unidad 1 senales y sistemas

INSTRUMENTACIÓN II

Profesor

Diego Fernando Ramírez jiménez Ing.

[email protected]

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y TECNOLOGÍAS

TECNOLOGÍA EN INSTRUMENTACIÓN ELECTRÓNICA

Señales y Sistemas

Introducción:

Las señales están presentes en todo momento y en cualquier lugar. En ocasiones seconviven con ellas, se generan y se procesan sin darnos cuenta. Los conceptos deseñales y sistemas son necesarios en múltiples áreas de ingeniería y otras disciplinas.Algunos ejemplos de señales pueden ser las notas de un instrumento musical, latemperatura en un recinto, la voz, la frecuencia cardiaca, entre otras. Las señalespueden ser generadas por diferentes fuentes y de diferentes tipos y una vez que secomprenda la forma en que pueden ser generadas, caracterizadas, procesadas yrepresentadas matemáticamente, pueden conocerse que tipo de operaciones sepueden realizar con el objetivo de extraer información de ellas.

En algunas aplicaciones practicas, las señales requieren ser tratadas en una o variasetapas llamadas etapas de pre-procesamiento, de tal forma que se pueda extraer lamayor cantidad de información en lo que se conoce como procesamiento de señal.En este sentido, un sistema de procesamiento de señales es un dispositivohardware/software que realiza operaciones preestablecidas sobre las señales.



Conceptos de Señales

Una seña puede establecerse como la manifestación de un

fenómeno expresada como una cantidad física, y por lo general

contiene información sobre el estado, comportamiento y/o la

naturaleza del fenómeno y del sistema físico que produjo la señal.

Una parte importante de las señales con que se trabaja en

ingeniería, se genera por medios naturales como la voz, la

humedad relativa, o la temperatura. Sin embargo, es posible

producir señales sintéticamente, como por ejemplo el voltaje a

través de un capacitor o la corriente en una resistencia dentro de

un circuito RC; o generadas mediante el uso de

software/hardware en computadoras.



Conceptos de Señales Campos de Aplicación:

– Biomedicina

– Robótica

– Procesamiento y transmisión de voz, texto e imágenes.

– Sincronización y detección de fallas en motores

– Análisis de vibraciones en máquinas

– Integración de sistemas multisensoriales

– Análisis de series de tiempo

– Procesamiento de Señales Sísmicas

– Procesamiento de Señales Espaciales

– Televisión Digital

– Telefonía Móvil

– Radio Transmisión

– ……



Representación de las Señales

Se puede definir matemáticamente una señal como una función que

representa la variación en el tiempo de alguna variable física. Sin embargo,

es importante tener en cuenta que la función no describe la variable física

en sí misma. Por lo anterior y para facilitar el análisis matemático, se utilizan

las representaciones de señales mediante funciones de una o más

variables independientes.

Las representaciones de la señal se denominan también el modelo de la

señal. Existen muchas clases de modelos de señales que ofrecen diferente

información acerca del proceso físico fundamental. Las funciones de

tiempo son la clase más directa de modelos de señal. Otras formas pueden

ser a través de conjuntos de datos, reglas, gráficas, ecuaciones y tablas de

datos (Figura 1).

La representación de una señal puede realizarse directamente en el mismo

dominio inicial de sus variables independientes o puede trasladarse a un

dominio diferente mediante el uso de transformaciones como la

Transformada de Fourier o la Transformada z.



Representación de las Señales



Figura 1d: Expresión MatemáticaFigura 1c: Tabla de Datos

Figura 1a: Función de Tiempo

Figura 1b: Gráfica

Señales Aleatorias y Deterministas



Señal Aleatoria: Una señal aleatoria es aquella que no puededescribirse de forma precisa mediante formulas matemáticasexplicitas y su descripción puede ser demasiado compleja para eluso en la practica.

Ejemplos:

Figura 2a: Señal de voz.Figura 2b: Señal sísmica.

Señal Determinista: Una señal determinista es aquella que puededescribirse de forma precisa mediante formulas matemáticas,

conjunto de datos, reglas, etc. De este modo, una señal determinista

puede modelarse mediante una función conocida en términos de

una variable independiente (usualmente tiempo 𝑡).

Ejemplos:

Señales Aleatorias y Deterministas



Figura 3b: Señal de reloj.Figura 3a: Señal de voltaje.

Figura 3c: Señal de reloj. Figura 3d: Señal de motor AC.

Señal Unidimensional: Señalen función de una solavariable independiente.

Ejemplo: Señal de voltaje𝑥 𝑡 = 𝐴 sin(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑).

Señal Multidimensional: Señal

en función de 𝑁 variablesindependientes.

Ejemplos: Sistemas deposicionamiento global (GPS),imágenes; 𝐴(𝑥, 𝑦), 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧).

Señales Unidimensional y Multidimensional



Figura 4a: Señal de voltaje.

Figura 4b: Sistema de posicionamiento.

Señal Monocanal: Señal generada por una sola fuente o

sensor.

Ejemplo: Señal de reloj de un PC.

Señal Multicanal: Señal generada por múltiples fuentes osensores.

Ejemplo: Imágenes RGB.

Señales Monocanal y Multicanal



𝐼 𝑅, 𝐺, 𝐵 =

𝐼(𝑅)𝐼(𝐺)𝐼(𝐵)

donde

𝐼 𝑅 = 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑜𝑗𝑜.

𝐼 𝐺 = 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒.𝐼 𝐵 = 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑧𝑢𝑙.

Figura 5: Señal multicanal

Las señales pueden clasificarse en cuatro categorías dependiendo de la variable

independiente y los valores (V. dependiente) que la señal pueda tomar.

Señales en tiempo continuo (Analógicas): Definidas para todos los valores de tiempo

𝑡 y pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo continuo [𝑎, 𝑏].

Ejemplo:



Figura 6b: Señal de VozFigura 6a: Señal Senoidal

Clasificación de Señales

Señales de tiempo continuo y

tiempo discreto

Señales de tiempo Discreto: Definidas solo para determinados instantes ovalores de tiempo, que pueden ser o no equidistantes dentro de unintervalo [𝑎, 𝑏].

Las señales en tiempo discreto se pueden originar de dos formas:Muestreando los valores de una señal analógica en determinados instantesde tiempo 𝒏, y Acumulando valores de una variable en intervalos detiempo a lo largo de un determinado periodo.

Una señal de tiempo discreto 𝑥 𝑛 puede obtenerse mediante el muestreode una señal 𝑥 𝑡 de tiempo continuo tal como:

𝑥 𝑡0 , 𝑥 𝑡1 , 𝑥 𝑡2 , … , 𝑥(𝑡𝑛)

O en forma más corta como:𝑥[0], 𝑥[1], 𝑥 2 ,… , 𝑥[𝑛]

Donde se entiende que:

𝑥𝑛 = 𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑡𝑛)




tiempo discreto



Ejemplo: La figura 7 representa una señal Senoidal muestreada a partir de la señal 𝑥 𝑛 = 3sin(𝑤𝑛), para 𝑛 = 0,±1,±2,… ,±𝑛.

Figura 7: Señal Senoidal muestreada.


tiempo discreto



Ejemplo: La figura 8 representa el promedio del mercado de

acciones al cierre diario, que por naturaleza es una señal que

evoluciona de forma discreta en el tiempo (al cierre de cada

día).

Figura 8: Representación del mercado de valores.

Las señales se clasifican en señales

de valor continuo o señales de valor

discreto dependiendo de los valores

que tome la variable dependiente.

Señales de valor continuo: Son las

señales que pueden tomar

cualquier valor real en un intervalo

tanto finito como infinito.

Señales de valor discreto: Señal que

toma valores específicos de un

conjunto de valores finitos.

Los valores pueden ser

equidistantes y pueden

expresarse como un múltiplo

de la distancia entre dos

valores sucesivos.

Señales de valor continuo y

valor discreto



Figura 9a: Señal de valor continuo.

Figura 9b: Señal de valor discreto.

Una señal digital es aquella cuyas variables dependientes e

independientes son discretas. La salida de un conversor análogico-

digital (CAD) es un ejemplo de una señal digital que se ilustra en la

Figura 10.

Señal Digital



Figura 10: Señal digital.

Las señales presentan características adicionales a las relacionadas conlas variables dependiente e independiente. Este tipo de característicaspermite clasificar las señales en términos de parámetros como lafrecuencia y la simetría de la misma según el área de estudio.

Señal de simetría par (señal par): una señal 𝑥(𝑡) o una señal 𝑥(𝑛) se definepar si satisface que:

𝑥 −𝑡 = 𝑥 𝑡 ; para señales de tiempo continuo.

𝑥[−𝑛] = 𝑥[𝑛]; para señales de tiempo discreto.

Características de las señales



Figura 11: Señal par.

Señal de simetría impar (señal impar): una señal 𝑥(𝑡) o una

señal 𝑥(𝑛) se define impar si satisface que:

𝑥 −𝑡 = −𝑥 𝑡 ; para señales de tiempo continuo.

𝑥 −𝑛 = −𝑥[𝑛]; para señales de tiempo discreto.




Figura 12: Señal impar.

Descomposición de señales: Cualquier señal puede

expresarse como la suma de dos componentes, una par y otra

impar.

𝑥𝑝𝑎𝑟 𝑡 = 1

2{𝑥 𝑡 + 𝑥(−𝑡)} y 𝑥𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑡 =

1

2{𝑥 𝑡 − 𝑥(−𝑡)}

𝑥 𝑡 = 𝑥𝑝𝑎𝑟 𝑡 + 𝑥𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟(𝑡)

𝑥𝑝𝑎𝑟 𝑛 = 1

2{𝑥 𝑛 + 𝑥(−𝑛)} y 𝑥𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑛 =

1

2{𝑥 𝑛 − 𝑥(−𝑛)}

𝑥 𝑛 = 𝑥𝑝𝑎𝑟 𝑛 + 𝑥𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟(𝑛)




Señales periódicas y no periódicas (aperiódicas): Una

señal 𝑥(𝑡) o una señal es periódica con periodo 𝑇 si existe

un valor positivo distinto de cero tal que:

𝑥 𝑡 + 𝑇 = 𝑥(𝑡), para todo 𝑡.

Una señal 𝑥(𝑛) o una señal es periódica con periodo 𝑁 si

existe un valor positivo distinto de cero tal que:

𝑥 𝑛 + 𝑁 = 𝑥(𝑛), para todo 𝑛.

El valor más pequeño para el que se cumplen las

expresiones anteriores se denomina periodo fundamental.

Si no existen un 𝑁 y un 𝑇, la señal se denomina aperiódica.




Ejemplo:




Figura 13a: Señal periódica de tiempo continuo.

Figura 13b: Señal periódica de tiempo discreto.

Representación en tiempo continuo:

R. Gráfica:

R. Funcional:

𝑥 𝑡 = −1.75, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0−2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 00, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0

R. Tabular:

𝑡

𝑥(𝑡) … −20 18.5 15 10 8 4 2 0 1 5 9 15 …

… 0 2 1.5 3.75 5 2 −1.5 −2 −1 2 4.2 …

R. Secuencial:

𝑥 𝑡 = {… ,−11,−9.5, −6, −3.5, 0, 1, 3, 4.5, 8, … } duración infinita

𝑥 𝑡 = {−7,−5, −1, 0, 1, 3, 4.5, 8, } duración finita

Representación de las señales



Señal escalón unitario: La función escalón unitario 𝑢(𝑡) ,

también conocida como función unidad, se define como:

𝑢 𝑡 = 1 𝑡 ≥ 00 𝑡 < 0

Señal impulso unidad: la función impulso unidad 𝛿 𝑡 , también

conocida como función delta de Dirac, juega un papel

central en el análisis de sistemas.

𝛿 𝑡 = 1 𝑡 = 00 𝑡 ≠ 0

Señales típicas en tiempo continuo



-6 -4 -2 0 2 4 6-0.5

0

0.5

1Señal d(t)

tiempo (s)

Am

plit

ud

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

Tiempo

Am

plit

ud

Señal escalon Unitario u(t)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

Función rampa unidad: La función rampa unidad 𝑈𝑟 𝑡 se

define como:

𝑢 𝑡 = 𝑡 𝑡 ≥ 00 𝑡 < 0

Señal Senoidal: La función Senoidal 𝑥(𝑡) se define como:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + ∅)




-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0

2

4

6Señal ramp(t)

tiempo (s)

Am

plit

ud

-6 -4 -2 0 2 4 6-1

-0.5

0

0.5

1Señal x(t)

tiempo (s)

Am

plit

ud

Señales exponenciales reales: la función exponencial real 𝑥 𝑡 sedefine como:

𝑥 𝑡 = 𝑒𝜎𝑡

Donde; si 𝜎 > 0, 𝑥 𝑡 es una exponencial creciente (figura 14a) y si𝜎 < 0, 𝑥 𝑡 es una exponencial decreciente (figura 14b).




Figura 14: Señales exponenciales reales.

Señales exponenciales complejas: la función exponencial compleja 𝑥 𝑡 sedefine como:

𝑥 𝑡 = 𝑒𝜎𝑡(cos 𝑤𝑡 + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡))

La señal exponencial compleja puede descomponerse en dos señales, unaparte real (𝑥 𝑡 = 𝑒𝜎𝑡(cos 𝑤𝑡 ) y una parte imaginaria (𝑥 𝑡 = 𝑒𝜎𝑡(sen 𝑤𝑡 ). Sonseñales exponenciales que crecen o incrementan cuando 𝜎 > 0 (Figura 15a) ydecrecen cuando 𝜎 < 0 (Figura 15b).




-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.5

0

0.5

1Señal x(t) real

tiempo (s)

Am

plit

ud

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.5

0

0.5

1Señal x(t) imaginaria

tiempo (s)

Am

plit

ud




Ejemplo: en la figura 16, se puede observar una señal

exponencial compleja decreciente. En la figura 16a; se

observa la parte real y en la figura 16b; se observa la parte

imaginaria de la señal 𝑥(𝑡).

Figura 16: Señal exponencial compleja.




Ejemplo: en la figura 17, se puede observar una señal

exponencial compleja creciente. En la figura 17a; se observa

la parte real y en la figura 17b; se observa la parte imaginaria

de la señal 𝑥(𝑡).

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10-1

-0.5

0

0.5

1Señal x(t) real

tiempo (s)

Am

plit

ud

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10-1

-0.5

0

0.5

1Señal x(t) imaginaria

tiempo (s)

Am

plit

ud

Figura 17: Señal exponencial compleja.

Las señales también pueden ser manipuladas en función de su

variable independiente; normalmente el tiempo. Estas manipulaciones

se realizan en términos del objeto de estudio que se quiera realizar

con cada señal.

Desplazamiento en el tiempo: 𝑦 𝑛 = 𝑥(𝑛 ± 𝑘) , siendo 𝑘 , un entero

positivo.

Retardo: 𝑦 𝑛 = 𝑥(𝑛 − 𝑘)

Adelanto: 𝑦 𝑛 = 𝑥(𝑛 + 𝑘)

Manipulación en el tiempo



Figura 18: Señales desplazadas en el tiempo.

Reflexión en el tiempo: 𝑦 𝑛 = 𝑥(−𝑛).

Reflexión y desplazamiento en el tiempo: 𝑦 𝑛 = 𝑥(−𝑛 + 𝑘)




Figura 19: Reflexión de señales en el tiempo.

Escalamiento temporal:

Submuestreo.

𝑦 𝑛 = 𝑥(𝜇𝑛), siendo μ, un numero entero.




Figura 20: Señales escaladas en el tiempo.

Escalamiento: 𝑦 𝑛 = 𝐴𝑥(𝑛) −∞ < 𝑛 < ∞

Suma y Resta: 𝑦 𝑛 = 𝑥1(𝑛) ± 𝑥2(𝑛) −∞ < 𝑛 < ∞

Multiplicación: 𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 . 𝑥2(𝑛) −∞ < 𝑛 < ∞

División: 𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 ./𝑥2(𝑛) −∞ < 𝑛 < ∞

Exponenciación: 𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 . ^𝑥2(𝑛) −∞ < 𝑛 < ∞

Manipulación en amplitud



unidad 1 senales y sistemas

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