universidade anhanguera uniderp polo boa viagem matematica aplicada

UNIVERSIDADE ANHANGUERA UNIDERP

POLO BOA VIAGEM

MATEMATICA APLICADA

Maria Rosenir da Luz Pereira RA:236187

Antonio Genilson Lima RA:179286

Brena Rafaela Oliveira Silva RA: 224285

Antonio Clébio Martins Queiroz RA: 193736

Lusineide Rodrigues Pereira RA:193751

POLO BOA VIAGEM

ABRIL/2011





Lusineide Rodrigues Pereira RA:193751

MATEMATICA APLICADA

Trabalho apresentado ao Curso de Administração da Universidade Anhanguera Uniderp.

Polo Boa Viagem-CE

2011

UNIVERSIDADE ANHANGUERA UNIDERP

POLO BOA VIAGEM

ADMINISTRAÇÃO

APROVADO EM:____/____/______

NOTA:__________________

BANCA EXAMINADORA

_______________________________

1º Examinador

_______________________________

1º Examinador

_______________________________

1º Examinador

Boa viagem-CE

Abril/2011

Agradecimento

Agradecemos primeiramente a Deus por mais uma graça concedida. Ao Tutor presencial Francisco Expedito Helcias Alves por ter nos apoiado durante a elaboração do referido trabalho e ao nosso pólo de apoio presencial, pela disponibilidade de diversas ferramentas que nos auxiliaram bastante para a nossa aprendizagem. E de um modo especial gostaríamos de agradecer aos nossos professores e tutores adistância pela dedicação com que nos passavam conhecimento ao longo da disciplina.

EPÌGRAFE

“Na natureza nada se perde, nada se cria tudo se

transforma.”

( Antonie Lovosier)

SUMARIO

Introdução-----------------------------------------------------------------05

Apresentação da equipe e do trabalho----------------------------06

Função Polinomial de [pic]Grau ------------------------------------07

Função Polinomial de [pic]grau ------------------------------------10

Função Exponencial --------------------------------------------------19

Função Logarítmica --------------------------------------------------27

Funções Polinomial--------------------------------------------------32 Funções Racionais-------------------------------------------------34 Funções potência, polinomial, racional e inversas ---------35

Derivada---------------------------------------------------------------39 Conclusão-----------------------------------------------------------49

Referências bibliográficas---------------------------------------- 50

INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem o objetivo de estimular o conhecimento na área da matemática. Sendo que será apresentado ao longo do trabalho a conceituação e exemplos de funções.

Curso: Administração Período Letivo: 2011/1

Semestre: 3º

Disciplina: Matemática Aplicada

Professora EAD: Ivonete Melo de Carvalho.

Desafio

O desafio proposto é para que o aluno selecione os principais conceitos, acrescentando, a estes, exemplos que ilustrem situações práticas das funções: receita, lucro, demanda, oferta, juros e montante que se encaixem em modelos de função de 1º grau, função de 2º grau e exponencial, formando um manual que relaciona funções e os tipos que as descrevem.

O manual confeccionado, por conter teoria e prática, deveráacompanhar o aluno em sua graduação contribuindo para a formação do senso crítico, permitindo, assim, que saiba tomar decisões pró-ativas tornando-o um profissional eficiente

ETAPA 1

Identificação com o nome de todos os acadêmicos que compõemcada grupo, constando os nomes e os respectivos Ras;





Função Polinomial de [pic]Grau

Uma função [pic]com [pic],[pic] é uma função polinomial do [pic]grau se a cada [pic]se associa o elemento [pic], com apertencendo a [pic]e [pic]pertencendo a [pic]: [pic]

Na sentença matemática [pic], as letras [pic]e [pic]representam as variáveis, enquanto [pic]e [pic]são denominadas coeficientes. Na função real [pic], [pic]é o coeficiente angular e [pic]éo coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemos se a função é crescente ([pic]) ou descrescente ([pic]). O coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a retaintercepta o eixo [pic]. [pic] Exemplo de equações do 1º grau:

• 2x – 1 = 5 • 20 – y = 15 • 30n + 12 = 20 • 20x + 2y = 5z

Exemplo 1

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 200,00 mais um custo variável de R$ 1,20 por peça produzida. Qual o custo de produção de 10.000 peças? Quantas peças podem ser produzidas com R$ 20.000,00?

Lei de formação da função Note que temos um valor fixo de R$ 200,00 e um valor que varia de acordo com a quantidade de peças produzidas, R$ 1,20. y = 1,2x + 200

Custo para produção de 10.000 y = 1,2*10.000 + 200 y = 12.000 + 200 y = 12.200 O custo para produção de 10.000 peças é de R$ 12.200,00.

Número de peças que podem ser produzidas com R$ 20.000,00 1,2x + 200 = 20.000 1,2x = 20.000 – 200 1,2x = 19.800 x = 19.800 / 1,2 x = 16.500 Serão produzidas 16.500 peças

Exemplo 2

Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamento mensais: Plano A: um valor fixo de R$ 110,00 mais R$ 20,00 por consulta dentro do período. Plano B: um valor fixo de R$ 130,00 mais R$ 15,00 por consulta dentro do período. Analise os planos no intuito de demonstrar em quais condições um ou outro é mais vantajoso. Função do plano A: y = 20x + 110 Função do plano B: y = 15x + 130

Momento em que os planos são exatamente iguais: A = B 20x + 110 = 15x + 130 20x – 15x = 130 – 110 5x = 20 x = 20/5 x = 4

Custo do plano A menor que o custo do plano B: A < B. 20x + 110 < 15x + 130 20x – 15x < 130 – 110 5x < 20 x < 20/5 x < 4

Custo do plano B menor que o custo do plano A: B < A. 15x + 130 < 20x + 110 15x – 20x < 110 – 130 – 5x < – 20 (-1) x > 20/5 x > 4

Se o cliente realizar quatro consultas por mês, ele pode optar por qualquer plano. Se o número de consultas for maior que quatro, o plano B possui um custo menor. Caso o número de consultas seja menor que quatro, o plano Apossui um custo menor

Gráfico Para construirmos gráficos de funções devemos seguir os seguintes passos: • atribuímos valores a variável [pic]; • substituímos na função; • encontramos o valor de [pic], ou seja, o valor de [pic]. Tendo encontrado o [pic], temos agora o par ordenado [pic]que devemos encontrar no plano cartesiano. |[pic]|[pic] |[pic] | |0 |[pic] |[pic] | |1 |[pic] |[pic] | |2 |[pic] |[pic] |

[pic]

Função Polinomial de [pic]grau

A função dada [pic]dada por [pic], com [pic],[pic],[pic] reais e [pic], denomina-se função do [pic]ou função quadrática. Exemplos: [pic]

O gráfico da função de [pic]grau é uma curva aberta chamadaparábola. Se o gráfico da função tem a parábola com concavidade voltada para cima, [pic]. [pic]

Se o gráfico da função tem a parábola com concavidade voltada para baixo, [pic]. [pic]

Zero da Função de 2^Grau Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os

valores de [pic]que anulam a função, ou seja, que tornam [pic]. Para determinar os zeros de [pic], basta fazer [pic]: [pic] [pic] em que [pic]. Assim, [pic]e [pic]são as abscissas nas quais a parábola corta o eixo [pic], ou seja, [pic]e [pic]são os pontos de intersecção da parábola com o eixo [pic]. • Quando [pic], [pic]e a parábola intercepta o eixo [pic]emdois pontos diferentes. • [pic], [pic]e a parábola intercepta o eixo [pic]em um único ponto. • [pic], não existem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo [pic].

Gráfico Parabólico

No gráfico abaixo, da função [pic], marcamos um ponto [pic]. Esse ponto tem o nome de vértice da parábola. As coordenadas de [pic]são dadas por: [pic]

[pic]

[pic]

Se traçarmos uma reta paralela ao eixo [pic]que passe pelo vértice, estaremos determinando o eixo de simetria da parábola.

Intersecção com o Eixo [pic]

Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir [pic]por [pic](zero) na função: [pic]

Exemplo

Para [pic]as coordenadas para o ponto de intersecção com o eixo y: [pic]

Então, encontramos [pic].

Mínimo ou Máximo da Parábola

Quando [pic]assume o menor valor da função, ele é a ordenada do ponto mínimo da função ([pic]): [pic]

Quando [pic]assume o maior valor da função, ele é a ordenada do ponto máximo da função ([pic]): [pic]

• Exemplos de Funções do 2° Grau

Exemplos:

Os problemas a seguir exemplificam algumas considerações feitas até aqui. Exemplo 1:

Em uma certa plantação, a produção, P, de feijão depende daquantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependênciapode ser expressa por P = -3q2 + 90q + 525. Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2, faça um esboço do gráfico, comente ossignificados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como aprodução máxima. Solução: Os coeficientes dos termos da função são a = -3, b = 90 e c = 525.

A concavidade é voltada para baixo, pois a < 0.

A parábola corta o eixo P em c - 525, pois, quando q - O, temos

P(0) = -3-O2 +90-0 + 525 => P(0) = 525

• A parábola corta o eixo q quando P = O, o que leva a

-3^2 + 90q + 525 = O cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara:

Δ= b2 - 4ac => Δ= 902 - 4 • (-3) • 525 Δ= 14.400 => Δ> O

Duas raízes reais e distintas dadas por [pic]

[pic]

-90 + 120 -6

ou seja, a parábola corta o eixo q nos pontos [pic] = -5 e q2 = 35.

• o vértice da parábola é dado pelo ponto V= (qv; Pv) =[pic]

[pic]

V =

Assim, podemos esboçar o gráfico:

[pic]

Para esse exemplo, a concavidade voltada para baixo associada a eixo de simetria em qv = 15 indica que a produção é crescente para qn tidades de fertilizante entre O e 15 g/m2 e decrescente para quàntidj superiores a 15 g/m2.

O ponto em que a curva corta o eixo P indica que, quando não é zado fertilizante (q - 0), a produção é de P = 525 kg.

Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidadesfazem a produção se anular (P = 0) sendo que q\ - -5 não apresenta s ficado prático e q^ = 35 g/m2 representa uma quantidade tão grande d< tilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a de produzir.

Finalmente, o vértice V = (15; 1.200) dá a quantidade qv = 15 g/m-maximiza a produção, e tal produção máxima é Pv - 1.200 kg.

Exemplo 2:

Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos] dias em que trabalhou na seção de utilidades de uma loja dedepartam tos e notou que o número de aparelhos vendidos, dado por N, em fuá do número de dias, dado por í, pode ser obtido por N = 0,25í2 - 4t ~ Diante dessa situação, esboce o gráfico da função salientando os princif pontos e seus significados. (Considere t = 0 l0 dia; t = 1 o 2Ü dia etc.i

Solução:

Os coeficientes dos termos da função são a = 0,25, b = -4 ec - 16. • A concavidade é voltada para cima, pois a > 0.

- Função do 2° Grau

• A parábola corta o eixo N em c = 16, pois, quando t = O, temos

N(0) = 0,25-02-4-0 + 16 => N(0) = 16

• A parábola corta o eixo t quando N = O, o que leva a

0,25t2 – 4t + 16 = O cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara: [pic]

Duas raízes reais e iguais, ambas representadas por

[pic] t=[pic]

ou seja, a parábola simplesmente "toca" o eixo t no ponto t= 8.

o vértice da parábola é dado pelo ponto;

[pic]

[pic]

O

V= -

Convém ainda obter o número de eletrodomésticos para o último dia de análise do problema, ou seja, o 21Q dia, quando devemos fazer t = 20:

N(20) = 0,25 • 202 - 4 • 20 + 16 => N(20) - 36 Assim, podemos esboçar o gráfico:

[pic]

Eixo de simetria

Figura 3.5 Número de eletrodomésticos vendidos.

Para esse exemplo, a concavidade voltada para cima associada a uml eixo de simetria em tv = 8 indica que o número de aparelhos vendidos él decrescente, do lfl dia (t - 0) ao 9- dia (t - 8), e crescente, do 9- dia (t = 8)1 ao 21a dia (t = 20).

O ponto em que a curva corta o eixo N indica que, no 1a dia(t - 0), oi número de eletrodomésticos vendidos foi N = 16.

Os pontos em que a curva corta o eixo t indicam dias que fazem oi número de eletrodomésticos vendidos se anular (N =0). Então, no 9S dia l (t - 8), nenhum eletrodoméstico foi vendido.

Finalmente, o vértice V = (8; 0) dá o dia tv = 8, 9a dia, que minimiza o número de eletrodomésticos vendidos, e tal número mínimo é Nv = 0.

Função Exponencial

A função [pic]dada por [pic](com [pic]e [pic]) é denominadafunção exponencial de base [pic]e definida para todo [pic]real. Assim, são funções exponenciais: [pic]

[pic]

Gráfico da Função Exponencial

Vamos representar no plano cartesiano o gráficos das funções [pic]e [pic]. |[pic] | |Figura 44.2: Funções exponenciais: [pic]e [pic]. |

Características

• [pic] • [pic] • [pic]é uma função crescente se [pic] |[pic] | |Figura 44.3: Exponencial crescente [pic]com [pic]. |

• [pic]é uma função decrescente se [pic] |[pic] | |Figura 44.4: Exponencial decrescente [pic]com [pic]. |

• [pic]passa pelo ponto [pic]pois [pic] Leis dos expoentes Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então: 1. axay=ax+y 2. ax/ay=ax-y 3. (ax) y=ax.y 4. (a b)x=axbx 5. (a/b)x=ax/bx 6. a-x=1/ax

FUNÇAO EXPONENCIAL

Função Exponencial

Usando a calculadora, obtemos o valor de x:

1,38629436 S 0,04879016

x a 28,41340057 x s 28,4

o que permite concluir que o montante da dívida será de $ 40.000,00 entre o 28a e o 29a mês.

2a Solução:

Na expressão acima, vamos substituir M(x) = 40.000

10.000 • 1,05* = 40.000 Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

ln(10.000 • 1,05*) = In 40.000 Aplicando a Propriedade l, ou seja, ln(A • B) = In A + In B, temos

In 10.000 + In 1,05* = In 40.000 Aplicando a Propriedade 3,ou seja, lnAk = k • In A, temos

In 10.000 + x-In 1,05 = In 40.000 x • In 1,05 = In 40.000 -In 10.000 In 40.000-In 10.000 In 1,05

10,59663473 - 9,21034037 0,04879016

= 1,38629436 3 0,04879016

* * 28,41340057 x * 28,4


A 2a solução exemplifica a aplicação de duas das três propriedades enunciadas. É possível resolver o problema utilizando a segunda e a terceira propriedades enunciadas, entretanto essa solução, bem como a 2a solu cão, é mais extensa que a 1a solução, o que nos motiva a resolver problemas desse tipo seguindo passos similares aos da 1a solução.

Exemplo :

para um carro cujo valor inicial é $ 35.000,00 e cuja depreciação é de 12,5% ao ano, obtemos o valor V como função do tempo t por meio de V = 35.000 • 0,875*.

Determine após quanto tempo o valor do carro é a metade do valor inicial.

Solução:

Em V = 35.000 • 0,875*, vamos substituir V ~ 17.500, que é a metade do valor inicial 35.000:

35.000 • 0,875* = 17.500

0,875f = 0,5 Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

In 0,875* = In 0,5 Aplicando a Propriedade 3, ou seja, In A* = k • In A, temos

t- In 0,875 = In 0,5

In 0,5 In 0,875

Usando a calculadora, obtemos o valor de t:

^-0,69314718 - 0,13353139 í- 5,19089317 t ^ 5,2

o que permite concluir que o valor do carro será a metade do valor inicial entre o 5a e o 6" anos.

Sabemos também que o valor inicial fornece o coeficiente b,isto é, b = 35.000, logo a função do valor é V = 35.000 • 0,875*.

Para todos os exemplos deste capítulo desenvolvemos funçõesdo tipo y - b • ax e, a partir delas, podemos facilmente determinar o valor de y para um x dado. Por exemplo, se considerarmos a primeira das funções que estabelece o montante M de uma dívida em função do tempo x como

Funções potência Toda função do tipo y = x n, onde "n" é um número natural, é chamada Função Potência. São exemplos de funções potências: • y = x2

• y = x3 • y = x4 e assim por diante. O domínio de y = x n é o conjunto dos reais, porque sempre podemos calcular x n, independente do valor de "x". Vamos analizá-la observando o gráfico y = x2 abaixo, onde "n" é um número par: |[pic] |para "x" positivo, o crescimento da função é cada |

| |vez mais rápido: para "x" no intervalo [1,2] temos| | |"y" no intervalo [1,4]; para "x" no intervalo | | |[2,3] temos "y" no intervalo [4,9]; para "x" no | | |intervalo [3,4] temos "y" no intervalo [9,16]; e | | |assim por diante. | | |para "x" negativo, conforme "x" aumenta, isto é, | | |aproxima-se de zero, a função decresce cada vez | | |mais devagar: para "x" no intervalo [-4,-3] temos | | |"y" no intervalo [16,9]; para "x" no intervalo | | |[-3,-2] temos "y" no intervalo [9,4]; para "x" no | | |intervalo [-2,-1] temos "y" no intervalo [4,1]; e | | |assim por diante. | | | | | |Observe que o gráfico para "x" negativo é uma | | |reflexão do gráfico para "x" positivo. |

Para o caso "n" ímpar, temos o gráfico abaixo. |[pic] |Faça uma análise similar ao caso "n" par. |

Vamos agora olhar para o gráfico abaixo, onde aparece a função y = x n para diferentes valores de "n", e compará-las:

|[pic] |Para "x" positivo, quanto maior o valor de "n",| | |mais rápido cresce a função. | | |E para "x" negativo, como se comporta a função?|

Observe o intervalo [0,1] com atenção. A função de maior grau cresce mais devagar que a de menor grau. Vamos ver porque isso acontece, tomando como exemplo os pontos do gráfico com x = 1/2: • para a função y = x2, se x = 1/2, y é igual a 1/4; • para a função y = x3, se x = 1/2, y é igual a 1/8;

• para a função y = x4, se x = 1/2, y é igual a 1/16; • para a função y = x5, se x = 1/2, y é igual a 1/32. Enfim, estamos aumentando o grau da função e, para um mesmovalor de "x", obtemos um valor de "y" cada vez menor.

[pic]

Função Logarítmica

O logaritmo de um número real e positivo [pic], na base [pic], positiva e diferente de [pic], é o número [pic]ao qual se deve elevar a base [pic]para se obter [pic] [pic]

Observação

Aos logaritmos que se indicam com [pic]chamamos de sistema de logaritmos de base [pic]. Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante é o sistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se: [pic]ou [pic]. Quando o sistema é de base 10, é comum omitir-se a base na sua representação.

Exemplo

Considerando a definição dada, calcular o valor dos logaritmos: [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Propriedades dos Logaritmos

• O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores tomados na mesma base, isto é: [pic]

• O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do

numerador menos o logaritmo do denominador tomados na mesmabase, isto é: [pic]

• O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é: [pic]

Caso particular

[pic]

Mudança de Base

Suponha que apareçam logaritmos de bases diferentes e que precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para uma base conveniente. Essa operação é chamada mudança de base: [pic]

onde [pic]é a nova base.

Exemplo

[pic]

Representação Gráfica

Ao estudar a função exponencial, vimos que ela é bijetora, portanto admite função inversa, que é a logarítmica. Do estudo das funções inversas, descobrimos que, no plano cartesiano, seus gráficos são simétricos em relação a bissetriz do 1^ e 3^ quadrantes. Assim, para as funções exponencial e logarítmica, de base [pic]e [pic], temos: |[pic] | |Figura 45.1: Função logarítmica com base [pic] |

| | | | | | | | | |

| | |[pic] | | | |Figura 45.2: Função logarítmica com base [pic] | | | | | | | | | | | | |

Exemplos:

Problema 1: O montante de uma dívida no decorrer de x mesesé dado por m(jc) = 10.000 • 1,05*. Determine após quanto tempo o montante será de $ 40.000,00.

1a Solução:

Na expressão acima, vamos substituir M(x) - 40.000

10.000-1,05* =40.000

40.000 ' 10.000

1,05* = 4 Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

In 1,05* = In4

Aplicando a Propriedade 3, ou seja, In Ak = k • In A, temos

x =

x- In 1,05 = In 4 In 4

In 1,05

Funções Polinomial Um polinômio (ou função polinomial) de grau n é uma função da forma

[pic]+ ... + [pic] onde os coeficientes [pic],..., [pic]são números reais conhecidos, [pic]e n é um número natural. O valor de n determina o grau do polinômio. Cada uma das parcelas [pic]de um polinômio é chamada de monômio de grau i .

Exemplo : A função afim f(x) = ax + b e a função quadrática [pic], onde a, b e c são reais quaisquer e a não é nulo, são exemplos de polinômios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. Um polinômio de grau zero é uma função constante. Assim, as funções f(x) = 3x − 4, [pic]e f(x) = 3são polinômios de graus 1, 2 e zero, respectivamente. Exemplo : A função V(h) = [pic], obtida no estudo do problema da caixa, é um exemplo de um polinômio de terceiro grau pois pode ser reescrita como [pic]. Exemplo : As funções [pic]e [pic]não são funções polinomiais pois nãopodem ser reescritas na forma [pic]+ ... + [pic] Função Exponencial

Usando a calculadora, obtemos o valor de x:

1,38629436 S 0,04879016

x a 28,41340057 x s 28,4


2a Solução:

Na expressão acima, vamos substituir M(x) = 40.000

10.000 • 1,05* = 40.000 Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

ln(10.000 • 1,05*) = In 40.000 Aplicando a Propriedade l, ou seja, ln(A • B) = In A + In B, temos

In 10.000 + In 1,05* = In 40.000 Aplicando a Propriedade 3,ou seja, lnAk = k • In A, temos

In 10.000 + x-In 1,05 = In 40.000 x • In 1,05 = In 40.000 -In 10.000 In 40.000-In 10.000 In 1,05

10,59663473 - 9,21034037 0,04879016

= 1,38629436 3 0,04879016

* * 28,41340057 x * 28,4


A 2a solução exemplifica a aplicação de duas das três propriedades enunciadas. É possível resolver o problema utilizando a segunda e a terceira propriedades enunciadas, entretanto essa solução, bem como a 2a solu cão, é mais extensa que a 1a solução, o que nos motiva a resolver problemas desse tipo seguindo passos similares aos da 1a solução.

Exemplo :

Segundo o Exemplo 4, para um carro cujo valor inicial é $ 35.000,00 e cuja depreciação é de 12,5% ao ano, obtemos o valor V como função do tempo t por meio de V = 35.000 • 0,875*. Determine após quanto tempo o valor do carro é a metade do valor inicial.

Solução:

Em V = 35.000 • 0,875*, vamos substituir V ~ 17.500, que é a metade do valor inicial 35.000:

35.000 • 0,875* = 17.500

0,875f = 0,5 Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

In 0,875* = In 0,5 Aplicando a Propriedade 3, ou seja, In

A* = k • In A, temos

t- In 0,875 = In 0,5

In 0,5 In 0,875

Usando a calculadora, obtemos o valor de t:

^-0,69314718 - 0,13353139 í- 5,19089317 t ^ 5,2

o que permite concluir que o valor do carro será a metade do valor inicial entre o 5a e o 6" anos.

Funções Racionais Polinômios, podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinômios. No entanto, se dividirmos polinômios nem sempre obteremos outro polinômio.Esse quociente é chamado de função racional, isto é, uma função racional [pic]é do tipo [pic], onde [pic]e [pic]são polinômios. Todo polinônimo é uma função racional. Por exemplo, a função [pic]pode ser escrita como [pic]. No entanto, como veremos neste capítulo, funções racionais não se comportam como polinômios. Em particular, funções racionais não estão definidas em toda a reta: nos pontos onde [pic]a função racional f não está definida e, portanto, o maior domínio de uma função racional é constituído pelo conjunto dos números reias excetuando-se esses pontos. Os zeros de [pic]são chamados de pólos ou pontos singulares da função f. Como os polinômios, as funções racionais apresentam um comportamento característico quando x cresce em valor absoluto mas este comportamento no infinito é diferente do comportamento dos polinômios. Além disso, é importante estudar o comportamento dessas funções em torno dos seus pontos singulares pois, ao redor desses pontos, podem ocorrer mudanças bruscas de sinal e crescimentos ilimitados. São esses pontos também, que dão origem as assíntotas verticais ao gráfico de uma função, caso essas assíntotas existam.

O objetivo desse capítulo é estudar o comportamento de uma função racional em torno de seus pontos singulares e tambémo seu comportamento no infinito. Analisaremos, separadamente, os casos em que o grau do numerador é menor,igual e maior que o grau do denominador. Começaremos estudando as funções racionais da forma [pic]que são os exemplos mais simples dentre as funções racionais. Estas funções aparecem em muitas situações da nossa vida prática.O exemplo abaixo ilustra uma delas. | |

Exemplo: A distância do Rio de Janeiro a São Paulo é de 400 km e a velocidade máxima permitida na rodovia Presidente Dutra, que liga as duas cidades, é em média de 100 km/h. Dessa maneira, uma pessoa que viaja de automóvel, parte do Rio e não ultrapassa o limite de velocidade estabelecido, deve levar cerca de 4 horas para chegar a São Paulo. No entanto,ao viajarmos por esta rodovia, podemos observar que muitas pessoas ultrapassam o limite de velocidade. Por que será que uma pessoa sente necessidade de exceder a velocidade permitida? Muito provavelmente, isto ocorre em rodovias pelo mesmo motivo que ocorre nas cidades, onde o limite estabelecido é bem menor: quanto maior a velocidade desenvolvida menor o tempo de viagem! Vamos examinar esta conclusão com um pouco mais de cuidado. Seja t o tempo, dado em horas, necessário para viajar do Rio de Janeiro a São Paulo a uma velocidade de v km/h. Nossa primeira tarefa é expressar t como uma função g(v). Se a velocidade v é constante, sabemos que a distância percorrida s é dada por s = vt. Assim, temos que t = [pic].Se você respondeu corretamente às questões propostas acima,deve ter concluído que quanto maior a velocidade desenvolvida, menor o tempo gasto na viagem. Nesse caso, dizemos que a variação do tempo é inversamente proporcionalà velocidade. Em particular, quando a velocidade é multiplicada por um fator constante k, o tempo de viagem é dividido por esta mesma constante. Como o limite de velocidade na Dutra é de 100 km/h, uma pessoa que viaja a esta velocidade leva 4 horas para ir do Rio a São Paulo. Outra pessoa viajando a 120 km/h leva cerca de 3 horas e 20minutos e, portanto, economiza cerca de 40 min no tempo

total de viagem.

FUNÇOES POTENCIA,POLINOMIAL, RACIONAL E INVERSA

EXEMPLOS:

Em uma safra, a quantidade q demandada pelos consumidores eo preço p de uma fruta estão relacionados de acordo com q - 150.000p -2, onde a demanda é dada em quilos e o preço em reais por quilo (R$/kg).

Construa uma tabela que dê a demanda para os preços de 0,50; 1,00; 1,50; 2,00; 2,50; 5,00 e 10,00 R$/kg para tal fruta e, a partir de tal tabela, esboce o gráfico de q.

Qual o tipo de taxa de decrescimento de qí Justifique sua resposta numérica e graficamente.

Qual o preço da fruta quando os consumidores estão dispostos a consumir 9.375 kg?

Obtenha a inversa p – f -1(q] e explique o seu significado.

Qual o significado em termos práticos de p —>∞? Determine lim q e interprete o resultado obtido.

P—> ∞

f) Qual o significado em termos práticos de p —> 0+? Determine

lim q e interprete o resultado obtido.

p—> 0+

A função é decrescente porque, à medida que o preço p aumenta, diminui a demanda q, calculada na tabela do item anterior. E por ter a concavidade voltada para cima, vista no gráfico acima, a taxa é crescente.

O preço da fruta é de R$ 4,00/kg quando os consumidores estão dispostos a consumir 9.375 kg.

Essa função, p = (g/lSO.OOO)1, fornece o preço por quilo p da fruta quan do os consumidores estão dispostos a consumir q quilos de frutas.

O significado, em termos práticos, é preço muito elevado. Se o preço estiver

muito elevado, a saída, ou demanda, do produto será zero, pois lim q = 0.

í>->°°

f) O significado, em termos práticos, é preço muito baixo. Se o preço estiver muito

baixo, a saída, ou demanda, do produto será muito alta, pois um 6).

Exemplo:

Em uma indústria química, considerou-se a produção de detergente como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se P(q) = 3q2, onde a produção P é dada em milhares de litros e o capi tal investido q é dado em milhares de reais.

Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo

3 < q < 5. Qual é o seu significado gráfico?

Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea da pro dução para q = 1. (Utilize para as estimativas do limite h = ±0,1; h = ±0,01 eh = ±0,001.)

Estime a derivada da produção em q = l, ou seja, P'(l). Qual a unidade de medida dessa derivada?

Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no item anterior?

Determine a equação da reta tangente à curva para q = 1. Faça tam bém a representação gráfica.

Encontre, algebricamente, a derivada de P em q = \ .

Encontre, algebricamente, a função derivada de P em relaçãoa q, ou seja, P'(q).

RESPOSTAS

Taxa de variação média = 24 1/R$. Graficamente mede a inclinação da reta secante passando pelos pontos (3; 27) e (5; 75) na curva daprodução.

Taxa de variação instantânea = 6,00 1/R$.

P'(l) = 6,00 1/R$

O valor indica a taxa com que varia a produção P quando o capital investi do é q = l (milhares de R$). Graficamente, representa a inclinação da reta tangente à curva da produção no ponto (l, P(l)) = (l, 3).

y = 6x - 3

[pic]

P'(l) = 6 1/R$

P'(

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