ b+ c− c− c

2r = 2s− 2c

30

r = s− c.

Kako povrsinu trokuta mozemo izracunati na dva nacina, izjednacimo ih:

r · s =a · b

2

(s− c)s =a · b

2

(a+ b+ c− 2c)(a+ b+ c) = 2ab

(a+ b)2 − c2 = 2ab

a2 + 2ab+ b2 − c2 = 2ab

a2 + b2 = c2.

Postoji nekoliko vrlo slicnih dokaza koji se temelje na ovoj skici. Ovaj dokaz pripisuje se

Jack Oliveru i originalno je objavljen u casopisu Mathematical Gazette 81 (March 1997) p.

117-118. �

Dokaz 15. Na skicama mozemo vidjeti nekoliko slicnih trokuta s duljinama stranica abc,

a′b′c′, a′x i b′y.


Zbog slicnosti trokuta vrijediy

b=b′

c&

x

a=a′

c

cy = bb′ & cx = aa′.

Zbrajanjem dviju dobivenih jednakosti dobijemo

cx+ cy = aa′ + bb′

31

c(x+ y) = aa′ + bb′

cc′ = aa′ + bb′. (1)

Nadalje, zbog slicnosti jos dvaju trokuta vrijedi:

b′

b=c′

c&

a′

a=c′

c

b′c = bc′ & a′c = ac′

b′ =bc′

c& a′ =

ac′

c.

Uvrstavanjem a′ i b′ u (1) slijedi:

cc′ = aac′

c+ b

bc′

c

c2c′ = c′(a2 + b2)

c2 = a2 + b2.

�

Dokaz 16. Ovaj dokaz objavljen je u djelu F. J. Swetza From Five Fingers to Infinity

(Open Court, 1996, third printing). Autor ga pripisuje matematicaru abu’ l’Hasan Thabit

ibn Qurra Marwan al’Harrani (826. - 901.).

Zadan je pravokutni trokut 4ABC te nad svakom stranicom nacrtamo kvadrate. Produ-

ljivanjem stranica HM i DL preko vrhova M i L, redom, dobijemo tocku F .


Na skici mozemo uociti nekoliko sukladnih trokuta: 4ABC, 4GEF , 4FCL, 4CFM ,

4AGH i 4EBD. Racunamo povrsinu peterokuta ABDFH na dva nacina:

P (ABDFH) = P (ACMH) + P (CBDL) + P (4ABC) + P (4FCL) + P (4CFM)

32

P (ABDFH) = |AC|2 + |BC|2 + 3P (4ABC)

P (ABDFH) = |AC|2 + |BC|2 +3

2· |AC| · |BC| (2)

P (ABDFH) = P (ABEG) + P (4AGH) + P (4EBD) + P (4GEF )

P (ABDFH) = |AB|2 + 3P (4ABC)

P (ABDFH) = |AB|2 +3

2· |AC| · |BC| (3)

Iz (2) = (3) dobijemo

|AC|2 + |BC|2 +3

2· |AC| · |BC| = |AB|2 +

3

2· |AC| · |BC|

|AC|2 + |BC|2 = |AB|2.

�

Dokaz 17. Ovaj dokaz objavljen je u casopisu American Mathematical Monthly (v. 116,

n. 8, 2009, October 2009, p. 687) uz napomenu da nije jako poznat i da predstavlja

ponovno otkrice vec ranije poznatog dokaza. Objavljivanje je predlozio Sang Woo Ryoo,

ucenik srednje skole u Carlisleu. Prije te objave, zasluge za dokaz uzimao je E. S. Loomis,

koji je dokaz objavio u svom djelu The Pythagorean Proposition, NCTM, 1968 iako je

dokaz prvi put objavljen jos davne 1896. godine u casopisu Monthly, v. 3, p. 65-67., a

autori su bili B. F. Yanney i J. A. Calderhead.


Na skici mozemo vidjeti pravokutan trokut 4ABC s pravim kutom u vrhu C i duljinama

stranica

|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c.

Kut u vrhu A podijelimo simetralom kuta na dva jednaka dijela. Neka je sjeciste simetrale

kuta i katete BC tocka D. Zatim spustimo okomicu iz tocke D na hipotenuzu i sjeciste

33

oznacimo tockom E. Sada je |CD| = |DE| = x. Tada je |BD| = a− x i |BE| = c− b.Kako su trokuti 4ABC i 4BDE slicni, vrijedi

|AC||DE|

=|AB||DB|

b

x=

c

a− x

b(a− x) = cx

ab− bx = cx

x(b+ c) = ab

x =ab

b+ c. (4)

Iz slicnosti trokuta dobijemo i

|BC||BE|

=|AC||DE|

a

c− b=b

x

ax = b(c− b)

x =b(c− b)

a. (5)

Iz (4) = (5) slijedi

ab

b+ c=b(c− b)

a

a2 = (b+ c)(c− b)

a2 = (c+ b)(c− b)

a2 = c2 − b2

a2 + b2 = c2.

�

34

Dokaz 18. Za ovaj dokaz zasluzan je Tao Tong.

Neka su trokuti 4ABC i 4DEB sukladni pravokutni trokuti te neka vrh E lezi na kateti

AB.


Povrsinu trokuta 4ABD racunamo na dva nacina:

P (4ABD) =|BD| · |AF |

2=|AB| · |DE|

2.

Uvrstavanjem duljina stranica dobijemo

c(c− x)

2=b · b2

c2 − cx = b2.

Kako je BD ⊥ AC iz slicnosti trokuta 4CFB i 4ABC dobijemo

x

a=a

c

xc = a2

x =a2

c

sto uvrstimo u prethodno dobivenu jednakost pa imamo

c2 − ca2

c= b2

c2 = a2 + b2.

�

35

Dokaz 19. Za ovaj dokaz zasluzan je srednjoskolski ucenik John Kawamura, a u objavlji-

vanju mu je pomogao njegov profesor geometrije iz skole u Oaklandu. Dokaz je objavljen

u casopisu Mathematics Teacher, Apr., 2005, p. 518.


Skica je vrlo slicna skici iz prethodnog dokaza, ali ovdje cemo promatrati povrsinu cetverokuta

ABCD.

Obje dijagonale cetverokuta imaju duljinu c i okomite su pa je povrsina jednaka c·c2 = c2

2 .

c2

2= P (ABCD) = P (4BCD) + P (4BDA)

c2

2=a2

2+b2

2

c2 = a2 + b2.

�

Dokaz 20. Na skici mozemo primijetiti dva sukladna pravokutna trokuta: 4ABC i

4DAE, gdje je E tocka na kateti AB. Kao i u dokazu predsjednika Garfielda (dokaz

11.), racunamo povrsinu trapeza ABCD na dva nacina.

P (ABCD) = P (AECD) + P (4BCE)

P (ABCD) =c · c2

+a(b− a)

2(6)

P (ABCD) =(|BC|+ |AD|)

2· |AB|

P (ABCD) =(a+ b) · b

2(7)

36


Iz (6) = (7) dobijemo

c2

2+ab− a2

2=ab+ b2

2

c2 + ab− a2 = ab+ b2

c2 = a2 + b2.

�

Dokaz 21. Pitagorin poucak dokazat cemo Heronovom formulom. Ideja je jednostavna:

primijenimo Heronovu formulu na jednakokracan trokut kao na skici.


Spojimo dva pravokutna trokuta s duljinama kateta a i b te duljinom hipotenuze c kao na

skici i dobijemo jednakokracan trokut s duljinama stranica 2b, c i c te povrsinom

P =2b · a

2= ab. (8)

Sada primijenimo Heronovu formulu na trokut sa skice. Kako je poluopseg

s = 2(b+c)2 = b+ c, imamo

P 2 = (b+ c)(b+ c− 2b)(b+ c− c)(b+ c− c)

37

P 2 = (b+ c)(c− b) · b2

P 2 = (c2 − b2) · b2. (9)

Uvrstavanjem (8) u (9) dobijemo

(ab)2 = (c2 − b2) · b2

a2b2 = (c2 − b2) · b2

a2 = c2 − b2

a2 + b2 = c2.

�

Dokaz 22. Ponovno cemo dokazati Pitagorin teorem Heronovom formulom, ali ovdje

cemo to napraviti za pravokutan trokut s duljinama kateta a i b te duljinom hipotenuze

c. Neka je s = a+b+c2 poluopseg, a povrsinu cemo oznaciti sa P . Znamo da je povrsina

pravokutnog trokuta s duljinama kateta a i b jednaka

P =ab

2. (10)

Heronova formula za izracunavanje povrsine je P 2 = s(s− a)(s− b)(s− c). Raspisat cemo

desnu stranu Heronove formule:

s− a =−a+ b+ c

2

s− b =a− b+ c

2

s− c =a+ b− c

2

pa uvrstavanjem dobijemo

P 2 =a+ b+ c

2· −a+ b+ c

2· a− b+ c

2· a+ b− c

2

16P 2 = (a+ b+ c)(−a+ b+ c)(a− b+ c)(a+ b− c).

Sredivanjem dobijemo

16P 2 = 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 − (a4 + b4 + c4). (11)

Uvrstavanjem (10) u (11) slijedi

16 ·(ab

2

)2= 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 − (a4 + b4 + c4)

38

4a2b2 = 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 − (a4 + b4 + c4).

Prebacivanjem na lijevu stranu i izjednacavanjem s 0 dobijemo

(a4 + 2a2b2 + b4)− 2a2c2 − 2b2c2 + c4 = 0

(a2 + b2)2 − 2c2(a2 + b2) + c4 = 0

((a2 + b2)− c2)2 = 0

a2 + b2 − c2 = 0

a2 + b2 = c2.

�

Dokaz 23. Skiciramo kruznicu duljine polumjera c i pravokutan trokut s duljinama kateta

a i b, kao na skici na kojoj mozemo primijetiti jos neke poznate cinjenice.

Tri tocke, F , G i H, koje leze na kruznici cine pravokutan trokut 4FGH (obodni kut nad

promjerom kruznice je pravi kut pa je promjer kruznice hipotenuza trokuta) s visinom

FK duljine a.


Hipotenuza tog tokuta, GH, je tockom K podijeljena na dva dijela duljina: (c+b) i (c−b).Slijedi

a2 = (c+ b)(c− b)

a2 = c2 − b2

a2 + b2 = c2.

�

Cesto se skica ovoga dokaza pripisuje slavnom matematicaru Leibnizu, ali pri proucavanju

njegova dokaza uocene su greske u izvodima.

39

Dokaz 24. Skiciramo pravokutan trokut 4ABC te iz vrha C opisemo kruznicu s polu-

mjerom duljine jednake duljini katete |AC|.


Produljimo hipotenuzu AB preko vrha B i u sjecistu s kruznicom oznacimo tocku K,

produljimo katetu AC preko vrha C i u sjecistu s kruznicom oznacimo tocku H. Spojimo

tocke K i H. Zatim produljimo i kracu katetu BC preko oba vrha i u sjecistu s kruznicom

dobijemo tocke J i F , redom kao na skici.

Dobijemo |AB| · |BK| = |BJ | · |BF |, tj.

c · |BK| = (b− a) · (b+ a). (12)

Trebamo odrediti |BK| pa tu duljinu izrazimo kao

|BK| = |AK| − |AB| = |AK| − c. (13)

Trokuti 4ABC i 4AKH slicni su prema KK teoremu o slicnosti (kut u vrhu A je za-

jednicki i oba trokuta su pravokutna) pa slijedi

|AC||AK|

=|AB||AH|

,

tj.b

|AK|=

c

2b

c · |AK| = 2b2

|AK| = 2b2

c(14)

Uvrstavanjem (14) u (13) dobijemo

|BK| = 2b2

c− c,

40

a zatim uvrstavanjem prethodno dobivenoga u (12) dobijemo

c · (2b2

c− c) = (b− a) · (b+ a)

2b2 − c2 = b2 − a2

a2 + b2 = c2.

�

Kada bismo zadali jednakokracan pravokutan trokut, ovaj dokaz ne bismo mogli provesti.

Dokaz 25. Ovaj dokaz izradila je Weininjieda iz Kine koja planira postati profesorica

matematike, kineskog jezika i povijesti. Uvrsten je u algebarske dokaze u Loomisovoj

zbirci u kojoj autor navodi i raniju objavu ovoga dokaza jos iz 1914. godine, a autor je

bio J. Versluys koji je zasluge za dokaz pripisao Cecil Hawkins (1909.) iz Engleske.

Neka je |EC| = |BC| = a, |CD| = |AC| = b te neka je tocka F presjek pravaca DE i AB.

Trokuti 4DEC i 4ABC sukladni su prema SKS teoremu o sukladnosti (|EC| = |BC|,|CD| = |AC| i ∠DCE = ∠ACB ) pa iz toga slijedi da je |DE| = |AB| = c.

Kako je AC ⊥ BD, i visina iz vrha B okomita je na nasuprotnu stranicu AD, slijedi da

je i ED ⊥ AB kao treca visina u 4ADB.


Sada vrijedi

P (4ADB) = P (4ABE) + P (4ACD) + P (4BCE)

pa dobijemoc(c+ |EF |)

2=c · |EF |

2+|AC| · |CD|

2+|BC| · |EC|

2

c2 + c|EF | = c|EF |+ b · b+ a · a

c2 = a2 + b2.

�

41

Dokaz 26. John Molokach, predani Pitagorejac, izveo je jedan dokaz Pitagorina teorema

koji je nazvao dokazom paralelograma. Dokaz se temelji na prilozenoj skici, a zapocinje

rastavljanjem paralelograma na trokute kao sto je prikazano. “Crveni” trokut ima duljine

kateta a i b te duljinu hipotenuze c, a “plavi” trokut ima duljine kateta x i y te duljinu

hipotenuze b.


Trokuti su slicni pa vrijedia

x=c

b&

b

y=c

b

cx = ab & cy = b2

x =ab

c& y =

b2

c. (15)

Povrsinu paralelograma mozemo izracunati direktno

P = (a+ c) · b (16)

ili kao zbroj sastavnih dijelova: cetiri “crvena”, dva “plava” trokuta i “malog” pravokut-

nika (unutar paralelograma). “Mali” pravokutnik ima duljine stranica (b− x) i (y− a) pa

slijedi

P = 4 · ab2

+ 2 · xy2

+ (b− x)(y − a).

Sredivanjem dobijemo

P = ab+ by + ax. (17)

Uvrstavanjem (15) u (17) i sredivanjem izraza dobijemo

P = b ·(a+

a2 + b2

c

).

Izjednacavanjem (16) sa prethodno dobivenim slijedi

(a+ c) · b = b(a+

a2 + b2

c

)

42

a+ c = a+a2 + b2

c

c2 = a2 + b2.

�

Ovaj dokaz moze se skratiti ako izdvojimo “veci” pravokutnik iz paralelograma.


Povrsinu tog pravokutnika mozemo izracunati na dva nacina te izjednacavanjem dobijemo

bc = 2 · ab2

+ 2 · xy2

+ (b− x)(y − a)

bc = by + ax

bc = b · b2

c+ a · ab

c

bc2 = b(b2 + a2)

c2 = a2 + b2.

�

Dokaz 27. Zadan je pravokutan trokut 4ABC te neka je, kao i obicno, pravi kut u vrhu

C, a duljine stranica su jednake |BC| = a, |CA| = b i |AB| = c. Nacrtamo kvadrate nad

katetama te spojimo vrhove kao na skici.


43

Trokuti 4ABC i 4QPC sukladni su prema SKS teoremu o sukladnosti (|CA| = |PC|,|BC| = |QC|, ∠BCA = ∠PCQ = 90◦ (vrsni kutovi)) iz cega slijedi da je ∠CAB = ∠QPC.

Neka je tocka M poloviste hipotenuze. Oznacimo sa R tocku u kojoj se sijeku pravci MC

i PQ. Pokazat cemo da je MR ⊥ PQ. Poloviste M dijeli hipotenuzu na dva jednaka

dijela. Zatim, 4CMB je jednakokracan pa vrijedi da je ∠MBC = ∠BCM . Uz to vrijedi

da je ∠BCM = ∠PCR (vrsni kutovi), a znamo i da vrijedi da je ∠CAB = ∠QPC pa iz

toga slijedi ∠CRP = 90◦, tj. MR ⊥ PQ.

Nakon sto smo to pokazali vracamo se trokutima 4PMC i 4QCM . Racunamo njihove

povrsine na dva razlicita nacina.

S jedne strane, duljina visine iz tocke M na stranicu PC jednaka je |CA|2 = b2 , a |PC| = b

pa je

P (4PMC) =b · b2

2=b2

4.

S druge strane,

P (4PMC) =|CM | · |PR|

2=

c2 · |PR|

2=c|PR|

4.

Izjednacavanjem dobijemo

b2 = c|PR|. (18)

Analogno,

P (4QCM) =a · a2

2=a2

4

jer je duljina visine iz tocke M na stranicu QC jednaka |BC|2 = a2 , a |QC| = a. S druge

strane,

P (4QCM) =|CM | · |QR|

2=

c2 · |QR|

2=c|QR|

4.

Izjednacavanjem dobijemo

a2 = c|QR|. (19)

Zbrajanjem (19) i (18) dobijemo

a2 + b2 = c(|PR|+ |QR|)

a2 + b2 = c2.

�

Ovaj dokaz pojavio se u nizozemskom matematickom casopisu za ucenike Pitagora, objav-

ljenom u prosincu 1998. godine u clanku autora Bruno Ernst. Dokaz se pripisuje americkoj

srednjoskolki Ann Condit, a datira davnoj 1938. godini.

44

Dokaz 28. Nacrtamo pravokutan trokut i oznacimo duljine stranica kao i obicno – kracu

katetu sa a, dulju katetu sa b i hipotenuzu sa c. Zatim nacrtamo jos dva pravokutna

trokuta tako da sva tri trokuta zajedno cine pravokutnik, kao na skici.


Duljine stranica najmanjeg trokuta oznacimo na isti nacin kao da imamo samo taj pra-

vokutan trokut: kracu katetu sa a, dulju katetu sa b i hipotenuzu sa c. Sada promotrimo

taj trokut i uocimo da je duljina hipotenuze pomnozena sa a pa i katete pomnozimo sa

a. Dobili smo pravokutan trokut s duljinama stranica aa, ab i ac. Zatim, na uobicajen

nacin oznacimo stranice jos neoznacenog trokuta: kracu katetu sa a, dulju katetu sa b i

hipotenuzu sa c. I ovdje promotrimo hipotenuzu te uocimo da je njena duljina pomnozena

sa b, stoga i katete pomnozimo sa b nakon cega dobijemo pravokutan trokut s duljinama

stranica ab, bb i bc. Vratimo se na polazni trokut te uocimo da su duljine kateta pomnozene

sa c pa i duljinu hipotenuze pomnozimo sa c. Kako su nasuprotne stranice pravokutnika

jednake duljine direktno dobijemo

aa+ bb = cc,

tj.

a2 + b2 = c2.

�

Dokaz 29. Ovaj dokaz objavio je Larry Hoehn.

Imamo pravokutan trokut 4ABC sa pravim kutom u vrhu C. Produljimo katetu CA

preko vrha A tako da je |AD| = |AB| = c, kao na skici. Iz tocke D povucemo okomicu

na pravac CD. Iz vrha A povucemo simetralu kuta ∠BAD te tocku u kojoj se sijeku

ova simetrala i okomica iz tocke D na pravac CD oznacimo sa E. Produljimo katetu

BC preko vrha B i povucemo okomicu iz tocke E na nasuprotnu stranicu te u njihovom

45

sjecistu dobijemo tocku F , kao na skici.


Trokuti 4EBA i 4EAD sukladni su prema SKS teoremu o sukladnosti (|AB| = |AD|,AE je zajednicka stranica, ∠BAE = ∠EAD jer je AE simetrala kuta ∠BAD). Prema

tome je ∠EBA = ∠ADE = 90◦. Slijedi da u pravokutnim trokutima 4ABC i 4BEFvrijedi ∠ABC = ∠BEF i ∠CAB = ∠FBE sto znaci da su ti trokuti slicni prema KK

teremu o slicnosti. Kako su trokuti slicni, vrijedi

x

a=u

b&

x

a=y

c

xb = au & xc = ay.

Sa skice mozemo primijetiti da je x = b+ c, a y = u+ a. Uvrstavanjem x i y u prethodno

dobiveno slijedi

(b+ c) · b = au & (b+ c) · c = a · (u+ a)

b2 + bc = au & bc+ c2 = au+ a2

b2 + bc

a= u &

bc+ c2 − a2

a= u.

Izjednacavanjem dobijemob2 + bc

a=bc+ c2 − a2

a

b2 + bc = bc+ c2 − a2

a2 + b2 = c2.

�

46

Dokaz 30. Ovaj dokaz nastavlja se na prethodni, tj. ovo je opceniti dokaz, tocnije familija

dokaza za razlicite vrijednosti parametra k.


Prvo cemo istaknuti vazna svojstva prethodnog dokaza: pravokutni trokuti 4EBA i

4BEF slicni su trokutu 4ABC. Stranice trokuta 4BEF smo oznacili ka, kb i kc za

neki k, kao na skici.

Da bi sve duljine stranica na skici imale smisla, za parametar k mora vrijediti

ka− b ≥ 0

ka ≥ b

k ≥ b

a

jer nam o tome ovisi polozaj tocke D koja u ovom slucaju nije ispod vec iznad tocke A,

kao na skici.

Povrsina pravokutnika moze se racunati direktno ka(kb+a) ili kao zbroj povrsina trokuta

4BEF , 4EBA, 4ABC i 4EAD. Izjednacavanjem dobijemo

ka(kb+ a) =ka · kb

2+kc · c

2+ab

2+

(kb+ a)(ka− b)2

2k2ab+ 2ka2 = k2ab+ kc2 + ab+ k2ab− kb2 + ka2 − ab

k(a2 + b2) = kc2

a2 + b2 = c2.

Dokaz ima smisla za sve k ≥ ba .

• Za k = ba dobijemo dokaz 28.

47

• Za k = b+ca dobijemo prethodni dokaz (dokaz 29.).

• Za k = 1 dobijemo dokaz predsjednika Garfielda (dokaz 11.).

�

Dokaz 31. Ovaj dokaz pripisuje se Adamu Rose.


Zapocinjemo s dva sukladna trokuta: 4ABC i 4AFE, a vrh A je presjek pravaca BE i

CF . Oznacimo tocku D na hipotenuzi AB i tocku G na produzetku stranice AF preko

vrha F tako da vrijedi: |BC| = |BD| = |FG| = |EF |.Nadalje, 4BCD je jednakokracan, stoga je

∠BCD = ∠CDB =π − α

2=π

2− α

2.

Kako je kut u vrhu C pravi, slijedi da je

∠DCA =π

2− ∠BCD =

π

2− π

2+α

2=α

2.

Zatim, kako je ∠AFE vanjski kut trokuta 4EFG, vrijedi ∠AFE = ∠GEF + ∠FGE.

Nadalje, trokut 4EFG je jednakokracan pa slijedi ∠GEF = ∠FGE = α2 .

Dva pravca, CD i EG, presjeceni su pravcem CG i zatvaraju dva unutarnja kuta ∠DCA

i ∠AGE koji su jednaki. Slijedi da je CD ||EG.

Trokuti 4ADC i 4AGE slicni su prema KK teoremu o slicnosti pa vrijedi

|AD||AC|

=|AE||AG|

48

c− ab

=b

a+ c

b2 = (c− a)(c+ a)

b2 = c2 + a2

a2 + b2 = c2.

�

Dokaz 32. Ovo je generalizacija Pitagorina teorema na siljastokutan trokut za koju je

zasluzan Dao Thanh Oai iz Vijetnama.

Slika 47: Skica uz dokaz 32. Slika 48: Skica uz dokaz 32.

Neka su BHb i CHc dvije visine u trokutu 4ABC. Tada je |BC|2 = |AB| · |BHc|+ |AC| ·|CHb|. Ako oznacimo kutove α, β i γ mozemo odrediti nekoliko duljina (desna skica).

Nadalje, imamo

|AB| · |BHc|+ |AC| · |CHb| = |AB| · |BC| · cosβ + |AC| · |BC| · cos γ

|AB| · |BHc|+ |AC| · |CHb| = |BC|(|AB| cosβ + |AC| cos γ)

|AB| · |BHc|+ |AC| · |CHb| = |BC|(|BHa|+ |HaC|)

|AB| · |BHc|+ |AC| · |CHb| = |BC|2.

�

Mogli smo to pokazati i bez trigonometrijskih vrijednosti kutova, primjenom omjera:

|BHc||BC|

=|BHa||AB|

&|CHb||BC|

=|CHa||AC|

49

|AB| · |BHc| = |BC| · |BHa| & |AC| · |CHb| = |BC| · |CHa|.

Zbrajanjem dobijemo

|AB| · |BHc|+ |AC| · |CHb| = |BC|(|BHa|+ |CHa|)

|AB| · |BHc|+ |AC| · |CHb| = |BC|2.

�

Pitagorin teorem vrijedi kada je kut u vrhu A pravi.

Dokaz 33. E. Loomis i mnogi drugi koji su proucavali dokaze Pitagorina teorema vjeruju

da ne postoji trigonometrijski dokaz. To proizlazi iz cinjenice da bi se trigonometrijski

dokaz trebao temeljiti na osnovnom trignometrijskom identitetu sin2 α+ cos2 α = 1.

J. Zimba pokazao je da se teorem moze izvesti iz formula za sinus i kosinus razlike bez

upotrebe osnovnog trignometrijskog identiteta sin2 α+ cos2 α = 1.

cos (α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ

sin (α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ

Buduci da se radi o pravokutnom trokutu α i β su kutovi manji od 90◦. Ako stavimo da

je α = β dobijemo

cos 0 = cos2 α+ sin2 α,

a kako znamo da je cos 0 = 1 zapravo smo dobili

1 = cos2 α+ sin2 α

sto nije posljedica trignometrijskih vrijednosti vec prakticne definicije. Kao takvo, ne bi

bilo dobro upotrijebiti to u dokazu osnovnih rezultata kao sto je Pitagorin teorem.

Umjesto toga, pretpostavimo da vrijedi 0 < y < x < 90◦ iz cega slijedi 0 < x − y < 90◦

pa dobijemo

cos y = cos (x− (x− y))

cos y = cosx cos (x− y) + sinx sin (x− y)

cos y = cosx(cosx cos y + sinx sin y) + sinx(sinx cos y − cosx sin y)

cos y = cos2 x cos y + cosx sinx sin y + sin2 x cos y − cosx sinx sin y

cos y = cos y(cos2 x+ sin2 x)

50

sto implicira sin2 x + cos2 x = 1. Buduci da je cos y po definiciji omjer duljine prilezece

katete i hipotenuze, nikada nece biti jednako 0. (Osnovna definicija trigonometrijskih

funkcija uvijek pretpostavlja da je argument pozitivan kut manji od 90◦.)

�

Dokaz 34. John Molokach dao je dokaz bez rijeci, temeljen na prilozenoj skici, a izrazen

preko determinante.


U linearnoj algebri vrlo je poznato da determinanta kvadratne matrice reda 2 jednaka∣∣∣ a bc d

∣∣∣ = ad− bc

definira povrsinu paralelograma odredenog vektorima(ac

)i(bd

). Autor ovog dokaza primi-

jenio je svojstvo determinanti na skici.

Imamo dva kvadrata duljine stranice c i povrsine c2. Jedan od njih je odreden vektorima(−ab

)i(−b−a

)pa povrsinu racunamo kao determinantu∣∣∣ −a −b

b −a

∣∣∣ = (−a) · (−a)− b · (−b) = a2 + b2.

Kako su povrsine jednake dobivamo

a2 + b2 = c2.

Autor je skici pridruzio samo formulu∣∣∣ c 00 c

∣∣∣ =∣∣∣ −a −bb −a

∣∣∣jer je ovo dokaz bez rijeci.

�

51

Dokaz 35. Doktor Scott Brodie iz medicinske skole u New Yorku proucavao je i na

nekoliko nacina dokazao Pitagorin teorem. Svi njegovi dokazi temelje se na generalizaciji

primjene teorema o kosinusu.

Njegov prvi dokaz slijedi direktno iz Ptolomejeva teorema o tetivnim cetverokutima: za

tetivni cetverokut vrijedi da je umnozak duljina dijagonala jednak zbroju umnozaka duljina

nasuprotnih stranica. Primjenom tog teorema na pravokutnik dobijemo upravo jednakost

iz Pitagorina teorema: c2 = a2 + b2.

�

Prije vise od stotinu godina pojavio se popis velikog broja dokaza Pitagorina teorema.

Koristeci razne metode na temelju ove skice moze se napraviti 4864 razlicita dokaza.

Slika 50: Skica na kojoj se temelji velik broj dokaza

3 Pitagorin poucak u skoli

Cilj nastave matematike je stjecanje temeljnih matematickih znanja potrebnih za razumi-

jevanje pojava i zakonitosti u prirodi i drustvu, stjecanje osnovne matematicke pismenosti

i razvijanje sposobnosti i umijeca rjesavanja matematickih problema. Matematika je je-

dan od temeljnih nastavnih predmeta u osnovnoj skoli i to zbog znanja koja su bitna za

uspjesno ukljucivanje u rad, gospodarstvo, suvremenu tehnologiju i drustvo.

Hrvatski nacionalni obrazovni standard (HNOS), koji u Hrvatskoj vrijedi od 2006. godine,

je putokaz za uciteljstvo, ucenike i roditelje pri ostvarivanju i stvarnom poboljsavanju od-

goja i obrazovanja. Izrada HNOS-a zapocela je rasterecenjem nastavnog gradiva. HNOS

je izraden za postojeci nastavni plan (nastavne predmete i pripadajucu satnicu). To je

izvor iz kojeg saznajemo: nastavne teme, kljucne pojmove, obrazovna postignuca, izborne

teme i korelacije.

52

Pri uskladivanju nastavnog plana i programa matematike sa HNOS-om odustalo se od

racunanja s velikim brojevima (bez dzepnog racunala) i od vecine dokaza, dok su pro-

blemski i zahtjevniji zadatci djelomice prebaceni u izborne sadrzaje. Koji su zadatci

zahtjevniji, ostavlja se slobodnoj procjeni profesora. Izostavljeni su i mnogi strani strucni

nazivi. U nastavi matematike nema mnogo cinjenica koje treba pamtiti i teziste je rada

na razumijevanju pojmova i uvjezbavanju pojedinih postupaka.

U nasem obrazovnom sustavu, prema nastavnom planu i programu za osnovnu skolu, ma-

tematika se u okviru redovne nastave kao obavezan predmet radi 4 sata tjedno, odnosno

140 sati tijekom skolske godine u svim razredima (od 1. do 8.).

Pitagorin poucak obraduje se u 8. razredu osnovne skole. Uz tu nastavnu temu, u nastav-

nom planu i programu, stoje kljucni pojmovi : poucak, Pitagorin poucak, obrat poucka te

obrazovna postignuca: znati izreku, smisao i zorni dokaz Pitagorina poucka; izreci obrat

Pitagorina poucka te izracunavati duljinu jedne stranice pravokutnoga trokuta ako su za-

dane duljine ostalih stranica.

Uz temu Dokaz Pitagorina poucka naveden je cilj nastavnoga sata: dokazati Pitago-

rin poucak. Ocekivana ucenicka postignuca podijeljena su na temeljna znanja, vjestine i

sposobnosti te vrijednosti i stavove. Vezano uz temu Dokaza Pitagorina poucka ocekivana

ucenika postignuca su:

temeljna znanja

Ucenici ce:

• nauciti dokazati da za svaki pravokutni trokut vrijedi formula Pitagorina poucka.

vjestine i sposobnosti

Ucenici ce:

• uociti nuznost dokaza Pitagorina poucka,

• razvijati sposobnost algebarskog i grafickog izracunavanja,

• uociti analogiju algebarskih i geometrijskih sadrzaja,

• razvijati logicko misljenje i zakljucivanje.

vrijednosti i stavovi

Ucenici ce:

• razvijati vjestinu koncentracije,

53

• razvijati interes za produbljivanje i prosirivanje znanja,

• razvijati urednost i preglednost u pismenom izrazavanju,

• razvijati sustavnost u radu,

• razvijati organizacijske vjestine,

• razvijati preciznost i jasnocu misljenja,

• razvijati povjerenje u vlastite matematicke sposobnosti,

• razvijati odnos uvazavanja prema matematici,

• razvijati pozitivni odnos prema radu,

• razvijati svijest o univerzalnosti matematickog jezika,

• razvijati toleranciju prema drugima i drugacijem misljenju.

Ucitelji obraduju dokaz Pitagorina poucka na nacin koji je prikazan u udzbeniku. Buduci

da nije cilj da ucenik zna taj dokaz od rijeci do rijeci, vec da razumije smisao toga dokaza,

vrlo cesto dokaz se obradi kroz nekakvu igru kako bi zorno docarali bit. Dokaz Pitagorina

poucka moguce je provesti na vise nacina, koristeci programe dinamicke geometrije, gotove

modele, ali i “klasicne” metode poput rezanja skarama, lijepljenja, savijanja kolaz papira

itd. Prilikom ovakvih vizualnih dokaza Pitagorina poucka posebno je vazna didakticka

upotreba boje u dokazivanju. Dokaz se obraduje samo u 8. razredu osnovne skole.

Pitagorin poucak ima vrlo siroku i cestu primjenu pa se u osnovnoj skoli, osim obrade na

pravokutnom trokutu, primjenjuje za izracunavanje elemenata drugih geometrijskih likova

i tijela.

U srednjim skolama Pitagorin poucak ne obraduje se ponovno jer se smatra da su ga ucenici

usvojili u 8. razredu. Zato se ne dokazuje, vec samo ponavlja prije nego se primijeni u

sklopu nekog drugog gradiva. Neophodan je za geometriju uz trigonometrijske funkcije

i javlja se vec pri definiciji trigonometrijskih vrijednosti siljastog kuta. Ponavlja se i pri

izvodenju formule za udaljenost izmedu dviju tocaka, kod slicnosti i Talesova poucka, a

zatim i kod izracunavanja raznih elemenata geometrijskih likova i tijela.

Provela sam kratku anketu medu uciteljima matematike u osnovnoj skoli. Postavila sam

pitanje: “Radite li dokaz Pitagorina poucka u okviru redovne nastave? Ili mozda na

dodatnoj nastavi? Slobodno mozete dodati komentar o dokazu Pitagorina poucka ispod

54

ponudenih odgovora na pitanje.”

Ponudeni odgovori bili su:

• Radim dokaz na redovnoj nastavi.

• Radim dokaz na dodatnoj nastavi.

• Ne radim dokaz.

Od ukupno 41 dobivenog odgovora, prvi odgovor odabralo je 38 ucitelja (93%), drugi dva

ucitelja (5%), a jedan ucitelj (2%) dodao je vlastiti odgovor: “Ovisi o generaciji/razredu.

Ako vecina moze shvatiti na redovnoj nastavi onda se radi na redovnoj nastavi, a u su-

protnom na dodatnoj.”.

Pitagorin poucak, zorni dokaz i obrat navedeni su kao obrazovna postignuca u nastavnom

planu i programu. A ucitelji su u okviru ankete dodali poneki komentar o tome:

- “Radim dokaz na redovnoj nastavi, ali ocekujem da to znaju oni koji zele 5. Ne suhu

reprodukciju, nego bas razumijevanje. Zaustavio bih ih u nekom trenutku i pitao

“otkud ti to?” ili “pojasni mi to-i-to”.”

- “Dokaz nije pretezak i mislim da ga se treba raditi na redovnoj nastavi.”

- “Kako samo lupiti teorem, a ne pokusati bar izvesti dokaz? Od samog formalizma i

nema puno srece.”

- “Dokaz bez rijeci svakako.”

55

Zakljucak

Povijesno gledano, ime Pitagora znaci puno vise od poznatog imena teorema o pravokut-

nim trokutima. Filozofija Pitagore i njegove skole postala je misao vodilja u matematici,

fizici, astronomiji te drugim granama.

Za Pitagorejce, aritmetika ima vrlo vaznu ulogu, ne samo u matematici. Jedna od njihovih

temeljnih tvrdnji bila je da je aritmetika primjenjiva kako na prirodu, tako i na sve ostalo.

Za Pitagoru ona je dio filozofije i mudrosti.

Citajuci o Pitagori, Pitagorejcima i njihovoj skoli vjerojatno nam je u danasnje vrijeme

tesko shvatiti potrebu njihove tajnovitosti, iskljucivo usmenu predaju i njihove druge ri-

tuale. Jer ono sto su napravili oni i poznati ucenjaci prije njih zaista je vrlo velik temelj

za sav daljnji razvoj matematike. Bilo bi jednostavnije proucavati njihove rezultate da

su ih zapisivali. Na temelju toga iz danasnje perspektive mogli bismo reci da je Pitagora

ocigledno bio vrlo pametan, ali cudan.

Svi smo se vec u osnovnoj skoli susreli s tvrdnjom Pitagorina poucka, a zatim je upotrije-

bili nebrojeno puta tijekom daljnjeg skolovanja. Vrlo je vjerojatno da se velik broj ljudi

pri spomenu imena Pitagore odmah sjeti njegova teorema ili bar algebarskog izraza koji

ga opisuje.

56

Sazetak

Pitagora je bio veliki matematicar i filozof koji je postavio temelje za daljnji razvoj mnogih

grana matematike, a najvise se istaknuo u aritmetici i geometriji. Zivio je i djelovao u

Grckoj od oko 580. do 500. godine prije Krista. Malo se zna o njegovu radu jer je njegova

skola njegovala usmenu predaju pa svoje rezultate nisu zapisivali. Uz to, njegovi su ucenici

svoje rezultate pripisivali njemu.

Teorem o pravokutnim trokutima: “povrsina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju

povrsina kvadrata nad katetama”, danas poznat kao Pitagorin, zapravo je bio poznat jos i

Babiloncima. Pitagori se pripisuje dokaz tog teorema pa iz toga razloga nosi njegovo ime.

Prvi dokaz toga teorema pronaden je u Eukolidovim Elementima. Od Pitagorina vremena

do danas broj dokaza je rastao i danas mu se ne moze odrediti tocan broj jer se na temelju

nekih skica primjenom ralicitih metoda moze izraditi nekoliko razlicitih dokaza, ali sigurno

je da postoji nekoliko stotina dokaza.

Pitagorin teorem ili poucak (u Hrvatskoj je cesci naziv poucak) vrlo je vazan u geometriji

i ima siroku primjenu pa se cesto primjenjuje u skolama. Obraduje se i dokazuje u 8. raz-

redu osnovne skole, a zatim se primjenjuje u srednjim skolama i kasnije u raznim granama

matematike.

Zbog njegove ceste upotrebe, vrlo je vjerojatno da se svatko, tko se ikada susreo sa Pita-

gorinim pouckom, na spomen imena Pitagore lako prisjeti poucka ili bar formule koja ga

opisuje.

Kljucne rijeci: grcka matematika, Pitagora, Pitagorejci, pitagorejska skola, figurativni

brojevi, savrseni brojevi, pitagorine trojke, Pitagorin teorem, obrat Pitagorina teorema,

zlatni rez, Platonova tijela, dokaz Pitagorina teorema

57

Title and Summary

Proofs of the Pythagorean Theorem.

Pythagoras was a great mathematician and philosopher who made possible further deve-

lopment of many fields of mathematics, but he was widely recognized in arithmetic and

geometry. He lived and worked in Greece in the period between 580 and 500 BC. Little is

known about his work since his school mostly relied on oral tradition. As a result, they did

not write their results down. Additionally, his students always gave credit to Pythagoras

even for their own results.

The theorem of right-angled triangles: “The area of the square over the hypotenuse is

equal to the sum of the areas of the squares over the legs”, today known as Pythagorean

Theorem, had been actually known as early as to the Babylonians. However, it is believed

that Pythagoras was the first to prove this theorem, and that is the reason why it carries

his name. The first proof of the Theorem was found in the Euclid’s Elements. Since

his time, the number of proofs has grown which makes it impossible to know their exact

number as using different methods on the basis of some sketches produces several different

proofs. What is certain, though, is that there are several hundred proofs.

The Pythagorean Theorem or law (which is more common in Croatia) has a great impor-

tance in geometry with a wide range of possible use so it is often practiced at schools.

Students analyse and prove it in the eighth year of primary school, but they continue to

use it in secondary schools and later in different branches of mathematics.

Due to its frequent use, it is very likely that everybody who has ever encountered with the

Pythagorean Theorem can easily remember the Theorem or at least the formula which

describes it at the first sound of Pythagoras’ name.

Key words: Greek mathematics, Pythagoras, Pythagoreans, Pythagorean School, figura-

tive numbers, perfect numbers, Pythagorean Triples, Pythagorean Theorem, the converse

of the Pythagorean Theorem, golden ratio, Platonic solids, proof of the Pythagorean The-

orem

58

Literatura

[1] D. ALLEN, Pythagoras and the Pythagoreans, 1997,

http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/pythag/pythag.html

[2] A. BOGOMOLNY, Pythagorean Theorem and its many proofs,

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

[3] F. M. BRUCKLER, Povijest matematike 1, Odjel za matematiku, Sveuciliste J. J.

Strossmayera u Osijeku, 2007, 21-34.

[4] D. M. BURTON, The History of Mathematics: An Introduction, Sixth Edition,

McGraw-Hill Primis, 2006, 87-143.

[5] B. JAGODIC, N. SARAPA, B. COPIC, Matematika 8, udzbenik za osmi razred

osnovne skole, Skolska knjiga, Zagreb, 2006, 60-95.

[6] T. NEMETH, G. STAJCIC, Matematika 8, udzbenik i zbirka zadataka za osmi

razred osnovne skole – 1. polugodiste, Profil, Zagreb, 2009, 78-123.

[7] D. E. SMITH, History of Mathematics, Volume I, Dover Publications, Inc., 1958

https://archive.org/stream/historyofmathema033304mbp#page/n9/mode/2up

[8] HNOS - Nastavni plan i program za osnovnu skolu, Ministarstvo znanosti, obrazovanja

i sporta, Zagreb, 2006

59

Zivotopis

Moje je ime Ruzica Ceme. Rodena sam 12. listopada 1989. godine u Nasicama. Od

1996. do 2001. godine pohadala sam osnovnu skolu Dore Pejacevic, a od 2001. do

2004. godine osnovnu skolu kralja Tomislava, obje u Nasicama. Kao odlicna ucenica,

2004. godine upisala sam Opcu gimnaziju u srednjoj skoli Isidora Krsnjavoga u Nasicama.

Tijekom osnovnoskolskog obrazovanja sudjelovala sam na natjecanjima iz matematike te

sam u 6. razredu postigla 2. mjesto na Opcinskom natjecanju, a tijekom srednjoskolskog

obrazovanja sudjelovala sam na natjecanjima iz matematike i fizike. Maturirala sam 2008.

godine te sam iste godine upisala Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na

Odjelu za matematiku Sveucilista J.J. Strossmayera Osijeku. Trenutno sam nezaposlena.

dokazi pitagorina teoremamdjumic/uploads/diplomski/Čem03.pdf · standardnih dokaza pitagorina...

Documents